gênio da matemática régis...

Gênio da Matemática – Régis Cortes

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ÍNDICE 1 – Matemática básica ................................................................................................ 03

2 – Função Exponencial ............................................................................................. 23

3 – Função Logarítmica .............................................................................................. 26

4 – Polinômios............................................................................................................. 32

5 – Progressão Aritmética (PA) ................................................................................. 39

6 – Progressão Geométrica (PG) ............................................................................... 42

7 – Geometria Plana .................................................................................................... 45

8 – Geometria Espacial ............................................................................................... 56

9 – Trigonometria ....................................................................................................... 64

10 – Geometria Analítica ............................................................................................ 76

11 – Fatorial ................................................................................................................. 91

12 – Análise Combinatória ......................................................................................... 92

13 – Probabilidade ...................................................................................................... 96

14 – Conjuntos Numéricos ......................................................................................... 103

15 – Domínio................................................................................................................ 105

16 – Funções ............................................................................................................... 106

17 – Binômio de Newton ............................................................................................ 109

18 – Matrizes Determinantes e Sistemas .................................................................. 112

19 – Sistemas..............................................................................................................116

20 – Função Modular....................................................................................................118

21 – Números Complexos .......................................................................................... 122

Site: GêniodaMatemática.com.br

http://geniodamatematica.com.br/curso


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“A matemática é muito importante para a vida, apesar de muitos não

concordarem.

O simples fato de alguém dizer “eu odeio matemática” muitas vezes significa “eu não sei matemática”.

Você sabia que, aos 20 anos de idade, depositando apenas R$ 60,00 mensalmente, com juros de 1,2 % ao mês, em uma aplicação financeira qualquer, você terá aos 65 anos mais de três milhões de reais ao se aposentar!

Nunca tenha ódio da matemática, pois ela é muito importante para todos nós.

Aprenda Matemática e use-a durante toda a sua vida! Pense nisso, esta poderá ser a primeira lição do curso e a mais importante

Faça desse ano operações matemáticas: some conhecimento, diminua as tristezas, multiplique o amor e divida tudo isso comigo."

Prof. Regis Cortês




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MATEMÁTICA BÁSICA

EXPRESSÕES NUMÉRICAS

1) -8. { 5 - [4 . 3 - (2 + 1 ) ] - 1} =

2) )]32(1[)4(

)2).(6(5).3( ��»¼

º«¬

ª��

�� =

3) O valor de 20. { -30 : [ 3 . ( 20 -15 )] } =

Respostas: 1) 40 2) -12 3) -40

FRAÇÕES

a/b , onde a e b � � e b z 0. - As frações onde o numerador é menor do que o denominador são chamadas de frações próprias.

Ex: 2513 ;

73 ;

21

- As frações onde o numerador é maior do que o denominador são chamadas de frações impróprias. Ex:

427 ;

79 ;

23

- As frações em que o numerador é divisível pelo denominador também são chamadas de frações aparentes.

Ex: 927 ;

714 ;

22

- As frações onde o numerador e o denominador não podem ser simplificadas são chamadas de frações irredutíveis. Ex:

427 ;

79 ;

23

OPERAÇÕES FRACIONÁRIAS

Na adição e subtração de frações com mesmo denominador, devemos manter o denominador e somar ou subtrair os numeradores.

bc+ a =

bc +

ba

, onde b z 0 .




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Na adição e subtração de frações com denominadores diferentes, devemos reduzir as frações ao mesmo denominador ( M. M. C. ) para ajustar os denomina-dores e poder depois, somá-las ou subtrai-las.

b.d

c.b + a.d = dc +

ba

, onde b z 0 e d z 0 .

A multiplicação entre frações é o produto dos numeradores sobre o produto dos denominadores.

d . bc . a =

dc .

ba

onde b z 0 e d z 0

A divisão entre frações é o produto da primeira pelo inverso da segunda.

b.ca.d

cd .

ba =

dc :

ba

1) O valor da expressão ¸¹

·¨©

§ �¸¹

·¨©

§ ��151

53:

31

511 é:

a) 23/8 b) 2 c) 1 d) 2/15 e) 1/15

2) A expressão ¸¹

·¨©

§ ��¸¹

·¨©

§ ��52

31

2135,0

52

412 é igual a:

a) 7/10 b) 1 c) 0 d) – 1 e) – 7/10

3) O valor da expressão ba1

ba��

� para 21a e

31b é:

a) 5/6 b) 1 c) 0 d) – 1 e) – 5/6

4) Se xy

yxA � ,

52x e

21y , então A é igual a:

a) 1/2 b) 1 c) 0 d) - 1 e) – ½ Site: GêniodaMatemática.com.br



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5) A soma de dois números reais A e B é 75, e seu produto é 15. O valor da soma

B1

A1

� é

a) 1/5 b) 1/3 c) 1/2 d) 3 e) 5 Respostas: .1) b; 2) d; 3) b; 4) e; 5) e

RADICIAÇÃO

Define-se como raiz de índice n de um número a, ao número x tal que x elevado a n resulta a.

axxa nn �

REPRESENTAÇÃO

xan , onde

°°

¯

°°

®

�

��

radical

adeésimanraizxradicaldoíndicen

radicandoa

Em todo radical cujo índice é um número par, a raiz considerada é sempre positiva.

Exemplos:

a) 3 27 =3 b) 25 =5 c) 2 4� » não existe d) - 25 =-5

• Quando n=2, a raiz n-ésima chama-se raiz quadrada, quando n=3, chama-se raiz cúbica, quando n=4 chama-se raiz quarta, etc.

Na expressão n a ; n chama-se índice; a chama-se radicando e chama-se radical.

PROPRIEDADES:

1) n

nn

ba

ba

2) nnn abba

3) mnm n aa

4) n ma = am/n


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Exercícios:

1) O valor da expressão numérica 169

481 33

�

�� é:

a) 3/19 b) 1/19 c) 1/5 d) 3/7 e) 4/7 2) A expressão com radicais 22188 �� é igual a: a) 4 2 b) 2 2 c) 2 d) – 2 2 e) – 4 2

3) 42713 �� é igual a: a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 25

4) 6432 é igual a:

a) 16 b) 64 c) 128 d) 256 e) 512 5) Simplificando [(23)1/2 ]1/6, obtemos: a) 21/4 b) 21/2 c) 2 d) 2 - 1/2 e) 2 - 1/4 6) A expressão 10101010 �� é igual a raiz quadrada de: a) 0 b) 10 c) 45 d) 90 e) 100



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7) Racionalizando o denominador da fração 35

32�

, obtém- se:

a) 15 + 3 b) 15 - 3 c) 18 d) 15 - 3 e) 15 - 3

8) Qual é o valor da expressão 1313

1313

�

��

�

�

a) 8 b) 4 c) 0 d) – 4 e) – 8

9) O valor de 8

3 22 ¸̧¹

·¨̈©

§ é:

a) 2 3 22

b) 3 26 2 . 2 c) 2 d) 4 e) 8 10) Considere as desigualdades abaixo . I . 84 8 4 �

II. 0,52

25,0

�

III. 2 –3 < 3 – 2 Pode–se afirmar que a) é verdadeira apenas a desigualdade I. b) é verdadeira apenas a desigualdade II. c) é verdadeira apenas a desigualdade III. d) são verdadeiras apenas as desigualdades I e II. e) são verdadeiras apenas as desigualdades II e III. 11) (UFRGS) - O quadrado do número 2 + 3 + 2 − 3 é a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) 8.

Respostas: 1) a ; 2) c ;3)b ;4) e ;5) a; 6)d; 7) a; 8) b;9) d; 10) b; 11)




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POTENCIAÇÃO

Sendo a um número real e n um número natural positivo, temos:

Definição:

aaaan ..

n fatores

aa 1

10 a

nn

aa 1

�

Propriedades:

nmnm aaa � .

nmn

m

aaa �

mmm baba ).(.

m

m

m

ba

ba

¸¹·

¨©§

(am)n = amn

Exemplos:

1) 2³=2.2.2=8 2) 10101 3) 1100 4) 41

212 2

2 �

5) 1064 . aaa 6) 22222 134

3

4

� 7) 22.32 = (2.3)2 =62=36




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Exercícios:

1) a) 25 = b) (-2)5 = c) –2 5 = d) -3 4 = e) (-5)2 = f) (4/5)3 = g) (0,5)2 = h) -2 -2 = i) (-2)-2 = j) (3/5)-3 = l) ( -11/9 )-1 = m) 80 =

2) O valor da expressão 1

11

253

�

�� é:

a) 15/16 b) 16/15 c) 1/16 d) 1/15 e) 16 3) O valor de [2-1 - (-2)2 + (-2)-1] / [22+2-2] é: a) – 16/17 b) – 17/16 c) – 4/17 d) 16/17 e) 17/16 4) Simplificando a expressão [29:(22.2)3]-3, obteremos: a) 8 b) 1/8 c) 1 d) –1/8 e) – 8

5) A expressão 1

y1

x1

�

¸̧¹

·¨̈©

§� , para 0yx z�z , é equivalente a:

a) 1 b) x + y c)

y- xx

d) y- xy x �

e) y x

xy�




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6) A expressão 2 x2 x 22 �� é igual a: a) 4 b) 2 c) 1 d) 2 x e) 2 2x 7)Efetuando a divisão 2xx e:e � , teremos: a) e2 b) 1/2 c) e d) 1 e) e -2 8) Dentre as relações abaixo, a que está incorreta é a) (+1) - 0 = 1 b) 32 + 42 = ( 3 + 4 )2 c) 1/2+ 1/2 = 2/2 d) 32 + 42 = 52 e) 0 - (-1) = 1

9)

n

n2

nn

aa1.a

¸¸¸¸

¹

·

¨¨¨¨

©

§

�

�

é igual a :

a) a –4n b) a –2n c) 1 d) a2n e) a4n

Respostas: 2) b; 3) a; 4) c; 5) e; 6) e; 7) a; 8) b; 9) c

RACIONALIZAÇÃO

Existem frações cujo denominador é irracional. Como:

21 ,

121�

, 32

2�

Para facilitar os cálculos, é conveniente transformá-las em uma outra, equivalente, de denominador racional.


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1º Caso: • O denominador é da forma a b . Neste caso, basta multiplicar o numerador e o

denominador por b . Ex: 22

22.

21

21

2º caso: • O denominador é da forma n mba onde n>2. Neste caso, devemos multiplicar o numerador e o denominador por um fator, de modo a tornar no denominador, o expoente do radicando igual ao índice do radical.

Ex: 3 22 » Fator racionalizante = 3 32

Logo: 22.2

22.

22

22 3 2

3 2

3 2

33

3º Caso:

• O denominador possui uma destas formas: ba r ou ba r

Neste caso, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo *conjugado de denominador. Assim, obteremos o produto pela diferença, que resulta na diferença de dois quadrados.

*Conjugado:

Expressão Conjugado

ba �

ba �

ba �

ba �

Exs: 1) 2323

232323.

231

231

� ��

��

�

�

2) 2221212.

122

122

� ��

�

�



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NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Exercícios

1) Simplificando a expressão 41

843

101061010106

��

��

�� obteremos:

a) 10 -6 b) 10-2 c) 1 d) 10 2 e) 10 6

2) O valor da expressão 4

53

10101010

�

�� é:

a) 10 –7 b) 10-3 c) 10 - 1 d) 1 e) 10 3) A representação decimal de (0,01)3 é: a) 0,01 b) 0,001 c) 0,0001 d) 0,00001 e) 0,000001

4) 19

2021

0 .1 60210 . 0,2 6 10 . 02,6 � é igual a :

a) 602 b) 60,2 c) 6,02 d) 2 e) 101. 10 -4

5)A expressão 04,0

1000. 01,0. 001,0 3232�

é igual a

a) 5.1010 b) 5.102 c) 10 d) 5.10-3 e) 5,10-10 6) UFRGS A distância que a luz percorre em um ano, chamada ano-luz, é de aproximadamente 38.45 . 512 quilômetros. A notação científica desse número é a) 9,5 . 1010 b) 0,95 . 1012 c) 9,5 . 1012 d) 95 . 1012 e) 9,5 . 1014

Respostas: 1) b; 2) b; 3) e; 4) d; 5) b; 6) c Site: GêniodaMatemática.com.br



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PRODUTOS NOTÁVEIS

Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva.

(a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²

(a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²

(a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²

Somando os termos semelhantes: a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac

Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes. A fim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis.

Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas.

1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.

(a + b).( a – b ) = a² - b²

2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. (a + b)² = a² + 2ab +b²

3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. (a – b)² = a² - 2ab + b²

Existem muitas outras fórmulas:

(a + b) ³ = a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³ (a – b )³ = a³ - 3 a²b + 3ab² - b³

FÓRMULA DE BHÁSKARA:

abx

2'r�

aacbbx

242 �r�

Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:

1) 3x²-7x+2=0 a=3, b=-7 e c=2

2524492.3.44942 � � � ' acb


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Substituindo na fórmula:

657

3.2257

2r

r

'r�

a

bx

26

57

� x e

31

62

657

�

x

Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é: V={1/3 , 2}

2) -x²+4x-4=0

a=-1, b=4 e c=-4

acb 42 � ' = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0 Substituindo na fórmula de Bháskara:

204

�r�

x » x=2 ^ `2 V

Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ' =0

3) 5x²-6x+5=0 a=5 b=-6 c=5 acb 42 � ' = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64

Note que 0�' e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real. Logo: T V » vazio

Propriedades:

0!' Duas raízes reais e diferentes

0 ' Duas raízes reais e iguais

0�' Nenhuma raiz real

Relações entre coeficientes e raízes:

abSoma �

acoduto Pr

Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:

x² - Sx + P = 0


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Site: GêniodaMatemática.com.br Exemplos: 1) Determine a soma e o produto das seguintes equações: a) x² - 4x + 3=0

Solução: Sendo a=1, b=-4 e c=3: 4 � abS 3

acP

b) 2x² - 6x -8 =0

Sendo a=2, b=-6 e c=-8 3 � abS 4�

acP

c) 4-x² = 0

Sendo a=-1, b=0 e c=4: 0 � abS 4�

acP

REGRA DE TRÊS

01) Um livro tem 300 páginas com 25 linhas em cada uma. Para reimprimi-lo, empregando os mesmos caracteres, quantas páginas de 30 linhas são necessárias? 02) Uma árvore de 4,2m de altura projeta no solo uma sombra de 3,6. No mesmo instante; uma torre projeta uma sombra de 28,80m. Qual a altura da torre? 03) Para transportar certo volume de areia para uma construção, foram necessários 20 caminhões de 4m3 de areia cada um. Se cada caminhão pudesse conter 5m3 de areia, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço? 04) Vinte homens podem arar um campo em seis dias, trabalhando 9h por dia. Quanto tempo levarão para arar o mesmo campo 12 homens trabalhando 5 horas por dia? 05) Com 4 kg de algodão pode-se tecer 14 metros de fazenda com 0,8m de largura. Quantos kg são necessários para produzir 350m com 1,2m de largura? 06) Um ciclista percorreu 150 km em dois dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 400 km pedalando 4 horas por dia?



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07) (ENEM) Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão do veículo, causas frequentes de acidentes. Ciente dessa responsabilidade e com base na experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar, no máximo, 1 500 telhas ou 1 200 tijolos. Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a carga máxima do caminhão?

08) (ENEM) Uma torneira não foi fechada corretamente e ficou pingando, da meia-noite às seis horas da manhã, com a frequência de uma gota a cada três segundos. Sabe-se que cada gota d’agua tem volume de 0,2 mL.Qual foi o valor mais aproximado do total de água desperdiçada nesse período, em litros?

09) (ENEM) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de 10) (ENEM) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é Respostas 1) 250 2) 33,60 3) 16 4) 18 5) 150 6) 4 7) 480 8) 1,4 L 9) 12kg 10) 5,6

PORCENTAGEM, ACRÉSCIMO E DESCONTO

07) Calcule: a) 15% de $3.000 b) 32% de 1500 c) 40% de 180 kg 08) Num concurso com 200 candidatos, 170 foram aprovados. A quantos por cento corresponde o número de candidatos aprovados? 09) Uma loja comercial oferece, nas compras acima de $5.000, um desconto de 5%. Quanto um cliente pagará por uma compra de $35.000? 10) Um pai resolveu presentear seus filhos, distribuindo entre eles $12.000. Desta quantia, Tiago recebeu 40%, Rodrigo 35% e Vanessa 25%. Quanto recebeu cada um de seus filhos?


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11) 12% dos moradores de uma cidade são estrangeiros. Qual é a população dessa cidade, sabendo que o número de estrangeiros é 2.400? 12) Uma mercadoria que custava $ 50 teve um aumento de 35%. Qual o novo preço da mercadoria?

13) Qual o preço original de uma mercadoria que após um aumento de 15% passou a custar $103,50? 14) Uma loja resolve liquidar o estoque remarcando todas as mercadorias com um desconto de 40%. Se uma mercadoria custa $ 80 qual será o seu preço nessa liquidação?

15) Após sofrer um desconto de 5% no seu preço, uma blusa passou a custar $ 9.500. Qual era o seu preço antes do desconto? 16) No 1o dia de um certo mês , uma ação estava cotada a $ 10. Do dia 1o até o dia 8 do mesmo mês, ela sofreu um aumento de 10%. Do dia 8 até o dia 15, sofreu uma queda de 5%. Qual era a cotação dessa ação no dia 15 daquele mês? 17) A medida do lado de um quadrado sofre um aumento de 10%. Em quantos por cento aumenta a área do quadrado? 18) Os aumentos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único aumento de? 19) ENEM O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de ações em Bolsa de Valores em um mês deverá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a Receita Federal consistirá em 15% do lucro obtido com a venda das ações. Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de ações que custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto de Renda à Receita Federal o valor de 20) ENEM Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras. Um cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de

Gabarito 7) a) $ 450 b) 480 c) 72kg 8) 85% 9) 33.250 10) $ 4.800, $ 4.200 e $ 3.000 11) 20.000 habitantes 12) $ 67,50 13) $ 90 14) $ 48 15) $ 10.000 16) $ 10,45 17) 21% 18) 56% 19) R$ 1200,00 20) R$ 4,00 Site: GêniodaMatemática.com.br



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EXERCÍCIOS DE VESTIBULAR 1) (UFRGS) O preço de um bem de consumo é R$100,00. Um comerciante tem o lucro de 25% sobre o preço de custo desse bem. O valor do preço de custo é: (a) R$25,00 (b) R$70,50 (c) R$75,00 (d) R$80,00 (e) R$125,00 2) (UFRGS) Num semestre a inflação foi de 32% e, ao final dele, um trabalhador teve reposição salarial de 20%. Para que o poder de compra desse trabalhador fosse mantido no mesmo patamar do início do semestre, o salário, já reajustado em 20%, deveria, ainda, sofrer um reajuste de: (a) 10% (b) 12% (c) 16% (d) 20% (e) 32% 3) (UFRGS) Uma loja instrui seus vendedores para calcular o preço de uma mercadoria, nas compras com cartão de crédito, dividindo o preço à vista por 0,80. Dessa forma, pode-se concluir que o valor da compra com cartão de crédito, em relação ao preço à vista, representa: (a) um desconto de 20% (b) um aumento de 20% (c) um desconto de 25% (d) um aumento de 25% (e) um aumento de 80% 4) (UFRGS) A quantidade de água que deve ser evaporada de 300g de uma solução salina (água e sal) a 2% (sal) para se obter uma solução salina a 3% (sal) é: (a) 90g (b) 94g (c) 97g (d) 98g (e) 100g 5) (UFRGS) Uma mercadoria que custa R reais sofre um desconto de 60%. Um aumento de 60% sobre o novo preço fará com que a mercadoria fique custando, em reais: (a) 0,36 R (b) 0,40 R (c) 0,60 R (d) 0,64 R (e) R 6) (UFRGS) Considerando uma taxa mensal constante de 10% de inflação, o aumento de preços em 2 meses será de: (a) 2% (b) 4% (c) 20% (d) 21% (e) 121% 7) (UFRGS) Aumentando-se a medida da base de um retângulo em 10% e a medida da altura em 20%, a área desse retângulo aumenta de: (a) 20% (b) 22% (c) 30% (d) 32% (e) 40%


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8) (UFRGS) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua área cresce: (a) 14% (b) 14,4% (c) 40% (d) 44% (e) 144% 9) (UFRGS) Uma pessoa comprou dois carros, pagando um total de 30 mil reais. Pouco tempo depois, vendeu-os por 28 mil reais, ganhando 10% na venda de um deles e perdendo 10% na venda do outro. Quantos reais custou cada carro? (a) 15.500 e 14.500 (b) 10.000 e 20.000 (c) 75.000 e 22.500 (d) 6.500 e 23.500 (e) 5.000 e 25.000 10) (PUCRS) Um aluno que realizou dois vestibulares acertou, no primeiro, 60% das questões propostas em Matemática e no segundo 75%. A taxa de variação correspondente à melhora de seu desempenho nessa disciplina foi de: (a) 25% (b) 20% (c) 18% (d) 15% (e)12% 11) (ULBRA) Um lojista compra de seu fornecedor um artigo por x reais (preço de custo) e o revende com um lucro de 50%. A seguir, ao fazer uma liquidação ele dá, aos compradores, um desconto de 35% sobre o preço de venda desse artigo. Pode-se afirmar que esse comerciante tem, sobre x, um: (a) prejuízo de 2,5% (b) prejuízo de 15% (c) lucro de 2,5% (d) lucro de 10 % (e) lucro de 15% 12) (Unisinos) Um comerciante pagou R$ 30,00 por um artigo. Ele pretende colocar uma etiqueta de preço nesse artigo de modo a poder oferecer um desconto de 10% sobre o preço de etiqueta e ainda ter um lucro de 20% sobre o preço de custo. Que preço deve marcar a etiqueta? (a) R$ 40,00 (b) R$ 39,60 (c) 39,00 (d) R$ 36,00 (e) R$ 32,40 13) (Unisinos) A quantidade de lixo de uma certa cidade tem aumentado em 3% ao ano. Essa quantidade, a cada ano, constitui uma progressão: (a)aritmética de razão 0,3 (b) aritmética de razão 1,3 (c) geométrica de razão 1,3 (d) geométrica de razão 1,03 (e) geométrica de razão 0,03


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14) (PUCRS) Um certo refresco é feito adicionando-se quatro partes de água para uma parte de essência de frutas. Se a quantidade de água é dobrada e a de essência é quadruplicada, então a porcentagem de essência na nova mistura é: (a) 30% (b) 33 1/3% (c) 50% (d) 60 2/3% (e) 80% 15) (PUCRS) Em uma fábrica com 100 empregados, 1% é do sexo masculino. O número de mulheres que devem ser dispensadas para que a quantidade de homens represente 2% do total é: (a) 1 (b) 2 (c) 49 (d) 50 (e) 51 16) (PUCRS) Se x% de y é 20, então y % de x é igual a: (a) 2 (b) 5 (c) 20 (d) 40 (e) 80 17) (ESPM) Numa loja, um objeto custa R$ 100,00 à vista. Uma pessoa compra esse objeto em duas parcelas iguais de R$60, 00, pagando a primeira parcela no ato da compra e a segunda parcela trinta dias depois. Os juros cobrados por essa loja foram a uma taxa mensal de: (a) 50% (b) 40% (c) 30% (d) 20% (e) 10% 18) (PUCRS) O valor de venda de um produto é R$ 33,00, estando aí incluído um imposto de 10%. Este imposto é, em reais, (a) 3,00 (b) 3,30 (c) 3,33 (d) 10,00 (e) 30,00 19) (ENEM) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês ela perdeu 30% do total do investimento e no segundo mês recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de Gabarito 1. d 2. a 3. d 4. e 5. d 6. d 7. d 8. d 9. e 10. a 11. a 12. a 13. d 14. b 15. d 16. c 17. a 18.a 19. R$ 5000,00

Operações de compra e venda Lucro e Prejuízo O que é e como calcular lucro De modo geral, podemos dizer que houve lucro quando o preço de venda supera o preço de compra. Portanto, lucro é a diferença entre o valor de venda e o valor de compra.

Preço de custo + lucro = preço de venda. Preço de custo – prejuízo = preço de venda. Como calcular: Com lucro Pv = Pc (1+ i) Com Prejuizo Pv = Pc (1- i)


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Exercícios 1) (PUC) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: 2) Uma mercadoria é vendida por 64,2 R$ e deu um lucro de 7%. Quanto custou a mercadoria 3) Vendi uma mercadoria por 300,00R$ com um prejuizo de 40% sobre o preço de custo. Quanto paguei pela mercadoria? 4) Comprei uma mercadoria por 3500,00R$ e vendi por 4700,00R$. Qual a taxa de lucro obtida? 5) Uma mercadoria é vendida por 200,00R$. Qual o preço de compra se elafoi vendida com: a) Prejuizo de 10% b) Lucro de 10% Gabarito 1) 80,00 R$ 2) 60,00 R$ 3) 500,00 R$ 4) 38% 5) a) 222,22R$ b) 181,8R$

FUNÇÃO EXPONENCIAL

1) DEFINIÇÃO: a função f : R o R dada por f (x) = ax com a z 1 e a > 0 é denominada função exponencial de base a e definida para todo x real. 2) GRÁFICOS y = ax




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Represente graficamente as funções: a) y = 5x b) y = (1/3)x c) y = (4/3)x d) y = 7-x e) f (x) = (5/16)-x f) f (x) = (0,3)x g) y = - 2 . 3x h) y = - 2 (1/3)x i) y = - 3x 3) EQUAÇÕES EXPONENCIAIS: chama-se equação exponencial toda equação que contém variáveis no expoente. 1º Caso (Testes de Vestibular) 1. (1/8)x = 128 2. 49x = 5 343/1 a) 2/3 a) -1/5 b) -4/3 b) 2/3 c) -7/3 c) 3/2 d) 1/3 d) -3/10 e) 5/3 e) 4/5

3. 2𝑥2−4𝑥−5 = 1 4. 1/125 = 625x a) 2 ; 6 a) -3/4 b) 3 ; -2 b) 2/3 c) 2 ; 4 c) 1/9 d) -1 ; 3 d) -4/8 e) -1 ; 5 e) 7/3 5. 33 xx bb � 6. 8x - 9 = 16x / 2 a) 9 a) 27 b) 2 b) 15 c) 3 c) 12 d) 5 d) 3 e) 7 e) 7

7. 5x = X 25 8. xx 927 1 � a) r 2 a) 1/3 b) r 3 b) 2/5 c) r 2 c) 6/5 d) r 3 d) -1 e) r 1 e) 1


25

x

2 - 4

09) 0,2x = (1/125)x - 6 10) 10 . 2 = 320 a) 3 a) -3 b) 5 b) 3 c) 2 c) -3 ; 3 d) 9 d) 2 e) 1 e) 2 ; -2 2º Caso (mais de dois termos sem somatório no expoente) 11. 8 . 2x + 4 - 4 . 2x = 68 12. 22x - 5 . 2x + 4 = 0 a) 1 a) 0 e 1 b) 2 b) 3 c) 3 c) 0 e 2 d) 4 d) 3 e 1 e) 5 e) 2 13. 9x + 3 = 4 . 3x 14. 510x - 10 . 55x - 5 = -30 a) 0 ; 2 a) 1/3 b) 0 ; 1 b) 2 c) 2 c) -1 d) 3 d) -2 e) 4 e) 1/5 3º Caso (mais de dois termos com somatório no expoente) 15. 3x + 1 + 3x - 2 - 3x - 3 + 3x - 4 = 750 16. 3x + 2 - 27 = 6 . 3x a) -2 a) 0 b) -1 b) 3 c) 5 c) 1 d) 3 d) -2 e) 12 e) 2 17. (UFRGS) 2x-1 > 128. 18. Sabendo que 3x - 32 - x = 8, calcule o Os valores permitidos para X são: valor de (15 - x2). a) {XЄR|xd6} a) 11 b) {XЄR|xd8} b) 21 c) {XЄR|X>8} c) 31 d) >2, 3@ d) 41 e) >0, 8@ e) 51 19. 20. 3 x - 2

3x - 2 . 52x = 153x + 1 . 3-1 210 = 1024




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21. (ITA) Seja α um número real, com 0 < α < 1. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de x tais que:

1122

2 �»¼

º«¬

ªx

x

DD

a) ] – f, 0 ] ��[ 2, + f�[ b) ] – f, 0 [ ��] 2, + f�[ c) ] 0, 2 [ d) ] – f, 0 [ e) ] 2, + f�[

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

DEFINIÇÃO: o logaritmo de um número real e positivo “b” na base “a” positiva e diferente de 1, é o número “x” ao qual se deve elevar a para se obter b.

log a b = x b = ax

• Condição de existência: °¯

°®

z!!

1)30)20)1

aab

1- Conseqüências da definição 1) log a 1 = 0 2) log a a = 1

3) log a am = m 4) baalog

= b OBS: No sistema decimal ou sistema de base 10 é comum omitir a base na representação:

log 10 x = log x LEMBRE - SE:

log 10 = 1 log 100 = 2 log 1000 = 3 log 10000 = 4 log 0,1 = -1 log 0,01 = -2 log 0,001 = -3 log 0,0001 = - 4


27

Testes de vestibular: 1. log 2 x = 7 2. log 1/3 x = 2 a) 72 a) 1/9 b) 54 b) 1/3 c) 128 c) 1/5 d) 40 d) -3/2 e) 102 e) -1/4 3. log x 27 = 3 4. log x 125/8 = 3 a) 1 a) 2 b) 3 b) -7/5 c) 5 c) 12 d) 7 d) 5/2 e) 9 e) 2/3 5. log 3 1/9 = x 6. log 4 1/32 = x a) -1 a) 2/5 b) -2 b) 5/2 c) -3 c) -5/2 d) -4 d) -2/5 e) -5 e) 0 7. log x 82 8. log 0,01 = - x a) 2 a) 2 b) 3/2 b) -1 c) 1/4 c) -2 d) -1 d) 5 e) 0 e) 1 9. log 5 (3x + 1) = 2 10. log 3 (5x - 7) = 0 a) 1 a) 2/5 b) 7 b) 4/5 c) 9 c) 7/5 d) 8 d) 8/5 e) 2 e) 1 11. (UFRGS) Se log 2 x = 3/2 quais as afirmações que são verdadeiras

a) x é racional b) x é irracional c) 2 < x < 3 a) somente a b) a e b c) b e c d) a, b e c e) somente c 12. (UFRGS) O conjunto solução da inequação log 1/3 x < 2 é a) {x � R / x > 2} b) {x � R / x < -5} c) {x � R / x > 1/9} d) {x � R / x > 0} e) {x � R / x < 0}


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Site: GêniodaMatemática.com.br Propriedades logarítmicas:

1) log A . B = log A + log B 2) log A/B = log A - log B

3) log AB = B . log A Testes de Vestibular : 13. log 5 x - log 5 2 = 2 14. log2 (3x - 1) + log2 x = 1 a) 20 a) 1 b) 50 b) 2 c) 60 c) 3 d) 80 d) 4 e) 100 e) 5 15. log 5 x - 2 . log 5 4 = 1 16. log 4 x + log 4 (x - 5) = log 4 3 + log 4 23 a) 30 a) 3 b) 40 b) 4 c) 60 c) 5 d) 80 d) 8 e) 90 e) 10 17. log 3 (x2 - x - 6) = log 3 4 + log 3 (x - 3) 18. (log 3 x)2 - log 3 x - 6 = 0 a) 0 a) 27 b) 1 b) 1/9 c) 2 c) 1/3 d) 3 d) 1/3 ; 1/9 e) { } e) 27 ; 1/9 19. (PUCRS) Se log 2 = a e log 3 = b, então o valor de x em 8x=9 é 20. (PUCRS) Se o par (x1, y1) é solução do sistema de equações:

?,19log102.3

0log.162

1

1 °̄°®

�

�yxentão

yy

x

x

21. (PUC) Se log 5 = x e log 3 = y , então log 375 é : a) y + 3x b) y + 5x c) y - x + 3 d) y - 3x + 3 e) 3 (y + x)



29

Uma das conseqüências da definição:

°̄°®

�

bAZBAA

ZA

ZBA

log

log

logo: AlogAB = B

22. 4log

47 23. 8log

8x . 8log

84x = 1 24. 5log

43 . log

54

Mudança de Base: até o momento em todas as propriedades utilizadas as bases eram iguais, quando isto não ocorrer devemos aplicar a operação Mudança de Base .

log b a = log c a log c b

25. (UFRGS) Sendo log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4. O log 2 6 é: a) 7/3 b) 1/3 c) -2/ d) -1/3 e) 2 26. Efetue o produto log 32 . log 25 . log 53

Gráficos da função logarítmica f (x) = log a x

CRESCENTE

base a > 1

DECRESCENTE

base 0 < a < 1


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27) (UFRGS) A representação geométrica que melhor representa o gráfico da função real de variável real x, dada por f (x) = log 1/2 x , é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

O enunciado nos diz que o logaritmo pedido possui base igual a 1/2, ou seja, sendo um valor entre 0 e 1 só pode ser um logaritmo decrescente.

Dentre as alternativas, somente as letras A e D são decrescentes, mas somente a alternativa A corta o eixo x no ponto 1.

Resposta correta, letra A.

Devemos saber também que, quanto maior a base de um logaritmo, mais próximo de ambos os eixos estará seu gráfico. Veja a figura ao lado.




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28) (UFRGS) Na figura, a curva S representa o cunjunto solução da equação f (x) = log a x e a curva T, o conjunto solução da equação f (x) = log b x . Tem-se

Os dois gráficos representam logaritmos crescentes, ou seja, ambas as bases são maiores do que 1. Ficamos então entre as alternativas B e C.

Devemos então saber qual a relação entre a e b. Como a curva S está mais próxima dos eixos x e y do que a curva T, então sua base é maior (a > b).

Portanto, resposta correta, letra B. 29) (ITA) Considere a equação em x ax + 1 = b1/x, onde a e b são números reais positivos, tais que ln b = 2 ln a maior que 0. A soma das soluções da equação é a) 0. b) –1. c) 1. d) ln2. e) 2

30) (UFRGS) A soma 2019log...

54log

43log

32log �� é igual a

A0 –log 20. b) –1. c) log 2. d) 1. e) 2. Respostas: 01)c 02)a 03)b 04)d 05)b 06)c 07)b 08)a 09)d 10)d 11)c 12)c 13)b 14)a 15)d 16)d 17)e 18)e 19) 2b/3a 20) 3c 10 /10 21)a 22) 7 23)1/2 24)3 25)a 26)1 27))resolvida 28)resolvida 29)b 30)b Site: GêniodaMatemática.com.br

(A) a < b < 1

(B) 1 < b < a

(C) 1 < a < b

(D) b < a < 1

(E) b < 1 < a



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POLINÔMIOS

1) DEFINIÇÃO:

Toda função definida pela relação P(x) = ax n + bx n - 1 + cx n - 2 +.... + zxo é denominada função polinomial ; onde a , b , c ... são os coeficientes. 2) VALOR NUMÉRICO:

O valor numérico de um polinômio P(x) p/ x = a é o número que se obtém substituindo “x” por “a”. Se P(a) = 0 o número “a” é denominado raiz ou zero da função. 3) POLINÔMIOS IDÊNTICOS:

A condição necessária para que dois polinômios sejam iguais é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.

Aplicação: (PUCRS) Se – x – 14 = A + B , então A + B é : x2 + 3x- 4 x – 1 x + 4 a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2


Uma curiosidade da Química:

pH=-log[H]

Em uma solução de 1 litro, encontramos 0,01 mol de íons hidrogênio. Esta solução é ácida, básica ou neutra? A concentração de íons hidrogênio é de 0,01 mol/l, ou seja, [H] = 10-2mol/l. Assim, concluímos que pH=-log10-2 = 2. Trata-se, portanto, de uma solução ácida, pois o pH<7.Inseri este exemplo, só para terem uma noção de que as ciências são intimamentes ligadas. Conhecimentos de matemática são utilizados constantemente na física, na química, na biologia e em demais matérias.



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4) TEOREMA DO RESTO (Dalambert) :

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo Binômio ax + b é igual a P(-b/a)

Dalambert (aplicação):

1) Determine k para que o polinômio P(x)=kx3+2x2+6x-2 seja divizivel por x+3

2)O valor de m para que o resto da divisão do polinômio P(x) = mx3 – 5x2 + 8 por x+1 seja 3 é

5) DIVISÃO DE POLINÔMIOS:

A(x) B(x) Q(x) . B(x) + R(x) = A(x) Q(x) A(x) = dividendo Q(x) = quociente R(x) B(x) = divisor R(x) = resto

6) SOMA DOS COEFICIENTES DE UM POLINÔMIO:

Para calcular a soma S dos coeficientes de um polinômio P(x) , basta calcular o valor numérico do polinômio para x = 1 ou seja, calcular P(1).

7) NÚMERO DE RAÍZES DE UM POLINÔMIO (UFRGS) Um polinômio de coeficientes reais tem termo independente nulo, é divisível por x2 – 1 e tem 2 – i como raiz de multiplicidade 3. O conjunto de valores que o seu grau n pode assumir é : a) ^ n H N / n t 2 ` d) ^ n H N / n t 8 ` b) ^ n H N / n t 5 ` e) ^ n H N / n t 9 ` c) ^ n H N / n t 6 `

Propriedades importantes:

P1 - Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes . Exemplo: a equação x3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.

P2 - Se b for raiz de P(x) = 0, então P(x) é divisível por x - b. Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação, o que se consegue dividindo P(x) por x - b, aplicando Briot-Ruffini. Briot - matemático inglês - 1817/1882 e Ruffini - matemático italiano - 1765/1822.

P3 - Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0, então o conjugado a - bi também será raiz. Exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são os números 5, 3 + 2i e 4 - 3i. Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes.


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P4 - Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k. Exemplo: a equação (x - 4)10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4 . Portanto 4 é raiz décupla ou de multiplicidade 10. Outro exemplo: a equação x3 = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas). A equação do segundo grau x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x’ = x’’ = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.

P5 - Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula, então a unidade é raiz da equação (1 é raiz). Exemplo: 1 é raiz de 40x5 -10x3 + 10x - 40 = 0 , pois a soma dos coeficientes é igual a zero .

P6 - Toda equação de termo independente nulo, admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável. Exemplo: a equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes nulas. A equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas!

P7 - Se x1 , x2 , x3 , ... , xn são raízes da equação aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0 , então ela pode ser escrita na forma fatorada :

a . (x - x1) . (x - x2) . (x - x3) . ... . (x - xn) = 0

Exemplo: Se - 1, 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau, então podemos escrever (x+1). (x-2). (x-53)= 0 que desenvolvida fica: x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0. (verifique!).

Relações de Girard - Albert Girard (1590-1633).

Para uma equação do 2º grau, da forma ax2 + bx + c = 0, já conhecemos as seguintes relações entre os coeficientes e as raízes x1 e x2:

x1 + x2 = - b/a e x1 . x2 = c/a .

Para uma equação do 3º grau, da forma ax3 + bx2 + cx + d = 0, sendo x1, x2 e x3 as raízes, temos as seguintes relações de Girard:

x1 + x2 + x3 = - b/a x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a

x1.x2.x3 = - d/a

Exemplos:

a) P(x) = 2x4 + 3x2 - 7x + 10 o S = P(1) = 2 + 3 - 7 + 10 = 8. b) Qual a soma dos coeficientes de S(x) = x156 + x? Ora, substituindo x por 1, encontramos S = 2. (Lembre-se que 1156 = 1).




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Gráficos de polinômios

Grau par Grau impar

Extremidades iguais Extremidades diferentes

a < 0 a > 0

Determine o gráfico das funções

a) P(x) = 3 (x -1)2 . (x + 2) b) P(x) = x3 – 4x2 + 3x

c) Determine a equação dos gráficos abaixo

-3 2 -2 5 -1 1 4




36

Resolvendo equações pela forma fatorada 1) x3+x=0 2) x3-x2-4x+4=0 3) x3+3x2+x+3=0 4) x4+5x3-4x2-20=0 5)x3+2x2+x+2=0 Exercícios e Testes de Vestibular : 1. Determine o valor numérico do polinômio 2. (UFRGS) - O polinômio P(x) = 3x2 - 2x + 5 para x = -1. p(x) = ax4 + 3x3 - 4x2 + dx - 2, com a z 0,admite 1 e -1 como raízes. Então a e d valem: 3. Dado P(x) = 13x7 + x3 - 15 encontre P(0). 4. (PUC) - O complexo 1 - i é raiz da equação x4 - 2x3 - 2x2 + 8x - 8 = 0. As outras raízes são a) -2, 2 e i b) 2, 3 e 1 + i c) -2, 2 e 1 + i d) 0, 2 e 1 + i e) -i, i e 1 + i 5. Determine o valor de k , de modo que 3 seja 6. Determinar m , n , p de modo que o polinômio raiz do polinômio P(x) = x3 - kx+ 1 P(x) = (m + 1) . x2 - px + n seja identica- mente nulo. 7. Sendo (m - n).x2 - (n - 1).x + p { 0, obter 8 (UFRGS) - Se a = x + y, b = x - y m , n e p. 2 2

c = 𝑥 . 𝑦, onde x e y são números reaise tais que x.y > 0 , então uma relação entre a2, b2 e c2 é

a) a2+ b2-c2 =0 b) a2-b2-c2 =0 c) a2+b2+c2 =0 d) a2 - b2 + c2 = 0 e) a2 = b2 = c2


37

9. Calcular m , n e p para que os polinô- 10) (UFRGS)- Se a é uma raiz do poli- mios P(x) = (m + n)x2 - 5x + p - 3 e nômio p(x) e b é uma raiz do polinômio q(x), Q(x) = 3x2 + (n - 3)x + 7 sejam idênticos. então a)p(b) / q(a) =1. b)p(a) . q(b) =1. c)p(a) + q(b) =1. d)p(b) . q(a) =0. e)p(a) + q(b) =0. 11. Sabendo que -3 é raiz de 12. (3x3 - 2x + 8x2 + 3) y (3 + x) P(x) = x3 + 4x2 - ax + 1 , calcular o valor de a. 13. (10x3 - x + 1) y (2x2 + 5) 14. (2a5 - 5a - 9a3) y (1 + 2a2) 15. (x8 - 4x + 3x7 - 12) y (x + 3) 16. (5a3b2x - 20a4bx3 - 15a3b2xy) y (5a2b) 17.Determinar o resto da divisão do polinômio 18.Calcular m de modo que x5 - (m + 1)x3 - 5 x9 - 3x5 + x - 1 pelo binômio x - 2. seja divisível por x + 1. 19. (UFRGS) O valor de a para que 20) Sabendo que 2 é raiz da equação (a2 - 1)x4 + (a2 - a - 2)x3 + ax2 + x-4 x3 + 2x2 -13x + 10 = 0, determine o conjunto solução seja polinômio do 2o grau. 21. x−2

x2+ x ≡ A

x+1 +

BX

o valor de A - B é Site: GêniodaMatemática.com.br



38

22. (UFRGS) Na figura abaixo está representado o gráfico de um polinômio de grau 3. A soma dos coeficientes desse polinômio é a) 0,5. b) 0,75. c) 1. d) 1,25. e) 1,5. 23. (UFRGS) Sabendo-se que i e –i são raízes da equação x4 – x3 – x – 1 = 0, as outras raízes são

a) .2

21e2

21 ��

b) .2

31e2

31 ��

c) .2

51e2

51 ��

d) .2

61e2

61 ��

e) .2

71e2

71 ��

24. (UFRGS) Considere o gráfico abaixo. Esse gráfico pode representar a função definida por a) f(x) = x3 + 5x2 – 20x. b) f(x) = x3 + 5x2 – 4x – 20. c) f(x) = x4 + 5x3 – 20x – 4. d) f(x) = x4 + 5x3 – 4x – 20. e) f(x) = x4 + 5x3 – 4x2 – 20x.

-1

2

1 x

y

2 -2 3

1

3

-1

x

y

50 40 30 20 10

-10 -20 -30 -40 -50

-1 -2 -3 -4 -5 -7 -6 1 2 3 4 5 0


39

25. (ITA) A soma das raízes da equação 2x4 - 3x3 + 3x - 2 = 0 é: 26. (UFRGS) Sabendo-se que o polinômio x4 + 4x3 + px2 + qx + r é divisível por x3 + 3x2 + 9x + 3, segue que p é igual a a) 3. b) 6. c) 9. d) 12. e) 15. 27. (UFRGS) A soma dos coeficientes do polinômio (x2 + 3x – 3)50 é a) 0. b) 1. c) 5. d) 25. e) 50. 28. (PUCRS) O menor grau possível de um polinômio de coeficientes reais que possui como raízes 1 – 3i e 5 é a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 4 Respostas : 01) 10 02) a = 6 e d = -3 03) -15 04) -2, 2 e 1 + i 05) 28/3 06) -1 ; 0 ; 0 07) 1 ; 1 ; 0 08) b 09) 5 ; -2 ; 10 10)e; 11) -10/3 12) 3x2 - x + 1 13) 5x 14) a3 - 5a 15) x7 - 4 16) abx - 4a2x3 - 3abxy 17) 417 18) 5 19) -1 20) 1 ; 2 ; -5 21) 5 22)b 23)c 24)e 25)3/2 26)c 27)b 28)b

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)

1) DEFINIÇÃO : é uma seqüência numérica em que cada termo , a partir do segundo é igual ao anterior somado com um no fixo , chamado razão. 2) REPRESENTAÇÃO de uma P.A de “n” termos (a1 , a2 , a3 , . . . , an) a2 - a1 = a3 - a2 = . . . = an - an - 1 = r (razão) Onde n é o no de termos , a1 é o primeiro termo e an é o último termo , temos :

an = a1 + (n - 1) . r 3) SOMA DOS TERMOS : S = (a1 + an) . n 2 4) SEGUÊNCIA DE SEGUNDA ORDEM Site: GêniodaMatemática.com.br



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Testes de Vestibular : 1. O décimo primeiro termo da PA (5 , 9 , ...) 2. Numa PA , a1 = 10 , r = 7. Calcular a13 . a) 26 a) 20 b) 42 b) 25 c) 72 c) 35 d) 94 d) 40 e) 96 e) 45 3. Numa PA de 10 termos , os extremos valem 4. Numa PA o quinto termo é 26 e o oitavo 5 e 32. Calcular a razão. termo vale 2 , a razão é: a) 1 a) -4 b) 2 b) -6 c) 3 c) -8 d) 4 d) -10 e) 5 e) -12 5. A expressão geral de uma PA é 6. Os valores de x e y na PA (-7 , x , 11 , y) an = 5n + 3 , determinar a) 2 ; 10 a) Os dois primeiros termos. b) 2 ; 20 b) Razão. c) 1 ; 4 c) O 23º termo. d) 1 ; 10 e) 4 ; 10 7. Sendo (a , b , c , d) uma PA e b = 2d, os 8. O próximo termo da PA (x - 1, 3 + 2x, valores de a e c são respectivamente ? 4x + 6 , ...) é ? a) 2d e 3d a) 5 b) 3d/2 e d b) 10 c) d e 2d c) 15 d) 3d/2 e 2d d) 20 e) 5d/2 e 3d/2 e) 25 9. As medidas de um lado de um triân - 10) A soma dos termos de uma PA onde to - gulo são expressas por : x + 1 ; 2x ; x2 - 5 dos os termos são positivos (x2+6, 5x+5, 5x2) é e estão em PA nesta ordem. O perímetro do triângulo mede ? a) 24 a) 15 b) 30 b) 20 c) 34 c) 25 d) 40 d) 45 e) 44 e) 50 11) Os dois primeiros termos da PA cuja 12) (UFRGS)-As medidas do lado, do pe- soma dos n primeiros termos é n2 + 4n rímetro e da área de um triângulo equilátero para todo n são respectivamente : são, nessa ordem, números em progressão a - a) 2 e 5 ritmética. A razão dessa progressão é b) 5 e 7 a) 20 3 / 3 c) 7 e 9 b) 20 d) 9 e 11 c) 4 3 / 3 e) 1 e 3 d) 20 3 e) 40 3


41

13. A soma do quarto termo com o oitavo é 48. A diferença do sétimo com o terceiro é 12. Determine o quarto termo. a) 10 b) 14 c) 16 d) 17 e) 18 14. Em uma PA temos a4 + a15 = 805 e a1 + a9 = 598 , a razão vale ? 15. O primeiro termo de uma PA é 4 e a soma dos 10 primeiros é 80. A razão vale ? 16. Determinar a soma dos nos compreendidos entre 201 e 427 que são múltiplos de 5. 17. Interpolando 5 meios aritméticos entre 2 e 8 2 a razão é ? 18. Inserindo 4 meios aritméticos entre 3 e 33 a razão é ? 19.(ITA) Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a 5º. Então, seu maior ângulo mede, em graus ? Dica Si=(n-2).180 a. ( ) 120 b. ( ) 130 c. ( ) 140 d. ( ) 150 e. ( ) 160 20. (PUCRS) As quantias, em reais, de cinco pessoas estão em progressão aritmética. Se a segunda e a quinta possuem, respectivamente, R$ 250,00 e R$ 400,00, a primeira possui a) R$ 200,00 b) R$ 180,00 c) R$ 150,00 d) R$ 120,00 e) R$ 100,00 21. (ENEM) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é


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Respostas : 01) e 02) d 03) c 04) c 05) a) a1 = 8 , a2 = 13 ; b) r = 5 ; c) 118 06) b 07) e 08) c 09) a 10) d 11) b 12) c 13) e 14) 23 15) 8/9 16) S = 14175 ; n = 45 17)7 2 / 6 18) 6 19)e 20)a 21) 24 4) SEGUÊNCIA DE SEGUNDA ORDEM

an = a1 (primeira ordem) + Sn-1(segunda ordem) Exemplos 1) Qual o 200 termo (2, 5, 11, 20,32,...) 2) Qual é o último termo da vigésima linha 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3) Qual o total de quadrados da figur 20.

4) (UFRGS) Considere a disposição de números abaixo. O primeiro elemento da quadragésima linha é a) 777. b) 778. c) 779. d) 780. e) 781.

Gabarito 1) 210 2) 782 3) 761 4) e


1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . .



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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)

1) DEFINIÇÃO : é uma seqüência de números não nulos , em que cada termo posterior , a partir do segundo , é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado de razão da progressão. 2) REPRESENTAÇÃO de uma PG de “n” termos (a1 , a2 , a3 , . . . , an) 𝐚𝟐𝐚𝟏

= 𝐚𝟑𝐚𝟐

= 𝐚𝟒𝐚𝟑

= . . . . = 𝐚𝐧 𝐚𝐧−𝟏

= q(razão) Onde n é o número de termos , a1 é o primeiro termo , an é o último termo , temos :

an = a1 . qn - 1 3) SOMA DOS TERMOS da PG finita

Sn = a1 . (qn - 1) q - 1

4) SOMA DOS TERMOS da PG infinita Sn = a1 1 - q 5) PRODUTO DOS TERMOS

P = ( a1 . an )n / 2

Testes de Vestibulares 01) O décimo termo da PG (1/81, 1/27, 1/9,...) 02) Numa PG de 6 termos onde o primeiro é 1/8 e a razão é 4 , o último termo vale a) 34 a) 27 b) 35 b) 43 c) 36 c) 25 d) 37 d) 47 e) 38 e) 29 Site: GêniodaMatemática.com.br



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03) Numa PG o primeiro termo é 1/243 , o úl- 04) O quinto termo de uma PG crescente é timo é 9 e a razão vale 3. Calculando o núme- 162 e o terceiro termo é 18 , o primeiro ro de termos , encontramos : termo e a razão valem : a) 7 a) 1 e 2 b) 8 b) 2 e 3 c) 9 c ) 3 e 4 d) 10 d) 4 e 5 e) 11 e) 5 e 6 05) Os valores a , b , c na PG ( 2 , a , b , c , 06) Se M = 41.42.43.44. ... .4n, então n M 4 2 ) é igual a a) 2n + 1 b) 2n c) 2n - 1 d) 2n - 2 e) 2-n 07) Calcule a soma dos 12 primeiros termos 08) Qual o limite da soma da PG (1 , 1/3 , da PG (1 , 2 , 4 , . . . ) 1/9 , . . .) a) 2 b) 3 c) 3/2 d) 4 e) 5 09) A soma dos infinitos termos da PG 10) Na PG ilimitada decrescente (5 2 ....) (2a + 2 , (2a + 2)/a2 , (2a + 2)/a4 , . . .) onde Lim n o f Sn = 5 , a razão vale : a) a2 a) 3 b) 2a2 b) 2 c) (a - 1)/a2 c) 2 - 1 d) (2a2)/(a - 1) d) 1 - 2 e) a2 - 1 e) 3 / 2 11) Os três primeiros termos da PG valem : 12) Dada a PG (1 , ( 2 + 5)/ 17 , . . .) . 2x + 1 , 11 x � e 4. A razão vale : O limite da soma de seus termos será : a) 3 b) 2 c) 3 d) 1 e)2 3 /3


45

13) Na PG temos a5 + a3 = 360; 14)(PUCRS-2003)A razão da PG cuja Calcule a1 e q. a6 + a4 = 1080 soma é 0,343434... é : a) 1/1000 b) 1/100 c) 1/10 d) 10 e) 100 15) A seqüência numérica (a, a2, a3, a4, ...) é decrescente; logo, "a" está no conjunto a) (-∞,-1 ) b) (-1,0) c) (1,+ ∞) d) (0,1) e) {-1,1} Respostas : 01) b 02) a 03) b 04) b 05) 2 ; 2 2 ; 4 06) a 07) 212 - 1 08) c 09) d 10) d 11) e 12) 17 (12 + 2 ) / 142 13) a1 = 4 ; q = 3 14) b 15)d

GEOMETRIA PLANA

Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.


Â + Î = 180 graus Ê + Ô = 180 graus Â + Ê + Î + Ô = 360 graus



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Círculo Hexágono regular A = CxR/2 ap = L 3 / 2 A = 2SRxR/2 R A = SR2 C = 2SR A = 6 L2 3 / 4 ap

Triângulos

Ângulos de um triângulo

A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. (fig. 24)

Em todo triângulo, qualquer ângulo externo tem medida igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. (fig. 25)

Os ângulos A e A' são iguais (duas paralelas cortadas por uma trasversal). Os ângulos B e B' são iguais por serem alternos internos. Os ângulos C e C' são iguais por serem opostos pelo vértice. Asim vê-se que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180o




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Como calcular a altura em função do lado?

A altura divide o triângulo em dois triângulos retângulos iguais.


48

Qual é a relação entre o lado do triângulo e o raio da circunferência circunscrita ?

O ponto O é o circuncentro, o ortocentro e também o baricentro, logo dista do vértice 2 / 3 da altura.

Qual é o valor do apótema do triângulo equilátero ?

Chamamos de apótema ao segmento de reta que une o circuncentro ao ponto médio de um lado. O seu valor é 1 / 3 da altura ou seja a metade do raio R

Como calcular o raio da circunferência inscrita?

O raio da circunferência inscrita é igual ao apótema.


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Qual é o valor da área do triângulo equilátero?

A área de um triângulo é igual à metade do produto da base pela altura.

Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas. Testes de Vestibular : 1. Calcular a altura de um triângulo equilátero 2. Determinar a área de um triângulo equilá- de lado 2 3 tero de lado 4. a) 6 a) 3 b) 5 b)2 3 c) 4 c)3 3 d) 3 d)4 3 e) 2 e)5 3 Site: GêniodaMatemática.com.br



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3. Calcular o lado de um triângulo eqüilátero 4. A área de um triângulo eqüilátero é 8 3 m2. inscrito num círculo de 2cm de raio. Calcular o lado deste triângulo. a) 3 a) 4 2 b) 2 3 b) 2 c) 3 c) 2 d) 1 d) 3 e) 4 e) 7 5. Qual o apótema de um quadrado de 6. Qual a área de um quadrado 6 cm de lado cuja diagonal mede 10cm. a) 1 a) 10 b) 2 b) 20 c) 3 c) 30 d) 4 d) 40 e) 5 e) 50 7. Qual o apótema de um quadrado 8. Calcular a área de um quadrado inscrito num círculo de 4cm de raio ? inscrito num círculo de 4Sm2 de área. a) 1 a) 6 b) 2 2 b) 7 c) 2 c) 8 d) 3 2 d) 9 e) 3 e) 10 9. Qual é a área de um hexágono regular 10. Determine o apótema de um hexágono de 4cm de lado ? regular de lado 8. a) 24 3 a) 2 3 b) 24 b) 3 3 c) 3 c) 4 3 d) 12 d) 3 2 e) 12 3 e) 4 2 11. Qual a área de um hexágono regular 12. Sendo o apótema de um triâng. equilát. inscrito num círculo de raio 3cm ? 2m, determine a área do círculo circunsc. a) 9 3 a) 16Sm2 b) 27 2/3 b) 16m2 c) 27/2 c) Sm2 d) 12 3 d) 12Sm2 e) 12 e) 7Sm2 Site: GêniodaMatemática.com.br



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13. Os lados de um retângulo de área x2 - x medem x - 4 e 2x + 3. O perímetro deste retângulo é ? 14) determine a área de cada setor circular sombreado nos casos abaixo:

a) b) c) d)

15) Calcule a área da parte sombreada, sabendo-se que o quadrilétro dado é um quadrado.

a) b) c) 16) Calcule a área da superfície sombreada.

a) b) c)


40º 70º

10m

6m

a a a

a a a



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17) Determine a área sombreada, nas figuras abaixo, sabendo que os três quadrados ABCD têm lado medindo 2cm.

a) b) c) 18) Determine a área da região sombreada.

a) b)

19) (ENEM) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça. Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%. Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em? 20) (ENEM) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:

Utilize 1,7 como aproximação para √3. O valor de R, em centímetros, é igual a Site: GêniodaMatemática.com.br

A B

C D

A B

D C

A B

C D

10 10

10 10

5 5

5 5



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21) (ENEM) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento.

A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é Respostas : 01) d 02) d 03) b 04) a 05) c 06) e 07) b 08) c 09) a 10) c 11) b 12) a

13) c 14) a) 25π m2, 10π m b) 36π m2, 12π m c) 4d 2S , πd

14) a) 4π m2 b) 7π m2 c) 30m2 d) 18m2

15) a) 4

a).4( 2S� b) 2

a).2( 2�S c) 4

a).4( 2S�

16) a) 4

a).2( 2�S b) 2

a).4( 2S� c) 2

a).2( 2�S

17) a) 2

)8( S� cm2 b) 2(π - 2) cm2 c) (4 - π) cm2

18) a) 100(4 - π) b) 225 (2 3 - π) 19) 36% 20)74 21) 8

Lei dos Senos e Cossenos 1. (Regis) - A figura que segue mostra o triângulo ABC em que AC = 20dm. A medida de AB, em dm, é: a) 20 2 A

b) 15 2

c) 10 2 45o

d) 20 3 B 30o C

e) 10 3 2. (Regis) - Sen 105o é igual a :

a) 2 + 6 d) 2 + 6

b) 6 - 2 2

2 e) 2 + 6

c) 6 - 2 4 4


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3. (Regis) - O valor de x no triângulo abaixo é : a) 18 3

b) 15 2 45o 12

c) 12 3 30o

d) 12 2 x

e) 10 3 4. (Regis) - A medida do lado x, no triângulo que segue, é expressa por : a) a 2

b) a 3 a x

c) a 5 60o

d) a 6 3a

e) a 7 5. (PUCRS) – O valor de 4sen 15o é : a) 2

b) 2 6 d) 6 + 2

c) 2 - 6 e) 6 - 2 6. (PUCRS) – A medida do lado AB na figura é : a) 5 b) 5 3 A

c) 10 2 B 75o 60o

d) 12 2 r = 10

e) 15 2 C 7. (UFRGS) – Na figura, D = S / 6 radianos, E = S / 12 radianos e AC mede 15 2 . A distância de B a C é : a) 10 B

b) 10 6 c) 15 d) 15 2 A D E C

e) 15 3 15 2 8. (PUCRS) – Se num triângulo ABC são conhecidos m (CÂB) = 30o, m (AB) = 8 3 m e m (BC) = 8m, então o lado AC mede, em metros : a) 24 ou 12 c) 12 ou 6 e) 4 b) 16 ou 8 d) 4 3 9. (UFRGS) – Os lados de um paralelogramo medem cada um 3cm, e o menor ângulo que eles formam mede 60o. A medida, em cm da maior das diagonais deste paralelogramo é : a) 3 3 c) 3 2 e) 5

b) 3 2 - 3 d) 2 + 3 Site: GêniodaMatemática.com.br



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10. (UFRGS) – Na figura abaixo a = 14, b = 10 e c = 6. A medida do ângulo T é : A a) 150o b) 120o c) 90o b T c d) 60o e) 30o a 11. (UFRGS) – O segmento AB é uma corda do círculo de centro 0 e diâmetro 12, com o ângulo A0B medindo 150o. A área do triângulo A0B é : a) 9 c) 9 3 e) 36

b) 9 2 d) 18 12. (PUCRS) – O triângulo isósceles, cuja base mede 60 cm e os ângulos da base 30o cada um, tem perímetro igual a : a) 20 3 + 60 d) 100 3

b) 40 3 + 60 e) 100 6

c) 40 6 + 60 13. (UFRGS) – Na figura AB = 3 e BC = 2. A cossesc D é : a) 2 3 / 3 B

b) 2

c) 3 D 30o

d) 2 A C e) 3 14. (PUCRS) – No triângulo ABC são conhecidos os lados a e b e o ângulo C. A área do triângulo é igual a : a) a . b 2 A b) a . b 2senC c b c) a . b 2cosC d) a . b . sen C B C 2 a e) a . b . cos C 2 Gabarito: 1)a 2)e 3)d 4)e 5)e 6)c 7)c 8)b 9)a 10)b 11)a 12)b 13)e 14)d Teorema de Tales nos triângulos Traçando uma reta p paralela a s passando pelo vértice A, temos um feixe de retas paralelas, que corta duas transversais. Pelo teorema de Tales:

http://1.bp.blogspot.com/-qdDr23qV4Ag/UEPVPo8fY3I/AAAAAAAAB-I/FdP2yQyzTVg/s1600/tales.png


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Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo e que cruza os outros dois lados, divide esses dois lados em segmentos de reta proporcionais.

Exemplo 1 Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

Resposta: AB = 5 e BC = 6

Exemplo 2 Determine o valor de x na figura a seguir:

Resposta: x=10

GEOMETRIA ESPACIAL

2p = perímetro da base (soma de todos os lados) e h = altura Fórmula para todos os prismas: Al = área lateral At = área total V = volume Al = 2p . h At = Al + 2Ab V = Ab . h


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Site: GêniodaMatemática.com.br Prisma triangular Prisma quadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal

Base:Triângulo Base:Quadrado Base:Pentágono Base:Hexágono Fórmula para todas os pirâmides: PIRÂMIDE g g = apótema da pirâmide ; ap = apótema da base h g2 = h2 + ap2 ap

Al = p . g At = Al + Ab V = 𝐀𝐛 .𝐡

𝟑

triangular quadrangular pentagonal hexagonal

base:triângulo base:quadrado base:pentágono base:hexágono



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CONE

g2 = R2 + h2 V = Ab . h/3

Al = SRg Ab = SR2 At = Ab + Al g = 2R quando o cone é eqüilátero

CILINDRO Al = 2SRh Ab = SR2 At = Al + 2Ab V = Ab . h

g = 2R (cilindro equilátero)

Corte ou Secção transversal L/l = H/h AB/Ab = (H/h)2 V/v = (H/h)3

http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&docid=T3w6L-4E0YZL0M&tbnid=wZHYJ_Bmnyp3-M:&ved=0CAUQjRw&url=http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com/2013/10/planificacao-do-cilindro.html&ei=Rl4TU9KwJ9PLkQeKiYGACg&bvm=bv.62286460,d.eW0&psig=AFQjCNHT3vx7dEBUzzSeXp39-NvpIDNIUw&ust=1393864617986375


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ESFERA A = 4SR2 V = 4SR3 / 3 TRONCO DE PIRÂMIDE

A área lateral desse tronco são 6 trapézios!

Exercícios e Testes de Vestibular : 01) Qual a área lateral, total e o volume de um prisma quadrangular regular cuja aresta da base mede 5cm e a altura 12cm ? 02) A base de um prisma hexagonal regular está inscrita num círculo de diâmetro 8cm; sua altura mede 10cm. Calcular a área lateral e o volume deste sólido. 03) A base de um prisma triangular regular está inscrita em um círculo de raio 3 . Sabendo que a altura desse prisma mede 8cm , calcular a área lateral e o volume deste sólido. Site: GêniodaMatemática.com.br



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04) (PUCRS)A razão entre as arestas de dois cubos é 1/3. A razão entre o volume do maior e do menor é : a) 1/9 b) 1/3 c) 3 d) 9 e) 27 05)(UFRGS)Se num paralelepípedo o comprimento é reduzido em 10%, a largura é reduzida em 5% e a altura é aumentada em 15%, então o volume : a) não se altera. b) aumenta em 0,75%. c) se reduz em 0,75%. d) aumenta em 1,675%. e) se reduz em 1,675%. 06) Calcular a área lateral de uma pirâmide triangular regular cujo apótema mede 8cm e o lado da base mede 5cm. 07) Calcular as áreas lateral e total do tetraedro regular cuja aresta lateral mede 3 . 08) Determinar a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de 12cm de altura e cuja aresta da base mede 18cm. 09) Calcular o volume de uma pirâmide hexagonal regular de 20cm de altura e cuja aresta da base mede 6cm. 10) (PUCRS) Um gaúcho retira toda a erva-mate de uma caixa de forma cúbica, totalmente cheia, de 6 cm de aresta interna para fazer seu chimarrão. Sabendo que a erva-mate ocupa 2/3 de sua cuia, o volume desta, em cm3, é a) 72 b) 216 c) 288 d) 324 e) 648 Site: GêniodaMatemática.com.br



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11) (UFRGS) Um sólido é totalmente mergulhado em um cilindro contendo água, causando a elevação do nível da água em 1,5 cm.Se o raio da base do cilindro mede 5cm, o volume do sólido é de a) 6,5 p cm3 b) 10 p cm3 c) 15 p cm3 d) 25 p cm3 e) 37,5 p cm3 12) (PUCRS) Um cilindro reto e um cone circular reto têm o mesmo raio da base, medindo 3m, e a mesma altura , medindo 4m. A razão entre as áreas laterais do cilindro e do cone é 13) Calcular a área lateral de um cone de revolução de 4cm de altura e 6cm de diâmetro da base. 14) Calcular o volume e a área total de um cone equilátero de 3cm de raio. 15) (UFRGS) Considere uma esfera inscrita num cubo. Dentre as alternativas abaixo, a melhor aproximação para a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é : a) 2/5 b) 1/2 c) 3/5 d) 2/3 e) 3/4 16) (UFRGS) A área de uma esfera é Sm2. Calcular o raio da esfera. 17) (UFRGS) - O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de uma esfera B . Se o raio da esfera B mede 10, então o raio da esfera A mede 18) (UFRGS) Uma esfera de 10cm de raio é interceptada por um plano. A distância do plano ao centro da esfera sabendo que a área da intersecção é 9Scm2 é: Site: GêniodaMatemática.com.br



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19) (ITA) Seja uma pirâmide regular de base hexagonal e altura 10 m. A que distância do vértice devemos cortá-la por um plano paralelo à base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do volume da pirâmide original? a) ( ) 2 m. b) ( ) 4 m. c) ( ) 5 m. d) ( ) 6 m. e) ( ) 8 m.

20) (ENEM) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países

orientais. .

Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de a) pirâmide b) semiesfera c) cilindro d) tronco de cone e) cone

21) PUCRS) Se V é o volume do cone circular reto de raio R e altura R e W é o volume da semi-esfera de raio R, então a relação W/V é a) 1/4 b) 2 c) 3/4 d) 1 e) 4/3 22) (ENEM) A figura seguinte representa um salão de um clube onde estão destacados os pontos A e B.

Nesse salão, o ponto em que chega o sinal da TV a cabo fica situado em A. Afim de instalar um telão para a transmissão dos jogos de futebol da Copa do Mundo, esse sinal deverá ser levado até o ponto B por meio de um cabeamento que seguirá na parte interna da parede e do teto.

O menor comprimento que esse cabo deverá ter para ligar os pontos A e B poderá ser obtido por meio da seguinte representação no plano:

a)

b)

c)

d)

e)


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23)UFRGS Observe abaixo as planificações de duas caixas. A base de uma das caixas é um hexágono regular; a base da outra é um triângulo equilátero.

Se os retângulos ABCD e A’B’C’D’ são congruentes, então a razão dos volumes da primeira e da segunda caixa é:

a) 12 b) 2

2 c) 1 d) 3

2 e) 2

24 (ENEM) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas. Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?

a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide. d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. e) Cilindro, prisma e tronco de cone. 25 (ENEM) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento,

como mostrado na figura. O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm3? a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura. b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura. c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura. d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar. Respostas: 01) 240 ; 290 ; 300 02) 240cm2 ; 240 3 cm3 03) 72cm2 ; 18 3 cm3; 04) e; 05) e; 06) 60cm2; 07) 9 3 / 4 ; 3 3 08) 540cm2 09) 360 3 10) d 11) e 12) 8/5 13) 15S 14) 27S ; 9S 3 15 ) b 16) 0,5m 17) 5 18) 91 19)c 20)e 21)b 22)e 23)d 24) a 25) c

TRIGONOMETRIA


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A palavra TRIGONOMETRIA é formada por 3 radicais gregos : TRI (três) , GONO (ângulos) e METRIA (medida). Atualmente a trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos ; sua aplicação se estende a outros campos da atividade humana como a eletricidade , a mecânica , a acústica , a música etc.

Funções circulares As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.

Função seno Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a cada x em R, o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por f(x)=sen(x) ou y=sen(x).

Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.

Propriedades da função seno

1. Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.

2. Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1<y<1} 3. Periodicidade: A função é periódica de período 2 𝜋. Para todo x em R e para todo k

em Z:

sen(x) = sen(x+2 𝜋 ) = sen(x+4 𝜋) =...= sen(x+2k 𝜋)

A função seno é periódica de período fundamental T=2 𝜋.

Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2 𝜋.




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4. Sinal:

Intervalo [0, 𝜋 /2] [𝜋 /2, 𝜋] [𝜋,3 𝜋 /2] [3 𝜋 /2,2 𝜋] Função seno positiva positiva negativa negativa

5. Monotonicidade:

Intervalo [0, 𝜋 /2] [𝜋 /2, 𝜋] [𝜋,3 𝜋 /2] [3 𝜋 /2,2 𝜋] Função seno crescente decrescente decrescente crescente

6. Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na faixa do plano

situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:

-1 < sen(x) < 1

7. Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:

sen(-x) = -sen(x) Função cosseno

Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o número real cos(x).

Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y = cos(x).

Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.


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Propriedades da função cosseno

1. Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos)=R.

2. Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1} 3. Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k

em Z:

cos(x)=cos(x+2 )=cos(x+4 )=...=cos(x+2k )

A função cosseno é periódica de período fundamental T=2 .

4. Sinal:

5. Monotonicidade:

6. Limitação: O gráfico de y=cos(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:

-1 < cos(x) < 1

7. Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, tem-se que:

cos(-x) = cos(x)

Função tangente Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1) /2 onde k está em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x).

f(x) = tg(x) = sen(x) / cos(x) Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).

Intervalo [0, /2] [ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ] Função cosseno positiva negativa negativa positiva

Intervalo [0, /2] [ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ] Função cosseno decrescente decrescente crescente crescente


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Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo de /2 (ou de - /2), a função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX. Propriedades

1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k , onde k em Z, temos

Dom(tan)={x em R: x diferente de /2+k }

2. Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.

3. Periodicidade A função é periódica e seu período é

Para todo x em R, sendo x diferente de /2+k , onde k pertence a Z

tan(x)=tan(x+ )=tan(x+2 )=...=tan(x+k )

A função tangente é periódica de período fundamental T= .

Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.

4. Sinal:

Intervalo [0, /2] [ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ] Função tangente positiva negativa positiva negativa

5. Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x=k /2, k inteiro, onde a função não está definida.

6. Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1) /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.

7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a tangente está definida, tem-se que:

tan(x)=-tan(-x)


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Função cotangente Como a cotangente não existe para arcos da forma (k+1) onde k é um inteiro, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada x real, a cotangente de x, denotada por:

Gráfico: O segmento Os' mede cot(x).

Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco AM está próxima de (ou - ), podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito ra damente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interceção com a reta s vai se tornando muito longe.

Propriedades

1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma +k , onde k em Z, temos

Dom(cot)={x em R: x é diferente de (k+1) }

2. Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.

3. Periodicidade A função é periódica e seu período é

Para todo x em R, sendo x diferente de +k , onde k em Z

cot(x)=cot(x+ )=cot(x+2 )=...=cot(x+k )

A função cotangente é periódica de período fundamental 2 .


f(x)=cot(x)= cos(x)

sen(x)



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4. Sinal:

Intervalo [0, /2] [ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ] Função cotangente positiva negativa positiva negativa

5. Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x=k , k inteiro, onde a função não está definida.

6. Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.

7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real, tem-se que: cot(x)=-cot(-x)

Função secante

Como a secante não existe para arcos da forma (2k+1) /2 onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função secante como a relação que associa a este x real, a secante de x, denotada por sec(x).

f(x)=sec(x)= 1

cos(x)

Gráfico: O segmento OV mede sec(x).

Quando x assume valores próximos de /2 ou de 3 /2, cos(x) se aproxima de zero e a fração 1/cos(x) em valor absoluto, tende ao infinito.

Propriedades

1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k , onde k em Z, temos : Dom(sec)={x em R: x é diferente de (2k+1) /2}

2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da secante, temos que sec(x) < -1 ou sec(x) 1, assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjuntos:

Im(sec)={y emR: y < -1 ou y 1} Site: GêniodaMatemática.com.br



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3. Periodicidade A função é periódica e seu período é 2

Para todo x em R, sendo x diferente de +k , onde k em Z

sec(x)=sec(x+2 )=sec(x+4 )=...=sec(x+2k ),

por este motivo, a função secante é periódica e seu período é 2 , podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.

4. Sinal:

Intervalo [0, /2] [ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ] Função secante positiva negativa negativa positiva

5. Monotonicidade:

Intervalo [0, /2] [ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ] Função secante crescente crescente decrescente decrescente

6. Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1) /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.

7. Simetria: A função secante é par, pois para todo x onde a secante está definida, tem-se que: sec(x)=sec(-x)

Função cossecante

Como a cossecante não existe para arcos da forma k onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definir a função cossecante como a relação que associa a este x real, a cossecante de x, denotada por csc(x)

f(x) = csc(x) = 1

sen(x)




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Gráfico: O segmento OU mede csc(x).

Quando x assume valores próximos de 0, ou de 2 , sen(x) se aproxima de zero e a fração 1/sen(x) em valor absoluto, tende ao infinito. Propriedades

1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma k , onde k em Z, temos

Dom(csc)={x em R: x diferente de k }

2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da cossecante, temos que csc(x)<-1 ou csc(x)>1, assim o conjunto imagem da cossecante é dado pelos conjuntos:

Im(csc)={y em R: y < -1 ou y > 1}

3. Periodicidade: A função é periódica e seu período é 2

Para todo x em R, sendo x diferente de k , onde k em Z

csc(x)=csc(x+ )=csc(x+2 )=...=csc(x+k )

por este motivo, a função cossecante é periódica e seu período é 2 , podemos então completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.

4. Sinal:

Intervalo [0, /2] [ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ] Função cossecante positiva positiva negativa negativa

5. Monotonicidade:

Intervalo [0, /2] [ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ] Função cossecante decrescente crescente crescente decrescente


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6. Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k , a função cresce (ou decresce) sem controle.

7. Simetria: A função secante é ímpar, pois para todo x onde a cossecante está definida, tem-se que:

csc(x)=-csc(-x)

0º 30º 45º 60º 90º sec cos tg cotg sec cossec

Lembre-se: sen α = cateto A / hipotenusa sen β = cateto B / hipotenusa cos α = cateto B / hipotenusa cos β = cateto A / hipotenusa As funções trigonométricas são na realidade medidas referentes a um determinado ângulo dentro ou fora da circunferência de raio 1.


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1) sen2x + cos2x = 1 2) sec2x = 1 + tg2x 3) cossec2x = 1 + cotg2x 4) tgx = senx / cosx 5) cotgx = cosx / senx = 1 / tgx 6) secx = 1 / cosx 7) cossecx = 1 / senx ADIÇÃO DE ARCOS 8) sen (a r b) = sena . cosb r senb . cosa 9) cos (a r b) = cosa . cosb r sena . senb 10) tg (a r b) = tga r tgb 1 r tga . tgb Obs. Na multiplicação de arcos ex: sen 2a podemos usar as mesmas fórmulas da adição sen (a+a) Exercícios e Testes de Vestibular : 01) Transformar para graus : a) S/3 b) 3S c) 5S/6 d) 4S/3

02) Transformar para radianos : a) 120o

b) 210o c) 45o


RELÓGIO (angulo entre ponteiros) Â = 60h – 11m 2 Sendo: h=horas e m=minutos



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03) Sendo cosx = - 2 /2 e S < x < 3S/2 , calcule : a) senx b) tgx c) secx d) cossecx e) 1 - cos2x f) 1 - sen2x 04) Sendo cosx = - 3 /2 e S < x < 3S/2, calcule : a) senx b) tgx c) cotgx 05) (UFRGS) Se tan? = 3 e 0 � ? � 900 , então o valor de cos ? é a) 1/10 b) 3 /10 c) 3/10 d) 10 /10 e) 1 06) (UFRGS) Os valores de x que satisfazem simultaneamente as igualdades: secy = 2�x e tgy = (1 + x)/2 são : 07) (UFRGS) O valor máximo de 3 - cosx no intervalo [3S/2 ; 2S] é : 08) (UFRGS) Os valores que m pode assumir para que exista o arco x satisfazendo a igualdade senx = m - 4, são ? 09) (UFRGS) Sendo secx = - 7 /2 , determinando o cosx encontramos. Redução ao 1o quadrante : 10) sen(S/2 + D) =. 11) cos(S/2 + D) =. 12) tg(S/2 + D) = 13) sec(3S/2 + D) =. 14) sen(3S/2 + D) = 15) cos(3S/2 + D) = 16) tg(3S/2 - D) =. 17) cossec(3S/2 - D) = 18) sen(S + D) =


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19) cos(S + D) =. 20) tg(S + D) = 21) cos(S - D) = 22) sec(S - D) =. 23) tg(S - D) = 24) cos(-D) = 25) cos210o =. 26) sen1290o = 27) sen120o = 28) cos150o =. 29) tg 315o =. 30) sec135o = 31) sen1920o

32) (UFRGS) A expressão sen (S + x) . cos (S/2 + x) para x = 45o é : cos (3S/2 + x) 33) (UFRGS) O valor da expressão tg (S + D) . cos (S - D) para D = S/3rd é : secD Faça o esboço do gráfico de cada função e determine sua imagem , domínio e período : 34) f (x) = sen2x 35) f (x) = senx/2 36) f (x) = 5 . sen2x/3 37) f (x) = -1 + 3 . senx 38) y = - senx 39) y = - cosx 40) y = - 3 + 2cosx 41) y = 2 - 3cosx 42) (UFRGS) - Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de S/12rad, o ponteiro maior percorre um arco de 43) (UFRGS) - Considere as afirmativas abaixo. I. tan 92o = - tan 88o II. tan 178o = tan 88o III. tan 268o = tan 88o IV. tan 272o = - tan 88o Quais estão corretas? a) Apenas I e III. b) Apenas III e IV. c) Apenas I, II e IV. d) Apenas I, III e IV. e) Apenas II, III e IV. Site: GêniodaMatemática.com.br



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44) (PUCRS) O conjunto solução da equação tan(x) = sec(x) em [ 0, S/2 ] é a) IR b) {S/2} c) {-S2, S/2} d) {x� IR | x=S/2+kS, k� Z } e) { } 43) (UFRGS) - período da função definida por f(x) = sen 3x − π

2 é

Respostas : 01) 60o , 540o , 150o , 240o 02) 2S/3 , 7S/6 , S/4 03) - 2 / 2 , 1 , - 2 , - 2 , 1/2 , 1/2 04) -1/2 , 3 / 3 , 3 05) d 06) 3 , -1 07) 3 08) 3 d m d 5 09) -2 7 /7 10) cosD 11) -senD 12) -cotgD 13) cossecD 14) -cosD 15) senD 16) cotgD 17) -secD 18) -senD 19) -cosD 20) tgD 21) -cosD 22) -secD 23) -tgD 24) cosD 25) - 3 /2 26) -1/2 27) 3 / 2 28)- 3 /2 29) -1 30)- 2 31) 3 /2 32) 2 / 2 33) - 3 /4 34) P = S ; Im = [-1 , 1] ; D = R 35) P = 4S ; Im = [-1 , 1]; D = R 36) P = 3S ; Im = [-5 , 5] ; D = R 37) P = 2S; Im = [-4 , 2]; D = R 38) P = 2S ; Im = [-1 , 1]; D = R 39) P = 2S; Im = [-1 , 1]; D = R 40) P = 2S ; Im = [-5 , -1] ; D = R 41) P =2S; Im = [-1 , 5] ; D = R 42) S rad 43) d 44)e 45)b

GEOMETRIA ANALÍTICA

Foi com o francês René Descartes , filósofo e matemático que surgiu a geometria analítica. 1. O PLANO CARTESIANO

Os quatro quadrantes são numerados no sentido anti-horário, e os eixos e a intersecção entre eles são denominados, respectivamente, eixo das abscissas ( x ), eixo das ordenadas ( y ) e origem ( 0 ) do sistema de coordenadas cartesianas. A reta que divide ao meio os quadrantes ímpares é chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares e a que divide os quadrantes pares é a bissetriz dos quadrantes pares.

1º QUADRANTE

( +, + )

4º QUADRANTE ( +, - )

2º QUADRANTE

( - , + )

3º QUADRANTE

( -, - )

x ( eixo das ABSCISSAS )

Y ( eixo das ORDENADAS ) Bissetriz dos quadrantes pares

Bissetriz dos quadrantes ímpares


77

Observações: I. Os pontos pertencentes ao eixo 0x possuem ordenadas nulas.

II. Os pontos pertencentes ao eixo 0y possuem abscissas nulas.

III. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares possuem abscissas iguais à ordenada e vice-versa.

IV. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas opostas e vice-versa.

02. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidade. Sendo A(xa, ya) e B(xb, yb), aplicando Pitágoras temos:

d2 = (XA-XB)2 + (YA-YB)2

Ex: (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. O valor de y é: a) -1 b) 0 c) 1 ou 13 d) -1 ou 10 e)2 ou 12


P Є 0y l P = ( 0, y )

A Є bi l A = ( a, a )

B Є bp l B = ( b, -b )

dAB yb - ya

xb – xa

xa xb

ya

yb

A

B

P Є 0x l P = ( x, 0 )



78

03. PONTO MÉDIO

Sendo A(xa, ya), B(xb, yb) e M( xM, yM ) o seu ponto médio, temos:

¸¹·

¨©§ ��

2,

2BABA yyxxM

M é o ponto que divide o segmento AB ao meio.

EXERCÍCIOS

01. Sendo A(1, 3) e B(7, 13) as extremidades do segmento AB, seu ponto médio é: a) (4, 8) b) (2, 4) c) (8, 16) d) (1, 2) e) (3, 4)

02. Sendo A(-5, 2) uma das extremidades do segmento de reta AB e M(-2, 4) o seu ponto médio, o ponto B vale: a) (1, 6) b) (2, 12) c) (-5, 4) d) (-2, 2) e) (0, 1)

04. ÁREA DE UM TRIÂNGULO, QUADRADO... Consideramos um triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) a sua área é dada por:

A = AA

CC

BB

AA

yxyxyxyx

21

ou A =

ACBA

ACBA

yyyyxxxx

21

EXERCÍCIOS 03. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,3), B(4,1) e C(6,5). a) 16 b) 4 c) 10 d) 12 e) 8

A(xA, yA)

B(xB, yB)

C(xC, yC)

A

M A

B

xA xM XB

yA

yM

yB


79

04. Calcular a área do quadrilátero de vértices A(1,3), B(5,1), C(6,5) e D(3,7). a) 17 b) 34 c) 10 d) 6 e) 8 05. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

Sendo A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou estão alinhados, se e somente se:

0

AA

CC

BB

AA

yxyxyxyx

ou 0

ACBA

ACBA

yyyyxxxx

EXERCÍCIOS 06. O valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares é: a) 0 b) 10 c) 3 d) 12 e) -4 07. Os pontos (1,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se: a) k = 11 b) k = 12 c) k = 13 d) k = 14 e) k = 15 06. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA É toda equação do tipo y = ax + b, onde “a” é chamado de coeficiente angular (ou declividade) e “b” é chamado de coeficiente linear.

Exemplos: ¯®

�

� 3

232ba

xy

°¯

°®

� ��

3132

012b

ayx

¯®

� 15

15ba

xy °̄

°®

� �045

045b

ayx

A(xA, yA)

B(xB, yB)

C(xC, yC)


80

07. COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA O coeficiente angular de uma reta é um número real “a” que representa a sua inclinação (D). Por definição, temos que:

Para determinarmos o valor do coeficiente angular (a) faremos:

a = AB

AB

xxyy

��

ou a = xy

''

Observação: “b” é a ordenada do ponto onde a reta intersecciona o eixo y.

EXERCÍCIOS

08. Os coeficientes angular e linear da reta 3y - 2x + 12 = 0 são respectivamente: a) 2/3 e 4 b) 3/2 e 12 c) -2/3 e -12 d) 2/3 e -4 e) -3/2 e 4

09. A reta da figura abaixo tem como coeficiente angular e linear, respectivamente:

a) 1/2 e -2 b) 2 e -1/2 c) -1/2 e -2 d) -2 e -1/2 e) 1/2 e -1/2

10. Determine a equação reduzida da reta: a) y = x + 3 b) y = -x + 3 c) y = 2x+6 d) y = x – 3 e) y = - 3x + 2


Reta inclinada para a direita

Reta inclinada para esquerda

a = tg D

-2 4

3

3

x

x

D é agudo � a > 0 D é obtuso � a < 0

D D



81

11. Determine a equação geral da reta

a) x – 2y - 8 = 0 b) 2x + y – 2 = 0 c) 4x – 2y – 4 = 0 d) x – y + 2 = 0 e) x – y + 4 = 0

12. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-3, 2) e B(5, -4) a) 4x + 3y + 1= 0 b) 3x + 4y + 1= 0 c) x + y + 3 = 0 d) x + y – 4 = 0 e) x – y – 1 = 0

08.PONTO DE INTERSECÇÃO ENTRE DUAS RETAS

Para determinarmos o ponto de intersecção entre duas retas basta resolvermos o sistema formado pelas suas equações. EXERCÍCIOS 13. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: 2x + 5y – 9 = 0 e s: y = - 2x – 3. a) (-3, 3) b) (2, -2) c) (5, 22) d) (1, 2) e) (3, 4) 14. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: y = 2x - 6 e s: y = 3x + 2. a) (-8, -22) b) (1, 2) c) (4, -10) d) (5, 6) e) (-4, 12)

09. EQUAÇÃO DO FEIXE DE RETAS

As retas não-verticais que passam por P(x0 ,y0) são dadas pela equação: EXERCÍCIOS 15. Obtenha a equação da reta que por P e tem declividade a. a) P(2, 3); a = 2 b) P(-2, 1); a = -2 c) P(4, 0); a = -1/2 16. Escreva a equação fundamental da reta que passa pelo ponto P e tem inclinação D. a) P(2, 8) e D = 45º b) P(-4, 6) e D = 30º c) P(3, -1) e D = 120º Site: GêniodaMatemática.com.br

-4

8



82

10. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS RETAS PARALELAS

EXERCÍCIOS 17. Determine o valor de “m” para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 4y – 3 = 0 sejam paralelas. a) 1 b) 2 c) - 3 d) – 6/3 e) 8/3 18. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(3, -3) e é paralela à reta 2x – 3y -6 = 0. a) 2x – y + 9 = 0 b) 2x – 3y – 15 = 0 c) 3x + 2y – 15 = 0 d) x – 2y + 9 = 0 e) 3x – 2y + 15 = 0 19. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, 2) e é paralela à reta 4x – y + 1 = 0. a) y = 2x – 3 b) y = 4x – 10 c) y = - x + 15 d) y = x + 5 e) y = - 4x +5 RETAS PERPENDICULARES Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações: (r) y = a1x + b1 (s) y = a2x + b2 Para essas retas, temos a seguinte possibilidade:

�¿¾½

z

21

21

bbaa

PARALELAS DISTINTAS

�� 2

11a

a PERPENDICULARES


83

EXERCÍCIOS 20. Determine o valor de “k” para que as retas 3x - 5y + 10 = 0 e kx + 3y – 21 = 0 sejam perpendiculares. a) 1 b) 6 c) -10 d) 15 e) 5 21. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 5) e é perpendicular à reta de equação x + 3y - 12 = 0. a) y = -2x – 1 b) y = x + 4 c) y = 3x + 2 d) y = -x + 5 e) y = - x – 12 22. Obtenha a equação da mediatriz do segmento de reta AB, sendo A(3, 2) e B(7, 4). a) y = - 2x + 13 b) y = 2x – 13 c) y = x + 1 d) y = 13x + 2 e) y = x – 4 11. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA A distância entre o ponto e a reta (r) Ax + By + C = 0 é dada pela seguinte expressão:

22

00Pr

BA

CByAxd

�

��

EXERCÍCIO 23. Calcule a distância do ponto P(2, 6) à reta 3x – 4y – 2 = 0. a) 32 b) 10 c) 8 d) 4 e) 2


P(xP, yP)

d



84

12. CIRCUNFERÊNCIA EQUAÇÃO REDUZIDA Consideremos uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio R, teremos: R2 = (XB – XA)2 + (YB –YA)2

EXERCÍCIOS 24. Determine a equação reduzida da circunferência de centro C e raio R. a)

¯®

2)5,3(

RC

b)

¯®

7)0,0(

RC

25. Escreva a equação reduzida da circunferência de raio 12 e concêntrica com a circunferência (x – 2)2 + (y + 3)2 = 64. Qual é a área da coroa circular determinada por essas duas circunferências? 26. Determine a equação da circunferência de centro em (3, 5) e raio igual a 4. a) x2 + y2 – 2x – 8y + 1 = 0 b) x2 + y2 + 2x + 8y - 1 = 0 c) x2 + y2 – 8x + 2y + 1 = 0 d) x2 + y2 – 8x – 8y + 4 = 0 e) x2 + y2 +-6x – 10y + 18 = 0 EQUAÇÃO GERAL Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 Condições para ser circunferência: 1. A = B ≠ O ( coef. de x2 = coef. y2)

Coordenadas do centro:

(-D/2 ; -E/2) 2. C = 0 ( não pode aparecer xy )


P(x, y)

R

xC

yC



85

3. R > 0 ( O raio de ver ser um número real ) Raio: R2 = XC

2 + YC2 - F

Exercícios 27. Determine a equação geral da circunferência de centro C(3, 5) e raio R igual 4. a) x2 + y2 + 10x + 6y - 18 = 0 b) x2 + y2 + 2x + 8y - 1 = 0 c) x2 + y2 – 6x - 10y + 18 = 0 d) x2 + y2 – 8x – 8y + 4 = 0 e) x2 + y2 + 2x – 8y - 27 = 0 28. Determine o centro e o raio da circunferência x2 + y2 – 10x + 4y - 20 = 0 , respectivamente: a) (-2,5) e 7 b) (5,2) e 5 c) (2,2) e 2 d) (3,4) e 1 e) (5,-2) e 7 29. Calcule a área de um quadrado inscrita na circunferência

036422 �� yxyx a) 2u.a.

b) 4u.a. c) 8u.a. d) 16u.a. e) 32u.a. 30. Determine o valor de k para que a

equação 02422 �� kyxyx represente uma circunferência: a) k > 5 b) k < 5 c) k > 10 d) k < 15 e) k = 20 31. Escreva a equação da circunferência de centro C(3,5) e tangente a reta (r) 5x + 12y – 10 = 0 a) x2 + y2 – 6x – 10y + 9 = 0 b) x2 + y2 + 12x + 38y - 1 = 0 c) x2 + y2 – 8x + 15y + 1 = 0 d) x2 + y2 – 8x – 8y + 7 = 0 e) x2 + y2 + 2x – 11y - 8 = 0

POSIÇÕES RELATIVAS PONTO E CIRCUNFERÊNCIA Para uma circunferência de centro C(Xc,Yc) e raio R e um ponto P qualquer, compararemos o seguimento de reta PC com R. Há três casos possíveis: 1º) Se dPC = R, então P pertence à circunferência. 2º) Se dPC > R, então P é externo à circunferência. 3º) Se dPC < R, então P é interno à circunferência.




86

Exercícios Ex:. Determine a posição do ponto P(53) em relação a circunferência 9)4()2( 22 �� yx a) externo b) interno c) pertence d) centro e) n.d.a RETA E CIRCUNFERÊNCIA Se substituirmos o valor de uma das variáveis (x ou y) da reta na equação da circunferência, obteremos uma equação do 2º grau (na outra variável). Calculando o discriminante (') da equação obtida, poderemos ter: 1º) Se ' > 0, então a reta será secante à circunferência (2 pontos de interseção). 2º) Se ' = 0, então a reta será tangente à circunferência (1 ponto de interseção). 3º) Se ' < 0, então a reta é externa à circunferência (não existe ponto de interseção).

EXERCÍCIOS 31. Determine a posição relativa da reta x – y + 1 = 0 em relação ao círculo

01422 �� xyx a) secante b) tangente c) externa d) n.d.a.


Secante Tangente Externa

' > 0 ' = 0 ' < 0

P

P

P

Interno Pertence Externo

dPC < R dPC = R dPC > R



87

DUAS CIRCUNFERÊNCIAS Dadas duas circunferências, uma de centro C1 e raio R1 e a outra de centro C2 e raio R2, compararemos o seguimento de reta C1C2 e R1 + R2. Há três possibilidades: 1º) Se dC1C2 = R1 + R2, então as circunferências são tangentes (1 ponto de interseção). 2º) Se dC1C2 > R1 + R2, então as circunferências são externas (não existe ponto de interseção). 3º) Se dC1C2 < R1 + R2, então as circunferências são secantes (2 pontos de interseção). Tangentes Secante Externas dC1C2 = R1 + R2 dC1C2 < R1 + R2 dC1C2 > R1 + R2 EXERCÍCIO Qual a posição relativa entre as circunferências

(O) 0910622 �� yxyx e (G) 044222 �� yxyx . a) tangente b) secante c) externas d) coincidentes e) n.d.a. Exemplos importantes: 1)Qual a equação da circunferência de raio 4 e C(3, 5)? 2) O centro é a origem e o diâmetro é 10, qual sua equação? 3) (x-9)2 + (y+3)2 =7 4) x2 + y2 - x + 2y - 1 = 0 Centro e raio? 5) 4x2 + 4y2 -8x +16y -16 =0 Centro e raio? 6) Qual a equação? 3 c 5


88

7) Qual a equação? 5 -5 c 8) Qual o gráfico da equaçã: x2 + y2 =36 Respostas: 1-a; 2-a; 3-e; 4-a; 5-b; 6-e; 7-d; 8-a; 9-b; 10-a; 11-b; 12-a; 13-a; 14- a) y=2x-1; b) y=-2x-3 ) y=-x/2 + 2 ; 15- a) y=x+6 b) y= 3 x/3 c) y=- 3 x+3 3 -1; 16-e; 17-b; 18-b; 19-e 20-c; 21-a; 22-d; 25-e; 26-c; 27-e; 28-e; 29-b; 30-a; 31-b Exercícios importantes: 01) Calcule a distância entre os pontos A(-3 , 1) e B(3 , 9). 02) Determinar as coordenadas do ponto médio do segmento de extremos A(-5 , 0) e B(1 , 4). 03) Calcule a área do triângulo de vértices A(-6 , 3) ; B(2 , 9) ; C(2 , 3). 04) (PUC) -A área do polígono ABCD, onde A(2, 2), B(6, 6), C(4, 8) e D(0, 6) são seus vértices, é Calcular o coeficiente angular das retas abaixo : 05) y r 06) y r 3 45o 1

x x -3 2

07) y 08) y r -2 x 120o x -4


89


09) Determine o coeficiente angular e linear da reta : y 135o x -2 10) Encontre a equação reduzida e geral da reta : y 5 3 x 11) (UFRGS) - Considere a figura abaixo. Uma equação cartesiana da reta r é y 30o 0 1 r x 12) Encontre o ponto de interseção das retas : 3x - y - 8 = 0 e x + y - 4 = 0. 13) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (0 ,4) e é perpendicular a reta de equação y =-x/2 + 10. 14) Qual é a equação da reta que passa pelo ponto P(-3 , 2) e é paralela a reta de equação 3x - y + 7 = 0. 15)(UFRGS) Considere o gráfico de y = f(x) abaixo : y Então o gráfico de y = x . f(x) é: 1 x 0 3 16) Qual é a distância entre o ponto P(2 , 3) e a reta de equação 4x + 3y - 12 = 0.



90

17) Calcule a distância entre a origem e a reta 6x + 8y - 24 = 0. 18)(PUC)- A área da região limitada pelos gráficos de x2 + y2 = 16 e x2 + y2 =1 é a) 15S u.a. . b) 15 u.a. c) 255S u.a. d) 255 u.a e) 3 u.a. 19) Determine a equação da circunferência de centro C(5 , 2) e que é tangente ao eixo das abscissas. 20) Determine a equação da circunferência de centro (3 , 4) e que passa pela origem. 21) Qual é a equação da circunferência de centro na origem e que é tangente a reta de equação x + 2 = 0. 22) Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0. 23) Qual é o diâmetro da circunferência x2 + y2 - 4x - 9 = 0. 24) Encontre a equação da circunferência de centro C(1 , 2) e que passa pelo ponto P(4 , 6) Verifique se as equações a seguir determinam uma circunferência : 25) 3x2 + 3y2 + 12x + 6y - 20 = 0 26) x2 + y2 - 10x + 6y + 40 = 0 27) (PUCRS) Um ponto situado em um plano onde está um referencial cartesiano se desloca sobre uma reta que passa pela origem e pelo centro da circunferência de equação x2 + (y – 1)2 = 1. A equação dessa reta é a) y = x +1 b) y = x c) y = 1 d) x = 1 e) x = 0


91

28) (UFRGS) Os pontos de interseção do círculo de equação (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25 com os eixos coordenados são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é a) 22. b) 24. c) 25. d) 26. e) 28. 29) (ENEM) Certo município brasileiro cobra a conta de água de seus depende do consumo mensal em m3 . Se um morador pagar uma conta de R$ 19,00, isso

significa que ele consumiu?

Respostas : 01) 10; 02) (-2 , 2); 03) 24; 04) 18; 05) 1; 06) 2/5; 07) - 3 ; 8) -2; 09) a = -1; b = -2; 10) y = -5x/3 + 5 ; 5x + 3y - 15 = 0; 11 ) y = ( 3 / 3) - ( 3 x / 3); 12) (3 , 1) 13) y = 2x + 4; 14) y=3x+11; 16)1; 17) 2,4; 18)a; 19) x2 + y2 - 10x - 4y + 25 = 0; 20) x2 + y2 - 6x - 8y = 0 21) x2 + y2 - 4 = 0; 22) C(3 , -1) ; R = 2; 23) 2 13 ; 24) x2 + y2 - 2x - 4y - 20 = 0 25) sim; 26) não; 27)e; 28)b 29) 17 m3

ANÁLISE COMBINATÓRIA

FATORIAL

DEFINIÇÃO : sendo n um número inteiro , maior que 1(um) , define-se fatorial de n, e indica-se n! à expressão.

n! = n (n - 1) . (n - 2) . . . . . 3 . 2 . 1 onde n � N e n > 1 Definições especiais 0! = 1 1! = 1 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 1o EXEMPLO (PUC) 2o EXEMPLO (UFRGS) Se (n - 1)! = 1 , então n é igual a Se n é um número natural qualquer maior (n + 1)! - n! 8 1 que 1, então n! + n - 1 é divisível por : a) 13 a) n - 1 b) 11 b) n c) 9 c) n + 1 d) 8 d) n! - 1 e) 6 e) n!




92

Exercícios e Testes de Vestibular : 1. (x + 1)! = 56 (x - 1)! 2. (x + 2)! = 20 x! 3. x! = 45 2!(x - 2)! 4. (PUCRS)

A soma das raízes da equação (x + 1)! = x2 + x é a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 p p

5. O valor de p, em A 8 = 24 . C8 , é :

a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 24

6. O valor de n na equação A n, 3

= 4.A n, 2 é : a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 7. (UFRGS) – O valor de p na equação A p; 3 = 12 C p; 4 a) 12 b) 9 c) 8 d) 6 e) 5 8. (PUCRS) – Se A x, 4 – 4A x, 3 = 0, então x é igual a : a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 7

Respostas: 5) a 6) e 7) e 8) a ANÁLISE COMBINATÓRIA PERMUTAÇÃO é o tipo de agrupamento ordenado em que cada grupo entram todos os elementos. Os grupos diferem pela ORDEM Pn = n! ARRANJO : é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente do outro pela ORDEM ou pela NATUREZA dos elementos. A n,p = n! (n - p)! Exemplos: 1) Quantos nos de 3 algarismos podemos formar com os significativos? --------------- 2) Quantos nos de 3 algarismos distintos formamos com os significativos? -------------- 3) Quantos nos de 3 algarismos distintos formamos com os decimais? ------------------- 4) Quantos nos de 5 algarismos distintos formamos com os nos ímpares? --------------


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5) Quantos nos ímpares de 3 algarismos distintos formamos com os significativos? -- 6) Quantos anagramas têm as palavras PUCRS e ARARA? --------------------------------- DICA : Algarismos significativos {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } Algarismos decimais {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9} COMBINAÇÃO é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro apenas pela naturesa dos elementos. EXEMPLO : Quantas comissões de 3 pessoas podemos formar com 10 alunos de uma classe ? Cn,p = n! (n - p)! p! Testes de vestibular ARRANJO e PERMUTÇÃO 1. Quantos números de 4 algarismos distintos teremos com algarismos decimais? a) 2234 b) 4536 c) 5000 d) 4000 e) 6436 2. Quantos números tem três algarismos distintos com somente os algarismos ímpares ? a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 3. Quantos números pares de 4 algarismos distintos existem com os algarismos significativos ? a) 2144 b) 1344 c) 2280 d) 4538 e) 4500 4. Quantos números entre 400 e 900 há que não tem algarismos repetidos e são

escritos com os algarismos 0, 1 , 2 , 4 , 6 , 7 , 9 ? a) 90 b) 80 c) 70 d) 50 e) 30 5. Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000 formados por algarismos distintos escolhidos entre 1 e 9 ? a) 640 b) 430 c) 336 d) 429 e) 315 6. Considerando todos os números de 6 algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9: quantos são pares e quantos são ímpares ? 7. Com algarismos significativos quantos números de 3 algarismos distintos são divisíveis por 5 ? a) 15 b) 25


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c) 34 d) 46 e) 56 8. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos decimais sem os repetir de modo que : a) comecem por 1; b) comecem por 2 e terminem por 5. 9. Com 25 letras e 10 algarismos quantas placas de motos de 2 letras e 3 algarismos podemos formar: a) podendo repetir os símbolos ; b) não podendo repetir os símbolos. 10. O número de anagramas da palavra “PUCRS” é? a) 70 b) 80 c) 100 d) 120 e) 140 11. Quantos anagramas tem a palavra “PUCRS” que começam por “p” e terminam por “s”. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Difíceis: 12. De quantas maneiras 5 pessoas podem ocupar os lugares de um carro sabendo que: a) todos sabem dirigir; b) apenas um sabe dirigir; c) somente dois sabem dirigir. 13. Quantos anagramas tem a palavra matemática? 14. Quantos anagramas tem a palavra chuva que não possuem as vogais juntas? 15. O número de anagramas da palavra CORTÊS que não possuem as consoantes juntas é?

16. (UFRGS) Permutando-se os algarismos 1, 2, 3, 4 e colocando os numerais obtidos em ordem de valores crescentes, a posição ocupada pelo número 3.214 é : a) 15o lugar b) 18o lugar c) 16o lugar d) 40o lugar e) 34o lugar COMBINAÇÂO

1) Numa reunião de 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões com 3 rapazes e 4 moças podemos formar?

a) 425 b) 525 c) 600 d) 650 e) 675 2. Uma urna contém 12 bolas das quais 7 são pretas e 5 brancas.De quantas maneiras podemos tirar 6 bolas da urna das quais duas são brancas ? a) 150 b) 250 c) 350 d) 450 e) 550 3. Numa sala de 15 alunos tem 6 meninas. Queremos fazer uma comissão de 7 alunos de ambos os sexos, em quantas comissões há no máximo 3 meninas ? 4. Quantas diferentes diagonais tem um hexágono? a) 9 b) 12 c) 14 d) 16 e) 19 5. Sobre uma reta marcam-se 5 pontos e sobre outra paralela a primeira marcam-se 8 pontos. Quantos triângulos podem-se traçar unindo-se quaisquer destes pontos ?


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a) 180 b) 200 c) 220 d) 240 e) 260 6. (UFRGS) – Num jogo de loto, qualquer subconjunto ^00; 01; 02;....;98; 99` com cinco elementos é chamado de quina. O número de quinas distintas possíveis de serem obtidas com elementos sem algarismos repetidos é : a) C90,5 b) C99,5 c) C100,5 – 10 d) A90,5 e) A100,5 – 10 7. Numa sala há 10 pessoas se cumprimentando. Quantos apertos de mãos foram dados ? a) 25 b) 35 c) 45 d) 55 e) 65 8. Após uma reunião houve 15 apertos de mãos sabendo que todos se cumprimentaram, qual o número de pessoas ? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

9. Numa sala há oito moças e dez rapazes, de quantos modos podemos formar comissões de 3 pessoas :

a) indistintamente; b) com uma moça. 10. De um grupo de 5 pessoas , de quantas maneiras distintas podemos convidar 1 ou mais pessoas para jantar ? a) 29 b) 31 c) 34 d) 36 e) 39 11. (ITA) Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos? a. 210 b. 315 c. 410 d. 415 e. 521 12. (PUCRS) De seis alunos sorteados, dois serão escolhidos para representar a escola em um evento acadêmico. O número de comissões que podem ser formadas é a) 6 b) 12 c) 15 d) 24 e) 30

Respostas : Arranjo e Permutação: 01) b 02) e 03) b 04) a 05) c 06) 2160 pares e 2880 ímpares 07) e 08) 72; 8; 09) 625000 ; 432000 10) d 11) c 12) a) 120 ; b) 24 ; c) 48 13) 151200 14) 72 15) 576 16) a Combinação: 1) b 2) c; 3) C9,6 . C6,1 + C9,5 . C6,2 + C9,4 . C6,3 4) a 5) c 6) a 7) c 8) a 9) a) 816 ; b) 360; 10) b 11)a 12)c




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TEORIA DAS PROBABILIDADES

x Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Indicaremos o espaço amostral por U. x Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. PROBABILIDADE DE UM EVENTO x Definição Se , num fenômeno aleatório , o número de elementos do espaço amostral é n (U) e o número de elementos do evento A é n (A) , então a probabilidade de ocorrer o evento A é o número P (A) , tal que : P(A) = n(A) n(U) Exercícios 01)No lançamento de um dado , determine a probabilidade de obter : a) o número 2; R:16,66% b) um número par; R:50% c) um número múltiplo de 3; R:33,33% 02) De um baralho com 52 cartas tiram-se, sucessivamente, sem reposição, duas cartas. Determine a probabilidade dos eventos : a) as duas cartas são “damas” ; R:1/221 b) as duas cartas são de “ouros”. R:1/17 03) No lançamento simultâneo de dois dados , um branco e um vermelho , determine a probabilidade dos seguintes eventos : a) os números serem iguais ; R: a) 16,66% b) a soma dos nos é igual a 9. R: b) 11,11% 04) De um baralho de 52 cartas tira-se ao acaso uma das cartas. Determine a probabilidade de que a carta seja : a) uma dama. R: a) 1/13 b) uma dama de paus. R: b) 1/52 c) uma carta de ouros. R: c) 1/4 05) Uma urna contém 40 cartões, numerados de 1 a 40. Se retirarmos ao acaso um cartão dessa urna , qual a probabilidade de o no escrito no cartão ser um múltiplo de 4 ou de 3 ?

R: 50%




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06) Considere o lançamento de dois dados. Determine : a) a probabilidade de obter um total de 7 pontos ; R: a) 1/6 b) a probabilidade de não obter um total de 7 pontos. R: b) 5/6 07) Seja A o evento : retirada de uma carta de paus de um baralho de 52 cartas. Calcule P(A) e seu complementar 08) No lançamento de um dado , determine a probabilidade de obter : a) o número 1 ; b) um número primo ; c) um número divisível por 2 ; d) um número menor que 5 ; e) um número maior que 6. 09) Uma urna contém 30 bolas numeradas de 1 a 30. Retirando-se uma bola ao acaso , qual a probabilidade de que seu número seja : a) par; b) ímpar; c) par e menor que 15; d) múltiplo de 4 ou 5.

R: a)1/2 b)1/2 c)7/30 d)2/5 10) Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual a probabilidade de que apareça coroa nas quatro vezes ? R:1/16 11) Qual é a probabilidade de um casal ter somente 4 filhos e todos do sexo feminino ? R : 1/16 12) No lançamento de uma moeda de um dado , qual a probabilidade de obtermos coroa e um número menor que 3 ? R:1/6 13) Tira-se ao acaso uma carta de um baralho. Qual a probabilidade de: a)a carta ser um rei e carta de copas b) ser uma figura de ouro ou de copas? R: a)1/52 b)3/26 14) (ITA) Retiram-se 3 bolas de uma urna que contém 4 bolas verdes, 5 bolas azuis e 7 bolas brancas. Se P1 é a probabilidade de não sair bola azul e P2 é a probabilidade de todas as bolas saírem com a mesma cor, então a alternativa que mais se aproxima de P1 + P2 é a) 0,21.. b) 0,25.. c) 0,28. d) 0,35 e) 0,40 R:e




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15) (ITA) Em um jogo da Mega Sena em que a cartela tem 60 dezenas disponíveis, a probabilidade de voce acertar os 6 números sorteados, escolhendo apenas 6 dezenas da cartela é de uma chance para cada: a) 100 mil b) 1 milhão c) 5 milhões d) 50 milhões e) 1 bilhão 16) (PUCRS) Duas moedas são jogadas simultaneamente. A probabilidade de uma dar cara e a outra coroa é de? R:1/2 17) (ENEM) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico:

A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012? R:1/20 Testes de Vestibular Probabilidade 1. (Unesp) Após uma partida de futebol, em que as equipes jogaram com as camisas numeradas de 1 a 11 e não houve substituições, procede-se ao sorteio de dois jogadores de cada equipe para exame anti-doping. Os jogadores da primeira equipe são representados por 11 bolas numeradas de 1 a 11 de uma urna A e os da segunda, da mesma maneira, por bolas de uma urna B. Sorteia-se primeiro, ao acaso e simultaneamente, uma bola de cada urna. Depois, para o segundo sorteio, o processo deve ser repetido com as 10 bolas restantes de cada urna. Se na primeira extração foram sorteados dois jogadores de números iguais, a probabilidade de que aconteça o mesmo na segunda extração é de: a) 0,09. b) 0,1. c) 0,12. d) 0,2. e) 0,25. 2. (Fuvest-gv) No jogo da sena seis números distintos são sorteados dentre os números 1, 2,....., 50. A probabilidade de que, numa extração, os seis números sorteados sejam ímpares vale aproximadamente: a) 50 % b) 1 % c) 25 % d) 10 % e) 5 % 3. (Unesp) Tomando-se, ao acaso, uma das retas determinadas pelos vértices de um pentágono regular, a probabilidade de que a reta tomada ligue dois vértices consecutivos é: a) 1/2 b) 4/5 c) 1/5 d) 2/5 e) 3/5 4. (Unesp) Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados, a probabilidade de que suas faces superiores exibam soma igual a 7 ou 9 é: a) 1/6 b) 4/9 c) 2/11 d) 5/18 e) 3/7


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5. (Cesgranrio) Uma urna contém 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso, são sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de que ambas sejam brancas vale: a) 1/6 b) 2/9 c) 4/9 d) 16/81 e) 20/81 6. (Fatec) Considere todos os números de cinco algarismos distintos obtidos pela permutação dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses números, ao acaso, a probabilidade dele ser um número ímpar é a) 1 b) 1/5 c) 2/5 d) 1/4 e) 1/5 7. (Fei) Uma caixa contém 3 bolas verdes, 4 bolas amarelas e 2 bolas pretas. Duas bolas são retiradas ao acaso e sem reposição. A probabilidade de ambas serem da mesma cor é: a) 13/72 b) 1/18 c) 5/18 d) 1/9 e) 1/4 8. (Fei) Em uma pesquisa realizada em uma Faculdade foram feitas duas perguntas aos alunos. Cento e vinte responderam "sim" a ambas; 300 responderam "sim" à primeira; 250 responderam "sim" à segunda e 200 responderam "não" a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter respondido "não" à primeira pergunta? a) 1/7 b) ½ c) 3/8 d) 11/21 e) 4/25 9. (Puccamp) O número de fichas de certa urna é igual ao número de anagramas da palavra VESTIBULAR. Se em cada ficha escrevermos apenas um dos anagramas, a probabilidade de sortearmos uma ficha dessa urna e no anagrama marcado as vogais estarem juntas é a) 1/5040 b) 1/1260 c) 1/60 d) 1/30 e) 1/15 10. (Uel) Num baralho comum, de 52 cartas, existem quatro cartas "oito". Retirando-se duas cartas desse baralho, sem reposição, qual a probabilidade de se obter um par de "oitos"? a) 1/2704 b) 1/2652 c) 1/1352 d) 1/221 e) 1/442 11. (Uel) Uma urna tem 100 cartões numerados de 101 a 200. A probabilidade de se sortear um cartão dessa urna e o número nele marcado ter os três algarismos distintos entre si é de a) 17/25 b) 71/100 c) 18/25 d) 73/100 e) 37/50 12. (Unirio) Considerando-se um hexágono regular e tomando-se ao acaso uma de suas diagonais, a probabilidade de que ela passe pelo centro do hexágono é de: a) 1/9 b) 1/6 c) 1/3 d) 2/9 e) 2/3 13. (Fatec) Numa eleição para prefeito de uma certa cidade, concorreram somente os candidatos A e B. Em uma seção eleitoral votaram 250 eleitores. Do número total de votos da uma dessa seção, 42% foram para o candidato A, 34% para o candidato B, 18% foram anulados e os restantes estavam em branco. Tirando-se, ao acaso, um voto dessa urna, a probabilidade de que seja um voto em branco é: a) 1/100 b) 3/50 c) 1/50 d) 1/25 e) 3/20 14. (Mackenzie) Numa urna são colocadas 60 bolas iguais, numeradas de 1 a 60. A probabilidade de sortearmos, sucessivamente, com reposição, 3 bolas com números que são múltiplos de 5, é: a) 8 % b) 0,8 % c) 0,08 % d) 0,008 % e) 0,0008 %




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15. (Unirio) Joga-se um dado três vezes consecutivas. A probabilidade de surgirem os resultados a seguir, em qualquer ordem, é:

a) 1/216 b) 1/72 c) 1/36 d) 1/18 e) 1/3 16. (Mackenzie) Numa competição de tiro ao alvo, a probalidade de um atirador A errar é 8% e a de um atirador B errar é o dobro. Ocorridos 200 tiros, 100 para cada atirador, e tendo havido erro num dos tiros, a probabilidade do mesmo ter sido dado por A é: a) 1/5 b) 1/3 c) 3/4 d) 1/2 e) 1/6 17. (Cesgranrio) Em cinco cartões numerados de 1 à 5, escolhemos ao acaso um desses cartões. A probabilidade de que o logaritmo na base 2 deste número seja número natural é de: a) 0 b) 1/5 c) 2/5 d) 3/5 e) 4/5 18. (Mackenzie) No lançamento de 4 moedas, a probabilidade de ocorrerem duas caras e duas coroas é: a) 1/16 b) 3/16 c) 1/4 d) 3/8 e) 1/2 19. Retirando-se duas cartas de um baralho, sem reposição, qual a probabilidade de sair duas cartas de ouro? a) 5,88% b) 17,67% c) 20,67% d) 23% e) 26% 20. (Mackenzie) As oito letras da expressão "BOA PROVA" são escritas, uma em cada etiqueta de papel. A probabilidade das letras serem sorteadas, sem reposição, uma após a outra, formando essa frase é: a) 1/8! b) 2/8! c) 8% d) 4/8! e) 8/8! 21. (Uff) Em uma bandeja há dez pastéis dos quais três são de carne, três de queijo e quatro de camarão. Se Fabiana retirar, aleatoriamente e sem reposição, dois pastéis desta bandeja, a probabilidade de os dois pastéis retirados serem de camarão é: a) 3/25 b) 4/25 c) 2/15 d) 2/5 e) 4/5 22. (Unirio) Numa urna existem bolas de plástico, todas do mesmo tamanho e peso, numeradas de 2 a 21, inclusive e sem repetição. A probabilidade de se sortear um número primo ao pegarmos uma única bola, aleatoriamente, é de: a) 45% b) 40% c) 35% d) 30% e) 25% 23. (Uerj) Os números naturais de 1 a 10 foram escritos, um a um, sem repetição, em dez bolas de pingue-pongue. Se duas delas forem escolhidas ao acaso, o valor mais provável da soma dos números sorteados é igual a: a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 24. (Ufrn) "Blocos Lógicos" é uma coleção de peças utilizada no ensino de Matemática. São 48 peças construídas combinando-se 3 cores (azul, vermelha e amarela), 4 formas (triangular, quadrada, retangular e circular), 2 tamanhos (grande e pequeno) e 2 espessuras (grossa e fina). Cada peça tem apenas uma cor, uma forma, um tamanho e uma espessura.Se uma criança pegar uma peça, aleatoriamente, a probabilidade dessa peça ser amarela e grande é a) 1/12 b) 1/6 c) 1/3 d) 1/2


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25. (Fatec) Jogam-se dois dados, exatamente iguais e sem vícios, ambos tendo as faces numeradas de 1 a 6. A probabilidade de se obter a soma dos números nos dois dados igual a 5 é: a) 1/6 b) 0,1 c) 0,4 d) 0,111... e) 4% 26. (Fgv) A área da superfície da Terra é aproximadamente 510 milhões de km2. Um satélite artificial dirige-se aleatoriamente para a Terra. Qual a probabilidade de ele cair numa cidade cuja superfície tem área igual a 102 km2? a) 2 . 10-9 b) 2 . 10-8 c) 2 . 10-7 d) 2 . 10-6 e) 2 . 10-5 27. (Fgv) Um recipiente contém 4 balas de hortelã, 5 de morango e 3 de anis. Se duas balas forem sorteadas sucessivamente e sem reposição, a probabilidade de que sejam de mesmo sabor é: a) 18/65 b) 19/66 c) 20/67 d) 21/68 e) 22/69 28. (Puc-rio) De sua turma de 30 alunos, é escolhida uma comissão de 3 representantes. Qual a probabilidade de você fazer parte da comissão? a) 1/10. b) 1/12. c) 5/24. d) 1/3. e) 2/9. 29. (Puc-rio) As cartas de um baralho são amontoadas aleatoriamente. Qual é a probabilidade de a carta de cima ser de copas e a de baixo também? O baralho é formado por 52 cartas de 4 naipes diferentes (13 de cada naipe). a) 1/17. b) 1/25. c) 1/27. d) 1/36. e) 1/45. 30. (Fgv) Uma caixa contém 1.000 bolinhas numeradas de 1 a 1.000. Uma bolinha é sorteada. A probabilidade de a bolinha sorteada ter um número múltiplo de 7 é: a) 0,139 b) 0,140 c) 0,141 d) 0,142 e) 0,143 31. (Fgv) Um lote com 20 peças contém 2 defeituosas. Sorteando-se 3 peças desse lote, sem reposição, a probabilidade de que todas sejam NÃO DEFEITUOSAS é: a) 68/95 b) 70/95 c) 72/95 d) 74/95 e) 76/95 32. (Mackenzie) Sorteado ao acaso um número natural n,1´n´99, a probabilidade de ele ser divisível por 3 é: a) 2/3 b) 1/3 c) 1/9 d) ½ e) 2/9 33. (Fgv) Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 brancas. Três bolas são sucessivamente sorteadas, sem reposição. A probabilidade de observarmos 3 bolas brancas é: a) 1/15 b) 1/20 c) 1/25 d) 1/30 e) 1/35 34. (Ufpe) Formando três pares, aleatoriamente, com Joaquim, Pedro, Carlos, Maria, Joana e Beatriz, qual a probabilidade de Joaquim e Carlos formarem um par? a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5




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Resposta: 1. [b]; 2. [b]; 3. [a]; 4. [d]; 5. [a]; 6. [c]; 7. [c]; 8. [d]; 9. [d]; 10. [d]; 11. [c]; 12. [c]; 13. [b]; 14. [b]; 15. [d]; 16. [b]; 17[c]; 18. [d] 19. [a]; 20. [d]; 21. [c]; 22. [b]; 23. [c]; 24. [b]; 25. [d]; 26. [c] ; 27. [b]; 28. [a]; 29. [a] 30. [d]; 31. [a]; 32. [b]; 33. [d]; 34. [b] 35. [c]

Probabilidade do Método Binomial

Note também que a probabilidade de sucesso ou fracasso é sempre a mesma em cada lançamento. Nestas condições a probabilidade de obtermos k sucessos e n - k fracassos em n tentativas, é obtida pelo termo geral do Binômio de Newton: Exemplo: Um dado é jogado 9 vezes qual a probabilidade de sair o número 4 cinco vezes? P(A)= C9,5 . (1/6)5 . (5/6)4

Exercícios 1) (ENEM) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? a) 2 × (0,2%)4 b) 4 × (0,2%)2 c) 6 × (0,2%)2 × (99,8%)2 d) 4 × (0,2%) e) 6 × (0,2%) × (99,8%)

2) Um dado é jogado 7 vezes . Qual a probabilidade de sair o número 5 quatro vezes? 3) Uma moeda é lançada 8 vezes. Qual a probabilidade de sair cara 5 vezes? 4) Uma senhora teve 10 filhos, 5 homens e 5 mulheres. Qual a probabilidade de sua filha tendo também 10 filhos sair com as mesmas quantidades de filhos homens e mulheres da mãe? 5) Uma prova é constituida de 10 exercícios em forma de testes com 5 alternativas. Se um aluno "chutar" todas, qual a probabilidade de acertar 6 questões? 6) Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes?


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CONJUNTOS E FUNÇÕES

CONJUNTOS NUMÉRICOS INTRODUÇÃO : conjunto dá uma idéia de coleção. Assim toda coleção de objetos , pessoas , animais , coisas constitui um conjunto. Os objetos que formam um conjunto são denominados ELEMENTOS. - Pertinência x � A (lê-se : x pertence a A) x � A (lê-se : x não pertence a A) “�” e “�” são símbolos utilizados na relação elemento conjunto. Ex : 2 � {1 , 2 , 3} - Subconjuntos A � B (lê-se A está contido em B) ou B � A (lê-se B contém A) Os símbolos � , � , � são utilizados para relacionar conjunto com conjunto Ex : {1 , 2} � {1 , 2 , 3 , 4} {3 , 4 , 5} � {3 , 4} OPERAÇÕES COM CONJUNTOS : 1) UNIÃO : é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a “A” ou a “B”. A � B (lê-se : A união B) Ex : A = {0 , 1 , 2} ; B = {2 , 3} � A � B = {0 , 1 , 2 , 3} 2) INTERSECÇÃO : é o conjunto de elementos que são comuns a A ou B A � B (lê-se : A intersecção B) Ex : A = {1 , 2 , 3 , 4} ; B = {3 , 4 , 5 , 6} � A � B = {3 , 4} 3) DIFERENÇA DE CONJUNTOS : é o conjunto dos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B. A - B (lê-se A menos B) 4) COMPLEMENTAR CAB = A - B = complementar de B em relação a A Ex : B = {2 , 3} A = {0 , 1 , 2 , 3 , 4} CAB = A - B = {0 , 1 , 4}




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CONJUNTOS NUMÉRICOS

1) NATURAIS ( 1 ) = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ...} 2) INTEIROS ( Z ) = {... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , ...) 3) RACIONAIS ( Q ) = são todas as frações positivas negativas , nos inteiros. obs : os números com dízima periódica (ex : 0,333... , 0,252525...) são nos racionais pois para eles existe a fração geratriz : 0,333 = 3/9 0,2525... = 25/99 Q = {x / x = a/b , com a � Z , b � Z e b z 0} Resumindo nos racionais são todas as frações de números inteiros. 4) IRRACIONAIS : são os números com decimais infinitos não periódica. Ex : 2 = 1,41421.... ; 3 = 1,73205.... 5) REAIS : resultam da união dos números racionais com números irracionais. INTERVALOS: qualquer subconjunto dos nos reais. Representação Geométrica Representação Algébrica {x � R / a < x d b} forma de conjunto a b ]a ; b] ou (a ; b] forma de intervalo Exercícios : 01) Determine se é F ou V : a) 3 � {1 , 2 , 3} ( ) b) 2 � {1 , 5} ( ) c) 4 � {2 , 6} ( ) d) 8 � {8 , 5} ( ) e) {7} � {{2} , {7}} ( ) f) {3} � {1 , 2 , 3} ( ) g) {2} � {1 , 2 , 3} ( ) h) {1} � {1 , 2 ,3} ( ) i) {2} � {{2}} ( ) j) {5 , 4 , 3}�{1, 3 ,4 ,5} ( ) l) {2 , 5} � {1 , 3 , 5} ( ) m) {6 , 7} � {6 , 7 , 8} ( ) n) I � {1 , 2 , 3} ( ) o) {5 , 6 , 8} � {5 , 6} ( ) p) {5 , 3} � {1} ( ) q) {2} � {{1} , {2}} ( ) r) {1} � {{1}} ( ) s) 2 � {1 , 2 , 3} ( ) 02) Determine por extensão os conjuntos : a) {x � N* / x < 5} b) {x � N / -2 d x < 9} c) {x � Z* / -2 d x < 2}


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d) {x � Z / x2 = 64} e) {x � Z / x2 - 4x - 5 = 0} 03) Se A = {1 , 3 , 5 , 7 , 9}; B = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5}; C = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7}; D = {2 , 3}; E = {0 , 1} , então calcule : a) A � B b) A � D c) A � E d) A � C e) B � E f) A - A g) A - C h) CBC 04) Escreva os seguintes intervalos na forma de conjuntos e representa-os numa reta numerada. a) [1 ; 3] b) [2 ; 5] c) (3 ; 4) d) (-6 ; 8] e) (2 ; + f) f) [3 ; + f) g) (-f ; 1] 05) Escreva os conjuntos na forma de intervalos : a) {x � R / 1 d x d 2} b) {x � R / 2 < x < 5} c) {x � R / 2 d x < 10} d) {x � R / 4 < x d 9} e) {x � R / x d 3} f) {x � R / x < 1} 6) Numa escola de 630 alunos, 350 estudam Matemática, 210 estudam Física e 90 estudam as duas disciplinas (Mat e Fís). a) Quantos alunos estudam apenas Mat? b) Quantos alunos estudam apenas Fís? c) Quantos alunos estudam Mat ou Fís? d) Quantos não estudam nenhuma disciplina? e) Quantos estudam apenas uma disciplina? 7) Numa pesquisa, 100 pessoas liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais (A e B) e 110 não liam nenhum jornal. Quantas pessoas foram consultadas nessa pesquisa? 8) Numa pesquisa de consumo feita em uma cidade, verificou-se que foram consumidos dois produtos, S e P. Qual é o numero de pessoas consultadas

Produto S P S e P Nenhum dos dois Número de consumidores 210 180 50 40


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9) Em uma campanha de vacinação de idosos um posto de saúde foram aplicadas as seguintes vacinas: (1) Gripe, (2) Pneumococos e (3) Antitetânica Qual o númesro de pessoas vacinadas? Respostas : 01) a)V b)F c)V d)F e)V f)F g)F h)V i)V j)F l)F m)V n)V o)V p)F q)F r)F s)F ; 03) a){0 , 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 7 , 9} b){1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 9} c){0 , 1 , 3 , 5 , 7 , 9} d){3 , 5 , 7}; e){0 , 1} f) I g){1 , 9} h){0 , 1} 6) a) 260 b) 120 c) 470 d) 160 e)380 7) 340 8) 380 9) 480

FUNÇÕES DEFINIÇÃO : sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B , essa relação f é uma função de A e B quando a cada elemento x do conjunto A está associada um e um só elemento y do conjunto B. Pode-se escrever : f : A o B (lê-se : f é uma função de A em B) Ex Para ser função todos os indio devem lançar sua flecha , porém não pode lançar duas flechas ao mesmo tempo, I1 m1 I2 m2 m4 I3 m3 m5 DOMÍNIO , IMAGEM E CONTRADOMÍNIO Sejam os conjuntos A = {0 , 1 , 2} e b = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5} , vamos considerar a função f : A o B definida por y = x + 1 ou f (x) = x + 1 0 1 0 D = {0 , 1 , 2} 1 2 4 Im = {1 , 2 , 3} 2 3 5 Contradomínio = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5} OBS : Domínio também é chamado Campo de Definição ou Campo de Existência. TIPOS DE FUNÇÃO 1) Função Par f (x) = f (-x) 2) Função Ímpar f (x) = -f (-x)

Vacina Número de vacinados (1) 300 (2) 200 (3) 150

(1) e (2) 50 (1) e (3) 80 (2) e (3) 70

(1), (2) e (3) 30

A B

A B


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3) Função Crescente x1 < x2 e f (x1) < f (x2) 4) Função Decrescente x1 < x2 e f (x1) > f (x2) 5) Função Composta Seja f (x) = x + 2 e g (x) = 3x2 - 1 Ao colocarmos a função g (x) no lugar da variável “x” da função f (x) estamos compondo a função fog ou f (g(x)) (lê-se : f composta com g). 6) Função Inversa É indicada por f -1. Define uma correspondência contraria , isto é , de y para x. Exercícios e Testes de Vestibular : 01) (Mack-SP)- Se f (x - 1) = x2 , então o valor de f (2) é : a) 1 b) 4 c) 6 d) 9 e) impossível de calcular com a informação dada. 02)(UFRGS)Se p é um número real, a equação x2 + x + 1 = p possui duas raízes reais distintas se, e somente se : a) p > 3/4 b) p < 3/4 c) p > 4/3 d) p > 0 e) p é um número real qualquer. 03) (PUC ) - A determinação por compreensão do conjunto A = [ a ; b ] é a) {x �1 / a d x d b } b) {x � Z / a d x d b} c) {x � Q / a d x d b} d) {x � R / a d x d b} e) { x � C / a d x d b} 04) (FEI-SP)- Qual das seguintes curvas não representa função ? a) y b) y c) y d) y e) y 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 05) (PUCRS) - Se f (x) = logx, então f (1/x) + f (x) é igual a a) 10 b) f (x2) c) - f (x) d) 1 e) 0




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06) (PUC-SP)- Qual das funções a seguir é par ? a) f (x) = 1/x2 b) f (x) = 1/x c) f (x) = x d) f (x) = x5 e) n.d.a 07) (UFRGS)- O gráfico da função f(x) = x2 + px + 1 intercepta o eixo das abcissas em dois pontos distintos, se e somente se a) p � -2 b) p ! 0 c) -2 � p � 2 d) p� 0 ou p ! 2 e) p� -2 ou p ! 2 08) Seja A função definida por f (x) = x2 - 9. A imagem e o domínio da função é ? 09) (UEL-PR) Seja a função f (x) = ax3 + b. Se f (-1) = 2 e f (1) = 4 , então a e b valem : a) -1 e -3 b) -1 e 3 c) 1 e 3 d) 3 e -1 e) 3 e 1 10) (UFP-RS)- Qual o domínio de y = x2 - 7x + 10 ? 2x + 7 a) R - {-7/2} b) (-7/2 , + f) c) [-7/2 , + f] d) (2 , 5) e) I 11) (Cescem-SP)- Se f (x) = a + 1 e g (z) = 2z + 1 , então g (f (x)) vale : a) 2a + 2 b) a + 4 c) 2a - 3 d) 2a + 3 e) a + 3 12) (Mack-SP)- Sejam f dada por f (x) = 2x - 1 e g dada por g (x) = x + 1. Então g(f (2)) é a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5




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13) (Mack-SP)- Dadas as funções f , g e h , de R em R , definidas por f (x) = 3x, g (x) = x2 - 2x + 1 e h (x) = x + 2 , então h(f (g(2))] é igual a : a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14) (Fatec-SP)- Sejam f : R o R e g : R o R , funções definidas por f (x) = x - 4t e g (x) = x2 - t. Se f (g(1)) = 16 , então t é igual a : a) 5 b) 3 c) 0 d) -3 e) -5 15) (FCC-SP)- A função inversa da função f (x) = 2x - 1 é :

x + 3 a) f -1(x) = x + 3 2x - 1 b) f -1(x) = 2x + 1 x - 3 c) f -1(x) = 1 - 2x 3 - x d) f -1(x) = 3x - 1 x - 2 e) f -1(x) = 3x + 1 2 - x 16) Quais das seguintes relações são funções : a) b) c) d) -4 16 -4 2 -4 3 -4 2 4 4 4 2 4 2 4 2 -2 1 -2 2 1 -3 2 1 -2 3 2 0 -2 -1 -2 0 2 1 2

17) Determine a inversa das funções :

a) f (x) = x + 3

b) f (x) = (2x - 5) / (x + 1) 18) A partir do gráfico , determinar o domínio e a imagem : a) y b) y c) y 5 3 3 3 7 x x x d) y e) y f) y 3 não é função x x x


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19) Sendo f (x) = x2 + x e g (x) = x + 2 , determinar : a) fog b) gof c) g(3) d) f (g(2)) e) g(f (-1)) 20) (ENEM) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão T(t) = − t 2/4 + 400, com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39 ºC.Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? 20) (ENEM) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações: QO = –20 + 4P QD = 46 – 2P em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto.A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam. Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? Respostas : 01) d 02) a 03) d 04) d 05) e 06) a 07) e 08) Im = [-9 ; +f[ ; D = R 09) c 10) b 11) d 12) d 13) e 14) d 15) e 16) b e d 17) a) y-1 = x - 3 ; b) y-1 = (5 + x) / (2 - x) 18) a) D =]3 ;7] ; I = ]3 ;5] , b) D = R+ ; I = R+ , c) D = R+ ; I = {3} , d) D = R* ; I = R* , D = R ; I = ]-f;3] ; 19) a) x2 + 5x + 6 ; b) x2 + x + 2 ; c) 5 ; d) 20 ; e) 2 20) 38 min 21) 11

DOMÍNIO DAS FUNÇÕES

Definimos o domínio D como: o conjunto de todos os valores possíveis da variável independente x. Quando definimos uma função , o domínio D , que é o conjunto de todos os valores possíveis da variável x, pode ser dado explícita ou implicitamente. - Se é dado f (x) = 2x - 3 , sem explicitar o domínio , está implícito que x pode ser qualquer número real x - 2 com exceção do “2” pois 1/0 não é definido. - Se é dado f (x) = x − 2 , sem explicitar o domínio , está implícito que x - 2 pode ser qualquer número real não negativo ou seja : x - 2 t 0 ou x t -2 pois raiz de número negativo não está definido.


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Exercícios: 01) Determine o domínio das equações: a) f (x) = (4x + 9) / (-2x + 5) b) f (x) = 3 − 4x + 7x − 35 02) Determine o domínio das inequações: a) (-x + 5) (2x + 7) d 0 b) 4x + 9 t 0 -2x + 5 c) Determine o domínio da função

f(x) = (x + 3) (−x − 5) (2x + 11) d) x (2x + 13) (-x - 5) < 0 e) -2x + 7 t 0 4x + 5 f) x d 0 -2x + 3

g) 2x + 3 < 1 x + 2 h) x2 - 3x - 10 d 0 x + 4 i) (x2 - x - 12) (x + 8) > 0 x - 4 j) (UFRGS) O domínio da função real de variável real definida por

)x3)(x1()x(f �� é o intervalo a) ( -v , -3]. b) [-3, -1). c) (-3, 0). d) [-3, 1]. e) [1,+v).

Respostas: 01) a) D = R - {5/2} b) D = {x � R ~ x d 3/4} 02) a) D = {x � R ~ x d -7/2 ou x t 5} b) {x � R ~ -9/4 d x < 5/2} c) {x � R ~ -11/2 < x < -5 ou x > -3} d) {x � R ~-13/2 < x < -5 ou x > 0} e) {x � R ~ -5/4 < x d 7/2} f) {x � R ~ x d 0 ou x > 3/2} g) {x � R ~ -2 < x < -1} h) {x � R ~ x < -4 ou -2 d x d 5 i) {x � R ~ x < -8 ou x > -3} j)d




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MATRIZES

DEFINIÇÃO : são tabelas de nos reais utilizados em quase todos os ramos da ciência e da engenharia. - Várias operações executadas por cérebros eletrônicos são computações por matrizes. - São utilizadas na estatística , economia , física etc. 1) Matriz Identidade ou Matriz Unidade : é uma matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são iguais a zero.

I2 = 1 00 1 I3 =

1 0 00 1 00 0 1

2) Matriz Inversa : A . A-1 = I 3) Matriz Transposta (At) : troca-se ordenadamente as linhas pelas colunas. 4) Matriz Simétrica : A = At 5) Cofator Adjunto : Cij = (-1) i + j . Det Mij

Ex : A = 3 1 −24 −1 20 3 1

C1,3 = (-1)1 + 3 . 4 −10 3

6) Multiplicação de Matrizes : A x B (linha da A x coluna da B)

Tipos de matrizes

Matriz quadrada Dizemos que uma matriz A de ordem m x n é quadrada, quando m = n. Isso significa que o número de linhas será igual ao número de colunas. Podemos representar este tipo de matriz por An.

Exemplos:

Matriz triangular

http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/11/matrizes4.jpg


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Uma matriz de ondem n (quadrada) é triangular quando todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos (iguais à zero).

Exemplos:

Lembrete: O enunciado diz que os elementos acima OU abaixo da diagonal principal, na matriz quadrada, são nulos, ou seja, somente uma dessas partes (acima ou abaixo) deverá estar nula para caracterizar uma matriz quadrada. Quando estas duas partes são nulas, temos outro tipo de matriz, a diagonal, como veremos em seguida.

Matriz diagonal A matriz, de ordem n (quadrada), diagonal é aquela em que todos os elementos acima e baixo da diagonal principal são nulos.

Matriz identidade ou unidade

Matriz identidade é uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os elementos acima e abaixo desta diagonal são nulos (iguais a zero). Podemos representar esta matriz por In.

Matriz nula

Numa matriz nula, todos os elementos são iguais à zero. Podemos representar uma matriz nula m x n por 0m x n; caso ela seja quadrada, indica-se por 0n.


http://www.infoescola.com/matematica/matriz-identidade/


http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/11/matriz-triangular.jpg

http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/11/matriz-diagonal.jpg

http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/11/matriz-identidade.jpg

http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/11/matriz-nula.jpg


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Matriz linha

É toda matriz que possui apenas uma linha. Numa matriz linha m x n, m = 1.

Matriz coluna

É toda matriz que possui apenas uma coluna. Numa matriz coluna m x n, n = 1.

DETERMINANTES

PROPRIEDADES : 1) Duas filas paralelas e proporcionais originam determinante zero. 2) Det A = Det At 3) O determinante muda o sinal quando se troca de posição 2 filas paralelas. 4) Quando se multiplica uma fila por um número , o determinante fica multiplicado por esse número. Exercícios e Testes de Vestibular :

01) Calcule A . B sendo A = 1 −22 3

−1 4 e B = −1 −2 3

4 1 2

02) (UFRGS) - Se A = 1 1

−1 −1 , então A2 é a matriz

03) Dadas as matrizes A = 0 2 4

−6 3 y5 1 2

e B = 0 −6 5x 3 14 8 z

calcule x, y e z p/ que

B = At



http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/11/matriz-linha.jpg


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04) Determinar x e y tal que : x - 2 7 = y + 2 7 -5 y + 2 -5 -x + 2

05)(PUCRS)Dadas as matrizes A= 4 5 6

−1 2 13 −2 −6

e B= −1 2 50 1 1

−1 −3 0 , a segunda linha da

matriz 2AB é : a) -1 3 2 b) 0 4 2 c) 0 2 1 d) 0 -3 -3 e) 0 -6 -6 06) Sendo Aij = 3i + j2 e (Aij)i x j com (Aij) 3 x 3 construa a matriz. 07)(UFRGS)Se A é uma matriz 2x2 e det A = 5, então o valor de det 2A é : a) 5 b)10 c) 20 d) 25 e) 40

i + j , se i < j 08) Construa a matriz Aij quadrada de ordem 3 onde: Aij = 3i , se i = j i - j , se i > j 09) Determine a inversa da matriz A = 1 3

2 4 10) Se 3 2

1 4 . a 1−2 b = 5 7

−5 9 Calcule a + b.

11) Calcule o determinante da matriz

2 3 3 2 3 3 3 30 2 0 0 2 3 2 3

12) Calcule o determinante da matriz : 2 3 1 4

−1 2 3 50 0 4 0

−1 2 −1 1




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13) (PUC)Se A = 2 10 −1 , B = −4 −2

5 −2 e C = 1 23 4 , então det >(A+B)t . (B+C)t@ é igual

a a) -256 b) 256 c) 96 d) -66 e) 66

14) Calcule os cofatores C13 , C21 , C33 da matriz : A = 3 1 −24 −1 20 3 1

15) (UFRGS)-Na igualdade matricial 1 0 0x 1 0y x 1

123 =

111 , o valor de x + y é

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

16)(PUCRS) O determinante da matriz senx senx cotg cosx cosx −1

0 senx tgx é

a) 0 b) 1 c) sen x + cos x d) sen2x e) ( sen x + cos x )2

17) O elemento C22 da matriz C = AB, A = 1 2 3 45 6 7 8

−1 0 0 1 B =

7 1 28 1 15 0 04 0 1

é?

a) 0 b) 2 c) 6 d) 11 e) 22

Respostas: 01) −𝟗 −𝟒 −𝟏𝟏𝟎 −𝟏 𝟏𝟐𝟏𝟕 𝟔 𝟓

02) 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 03) 2 , 8 e 2 04) x = 2 ; y = -2 05) e

06) 𝟒 𝟕 𝟏𝟐𝟕 𝟏𝟎 𝟏𝟓𝟏𝟎 𝟏𝟑 𝟏𝟖

07) c 08) 𝟑 𝟑 𝟒𝟏 𝟔 𝟓𝟐 𝟏 𝟗

09) 𝟐 𝟑/𝟐𝟏 −𝟏/𝟐 10) 5 11) -12 + 5 6 12) -112

13) d 14)12,-7,-7 15 )b 16)b 17) a




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SISTEMAS

Discussão ' z 0 o possível e determinado o solução única 'x = 'y = 'z = 0 o possível e indeterminado o infinitas soluções Se ' = 0 'x z 0 � 'y z 0 � 'z z 0 o impossível o sem solução 1) (ITA) O sistema linear não admite solução se e somente se o número real b for igual a

bx + y = 1by + z = 1x + bz = 1

a) –1. b) 0. c) 1. d) 2. e) –2. 2) (UFRGS) Sabendo-se que um polinômio p(x) de grau 2 e satisfaz p(1) = - 1, p(2) = - 2 e p(3) =-1, é correto afirmar que a soma de suas raízes é a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.

3)05(UFRGS) – O conjunto solução do sistema 2x + y + 3z = 0 3x – 2y + z = 0 é: x – 3y – 2z = 0 a) ^( 1, 1, -1) `. b) constituído apenas pela solução nula. c) vazio. d) finito, mas constituído por mais de uma solução. e) infinito. 4) O sistema linear x + y + z = 2 é compatível e determinado quando: x – y + mz = 0 mx + 2y + z = 3 a) m z 0 e m z -1 d) m z 0 e m z 1 b) m z -1 e m z 1 e) m = 0 ou m = 1 c) m = -1 ou m = 1


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5) (PUCRS) Para que o sistema 24x+2y = 8m

2x + y = 6n , onde x e y são variáveis, tenhasolução, o

valor de n deve ser: a) m / 4 c) 4m / 3 e) 4m b) m d) 2m 6) (PUCRS) Os valores reais de a e b, para que o sistema

3x + ay + 4z = 0x + y + 3z = −52x − 3y + z = b

,seja

compatível e indeterminado, é: a) a = -2, bz 5 d) a z -2, b H R b) a = -2, b = 5 e) a H R, b z 5 c) a z -2, b = 5 7) (PUCRS) O sistema 3x + my = n

x + 2y = 1 admite infinitas soluções se e somente se o

valor de m – n é: a) 9 b) 6 c) 3 d) 1 e) 0 Respostas - sistemas: 1) a 2) e 3) e 4) d 5) e 6) b 7) C

FUNÇÃO MODULAR

A função modular f : R -> R é definida por f (x) = |x|, se:

x |x| = x , se x > 0 x -x , se x < 0 , portanto temos que a função modular é definida por duas sentenças:

f (x) = x, se x>0 e f (x) = -x, se x<0.

Equação modular A equação modular está baseada nas seguintes propriedades: Se a > 0 e |x| = a, então x = a ou x = -a; Se a=0 e |x| = 0, então x = 0.

Exemplos: 1) Resolver |3x – 2| = 2

|3x – 1| = 2 -> 3x –1 = 2 -> x = 1, ou

3x –1 = -2 ->x = -1/3 Resposta: S = {1, -1/3}

2) Resolver:

|2x – 1| = |x + 3| |2x – 1| = |x + 3| -> 2x – 1 = x + 3 -> x = 4 2x – 1 = - x – 3 -> x = -2/3

Resposta: S = {4, -2/3}


119

Gráfico: Para construir o gráfico da função modular procedemos assim:

1º passo: construímos o gráfico da função onde f(x)> 0

2º passo: onde a função é negativa, construímos o gráfico de – f(x) (“rebate” para o outro lado na vertical).

3º passo: une-se os gráficos

Exemplos:

f(x) = |x| f(x) = |x – 2|

f(x) = |x2 – 4|

Inequação

modular

Exemplos:

1) Resolver a inequação: | x – 1| < 4

| x – 1| < 4 -> -4 < x – 1 < 4

-3 < x < 5

Resposta: S = {x Є R| -3 < x < 5}


|x| > a : x < -a ou x > a

|x| < a : -a < x <a



120

2) Resolver a inequação: | 2x – 3| > 7

| 2x – 3| > 7-> 2x – 3 < -7 -> x < -2

2x – 3 > 7 -> x > 5

Resposta: S = {x Є R| x < -2 ou x > 5 }

Testes de vestibular 1) (UFRGS) |x2+x-1| < 1 2) (UFRGS) |3x+2 | > 5 3) (UFRGS) O domínio da função f(x)= 12 �� x

4) (ENE) |1-3x| < 5 5) (UFRJ) | 1 – 4x/5 | > 3 6) (PUCRS) 3 < | 2x-1| d 5 Respostas: 1) (-2 ; -1) U (0 ; 1) 2)(-f ; -7/3) U (1 ; +f ) 3) [-1 ;3] 4)(-4/3 ; 2) 5) (-f ; -5/2)U (5 ; +f ) 6)[-2;--1) U (2;-3] Fazer os gráficos das funções modulares 7) y = | x-3| 8) y = |x2-1|


121

BINÔMIO DE NEWTON

Tp + 1 = Cn , p . ap . x n - p Exercícios: 01) Faça o desenvolvimento (x + 7) 4 02) O oitavo termo do desenvolvimento de (x + 3)12. 03) Determine o quarto termo do desenvolvimento (x2 + 3/x)6. 04) (PUCRS) - Se o terceiro termo do desenvolvimento de (a + b)n é 21.a5.b2, então o sexto termo é 05) O termo médio do desenvolvimento (2x3 + 3y)6 é ? 06) O termo médio do desenvolvimento (3x + y3)8 é ? 07) O termo médio do desenvolvimento (x2/2 - 2 / x )8 é ?

08) No binômio (2x2 + 3x)6 , determinar termo médio. 09) Calcule o termo independente (1/x + x )9. 10) Calcule o termo independente (2/x2 - 3x)6. 11) No desenvolvimento do binômio (3x2 + 1/x)9 o termo independente de x é ? 12) No binômio (ax - 1)6 , qual o valor de “a” para que o quinto termo seja 60x2 ? 13) O termo em x4 no desenvolvimento (2x3 + 1/x)8 é ? 14) O termo em x3 no desenvolvimento ( x - a2/x)15 é ?

Respostas: 01) C4 , 0 . x4 . 70 + C4 , 1 . x3 . 71 + C4 , 2 . x2 . 72 + C4 , 3 . x1 . 73 + C4 , 4 . x0 . 74 02) C12 , 7 . x5 . 37 03) 540 . x3 04) 21 . a2 . b5 05) 4320y3 . x9 06) 5670y12 . x4 07) 70x6 08) 4320x9 09) 84 10) 4860 11) 2268 12) 2 13) 448x4 14) -455 . a6 . x3 15)165 3 75




122

NÚMEROS COMPLEXOS

1) Vamos admitir , a existência da equação x2 + 4 = 0 � x = −4 sem solução Para que a equação fosse possível criou-se um no cujo quadrado é -1. i2 = -1 Portanto x = r −4= r −1 . 4 = r i2 . 4 = r 2i 2) Forma Algébrica Z = a + bi com a , b � R - o no “a” é a parte real de Z - o no “b” é a parte imaginária de Z 3) Conjugado ( Z ) Z = a + bi � Z = a - bi 4) Potências de i

Resto iRESTO Valor da Potência

0 1 2 3

i0

i1

i2 i3

1 i

-1 -i

5) Módulo e Argumento de um número complexo. y

b T = Argumento (ângulo) U T x U = módulo de Z a

cosT = a / U senT = b / U




123

6) Forma Trigonométrica Como a = cosT . U e b = senT . U e Z = a + bi e substituindo a e b Z = cosT . U + senT . U . i Z = U ( cosT + isenT ) Z n = Un .(cos n . T + i . sen n . T) Exercícios e Testes de Vestibular : 01) Determinar o valor de k para que o número z = (k - 3) + 6i seja imaginário puro. 02) Determinar os valores de m para que o número complexo z = 6 + (m2 - 9)i seja um no real. 03) Determinar o conjugado de z = 4 + 5i. 04) Determinar z � � , tal que 5z + z = 12 + 16i. 05) Dado z = 2 + i obtenha z.

i 06)(PUC)- Os números i e 2i são raízes de um polinômio p(x) de grau n e coeficientes inteiros. O valor de n é a) igual a 1 b) igual a 2 c) menor ou igual a 3 d) menor ou igual a 4 e) maior ou igual a 4 07) (UFRGS) - Se w = cos 30o + i sen 30o e z = cos 120o + i sen 120o, então a) w2 + z2 = 0. b) w + z = 0. c) w2 - z2 = 0 d) w - z = 0. e) w4 + z4 = 0. 08) Qual o resultado de i126 ?




124

09) Determinar o módulo e o argumento do complexo z = 3 + i e fazer sua representação geométrica. 10) Passar para a forma trigonométrica o número complexo z = 1 + 3 i 11) Passar para a forma algébrica o número complexo z = 2 (cosS/6 + i . senS/6). 12) (UFRGS) O ângulo formado pelas representações geométrica dos números complexos z 3 i � e z4 é

a) 6S .

b) 4S .

c) 3S .

d) 2S .

e) S. Respostas : 01) 3 02) -3 , 3 03) z = 4 - 5i 04) z = 2 + 4i 05) 1 - 2i 06)e 07) a 08) -1 09) módulo = 2 , argumento = T = S/6 y S / 6 y 3 x 3 10) z = 2 (cosS/3+isenS/3) T 1 x 11) z = 3 + i 12)d Testes de Vestibular 01) (UFRGS) O número complexo 25� é o mesmo que: a) –5 b) –5i c) 5i d) 5 i e) –5 i

02. (UFRGS) O valor de i26 é a) –i b) i c) –1 d) 1 e) 0 03. (PUCRS) As partes real e imaginaria do complexo a + bi são, respectivamente, a) a e bi b) a e b c) a e i


125

d) b e a e) a e –bi 04. (UFRGS) Sendo a e b reais, o número z = (a+bi) . (1 + i) não é real se e somente se a) a z -b b) a z b c) b z 0 d) a = -b e) a = b 05. (PUCRS) O produto (x – 3i) . (3 + xi), em que i é a unidade imaginaria, é um número real, se x é igual a: a) r 2 b) r 3 c) 0 d) 2 e) 3 06. (PUCRS) Tem-se (a + bi) . (2 + i) = 1+ 3i se e somente se a) a = 2 e b = -2 b) a = 1 e b = 3 c) a =1 e b = -1 d) a = -1 e b = 1 e) a = 1 e b = 1 07. (UFRGS) O produto de 2 + bi pelo seu conjugado é 13, com b � R. Os possíveis valores de b são: a) 0 b) r 2 c) r 3 d) r 3 e) r 13

08. (UFRGS) O quociente 1i

i�

é igual a:

a) i b) –i

c) i21

21�

d) i21

21�

e) i21

21��

09. (PUCRS) Se u e v são reais que satisfazem a igualdade 5i – 3 (u –vi) + 2i (u+vi) = 0, onde i é a unidade imaginaria, então u + v é igual a: a) –6 b) –5 c) –1 d) 1 e) 5 10. (PUCRS) Se z = 3 –4i � C, então, Z² é a) 9 + 16i b) 9 – 16i c) –7 + 24i d) –7 –24i e) 7 – 24i 11. (PUCRS) Se (2 + 2i) . (a + bi) = -2 + 18i, então |a-b| é igual a: a) 1 b) 4 c) 5 d) 9 e) 16 12. (PUCRS) Se (a + bi) . (1 + i) = 10, então a + b é igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) 10 13. (PUCRS) O inverso de (2 + i ) é:

a) 4

i2 �

b) 5

i2 �

c) 2 – i

d) 4

i2 �

e) 5

i2 �

14. (UFRGS) Se Z = a + ai, com a � R, então Z4 vale: a) 2a4 b) 4a4 c) 8a4 d) –4a4 e) a4 + a4i


126

15. (UFRGS) A potência [(1+i)²+(1-i)²]205 é igual a: a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 16. (UFRGS) A soma da parte real com o

coeficiente da parte imaginaria de

i1i1

i

��

é: a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 17. (PUCRS) Se a + bi = i43� e a,b > 0, então os valores de a e b são, respectivamente: a) 2 e 1 b) 1 e 1 c) 2 e 3 d) 3 e 2 e) 1 e 2

18. (UFRGS) Se x = 2 i, então 1 3x xx�

� é:

a) –2

b) i3

2232��

c) 2 + 2i d) 2 + 2 2 i e) 2 - 2 2 i 19. (PUCRS) As raízes da equação x² - 2x + 2 = 0 são: a) 2 r 2i b) 1 r 2i c) 2 r i d) 1 r i e) –2 r 2i 20.(UFRGS) O inverso multiplicativo do número complexo 1+ 2i é: a) 1 – 2i b) 2 – i

c) 5i

52�

d) 52

51 i�

e) 5i2

51�

21. (UFRGS) O quociente de –4 3 + 2i por 3 + i é:

a) 2

3i325��

b) –2 c) –10 + 6i 3

d) 2

3i33��

e) –3 - 2i

22. (UFPEL) O valor da expressão

49100

50101

)2i.()i2()i2.()i2(

��

é:

a) r 5 b) 5i c) 5 d) –5i e) –5 23. (PUCRS) O produto do número complexo 2 – 3i pelo seu conjugado é: a) 13 b) 1 c) –5 d) –13i e) –5 – 12i 24. (PUCRS) A equação Z² = 5Zi, onde Z � C, tem por solução: a) {5i} b) {0,5i} c) {0,-5i} d) {-5, 5i} e) {-5,5} 25. (PUCRS) Para que o numero complexo –1 + bi seja raiz da equação x² + 2x +q = 0, o valor de q deve ser: a) 1 + 4b – b² b) 1 + 4b + b² c) 1 + b² d) 1 – b² e) –1 – b² 26. (UCS) O conjunto solução da equação Z² - 2Z+5=0 é: a) {-1 +2i, -1 – 2i} b) {1 + 2i, 1 – 2i}


127

c) {-2 + 5i, -2 – 5i} d) {2i, - 2i} e) {1 + I, 1 – 1} 27. (UCS) O valor de m, para que 1 – 3i seja raiz da equação x² - 2x + m = 0, é: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 28. (UCS) O conjugado de (1 + i) . (1 – i) é: a) –2 b) 2 + i c) 2 d) 2 –i

e) 11i1

��

29. (UCS) Efetuando 2

2

)i1()i1(i3

��

, obtemos:

a) i b) –3i c) 3i d) –i e) 3 30. (UFRGS) As raízes da equação x² - 4x + 13 = 0 são: a) –1 e 5 b) 2 r 3i c) inexistentes d) múltiplas e) irracionais

31. (PUCRS) A expressão 3 33 3

i ii i

� ��

� � é

igual a: a) 0 b) 1 c) i d) 3 e) 3 i 32. (UCS) O conjugado do complexo

Z = i2i3

��

é:

a) 1 + i

b) 2 + i c) 1 – i

d) i2i3

��

e) ii

��

23

33. (UCS) O valor de (1 - i)68 é: a) –234 b) -268 c) 234 d) 268 e) 2i34 34. (UCS) Efetuando 3i (4 – i)², obtém-se: a) –24 + 45i b) –24 – 51i c) 24 + 45i d) 24 + 51i e) 69i 35. (UCS) A potencia i4n + 3, n � Z, é igual a: a) 1 b) –1 c) i d) –i e) 3 36. (UCS) Para que (2a + 3i) . (2 – i) seja um imaginário puro, o valor de a deve ser: a) zero b) 4/3 c) 3 d) 3/4 e) -3/4 37. (UCS) Calculando i18- i15 + i27 + i40, obtém-se: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0




128

38. (PUCRS) A expressão (1 – i)² é igual a: a) zero b) –2i c) 2i d) 2 + 2i e) 2 – 2i 39. (UFRGS) O valor de (1 + i)4 é: a) –2 b) –4 c) i d) 2i e) 4i 40. (PUCRS) A expressão (2 – 3i) . (x + 2i) é um numero real, se o valor de x é:

a) 34

b) 31

c) 34

�

d) –2 e) 3

41. (PUCRS) O conjugado de i2

i32 � é:

a) 6 – i

b) i�23

c) - i23�

d) i23��

e) –6 + i 42. (PUCRS) Desenvolvendo e reduzindo os termos semelhantes do complexo (2 – i)5 obtém-se: a) 19 – 4i b) –38 – 4i c) 38 + 4i d) –9 + 4i e) uma expressão diferente das anteriores

43. (PUCRS) Na equação x²+bx+c=0, b e c são reais. Se o número 1 – 4i é raiz desta equação, podemos afirmar que: a) –1 + 4i também é raiz b) b e c são números irracionais c) b = 2 e c = 17 d) b = -2 e c = 17 e) b e c são iguais. 44. (UFRGS) A raiz x da equação a² x – b = 0, para a = 1 + i e b = 2 – i., é: a) –0,5 – i b) –0,5 + i c) 0,5 – i d) 0,5 + i e) –1 –2i 45. (UFRGS) O valor de ( 3 + i)6 é: a) 64 – 64i b) –64i c) 64i d) –64 e) 64 46. (PUCRS) Para que (a + 3) + (3b –a)i seja igual ao conjugado de 2a - 3i, o valor de a + b é a) –2 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5 47.(PUCRS) Se (x + yi).(2 – i) =20, então x + y é igual a a) 8 b) 10 c) 12 d) 18 e) 20 48) (IMEC)

2ii é igual a a) –1 b) 1 c) i d) –i e) n.d.a


129

GABARITO:

COORDENADAS POLARES

COORDENADAS POLARES DE UM PONTO

P ( R , θ ) r � distância da origem ao ponto p θ � Ângulo formado por R com o sentido positivo do eixo das abscissas Transformação de Coordenadas Polares em Coordenadas Cartesianas HIPOTENUSA � R No triângulo retângulo da figura temos: CATETO ADJACENTE � X CATETO OPOSTO � Y

cosD = X � X = R . cosD senD = Y � Y= R . senD R R

P ( R, D ) � P ( R.cosD, R.senD )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 x c c a a b e c c c 1 d a a e d c c a b d 2 d a e a b c b e c b 3 b e c a c d e e b b 4 a b e d a d e c d x


130

EXEMPLOS: Obtenha as coordenadas cartesianas dos pontos a seguir, representados por suas coordenadas polares. 1) A (2, 60o) 2) C (6, 11S rad) 6 TESTES 1) (ITA)O ponto P(4, 3S/4 rad) está representado por suas coordenadas polares, as coordenadas cartesianas desse ponto são: a) (2, 2 2 ) b) (-2, 2 2 ) c) ( -2 2 , 2 2 ) d) ( -2 2 , 2) e) ( -4 2 , 4 2 ) 2) A distância entre os pontos A e B cujas coordenadas polares são A(6, S ) e B(12, 2S ), é: 3 3 a) 18 2 b) 3 c) 6 d) 6 3 e) 18 7 3) ( FUVEST ) - A área do triângulo cujas coordenadas polares dos vértices são P1 (4, S/4), P2 (2, S) e P3 (6, 7S/4) é: a) 5 2 b) 17 2 c) 5 2 + 24 d) 5 2 + 12 e) 10 2 + 12



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