fungsi dan grafik fungsi

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Sistem Bilangan Real

1.2 Sistem Koordinat

Bab ini memuat materi-materi dasar yang diperlukan dalam mempelajari kalkulus. Beberapa materi yang disampaikan hanyalah merupakan review, namun demikian ada pula beberapa yang relative masih baru.

1.1 Sistem Bilangan Real

Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada konsep tentang himpunan. Himpunan adalah

sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota

(elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi

atau { }.

Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan dan dibaca “a elemen S”. Jika a

bukan anggota himpunan S, maka dituliskan dan dibaca “a bukan elemen S”.

Pada umumnya, sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara. Pertama, dengan mendaftar

seluruh anggotanya. Sebagai contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat

dinyatakan sebagai:

Cara yang kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu

himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila

himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:

Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis , jika setiap anggota A

merupakan anggota B. Kiranya tidaklah sulit untuk dipahami bahwa untuk sebarang himpunan A.

23

Selanjutnya, akan disampaikan beberapa himpunan bilangan yang dipandang cukup penting.

Himpunan semua bilangan asli adalah . Himpunan ini tertutup terhadap operasi

penjumlahan dan operasi pergandaan, artinya dan untuk setiap . Oleh karena

itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem dan biasa disebut sistem bilangan asli. Sistem

bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan bilangan-bilangan bulat negatif membentuk Sistem

Bilangan Bulat, ditulis dengan notasi Z,

Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli.

Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q,

Dalam kehidupan nyata seringkali dijumpai bilangan-bilangan yang tidak rasional. Bilangan yang

tidak rasional disebut bilangan irasional. Contoh-contoh bilangan irasional antara lain adalah dan .

Bilangan adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing-

masing adalah 1 (lihat Gambar 1.1.1).

Sedangkan bilangan merupakan hasil bagi keliling sebarang lingkaran terhadap diameternya (Gambar

1.1.2).

24

1

1Gambar 1.1.1

d1

l1 l2

d2

Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan Q membentuk himpunan semua bilangan real

R. Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real seringkali digunakan cara desimal.

Sebagai contoh, bilangan-bilangan masing-masing dapat dinyatakan dalam desimal sebagai

Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan

rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut:

i. berhenti ( ), atau

ii. berulang beraturan ( ).

Apabila bentuk desimal suatu bilangan tidak termasuk salah satu tipe di atas, maka bilangan tersebut

adalah irasional. Sebagai contoh, bilangan-bilangan:

1.1.1 Sifat-sifat Sistem Bilangan Real

Pembaca diingatkan kembali kepada sifat-sifat yang berlaku di dalam R. Untuk sebarang bilangan

real berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

1. Sifat komutatif

(i).

2. Sifat asosiatif

3. Sifat distibutif

4. (i).

(ii).

25

Gambar 1.1.2

(iii).

5. (i).

(ii).

(iii).

6. (i). , untuk setiap bilangan .

(ii). tak terdefinisikan.

(iii). , untuk setiap bilangan .

7. Hukum kanselasi

(i). Jika dan maka .

(ii). Jika maka .

8. Sifat pembagi nol

Jika maka atau .

1.1.2 Relasi Urutan

Himpunan semua bilangan real dapat dibagi menjadi 3 himpunan bagian tak kosong yang saling

asing: (i). Himpunan semua bilangan real positif; (ii). Himpunan dengan bilangan 0 sebagai satu-satunya

anggota; dan (iii). Himpunan semua bilangan real negative.

Untuk sebarang bilangan real a dan b, a dikatakan kurang dari b (ditulis jika positif.

Bilangan a dikatakan lebih dari b (ditulis ) jika . Sebagai contoh, . Mudah

ditunjukkan bahwa:

a. Bilangan a positif jika dan hanya jika .

b. Bilangan a negatif jika dan hanya jika .

Jika a kurang dari atau sama dengan b, maka ditulis . Jika a lebih dari atau sama dengan b, maka

ditulis . Sedangkan dimaksudkan sebagai dan . Artinya b antara a dan c. Berikut ini

adalah beberapa sifat yang sangat penting untuk diketahui. Untuk sebarang bilangan real a, b, dan c:

26

1. Jika maka untuk setiap bilangan real c.

2. Jika maka .

3. a. Jika dan maka .

b. Jika dan maka .

4. a. Jika maka .

b. Jika maka .

5. Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku tepat satu:

6. Jika maka: .

1.1.3 Garis Bilangan

Secara geometris, sistem bilangan real R dapat digambarkan dengan garis lurus. Mula-mula

diambil sebarang titik untuk dipasangkan dengan bilangan 0. Titik ini dinamakan titik asal (origin), ditulis

dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat skala sama (segmen) dan disepakati arah positif disebelah kanan

O sedangkan arah negatif disebelah kiri O. Selanjutnya, bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, … dapat

dipasangkan dengan masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan dengan titik-

titik di sebelah kiri O. Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk bilangan-

bilangan dst. (Perhatikan Gambar 1.1.3)

Dengan cara demikian, maka setiap bilangan real menentukan tepat satu titik pada garis lurus dan

sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu bilangan real. Oleh sebab itu, garis lurus

sering disebut pula Garis Bilangan Real.

27

2 1 0 1 2 3

Gambar 1.1.3

1.1.4 Pertidaksamaan

Perubah (variable) adalah lambang (symbol) yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggota

suatu himpunan. Jika himpunannya R maka perubahnya disebut perubah real. Selanjutnya, yang

dimaksudkan dengan perubah adalah perubah real.

Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan matematis yang memuat satu perubah atau lebih

dan salah satu tanda ketidaksamaan (<, >, , ).

Contoh 1.1.1a. c.

b. d.

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memiliki arti mencari seluruh bilangan real yang dapat dicapai oleh

perubah-perubah yang ada dalam pertidaksamaan tersebut sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi

benar.Himpunan semua bilangan yang demikian ini disebut penyelesaian. Sifat-sifat dan hukum dalam R

sangat membantu dalam mencari penyelesaian suatu pertidaksamaan.

Contoh 1.1.2 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan .

Penyelesaian:

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan di atas adalah .█

Pertidaksamaan tipe lain mungkin lebih sulit diselesaikan dibandingkan pertidaksamaan-

pertidaksamaan seperti pada contoh di atas. Beberapa contoh diberikan sebagai berikut.

Contoh 1.1.3 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan: .

Penyelesaian: Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh:

28

Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor

negatif. Oleh karena itu,

(i). Jika ke dua faktor positif maka:

Sehingga diperoleh: .

(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka:

Diperoleh: .

Jadi, penyelesaian adalah .

Penyelesaian pertidaksamaan di atas dapat pula diterangkan sebagai berikut: ruas kiri

pertidaksamaan bernilai nol jika . Selanjutnya, ke dua bilangan ini membagi garis bilangan

menjadi 3 bagian: (Gambar 1.1.4).

Pada bagian , nilai keduanya negatif, sehingga hasil kali keduanya positif. Pada

segmen , bernilai positif sedangkan bernilai negatif. Akibatnya, hasil kali keduanya

bernilai negatif. Terakhir, pada bagian , masing-masing bernilai positif sehingga

hasil kali keduanya juga positif. Rangkuman uraian di atas dapat dilihat pada Tabel 1.1.1 di bawah ini.

Tabel 1.1.1

Tanda nilai

Kesimpulan

29

0 2 3 4

x<2 2<x<3 x>3

Gambar 1.1.4

+

+

+

+

+

Pertidaksamaan dipenuhi.

Pertidaksamaan tidak dipenuhi.


Jadi, penyelesaian pertidaksamaan adalah .█

Metode penyelesaian seperti pada Contoh 1.1.3 di atas dapat pula diterapkan pada bentuk-bentuk

pertidaksamaan yang memuat lebih dari 2 faktor maupun bentuk-bentuk pecahan.

Contoh 1.1.4 Tentukan penyelesaian .

Penyelesaian: Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambah 1, maka diperoleh:

Jika , maka diperoleh: . Selanjutnya, perhatikan table

berikut:

Tabel 1.1.2

Tanda nilai/nilai

Kesimpulan

+

+

+

0

2

3

+

+

2

0

1

+

3

1

0

+

+

0

0

0








Jadi, penyelesaian adalah .█

Contoh 1.1.5 Selesaikan .

Penyelesaian: Apabila pada ke dua ruas ditambahkan maka diperoleh:

30

Nilai nol pembilang adalah , sedangkan nilai nol penyebut adalah 2. Sekarang, untuk

mendapatkan nilai x sehingga diperhatikan tabel berikut:

Tabel 1.1.3

Tanda nilai/nilai

Kesimpulan

+

+

+

0

4

7

+

+

4

0

3

+

7

3

0

+

+

0

tak terdefinisikan

0









1.1.5 Nilai Mutlak (Absolute Value)

Nilai mutlak suatu bilangan adalah panjang/jarak bilangan tersebut dari bilangan 0. Jadi, nilai mutlak 5 adalah 5, nilai mutlak 7 adalah 7, nilai mutlak 0 adalah 0, dan seterusnya.

Definisi 1.1.6 Nilai mutlak , ditulis dengan notasi , didefinisikan sebagai:.

31

Definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai:

Sebagai contoh, , , , dst. Selanjutnya, sifat-sifat nilai mutlak diterangkan

sebagai berikut.

Sifat 1.1.7 Jika maka:a.

b.

c. (Ketaksamaan segitiga)

Secara geometris, nilai mutlak dapat diartikan sebagai jarak dari a ke x. Sebagai contoh, jika maka artinya x berjarak 7 unit di sebelah kanan atau di sebelah kiri 3 (lihat Gambar 1.1.5).


Dengan mengingat Sifat 1.1.7 (b), kiranya mudah dipahami sifat berikut:

Sifat 1.1.8 Jika , maka: .

Sebagai contoh,

Secara sama,

32

4 3 10

7 unit 7 unit

Gambar 1.1.5

Sifat 1.1.9 Jika , maka: (a). .(b). .

Contoh 1.1.10 Selesaikan .Penyelesaian: Menggunakan Sifat 1.1.9 (b), diperoleh:


Contoh 1.1.11 Tentukan semua nilai x sehingga .

Penyelesaian: Berdasarkan Sifat 1.1.9 (a), maka:

Selanjutnya, karena:

maka, diperoleh: .█

Contoh 1.1.12 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan .Penyelesaian:(i). Apabila , maka selalu berlaku untuk setiap x. Sehingga diperoleh: .(ii). Jika , maka:

Dari (i) dan (ii), diperoleh .█

1.1.6 Selang (Interval)

33

Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan . Berturut-turut didefinisikan:

Contoh 1.1.13 Tentukan penyelesaian .

Penyelesaian: Berdasarkan Sifat 1.6 maka diperoleh:


Soal LatihanUntuk soal 1 – 21 tentukan penyelesaiannya.1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

Untuk soal 22 – 24 tentukan x sehingga masing-masing pernyataan mempunyai arti.

22. 23. 24.

25. Jika dan maka tunjukkan .

26. Jika maka tunjukkan bahwa . Bilangan disebut rata-rata aritmatika dari bilangan

a dan b.

34

27. Jika maka tunjukkan bahwa . Bilangan disebut rata-rata geometri dari bilangan a dan b. Tunjukkan pula bahwa rata-rata geometri dari bilangan a dan b kurang dari rata-rata aritmatikanya.

28. Tunjukkan bahwa .

29. Jika dan maka tunjukkan .

30. Jika dan , tunjukkan .

1.2 Sistem Koordinat

Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik. Ada beberapa macam system koordinat: Sistem Koordinat Cartesius, Sistem Koordinat Kutub, Sistem Koordinat Tabung, dan Sistem Koordinat Bola. Pada bagian ini hanya akan dibicarakan Sistem Koordinat Cartesius dan Sistem Koordinat Kutub saja.

1.2.1 Sistem Koordinat Cartesius

Diperhatikan 2 garis lurus, satu mendatar (horizontal) dan yang lain tegak (vertical). Selanjutnya, garis mendatar ini disebut sumbu-x sedangkan garis yang tegak disebut sumbu-y. Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O. Seperti biasanya, titik-titik disebelah kanan O dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real negatif. Demikian pula dengan titik-titik di sebelah atas O dan di sebelah bawah O masing-masing dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif dan negatif.

Oleh ke dua sumbu, bidang datar (bidang koordinat) terbagi menjadi 4 daerah (kwadran), yaitu kwadran I, kwadran II, kwadran III, dan kwadran IV (lihat Gambar 1.2.1).

Letak sebarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan berurutan . Titik mempunyai arti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing-masing adalah . Apabila

maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O dan apabila maka titik P terletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik asal O. Dalam hal ini, x

disebut absis titik P sedangkan y disebut ordinat titik P.

35

Kwadran IKwadran II

Kwadran III Kwadran IV

Gambar 1.2.1

Gambar 1.2.2

1.2.2 Sistem Koordinat Kutub (Polar)

Pada sistem koordinat Cartesius, letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan ,

dengan x dan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-y dan ke sumbu-x. Pada sistem

koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real ,

dengan r menyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub) sedangkan adalah sudut antara sinar yang

memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub) (lihat Gambar 1.2.3).

Berbeda dengan sistem koordinat Cartesius, dalam koordinat kutub letak suatu titik dapat

dinyatakan dalam tak hingga banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik dapat digambarkan

dengan cara terlebih dulu melukiskan sinar yang memancar dari titik asal O dengan sudut sebesar radian

36

Gambar 1.2.3

r

O

terhadap sumbu mendatar arah positif. Kemudian titik P terletak pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari

titik asal O (lihat Gambar 1.2.4 (a)). Titik P dapat pula dinyatakan dalam koordinat , dengan

k bilangan bulat (lihat Gambar 1.2.4 (b)). Mudah ditunjukkan pula bahwa koordinat pun juga

menggambarkan titik P (lihat Gambar 1.2.4 (c)). Pada koordinat yang terakhir, jarak bertanda negatif. Hal

ini dikarenakan titik P terletak pada bayangan sinar .

37

3

(b)

3

(a)

(c)

3

3

O

Gambar 1.2.4 Berbagai pernyataan koordinat kutub untuk suatu titik.

Secara umum, jika menyatakan koordinat kutub suatu titik maka koordinat titik tersebut dapat

pula dinyatakan sebagai berikut:

atau dengan k bilangan bulat.

Kutub mempunyai koordinat dengan sebarang bilangan.

1.2.3 Hubungan Antara Sistem Koordinat Cartesius dan Sistem Koordinat Kutub

Suatu titik P berkoordinat dalam sistem koordinat Cartesius dan dalam sistem

koordinat kutub. Apabila kutub dan titik asal diimpitkan, demikian pula sumbu kutub dan sumbu-x positif

juga diimpitkan, maka kedudukan titik dapat digambarkan sebagai berikut:

Dari rumus segitiga diperoleh hubungan sebagai berikut:

(1.1)

atau:

(1.2)

38

r y

x

O x

y

Gambar 1.2.5

Contoh 1.2.1 Nyatakan ke dalam system koordinat Cartesius.

a. b. c.

Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan (1.1):

a. .

Jadi, .

b. .

Jadi, dalam system koordinat Cartesius .

c. .

Jadi, .█

Apabila maka persamaan (1.2) dapat dinyatakan sebagai:

(1.3)

Hati-hati apabila menggunakan persamaan (1.3), karena akan memberikan 2 nilai yang

berbeda, . Untuk menentukan nilai yang benar perlu diperhatikan letak titik P, apakah di

kwadran I atau II, ataukah dikwadran II atau IV. Apabila dipilih nilai yang lain, maka .

Contoh 1.2.2 Nyatakan ke dalam sistem koordinat kutub:

a. b.

Penyelesaian: Dari persamaan (1.3), diperoleh:

a.

39

Selanjutnya, karena letak titik P di kwadran IV, maka:

, atau

.

Jadi, atau .

b.

Selanjutnya, karena letak titik Q di kwadran II, maka:

, atau

.

Jadi, atau .█

Contoh 1.2.3 Nyatakan persamaan ke dalam sistem koordinat Cartesius.

Penyelesaian: Jika ke dua ruas persamaan di atas dikalikan dengan r maka diperoleh:

Selanjutnya, karena dan maka:

yaitu persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari .█

Contoh 1.2.4 Nyatakan ke dalam system koordinat kutub.

Penyelesaian: Dengan substitusi maka diperoleh:

40

█

Soal LatihanUntuk soal 1 – 8, nyatakan masing-masing dengan dua koordinat yang lain, satu dengan dan yang lain

dengan .

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

Untuk soal 9 – 16, nyatakan dalam sistem koordinat Cartesius.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

Untuk soal 17 – 23, ubahlah ke dalam sistem koordinat kutub.

17. 18. 19. 20.

21. 22. 23.

Untuk soal 24 – 29, nyatakan masing-masing persamaan ke dalam sistem koordinat Cartesius.

24. 25. 26.

27. 28. 29.

Nyatakan persamaan pada soal 30 – 32 ke dalam sistem koordinat kutub.

30. 31. 32.

33. Tunjukkan bahwa jarak titik dan adalah:

41

BAB IIFUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

2.1 Fungsi

2.2 Grafik Fungsi

2.3 Barisan dan Deret

2.4 Irisan Kerucut

2.1 Fungsi

Dalam berbagai aplikasi, korespondensi/hubungan antara dua himpunan sering terjadi. Sebagai

contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi . Contoh yang lain, tempat

kedudukan titik-titik yang jaraknya 1 satuan dari titik pangkal O adalah . Ada hal penting

yang bisa dipetik dari contoh di atas. Misalkan X menyatakan himpunan semua absis lebih dari atau sama

dengan 1 dan kurang dari atau sama dengan 1, sedangkan Y himpunan ordinat lebih dari atau sama

dengan 1 dan kurang dari atau sama dengan 1. Maka elemen-elemen pada X berkorespondensi dengan

42

satu atau lebih elemen pada Y. Selanjutnya, korespondensi disebut relasi dari X ke Y. Secara

umum, apabila A dan B masing-masing himpunan yang tidak kosong maka relasi dari A ke B

didefinisikan sebagai himpunan tak kosong .

A B

Gambar 2.1.1 Relasi dari himpunan A ke B

Jika R adalah relasi dari A ke B dan berelasi R dengan maka ditulis:

Apabila diperhatikan secara seksama, ternyata dua contoh di atas mempunyai perbedaan yang

mendasar. Pada contoh yang pertama setiap menentukan tepat satu . Sementara pada contoh

yang ke dua, setiap berelasi dengan beberapa (dalam hal ini dua) nilai yang

berbeda. Relasi seperti pada contoh pertama disebut fungsi.

Jadi, relasi R dari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap terdapat tepat satu sehingga

.

Sebagai contoh, misalkan . Himpunan merupakan fungsi

dari X ke Y, karena setiap anggota X berelasi dengan tepat satu anggota Y. Demikian pula, himpunan

merupakan fungsi dari X ke Y. Sementara himpunan bukan

merupakan fungsi dari X ke Y, karena ada anggota X, yaitu 1, yang menentukan lebih dari satu nilai di Y.

43

a1

a2

a3

b1

b2

b3

b4

Definisi 2.1.1 Diketahui R relasi dari A ke B. Apabila setiap berelasi R dengan

tepat satu maka R disebut fungsi dari A ke B.

Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst. Selanjutnya, apabila f merupakan fungsi

dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:

f : A B

Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan

himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f. Domain fungsi f ditulis dengan notasi

Df, dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi f adalah himpunan terbesar di

dalam R sehingga f terdefinisikan atau ada. Jadi:

Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range atau daerah hasil

fungsi f, ditulis atau Im(f) (Perhatikan Gambar 2.1.2).

Jika pada fungsi f : A B , sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y

merupakan bayangan x oleh f “ atau “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).

A B

Gambar 2.1.3 f fungsi dari himpunan A ke B.

● ●

●●

●

fR

Gambar 2.1.2

44

x yf

A B

Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas. Sedangkan y

= f(x) disebut rumus fungsi f.

Contoh 2.1.2 Tentukan domainnya.

a. b. c.

Penyelesaian:

a. Suatu hasil bagi akan memiliki arti apabila penyebut tidak nol. Oleh karena itu,

b. Karena akar suatu bilangan ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka:

c. Suatu jumlahan memiliki arti apabila masing-masing sukunya terdefinsikan. Sehingga:

= .█

Contoh 2.1.3 Jika , maka tentukan:

a. b. c. d.

Penyelesaian:

a. .

b. .

45

c. .

d. .█

2.1.1 Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif

Berikut diberikan beberapa fungsi yang memenuhi syarat-syarat tertentu . Diberikan fungsi

.

(i). Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut

fungsi surjektif atau fungsi pada (onto function).

Gambar 2.1.4 f fungsi surjektif dari himpunan A ke himpunan B

(ii). Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut

fungsi injektif atau fungsi 1-1 (into function).

A B

(iii). Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau

korespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus

injektif.

46

a1●

a2●

a3●

a4●

●b1

●b2

●b3

a1●

a2●

a3●

●b1

●b2

●b3

●b4

●b5

A B

Gambar 2.1.5 Fungsi injektif dari A ke B

A B

2.1.2 Operasi Pada Fungsi

Diberikan skalar real dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahan , selisih , hasil kali skalar

, hasil kali , dan hasil bagi masing-masing didefinisikan sebagai berikut:

Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali untuk ,

.

Contoh 2.1.4 Jika f dan g masing-masing:

maka tentukan: , , , dan beserta domainnya.

Penyelesaian:

Karena , maka , , , dan masing-masing mempunyai

domain: .█

47

a1●

a2●

a3●

a4●

●b1

●b2

●b3

●b4

Gambar 2.1.6 Korespondensi 1 – 1.

2.1.3 Fungsi Invers

Diberikan fungsi . Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari Y ke X. Pada umumnya,

invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi. Sebagai contoh, perhatikan Gambar 2.1.7 di bawah ini.

Apabila merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga

merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi . Perhatikan Gambar 2.1.8

berikut.

Jadi:

dengan

x ● ● y

X Y

1f

Gambar 2.1.8

48

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

f

A B

Gambar 2.1.7

f

Contoh 2.1.5 Tentukan jika diketahui .

Penyelesaian:

Jadi, .█

Contoh 2.1.6 Tentukan inversnya jika diketahui:

Penyelesaian: (i). Untuk , . Sehingga:

(ii). Untuk , . Sehingga, diperoleh: .

(iii).Untuk ,

atau:

49

Selanjutnya, dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh:

.█

2.1.4 Fungsi Komposisi

Perhatikan fungsi . Apabila didefinisikan dan

maka dengan substitusi diperoleh , yaitu rumus fungsi yang pertama

disebutkan. Proses demikian ini disebut komposisi. Secara umum dapat diterangkan sebagai berikut.

Diketahui f dan g sebarang dua fungsi. Ambil sebarang . Apabila maka f dapat

dikerjakan pada dan diperoleh fungsi baru . Ini disebut fungsi komposisi dari f dan g,

ditulis .

50

Definisi 2.1.7 Fungsi komposisi dari f dan g, ditulis , didefinisikan sebagai:,

dengan domain .

Contoh 2.1.7 Jika f(x) = x2 dan g(x) = x1 maka tentukan fungsi-fungsi berikut beserta domainnya.

a. b. c. d.

Penyelesaian:

a. , dengan domain .

b. , dengan domain .

c. , dengan domain .

d. , dengan domain .█

Contoh 2.1.8 Jika dan maka tentukan fungsi-fungsi berikut ini beserta

domainnya.

a. b.

Penyelesaian:

a. , dengan domain:

.

b. , dengan domain:

.█

x ● ●

●

g f

gf

Gambar 2.1.9 Fungsi komposisi

51

Contoh 2.1.9 Tentukan jika diketahui:

Penyelesaian:

(i). Untuk , . Sehingga:

(ii).Untuk , . Karena , maka dapat dibedakan menjadi

dan . Selanjutnya,

(a). apabila atau . Hal ini berakibat, untuk ,

(b). apabila atau . Jadi, untuk diperoleh:

Dari (i) dan (ii), diperoleh:

2.2 Grafik Fungsi

Diberikan fungsi f. Himpunan disebut grafik fungsi f.

2.2.1 Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius

Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi:

52

(a). Fungsi Aljabar (b). Fungsi Transenden

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil

bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak. Sebagai contoh, fungsi f dengan rumus:

merupakan fungsi aljabar. Fungsi yang bukan fungsi aljabar disebut fungsi transenden. Beberapa contoh

fungsi transenden adalah fungsi trigonometri, fungsi logaritma, dsb.

Fungsi Aljabar

Fungsi Aljabar meliputi :

(1). Fungsi rasional :

a. Fungsi bulat (fungsi suku banyak)

b. Fungsi pecah.

(2). Fungsi irasional.

Fungsi Suku Banyak

Fungsi suku banyak berderajat n mempunyai persamaan

f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xn

dengan n bilangan bulat tak negatif , a1, . . . , an bilangan-bilangan real dan an 0.

(a). Fungsi konstan: .

Grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar sumbu X.

53

Y

0

a0

3

f(x) = 1

X

f(x) = a0

f(x) = 3

1

Gambar 2.2.1

(b). Fungsi linear: f(x)= mx + n

Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik .

(c). Fungsi kuadrat: .

Grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Diskriminan: . Secara umum, grafik fungsi kuadrat

ini dapat digambarkan sebagai berikut:

54

0

2

y = x + 2

y = x

y = x 3

y = x

2 3

3

Gambar 2.2.2

Perhatikan pula gambar berikut ini.

D>0a<0

D>0a>0

(a) (b)

D=0a<0

(c) (d)

D=0a>0

D<0a<0

(e) (f)

D<0a>0

Gambar 2.2.3

55

(d). Fungsi kubik: .

Fungsi Pecah

Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak

56

Y

X2

y = x2

y = 4x – x2

y = ¼ x2

Yy = x3

y = (x1)3

X

1

1

4

Gambar 2.2.4

Gambar 2.2.5

disebut fungsi pecah. Grafik beberapa fungsi pecah sederhana, seperti:

f(x) =

diperlihatkan dalam gambar berikut.

Fungsi Irasional

Beberapa contoh fungsi irasional beserta grafiknya diperlihatkan pada gambar berikut ini.

57

y =

x = 1

y = 1

y = 1/x

Gambar 2.2.6

Fungsi Transenden

Fungsi transenden meliputi: Fungsi Trigonometri, Fungsi Siklometri, Fungsi Eksponen, dan Fungsi

Logaritma.

(a). Fungsi trigonometri

Ditinjau titik sebarang P(x,y) pada bidang koordinat seperti terlihat dalam gambar berikut ini.

xy

a a

a a

a

a

2xay

2xay

Gambar 2.2.7

(a)

(b) (c)

58

Apabila r menyatakan jarak titik P ke O dan menyatakan besar sudut antara OP dengan sumbu X

(arah berlawanan dengan jarum jam), maka berturut-turut didefinisikan sebagai berikut:

sin = y/r cos = x/r

tan = y/x cot = x/y

sec = r/x csc = r/y

Dari definisi mudah ditunjukkan hubungan-hubungan berikut:

tan =

sec =

dan:

sin2 + cos2 = 1 1 + tan2 = sec2 1 + cos2 = csc2

Berbeda halnya dengan geometri yang biasanya besar sudut diukur dalam derajat, maka dalam

kalkulus besar sudut dinyatakan dalam radian. Besar sudut satu radian sama dengan besar sudut pusat

juring lingkaran OPQ yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran (perhatikan Gambar 2.2.9).

59

P(x,y) r y

x

Q

Gambar 2.2.8

Oleh karena itu,

2 radian = 360o atau 1 radian = derajat.

Selanjutnya, dapat dibentuk fungsi-fungsi trigonometri. Beberapa grafik fungsi trigonometri dapat

digambarkan sebagai berikut (lihat Gambar 2.2.10 dan Gambar 2.2.11):

Untuk – x 2, grafik y = sin x dan y = cos x berpotongan di x = /4 dan x = 5/4.

r

r

PO

Q

Gambar 2.2.9 Besar sudut POQ 1 radian

60

Gambar 2.2.10 (b) Grafik Gambar 2.2.10 (a) Grafik

(b). Fungsi Siklometri

Untuk domain tertentu invers fungsi trigonometri juga merupakan fungsi. Invers fungsi

trigonometri dikenal dengan nama fungsi siklometri. Invers fungsi sinus ditulis dengan sin1 atau arcsin dan

didefinisikan sebagai berikut:

61

Gambar 2.2.11 (a) Grafik Gambar 2.2.11 (b) Grafik

Gambar 2.2.11 (c) Grafik Gambar 2.2.11 (d) Grafik

y = sin1 x = arcsin x x = sin y y [/2, /2]

Demikian pula untuk invers fungsi trigonometri yang lain.

y = cos1x = arccos x x = cos y y [0, ]

y = tan –1x = arctan x x = tan y y (/2, /2)

y = cot 1x = arccot x x = cot y y (0, )

y = sec 1x = arcsec x x = sec y y (/2, /2)

y = csc1 x = arccsc x x = csc y y (0, )

Selanjutnya, grafik fungsi siklometri dapat dilihat pada Gambar 2.2.12 di bawah ini.

62

Gambar 2.2.12 (a) Gambar 2.2.12 (b)

Gambar 2.2.12 (a)

(c) Fungsi Eksponensial

Untuk , fungsi f dengan rumus:

f(x) = ax

disebut fungsi eksponensial. Grafik fungsi eksponensial diperlihatkan pada gambar berikut:

(d). Fungsi Logaritma

Untuk , . Sebagai contoh:

Selanjutnya, fungsi f dengan rumus:

disebut fungsi logaritma. Dalam hal ini . Grafik fungsi logaritma diperlihatkan pada

gambar dibawah.

1, aay x

10, aay x

1

Gambar 2.2.13

63

2.2.2 Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kutub

Seperti telah diterangkan di muka, dalam sistem koordinat kutub, koordinat suatu titik dapat

diekspresikan dengan tak hingga banyak cara. Oleh karena itu, untuk menggambarkan grafik fungsi dalam

sistem koordinat kutub, diperlukan kehati-hatian yang lebih dibanding ketika menggambar dalam sistem

koordinat Kartesius.

Contoh 2.2.1 Gambarlah grafik r = 2.

Penyelesaian: Titik-titik yang memenuhi persamaan r=2 adalah titik-titik yang berjarak 2 satuan

dari kutub (O). Jadi, kumpulan titik-titik ini akan membentuk lingkaran berjari-jari 2. Dengan cara lain,

karena maka . Grafik diberikan pada Gambar 2.2.15.

1,log axy a

10,log axy a

1

Gambar 2.2.14

Grafik fungsi yang disajikan dalam sistem koordinat kutub adalah himpunan semua titik P sehingga

paling sedikit satu representasi titik P, yaitu , memenuhi persamaan tersebut.

64

(2, /2)

Contoh 2.2.2 Gambarl grafik r = 2 sin dan r = 2 + 2 sin .

Penyelesaian: Tabel di bawah memberikan beberapa titik yang memenuhi kedua persamaan fungsi di atas

untuk

Tabel 2.2.1

r = 2 sin r = 2 + 2 sin 0 0 2

1 32 + 2 +

2 42 + 2 +

1 30 21 1 2 2 2 0 2 2

Berdasarkan hasil pada Tabel 2.2.1, grafik dapat dilihat pada Gambar 2.2.16.

65

(2, /4)

(2, 0)(2, ) (2, 2)

Gambar 2.2.15

Contoh 2.2.3 Gambarlkan daerah yang berada di dalam kurva r = tetapi di luar lingkaran r

= .

Penyelesaian: Untuk beberapa nilai , maka titik-titik yang dilalui oleh kurva di atas dapat dilihat pada

tabel berikut:

Tabel 2.2.2

r = r = 0 4 0

2+2 12+

32 20 02 2

2 4 0

Selanjutnya, gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut:

66

Gambar 2.2.16 (a) Gambar 2.2.16 (a)

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 12, diberikan persamaan dalam x dan y. Tentukan persamaan yang mana y merupakan

fungsi x.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

Untuk soal 13 – 21, tentukan domain dan range fungsi f.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

67

Gambar 2.2.17

22. Tentukan jika .

23. Tentukan jika

24. Diberikan . Jika , tunjukkan:

25. Untuk sebarang bilangan real , tentukan jika .

Untuk soal 26 – 31, diberikan fungsi f dan g. Tentukan dan beserta dengan masing-

masing domainnya.

26. 27.

28. 29.

30. 31.

Untuk soal 32 – 41, tentukan dan serta masing-masing domainnya.

32. 33.

34. 35.

36. 37.

38. 39.

40.

41.

68

Untuk 42 – 46, tentukan inversnya beserta domainnya.

42. 43. 44.

45. 46.

2.3 Barisan dan Deret

Perhatikan himpunan tak hingga berikut ini.

Apabila fungsi f didefinisikan sebagai:

maka himpunan A dapat pula dinyatakan sebagai:

Dalam hal ini, fungsi f disebut barisan. Secara umum, dapat didefinisikan pengertian barisan sebagai

berikut.

Pada bagian ini akan dibicarakan fungsi dengan domain sistem bilangan asli. yang

Jadi, barisan bilangan real adalah fungsi . Untuk seterusnya, barisan bilangan real cukup disebut

sebagai barisan. Suku ke-n suatu barisan, yaitu , biasa dinyatakan dengan an, n N. Selanjutnya,

barisan dengan suku-suku an, n N, ditulis dengan notasi .

Contoh 2.3.2 Berikut adalah contoh-contoh barisan:

69

Definisi 2.3.1 Barisan bilangan real adalah fungsi bernilai real dengan domain sistem

bilangan asli. Nilai fungsi di n disebut suku ke-n.

a. b. c.

d. e. f.

Untuk setiap bilangan asli n didefinisikan:

S1 = a1 S2 = a1 + a2 … Sn = a1 + a2 + … + an

Sn, nN, disebut jumlahan parsial.

Contoh 2.3.4 Bilangan dapat ditulis sebagai:

Ruas terakhir pada persamaan di atas adalah suatu deret.

2.4 Irisan Kerucut

Diketahui luasan berbentuk kerucut tegak dengan setengah sudut puncak dan titik puncak P.

Apabila kerucut tersebut diiris dengan bidang W tidak melalui P dan membentuk sudut terhadap sumbu

kerucut maka irisannya akan berbentuk suatu kurva, yang selanjutnya disebut irisan kerucut. Bentuk irisan

kerucut ini tergantung pada besar sudut . Apabila:

(a). maka irisan kerucut berupa eilips. Perhatikan gambar di bawah.

70

WP

Definisi 2.3.3 Diberikan barisan . Jumlahan tak hingga:

disebut deret tak hingga atau deret untuk singkatnya.

(b.). maka irisan kerucut yang terjadi berbentuk parabola (lihat Gambar 2.4.2).

(c.). maka terjadi kelas hiperbola

Irisan kerucut juga dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang perbandingan jaraknya

ke suatu titik tertentu dan kesuatu garis tertentu tetap. Selanjutnya, titik tertentu tersebut dinamakan titik

71

WP

WP

Gambar 2.4.1

Gambar 2.4.2

Gambar 2.4.3

fokus yang dinyatakan dengan F, garis tertentu tersebut dinamakan garis arah yang dinyatakan dengan d,

dan perbandingan yang tetap tersebut dinamakan eksentrisitas yang ditulis . Berdasarkan eksentrisitasnya

irisan kerucut dapat dibedakan menjadi:

a. Kelas ellips jika

b. Kelas parabola jika

c. Kelas hiperbola jika

Diambil fokus F berimpit dengan titik asal O dan garis arah d mempunyai persamaan x + p = 0

dengan p > 0.

Jika P(x,y) sebarang titik pada irisan kerucut maka perbandingan jarak P ke F dan P ke d sama

dengan , yaitu:

atau

(i). Untuk diperoleh parabola dengan persamaan:

O F

x+ p=0

Gambar 2.4.4

72

y2 = 2px + p2 = 2p (x +

Jika diambil substitusi maka persamaan parabola menjadi y2 = 2px*. Selanjutnya, y2 = 2px

merupakan persamaan parabola dengan fokus F( , garis arah d: x + , titik puncak O (0,0), dan

sumbu simetris garis y = 0 atau sumbu X.

(ii).Untuk diperoleh elips atau hiperbola dengan persamaan:

=

Selanjutnya, dengan menggambil x** = x diperoleh:

O F

x+ p=0

Gambar 2.4.5

P(x,y)●

73

(x**)2 +

(a). Untuk diambil: dan , maka diperoleh:

Karena , dan , maka: b2 + c2 = a2 . Secara umum, persamaan ellips

dengan pusat O(0,0), sumbu simetris garis y = 0 dan x = 0, fokus F( , dan garis arah d dengan

persamaan x = diberikan oleh:

Jika a = b maka ellips mempunyai persamaan:

x2 + y2 = a2

Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari a. Jadi, lingkaran adalah ellips

dengan titik fokus dan titik pusat O.

74

(b). Untuk , diambil dan = b2 maka diperoleh c2 = a2 + b2 dan

dan:

Jadi, persamaan hyperbola dengan pusat O(0,0) , sumbu simetris garis y = 0 dan x = 0, titik fokus

F( , dan garis arah d : x = diberikan oleh:

aa

b

b

● ●

●P(x,y)

Gambar 2.4.6

75

BAB III

LIMIT DAN FUNGSI KONTINU

3.1 Pengertian Limit3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit

3.3 Limit Satu Sisi

3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga

3.5 Limit Fungsi Trigonometri

3.6 Bilangan Alam

3.7 Fungsi Kontinu

●(0,b)

●(0,b)

●

(a,0)●

(c,0) ●

(a,0) ●

(c,0)

xa

by x

a

by

Gambar 2.4.7

76

Konsep limit mempunyai peranan yang sangat penting di dalam kalkulus dan berbagai bidang matematika. Oleh karena itu, konsep ini sangat perlu untuk dipahami. Meskipun pada awalnya konsep limit sukar untuk dipahami, tetapi dengan sedikit bantuan cara numeris kemudian konsep ini bisa dimengerti. Dan kenyataannya, setelah dipraktekkan masalah hitung limit relative mudah. Mengingat hal itu, maka pada bagian pertama Bab ini limit diterangkan secara intuitive (numeris). Kemudian pada bagian selanjutnya, dikembangkan teknik penghitungan limit.

3.1 Pengertian LimitTerlebih dahulu diperhatikan fungsi . Grafik diberikan pada Gambar 3.1.1 di

bawah ini.

Apa yang terjadi dengan apabila x cukup dekat dengan 2? Perhatikan table 3.1.1 berikut.

Gambar 3.1.1

●

2

7

77

Tabel 3.1.1x x

3 12 1,5 5,25

2,05 7,2025 1,95 6,8025

2,001 7,004001 1,999 6,996001

2,0001 7,00040001 1,9999 6,99960001

Dari table terlihat bahwa apabila x cukup dekat dengan 2, maka mendekati 7. Hal ini tidak

mengherankan, karena apabila dihitung . Dalam hal ini dikatakan bahwa limit f(x) x

mendekati 2 sama dengan 7, ditulis:

Selanjutnya, perhatikan fungsi f yang ditentukan oleh rumus:

Fungsi f tersebut tidak terdefinisikan di x = 1 karena di titik ini f(x) berbentuk . Tetapi masih dapat

dipertanyakan apa yang terjadi pada f(x) bilamana x mendekati 1 tetapi . Untuk ,

78

Dari table 3.1.2 di bawah terlibat bahwa apabila x cukup dekat dengan 1, maka nilai mendekati 2.

Jadi,

Tabel 3.1.2

x x

2 3 0,5 1,5

1,05 2,05 0,99 1,99

1,001 2,001 0,999975 1,999975

1,00000017 2,00000017 0,9999999 1,9999999

○

(a). (b).

1

Gambar 3.1.2

79

Dari beberapa uraian di atas, berikut diberikan definisi limit.

Secara matematis definisi di atas dapat ditulis sebagai berikut.

Catatan: Pada definisi limit di atas, fungsi f tidak perlu terdefinisikan di c. Limit f(x) untuk x mendekati c

mungkin ada walaupun f tidak terdefinisikan di c.

Contoh 3.1.2 Buktikan bahwa (2x –5) = 3.

Penyelesaian:

|(2x –5) – 3| = |2x – 8| = |2(x – 4)| = |2| |x – 4| = 2|x – 4|

Diberikan bilangan > 0 sebarang. Apabila diambil = /2, maka untuk setiap x di dalam domain f yang

memenuhi 0 <|x – 4| < berlaku:

|(2x – 5) – 3| = 2 |x – 4| < 2 = 2./2 = .█

80

Definisi 3.1.1 Limit f(x) x mendekati c sama dengan L, ditulis:

jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c, tetapi , maka f(x) mendekati L.

jika untuk setiap bilangan > 0 yang diberikan (berapapun kecilnya) terdapat bilangan

> 0 sehingga untuk setiap dengan berlaku .

Contoh 3.1.3 Buktikan bahwa untuk c > 0, .

Penyelesaian:

(3.1.1)

Ditinjau x >0 dengan sifat . Menurut ketidaksamaan segitiga:

Hal ini berakibat:

(3.1.2)

Selanjutnya, dari (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh:

,

untuk setiap x>0. Diberikan bilangan > 0 sebarang. Apabila diambil maka untuk

setiap x>0 dengan berlaku:

Jadi, untuk setiap > 0 terdapat δ>0 sehingga untuk setiap x>0 dengan berlaku:

.█

Agar bisa lebih mendalami hitung limit, berikut diberikan sifat-sifat dasar limit.

Bukti: Misalkan dan . Akan ditunjukkan bahwa .

81

Teorema 3.1.4 Jika ada maka nilainya tunggal.

Diberikan sebarang, maka terdapat sehingga:

i. , untuk setiap dengan .

ii. , untuk setiap dengan .

Apabila diambil maka untuk setiap dengan berlaku:

Hal ini berarti .█

Contoh 3.1.5 Tunjukkan bahwa tidak ada.

Penyelesaian: Untuk ,

Sementara, untuk ,

Karena nilai limit tidak tunggal maka tidak ada.█

3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit

Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini sangat diperlukan dalam

hitung limit. (Dengan berbagai pertimbangan bukti teorema tidak disertakan dalam buku ini).

82

Teorema 3.2.1 (i). , .

(ii). .

Teorema 3.2.2 Jika dan keduanya ada dan maka berlaku pernyataan-

pernyataan berikut:

i.

ii.

iii.

iv. , asalkan

v. Untuk : (a).

(b). , asalkan

(c). , asalkan untuk n genap

Contoh 3.2.3

(a).

(b).

83

(c). .█

Contoh 3.2.4 Hitung .

Penyelesaian: Karena limit penyebut sama dengan 0, maka Teorema 3.2.2 (iv) tidak dapat digunakan.

Akan tetapi, hal ini bukan berarti limit di atas tidak ada. Pada soal di atas, yang akan dihitung adalah nilai

limit untuk x mendekati 2, bukan nilai untuk x sama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan

teknik-teknik aljabar, untuk diperoleh:

Sehingga:

.█

Contoh 3.2.5 Tentukan .

Penyelesaian:

.█


Penyelesaian:

.█

84

Pada contoh-contoh di atas telah digambarkan bagaimana teknik-teknik aljabar dapat digunakan

untuk menyelesaikan soal hitung limit. Namun demikian tidak semua soal limit dapat diselesaikan dengan

cara demikian. Sebagai contoh, misalnya .

Dalam berbagai hal, teorema di bawah ini sangat membantu dalam penyelesaian soal hitung limit.


Penyelesaian: Untuk , . Oleh karena itu, untuk berlaku:

Hal ini berakibat:

Selanjutnya, karena maka .█

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 6, tunjukkan pernyataan berikut dengan definisi limit.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

85

Teorema 3.2.7 (Teorema Apit) Misalkan f, g, dan h fungsi-fungsi sehingga

untuk semua x di dalam interval terbuka yang memuat c, kecuali mungkin di c. Jika

maka .

7. Jika , tunjukkan bahwa tidak ada.

Untuk soal 8 – 20, hitunglah masing-masing limit jika ada.

8. 9. 10.

11. 12. 13.

14. 15. 16.

17. 18. 19.

20. 21. 22.

3.3 Limit Satu Sisi

Kiranya mudah dipahami bahwa tidak ada, karena tidak terdefinisikan untuk .

Namun demikian, apabila maka ada dan nilainya sama dengan 0. Hal ini membawa kita

kepada definisi berikut ini.

86

Secara matematis, definisi di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

(i). jika dan hanya jika untuk setiap ada sehingga untuk setiap

berlaku .

(ii). jika dan hanya jika untuk setiap ada sehingga untuk setiap

berlaku .

87

Definisi 3.3.1 (i). Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval . Apabila untuk x di

dalam yang cukup dekat dengan c, nilai f(x) mendekati L, maka dikatakan bahwa L

merupakan limit kanan f(x) untuk x mendekati c, ditulis:

(ii). Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval . Apabila untuk x di dalam

yang cukup dekat dengan c, nilai f(x) mendekati L, maka dikatakan bahwa L merupakan limit kiri f(x)

untuk x mendekati c, ditulis:

Contoh 3.3.2 (a). dan tidak ada.

(b). Untuk bilangan bulat n,

dan


Penyelesaian:

(a). Untuk x cukup dekat dengan 0 (baik x < 0 maupun x > 0), . Oleh karena itu,

(b). Untuk x cukup dekat dengan 1 dan x < 1, . Sehingga:

L

L

L

c c+δ

L

L

c-δ c

Gambar 3.3.1

(a) (b)

88

Tetapi, untuk x cukup dekat dengan 1 dan x > 1, . Sehingga:

.█

Dari beberapa contoh di atas, diperoleh beberapa kenyataan. Limit kiri suatu fungsi ada tetapi limit

kanannya tidak ada (atau sebaliknya), limit kiri dan kanan suatu fungsi ada tetapi nilainya tidak sama, dan

limit kiri dan kanan suatu fungsi ada dan nilainya sama. Selanjutnya, karena ketunggalan limit maka

diperoleh pernyataan berikut.

Sebagai akibat langsung dari Teorema di atas, diperoleh:

Pada Contoh 3.3.3 di atas, karena maka tidak ada.

Contoh 3.3.6 Diberikan:

Karena untuk , , maka:

.

Secara sama,

.

Selanjutnya, karena maka: .█

89

Teorema 3.3.4 jika dan hanya jika .

Akibat 3.3.5 Jika maka tidak ada.


Penyelesaian:

Jadi, .█

3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga

Terlebih dahulu diperhatikan masalah hitung limit berikut: . Untuk nilai-nilai x yang cukup

dekat dengan 0, maka nilai-nilai diberikan pada table berikut ini.

Tabel 3.4.1

x x

1 1 −1 1

0,5 4 −0,5 4

0,01 10.000 −0,01 10.000

0,0001 100.000.000 −0,0001 100.000.000

0,000005 40.000.000.000 −0,000005 40.000.000.000

90

Dari Tabel 3.4.1 di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai

menjadi semakin besar. Bahkan nilai akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0, baik

dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. Grafik fungsi dapat dilihat pada Gambar 3.4.1.

Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis:

Secara sama mudah diperlihatkan:

Selanjutnya, diperoleh definisi berikut:

21

)(x

xf

Gambar 3.4.1

91

Secara matematis, Definisi di atas dapat ditulis sebagai:

Contoh 3.4.2

(a). (b). .

Di atas telah diterangkan pengertian limit untuk , dengan c suatu bilangan berhingga. Akan

tetapi, dalam berbagai aplikasi sering ditanyakan bagaimana nilai apabila nilai x cukup besar.

Sebagai contoh, bagaimana nilai apabila nilai x cukup besar? Tabel 3.4.2 di bawah

memperlihatkan nilai f untuk berbagai nilai x. Ternyata semakin besar nilai x (arah positif), nilai

semakin kecil mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan:

Tabel 3.4.2 (a) (b)

x x

Definisi 3.4.1 (i). jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi , maka f(x) menjadi besar tak

terbatas arah positif.

(ii). jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi , maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah

negatif.

(atau −∞) jika untuk setiap bilangan real terdapat bilangan real sehingga untuk setiap dengan

sifat berlaku (atau )

92

10 0,1 −1 −1

1.000.000 0,000001 −1.000.000 −0,000001

5.000.000 0,0000002 −5.000.000 −0,0000002

100.000.000 0,00000001 −100.000.000 −0,00000001

Secara sama, apabila x besar tak terbatas arah negative ternyata berakibat mendekati nol, yaitu:

Kemudian dapat diturunkan pengertian limit menuju tak hingga. Hal itu dituliskan dalam definisi

berikut.

Secara matematis, Definisi 3.4.3 dapat ditulis sebagai:

Mudah ditunjukkan bahwa:

93

Definisi 3.4.3 (i). jika terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah positif)

dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah positif) maka mendekati L.

(ii). jika terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah negatif) dan jika x

menjadi besar tak terbatas (arah negatif) maka mendekati L.

(i). jika untuk setiap bilangan real terdapat bilangan sehingga untuk

setiap berlaku .

(ii). jika untuk setiap bilangan real terdapat bilangan sehingga untuk

setiap berlaku .

dan


Penyelesaian: Untuk , . Sehingga . Selanjutnya, karena maka dengan

Teorema Apit diperoleh:

.█


Penyelesaian: Karena:

maka sifat limit perbagian tidak dapat digunakan. Namun demikian apabila pembilang dan penyebut sama-

sama dibagi dengan maka:

.█


Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan , diperoleh:

94

.█


Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan , diperoleh:

.█

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 20, tentukan nilai limitnya jika ada. Jika tidak ada limitnya, terangkan alasannya!

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

95

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20.

21. Tentukan , , dan jika diberikan:

22. Fungsi f yang terdefinisikan pada dikatakan genap (atau ganjil) jika (atau

) untuk setiap . Jika maka tentukan jika: (a). f

genap, (b). f ganjil.

3.5 Limit Fungsi Trigonometri

Dengan memanfaatkan Teorema Apit, dapat ditunjukkan teorema di bawah ini.


96

Teorema 3.5.1 (i). .

(ii). .

Penyelesaian:

Tetapi untuk berakibat dan , sehingga:

.█

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 12, hitunglah nilai limitnya.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

3.6 Bilangan Alam

Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada rumus binomium Newton. Untuk sebarang

dan :

(3.6.1)

Apabila diambil , maka dari (3.6.1) diperoleh:

97

Karena maka menurut Teorema Apit nilai ada. Berdasarkan perhitungan, untuk

diperoleh:

Selanjutnya, e disebut bilangan alam. Secara sama dapat ditunjukkan:

(3.6.2)

Mudah ditunjukkan bahwa untuk berlaku:

Selanjutnya, apabila diberikan sebarang bilangan real positif x maka dapat dicari bilangan asli m dan n

sehingga . Hal ini berakibat:

dan karena maka sekali lagi dengan Teorema Apit diperoleh:

(3.6.3)

Berdasarkan (3.6.2), tentunya mudah dipahami bahwa:

(3.6.4)

Selanjutnya, apabila diambil substitusi , maka untuk berakibat . Sehingga, dari (3.6.3)

dan (3.6.4) diperoleh:

(3.6.5)


98

Penyelesaian: Apabila diambil substitusi maka berturut-turut diperoleh:

(i). , sehingga .

(ii). Karena maka untuk berakibat .

Selanjutnya, berdasarkan (3.6.4):

.█


Penyelesaian: Soal dapat ditulis:

Diambil substitusi . Jika maka . Selanjutnya, menurut (3.6.5) diperoleh:

.█

Teorema berikut ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan soal-soal hitung limit yang berkaitan

dengan bilangan alam. Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.


99

Teorema 3.6.3 Apabila dan maka:

Penyelesaian: Soal dapat ditulis:

Apabila berturut-turut diambil dan maka:

Selanjutnya, menurut Teorema 3.6.3:

.█


Penyelesaian:

Selanjutnya, jika diambil dan maka:

Sehingga menurut Teorema 3.6.3:

.█

Contoh 3.6.6 Selesaikan .

Penyelesaian: Tulis:

100

Berturut-turut diambil substitusi:

maka:

(i).

(ii).

Selanjutnya, dari (i) dan (ii) diperoleh:

.█

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 10, hitunglah nilai limitnya.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

3.7 Fungsi Kontinu

101

Seperti telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, kadang-kadang nilai sama dengan ,

kadang pula tidak sama. Pada kenyataannya, meskipun tidak terdefinisikan akan tetapi

mungkin ada. Apabila = maka dikatakan fungsi f kontinu di c.

Definisi 3.7.1 di atas secara implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi f kontinu di a, yaitu:

(i). f(a) ada atau terdefinisikan,

(ii). ada, dan

(iii).

Secara grafik, fungsi f kontinu di jika grafik fungsi f pada suatu interval yang memuat a tidak

terpotong di titik . Jika fungsi f tidak kontinu di a maka dikatakan f diskontinu di a. Pada

Gambar, f kontinu di x1 dan di setiap titik di dalam kecuali di titik-titik x2, x3, dan x4. Fungsi f

diskontinu di x2 karena tidak ada, diskontinu di x3 karena nilai tidak sama dengan nilai

fungsi di x3 (meskipun keduanya ada), dan diskontinu di x4 karena nilai fungsi di titik ini tidak ada.

102

a x1 x2 x3 x4 b

Gambar 3.7.1

Definisi 3.7.1 Fungsi f dikatakan kontinu di jika

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval I jika f kontinu di setiap titik anggota I.

Contoh 3.7.2

(a). Fungsi f dengan rumus diskontinu di x = 1 karena f (1) tidak terdefinisi.

(b). Fungsi Heavyside H yang didefinisikan oleh

diskontinu di x = 0 sebab tidak ada.

(c). Fungsi g dengan definisi:

diskontinu di x = 2 sebab g(2) = 3 sedangkan . Namun

demikian fungsi g kontinu di x = 1 sebab .█

Berikut sifat-sifat dasar fungsi kontinu.

Seperti halnya pada hitung limit, dalam kekontinuan juga dikenal istilah kontinu satu sisi. Hal itu

diberikan pada definisi berikut ini.

103

Teorema 3.7.3 Jika fungsi f dan g kontinu di a, dan k sebarang konstanta real, maka f+g,

f – g, kf, dan fg kontinu di a. Demikian pula, kontinu di a asalkan .

Definisi 3.7.4 (i). Fungsi f dikatakan kontinu dari kiri di a jika .

(ii). Fungsi f dikatakan kontinu dari kanan di c jika

Contoh 3.7.5 Diberikan Selidikilah kekontinuan fungsi f.

Penyelesaian:

Jelas f tidak kontinu pada dan pada sebab f tidak terdefinisi pada interval tersebut.

Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1 diperoleh:

Jadi, f kontinu pada (1, 1). Dengan perhitungan serupa didapatkan:

dan

sehingga f kontinu dari kanan di x = 1 dan kontinu dari kiri di x = 1. Jadi, f kontinu pada .█

Contoh 3.7.7

(a). kontinu pada R .

(b). kontinu pada R ; .

(c). kontinu pada .█

Hubungan antara fungsi kontinu dan hitung limit dinyatakan dalam teorema berikut.

104

Teorema 3.7.6 Fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi akar, fungsi logaritma, fungsi eksponen, dan

fungsi trigonometri kontinu pada domainnya masing-masing.

Teorema 3.7.8 Jika f kontinu di b dan maka Dengan kata lain


Penyelesaian: Namakan dan . Karena dan f kontinu di x = 2 maka

.█

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 8, tentukan titik-titik di mana fungsi berikut diskontinu.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8.

9. Selidiki kontinuitas pada

10.Jika maka tunjukkan bahwa f kontinu pada .

Untuk soal 11 – 13, tentukan nilai a dan b agar fungsi-fungsi berikut kontinu untuk pada R.

11. 12.

105

fungsi dan grafik fungsi

Documents