gênio da matemática régis cortes · 2016. 2. 19. · 4 gênio da matemática – régis cortes...

Gênio da Matemática – Régis Cortes

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ÍNDICE

1 – Matemática básica ................................................................................................ 03

2 – Função Exponencial ............................................................................................. 23

3 – Função Logarítmica .............................................................................................. 26

4 – Polinômios............................................................................................................. 32

5 – Progressão Aritmética (PA) ................................................................................. 39

6 – Progressão Geométrica (PG) ............................................................................... 42

7 – Geometria Plana .................................................................................................... 45

8 – Geometria Espacial ............................................................................................... 56

9 – Trigonometria ....................................................................................................... 64

10 – Geometria Analítica ............................................................................................ 76

11 – Fatorial ................................................................................................................. 91

12 – Análise Combinatória ......................................................................................... 92

13 – Probabilidade ...................................................................................................... 96

14 – Conjuntos Numéricos ......................................................................................... 103

15 – Domínio................................................................................................................ 105

16 – Funções ............................................................................................................... 106

17 – Binômio de Newton ............................................................................................ 109

18 – Matrizes Determinantes e Sistemas .................................................................. 112

19 – Sistemas..............................................................................................................116

20 – Função Modular....................................................................................................118

21 – Números Complexos .......................................................................................... 122

Site: GêniodaMatemática.com.br

http://geniodamatematica.com.br/curso


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“A matemática é muito importante para a vida, apesar de muitos não

concordarem.

O simples fato de alguém dizer “eu odeio matemática” muitas vezes

significa “eu não sei matemática”.

Você sabia que, aos 20 anos de idade, depositando apenas R$ 60,00

mensalmente, com juros de 1,2 % ao mês, em uma aplicação financeira qualquer,

você terá aos 65 anos mais de três milhões de reais ao se aposentar!

Nunca tenha ódio da matemática, pois ela é muito importante para

todos nós.

Aprenda Matemática e use-a durante toda a sua vida! Pense nisso,

esta poderá ser a primeira lição do curso e a mais importante

Faça desse ano operações matemáticas: some conhecimento,

diminua as tristezas, multiplique o amor e divida tudo isso comigo."

Prof. Regis Cortês




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MATEMÁTICA BÁSICA

EXPRESSÕES NUMÉRICAS

1) -8. { 5 - [4 . 3 - (2 + 1 ) ] - 1} =

2) )]32(1[)4(

)2).(6(5).3(

=

3) O valor de 20. { -30 : [ 3 . ( 20 -15 )] } =

Respostas: 1) 40 2) -12 3) -40

FRAÇÕES

a/b , onde a e b e b 0. - As frações onde o numerador é menor do que o denominador são chamadas de frações próprias.

Ex: 25

13 ;

7

3 ;

2

1

- As frações onde o numerador é maior do que o denominador são chamadas de frações impróprias.

Ex: 4

27 ;

7

9 ;

2

3

- As frações em que o numerador é divisível pelo denominador também são chamadas de frações aparentes.

Ex: 9

27 ;

7

14 ;

2

2

- As frações onde o numerador e o denominador não podem ser simplificadas são chamadas de frações irredutíveis.

Ex: 4

27 ;

7

9 ;

2

3

OPERAÇÕES FRACIONÁRIAS

Na adição e subtração de frações com mesmo denominador, devemos manter o denominador e somar ou subtrair os numeradores.

b

c+ a =

b

c +

b

a , onde b 0 .




6

Na adição e subtração de frações com denominadores diferentes, devemos reduzir as frações ao mesmo denominador ( M. M. C. ) para ajustar os denomina-dores e poder depois, somá-las ou subtrai-las.

b.d

c.b + a.d =

d

c +

b

a , onde b 0 e d 0 .

A multiplicação entre frações é o produto dos numeradores sobre o produto dos denominadores.

d . b

c . a =

d

c .

b

a onde b 0 e d 0

A divisão entre frações é o produto da primeira pelo inverso da segunda.

b.c

a.d

c

d .

b

a =

d

c :

b

a

1) O valor da expressão

15

1

5

3:

3

1

5

11 é:

a) 23/8 b) 2 c) 1 d) 2/15 e) 1/15

2) A expressão

5

2

3

1

2

135,0

5

2

4

12 é igual a:

a) 7/10 b) 1 c) 0 d) – 1 e) – 7/10

3) O valor da expressão ba1

ba

para

2

1a e

3

1b é:

a) 5/6 b) 1 c) 0 d) – 1 e) – 5/6

4) Se xy

yxA

,

5

2x e

2

1y , então A é igual a:

a) 1/2 b) 1 c) 0 d) - 1 e) – ½ Site: GêniodaMatemática.com.br



7

5) A soma de dois números reais A e B é 75, e seu produto é 15. O valor da soma B

1

A

1 é

a) 1/5 b) 1/3 c) 1/2 d) 3 e) 5 Respostas: .1) b; 2) d; 3) b; 4) e; 5) e

RADICIAÇÃO

Define-se como raiz de índice n de um número a, ao número x tal que x elevado a n resulta a.

axxa nn

REPRESENTAÇÃO

xan , onde

radical

adeésimanraizx

radicaldoíndicen

radicandoa

Em todo radical cujo índice é um número par, a raiz considerada é sempre positiva.

Exemplos:

a) 3 27 =3 b) 25 =5 c) 2 4 » não existe d) - 25 =-5

• Quando n=2, a raiz n-ésima chama-se raiz quadrada, quando n=3, chama-se raiz cúbica, quando n=4 chama-se raiz quarta, etc.

Na expressão n a ; n chama-se índice; a chama-se radicando e chama-se radical.

PROPRIEDADES:

1) n

n

n

b

a

b

a

2) nnn abba

3) mnm n aa

4) n ma = a

m/n


8


Exercícios:

1) O valor da expressão numérica 169

481 33

é:

a) 3/19 b) 1/19 c) 1/5 d) 3/7 e) 4/7

2) A expressão com radicais 22188 é igual a:

a) 4 2

b) 2 2

c) 2

d) – 2 2

e) – 4 2

3) 42713 é igual a:

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 25

4) 643

2 é igual a: a) 16 b) 64 c) 128 d) 256 e) 512 5) Simplificando [(23)1/2 ]1/6, obtemos: a) 21/4 b) 21/2 c) 2 d) 2 - 1/2 e) 2 - 1/4

6) A expressão 10101010 é igual a raiz quadrada de:

a) 0 b) 10 c) 45 d) 90 e) 100



9

7) Racionalizando o denominador da fração 35

32

, obtém- se:

a) 15 + 3

b) 15 - 3

c) 18

d) 15 - 3

e) 15 - 3

8) Qual é o valor da expressão 13

13

13

13

a) 8 b) 4 c) 0 d) – 4 e) – 8

9) O valor de 8

322

é:

a) 2 3 22

b) 3 26 2 . 2

c) 2 d) 4 e) 8 10) Considere as desigualdades abaixo .

I . 84 8 4

II. 0,5

2

2

5,0

III. 2 –3 < 3 – 2 Pode–se afirmar que a) é verdadeira apenas a desigualdade I. b) é verdadeira apenas a desigualdade II. c) é verdadeira apenas a desigualdade III. d) são verdadeiras apenas as desigualdades I e II. e) são verdadeiras apenas as desigualdades II e III.

11) (UFRGS) - O quadrado do número 2 + 3 + 2 − 3 é a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) 8.

Respostas: 1) a ; 2) c ;3)b ;4) e ;5) a; 6)d; 7) a; 8) b;9) d; 10) b; 11)




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POTENCIAÇÃO

Sendo a um número real e n um número natural positivo, temos:

Definição:

aaaan ..

n fatores

aa 1

10 a

n

n

aa

1

Propriedades:

nmnm aaa .

nm

n

m

aa

a

mmm baba ).(.

m

m

m

b

a

b

a

(am)n = amn

Exemplos:

1) 2³=2.2.2=8 2) 10101 3) 1100 4) 4

1

2

12

2

2

5) 1064 . aaa 6) 2222

2 1343

4

7) 22.32 = (2.3)2 =62=36




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Exercícios:

1) a) 25 = b) (-2)5 = c) –2 5 = d) -3 4 = e) (-5)2 = f) (4/5)3 = g) (0,5)2 = h) -2 -2 = i) (-2)-2 = j) (3/5)-3 = l) ( -11/9 )-1 = m) 80 =

2) O valor da expressão 1

11

2

53

é:

a) 15/16 b) 16/15 c) 1/16 d) 1/15 e) 16 3) O valor de [2-1 - (-2)2 + (-2)-1] / [22+2-2] é: a) – 16/17 b) – 17/16 c) – 4/17 d) 16/17 e) 17/16 4) Simplificando a expressão [29:(22.2)3]-3, obteremos: a) 8 b) 1/8 c) 1 d) –1/8 e) – 8

5) A expressão 1

y

1

x

1

, para 0yx , é equivalente a:

a) 1 b) x + y

c) y- x

x

d) y- x

y x

e) y x

xy




12

6) A expressão 2 x2 x 22 é igual a: a) 4 b) 2 c) 1 d) 2 x e) 2 2x

7)Efetuando a divisão 2xx e:e , teremos: a) e2 b) 1/2 c) e d) 1 e) e -2 8) Dentre as relações abaixo, a que está incorreta é a) (+1) - 0 = 1 b) 32 + 42 = ( 3 + 4 )2 c) 1/2+ 1/2 = 2/2 d) 32 + 42 = 52 e) 0 - (-1) = 1

9)

n

n2

n

n

a

a

1.a

é igual a :

a) a –4n b) a –2n c) 1 d) a2n e) a4n

Respostas: 2) b; 3) a; 4) c; 5) e; 6) e; 7) a; 8) b; 9) c

RACIONALIZAÇÃO

Existem frações cujo denominador é irracional. Como:

2

1 ,

12

1

,

32

2

Para facilitar os cálculos, é conveniente transformá-las em uma outra, equivalente, de denominador racional.


13


1º Caso: • O denominador é da forma a b . Neste caso, basta multiplicar o numerador e o

denominador por b . Ex: 2

2

2

2.

2

1

2

1

2º caso: • O denominador é da forma n mba onde n>2. Neste caso, devemos multiplicar o

numerador e o denominador por um fator, de modo a tornar no denominador, o expoente do radicando igual ao índice do radical.

Ex: 3 2

2» Fator racionalizante = 3 32

Logo: 2

2.2

2

2.

2

2

2

2 3 2

3 2

3 2

33

3º Caso:

• O denominador possui uma destas formas: ba ou ba

Neste caso, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo *conjugado de denominador. Assim, obteremos o produto pela diferença, que resulta na diferença de dois quadrados.

*Conjugado:

Expressão Conjugado

ba

ba

ba

ba

Exs: 1) 2323

23

23

23.

23

1

23

1

2) 22212

12.

12

2

12

2



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NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Exercícios

1) Simplificando a expressão 41

843

10106

1010106

obteremos:

a) 10 -6 b) 10-2 c) 1 d) 10 2 e) 10 6

2) O valor da expressão 4

53

1010

1010

é:

a) 10 –7 b) 10-3 c) 10 - 1 d) 1 e) 10 3) A representação decimal de (0,01)3 é: a) 0,01 b) 0,001 c) 0,0001 d) 0,00001 e) 0,000001

4) 19

2021

0 .1 602

10 . 0,2 6 10 . 02,6 é igual a :

a) 602 b) 60,2 c) 6,02 d) 2 e) 101. 10 -4

5)A expressão 04,0

1000. 01,0. 001,0 32

32

é igual a

a) 5.1010 b) 5.102 c) 10 d) 5.10-3 e) 5,10-10 6) UFRGS A distância que a luz percorre em um ano, chamada ano-luz, é de aproximadamente 38.45 . 512 quilômetros. A notação científica desse número é a) 9,5 . 1010 b) 0,95 . 1012 c) 9,5 . 1012 d) 95 . 1012 e) 9,5 . 1014

Respostas: 1) b; 2) b; 3) e; 4) d; 5) b; 6) c Site: GêniodaMatemática.com.br



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PRODUTOS NOTÁVEIS

Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva.

(a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²

(a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²

(a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²

Somando os termos semelhantes: a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac

Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes. A fim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis.

Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas.

1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.

(a + b).( a – b ) = a² - b²

2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. (a + b)² = a² + 2ab +b²

3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. (a – b)² = a² - 2ab + b²

Existem muitas outras fórmulas:

(a + b) ³ = a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³ (a – b )³ = a³ - 3 a²b + 3ab² - b³

FÓRMULA DE BHÁSKARA:

a

bx

2

a

acbbx

2

42

Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:

1) 3x²-7x+2=0 a=3, b=-7 e c=2

2524492.3.44942 acb


16

Substituindo na fórmula:

6

57

3.2

257

2

a

bx

26

57

x e

3

1

6

2

6

57

x

Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é: V={1/3 , 2}

2) -x²+4x-4=0

a=-1, b=4 e c=-4

acb 42 = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0 Substituindo na fórmula de Bháskara:

2

04

x » x=2 2V

Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. =0

3) 5x²-6x+5=0 a=5 b=-6 c=5 acb 42 = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64

Note que 0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não

possui nenhuma raiz real. Logo: V » vazio

Propriedades:

0 Duas raízes reais e diferentes

0 Duas raízes reais e iguais

0 Nenhuma raiz real

Relações entre coeficientes e raízes:

a

bSoma

a

coduto Pr

Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:

x² - Sx + P = 0


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Exemplos:

1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:

a) x² - 4x + 3=0

Solução: Sendo a=1, b=-4 e c=3: 4a

bS 3

a

cP

b) 2x² - 6x -8 =0

Sendo a=2, b=-6 e c=-8 3a

bS 4

a

cP

c) 4-x² = 0

Sendo a=-1, b=0 e c=4: 0a

bS 4

a

cP

REGRA DE TRÊS

01) Um livro tem 300 páginas com 25 linhas em cada uma. Para reimprimi-lo, empregando os mesmos caracteres, quantas páginas de 30 linhas são necessárias? 02) Uma árvore de 4,2m de altura projeta no solo uma sombra de 3,6. No mesmo instante; uma torre projeta uma sombra de 28,80m. Qual a altura da torre? 03) Para transportar certo volume de areia para uma construção, foram necessários 20 caminhões de 4m3 de areia cada um. Se cada caminhão pudesse conter 5m3 de areia, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço? 04) Vinte homens podem arar um campo em seis dias, trabalhando 9h por dia. Quanto tempo levarão para arar o mesmo campo 12 homens trabalhando 5 horas por dia? 05) Com 4 kg de algodão pode-se tecer 14 metros de fazenda com 0,8m de largura. Quantos kg são necessários para produzir 350m com 1,2m de largura? 06) Um ciclista percorreu 150 km em dois dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 400 km pedalando 4 horas por dia?



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07) (ENEM) Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão do veículo, causas frequentes de acidentes. Ciente dessa responsabilidade e com base na experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar, no máximo, 1 500 telhas ou 1 200 tijolos. Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a carga máxima do caminhão?

08) (ENEM) Uma torneira não foi fechada corretamente e ficou pingando, da meia-noite às seis horas da manhã, com a frequência de uma gota a cada três segundos. Sabe-se que cada gota d’agua tem volume de 0,2 mL.Qual foi o valor mais aproximado do total de água desperdiçada nesse período, em litros?

09) (ENEM) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de 10) (ENEM) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é Respostas 1) 250 2) 33,60 3) 16 4) 18 5) 150 6) 4 7) 480 8) 1,4 L 9) 12kg 10) 5,6

PORCENTAGEM, ACRÉSCIMO E DESCONTO

07) Calcule: a) 15% de $3.000 b) 32% de 1500 c) 40% de 180 kg 08) Num concurso com 200 candidatos, 170 foram aprovados. A quantos por cento corresponde o número de candidatos aprovados? 09) Uma loja comercial oferece, nas compras acima de $5.000, um desconto de 5%. Quanto um cliente pagará por uma compra de $35.000? 10) Um pai resolveu presentear seus filhos, distribuindo entre eles $12.000. Desta quantia, Tiago recebeu 40%, Rodrigo 35% e Vanessa 25%. Quanto recebeu cada um de seus filhos?


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11) 12% dos moradores de uma cidade são estrangeiros. Qual é a população dessa cidade, sabendo que o número de estrangeiros é 2.400? 12) Uma mercadoria que custava $ 50 teve um aumento de 35%. Qual o novo preço da mercadoria?

13) Qual o preço original de uma mercadoria que após um aumento de 15% passou a custar $103,50? 14) Uma loja resolve liquidar o estoque remarcando todas as mercadorias com um desconto de 40%. Se uma mercadoria custa $ 80 qual será o seu preço nessa liquidação?

15) Após sofrer um desconto de 5% no seu preço, uma blusa passou a custar $ 9.500. Qual era o seu preço antes do desconto? 16) No 1o dia de um certo mês , uma ação estava cotada a $ 10. Do dia 1o até o dia 8 do mesmo mês, ela sofreu um aumento de 10%. Do dia 8 até o dia 15, sofreu uma queda de 5%. Qual era a cotação dessa ação no dia 15 daquele mês? 17) A medida do lado de um quadrado sofre um aumento de 10%. Em quantos por cento aumenta a área do quadrado? 18) Os aumentos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único aumento de? 19) ENEM O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de ações em Bolsa de Valores em um mês deverá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a Receita Federal consistirá em 15% do lucro obtido com a venda das ações. Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de ações que custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto de Renda à Receita Federal o valor de 20) ENEM Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras. Um cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de

Gabarito 7) a) $ 450 b) 480 c) 72kg 8) 85% 9) 33.250 10) $ 4.800, $ 4.200 e $ 3.000 11) 20.000 habitantes 12) $ 67,50 13) $ 90 14) $ 48 15) $ 10.000 16) $ 10,45 17) 21% 18) 56% 19) R$ 1200,00 20) R$ 4,00 Site: GêniodaMatemática.com.br



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EXERCÍCIOS DE VESTIBULAR

1) (UFRGS) O preço de um bem de consumo é R$100,00. Um comerciante tem o lucro de 25% sobre o preço de custo desse bem. O valor do preço de custo é: (a) R$25,00 (b) R$70,50 (c) R$75,00 (d) R$80,00 (e) R$125,00 2) (UFRGS) Num semestre a inflação foi de 32% e, ao final dele, um trabalhador teve reposição salarial de 20%. Para que o poder de compra desse trabalhador fosse mantido no mesmo patamar do início do semestre, o salário, já reajustado em 20%, deveria, ainda, sofrer um reajuste de: (a) 10% (b) 12% (c) 16% (d) 20% (e) 32% 3) (UFRGS) Uma loja instrui seus vendedores para calcular o preço de uma mercadoria, nas compras com cartão de crédito, dividindo o preço à vista por 0,80. Dessa forma, pode-se concluir que o valor da compra com cartão de crédito, em relação ao preço à vista, representa: (a) um desconto de 20% (b) um aumento de 20% (c) um desconto de 25% (d) um aumento de 25% (e) um aumento de 80% 4) (UFRGS) A quantidade de água que deve ser evaporada de 300g de uma solução salina (água e sal) a 2% (sal) para se obter uma solução salina a 3% (sal) é: (a) 90g (b) 94g (c) 97g (d) 98g (e) 100g 5) (UFRGS) Uma mercadoria que custa R reais sofre um desconto de 60%. Um aumento de 60% sobre o novo preço fará com que a mercadoria fique custando, em reais: (a) 0,36 R (b) 0,40 R (c) 0,60 R (d) 0,64 R (e) R 6) (UFRGS) Considerando uma taxa mensal constante de 10% de inflação, o aumento de preços em 2 meses será de: (a) 2% (b) 4% (c) 20% (d) 21% (e) 121% 7) (UFRGS) Aumentando-se a medida da base de um retângulo em 10% e a medida da altura em 20%, a área desse retângulo aumenta de: (a) 20% (b) 22% (c) 30% (d) 32% (e) 40%


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8) (UFRGS) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua área cresce: (a) 14% (b) 14,4% (c) 40% (d) 44% (e) 144% 9) (UFRGS) Uma pessoa comprou dois carros, pagando um total de 30 mil reais. Pouco tempo depois, vendeu-os por 28 mil reais, ganhando 10% na venda de um deles e perdendo 10% na venda do outro. Quantos reais custou cada carro? (a) 15.500 e 14.500 (b) 10.000 e 20.000 (c) 75.000 e 22.500 (d) 6.500 e 23.500 (e) 5.000 e 25.000 10) (PUCRS) Um aluno que realizou dois vestibulares acertou, no primeiro, 60% das questões propostas em Matemática e no segundo 75%. A taxa de variação correspondente à melhora de seu desempenho nessa disciplina foi de: (a) 25% (b) 20% (c) 18% (d) 15% (e)12% 11) (ULBRA) Um lojista compra de seu fornecedor um artigo por x reais (preço de custo) e o revende com um lucro de 50%. A seguir, ao fazer uma liquidação ele dá, aos compradores, um desconto de 35% sobre o preço de venda desse artigo. Pode-se afirmar que esse comerciante tem, sobre x, um: (a) prejuízo de 2,5% (b) prejuízo de 15% (c) lucro de 2,5% (d) lucro de 10 % (e) lucro de 15% 12) (Unisinos) Um comerciante pagou R$ 30,00 por um artigo. Ele pretende colocar uma etiqueta de preço nesse artigo de modo a poder oferecer um desconto de 10% sobre o preço de etiqueta e ainda ter um lucro de 20% sobre o preço de custo. Que preço deve marcar a etiqueta? (a) R$ 40,00 (b) R$ 39,60 (c) 39,00 (d) R$ 36,00 (e) R$ 32,40 13) (Unisinos) A quantidade de lixo de uma certa cidade tem aumentado em 3% ao ano. Essa quantidade, a cada ano, constitui uma progressão: (a)aritmética de razão 0,3 (b) aritmética de razão 1,3 (c) geométrica de razão 1,3 (d) geométrica de razão 1,03 (e) geométrica de razão 0,03


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14) (PUCRS) Um certo refresco é feito adicionando-se quatro partes de água para uma parte de essência de frutas. Se a quantidade de água é dobrada e a de essência é quadruplicada, então a porcentagem de essência na nova mistura é: (a) 30% (b) 33 1/3% (c) 50% (d) 60 2/3% (e) 80% 15) (PUCRS) Em uma fábrica com 100 empregados, 1% é do sexo masculino. O número de mulheres que devem ser dispensadas para que a quantidade de homens represente 2% do total é: (a) 1 (b) 2 (c) 49 (d) 50 (e) 51 16) (PUCRS) Se x% de y é 20, então y % de x é igual a: (a) 2 (b) 5 (c) 20 (d) 40 (e) 80 17) (ESPM) Numa loja, um objeto custa R$ 100,00 à vista. Uma pessoa compra esse objeto em duas parcelas iguais de R$60, 00, pagando a primeira parcela no ato da compra e a segunda parcela trinta dias depois. Os juros cobrados por essa loja foram a uma taxa mensal de: (a) 50% (b) 40% (c) 30% (d) 20% (e) 10% 18) (PUCRS) O valor de venda de um produto é R$ 33,00, estando aí incluído um imposto de 10%. Este imposto é, em reais, (a) 3,00 (b) 3,30 (c) 3,33 (d) 10,00 (e) 30,00 19) (ENEM) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês ela perdeu 30% do total do investimento e no segundo mês recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de Gabarito 1. d 2. a 3. d 4. e 5. d 6. d 7. d 8. d 9. e 10. a 11. a 12. a 13. d 14. b 15. d 16. c 17. a 18.a 19. R$ 5000,00

Operações de compra e venda Lucro e Prejuízo

O que é e como calcular lucro

De modo geral, podemos dizer que houve lucro quando o preço de venda supera o preço de

compra. Portanto, lucro é a diferença entre o valor de venda e o valor de compra.

Preço de custo + lucro = preço de venda. Preço de custo – prejuízo = preço de venda.

Como calcular: Com lucro Pv = Pc (1+ i) Com Prejuizo Pv = Pc (1- i)


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Exercícios 1) (PUC) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é:

2) Uma mercadoria é vendida por 64,2 R$ e deu um lucro de 7%. Quanto custou a mercadoria 3) Vendi uma mercadoria por 300,00R$ com um prejuizo de 40% sobre o preço de custo. Quanto paguei pela mercadoria? 4) Comprei uma mercadoria por 3500,00R$ e vendi por 4700,00R$. Qual a taxa de lucro obtida? 5) Uma mercadoria é vendida por 200,00R$. Qual o preço de compra se elafoi vendida com: a) Prejuizo de 10% b) Lucro de 10%

Gabarito 1) 80,00 R$ 2) 60,00 R$ 3) 500,00 R$ 4) 38% 5) a) 222,22R$ b) 181,8R$

FUNÇÃO EXPONENCIAL

1) DEFINIÇÃO: a função f : R R dada por f (x) = ax com a 1 e a > 0 é denominada função exponencial de base a e definida para todo x real. 2) GRÁFICOS y = ax




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Represente graficamente as funções: a) y = 5x b) y = (1/3)x c) y = (4/3)x d) y = 7-x e) f (x) = (5/16)-x f) f (x) = (0,3)x g) y = - 2 . 3x h) y = - 2 (1/3)x i) y = - 3x 3) EQUAÇÕES EXPONENCIAIS: chama-se equação exponencial toda equação que contém variáveis no expoente. 1º Caso (Testes de Vestibular)

1. (1/8)x = 128 2. 49x = 5 343/1

a) 2/3 a) -1/5 b) -4/3 b) 2/3 c) -7/3 c) 3/2 d) 1/3 d) -3/10 e) 5/3 e) 4/5

3. 2𝑥2−4𝑥−5 = 1 4. 1/125 = 625x

a) 2 ; 6 a) -3/4 b) 3 ; -2 b) 2/3 c) 2 ; 4 c) 1/9 d) -1 ; 3 d) -4/8 e) -1 ; 5 e) 7/3

5. 33 xx bb 6. 8x - 9 = 16x / 2

a) 9 a) 27 b) 2 b) 15 c) 3 c) 12 d) 5 d) 3 e) 7 e) 7

7. 5x = X 25 8. xx 927 1

a) 2 a) 1/3

b) 3 b) 2/5

c) 2 c) 6/5

d) 3 d) -1

e) 1 e) 1


25

x

2 - 4

09) 0,2x = (1/125)x - 6 10) 10 . 2 = 320 a) 3 a) -3 b) 5 b) 3 c) 2 c) -3 ; 3 d) 9 d) 2 e) 1 e) 2 ; -2 2º Caso (mais de dois termos sem somatório no expoente) 11. 8 . 2x + 4 - 4 . 2x = 68 12. 22x - 5 . 2x + 4 = 0 a) 1 a) 0 e 1 b) 2 b) 3 c) 3 c) 0 e 2 d) 4 d) 3 e 1 e) 5 e) 2 13. 9x + 3 = 4 . 3x 14. 510x - 10 . 55x - 5 = -30 a) 0 ; 2 a) 1/3 b) 0 ; 1 b) 2 c) 2 c) -1 d) 3 d) -2 e) 4 e) 1/5 3º Caso (mais de dois termos com somatório no expoente) 15. 3x + 1 + 3x - 2 - 3x - 3 + 3x - 4 = 750 16. 3x + 2 - 27 = 6 . 3x a) -2 a) 0 b) -1 b) 3 c) 5 c) 1 d) 3 d) -2 e) 12 e) 2 17. (UFRGS) 2x-1 > 128. 18. Sabendo que 3x - 32 - x = 8, calcule o Os valores permitidos para X são: valor de (15 - x2).

a) {XЄR|x6} a) 11

b) {XЄR|x8} b) 21 c) {XЄR|X>8} c) 31

d) 2, 3 d) 41

e) 0, 8 e) 51 19. 20. 3

x - 2

3x - 2 . 52x = 153x + 1 . 3-1 210 = 1024




26

21. (ITA) Seja α um número real, com 0 < α < 1. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de x tais que:

11

22

2

x

x

a) ] – , 0 ] [ 2, + [

b) ] – , 0 [ ] 2, + [

c) ] 0, 2 [

d) ] – , 0 [

e) ] 2, + [

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

DEFINIÇÃO: o logaritmo de um número real e positivo “b” na base “a” positiva e diferente de 1, é o número “x” ao qual se deve elevar a para se obter b.

log a b = x b = ax

• Condição de existência:

1)3

0)2

0)1

a

a

b

1- Conseqüências da definição 1) log a 1 = 0 2) log a a = 1

3) log a am = m 4)

baalog

= b

OBS: No sistema decimal ou sistema de base 10 é comum omitir a base na representação:

log 10 x = log x LEMBRE - SE:

log 10 = 1 log 100 = 2 log 1000 = 3 log 10000 = 4

log 0,1 = -1 log 0,01 = -2 log 0,001 = -3 log 0,0001 = - 4


27

Testes de vestibular:

1. log 2 x = 7 2. log 1/3 x = 2 a) 72 a) 1/9 b) 54 b) 1/3 c) 128 c) 1/5 d) 40 d) -3/2 e) 102 e) -1/4 3. log x 27 = 3 4. log x 125/8 = 3 a) 1 a) 2 b) 3 b) -7/5 c) 5 c) 12 d) 7 d) 5/2 e) 9 e) 2/3 5. log 3 1/9 = x 6. log 4 1/32 = x a) -1 a) 2/5 b) -2 b) 5/2 c) -3 c) -5/2 d) -4 d) -2/5 e) -5 e) 0

7. log x82 8. log 0,01 = - x

a) 2 a) 2 b) 3/2 b) -1 c) 1/4 c) -2 d) -1 d) 5 e) 0 e) 1 9. log 5 (3x + 1) = 2 10. log 3 (5x - 7) = 0 a) 1 a) 2/5 b) 7 b) 4/5 c) 9 c) 7/5 d) 8 d) 8/5 e) 2 e) 1 11. (UFRGS) Se log 2 x = 3/2 quais as afirmações que são verdadeiras

a) x é racional b) x é irracional c) 2 < x < 3 a) somente a b) a e b c) b e c d) a, b e c e) somente c 12. (UFRGS) O conjunto solução da inequação log 1/3 x < 2 é

a) {x R / x > 2}

b) {x R / x < -5}

c) {x R / x > 1/9}

d) {x R / x > 0}

e) {x R / x < 0}


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Site: GêniodaMatemática.com.br Propriedades logarítmicas:

1) log A . B = log A + log B 2) log A/B = log A - log B

3) log AB = B . log A Testes de Vestibular : 13. log 5 x - log 5 2 = 2 14. log2 (3x - 1) + log2 x = 1 a) 20 a) 1 b) 50 b) 2 c) 60 c) 3 d) 80 d) 4 e) 100 e) 5 15. log 5 x - 2 . log 5 4 = 1 16. log 4 x + log 4 (x - 5) = log 4 3 + log 4 2

3 a) 30 a) 3 b) 40 b) 4 c) 60 c) 5 d) 80 d) 8 e) 90 e) 10 17. log 3 (x

2 - x - 6) = log 3 4 + log 3 (x - 3) 18. (log 3 x)2 - log 3 x - 6 = 0

a) 0 a) 27 b) 1 b) 1/9 c) 2 c) 1/3 d) 3 d) 1/3 ; 1/9 e) { } e) 27 ; 1/9 19. (PUCRS) Se log 2 = a e log 3 = b, então o valor de x em 8x=9 é 20. (PUCRS) Se o par (x1, y1) é solução do sistema de equações:

?,19log102.3

0log.162

1

1

y

xentão

y

y

x

x

21. (PUC) Se log 5 = x e log 3 = y , então log 375 é : a) y + 3x b) y + 5x c) y - x + 3 d) y - 3x + 3 e) 3 (y + x)



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Uma das conseqüências da definição:

bAZB

AA

Z

A

ZBA

log

log

logo: AlogAB = B

22. 4log4

7 23. 8log8x . 8log8

4x = 1 24. 5log43 . log5

4 Mudança de Base: até o momento em todas as propriedades utilizadas as bases eram iguais, quando isto não ocorrer devemos aplicar a operação Mudança de Base .

log b a = log c a log c b

25. (UFRGS) Sendo log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4. O log 2 6 é: a) 7/3 b) 1/3 c) -2/ d) -1/3 e) 2 26. Efetue o produto log 32 . log 25 . log 53

Gráficos da função logarítmica f (x) = log a x

CRESCENTE

base a > 1

DECRESCENTE

base 0 < a < 1


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27) (UFRGS) A representação geométrica que melhor representa o gráfico da função real de variável real x, dada por f (x) = log 1/2 x , é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

O enunciado nos diz que o logaritmo pedido possui base igual a 1/2, ou seja, sendo um valor entre 0 e 1 só pode ser um logaritmo decrescente.

Dentre as alternativas, somente as letras A e D são decrescentes, mas somente a alternativa A corta o eixo x no ponto 1.

Resposta correta, letra A.

Devemos saber também que, quanto maior a base de um logaritmo, mais próximo de ambos os eixos estará seu gráfico. Veja a figura ao lado.




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28) (UFRGS) Na figura, a curva S representa o cunjunto solução da equação f (x) = log a x e a curva T, o conjunto solução da equação f (x) = log b x . Tem-se

Os dois gráficos representam logaritmos crescentes, ou seja, ambas as bases são maiores do que 1. Ficamos então entre as alternativas B e C.

Devemos então saber qual a relação entre a e b. Como a curva S está mais próxima dos eixos x e y do que a curva T, então sua base é maior (a > b).

Portanto, resposta correta, letra B.

29) (ITA) Considere a equação em x ax + 1 = b1/x, onde a e b são números reais positivos, tais que ln b = 2 ln a maior que 0. A soma das soluções da equação é a) 0. b) –1. c) 1. d) ln2. e) 2

30) (UFRGS) A soma 20

19log...

5

4log

4

3log

3

2log é igual a

A0 –log 20. b) –1. c) log 2. d) 1. e) 2. Respostas: 01)c 02)a 03)b 04)d 05)b 06)c 07)b 08)a 09)d 10)d 11)c 12)c 13)b 14)a 15)d 16)d

17)e 18)e 19) 2b/3a 20) 3c 10 /10 21)a 22) 7 23)1/2 24)3 25)a 26)1

27))resolvida 28)resolvida 29)b 30)b Site: GêniodaMatemática.com.br

(A) a < b < 1

(B) 1 < b < a

(C) 1 < a < b

(D) b < a < 1

(E) b < 1 < a



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POLINÔMIOS

1) DEFINIÇÃO:

Toda função definida pela relação P(x) = ax n + bx n - 1 + cx n - 2 +.... + zxo é denominada função polinomial ; onde a , b , c ... são os coeficientes. 2) VALOR NUMÉRICO:

O valor numérico de um polinômio P(x) p/ x = a é o número que se obtém substituindo “x” por “a”. Se P(a) = 0 o número “a” é denominado raiz ou zero da função. 3) POLINÔMIOS IDÊNTICOS:

A condição necessária para que dois polinômios sejam iguais é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.

Aplicação: (PUCRS) Se – x – 14 = A + B , então A + B é : x2 + 3x- 4 x – 1 x + 4 a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2


Uma curiosidade da Química:

pH=-log[H]

Em uma solução de 1 litro, encontramos 0,01 mol de íons hidrogênio. Esta solução é ácida, básica ou neutra? A concentração de íons hidrogênio é de 0,01 mol/l, ou seja, [H] = 10-2mol/l. Assim, concluímos que pH=-log10-2 = 2. Trata-se, portanto, de uma solução ácida, pois o pH


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4) TEOREMA DO RESTO (Dalambert) :

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo Binômio ax + b é igual a P(-b/a)

Dalambert (aplicação):

1) Determine k para que o polinômio P(x)=kx3+2x2+6x-2 seja divizivel por x+3

2)O valor de m para que o resto da divisão do polinômio P(x) = mx3 – 5x2 + 8 por x+1 seja 3 é

5) DIVISÃO DE POLINÔMIOS:

A(x) B(x) Q(x) . B(x) + R(x) = A(x) Q(x) A(x) = dividendo Q(x) = quociente R(x) B(x) = divisor R(x) = resto

6) SOMA DOS COEFICIENTES DE UM POLINÔMIO:

Para calcular a soma S dos coeficientes de um polinômio P(x) , basta calcular o valor numérico do polinômio para x = 1 ou seja, calcular P(1).

7) NÚMERO DE RAÍZES DE UM POLINÔMIO (UFRGS) Um polinômio de coeficientes reais tem termo independente nulo, é divisível por x2 – 1 e tem 2 – i como raiz de multiplicidade 3. O conjunto de valores que o seu grau n pode assumir é :

a) n N / n 2 d) n N / n 8

b) n N / n 5 e) n N / n 9

c) n N / n 6

Propriedades importantes:

P1 - Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes . Exemplo: a equação x3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.

P2 - Se b for raiz de P(x) = 0, então P(x) é divisível por x - b. Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação, o que se consegue dividindo P(x) por x - b, aplicando Briot-Ruffini. Briot - matemático inglês - 1817/1882 e Ruffini - matemático italiano - 1765/1822.

P3 - Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0, então o conjugado a - bi também será raiz. Exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são os números 5, 3 + 2i e 4 - 3i. Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes.


34

P4 - Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k. Exemplo: a equação (x - 4)10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4 . Portanto 4 é raiz décupla ou de multiplicidade 10. Outro exemplo: a equação x3 = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas). A equação do segundo grau x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x’ = x’’ = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.

P5 - Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula, então a unidade é raiz da equação (1 é raiz). Exemplo: 1 é raiz de 40x5 -10x3 + 10x - 40 = 0 , pois a soma dos coeficientes é igual a zero .

P6 - Toda equação de termo independente nulo, admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável. Exemplo: a equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes nulas. A equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas!

P7 - Se x1 , x2 , x3 , ... , xn são raízes da equação aoxn + a1x

n-1 + a2xn-2 + ... + an = 0 , então

ela pode ser escrita na forma fatorada :

a . (x - x1) . (x - x2) . (x - x3) . ... . (x - xn) = 0

Exemplo: Se - 1, 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau, então podemos escrever (x+1). (x-2). (x-53)= 0 que desenvolvida fica: x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0. (verifique!).

Relações de Girard - Albert Girard (1590-1633).

Para uma equação do 2º grau, da forma ax2 + bx + c = 0, já conhecemos as seguintes relações entre os coeficientes e as raízes x1 e x2:

x1 + x2 = - b/a e x1 . x2 = c/a .

Para uma equação do 3º grau, da forma ax3 + bx2 + cx + d = 0, sendo x1, x2 e x3 as raízes, temos as seguintes relações de Girard:

x1 + x2 + x3 = - b/a x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a

x1.x2.x3 = - d/a

Exemplos:

a) P(x) = 2x4 + 3x2 - 7x + 10 S = P(1) = 2 + 3 - 7 + 10 = 8. b) Qual a soma dos coeficientes de S(x) = x156 + x? Ora, substituindo x por 1, encontramos S = 2. (Lembre-se que 1156 = 1).




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Gráficos de polinômios

Grau par Grau impar

Extremidades iguais Extremidades diferentes

a < 0 a > 0

Determine o gráfico das funções

a) P(x) = 3 (x -1)2 . (x + 2) b) P(x) = x3 – 4x2 + 3x

c) Determine a equação dos gráficos abaixo

-3 2 -2 5 -1 1 4




36

Resolvendo equações pela forma fatorada 1) x3+x=0 2) x3-x2-4x+4=0 3) x3+3x2+x+3=0 4) x4+5x3-4x2-20=0 5)x3+2x2+x+2=0

Exercícios e Testes de Vestibular :

1. Determine o valor numérico do polinômio 2. (UFRGS) - O polinômio P(x) = 3x2 - 2x + 5 para x = -1. p(x) = ax4 + 3x3 - 4x2 + dx - 2,

com a 0,admite 1 e -1 como raízes. Então a e d valem: 3. Dado P(x) = 13x7 + x3 - 15 encontre P(0). 4. (PUC) - O complexo 1 - i é raiz da equação x4 - 2x3 - 2x2 + 8x - 8 = 0. As outras raízes são a) -2, 2 e i b) 2, 3 e 1 + i c) -2, 2 e 1 + i d) 0, 2 e 1 + i e) -i, i e 1 + i 5. Determine o valor de k , de modo que 3 seja 6. Determinar m , n , p de modo que o polinômio raiz do polinômio P(x) = x3 - kx+ 1 P(x) = (m + 1) . x2 - px + n seja identica- mente nulo.

7. Sendo (m - n).x2 - (n - 1).x + p 0, obter 8 (UFRGS) - Se a = x + y, b = x - y m , n e p. 2 2

c = 𝑥 . 𝑦, onde x e y são números reaise

tais que x.y > 0 , então uma relação entre a2, b2 e c2 é

a) a2+ b2-c2 =0 b) a2-b2-c2 =0 c) a2+b2+c2 =0 d) a2 - b2 + c2 = 0 e) a2 = b2 = c2


37

9. Calcular m , n e p para que os polinô- 10) (UFRGS)- Se a é uma raiz do poli- mios P(x) = (m + n)x2 - 5x + p - 3 e nômio p(x) e b é uma raiz do polinômio q(x), Q(x) = 3x2 + (n - 3)x + 7 sejam idênticos. então a)p(b) / q(a) =1. b)p(a) . q(b) =1. c)p(a) + q(b) =1. d)p(b) . q(a) =0. e)p(a) + q(b) =0.

11. Sabendo que -3 é raiz de 12. (3x3 - 2x + 8x2 + 3) (3 + x) P(x) = x3 + 4x2 - ax + 1 , calcular o valor de a.

13. (10x3 - x + 1) (2x2 + 5) 14. (2a5 - 5a - 9a3) (1 + 2a2)

15. (x8 - 4x + 3x7 - 12) (x + 3) 16. (5a3b2x - 20a4bx3 - 15a3b2xy) (5a2b) 17.Determinar o resto da divisão do polinômio 18.Calcular m de modo que x5 - (m + 1)x3 - 5 x9 - 3x5 + x - 1 pelo binômio x - 2. seja divisível por x + 1. 19. (UFRGS) O valor de a para que 20) Sabendo que 2 é raiz da equação (a

2 - 1)x

4 + (a

2 - a - 2)x

3 + ax

2 + x-4 x

3 + 2x

2 -13x + 10 = 0, determine o conjunto solução

seja polinômio do 2o grau.

21. x−2

x2+ x ≡

A

x+1 +

B

X o valor de A - B é




38

22. (UFRGS) Na figura abaixo está representado o gráfico de um polinômio de grau 3. A soma dos coeficientes desse polinômio é a) 0,5. b) 0,75. c) 1. d) 1,25. e) 1,5. 23. (UFRGS) Sabendo-se que i e –i são raízes da equação x4 – x3 – x – 1 = 0, as outras raízes são

a) .2

21e

2

21

b) .2

31e

2

31

c) .2

51e

2

51

d) .2

61e

2

61

e) .2

71e

2

71

24. (UFRGS) Considere o gráfico abaixo. Esse gráfico pode representar a função definida por a) f(x) = x3 + 5x2 – 20x. b) f(x) = x3 + 5x2 – 4x – 20. c) f(x) = x4 + 5x3 – 20x – 4. d) f(x) = x4 + 5x3 – 4x – 20. e) f(x) = x4 + 5x3 – 4x2 – 20x.

-1

2

1 x

y

2 -2 3

1

3

-1

x

y

50

40

30

20

10

-10

-20

-30

-40

-50

-1 -2 -3 -4 -5 -7 -6 1 2 3 4 5 0


39

25. (ITA) A soma das raízes da equação 2x4 - 3x3 + 3x - 2 = 0 é: 26. (UFRGS) Sabendo-se que o polinômio x4 + 4x3 + px2 + qx + r é divisível por x3 + 3x2 + 9x + 3, segue que p é igual a a) 3. b) 6. c) 9. d) 12. e) 15. 27. (UFRGS) A soma dos coeficientes do polinômio (x2 + 3x – 3)50 é a) 0. b) 1. c) 5. d) 25. e) 50. 28. (PUCRS) O menor grau possível de um polinômio de coeficientes reais que possui como raízes 1 – 3i e 5 é a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 4 Respostas : 01) 10 02) a = 6 e d = -3 03) -15 04) -2, 2 e 1 + i 05) 28/3 06) -1 ; 0 ; 0 07) 1 ; 1 ; 0 08) b 09) 5 ; -2 ; 10 10)e; 11) -10/3 12) 3x2 - x + 1 13) 5x 14) a3 - 5a 15) x7 - 4 16) abx - 4a2x3 - 3abxy 17) 417 18) 5 19) -1 20) 1 ; 2 ; -5 21) 5 22)b 23)c 24)e 25)3/2 26)c 27)b 28)b

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)

1) DEFINIÇÃO : é uma seqüência numérica em que cada termo , a partir do segundo é igual ao anterior somado com um no fixo , chamado razão. 2) REPRESENTAÇÃO de uma P.A de “n” termos (a1 , a2 , a3 , . . . , an) a2 - a1 = a3 - a2 = . . . = an - an - 1 = r (razão) Onde n é o no de termos , a1 é o primeiro termo e an é o último termo , temos :

an = a1 + (n - 1) . r 3) SOMA DOS TERMOS : S = (a1 + an) . n 2 4) SEGUÊNCIA DE SEGUNDA ORDEM Site: GêniodaMatemática.com.br



40

Testes de Vestibular :

1. O décimo primeiro termo da PA (5 , 9 , ...) 2. Numa PA , a1 = 10 , r = 7. Calcular a13 . a) 26 a) 20 b) 42 b) 25 c) 72 c) 35 d) 94 d) 40 e) 96 e) 45 3. Numa PA de 10 termos , os extremos valem 4. Numa PA o quinto termo é 26 e o oitavo 5 e 32. Calcular a razão. termo vale 2 , a razão é: a) 1 a) -4 b) 2 b) -6 c) 3 c) -8 d) 4 d) -10 e) 5 e) -12 5. A expressão geral de uma PA é 6. Os valores de x e y na PA (-7 , x , 11 , y) an = 5n + 3 , determinar a) 2 ; 10 a) Os dois primeiros termos. b) 2 ; 20 b) Razão. c) 1 ; 4 c) O 23º termo. d) 1 ; 10 e) 4 ; 10 7. Sendo (a , b , c , d) uma PA e b = 2d, os 8. O próximo termo da PA (x - 1, 3 + 2x, valores de a e c são respectivamente ? 4x + 6 , ...) é ? a) 2d e 3d a) 5 b) 3d/2 e d b) 10 c) d e 2d c) 15 d) 3d/2 e 2d d) 20 e) 5d/2 e 3d/2 e) 25 9. As medidas de um lado de um triân - 10) A soma dos termos de uma PA onde to - gulo são expressas por : x + 1 ; 2x ; x2 - 5 dos os termos são positivos (x2+6, 5x+5, 5x2) é e estão em PA nesta ordem. O perímetro do triângulo mede ? a) 24 a) 15 b) 30 b) 20 c) 34 c) 25 d) 40 d) 45 e) 44 e) 50 11) Os dois primeiros termos da PA cuja 12) (UFRGS)-As medidas do lado, do pe- soma dos n primeiros termos é n2 + 4n rímetro e da área de um triângulo equilátero para todo n são respectivamente : são, nessa ordem, números em progressão a - a) 2 e 5 ritmética. A razão dessa progressão é

b) 5 e 7 a) 20 3 / 3

c) 7 e 9 b) 20

d) 9 e 11 c) 4 3 / 3

e) 1 e 3 d) 20 3

e) 40 3


41

13. A soma do quarto termo com o oitavo é 48. A diferença do sétimo com o terceiro é 12. Determine o quarto termo. a) 10 b) 14 c) 16 d) 17 e) 18 14. Em uma PA temos a4 + a15 = 805 e a1 + a9 = 598 , a razão vale ? 15. O primeiro termo de uma PA é 4 e a soma dos 10 primeiros é 80. A razão vale ? 16. Determinar a soma dos nos compreendidos entre 201 e 427 que são múltiplos de 5.

17. Interpolando 5 meios aritméticos entre 2 e 8 2 a razão é ? 18. Inserindo 4 meios aritméticos entre 3 e 33 a razão é ? 19.(ITA) Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a 5º. Então, seu maior ângulo mede, em graus ? Dica Si=(n-2).180 a. ( ) 120 b. ( ) 130 c. ( ) 140 d. ( ) 150 e. ( ) 160 20. (PUCRS) As quantias, em reais, de cinco pessoas estão em progressão aritmética. Se a segunda e a quinta possuem, respectivamente, R$ 250,00 e R$ 400,00, a primeira possui a) R$ 200,00 b) R$ 180,00 c) R$ 150,00 d) R$ 120,00 e) R$ 100,00 21. (ENEM) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é


42

Respostas : 01) e 02) d 03) c 04) c 05) a) a1 = 8 , a2 = 13 ; b) r = 5 ; c) 118 06) b 07) e

08) c 09) a 10) d 11) b 12) c 13) e 14) 23 15) 8/9 16) S = 14175 ; n = 45 17)7 2 / 6 18) 6 19)e 20)a 21) 24 4) SEGUÊNCIA DE SEGUNDA ORDEM

an = a1 (primeira ordem) + Sn-1(segunda ordem) Exemplos 1) Qual o 200 termo (2, 5, 11, 20,32,...) 2) Qual é o último termo da vigésima linha 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3) Qual o total de quadrados da figur 20.

4) (UFRGS) Considere a disposição de números abaixo. O primeiro elemento da quadragésima linha é a) 777. b) 778. c) 779. d) 780. e) 781.

Gabarito 1) 210 2) 782 3) 761 4) e


1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . .



43

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)

1) DEFINIÇÃO : é uma seqüência de números não nulos , em que cada termo posterior , a partir do segundo , é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado de razão da progressão. 2) REPRESENTAÇÃO de uma PG de “n” termos (a1 , a2 , a3 , . . . , an) 𝐚𝟐

𝐚𝟏 =

𝐚𝟑

𝐚𝟐 =

𝐚𝟒

𝐚𝟑= . . . . =

𝐚𝐧

𝐚𝐧−𝟏 = q(razão)

Onde n é o número de termos , a1 é o primeiro termo , an é o último termo , temos :

an = a1 . qn - 1

3) SOMA DOS TERMOS da PG finita

Sn = a1 . (qn - 1)

q - 1 4) SOMA DOS TERMOS da PG infinita Sn = a1 1 - q 5) PRODUTO DOS TERMOS

P = ( a1 . an )

n / 2 Testes de Vestibulares 01) O décimo termo da PG (1/81, 1/27, 1/9,...) 02) Numa PG de 6 termos onde o primeiro é 1/8 e a razão é 4 , o último termo vale a) 34 a) 27 b) 35 b) 43 c) 36 c) 25 d) 37 d) 47 e) 38 e) 29 Site: GêniodaMatemática.com.br



44

03) Numa PG o primeiro termo é 1/243 , o úl- 04) O quinto termo de uma PG crescente é timo é 9 e a razão vale 3. Calculando o núme- 162 e o terceiro termo é 18 , o primeiro ro de termos , encontramos : termo e a razão valem : a) 7 a) 1 e 2 b) 8 b) 2 e 3 c) 9 c ) 3 e 4 d) 10 d) 4 e 5 e) 11 e) 5 e 6

05) Os valores a , b , c na PG ( 2 , a , b , c , 06) Se M = 41.42.43.44. ... .4n, então n M

4 2 ) é igual a a) 2n + 1 b) 2n c) 2n - 1 d) 2n - 2 e) 2-n 07) Calcule a soma dos 12 primeiros termos 08) Qual o limite da soma da PG (1 , 1/3 , da PG (1 , 2 , 4 , . . . ) 1/9 , . . .) a) 2 b) 3 c) 3/2 d) 4 e) 5

09) A soma dos infinitos termos da PG 10) Na PG ilimitada decrescente (5 2 ....)

(2a + 2 , (2a + 2)/a2 , (2a + 2)/a4 , . . .) onde Lim n Sn = 5 , a razão vale :

a) a2 a) 3

b) 2a2 b) 2

c) (a - 1)/a2 c) 2 - 1

d) (2a2)/(a - 1) d) 1 - 2

e) a2 - 1 e) 3 / 2

11) Os três primeiros termos da PG valem : 12) Dada a PG (1 , ( 2 + 5)/ 17 , . . .) .

2x + 1 , 11 x e 4. A razão vale : O limite da soma de seus termos será : a) 3 b) 2

c) 3

d) 1

e)2 3 /3


45

13) Na PG temos a5 + a3 = 360; 14)(PUCRS-2003)A razão da PG cuja Calcule a1 e q. a6 + a4 = 1080 soma é 0,343434... é : a) 1/1000 b) 1/100 c) 1/10 d) 10 e) 100 15) A seqüência numérica (a, a2, a3, a4, ...) é decrescente; logo, "a" está no conjunto a) (-∞,-1 ) b) (-1,0) c) (1,+ ∞) d) (0,1) e) {-1,1}

Respostas : 01) b 02) a 03) b 04) b 05) 2 ; 2 2 ; 4 06) a 07) 212 - 1 08) c 09) d 10) d

11) e 12) 17 (12 + 2 ) / 142 13) a1 = 4 ; q = 3 14) b 15)d

GEOMETRIA PLANA

Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.


Â + Î = 180 graus Ê + Ô = 180 graus Â + Ê + Î + Ô = 360 graus



46

Círculo Hexágono regular

A = CxR/2 ap = L 3 / 2 A = 2RxR/2

R A = R2

C = 2R A = 6 L2 3 / 4

ap

Triângulos

Ângulos de um triângulo

A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. (fig. 24)

Em todo triângulo, qualquer ângulo externo tem medida igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. (fig. 25)

Os ângulos A e A' são iguais (duas paralelas cortadas por uma trasversal). Os ângulos B e B' são iguais por serem alternos internos. Os ângulos C e C' são iguais por serem opostos pelo vértice. Asim vê-se que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180o




47

Como calcular a altura em função do lado?

A altura divide o triângulo em dois triângulos retângulos iguais.


48

Qual é a relação entre o lado do triângulo e o raio da circunferência circunscrita ?

O ponto O é o circuncentro, o ortocentro e também o baricentro, logo dista do vértice 2 / 3 da altura.

Qual é o valor do apótema do triângulo equilátero ?

Chamamos de apótema ao segmento de reta que une o circuncentro ao ponto médio de um lado. O seu valor é 1 / 3 da altura ou seja a metade do raio R

Como calcular o raio da circunferência inscrita?

O raio da circunferência inscrita é igual ao apótema.


49

Qual é o valor da área do triângulo equilátero?

A área de um triângulo é igual à metade do produto da base pela altura.

Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas. Testes de Vestibular :

1. Calcular a altura de um triângulo equilátero 2. Determinar a área de um triângulo equilá-

de lado 2 3 tero de lado 4.

a) 6 a) 3

b) 5 b)2 3

c) 4 c)3 3

d) 3 d)4 3

e) 2 e)5 3




50

3. Calcular o lado de um triângulo eqüilátero 4. A área de um triângulo eqüilátero é 8 3 m2.

inscrito num círculo de 2cm de raio. Calcular o lado deste triângulo.

a) 3 a) 4 2

b) 2 3 b) 2

c) 3 c) 2 d) 1 d) 3 e) 4 e) 7 5. Qual o apótema de um quadrado de 6. Qual a área de um quadrado 6 cm de lado cuja diagonal mede 10cm. a) 1 a) 10 b) 2 b) 20 c) 3 c) 30 d) 4 d) 40 e) 5 e) 50 7. Qual o apótema de um quadrado 8. Calcular a área de um quadrado inscrito

num círculo de 4cm de raio ? inscrito num círculo de 4m2 de área. a) 1 a) 6

b) 2 2 b) 7 c) 2 c) 8

d) 3 2 d) 9 e) 3 e) 10 9. Qual é a área de um hexágono regular 10. Determine o apótema de um hexágono de 4cm de lado ? regular de lado 8.

a) 24 3 a) 2 3

b) 24 b) 3 3

c) 3 c) 4 3

d) 12 d) 3 2

e) 12 3 e) 4 2 11. Qual a área de um hexágono regular 12. Sendo o apótema de um triâng. equilát. inscrito num círculo de raio 3cm ? 2m, determine a área do círculo circunsc.

a) 9 3 a) 16m2

b) 27 2/3 b) 16m2

c) 27/2 c) m2

d) 12 3 d) 12m2

e) 12 e) 7m2 Site: GêniodaMatemática.com.br



51

13. Os lados de um retângulo de área x2 - x medem x - 4 e 2x + 3. O perímetro deste retângulo é ?

14) determine a área de cada setor circular sombreado nos casos abaixo:

a) b) c) d)

15) Calcule a área da parte sombreada, sabendo-se que o quadrilétro dado é um quadrado.

a) b) c) 16) Calcule a área da superfície sombreada.

a) b) c)


40º

70º

10

m

6m

a a a

a a a



52

17) Determine a área sombreada, nas figuras abaixo, sabendo que os três quadrados ABCD têm lado medindo 2cm.

a) b) c) 18) Determine a área da região sombreada.

a) b)

19) (ENEM) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça. Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%. Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em?

20) (ENEM) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:

Utilize 1,7 como aproximação para √3. O valor de R, em centímetros, é igual a


A B

C D

A B

D C

A B

C D

10 10

10 10

5 5

5 5



53

21) (ENEM) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento.

A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é

Respostas : 01) d 02) d 03) b 04) a 05) c 06) e 07) b 08) c 09) a 10) c 11) b 12) a

13) c 14) a) 25π m2, 10π m b) 36π m2, 12π m c) 4

d 2, πd

14) a) 4π m2 b) 7π m2 c) 30m2 d) 18m2

15) a) 4

a).4( 2 b)

2

a).2( 2 c)

4

a).4( 2

16) a) 4

a).2( 2 b)

2

a).4( 2 c)

2

a).2( 2

17) a) 2

)8( cm2 b) 2(π - 2) cm2 c) (4 - π) cm2

18) a) 100(4 - π) b) 2

25(2 3 - π) 19) 36% 20)74 21) 8

Lei dos Senos e Cossenos

1. (Regis) - A figura que segue mostra o triângulo ABC em que AC = 20dm. A medida de AB, em dm, é:

a) 20 2 A

b) 15 2

c) 10 2 45o

d) 20 3 B 30o C

e) 10 3

2. (Regis) - Sen 105o é igual a :

a) 2 + 6 d) 2 + 6

b) 6 - 2 2

2 e) 2 + 6

c) 6 - 2 4 4


54

3. (Regis) - O valor de x no triângulo abaixo é :

a) 18 3

b) 15 2 45o 12

c) 12 3 30o

d) 12 2 x

e) 10 3

4. (Regis) - A medida do lado x, no triângulo que segue, é expressa por :

a) a 2

b) a 3 a x

c) a 5 60o

d) a 6 3a

e) a 7

5. (PUCRS) – O valor de 4sen 15o é : a) 2

b) 2 6 d) 6 + 2

c) 2 - 6 e) 6 - 2

6. (PUCRS) – A medida do lado AB na figura é : a) 5

b) 5 3 A

c) 10 2 B 75o 60o

d) 12 2 r = 10

e) 15 2 C

7. (UFRGS) – Na figura, = / 6 radianos, = / 12 radianos e AC mede 15 2 . A distância de B a C é : a) 10 B

b) 10 6 c) 15

d) 15 2 A C

e) 15 3 15 2

8. (PUCRS) – Se num triângulo ABC são conhecidos m (CÂB) = 30o, m (AB) = 8 3 m e m

(BC) = 8m, então o lado AC mede, em metros : a) 24 ou 12 c) 12 ou 6 e) 4

b) 16 ou 8 d) 4 3

9. (UFRGS) – Os lados de um paralelogramo medem cada um 3cm, e o menor ângulo que eles formam mede 60o. A medida, em cm da maior das diagonais deste paralelogramo é :

a) 3 3 c) 3 2 e) 5

b) 3 2 - 3 d) 2 + 3




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10. (UFRGS) – Na figura abaixo a = 14, b = 10 e c = 6. A medida do ângulo é : A a) 150

o

b) 120o

c) 90o b c

d) 60o

e) 30o

a

11. (UFRGS) – O segmento AB é uma corda do círculo de centro 0 e diâmetro 12, com o ângulo A0B medindo 150o. A área do triângulo A0B é :

a) 9 c) 9 3 e) 36

b) 9 2 d) 18

12. (PUCRS) – O triângulo isósceles, cuja base mede 60 cm e os ângulos da base 30o cada um, tem perímetro igual a :

a) 20 3 + 60 d) 100 3

b) 40 3 + 60 e) 100 6

c) 40 6 + 60

13. (UFRGS) – Na figura AB = 3 e BC = 2. A cossesc é :

a) 2 3 / 3 B

b) 2

c) 3 30o

d) 2 A C e) 3

14. (PUCRS) – No triângulo ABC são conhecidos os lados a e b e o ângulo C. A área do triângulo é igual a : a) a . b 2 A b) a . b 2senC c b c) a . b 2cosC d) a . b . sen C B C 2 a e) a . b . cos C 2 Gabarito: 1)a 2)e 3)d 4)e 5)e 6)c 7)c 8)b 9)a 10)b 11)a 12)b 13)e 14)d

Teorema de Tales nos triângulos

Traçando uma reta p paralela a s passando pelo vértice A, temos um feixe de retas

paralelas, que corta duas transversais.

Pelo teorema de Tales:

http://1.bp.blogspot.com/-qdDr23qV4Ag/UEPVPo8fY3I/AAAAAAAAB-I/FdP2yQyzTVg/s1600/tales.png


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Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo e que cruza os outros dois lados, divide

esses dois lados em segmentos de reta proporcionais.

Exemplo 1

Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

Resposta: AB = 5 e BC = 6

Exemplo 2 Determine o valor de x na figura a seguir:

Resposta: x=10

GEOMETRIA ESPACIAL

2p = perímetro da base (soma de todos os lados) e h = altura Fórmula para todos os prismas: Al = área lateral At = área total V = volume

Al = 2p . h At = Al + 2Ab V = Ab . h


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Prisma triangular Prisma quadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal

Base:Triângulo Base:Quadrado Base:Pentágono Base:Hexágono

Fórmula para todas os pirâmides: PIRÂMIDE g g = apótema da pirâmide ; ap = apótema da base

h g2 = h2 + ap2 ap

Al = p . g At = Al + Ab V = 𝐀𝐛 .𝐡

𝟑

triangular quadrangular pentagonal hexagonal

base:triângulo base:quadrado base:pentágono base:hexágono



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CONE

g2 = R2 + h2 V = Ab . h/3

Al = Rg Ab = R2 At = Ab + Al g = 2R quando o cone é eqüilátero

CILINDRO

Al = 2Rh Ab = R2 At = Al + 2Ab V = Ab . h

g = 2R (cilindro equilátero)

Corte ou Secção transversal

L/l = H/h AB/Ab = (H/h)2 V/v = (H/h)3

http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&docid=T3w6L-4E0YZL0M&tbnid=wZHYJ_Bmnyp3-M:&ved=0CAUQjRw&url=http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com/2013/10/planificacao-do-cilindro.html&ei=Rl4TU9KwJ9PLkQeKiYGACg&bvm=bv.62286460,d.eW0&psig=AFQjCNHT3vx7dEBUzzSeXp39-NvpIDNIUw&ust=1393864617986375


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ESFERA

A = 4R2

V = 4R3 / 3 TRONCO DE PIRÂMIDE

A área lateral desse tronco são 6 trapézios!

Exercícios e Testes de Vestibular : 01) Qual a área lateral, total e o volume de um prisma quadrangular regular cuja aresta da base mede 5cm e a altura 12cm ? 02) A base de um prisma hexagonal regular está inscrita num círculo de diâmetro 8cm; sua altura mede 10cm. Calcular a área lateral e o volume deste sólido.

03) A base de um prisma triangular regular está inscrita em um círculo de raio 3 . Sabendo

que a altura desse prisma mede 8cm , calcular a área lateral e o volume deste sólido. Site: GêniodaMatemática.com.br



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04) (PUCRS)A razão entre as arestas de dois cubos é 1/3. A razão entre o volume do maior e do menor é : a) 1/9 b) 1/3 c) 3 d) 9 e) 27 05)(UFRGS)Se num paralelepípedo o comprimento é reduzido em 10%, a largura é reduzida em 5% e a altura é aumentada em 15%, então o volume : a) não se altera. b) aumenta em 0,75%. c) se reduz em 0,75%. d) aumenta em 1,675%. e) se reduz em 1,675%. 06) Calcular a área lateral de uma pirâmide triangular regular cujo apótema mede 8cm e o lado da base mede 5cm.

07) Calcular as áreas lateral e total do tetraedro regular cuja aresta lateral mede 3 .

08) Determinar a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de 12cm de altura e cuja aresta da base mede 18cm. 09) Calcular o volume de uma pirâmide hexagonal regular de 20cm de altura e cuja aresta da base mede 6cm. 10) (PUCRS) Um gaúcho retira toda a erva-mate de uma caixa de forma cúbica, totalmente cheia, de 6 cm de aresta interna para fazer seu chimarrão. Sabendo que a erva-mate ocupa 2/3 de sua cuia, o volume desta, em cm3, é a) 72 b) 216 c) 288 d) 324 e) 648 Site: GêniodaMatemática.com.br



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11) (UFRGS) Um sólido é totalmente mergulhado em um cilindro contendo água, causando a elevação do nível da água em 1,5 cm.Se o raio da base do cilindro mede 5cm, o volume do sólido é de a) 6,5 p cm3 b) 10 p cm3 c) 15 p cm3 d) 25 p cm3 e) 37,5 p cm3 12) (PUCRS) Um cilindro reto e um cone circular reto têm o mesmo raio da base, medindo 3m, e a mesma altura , medindo 4m. A razão entre as áreas laterais do cilindro e do cone é 13) Calcular a área lateral de um cone de revolução de 4cm de altura e 6cm de diâmetro da base. 14) Calcular o volume e a área total de um cone equilátero de 3cm de raio. 15) (UFRGS) Considere uma esfera inscrita num cubo. Dentre as alternativas abaixo, a melhor aproximação para a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é : a) 2/5 b) 1/2 c) 3/5 d) 2/3 e) 3/4

16) (UFRGS) A área de uma esfera é m2. Calcular o raio da esfera. 17) (UFRGS) - O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de uma esfera B . Se o raio da esfera B mede 10, então o raio da esfera A mede 18) (UFRGS) Uma esfera de 10cm de raio é interceptada por um plano. A distância do plano

ao centro da esfera sabendo que a área da intersecção é 9cm2 é: Site: GêniodaMatemática.com.br



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19) (ITA) Seja uma pirâmide regular de base hexagonal e altura 10 m. A que distância do vértice devemos cortá-la por um plano paralelo à base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do volume da pirâmide original? a) ( ) 2 m. b) ( ) 4 m. c) ( ) 5 m. d) ( ) 6 m. e) ( ) 8 m.

20) (ENEM) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países

orientais. .

Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de a) pirâmide b) semiesfera c) cilindro d) tronco de cone e) cone

21) PUCRS) Se V é o volume do cone circular reto de raio R e altura R e W é o volume da semi-esfera de raio R, então a relação W/V é a) 1/4 b) 2 c) 3/4 d) 1 e) 4/3 22) (ENEM) A figura seguinte representa um salão de um clube onde estão destacados os pontos A e B.

gênio da matemática régis cortes · 2016. 2. 19. · 4 gênio da matemática – régis cortes...

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