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GABARITO COMENTADO DE PROVAS DE FÍSICA CINEMÁTICA
1ª Prova – 2007 Questão 1: FÁCIL
O valor de H é calculado pela equação de Torricelli:
Para isso, deve-se calcular a velocidade inicial e final:
(sinal negativo, pois o projétil está
descendo.)
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Questão 2: MÉDIO
a) O único local onde possa haver colisão entre as partículas 1 e 2 é o ponto (0,0).
Neste ponto, as partículas passam em tempos diferentes. Logo, não haverá colisão. b) Para achar o instante mínimo entre as partículas, é necessário calcular o vértice x mínimo da equação da distância. Este é dado por Pitágoras:
c) A distância mínima é dada pelo vértice y mínimo da equação da distância:
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Questão 3: MÉDIO
a) A equação da trajetória é dada pela função y = f(x):
Para fazer o gráfico:
y é uma função do segundo grau. Logo, seu gráfico será uma parábola.
Se o coeficiente “a” ( ) é negativo, então a parábola terá concavidade para baixo.
Raízes: 0 e .
Vértice máximo: ( , ) b) A velocidade é dada pela derivada do deslocamento nos eixos x e y:
A aceleração é dada pela derivada da velocidade nos eixos x e y:
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c) Fazendo desenhos, é possível perceber que a relação entre a aceleração e a velocidade é o cosseno, sendo a hipotenusa a velocidade e a aceleração, o cateto adjacente. Como estamos trabalhando com vetores, aplicaremos a equação do cosseno de geometria analítica:
Questão 04: MÉDIO
De acordo com a geometria analítica, vetores só podem ser perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero:
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O tempo encontrado é o instante quando os vetores ficam perpendiculares. Então, joga-se esse tempo nas equações das trajetórias de cada partícula:
Após isso, calcula-se o módulo da variação entre eles, que é a distância que a questão pede:
Questão 05: MÉDIO
A distância é encontrada integrando a aceleração (negativa, pois é uma desaceleração) e usando a regra da cadeia para que o dt desapareça e dx apareça:
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Quando t = 0, v = v0. Se existe uma velocidade no tempo zero, então também existe um x0:
Voltando para a equação:
Quando o carro pára, a velocidade final é zero:
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1ª Prova – 02/12/2006 Questão 01: FÁCIL
O instante total do problema é dado pela equação horária da posição, usando a velocidade relativa dos trens (somam-se as velocidades, pois eles estão em sentidos contrários):
A distância total percorrida pelo pássaro é dada pela equação horária do pássaro:
Questão 02: MÉDIO
a) A equação da velocidade é a integral da aceleração:
Em x = 2m, a velocidade é nula:
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Voltando para a equação:
Em x = 3m, a velocidade será:
b) Para resolver a questão, devemos integrar a velocidade para que o tempo apareça:
De acordo com a dica da prova, temos que:
No tempo t = 0, o corpo passa pela origem:
Voltando à equação:
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O tempo necessário para ir de x = 1m até x = 2m (Δx = 1m) é:
(o resultado do arsen é em radianos)
Questão 03: FÁCIL
O valor de V é calculado pela equação de Torricelli:
Para isso, deve-se calcular a velocidade inicial pela equação horária da velocidade:
Voltando ao Torricelli:
Questão 04: MÉDIO
a) Para saber a distância que a bola atingirá o solo em relação à parede, deve-se calcular como se a bola estivesse saindo da parede. Para isso, devemos calcular em que altura e velocidade (do eixo y) ele atingirá a parede e o tempo de queda da parede até o solo. Tempo de chegada à parede:
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Altura da bola na parede:
Velocidade do eixo y na parede:
Tempo de queda da bola na parede até o solo:
Finalmente, a distância que se pede é dada pela equação horária da posição:
b) O tempo total é dado pela soma do instante do arremesso até a parede (t1) e o instante de queda da parede até o solo (t2):
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Questão 05: DIFÍCIL
Como está mostrado na figura, o barco ficará a salvo fora da zona de bombardeio, ou seja, há 2 locais seguros: um é entre a costa e o alcance mínimo do bombardeio, e o outro é além do alcance máximo deste. O Alcance máximo é encontrado quando a altura máxima da trajetória do projétil é igual à altura da montanha:
Por outro lado, o tempo de subida é dado pela equação horária da velocidade do eixo y, quando a velocidade é zero:
Voltando à equação da altura máxima:
Logo, o ângulo é:
Conhecendo o ângulo inicial e o tempo de subida, consegue-se o alcance máximo:
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Como a questão quer a distância em relação à costa, deve-se diminuir 2800 m, então:
A outra distância é dada quando a trajetória possui um ângulo maior que o ângulo encontrado anteriormente (se fosse menor, o projétil atingiria a montanha) e quando ela passa pela altura da montanha 2 vezes, ou seja:
Além disso, na segunda vez que a trajetória passar nesta altura, ela deve estar a 2500m do barco:
Voltando à equação da trajetória:
De acordo com a relação fundamental da trigonometria, temos que :
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Como isso se tornou uma equação biquadrática, substituiremos por y:
Logo, o ângulo em questão é:
O tempo total é dado quando a velocidade final do eixo y se torna igual a sua velocidade inicial, porém, em sentido oposto:
Com o tempo total e o ângulo inicial, temos o alcance máximo:
Diminuindo-se 2800m, temos:
O Barco pode ficar a salvo entre a costa e 3314,6m ou além de 3358,75m da costa.
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1ª Prova – 19/04/2008 Questão 01: MÉDIO
Montaremos um modelo de desenho primeiro: Separaremos a equação horária do barco em 2: a primeira, quando ele vai contra o rio, e a segunda, quando ele volta para o pacote, a favor do rio:
Para achar t2, vamos para a equação horária do pacote para encontrar a tempo total:
Voltando para a equação:
1 km Δx1
Δx2 = Δx1 + 1
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Questão 02: Já foi feita (Questão 03 da prova de 2007)
Questão 03: MÉDIO
a) A posição angular é dada pela integração da velocidade angular:
De acordo com Cálculo, temos que:
Então:
No instante t = 0, :
Voltando à equação:
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b) Substituindo a função horária da posição angular na equação da velocidade angular dada pela questão, temos:
Questão 04: DIFÍCIL
Primeiro, vamos calcular as equações da trajetória de cada jato de água, pois não podemos igualar as equações da posição de x e y de cada um ainda, pois cada um possui a variável tempo, que é diferente em cada equação (o tempo de chegada de cada jato se diferem). Equação da trajetória do ponto mais alto (A):
Substituindo um no outro, temos:
Equação da trajetória do ponto mais baixo (B):
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Substituindo um no outro, temos:
No ponto de interseção dos jatos, yA = yB = y, e xA = xB = x:
Então, o ponto em questão é C = . Questão 05: MÉDIO
a) Para encontrar a equação da velocidade, vamos integrar a aceleração (negativa, pois é uma desaceleração) usando a regra da cadeia:
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Na posição x = 10m, v = 0:
Voltando a equação:
A velocidade no ponto x = 0:
b) Usaremos a equação:
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1ª Prova 06/09/2008 Questão 01: DIFÍCIL
Para resolver esta questão, dividiremos o percurso em 3 partes: a primeira, quando ele acelera, a segunda, quando ele move-se uniformemente, e a terceira, quando ele desacelera: Primeira Parte:
Segunda Parte:
Terceira Parte:
Como a posição 3 e a aceleração é igual a da posição 1, pode-se dizer q o tempo também é igual. Sabemos que o tempo total 25s, então:
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Pela velocidade média, sabemos que:
Sabendo a distância total percorrida, podemos achar uma relação entre e :
Voltando à equação da segunda parte:
Voltando à equação da segunda parte:
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Questão 02: MÉDIO
a) A equação da aceleração é encontrada integrando A:
Como A é constante, então:
No tempo t = 0 a = a0:
A equação da velocidade é encontrada integrando a:
No tempo t = 0 v = v0:
A equação da posição é encontrada integrando v:
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No tempo t = 0 v = x0:
b) Isolando o tempo na equação horária da aceleração temos:
Substituindo este tempo na equação horária da velocidade temos:
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a) Se dividirmos o movimento do foguete em 2 partes, o tempo total será dado pela soma desses instantes: Parte 1 – Foguete subindo acelerado:
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Parte 2 – Foguete subindo desacelerado e depois descendo em queda livre:
Tempo total:
b) A altura máxima atingida é 1000m mais o acréscimo dado pela subida desacelerada:
c) A velocidade final é dada por:
Obs.: o sinal menos só indica que a velocidade aponta para baixo.
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Questão 04: MÉDIO
Vejamos a equação da posição:
A equação da velocidade será dada quando derivarmos essa equação:
Como L é constante:
Sabemos que o ângulo que forma o triângulo retângulo é 60°, então:
Voltando à equação:
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Questão 05: DIFÍCIL
a) O tempo de subida é dado por:
O alcance máximo é dado por:
Por outro lado, o alcance máximo é o vértice y máximo da parábola:
Então:
Aplicando o tempo de subida:
Aplicando a lei fundamental da trigonometria, temos:
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Substituindo , temos:
Portanto:
b) e c) O tempo de subida é igual ao tempo de descida:
d) O ângulo final é dado por:
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Portanto:
e) Montaremos primeiro as equações da trajetória:
Altura máxima:
Distância horizontal percorrida na subida:
Distância horizontal percorrida na descida:
Alcance máximo:
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1ª Prova – XX/07/2010 Questão 01: MÉDIO
a) A equação da velocidade é a integral da aceleração:
Em x = 2m, a velocidade é nula:
Voltando para a equação:
Em x = 3m, a velocidade será:
b) Para resolver a questão, devemos integrar a velocidade para que o tempo apareça:
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De acordo com a dica da prova, temos que:
No tempo t = 0, o corpo passa pela origem:
Voltando à equação:
(Observe que este resultado comprova que a posição atinge valores entre 0 e 2 metros, já que o seno só pode atingir valores entre 0 e 1, ou seja, o objeto com certeza não passa pela posição 3m, como demonstrada na letra a).
Questão 02: FÁCIL
O instante total do problema é dado pela equação horária da posição, usando a velocidade relativa dos trens (somam-se as velocidades, pois eles estão em sentidos contrários):
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A distância total percorrida pelo pássaro é dada pela equação horária do pássaro:
Questão 03: FÁCIL
a) A velocidade relativa à terra é dada pelo teorema de Pitágoras:
b) O tempo de travessia do rio é calculado por:
O ponto da margem oposta é calculado por:
c) O tempo de travessia do rio já foi calculado:
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Questão 04: MÉDIO
a) O módulo da velocidade é dada pelo teorema de Pitágoras:
A direção é dada pelo arco da tangente:
A bola possui uma velocidade de 18,02 m/s distante 56,3° do eixo horizontal, para quem vê fora do trem, em repouso. b) o tempo de subida do objeto é dado quando a velocidade vertical é nula:
Sabendo que o tempo total é dado pelo dobro do tempo de subida, temos que tT = 3s. Este tempo vale para a pessoa dentro vagão, e para a pessoa fora deste. c) Velocidade mínima para o observador dentro do vagão: Para quem está dentro do vagão, a bola percorre um trajeto vertical; na altura máxima, a velocidade será zero, portanto, a velocidade mínima é zero. Velocidade mínima para o observador fora do vagão: Para quem está fora do vagão, a bola faz um trajeto oblíquo, obedecendo à equação vR² = vT² + vB². Como a velocidade do trem é constante, a velocidade mínima é atingida quando a velocidade da bola for zero (altura máxima), então: