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FUNÇÕES HIPERBÓLICAS COM APLICAÇÕES
Prof. Ms Paulo Sérgio C. Lino
http://fatosmatematicos.blogspot.com/
Agosto de 2010
Sumário
1 Funções Hiperbólicas 4
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Conceitos e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 A Regra de Osborn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Outras Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 A Interpretação Geométrica das Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Resolvendo Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Funções Hiperbólicas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7.1 A função arcsinh x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7.2 A função arccosh x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7.3 A função arctanh x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 Funções Hiperbólicas e os Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 O Cálculo e as Funções Hiperbólicas 19
2.1 Limites e Derivadas de Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Integrais Através das Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 A Função Gudermaniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Expansão em Séries das Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Arcos e Cabos Suspensos 22
3.1 Um Pouco de História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 A Catenária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Aplicações Adicionais 26
4.1 A Velocidade Terminal de um Pára-Quedas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Triângulos Obtusângulos Sobre a Hipérbole Equilátera . . . . . . . . . . . . . . 28
2
Prefácio
Devido ao tratamento restrito deste assunto em vários livros de Cálculo, achei necessário escre-
ver estas notas com o objetivo de suprir esta necessidade, além de apresentar algumas de suas
aplicações nas diversas áreas da Matemática.
Direitos Autorais
O objetivo destas notas é divulgar este
assunto de forma ampla, buscando
deste modo melhorar a Educação do
país. Peço a compreensão de todos
vocês, no caso de copiar qualquer as-
sunto, que seja educado fazendo as
devidas referências bibliográ�cas.
As sugestões serão sempre bem-vindas e podem ser encaminhadas para [email protected]
Atenciosamente,
Prof. Ms. Paulo Sérgio Costa Lino
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Capítulo 1
Funções Hiperbólicas
1.1 Introdução
De acordo com Barnett, Johann Heinrich Lambert é responsável pelo primeiro tratado sobre as
funções trigonométricas em um documento apresentado a Academia de Ciências de Berlim em
1761, que rapidamente se tornou famoso. Em sua "Mémoire Sur Quelques Propriétés Remar-
quables Des Quantités Transcendantes Circulaires et Logarithmiques", 1 Lambert comparou
as funções transcendentes circulares sinu e cosu, com suas expressões análogas "Quantitiés
Transcendantes Logarithmiques", (eϕ + e−ϕ)/2 e (eϕ − e−ϕ)/2 funções as quais ele tratou ex-
plicitamente na sua forma funcional e como série de potência, mas não nomeou-as por cosseno
hiperbólico e seno hiperbólico respectivamente. Isso ocorreu mais tarde em sua "Observa-
tions Trigonométriques" de 1768 em que ele faz uma comparação dos quocientes das funções
trigonométricas e hiperbólicas:sinϕ
cosϕe
sinhyp ϕ
coshyp ϕ
Barnett continua, apesar da notação de Lambert para estas funções, diferente da nossa con-
venção atual, as funções hiperbólicas já tinha obtido seu importante papel na Matemática.
1.2 Conceitos e Propriedades
De�nição 1.1 A função cosseno hiperbólico, denotada por coshx é de�nida por
coshx =ex + e−x
2(1.1)
De�nição 1.2 A função seno hiperbólico, denotada por sinhx é de�nida por
sinhx =ex − e−x
2(1.2)
1Este artigo tornou-se famoso não por causa das funções hiperbólicas, mas devido a uma prova explícita
que π é irracional.
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Funções Hiperbólicas com Aplicações Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino
Observação 1.1 Segue direto das de�nições acima que cosh 0 = 1, sinh 0 = 0, coshx é
uma função par e que sinhx é uma função ímpar. Isto sugere que elas possuem propriedades
semelhantes as funções trigonométricas cosx e sinx, mas estas funções carecem da propriedade
de periodicidade.
Os grá�cos das funções cosseno e seno hiperbólico são mostrados abaixo.
Figura 1.1: y = cosh x e y = sinh x
Proposição 1.1
i) cosh2 x− sinh2 x = 1;
ii) cosh(2x) = cosh2 x+ sinh2 x;
iii) sinh(2x) = 2 sinhx coshx.
Demonstração: Adicionando e subtraindo as expressões (1.2) de (1.1), segue que
coshx+ sinhx = ex (1.3)
coshx− sinhx = e−x
Assim, o item i) é dado por
cosh2 x− sinh2 x = (coshx+ sinhx)(coshx− sinhx) = ex · e−x = 1
Elevando ao quadrado a primeira expressão de (1.3), temos
e2x = (coshx+ sinhx)2 = cosh2 x+ 2 coshx sinhx+ sinh2 x (1.4)
Elevando ao quadrado a segunda expressão de (1.3), temos
e2x = (coshx− sinhx)2 = cosh2 x− 2 coshx sinhx+ sinh2 x (1.5)
Adicionando (1.4) e (1.5), segue o item ii), ou seja,
e2x + e−2x = 2 cosh2 x+ 2 sinh2 x ⇒ cosh(2x) =e2x + e−2x
2= cosh2 x+ sinh2 x
Fazendo (1.4) - (1.5), segue o item iii). Deixo os detalhes para o leitor.
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Proposição 1.2
i) cosh(x+ y) = coshx cosh y + sinhx sinh y
ii) sinh(x+ y) = sinhx cosh y + sinh y cosh y
Demonstração: Usando a de�nição, temos
cosh(x+ y) =ex+y + e−(x+y)
2=
exey + e−xe−y
2
=(coshx+ sinhx)(cosh y + sinh y) + (coshx− sinhx)(cosh y − sinh y)
2
= coshx cosh y + sinhx sinh y
De forma análoga, prova-se o item ii).
Observação 1.2 Um outro modo de provar os ítens ii) e iii) da Prop. (1.1) é fazendo x = y
na Prop. 1.2.
1.3 A Regra de Osborn
Você deve ter notado que as expressões da Prop. (1.2) são semelhantes as identidades
trigonométricas para o cosseno e o seno da soma. De fato, podemos transformar as fór-
mulas trigonométricas nas fórmulas para as funções hiperbólicas através da regra de Osborn, o
qual a�rma que o cos pode ser convertido em cosh e o sin em sinh, exceto quando existir um
produto de dois senos, o qual devemos efetuar uma mudança de sinal.
Exemplo 1.1 Use a regra de Osborn e transforme as identidades abaixo:
1. cos(x+ y) = cosx cos y − sinx sin y
2. sin(2x) = 2 sinx cosx
Resolução:
1. cos(x+ y) = cosx cos y− sinx sin y ⇒ cosh(x+ y) = coshx cosh y+sinhx sinh y
2. sin(2x) = 2 sinx cosx ⇒ sinh(2x) = 2 sinhx coshx
1.4 Outras Funções Hiperbólicas
Em correspondência as funções trigonométricas tanx, cotx, secx e cscx, de�nimos:
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De�nição 1.3
1. tanhx =sinhx
coshx=
ex − e−x
ex + e−x
2. cothx =coshx
sinhx=
ex + e−x
ex − e−xpara x = 0
3. sech x =1
coshx=
2
ex + e−x
4. csch x =1
sinhx=
2
ex − e−xpara x = 0
Observação 1.3 Segue imediatamente desta de�nição que:
1. 1− tanh2 x = sech 2x
2. coth2 x− 1 = csch 2x
A veri�cação destes fatos é deixada como exercício. O grá�co destas funções são exibidos
abaixo:
Figura 1.2: y = tanh x e y = coth x
Figura 1.3: y = sech x e y = csch x
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1.5 A Interpretação Geométrica das Funções Hiperbólicas
As funções sinα, cosα e tanα são de�nidas pelos segmen-
tos BC, OB e AD respectivamente na circunferência de raio
unitário (Fig. ao lado), onde o ângulo central α = AOC. Por
outro lado, a área S de qualquer setor circular de raio R cujo
ângulo central é θ é S = R2θ/2. Assim, a área do setor COK
que será denotada por x é dada por
x = SCOK =12(2α)
2= α
Assim para de�nir estas funções, poderíamos usar a área x do
setor COK sombreada na �gura ao lado, donde segue que BC =
sinx, OB = cosx e AD = tanx.
De forma análoga, para as funções hiperbólicas podemos considerar a área de um setor
sobre a hiperbóle x2 − y2 = 1. Para isto, considere o ramo direito desta hiperbóle, conforme a
�gura abaixo:
Proposição 1.3 Denotando por x a área do setor COK, então:
1. BC = sinhx
2. OB = coshx
3. AD = tanhx
Demonstração: Note que
x = SCOK = 2(S△BOC − SCAB) = 2S△BOC − 2SCAB (1.6)
Por outro lado, (OB)2 − (BC)2 = 1 ⇒ OB =√
(BC)2 + 1. Sendo OB = OA+AB =
1 +AB, então
1 +AB =√
1 + (BC)2 ⇒ (1 +AB)2 − 1 = (BC)2 (1.7)
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Analisando a �gura acima, vemos que a área do setor SCAB é dada por
SCAB =
∫ 1+AB
1
√u2 − 1du
=1
2
[u√
u2 − 1− ln(√u2 − 1 + u)
]1+AB
1
=1
2
[(1 +AB)
√(1 +AB)2 − 1− ln[
√(1 +AB)2 − 1 + 1 +AB]
] (1.8)
Substituindo (1.7) em (1.8), temos:
2SCAB = BC√
1 + (BC)2 − ln(BC +√
1 + (BC)2 ) (1.9)
Mas,
2S△BOC = OB ·BC = BC√
(BC)2 + 1 (1.10)
Substituindo (1.10) em (1.9), segue que
2SCAB = 2S△BOC − ln(BC +√
1 + (BC)2 ) ⇒
2S△BOC − 2SCAB = ln(BC +√
1 + (BC)2 )(1.11)
Substituindo (1.11) em (1.6), temos
x = ln(BC +√
1 + (BC)2) ⇒ ex = BC +√
1 + (BC)2 ⇒ (ex −BC)2 = 1 + (BC)2
e2x − 2BCex = 1 ⇒ BC =e2x − 1
2ex=
ex − e−x
2= sinhx
Para �nalizar a demonstração, note que
OB =√
(BC)2 + 1 =√
sinh2 x+ 1 = coshx
Da semelhança dos triângulos OAD e OBC, segue que
AD
BC=
OA
OB⇒ AD
sinhx=
1
coshx⇒ AD =
sinhx
coshx= tanhx
1.6 Resolvendo Equações
Vejamos nesta seção algumas equações envolvendo as funções da trigonometria hiperbólica.
Sendo cosh2 x − sinh2 x = 1 e que sec2 x − tan2 x = 1, para facilitar a resolução de al-
guns problemas envolvendo as funções hiperbólicas, iremos fazer as seguintes correspondências:
coshx ↔ secx e sinhx ↔ tanx. Deste modo, tanhx ↔ sinx, pois
tanhx =sinhx
coshx↔ tanx
secx=
sinx
cosx· cosx = sinx
Sendo sech x = 1/ cosh x, então sech x ↔ cos x e de modo análogo, csch x ↔ cot x e
cothx ↔ cscx. Sendo cos2 x + sin2 x = 1, usando as relações anteriores, a identidade
continua válida, isto é, sech 2x + tanh2 x = 1. Estas relações são úteis na resolução de
algumas equações e também no cálculo de integrais quando é necessário o uso da técnica de
substituições trigonométricas. Essas equivalências estão representadas na �gura abaixo:
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Exemplo 1.2 Determine x sabendo que sinhx = 3/4.
Resolução: Como sinhx relaciona-se com a função sinx, construímos um triângulo retângulo
de catetos 3 e 4, conforme a �gura abaixo.
Para achar x, encontramos primeiro coshx, que pelo diagrama acima relaciona-se com a
secx. Pelo triângulo retângulo, secx = 5/4. Assim, coshx = 5/4, donde segue que de (1.3)
que
ex = coshx+ sinhx =3
4+
5
4= 2 ⇒ x = ln 2
Observação 1.4 Outro modo de resolver a equação sinhx = 3/4 é usar a de�nição da função
seno hiperbólico e resolver uma equação quadrática na variável ex.
Exemplo 1.3 Determine x sabendo que coshx = 13/5.
Resolução: Do diagrama acima, secx = 13/5. Construímos um triângulo retângulo de
hipotenusa 13 e catetos 5 e 12 =√132 − 52, conforme a �gura abaixo.
Para achar x, determinamos inicialmente sinhx. Assim, analogamente ao exemplo anterior,
sinhx = tanx = 12/5. Logo,
ex = coshx+ sinhx =13
5+
12
5= 5 ⇒ x = ln 5
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Exemplo 1.4 Resolva a equação
2 cosh(2x) + 10 sinh(2x) = 5
Resolução: Sendo
cosh(2x) =e2x + e−2x
2e sinh(2x) =
e2x − e−2x
2
então
e2x + e−2x + 5e2x − 5e−2x = 5 ⇒ 6e2x − 5− 4e−2x = 0 ⇒
6e4x − 5e2x − 4 = 0 ⇒ 6u2 − 5u− 4 = 0
onde u = e2x. Aplicando a fórmula de Bháskara, segue que u1 = 4/3 e u2 = −1/2. Pela
de�nição de u, a segunda solução u2 deve ser desprezada. Assim,
e2x = u1 ⇒ e2x =4
3⇒ 2x = ln
4
3⇒ x =
1
2ln
4
3
1.7 Funções Hiperbólicas Inversas
Outras funções importantes são as inversas das funções hiperbólicas. Para que uma função
admita inversa, ela deve ser bijetora. Nesta seção veremos as funções inversas das funções
seno, cosseno e tangente hiperbólica.
1.7.1 A função arcsinh x
Analisando o grá�co da função sinh : R → R, vemos que ela é bijetora e portanto, admite uma
função inversa que será denotada por sinh−1 ou arcsinh , isto é,
arcsinh : R −→ Rx 7−→ y = arcsinh x
Os grá�cos das funções y = sinhx e sua inversa y = arcsinh x estão na �gura abaixo.
É possível achar uma representação em função do logaritmo neperiano para a função y =
arcsinh x do seguinte modo:
y = arcsinh x ⇒ sinh y = x ⇒ x =ey + e−y
2=
e2y − 1
2ey⇒
e2y − 2xey − 1 = 0 ⇒ ey =2x±
√4x2 + 4
2= x±
√x2 + 1
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Sendo a exponencial positiva, segue que
ey = x+√
x2 + 1 ⇒ arcsinh x = ln(x +√
x2 + 1) (1.12)
1.7.2 A função arccosh x
A função f(x) = coshx não bijetora em todo seu domínio. Restringindo D(f) = R+, ela
torna-se bijetora com imagem dada pelo conjunto Im(f) = {y ∈ R : y ≥ 1}. Assim, de�nimos
sua função inversa por
arccosh : {x ∈ R : x ≥ 1} −→ R+
x 7−→ y = arcsinh x
Esta função também é denotada por y = cosh−1 x. Os grá�cos das funções y = coshx e sua
inversa y = arccosh x são dadas na �gura abaixo.
Fica como exercício mostrar que esta função em termos de logaritmo neperiano esta função
é dada por
arccosh x = ln(x +√
x2 − 1) para x ≥ 1 (1.13)
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1.7.3 A função arctanh x
Sendotanh : R −→ (−1, 1)
x 7−→ y = tanhx =sinhx
coshx
uma fuñção bijetora sobre esses conjuntos, então de�nimos a sua função inversa y = arctanh x
ou y = tanh−1 x por
arctanh : (−1, 1) −→ Rx 7−→ y = arctanh x
Na �gura abaixo, estão os grá�cos destas duas funções.
Para achar uma expressão da função y = arctanh x em termos do logaritmo neperiano,
procedemos do seguinte modo.
y = arctanh x ⇒ tanh y = x ⇒ x =ey − e−y
ey + e−y=
e2y − 1
e2y + 1⇒
e2y − 1 = x(e2y + 1) ⇒ e2y(1− x) = 1 + x
Sendo x ∈ (−1, 1), podemos efetuar a divisão na expressão anterior para obter:
e2y =1 + x
1− x⇒ 2y = ln
(1 + x
1− x
)⇒ arctanh x =
1
2ln
(1 + x
1− x
)(1.14)
Observação 1.5 As funções arcsech x, arccsch x e arccoth x são de�nidas de maneira análoga.
Exemplo 1.5 Mostre que y = arcsech x = arccosh 1/x
Resolução: De fato,
y = arcsech x ⇒ x = sech y =1
cosh y⇒ cosh y =
1
x⇒ y = arccosh
1
x
Exemplo 1.6 Ache os valores de x tal que
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arcsinh x + arccosh (x + 2) = 0
Resolução: Observe que x = −2. Fazendo u = arccosh (x + 2), temos coshu = x + 2, de
modo que
arcsinh x + u = 0 ⇒ x = sinh(−u) ⇒ sinh u = −x
Assim,
tanhu =sinhu
coshu=
−x
x+ 2tanh2 u =
x2
(x+ 2)21− sech 2x =
x2
(x + 2)2⇒
sech 2x = 1− x2
(x + 2)2=
4(x + 1)
(x + 2)2⇒ (x + 2)2 = cosh2 u =
(x + 2)2
4(x + 1)⇒
4(x+ 1) = 1 ⇒ x = −3
4
Observação 1.6 Este problema também pode ser resolvido usando adequadamente um triân-
gulo retângulo de hipotenusa x+ 2 e catetos −x e√
(x+ 2)2 − x2 = 2√x+ 1.
Existem também as fórmulas de adição para as funções hiperbólicas inversas.
Proposição 1.4 Para as funções hiperbólicas inversas valem as fórmulas de adição:
i) arcsinh u± arcsinh v = arcsinh (u√1 + v2 ± v
√1 + u2);
ii) arccosh u± arccosh v = arccosh (uv ±√
(u2 − 1)(v2 − 1));
iii) arctanh u± arctanh v = arctanh
(u± v
1± uv
).
Demonstração: Veremos o item 1, os outros seguem de maneira análoga e são deixados
como exercício. Queremos provar que
arcsinh u± arcsinh v = arcsinh (u√
1 + v2 ± v√
1 + u2) (1.15)
Sabemos que
sinh(x± y) = sinhx cosh y ± sinh y coshx (1.16)
Fazendo x = arcsinh u, segue que
sinhx = u ⇒ cosh2 x = 1 + sinh2 x = 1 + u2 ⇒ coshx =√
1 + u2 (1.17)
e fazendo y = arcsinh v, temos
sinh y = v ⇒ cosh2 y = 1 + sinh2 y = 1 + v2 ⇒ cosh y =√
1 + v2 (1.18)
Substituindo (1.17) e (1.18) em (1.16), segue que
sinh(x± y) = u√
1 + v2 ± v√
1 + u2
Logo,
x± y = arcsinh u± arcsinh v = arcsinh (u√
1 + v2 ± v√
1 + u2)
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1.8 Funções Hiperbólicas e os Números Complexos
Pela relação de Euler, sabemos que eix = cosx+ i sinx, donde segue que
cosx =eix + e−ix
2e sinx =
eix − e−ix
2i(1.19)
Analisando as expressões (1.19), notamos
cosx =eix + e−ix
2= cosh(ix) e sinh(ix) =
eix − e−ix
2= i sinx (1.20)
Segue dessas expressões que
tanh(ix) =sinh(ix)
cosh(ix)=
i sinx
cosx= i tanx (1.21)
Portanto, as funções hiperbólicas são periódicas com período 2π se os argumentos são com-
plexos. Além disso, podemos também obter as identidades das funções hiperbólicas a partir
das identidades trigonométricas, usando argumentos complexos.
Exemplo 1.7 Usando a identidade cos2 x+ sin2 x = 1, mostre que cosh2 x− sinh2 x = 1.
Resolução: Substituindo x por ix na identidade trigonométrica e usando as relações acima,
temos:
1 = cos2(ix) + sin2(ix) = cosh2 x+ i2 sinh2 x = cosh2 x− sinh2 x
Exemplo 1.8 A função complexa f(z) = u+ iv = cos z pode ser escrita como
cos z =eiz + e−iz
2
Determine as partes real u(x, y) e imaginária v(x, y) desta função em termos das funções
hiperbólicas e trigonométricas.
Resolução: Sendo z = x+ iy, então
cos z =ei(x+iy) + e−i(x+iy)
2=
eixe−y + e−ixey
2=
eixe−y
2+
e−ixey
2
Usando a relação de Euler e as expressões de (1.3), temos
cos z =(cosx+ i sinx)(cosh y − sinh y)
2+
(cosx− i sinx)(cosh y + sinh y)
2
= cosx cosh y − i sinx sinh y
donde segue que u(x, y) = cosx cosh y e v(x, y) = − sinx sinh y.
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1.9 Exercícios Propostos
1. Use os ítens i) e ii) da Prop. (1.1) e mostre que
(a) cosh(2x) = 2 cosh2 x− 1
(b) cosh(2x) = 1 + 2 sinh2 x
2. Mostre que
(a) sinh(−x) = − sinhx, ou seja, seno hiperbólico é uma função ímpar.
(b) cosh(−x) = coshx, ou seja, cosseno hiperbólico é uma função par.
3. Prove o item ii) da Prop. (1.2).
4. Mostre que
(a) sinhx =1√
coth2 x− 1;
(b) tanhx =sinhx√
sinh2 x+ 1;
(c) cothx =coshx√
cosh2 x− 1;
(d) coshx =1√
1− tanh2 x.
5. Mostre que
(a) cosh(x− y) = coshx cosh y − sinhx sinh y
(b) sinh(x− y) = sinhx cosh y − sinh y coshx
(c) sinhA+ sinhB = 2 sinh(A+B
2) cosh(
A−B
2)
(d) coshA− coshB = 2 sinh(A+B
2) sinh(
A−B
2)
6. Use indução �nita e prove as fórmulas de De Moivre para as funções hiperbólicas:
(coshx± sinhx)n = coshnx± sinhnx, ∀n ∈ N
7. Prove que
(a)
tanhx
2=
coshx− 1
sinhx=
sinhx
coshx+ 1;
(b)
cothx
2=
sinhx
coshx− 1=
coshx+ 1
sinhx.
8. Use as regras de Osborn e transforme as expressões abaixo:
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(a) cos2 x+ sin2 x = 1
(b) sin(3x) = 3 sinx− 4 sin3 x
(c) sinA− sinB = 2 cos(A+B
2) sin(
A−B
2)
9. Prove as identidades da Obs. (1.3) de dois modos: usando a de�nição e usando a regra
de Osborn.
10. Calcule x sabendo que:
(a) tanhx =√3/2;
(b) sech x = 3/5.
11. Sendo sinhx = 5/12, determine:
(a) coshx;
(b) tanhx;
(c) sech x;
(d) cothx;
(e) csch x.
12. Resolva as equações abaixo, apresentando a resposta em termo de logaritmos naturais.
(a) 4 coshx+ sinhx = 4;
(b) 3 sinhx− coshx = 1;
(c) 4 tanhx = 1 + sech x.
13. Determine as condições sobre A e B para o qual a equação
A coshx+B sinhx = 1
tenha pelo menos uma raiz real.
14. Expresse y = 25 coshx− 14 sinhx na forma y = R cosh(x− α), exibindo os valores de
R e tanhα. Determine a seguir o valor mínimo de y em termos de logaritmos naturais.
15. Sejam a, b e c reais positivos. Mostre que para a > b, a coshx+ b sinhx pode ser escrita
na forma R cosh(x + α). Desta forma, determine as condições adicionais para o qual a
equação
a coshx+ b sinhx = c
tenha soluções reais.
16. Mostre que arccosh x = ln(x +√x2 − 1) para x ≥ 1.
17. Mostre que
17
Funções Hiperbólicas com Aplicações Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino
(a) arccoth x = arctanh 1/x;
(b) arccsch x = arcsinh 1/x.
18. Mostre que
arcsech x = ln1 +
√1− x2
xpara 0 < x ≤ 1
19. Resolva a equação
2arctanh
(x− 2
x + 1
)= ln 2
20. Prove os ítens ii) e iii) da Prop. (1.4).
21. A partir das desigualdades trigonométricas abaixo, obtenha as identidades hiperbólicas
correspondentes.
(a) sec2 x = tan2 x+ 1;
(b) cos(x+ y) = cosx cos y − sinx sin y;
(c) sin2 x =1− cos(2x)
2.
22. Determine as partes real u(x, y) e imaginária v(x, y) da função sin z dada por
sin z =eiz − e−iz
2i
18
Capítulo 2
O Cálculo e as Funções Hiperbólicas
2.1 Limites e Derivadas de Funções Hiperbólicas
O comportamento da funções hiperbólicas para valores de x muito grandes positivamente
ou negativamente são importantes para estudar o comportamento assintótico e as soluções
estacionárias de alguns problemas práticos. Vejamos uma proposição sobre esse assunto.
Proposição 2.1 Mostre que
1. limx→±∞
tanhx = ±1;
2. limx→±∞
cothx = ±1;
3. limx→±∞
sech x = 0;
4. limx→±∞
csch x = 0.
Demonstração: Basta usar a de�nição de funções hiperbólicas. Vejamos o item i).
limx→+∞
tanhx = limx→+∞
sinhx
coshx= lim
x→+∞
ex − e−x
ex + e−x
= limx→+∞
e2x − 1
e2x + 1= lim
x→+∞
1− 1/e2x
1 + 1/e2x= 1
Em muitas aplicações surgem essas funções e o primeiro passo é compreender suas derivadas.
Proposição 2.2
i)d
dx(sinhx) = coshx;
ii)d
dx(coshx) = sinhx.
19
Funções Hiperbólicas com Aplicações Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino
Demonstração:
i)d
dx(sinhx) =
d
dx
(ex − e−x
2
)=
ex + e−x
2= coshx;
O item ii) é deixado como exercício.
Usando a regra da derivada do quociente de duas funções, segue também que
Proposição 2.3
1.d
dx(tanhx) = sech 2x;
2.d
dx(sech x) = −sech x tanh x;
3.d
dx(csch x) = −csch x coth x;
4.d
dx(cothx) = −csch 2x.
Demonstração: Vejamos o item i).
d
dx(tanhx) =
sinhx
coshx=
coshx coshx− sinhx sinhx
cosh2 x=
1
cosh2 x= sech 2x
É claro que em determinadas situações, será necessário usar a regra da cadeia. Vejamos o
exemplo abaixo.
Exemplo 2.1 Calcule a derivada das funções abaixo:
1. y = 2 cosh(3x)− 4 sinh(2x);
2. f(x) = sin(2x) sinh(4x)− cos(4x) cosh(2x).
Resolução:
1. Usando a regra da cadeia, segue que:
dy
dx= 2 sinh(3x) · 3− 4 cosh(2x) · 2 = 6 sinh(3x)− 8 cosh(2x)
2. Usando a regra da cadeia e a regra para derivar o produto de duas funções, temos:
f ′(x) = 2 cos(2x) · 4 cosh(4x) + 4 sin(4x) · 2 sinh(2x)
= 8 cos(2x) cosh(4x) + 8 sin(4x) sinh(2x)
A derivada das funções hiperbólicas inversas são facilmente calculadas através da regra de
derivação de funções inversas ou usando suas expressões logarítmicas. Vejamos na Proposição
abaixo.
Proposição 2.4 Mostre que
20
Funções Hiperbólicas com Aplicações Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino
1.d
dx(arcsinh x) =
1√x2 + 1
;
2.d
dx(arccosh x) =
1√x2 − 1
;
3.d
dx(arctanh x) =
1
1− x2;
2.2 Integrais Através das Funções Hiperbólicas
2.3 A Função Gudermaniana
2.4 Expansão em Séries das Funções Hiperbólicas
2.5 Exercícios Propostos
1. (a) Use o fato que ex e e−x são positivos e prove que −e−x/2 < sinhx < ex/2;
(b) Mostre que
limx→−∞
(sinhx+
e−x
2
)= 0
(c) Mostre que
limx→+∞
(sinhx− ex
2
)= 0
2. Complete a prova da Prop. (2.1).
3. Complete a prova da Prop. (2.2).
4. Complete a prova da Prop. (2.3).
5. Mostre que y = cosh(2x) satisfaz a equação diferencial
d2y
dx2− 4y = 0
6. Mostre que y = tanhx é solução de equação diferencial não-linear abaixo:1
2y′′ = y3 − y
y(0) = y′(∞) = 0
21
Capítulo 3
Arcos e Cabos Suspensos
3.1 Um Pouco de História
Figura 3.1: Arco em forma de cosh invertido de St. Louis-USA
Pitágoras, na antiga Grécia foi o primeiro a estudar o comportamento de uma corda ten-
sionada. A ele é creditado a descoberta do intervalo de uma oitava como sendo referente a
uma relação de frequência de 2 : 1, uma quinta em 3 : 2, uma quarta em 4 : 3, e um tom
em 9 : 8. Os seguidores de Pitágoras aplicaram estas razões ao comprimento de �os de corda
em um instrumento chamado cânon, ou monocorda, e, portanto, foram capazes de determinar
matematicamente a entonação de todo um sistema musical.
Leonardo da Vinci (1452 − 1519), entre tantos problemas da Mecânica estudado por ele,
dedicou ao problema do equilíbrio dos cabos e cordas. Seus trabalhos foram somente publicados
postumamente, e embora suas anotações fossem conhecidas já de há muito tempo, boa parte de
seus escritos não foram transcitos senão no século passado. De qualquer forma, é nos escritos
22
Funções Hiperbólicas com Aplicações Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino
de Leonardo que aparece pela primeira vez o ideia do paralelogramo de forças, redescoberto
mais tarde por Simon de Bugres em 1586.
Em 1615, Beeckman mostrou que a forma de uma corda inextensível sob carregamento ver-
tical uniformemente distrbuído é uma parábola. O cientista italiano Galileu Galilei (1564−1642)
motivado pelo sucesso que foi a aplicabilidade de cônicas ao mundo natural, nomeadamente
à forma da trajetória de um projétil, por ele próprio deduzida, e de um planeta em rotação
à volta do Sol, fruto dos trabalhos de Kepler, estava plenamente convencido que a forma da
corda dependurada representa um cabo suspenso (problema da catenária) era uma parábola.
De fato, o que Galileu resolveu foi o problema da ponte pênsil; a forma de um cabo sem peso
suportando uma carga uniformemente distribuida horizontalmente.
Em 1690, Jacob Bernoulli chamou a atenção sobre este problema, e um ano depois ele era
resolvido por Leibniz, Huyghens e Johann Bernoulli, irmão de James. Foi Leibniz que deu o
nome de catenária (do latim catena que quer dizer corrente).
3.2 A Catenária
O problema que agora que consideramos é o determinação
da forma tomada por um cabo �exível e inextensível, sus-
penso em dois pontos A e B, e sujeito a seu próprio peso.
Flexível signi�ca que a tensão no cabo é sempre no sen-
tido da tangente. Para resolver este problema, considere-
mos um sistema de coordenadas com a origem no ponto
mais baixo da curva, e com a curva situada no plano xOy,
sendo o eixo y coincidente com a vertical. Seja P (x, y)
um ponto genérico da corda, e vamos considerar o trecho
OP que está em equilíbrio devido à ação das seguintes
forças:
i) T : tensão atuando tangencialmente em P e formando um ângulo α com o eixo x;
23
Funções Hiperbólicas com Aplicações Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino
ii) H: tensão da corda em seu ponto mais baixo, atuando horizontalmente;
iii) ρgs: peso do pedaço OP da corda cujo comprimento é s, agindo verticalmente para
baixo, sendo ρ a densidade do cabo e g a aceleração da gravidade.
Como o sistema está em equilíbrio, então a somatória das forças neste sistema é nula.
Assim, devemos ter
H = T cos θ (3.1)
e
ρgs = T sin θ (3.2)
Dividindo a expressão (3.2) por (3.1), temos
tan θ =ρg
Hs (3.3)
Mas o coe�ciente angular da reta tangente em um ponto qualquer da curva é dado por
tan θ =dy
dx(3.4)
Comparando as expressões (3.3) e (3.4), segue que
dy
dx=
ρg
Hs ⇒ d2y
dx2=
ρg
H· dsdx
(3.5)
Por outro lado, a derivada do arco s em relação a x é dada por
ds
dx=
√1 +
(dy
dx
)2
(3.6)
Substituindo (3.6) em (3.5), obtemos a equação diferencial da catenária, isto é,
d2y
dx2=
ρg
H
√1 +
(dy
dx
)2
(3.7)
24
Funções Hiperbólicas com Aplicações Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino
Exemplo 3.1 Uma linha de telefone é pendurada entre dois postes separados a 14 m na forma
da catenária y = −15 + 20 cosh(x/20), onde x e y são medidos em metros.
1. Encontre a inclinação dessa curva quando ela encontra o poste à direita.
2. Encontre o ângulo θ entre a reta e o poste.
Exemplo 3.2 Prendeu-se uma corda de 8 metros, pelas suas extremidades, ao topo de dois
postes cuja altura é 5 metros. O ponto mais baixo da corda encontra-se a 1 metro do chão. A
que distância se encontram os dois postes?
25
Capítulo 4
Aplicações Adicionais
4.1 A Velocidade Terminal de um Pára-Quedas
O pára-quedas é um aparelho normalmente feito de tecido com um formato semi-esférico
com objetivo de diminuir a velocidade de pessoas (por exemplo, soldados) ou objetos que
despredem de grandes alturas.
Existem evidências de que Leonardo da Vinci fez projetos de um pára-quedas um pouco
rudimentar mas que funcionou em testes recentes. O pára-quedas de da Vinci consisita em
um quadrado com quatro pirâmides de pano espesso e em cujo centro (onde se cruzam as
diagonais) se prendiam cordas que seguravam o corpo do paraquedista.
Suponhamos que em um pára-quedas+pessoa esteja agindo apenas a força da gravidade
referente ao peso da pessoa P = mgj e uma força resistiva R = −kv2j, cujo módulo é
proporcional ao quadrado da velocidade. A constante k depende apenas das dimensões do
pára-quedas e é determinado experimentalmente. Suponhamos ainda que a queda ocorra numa
26
Funções Hiperbólicas com Aplicações Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino
linha vertical, de modo que podemos adotar o eixo y como um eixo vertical de referência,
adotando o sentido de cima-para baixo como sendo positivo. Assim, pela 2a Lei de Newton,
segue que
P + R = ma ⇒ mg − kv2 = ma
Sendo a =dv
dt, então
dv
dt+
k
mv2 − g = 0 (4.1)
Se a velocidade inicial do pára-quedas é dada por y′(0) = v(0) = v0, teremos um problema
de valor inicial. Para determinar a velocidade terminal, basta fazer dv/dt = 0 na equação acima,
pois neste estágio há um equilíbrio entre a força da gravidade e a força resistiva. Indicando por
v essa velocidade, segue que
0 +k
mv2 − g = 0 ⇒ v =
√mg
k(4.2)
Mas será que esse argumento do equilíbrio das forças está correto? Claro que sim, e para
veri�car essa hipótese, iremos calcular v de outro modo, ou seja, resolveremos o problema de
valor inicial acima por integração e mostraremos que
limt→∞
v(t) = v (4.3)
Separando as variáveis em (4.1), temos:
dt =dv
g − k
mv2
⇒ t =
∫dt =
∫dv
g − k
mv2
=1
g
∫dv
1−(√
k
mgv
)2 (4.4)
Neste ponto usaremos as técnicas da trigonometria hiperbólica. Sabemos que
cosh2 θ − sinh2 θ = 1 ⇒ 1− tanh2 θ = sech 2θ (4.5)
ed
dθ(tanh θ) = sech2θ (4.6)
Fazendo √k
mgv = tanh θ ⇒ dv =
√mg
ksech2θdθ (4.7)
usando a expressão (4.6). Substituindo (4.7) na expressão (4.4), temos
t =1
g
∫ √mg
ksech2θdθ
1− tanh2 θ=
√m
gk
∫dθ
pela expressão (4.5). Logo,
t =
√m
gkarctanh
(√k
mgv
)+ C (4.8)
27
Funções Hiperbólicas com Aplicações Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino
Para t = 0, v(0) = v0, de modo que
C = −√
m
gkarctanh
(√k
mgv0
)(4.9)
Substituindo (4.9) em (4.8) e invertendo a função, obtemos a velocidade do pára-quedas em
qualquer instante t, ou seja,
v(t) =
√mg
ktanh
[√gtk
m+ arctanh
(√k
mgv0
)](4.10)
Um outro modo de escrever a expressão (4.10) é usar a fórmula da tangente hiperbólica da
soma, isto é,
tanh(x+ y) =sinh(x+ y)
cosh(x+ y)=
tanhx+ tanh y
1 + tanhx tanh y
Assim,
v(t) =
√mg
k
[ tanh
(√gtk
m
)+
√k
mgv0
1 + tanh
(√gtk
m
)√k
mgv0
]
Quando t → ∞, tanh(αt) → 1. Logo,
limt→∞
v(t) =
√mg
k
[1 +√k
mgv0
1 +
√k
mgv0
]=
√mg
k= v
o que mostra realmente que a velocidade instantânea atinge um limite. Em termos práticos, a
velocidade terminal é atingida poucos segundos após a abertura do pára-quedas.
4.2 Triângulos Obtusângulos Sobre a Hipérbole Equilátera
Sejam P (x1, y1), Q(x2, y2) e R(x3, y3) três pontos sobre um mesmo ramo da hipérbole equi-
látera x2 − y2 = a2, sendo a > 0. Mostraremos que o triângulo PQR é obtusângulo. Sem
perda de generalidade, suponhamos que estes pontos estão sobre o ramo direito da hipérbole
conforme a �gura abaixo.
Observe que a hiperbóle x2 − y2 = a2 pode ser parametrizada através das funções seno e
cosseno hiperbólico, isto é, r(t) = (a cosh t, a sinh t). Como os pontos estão sobre o ramo dire-
ito da hipérbole, então t ≥ 0. Desta parametrização, podemos escrever P (a cosh t1, a sinh t1),
Q(a cosh t2, a sinh t2) e R(a cosh t3, a sinh t3). Como os pontos são distintos, podemos supor
que os pontos P e Q estejam no 1◦ quadrante e que o ponto R(x3, y3) no 4◦ quadrante.
Considere os vetores−−→QP e
−−→QR dados por
−−→QP = P −Q = a(cosh t1 − cosh t2, sinh t1 − sinh t2)
28
Funções Hiperbólicas com Aplicações Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino
e−−→QR = R−Q = a(cosh t3 − cosh t2, sinh t3 − sinh t2)
Usando o produto escalar, temos
−−→QP · −−→QR = a2[(cosh t1 − cosh t2)(cosh t3 − cosh t2) + (sinh t1 − sinh t2)(sinh t3 − sinh t2)]
(4.11)
Por outro lado, sabemos que
coshA− coshB = 2 sinh
(A+B
2
)sinh
(A−B
2
)(4.12)
e que
sinhA− sinhB = 2 cosh
(A+B
2
)sinh
(A−B
2
)(4.13)
Substituindo as expressões (4.12) e (4.13) em (4.11), segue que
−−→QP ·
−−→QR = 4a2 sinh
(t1 + t2
2
)sinh
(t2 + t3
2
)sinh
(t1 − t2
2
)sinh
(t3 − t2
2
)+ 4a2 cosh
(t1 + t2
2
)cosh
(t2 + t3
2
)sinh
(t1 − t2
2
)sinh
(t3 − t2
2
)= 4a2 sinh
(t1 − t2
2
)sinh
(t3 − t2
2
)[sinh
(t1 + t2
2
)sinh
(t2 + t3
2
)+
cosh
(t1 + t2
2
)cosh
(t2 + t3
2
)]= 4a2 sinh
(t1 − t2
2
)sinh
(t3 − t2
2
)cosh
(t2 +
t1 + t32
)(4.14)
Sendo y3 < 0 ⇒ a sinh t3 < 0 ⇒ t3 < 0, pois a > 0. Sendo Q ∈ 1◦ quadrante, então
y2 > 0 ⇒ a sinh t2 > 0 ⇒ t2 > 0. Assim, t3 − t2 < 0 ⇒ sinh[(t3 − t2)/2] < 0.
Analogamente, sinh[(t1 − t2)/2] > 0, de modo que a expressão (4.14) é negativa, ou seja,
−−→QP · −−→QR < 0 ⇒ θ > 90◦
29
Funções Hiperbólicas com Aplicações Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino
onde θ é o ângulo entre os vetores−−→QP e
−−→QR.
30
Referências Bibliográ�cas
[1] Raughy Michael. The Catenary and Hiperbolic Functions. 2009.
[2] Bronshtein, I. N. et al. Handbook of Mathematics. 5a ed. 2005.
[3] Anton, H. Cálculo Um Novo Horizonte. 6a ed. Vol. 1. Porto Alegre, 2000.
[4] Oliveira Pauletti, Ruy Marcelo. Sobre Cabos e Cordas, USP. São Paulo.
[5] Figueiredo, Djairo Guedes de, Neves, Aloisio Freiria. Equações Diferenciais Aplicadas. Rio
de Janeiro, 1997.
[6] Bassanezi, Rodney Carlos e Ferreira Jr., Wilson Castro. Equações Diferenciais com Apli-
cações. Ed. Harbra, São Paulo, 1988.
32