Las funciones trigonomtricas circulares e hiperblicas:

Las funciones trigonomtricas circulares e hiperblicas:Denominamos funciones trigonomtricas circulares a aquellas funciones trigonomtricas referenciadas en la circunferencia.

Las funciones trigonomtricas construidas con referencia en la hiprbola se denominan funciones hiperblicas.

Por simplicidad, y puesto que lo permite el Teorema de Thales, usamos la circunferencia trigonomtrica (de radio unidad) para el estudio de las funciones circulares, lo mismo que podramos usar la hiprbola equiltera de parmetro unidad para el estudio de las funciones hiperblicas.

0.2. Circunferencia trigonomtrica: Para un punto cualquiera (x,y) se verifica, cualquiera que sea el radio r de la circunferencia, que son constantes las razones x/r, y/r, en virtud del Teorema de Thales. Por lo cual, y por simplicidad, podemos utilizar, en el estudio de las funciones circulares, la circunferencia en la que r = 1, es decir, la que llamaremos circunferencia trigonomtrica, de radio unid. ad

. La definicin de las funciones circulares

. Definicin:

Que llamaremos:

sen a : seno circular del ngulo a, o, simplemente, seno de a Funcin seno: f(x)= senx

cos a : coseno circular del ngulo a, o, simplemente, coseno de a Funcin coseno: f(x)= cosx

tg a : tangente circular del ngulo a, o, simplemente, tangente de a Funcin tangente: f(x)= tgx

ctg a : cotangente circular del ngulo a, o, simplemente, cotangente de a Funcin cotangente: f(x)= ctgx (inversa de la tangente)

sec a : secante circular del ngulo a, o, simplemente, secante de a Funcin secante: f(x)= secx (inversa del coseno)

cosec a : cosecante circular del ngulo a, o, simplemente, cosecante de a Funcin cosecante: f(x)= cosecx (inversa del seno)

1.2. Relaciones elementales: Del Teorema de Pitgoras en la anterior figura, tenemos:

y de la definicin de las restantes razones:

de la anterior relacin pitagrica:

Tambin pueden expresarse la tangente y la cotangente en funcin de la secante y cosecante:

por tanto:

1.3. Dominios y grficas: 1.3.1. El seno y su inversa: 1.3.1.a. Caractersticas de y = sen x:

Funcin seno: funcin real de variable real Dominio: Dom(sen(x))=R Rango: [-1,1] Paridad: sen x = - sen(-x) [funcin impar]

1.3.1.b. La cosecante:

y= cosec x = 1/sen x Funcin cosecante: Funcin real de variable real: Dominio: Dom(cosec(x))= R- Rango: R - (-1, 1) Paridad: cosec x = -cosec(-x) [funcin impar]

1.3.1.c. Grficas:

1.3.2. El coseno y su inversa: 1.3.2.a. Caractersticas de y = cos x:

Funcin coseno: funcin real de variable real Dominio: Dom(cos(x))=R Rango: [-1,1] Paridad: cos x = cos(-x) [funcin par]

1.3.2.b. La secante:

y= sec x = 1/cos x Funcin secante: Funcin real de variable real: Dominio: Dom (sec(x))=R- Rango: R - (-1, 1) Paridad: sec x = sec(-x) [funcin par]

1.3.2. c. Grficas:

1.3.3. La tangente y su inversa: 1.3.3.a. Caractersticas de y = tg x:

Funcin tangente: funcin real de variable real Dominio: Dom(tg(x))=R- Rango: R Paridad: tg x = - tg(-x) [funcin impar]

1.3.3.b. La cotangente:

y= ctg x = 1/tg x Funcin cotangente: Funcin real de variable real: Dominio: Dom(ctg(x))= Rango: R Paridad: ctg x = - ctg(-x) [funcin impar]

1.3.3.c. Grficas:

2. Frmulas de la suma y diferencia de argumentos

Es fcil obtener las razones trigonomtricas circulares del ngulo suma y diferencia de otros dos ngulos a + b y a - b.

Si, en la figura, consideramos los vectores perpendiculares y :

Podemos expresar con respecto a ellos el vector

[1.1]

O sea:

[1.2]

Identificando ahora las igualdades [1.1] y [1.2] aparecen:

Por tanto:

Tambin, sustituyendo la b por -b en las relaciones obtenidas:

Para las restantes razones de los ngulos suma y diferencia pueden obtenerse a partir de las anteriores diferentes expresiones, en funcin de las tangentes, cotangentes, secantes o cosecantes de ambos ngulos. Veamos algunos ejemplos:

3. Factorizaciones

A partir de las razones de los ngulos suma y diferencia pueden obtenerse frmulas que conviertan sumas y diferencia de senos o cosenos en productos, es decir, que nos permitan factorizar sumas y diferencias.

Llamando a + b = A y a - b = B, se tiene:

Entonces:

en definitiva se tiene para la factorizacin de suma y diferencia de senos o de cosenos:

Con las restantes razones circulares se acta de forma anloga. En el caso de la tangente, por ejemplo, se tiene:

4. Derivadas:

Podemos obtener, con las relaciones de factorizacin de sumas y diferencias, de forma sencilla, las funciones derivadas de las funciones circulares desde la definicin de derivada:

Derivada del seno:

Derivada del coseno:

Se tienen, en definitiva, las derivadas

Las derivadas de las restantes funciones circulares se obtienen usando las reglas elementales de derivacin. Veamos el caso de la derivada de la tangente:

. Expresiones exponenciales:

Si consideramos los desarrollos en serie de Taylor del seno y del coseno, as como el desarrollo de la exponencial eix, se tiene:

Desarrollo en serie de Taylor de las funciones seno y coseno, en un entorno del origen:

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INCLUDEPICTURE "http://personales.ya.com/casanchi/mat/espacio.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://personales.ya.com/casanchi/mat/fcircular34.gif" \* MERGEFORMATINET Por otra parte el desarrollo en serie, tambin en un entorno del origen, de la exponencial ex es:

Por lo que la exponencial eix es:

Por lo cual se puede escribir:

(Frmula de Euler)

Tambin se tiene, cambiando el signo a x:

De lo cual se obtiene una expresin exponencial para el seno y el coseno:

6. Relaciones entre las funciones circulares y las hiperblicas:

De ser:

Se tiene:

Del mismo modo se obtienen tambin relaciones del tipo: