fungsi non-linear · pdf filekuadratik (lingkaran, elips, parabola dan hiperbola), fungsi...

Modul 5

Fungsi Non-Linear

Drs. Wahyu Widayat, M.Ec

ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika

untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang

menghubungkan variabel-variabel ekonomi bentuknya tidak linier. Oleh

sebab itu dengan mempelajari bentuk-bentuk fungsi non- linier dan

memahami sifat-sifatnya akan sangat bermanfaat dalam mendalami teori-

teori ekonomi. Model-model persamaan yang dipilih untuk diterapkan dapat

dilakukan lebih tepat dan mendekati keadaan yang sebenarnya. Fungsi non-

linier merupakan fungsi yang banyak sekali digunakan dalam ekonomi,

karena lebih mendekati keadaan nyata. Banyak masalah dalam ilmu ekonomi

yang menggunakan fungsi non-linier sebagai model, khususnya persamaan-

persamaan kuadratik. Meskipun demikian tidak semua aplikasinya dimuat

dalam modul ini. Aplikasi fungsi kuadratik yang dibicarakan, dibatasi untuk

fungsi permintaan dan penawaran

Dalam modul ini dijelaskan cara membuat grafik fungsi non-linier,

sehingga persamaan-persamaan yang ditampilkan pada modul-modul

berikutnya dapat digambarkan secara cepat tanpa menggunakan titik-titik

yang memenuhi persamaan dalam jumlah yang terlalu banyak.

Dengan mempelajari modul ini, secara umum Anda diharapkan dapat

memahami berbagai macam bentuk fungsi non-linier, mengenai sifat-sifatnya

dan dapat menggambarkan grafiknya. Di samping itu, Anda diharapkan

mampu untuk:

a. menggambarkan grafik fungsi non-linier.

b. menggunakan sifat-sifat fungsi kuadratik untuk membuat gambar

grafiknya.

c. membedakan bentuk-bentuk fungsi kuadratik seperti lingkaran, elips,

parabola dan hiperbola.

d. menentukan jika ada: format, jari-jari, asimtot dari fungsi kuadratik serta

batasan-batasan nilai untuk variabel-variabelnya.

F

PENDAHULUAN

5.2 Matematika Ekonomi 1 ”

Kegiatan Belajar 1

Grafik Kurva Non-Linear

olinom atau suku banyak dalam x dan y dilambangkan f(x) adalah

ungkapan yang mengandung suku-suku kxrys, di mana k adalah konstan,

r dan s adalah bilangan bulat. Nilai tertinggi (r + s) pada suku f(x,y)

dinamakan pangkat polinom. Jika polinom f(x,y) berpangkat n dan

disamakan dengan nol, maka diperoleh persamaan pangkat n dalam x dan y

yaitu f(x,y) = 0. Persamaan ini disebut persamaan aljabar. Suatu grafik yang

melukiskan persamaan aljabar disebut sebagai kurva aljabar. Suatu contoh

kurva aljabar adalah garis lurus.

Persamaan dalam x dan y yang bukan persamaan aljabar disebut

persamaan transcendental dan grafiknya disebut kurva transcendental.

Contoh-contoh kurva transcendental adalah grafik fungsi trigonometri,

logaritma, dan fungsi berpangkat.

Cara membuat grafik yang akan dibahas dapat digunakan untuk

membuat grafik aljabar maupun grafik transcendental. Cara ini merupakan

cara yang umum untuk melukis suatu grafik. Kemudian akan dibahas cara

lain yaitu cara yang lebih khusus untuk melukiskan jenis fungsi tertentu. Cara

ini lebih efisien untuk melukis grafik dari fungsi jenis tertentu, seperti fungsi

kuadratik (lingkaran, elips, parabola dan hiperbola), fungsi perpangkatan dan

fungsi logaritma.

Menggambar grafik fungsi non-linear, dilakukan dengan menentukan

titik-titik yang memenuhi persamaan dalam jumlah yang cukup banyak. Akan

tetapi titik-titik yang jumlahnya banyak itu, mungkin masih belum

memberikan informasi yang lengkap tentang bentuk kurva sesungguhnya.

Sebaiknya suatu persamaan yang hendak dibuat grafiknya diuji dulu

dengan memperhatikan kaidah-kaidah yang berhubungan dengan fungsi

tersebut, sehingga titik-titik yang digunakan jumlahnya tidak terlalu banyak.

Kaidah-kaidah dalam membuat grafik kurva non-linear dan kegunaannya

adalah sebagai berikut:

P

” ESPA4112/MODUL 5 5.3

A. TITIK PENGGAL

Titik penggal suatu kurva adalah titik perpotongan antara kurva dan garis

sumbu. Titik penggal dengan sumbu x diperoleh dengan memasukkan y = 0

ke dalam persamaan dan kemudian mencari nilai x nya. Titik penggal dengan

sumbu x diperoleh dengan memasukkan x = 0 ke dalam persamaan dan

kemudian mencari nilai y nya. Untuk menggambar grafik suatu fungsi,

titik-titik penggal ini harus dicari.

B. SIMETRIS

Dua titik dikatakan simetris terhadap suatu garis bila garis tersebut

terletak di antara dua titik dan jarak masing-masing titik ke garis tersebut

sama.

Contoh 5.1:

(-x,y) (x,y)

(x,-y) Titik (x,y) simetris dengan titik (x,-y) terhadap sumbu x. Titik (x,y) simetris

dengan titik (-x,y) terhadap sumbu y.

Dua titik simetris terhadap titik ke tiga, jika titik ke tiga itu terletak di

tengah-tengah garis yang menghubungkan ke dua titik tersebut.

Contoh 5.2:

Titik (x,y) simetris dengan titik (-x,-y) terhadap titik origin.


Y

(x,y)

X

0

(-x,-y)

Y

(x,y)

X

0

(x,-y)

Suatu kurva juga dapat simetris terhadap garis sumbu atau terhadap titik

origin. Kurva simetris terhadap sumbu x bila untuk setiap titik (x,y) pada

kurva, simetris dengan titik (x,-y) yang juga terletak pada kurva.

Contoh 5.3:

Kurva simetris terhadap sumbu y, bila untuk setiap titik (x,y) pada kurva

simetris dengan titik (-x,y) yang juga terletak pada kurva.


Y

(-x,y) (x,y)

X

Y

(x,y)

X

(-x,-y)

Contoh 5.4:

Kurva simetris terhadap titik origin apabila setiap titik (x,y) pada kurva

simetris dengan titik (-x,-y) yang juga terletak pada kurva.

Contoh 5.5:

Dari tiga contoh terakhir dapat dilihat bahwa grafik persamaan f(x,y) = 0

simetris terhadap:

a. Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0

b. Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0

c. Titik origin jika f(x,y) = f(-x,-y) = 0

Perlu diperhatikan di sini bahwa suatu fungsi yang simetris terhadap

sumbu x dan sumbu y tentu simetris terhadap origin. Akan tetapi sebaliknya,

kurva yang simetris terhadap origin belum tentu simetris terhadap sumbu x

dan y.


Y

0 X

Y

0

X

Contoh 5.6:

Kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x2y + y + x3 = 0 merupakan fungsi

dengan kurva yang simetris terhadap origin tetapi tidak simetris terhadap

salah satu sumbu.

f(x,-y) = -x2y - y + x3 ņ> f(x,-y) = 0 tidak sama dengan f(x,y) = 0. Jadi

f(x,y) = 0 tidak simetris terhadap sumbu x.

f(-x,y) = x2y + y - x3 ņ> f(-x,y) = 0 tidak sama dengan f(x,y) = 0. Jadi

f(x,y) = 0 tidak simetris terhadap sumbu y.

f(-x,-y) = -x2y - y - x3 = 0 ņ> f(-x,-y) = 0 sama dengan f(x,y) = 0. Jadi

f(x,y) = 0 simetris terhadap origin.

Contoh 5.7:

Kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x3y + xy = 0 merupakan fungsi

yang simetris terhadap sumbu x,y dan titik origin, karena:

f(x,-y) = -x3y - xy = 0 = f(x,y)

f(-x,y) = -x3y - xy = 0 = f(x,y)

f(-x,-y) = x3y + xy = 0 = f(x,y)


Y

x = h

(h-c,y) (h+c,y)

Ji Ji

0 X

Y

(x,k+c)

J2

y = k

J2

X

0 (x,k-c)

Di dalam menggambar suatu grafik, kadang-kadang harus diperhatikan

kesimetrisan kurva terhadap garis yang bukan garis sumbu atau titik lain

selain titik origin. Grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap garis x =

h, jika f(h + c,y) = f(h - c,y) = 0 untuk semua nilai c dan y.

Contoh 5.8:

Pada gambar di bawah j1 = c dan c > 0 dan f(x,y) simetris terhadap garis

x = h

Grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap garis y = k, jika f(x, k + c) =

f(x,k - c) = 0 untuk semua nilai c dan x.

Pada gambar di atas j2 = c dan c > 0; f(x,y) simetris terhadap garis x =

k. Grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap titik (h,k), jika f(h + c, k +

d)= f(h - c,k - d)= 0 untuk semua c dan d.


Y

(h+c,k+d)

J3

*

J3

(h-c,k-d)

0 X

Contoh 5.9:

Pada gambar di atas j3 = 2 2c d+ dan c > 0, d > 0 sehingga f(x,y)

simetris terhadap titik (h,k).

C. BATAS NILAI

Pada sistim sumbu koordinat, titik (x,y) mempunyai koordinat bilangan

riil. Jadi untuk titik (x,y) di mana nilai x merupakan bilangan riil tetapi y

bilangan imajiner atau nilai y merupakan bilangan riil tetapi x bilangan

imajiner harus dikecualikan dan titiknya tidak digunakan. Hal ini disebabkan

variabel-variabel yang berpangkat genap dalam persamaan, penyelesaiannya

melibatkan akar dan bilangan negatif tidak mempunyai akar bilangan riil.

Akibatnya kurva harus dibatasi sedemikian rupa sehingga semua titik

mempunyai koordinat bilangan riil. Setiap variabel pada suatu persamaan,

sebaiknya dilihat apakah nilainya mempunyai batas.

Contoh 5.10:

Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x2 + y2 = 25

mempunyai batas?

x2 = 25 - y2

x = 225 y± −

Nilai di bawah tanda akar yaitu 25 - y2 akan bertanda negatif bila:

25 - y2 < 0

- y2 < - 25 atau y > 5±

dan batas untuk y adalah -5 < y < 5

Batas untuk x:

y2 = 25 - x2


y = ± 225 X−

Nilai di bawah tanda akar bertanda negatif bila:

25 - x2 < 0

- x2 < 25 atau x > 5±

dan batas untuk x adalah -5 < x < 5

D. ASIMTOTIS

Asimtot suatu kurva adalah suatu garis lurus yang didekati oleh kurva

dengan jarak yang semakin dekat dengan nol bila kurva tersebut semakin

jauh dari origin atau dapat pula dikatakan bahwa garis y = mx + b

merupakan asimtot kurva y = f(x), jika f(x) semakin dekat mx + b maka x

dan y nilainya bertambah tanpa batas. Jadi, f(x) ņ mx + b jika x dan y ņ ∞.

Pada umumnya garis asimtot yang banyak digunakan adalah garis

asimtot yang sejajar sumbu x atau sumbu y. Garis asimtot yang sejajar

dengan sumbu x disebut asimtot horisontal dan yang sejajar sumbu y disebut

asimtot vertikal dan didefinisikan:

Garis y = k adalah asimtot horisontal kurva y = f(x) bila y → k untuk

x → ∞.

Garis x = h adalah asimtot vertikal kurva y = f(x) bila x → h untuk y →

∞. Untuk kepentingan penggambaran suatu kurva, akan dibedakan arah

gerakan suatu kurva apakah x dan y nilainya terus bertambah besar tanpa

batas (x → +∞ ; y → +∞) atau x dan y nilainya terus berkurang tanpa batas (x

→ -∞; y → -∞). Di samping itu harus diperhatikan juga nilai variabel yang

tidak bertambah atau berkurang tanpa ada batasnya. Hal ini sangat berguna

untuk menentukan apakah suatu kurva mendekati asimtot dari kiri atau dari

kanan (untuk asimtot vertikal) atau mendekati asimtot dari atas atau dari

bawah (untuk asimtot horisontal).


Asimtot vertikal Asimtot horisontal

Y Y

0 X 0 X

Y

y = 3

xy - 3x - 4y - 2 = 0

x = 4

Contoh 5.11:

Contoh 5.12:

Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan xy-3x-4y-2= 0

mempunyai asimtot horisontal atau vertikal?

Langkah pertama adalah mengeluarkan x:

4y + 2

x = y - 3

Dari persamaan di atas dapat diketahui bahwa, jika y → +∞, maka x → 4

dan x > 4. Jika y → -∞, maka x → 4 dan x < 4. Jadi x = 4 merupakan

asimtot vertikal yang didekati oleh kurva dari kiri dan kanan.

Langkah kedua adalah mengeluarkan y:

3x + 2

y = x - 4

Jika x → +∞, maka y → 3 dan y > 3, tetapi bila x → -∞ maka y → 3

dan y < 3. Jadi y = 3 merupakan asimtot horisontal yang didekati kurva dari

atas dan bawah.

” ESPA4112/MODUL 5 5.11

Y

2x - y = 0

X

x + 2y = 0

E. FAKTORISASI

Persamaan kurva f(x,y) = 0 mungkin dapat terjadi sebagai hasil perkalian

antara dua faktor atau lebih, atau f(x,y) = g(x,y) . h(x,y) = 0. Dengan

demikian maka grafik f(x,y) = 0 terdiri dari dua grafik yaitu g(x,y) = 0 dan

h(x,y) = 0, dan titik (x,y) yang memenuhi persamaan g(x,y) = 0 atau h(x,y) =

0 terletak pada f(x,y) = 0.

Contoh 5.13:

Buatlah grafik persamaan 2x2 + 3xy - 2y2 = 0

Faktorisasi:

2x2 - xy + 4xy - 2y2 = 0

x(2x - y) + 2y(2x - y) = 0

(2x - y) (x + 2y) = 0

Jadi grafik persamaan 2x2 + 3xy - 2y2 = 0 terdiri dari grafik dua garis

lurus yaitu:

2x - y = 0 dan x + 2y = 0.

1) y = (x + 2)(x - 3)2

2) y3 + xy2 - xy - x2 = 0

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,

kerjakanlah latihan berikut!


3) y2 - 4xy - 1 = 0

4) xy - y - x - 2 = 0

5) x2y - x2 - 4y = 0

Petunjuk Jawaban Latihan

X(3,0)

(0,18)

(-2,0)

y = (x + 2) (x – 3)2

X

Y

y = (x + 2) (x – 3)2

1)

2)

3)

Y

y = 1

y2 - 4xy - 1 = 0

x = 1

” ESPA4112/MODUL 5 5.13

y = -1

x = -1

4)

Y

xy - x - y - 2 = 0

5)

Y

y = 1

x2y- x

2 – 4y = 0

x = 2

Dalam menggambar grafik suatu kurva perlu diperhatikan Titik

penggal, Simetris, Asimtot, Faktorisasi. Titik penggal dengan sumbu x

diperoleh dengan memasukkan y = 0. Titik penggal dengan sumbu y

diperoleh dengan memasukkan x = 0.

Grafik persamaan f(x,y) simetris terhadap:

a. Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0

b. Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0

c. Titik origin jika f(x,y) = f(-x,-y) = 0

Batas nilai untuk variabel x dan y harus dicari sehingga dapat

diketahui selang untuk variabel x dan y yang menyebabkan titik (x,y)

mempunyai koordinat bilangan riil. Suatu kurva perlu diselidiki apakah

mempunyai garis asimtot. Garis y = k adalah asimtot horisontal kurva y

= f(x) bila y → k untuk x → ∞. Garis x = h adalah asimtot vertikal kurva

RANGKUMAN


y = f(x) bila x → h untuk y → ∞. Apabila f(x,y) = g(x,y) . h(x,y) = 0,

maka grafik f(x,y) terdiri dari dua grafik yaitu g(x,y) dan h(x,y) = 0.

1) Batas kurva yang ditunjukkan oleh persamaan 2 2x y 16+ = adalah ….

A. y 4≥ atau y 4≤ −

B. y 4≥− atau y 4≤

C. x 4≥ atau x 4≤ −

D. x 4≥− atau x 4≤

2) Di bawah ini yang bkan titik penggal persamaan 2(x 5)(x 3)− +

adalah ….

A. (0, -45

B. (0, -15)

C. (5, 0)

D. (-3, 0)

3) Suatu kurva yang ditunjukkan oleh persamaan 3 2x x y y 5 0+ − + =

adalah ….

A. simetris terhadap sumbu x

B. simetris terhadap sumbu y

C. simetris terhadap origin

D. simetris terhadap sumbu x dan origin

TES FORMATIF 1

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

” ESPA4112/MODUL 5 5.15

4) Grafik dari persamaan 02512 22 =−− yxyx adalah ….

A.

y

3x – 2y = 0

x

4x + y

B.

4x - y

3x – 2y

4

2

0 1 2 x

C.

y

x

3x + 2y

4x + y


D. y

4x - y

3x + 2y

5) Titik penggal dari grafik persamaan 3 2y x x 12x 12= + − − adalah ….

A. (3, 0), (-2,0), (0, 12)

B. (-3, 0), (2, 0), (0, -12)

C. (-3, 0), (-2, 0), (0, 12)

D. (3, 0), (-2, 0), (0, -12)

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang

terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.

Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan

Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali

80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat

meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,

Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang

belum dikuasai.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar

100%Jumlah Soal

×

” ESPA4112/MODUL 5 5.17

Kegiatan Belajar 2

Fungsi Kuadratik

A. FUNGSI KUADRATIK

Suatu persamaan kuadrat mungkin dapat berbentuk suatu lingkaran elips,

parabola, hiperbola atau bentuk yang lain. Bentuk umum persamaan

kuadratik:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

di mana: A,B,C,D,E dan F adalah konstan dan paling tidak salah satu dari

A,B dan C tidak bernilai sama dengan nol. Kurva yang menggambarkan

persamaan di atas dapat diperoleh dengan mengiris dua buah kerucut dengan

suatu bidang datar.

Parabola Hiperbola Elips Lingkaran

Irisan yang didapat bisa berbentuk lingkaran, elips, parabola atau hiperbola.

Selain itu mungkin diperoleh pula bentuk-bentuk yang lebih khusus, yaitu

dua garis lurus yang berpotongan dan dua buah garis sejajar.

Dari persamaan kuadratik Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 dengan

mudah dapat diketahui secara cepat apakah kurvanya berbentuk lingkaran,

elips, parabola atau hiperbola.

Jika B = 0 dan A = C, maka irisan berbentuk lingkaran.

Jika B2 - 4 AC < 0, maka irisan berbentuk elips.

Jika B2 - 4 AC = 0, maka irisan berbentuk parabola.

Jika B2 - 4 AC > 0, maka irisan berbentuk hiperbola.


Y

(h,k)

X

0

Untuk kasus yang lebih khusus yaitu B = 0 dan paling tidak salah satu

dari A dan C tidak bernilai nol, maka irisan kerucut bentuknya dapat

diidentifikasi dengan menggunakan kriteria berikut ini:

Jika A = C, maka irisan berbentuk lingkaran.

Jika A=/ C, tetapi A dan C bertanda sama, maka irisan berbentuk elips.

Jika A = 0 atau C = 0 akan tetapi tidak sama dengan nol bersama-sama,

maka irisan berbentuk parabola.

Jika A dan C tandanya tidak sama, maka irisan berbentuk hiperbola.

1. Lingkaran

Secara ilmu ukur, lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan

titik-titik pada bidang datar yang jaraknya dari suatu titik tertentu tetap. Titik

tertentu itu dinamakan pusat dan jarak titik-titik pada lingkaran ke pusat

dinamakan jari-jari lingkaran. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah:

Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0

Persamaan di atas dapat dibawa ke bentuk:

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

di mana (h,k) merupakan pusat lingkaran dan r adalah jari-jari. Gambar

lingkaran tersebut adalah sebagai berikut:

Contoh 5.14:

Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan:

x2 - 4x + y2 = 0

” ESPA4112/MODUL 5 5.19

Y

(2,0) X • 0

Bentuk umum lingkaran:

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

x2 – 4x + y2 = 0 → ruas kiri dan kanan ditambah 4

x2 - 4x + 4 + y2 = 4

(x - 2)2 + (y - 0)2 = 22

Titik pusat (2,0), jari-jari = 2.

Contoh 5.15:

Dari persamaan berikut tentukan bentuk standar dari lingkaran.

Tentukan letak titik pusat dan jari-jari lingkarannya.

2 2x y 6x 8y 16 0+ − − + =

Bentuk umum lingkaran:

2 2 2

2 2

2 2 2

(x h) (y k) r

(x 6x 9) (y 8y 16) 16 9 16

(x 3) (y 4) 3

− + − =− + + − + =− + +− + − =

Titik pusat (3, 4), jari-jari = 3.

2. E l i p s

Secara ilmu ukur, elips didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik

pada bidang datar yang jumlah jaraknya dari dua buah titik tetap. Kedua titik

tersebut dinamakan fokus. Suatu elips dibagi secara simetris oleh dua sumbu

yang berpotongan tegak lurus. Yang panjang dinamakan sumbu panjang dan

yang pendek dinamakan sumbu pendek. Perpotongan kedua sumbu disebut

pusat elips.

Bentuk umum persamaan Elips adalah Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 di

mana A, C, A dan C berlainan tanda. Persamaan Elips dapat ditulis dalam

bentuk standar:


2 2

2 2

(x - h (y - k) ) + = 1

a b

Pusat elips adalah (h,k) dan bila a > b, maka sumbu panjang sejajar

dengan sumbu x. Akan tetapi bila a < b, maka sumbu panjang sejajar dengan

sumbu y. Sumbu panjangnya 2a dan sumbu pendeknya 2b. Sumbu panjang

disebut jari-jari panjang dan sumbu pendek disebut jari-jari pendek.

Contoh 5.16:

Tentukan pusat elips, jari-jari panjang dan pendek dari elips yang

ditunjukkan oleh persamaan:

4x2 + 9y2 + 16x - 18y - 11 = 0

4(x2 + 4x + 4) + 9(y2 - 2y + 1) = 11 + 16 + 9

4(x + 2)2 + 9(y - 1)2 = 36

2 2

(x + 2 (y - 1) ) + = 1

9 4

Pusat elips (-2,1)

Jari-jari panjang = 9 = 3

Jari-jari pendek = 4 = 2

Y

(2,1)

X

0

Contoh 5.17:

Tentukan pusat elips, jari-jari panjang dan pendek dari elips yang

ditunjukkan oleh persamaan 9x2 + y2 + 36x + 2y + 28 = 0.

” ESPA4112/MODUL 5 5.21

Bentuk umum persamaan elips:

2 2

2 2

(x - h (y - k) ) + = 1

a b

9(x2 + 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) = -28 + 36 + 1

9(x + 2)2 + (y + 1)2 = 9

2 2

(x + 2 (y + 1) ) + = 1

1 9

Pusat elips (-2, -1).

Jari-jari panjang = 3

Jari-jari pendek = 1

Y

(-2,-1) X

3. Parabola

Secara ilmu ukur, parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan

titik-titik pada suatu bidang datar yang jaraknya ke suatu titik dan ke suatu

garis tertentu sama. Titik tersebut dinamakan fokus dan garisnya disebut

"directrix". Suatu parabola simetris terhadap suatu garis yang disebut sumbu.

Perpotongan sumbu parabola dengan parabola disebut dengan "vertex"

parabola. Persamaan umum dari suatu parabola yang sumbunya sejajar

sumbu y adalah:

Ax2 + Dx + Ey + F = 0,

Jika sumbunya sejajar sumbu x, persamaannya:

Cy2 + Dx + Ey + F = 0,

Bentuk persamaan standar dari parabola adalah:

(x - h)2 = 4p (y - k)

di mana (h,k) adalah vertex parabola dan sumbunya sejajar dengan sumbu y;

atau

(y - k)2 = 4p (x - h)


di mana (h,k) adalah vertex parabola dan sumbu parabola sejajar dengan

sumbu x, sedang p adalah parameter yang tanda serta besarnya menentukan

keadaan bentuk parabola.

Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu y:

Jika p < 0, maka parabola terbuka ke bawah.

Jika p > 0, maka parabola terbuka ke atas.

Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu x:

Jika p < 0, maka parabola terbuka di sebelah kiri.

Jika p > 0, maka parabola terbuka di sebelah kanan.

Besarnya jarak antara titik fokus dan garis directrix adalah 2p. Apabila nilai p

semakin besar, maka parabola semakin cepat membuka. Bagian-bagian

parabola dapat Anda perhatikan pada gambar berikut.

Y

directrix

fokus

vertex

sumbu

2p

0 X

Contoh 5.18:

Jadikan bentuk standar persamaan parabola:

x2 - 4x + 4y + 16 = 0

dan tentukan vertexnya.

Bentuk standar parabola:

(x - h)2 = 4p(y - k)

x2 - 4x + 4y + 16 = 0

x2 - 4x + 4 = -4y - 16 + 4

” ESPA4112/MODUL 5 5.23

(x - 2)2 = -4 (y + 3)

Jadi parabola mempunyai vertex (2, -3); p = -1; sumbu sejajar dengan

sumbu y dan parabola terbuka ke bawah.

Y

0 X

x2 - 4x + 4y + 16 = 0

4. Hiperbola

Secara ilmu ukur hiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan

titik-titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu

besarnya tetap. Hiperbola mempunyai dua sumbu yang membagi dua

hiperbola secara simetris dan yang memotong hiperbola disebut sumbu

"transverse". Pada suatu hiperbola terdapat dua buah garis asimtot yang

saling berpotongan. Titik potongnya disebut pusat hiperbola.

Bentuk umum persamaan hiperbola yaitu Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

di mana A dan C berlawanan tanda. Persamaan tersebut dapat dijadikan

bentuk standar untuk hiperbola.

( ) ( )2 2

2 2

x h y k1

a b

− −+ = atau

( ) ( )2 2

2 2

y k x h1

b a

− −+ =

di mana (h,k) adalah pusat hiperbola dan sumbu transverse sejajar dengan

sumbu x. Asimtot ditunjukkan oleh persamaan:

x h y k

a b

− −= ±

Bila a = b, maka kedua asimtot berpotongan tegak lurus.


Contoh 5.19:

Tentukan pusat hiperbola dan persamaan asimtotnya bila diketahui

persamaan hiperbola adalah 9x2 - 4y2 - 18x - 16y - 43 = 0.

Bentuk umum persamaan hiperbola:

2 2

2 2

(x - h (y - k) ) + = 1

a b atau

2 2

2 2

(y - k (x - h) )- = 1

b a

9x2 - 4y2 - 18x - 16y - 43 = 0

9(x2 - 2x + 1) - 4(y2 + 4y + 4) = 43 + 9 - 16

9(x - 1)2 - 4(y + 2)2 = 36

2 2

(x - 1 (y + 2) )+ = 1

4 9

Jadi titik pusat hiperbola (1,-2), a = 2, b = 3.

Sumbu transverse sejajar dengan sumbu x.

Persamaan asimtot:

x h y k

a bx 1 y 2

2 3

− −= ±

− += ±

3x - 3 = ±(2y + 4)

Asimtot 1: 3x - 3 = 2y + 4 atau

3x - 2y - 7 = 0

Asimtot 2: 3x - 3 =-2y - y atau

3x + 2y + 1 = 0

” ESPA4112/MODUL 5 5.25

Y

0 X

9x2 - 4y

2 - 18x - 16y - 43 = 0

Telah disebutkan bila a = b, maka asimtot hiperbola akan saling berpotongan

tegak lurus. Apabila asimtot hiperbola sejajar dengan sumbu x dan sumbu y,

maka bentuk persamaan standar hiperbola menjadi:

(x - h) (y - k) = c

di mana (h,k) merupakan pusat hiperbola, x = h dan y = k merupakan

asimtotnya. Hal ini merupakan keadaan yang khusus dari hiperbola karena

dari Ax2 + bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, nilai A = C = 0 dan 0.

Bila asimtot hiperbola berimpit dengan sumbu x dan sumbu y, maka

bentuk persamaan hiperbola menjadi xy = c. Ini merupakan bentuk yang

lebih khusus lagi dari hiperbola karena h = k = 0 dan persamaan (x - h)(y -

k) = c. Jenis hiperbola xy = C ini mempunyai titik pusat yang berimpit

dengan origin. Bila C > 0, maka kurva hiperbola terletak pada kuadran I dan

III dan bila C < 0, maka kurva hiperbola terletak pada kuadran II dan IV.

Persamaan xy = C menunjukkan hubungan kebalikan yang proporsional

antara x dan y yaitu bila suatu variabel nilainya bertambah besar, maka yang

lain akan turun nilainya secara proporsional. Suatu variabel y merupakan

kebalikan secara proporsional dengan variabel x apabila ada konstanta C

sedemikian rupa sehingga:

y = C

X atau xy = C

Dengan definisi tersebut di atas, secara umum dapat pula dikatakan

bahwa variabel y merupakan kebalikan secara proporsional dengan variabel x

berpangkat bilangan positif, jika ada konstanta C sedemikian rupa sehingga:


y = n

C

X atau x

ny = C

Hiperbola ini mempunyai pusat di origin dengan asimtot yang berimpit

dengan sumbu x dan y dan disebut hiperbola Fermat.

Apabila n merupakan bilangan ganjil dan C > 0, maka hiperbola terletak

di kuadran I dan III pada sistim sumbu koordinat. Akan tetapi jika C < 0,

maka hiperbola terletak di kuadran II dan IV. Persamaan XnY = C, bila

dengan n yang nilainya genap, maka hiperbola terletak di kuadran I dan II

untuk C > 0 dan terletak di kuadran III dan IV untuk C < 0. Akan tetapi untuk

persamaan XYm = C dan m bernilai genap sedangkan C > 0, maka kurva akan

terletak pada kuadran I dan IV dan bila C < 0, maka kurva berada kuadran II

dan III.

Contoh 5.20:

Gambarkan persamaan x(y - 1) = - 2

Titik pusat: (0,1); Asimtot: x = 0 dan y = 1

Y

y =1

0 X

x(y - 1) = -2

1) x2 +y2 -6x -2y -6 = 0

2) xy -4y = 4

3) x2 +9y2 -8x +7 = 0

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,

kerjakanlah latihan berikut!

” ESPA4112/MODUL 5 5.27

4) y2 - 4x2 -4y +4 = 0

5) y2 -2y -8x +25 = 0

Petunjuk Jawaban Latihan

1) Lingkaran dengan bentuk standarnya (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4

Y

(3,1) X

0

2) Hiperbola dengan bentuk standarnya (x – 4) + (y – 0) = 4

x =4

xy – 4y = 4

Y

0 X


3) Elips dengan titik pusat (4,1); jari panjang 3 dan pendek 1

Y

(3,1)

X

0

4) Hiperbola dengan bentuk standarnya (y – 4) + (x – 0) = -4

y =4

Y

0 X

5) Parabola, dengan persamaan (y – 1)2 = 8 (x – 3)

(3,1)

y2 -2y -8x +25 = 0

Y

0 X

” ESPA4112/MODUL 5 5.29

Bentuk umum fungsi kuadratik adalah:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Bentuk irisan kerucut untuk:

B = 0 dan A = C adalah lingkaran

B2 - 4AC < 0 adalah elips

B2 - 4AC = 0 adalah parabola

B2 - 4AC > 0 adalah hiperbola

Bila B = 0, maka irisan kerucut untuk:

A = C adalah lingkaran

A ≠ C tetapi A dan C tandanya sama, adalah elips

A = 0 atau C = 0 akan tetapi tidak nol bersama-sama adalah parabola

A dan C tandanya tidak sama adalah hiperbola

Bentuk-bentuk standar untuk:

Lingkaran : (x - h)2 + (y - k)2 = r2

Elips : 2 2

2 2

(x - h (y - k) )+ = 1

a b

Parabola : (y - k)2 = 4p (x - h) atau (x - h)2 = 4p (y - k)

Hiperbola : 2 2

2 2

(x - h (y - k) )= 1

a b−

1) Titik pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran

2 2x y 8x 10y 32 0+ + − + = adalah….

A. titik pusat (4, 5) jari-jari = 3

B. titik pusat (-4, 5), jari-jari = 3

C. titik pusat (-4, 5), jari-jari = 4

D. titik pusat (5, -4), jari-jari = 4.

2) Jari-jari panjang dari elips yang ditunjukkan oleh persamaan 2 29x 4y 90x 32y 253 0+ − − + = adalah ….

A. 9

B. 4

C. 3

RANGKUMAN

TES FORMATIF 2

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!


D. 2

3) Pernyataan di bawah ini yang benar untuk parabola dengan persamaan 2y 10y 8x 1 0− + + =

adalah ….

A. parabola terbuka ke bawah, vertex = (3, 5)

B. parabola terbuka ke bawah, vertex = (-5, 3)

C. parabola terbuka di sebelah kiri, vertex = (5, 3)

D. parabola terbuka di sebelah kiri, vertex = (-3, 5)

4) Diketahui hiperbola dengan persamaan 2 29x y 36x 10y 2 0− − + + = .

Persamaan asimtot hiperbola itu adalah ….

A. 3x – y = 1 dan x + 3y = 11

B. 3x + y = 1 dan 3x – y = 11

C. 3x + y = 11 dan x – 3y = 1

D. 3x – y = 1 dan 3x + y = 11

5) Bentuk kurva dari persamaan 2 2x 9y 14x 36y 4 0− − + + = adalah ….

A. lingkaran

B. elips

C. parabola

D. hiperbola

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang

terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.

Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan

Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali

80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar

100%Jumlah Soal

×

” ESPA4112/MODUL 5 5.31

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat

meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%,

Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang

belum dikuasai.


Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1

1) C

2) B

3) C

4) A

5) D

Tes Formatif 2

1) B

2) C

3) A

4) D

5) D

” ESPA4112/MODUL 5 5.33

Daftar Pustaka

Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Turner. (1996). Mathematical

Economics, The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher.

Haeussler, Ernest F. and Richard S. Paul. (1996). Introductory Mathematical

Analysis for Business Economics, and The Life and Social Sciences,

Eighth Edition, Prentice Hall International Inc.

Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis

Stengos. (1996). Mathematics for Economics, Addison-Wesley Publisher

Limited,

Jacques, Ian. (1995). Mathematics for Economics and Business, Second

Edition, Addison-Wesley Publishing Company.

Silberberg, Eugene and Wing Suen. (2001). The Structure of Economics a

Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill.

Kembali ke Daftar Isi

fungsi non-linear · pdf filekuadratik (lingkaran, elips, parabola dan hiperbola), fungsi...

Documents