fundamentos matemáticos, implementação e aplicações...
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Transformada de Fourier: fundamentos matemáticos, implementação e aplicações
musicais
MAC 0337 – Computação Musical
Jorge H. Neyra-AraozIME – USP
22/11/2007
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Resumo
● Série de Fourier para funções periódicas● Transformada de Fourier: definição e
exemplo● Transformada de Fourier Discreta
– Tranformada Rápida de Fourier
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Série de Fourier para funções periódicas
● A Série de Fourier é uma representação de uma função periódica como uma soma de funções periódicas:
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Série complexa de Fourier
● Segundo a Fórmula de Euler, as séries podem ser expressadas equivalemente
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Equações de Síntese e Análise
● Equação de Síntese:
● Equação de Análise:
● Uma propriedade fundamental dos valores de é a seguinte:
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Exemplo ...
Considere a função
Temos . Para
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Exemplo ...(2)
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Exemplo ...(3)
● O n-ésimo harmônico de f é dado por:
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Transformada de Fourier
● Quando uma função não é periódica é impossível escrevê-la como combinação linear de uma família de senos e cossenos harmonicamente relacionados.
● No entanto, muitas vezes é possível escrevê-la como combinação linear de todos os senos e cossenos que existem, utilizando todas as freqüencias disponíveis:
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Transformada de Fourier (2)
● Para funções que satisfazem o critério
entre outras, pode-se provar que os valores deque satisfazem a equação acima são
dados por
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Transformada Inversa de Fourier
● Se F(ω) e f(t) estão relacionadas pelas equações de análise e síntese
denotamos esta relação por
indicando que F é a Transformada de Fourier de f, e f é a Transformada Inversa de Fourier de F.
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Transformada de Fourier: Exemplo
● Considere a função
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Transformada de Fourier: Exemplo
● Para , temos que:
● e para , temos que:
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Transformada de Fourier: Exemplo
● Assim, pela equação de síntese,
● Freqüentemente, representamos a transforma de Fourier através dos espectro de amplitude e fase.
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Transformada de Fourier: Exemplo
● A escolha entre na expressão deembora arbitrária, deve preservar a propriedade de que é uma função ímpar.
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Transformada de Fourier Discreta (DFT)
● Dado considere a família de números complexos que divide o círculo unitário em N partes iguais:
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DFT: Relações de Ortogonalidade
● A família de número complexos anterior possui uma propriedade de ortogonalidade em relação ao produto interno emdefinido por
● Vamos utilizar o símbolo de tal forma que
Lema (Relações de Ortogonalidade)
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DFT: Exemplo
● Considere . Então, para os vetores
temos
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Transformada Rápida de Fourier (FFT)
● O método de cálculo da transformada discreta de Fourier a partir da expressão
utiliza produtos entre números complexos e somas, possuindo assim complexidade computacional
● O método FFT permite obter o mesmo resultado em tempo
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FFT: Implementação
● Existem muitas implementações:– Mapeamento em Índices Multidimensionais,
transforma uma DFT de uma dimensão em uma DFT de duas ou mais dimensões.
– Algoritmo COOLEY-TURKEY: usa o mapeamento de índices os índices de tempo e de freqüência.
– FFT por Dizimição no Tempo, descompõe a seqüência de tamanho N em seqüências sucessivas menores.
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FFT: Implementação
● FFT por dizimição em Freqüência– A mais común e a mais eficiente forma de
FFT.– Usa todas as dimensões do mesmo tamanho.– Calcula uma DFT de tamanho N, em termos
de duas DFTs de tamanho N/2.
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FFT: ilustração de três etapas
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FFT: Exemplo
● Consider o vetorSua transformada de Fourier discreta poder ser calculada com auxílio do diagrama do FFT do slide anterior.
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FFT: Algoritmo
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Janelas
● Também chamadas Funções de Ponderação.
● Modificam as características de resposta em freqüência dos algoritmos de DFT.
● Usadas em conjunto com análise espectral via DFT para reduzir o espalhamento em freqüência.
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Janela Rectangular e Triangular
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Aplicações da FT
● A Transfomada de Fourier (FT) é uma ferramenta largamente empregada em processamento de sinais (sons, imagens).
● A teoria de Fourier demonstrou que um som periódico (como os sons instrumentais utilizados na música) podia decompor-se numa soma de sons puros (sinusoidais) de frequência 1f, 2f, 3f,...
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Aplicações da FT
● Usado amplamente no análise, síntese, e processamento de voz e sons musicais.
● Pode ser usada para obter o Espectro a partir da Forma de Onda.
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Obrigado