transformasi geometri sma
TRANSCRIPT
Transformasi geometri
Pemindahan objek (titik, garis, bidang datar) pada bidang.
Perubahan yang (mungkin) terjadi:• Kedudukan / letak• Arah• Ukuran
Definisi :
Jenis-jenis Transformasi Geometri• Proyeksi• Pergeseran tanpa merubah bentuk(Translasi)• Pencerminan (Refleksi)• Pemutaran (Rotasi)• Perkalian bangun/penskalaan (Dilatasi)• Pergeseran merubah bentuk(shear)
Proyeksi• Suatu titik atau sistem diproyeksikan terhadap suatu garis
acuan sehingga setiap titik atau sistem tersebut sejajar dengan garis acuan.
• Proyeksi merupakan jarak terpendek. Jika titik A diproyeksikan terhadap sumbu x, maka hasil tersebut
adalah titik B dengan AB merupakan jarak terpendek titik A terhadap sumbu x.
Jika diproyeksikan terhadap sumbu y, maka hasilnya adalah titik C dengan AC merupakan jarak terpendek titik A terhadap sumbu y
A
B
C
O x
y
Proyeksi titik terhadap garis x= y
Titik A(a,b) diproyeksikan pada garis y = x menghasilkan titik A’(a’,b’)
Cara mencari matrik transformasi- nya adalah sebagai berikut : Perhatikan bahwa :a= r cos θ dan b = r sin θa’=OA’ cos 45 dan b’ = OA’ sin 45OA’=r cos (45 – θ)
Maka :a’= r cos (45 – θ) cos 45 = r cos 45 cos 45 cos θ + r cos 45 sin 45 sin θ =
Karena a’ = b’, maka b’ = 2 2
a b
2 2
a b
Sehingga diperoleh :
1 12 2
1 12 2
2 2A
2 2
a ba a
b b a b
Matrik transformasi untuk titik yang diproyeksikan pada garis y = x
Translasi • Suatu titik atau sistem mengalami pergeseran namun
tidak merubah bentuk, karena setiap titik penyusun sistem mengalami pergeseran yang sama.
• Contoh : Sebuah titik P(x,y) ditranslasikan sejauh a satuan sepanjang sumbu x dan y satuan sepanjang sumbu y, diperoleh peta titik P’(x’,y’).
P(x,y)
O
Y
a
bT= ab
X
P’(x’,y’)
x
y
x’
y’ = P’(x+a,y+b)
Translasi dari titik P ke titik P’ secara linier.
P(x,y)
P’(x’,y’)
dx
dy
x’ = x + dxy’ = y + dy
Model Matrik:
dy
dx
y
x
y
x
'
'
• Sebuah buku yang terletak di atas meja digeser sejauh h, maka setiap titik yang menyusun buku tersebut harus bergeser sejauh h juga.
Buku bergeser dalam satu arah yaitu arah x positif
• Bagaimana jika buku digeser ke arah x dan y sekaligus ?
• Penulisan proses translasi titik A menjadi titik M, dan
titik B menjadi titik N dengan
Th
s
adalah :
A( , ) M( , )a c a h c s T
h
s
B( , ) N( , )b c b h c s T
h
s
Contoh soal :
Tentukan bayangan dari lingkaran (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9 jika
ditranslasikan oleh :
Jawab :
Misalkan titik P(a,b) adalah titik pada lingkaran, sehingga
persamaan dapat ditulis : (a – 2)2 + (b – 1)2 = 9.
Titik P ditranslasi dengan
3T
4
3T
4
diperoleh titik T’ sbb :
P( , ) P'( 3, 4)a b a b
3T
4
Maka : a’ = a + 3 dan b’ = b + 3Substitusi ke persamaan :(a’ – 3– 2)2 + (b’ – 4– 1)2 = 9(a’ – 5)2 + (b’ – 5)2 = 9Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9Cara lain :Persamaan lingkaran mempunyai pusat (2,1). Dengan
dilakukan translasi pusat lingkaran diperoleh :
Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9
a = a’ – 3 dan b = b’ – 3
O(2,1) O'(2 3,1 4) O '(5,5)
3T
4
Pencerminan (refleksi)• Transformasi pencerminan /refleksi menghasilkan
bayangan yang tergantung pada acuannya.
• Refleksi terhadap sumbu x
Refleksi titik A (a, c) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan yaitu A’(a’, c’), demikian juga untuk titik B dan titik C.
Diperoleh persamaan bahwa : a’ = a, b’ = b, c’= -c dan seterusnya sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : 1 0
0 -1xT
Dengan notasi matrik :
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(a, -c) sumbu x
1 0
0 -1x
x x xT
y y y
Sama seperti refleksi terhadap sumbu x menghasilkan persamaan a’= - a, b’ = - b dan c’ = c dan seterusnya. sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(-a, c) sumbu y
Dengan notasi matrik :
-1 0
0 1y
x x xT
y y y
•Refleksi terhadap sumbu y
-1 0
0 1yT
• Refleksi terhadap titik asal (0,0)
Menghasilkan persamaan :a’= - a, dan c’ = -c,b’= - b, dan c’ = -c,d’= - d, dan c’ = -c,sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :
(0,0)
-1 0
0 -1T
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(-a,-c) titik(0,0)
(0,0)
-1 0
0 -1
x x xT
y y y
Dengan notasi matrik :
• Refleksi terhadap garis y = x
Menghasilkan persamaan :a’= c, dan c’ = a,b’= c, dan c’’ = b,d’= e, dan e’ = d dan seterusnyasehingga persamaan matrik transformasinya adalah :
0 1
1 0y xT
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(c,a) y = x
0 1
1 0y x
x x xT
y y y
Dengan notasi matrik :
• Refleksi terhadap garis y = - x
Menghasilkan persamaan :a’= -c, dan c’ = -a,b’= -c, dan c’’ = -b,d’= -e, dan e’ = -d dan seterusnya, sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :
0 -1
-1 0y xT
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(-c,-a) y =- x
0 -1
-1 0y x
x x xT
y y y
Dengan notasi matrik :
• Refleksi terhadap garis y = hSumbu x digeser sejauh h, menghasilkan persamaan :a’= a, dan c’ = 2h-c,b’= b, dan c’ = 2h-c,d’= d, dan e’ = 2h-e, sehingga notasi persamaan matrik transformasinya adalah :
1 0 0
0 -1 2
x x
y y h
Bukti :Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x yang baru
adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah menjadi (x’, y’) dengan :
Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang baru menjadi :
Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-x semula dengan memakai translasi diperoleh:
0 x x x
y y h y h
1 0
0 -1
x x x
y y h y h
0
2
0 1 0 0
- 2 0 -1 2
x x x
y y h h y h
x x
y h y h
• Refleksi terhadap garis x = kSekarang yang digeser adalah sumbu y sejauh k, menghasilkan persamaan :a’= 2k-a, dan c’ = c,b’= 2k-b, dan c’ = c,d’= 2k-d, dan e’ = e, sehingga notasinya adalah :
A(a,c) A’(2k-a,c)x=k
-1 0 2
0 1 0
x x k
y y
Dengan notasi matrik :
Contoh Soal :
Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan titik
sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika direfleksikan
terhadap sumbu-x, kemudian dilanjutkan dengan refleksi
terhadap sumbu-y. Jawab :
Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua tahap
yaitu mencari bayangan jajaran-genjang ABCD dari
refleksi terhadap sumbu-x, kemudian bayangan yang
terjadi direfleksikan terhadap sumbu-y.
Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :
Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada sb-y
Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’ dengan
titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,-11).
Coba pikirkan :
Bagaimana cara mendapatkan matrik transformasi pada
suatu sistem yang mengalami refleksi lebih dari satu
kali tetapi penyelesaiannya hanya dengan
mengunakan satu tahap saja ?
Perputaran (rotasi)• Rotasi adalah perpindahan obyek dari titik
P ke titik P’, dengan cara diputar dengan sudut
x
y
P(x,y)
P’(x’,y’)
x’ = x cos() - y sin()y’ = x sin() + y cos()
• Untuk memudahkan perhitungan, maka dibuat notasi dalam bentuk matrik :
dengan : - sin θ dan cos θ adalah fungsi linier dari θ- x’ kombinasi linier dari x dan y- y’ kombinasi linier dari x dan y
cos -sin
sin cos
x x
y y
Bukti : Titik A berpindah ke titik A’ sejauh α. Dalam koordinat kutub, titik A(a,b) ditulis : A(r cos θ, r sin θ). Sedangkan A’(a’,b’) ditulis : A’(r cos (θ + α), r sin (θ + α)).
Maka, diperoleh :
Matrik transformasi untuk titik yang dirotasi terhadap titik pusat O (0,0)
Penskalaan (dilatasi)• Merupakan transformasi suatu titik atau sistem
terhadap suatu acuan yang menyebabkan jarak titik atau sistem berubah dengan perbandingan tertentu.
(Perpindahan titik P ke titik P’ dengan jarak titik P’ sebesar m kali titik P)
x
y
P(x,y)
P’(x’,y’)
mx.x
my.y
x’ = mx x y’ = my y
• Dalam bentuk matrik dituliskan :
• Transformasi ini tidak mengalami perubahan bentuk,
hanya mengalami perubahan ukuran karena jarak
titik-titik penyusun berubah dengan perbandingan
tertentu terhadap acuan.
0
0 x
y
mx x
my y
• Dikenal suatu istilah faktor dilatasi k yang menyebab-kan perbesaran atau perkecilan suatu sistem.
• Jika nilai k (bilangan nyata): k> 1 : hasil dilatasi diperbesar -1<k<1 : hasil dilatasi diperkecil k = 1 : hasil dilatasi sama dengan aslinya. • Contoh :
Gambar disamping dilakukan dilatasi dengan faktor k = 2. Carilah titik-titik A’, B’ C’ dan D’ !
• Jawab : Transformasi dapat dilakukan dengan :
Jadi hasil dilatasi terhadap titik O(0,0): A’(4,6), B’(10,6)C’(12,10), D’ (6,10) Notasi :
A(a,b) A’(ka,kb)
(0,k)
Shear• Pergeseran pada suatu sistem dengan terjadinya
perubahan bentuk disebut transformasi shear.
• Biasanya digunakan dalam memanipulasi grafik pada
komputer. Untuk memberi kesan lain pada obyek
jika dilihat dari sudut pandang berbeda.
• Ada dua macam transformasi shear yaitu shear
terhadap sumbu-x dan shear terhadap sumbu-y
• Shear terhadap sumbu-xPerubahan terjadi pada absis titik-titik pada ujung
sistem yang tidak terletak pada sumbu-x dengan faktor shear k (k : bilangan nyata)
• Shear terhadap sumbu-yPerubahan terjadi pada absis titik-titik pada ujung
sistem yang tidak terletak pada sumbu-y dengan faktor shear k (k : bilangan nyata)
Contoh soal :Tentukan titik koordinat bayangan dari sebuah bangun
segitiga ABC dengan A(2,0), B(6,0), C(0,4) jika segitiga tersebut di shear terhadap sumbu-x dengan faktor shear k=3 serta sketsakan bayangan yang terbentuk.
Jawab :Sketsa bayangan :
Koordinat Homogen• Koordinat homogen adalah representasi koordinat 2
dimensi dengan 3 vektor
1
xx
yy
Koordinat homogen
cos - sin 0
sin cos 0
0 0 1otasiR
0 0
0 0
0 0 1kala
a
S b
1 0
0 1
0 0 1
x
ranslasi y
T
T T
Komposisi Transformasi• Komposisi transformasi adalah menggabungkan
beberapa tranformasi, sehingga dapat menghasilkan bentuk transformasi yang lebih kompleks
• Dapat dilakukan 3 transformasi dalam sebuah matrik tunggal :
- operasi yang dilakukan adalah perkalian matrik - ketika mentransformasikan suatu titik, tidak ada
penangan khusus : matrik . Vektor - transformasi gabungan : matrik . matrik
• Macam komposisi transformasi :
Rotasi sebagai titik perubahan :
Translasi – Rotasi – Translasi
Skala sebagai titik perubahan :
Translasi – Skala – Translasi
Perubahan sistem koordinat :
Translasi – Rotasi – Skala
Latihan :1. Jika titik (a,b) direfleksikan terhadap sumbu-y, kemudian
dilanjutkan dengantransformasi sesuai matrik menghasilkan titik (1, -8).
Tentukan nilai a dan b. 2. Tentukan matrik yang bersesuaian dengan dilatasi pusat (0,0)
dan faktor skala 3 dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x.
3. Buktikan bahwa :
merupakan matrik transformasi untuk titik yang dirotasi terhadap titik P(m,n)
-2 1
1 2