funcion logistica atractor smale 1

LA FUNCIÓN LOGÍSTICAY EL ATRACTOR DE LAHERRADURA DE SMALE

José Santiago García Cremadesy Francisco Balibrea Gallego

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Resumen.¿Hay orden en el caos? ¿Las estructuras caóticas siguen algún tipo de

patrón? La teoría del caos es una de las materias más estudiadas desde elsiglo XX, que aspira a entender no sólo estructuras geométricas y topológicasmuy concretas (como los fractales y los continuos indescomponibles), sino quees ya usada para intentar augurar seísmos, huracanes, la caída de la Bolsa,o distintos fenómenos aparentemente impredecibles pero que se comportancomo estructuras deterministas. La Teoría del Caos forma parte de la materiade Sistemas Dinámicos, en donde con dos ejemplos, la función logística y laherradura de Smale, mostramos comportamientos caóticos similares pero conunas particularidades difíciles de hallar. Hemos comenzado con la importantetarea de tener presente la Historia de la materia a tratar antes de entraren lleno con definiciones y resultados previos, útiles para dar sentido a laspropiedades a demostrar. En el segundo capítulo, estudiamos la dinámica dela ecuación logística en función del parámetro y encontramos un conjuntode Cantor y un comportamiento caótico en sentido de Devaney para r > 4,que es el resultado más relevante del capítulo. En el tercer capítulo, hemostratado la función bidimensional llamada la Herradura de Smale y estudiamostambién su dinámica. Como en la función logística, encontramos un sistemadinámico caótico y dos conjuntos de Cantor, aunque éste no va a ser elresultado a tratar y no lo demostraremos. En este caso, nos interesa llegar aun terreno más propio de la Topología: los continuos. Hemos hecho un granesfuerzo para andar en terrenos que están a caballo entre la Geometría, laTopología y el Análisis. Nuestro fin es llegar a entender el atractor de dichafunción, que es un continuo indescomponible.

Índice general

1. Historia. Definiciones y resultados previos. 51.1. Un poco de historia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Sistemas dinámicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Conjuntos de Cantor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Caos en sentido Devaney. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. La función logística. 152.1. Dinámica de la función logística . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. La función logística cuando r > 4. . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3. La función logística si 4 < r ≤ 2 +

√5. . . . . . . . . . . . . . 25

3. Herradura de Smale. 313.1. Construcción y dinámica de la Herradura de Smale. . . . . . . 313.2. El atractor de la Herradura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3. Diagrama conmutativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4. El límite inverso es un continuo indescomponible. . . . . . . . 413.5. El atractor de la Herradura es un continuo indescomponible. . 43

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4 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Historia. Definiciones y resultadosprevios.

1.1. Un poco de historia.

Caos existió antes que todos y enseguida Gea la de anchas espal-das, asiento seguro y permanente de los inmortales. De él nacieronel Erebo y la Noche que al unirse dieron vida al Éter y a Hémera.

Mitología griega.

En la Física matemática y en la matemática, el concepto de sistemadinámico nace de la exigencia de construir un modelo general de todos lossistemas que evolucionan según una regla que conecta el estado presente enlos estados pasados.

El primer problema que se plantea sobre Sistemas Dinámicos data delsiglo XII y se debe al matemático Leonardo de PisaFibonacci. En el margende su libro Liber Abacci publicó un problema que conocido como "problemade los conejos" que más que un problema parece un acertijo de matemáticasrecreativas. El problema en lenguaje actual diría:Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir deese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras serfértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habráal cabo de un determinado número de meses?.

Los primeros logros de la teoría de los Sistemas Dinámicos pueden seridentificados ya el siglo XVI, en los trabajos de mecánica celeste escritospor Johannes Kepler. Las contribuciones de Isaac Newton a la matemática através de la formalización de la mecánica clásica abrieron espacio para una

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6CAPÍTULO 1. HISTORIA. DEFINICIONES Y RESULTADOS PREVIOS.

sofisticación creciente del aparato matemático que modela fenómenos mecáni-cos, culminando en los trabajos de Lagrange y Hamilton, que definieron lateoría de la mecánica clásica en un contexto matemático, que esencialmentees el mismo estudiado hasta hoy.

El matemático francés Henri Poincaré es considerado uno de los creadoresde la teoría moderna de los sistemas dinámicos, habiendo introducido mu-chos de los aspectos del estudio cualitativo de las ecuaciones diferenciales quepermitieron estudiar propiedades asintóticas de las soluciones (o de la mayorparte de las soluciones) de una ecuación diferencial, como estabilidad y pe-riodicidad, sin ser necesario resolver explícitamente la ecuación diferencial.Tal abordaje puede ser encontrado en su obra-prima Les méthodes nouvellesde la mécanique céleste, publicada en tres volúmenes entre 1892 y 1899. Seconsidera que el primer libro publicado en el área de sistemas dinámicos es laobra Dynamical Systems, escritura por el matemático estadounidense GeorgeBirkhoff, y publicada en 1927.

A comienzos de la década de los años mil novecientos sesenta, matemáti-cos de la talla de Stephen Smale, un afamado topologista, creían que el caosno existía. Para esa época, confiesa Smale, recibió una carta de un matemáticodel M.I.T. llamado Norman Levinson, coautor del texto principal para grad-uados, de ecuaciones diferenciales ordinarias, en la cual, Levinson, le escribíaun reciente resultado de su trabajo el cual contenía un contraejemplo a esaconjetura.

Smale trabajó duramente, para tratar de resolver el reto que la carta im-ponía a sus creencias. Tuvo que traducir los argumentos analíticos de Levin-son a su propia forma geométrica de pensamiento. Al menos en mi caso,confiesa, la comprensión de las matemáticas no se obtiene de lo que se leeo se escucha. Proviene del replanteamiento de lo leído o escuchado. Tengoque reconstruir las matemáticas en el contexto de mi particular experienciay esa experiencia consiste de muchos hilos: algunos fuertes y otros débiles.Mi experiencia es más fuerte en el análisis geométrico, pero me enredo en elseguimiento de una maraña fórmulas. Yo tiendo ser un poco más lento quela mayoría de los matemáticos, para comprender un argumento. La literatu-ra matemática puede ser útil para proveer indicios y, a menudo, uno puedeasociar estos indicios para lograr un cuadro eficiente. Yo sentiré que tengouna comprensión del asunto cuando haya logrado reorganizar las matemáti-cas que lo expresan, en mis propios términos, no antes. Finalmente, Smalese convenció de que Levinson estaba en lo correcto y que su conjetura eraerrada.

La herradura de Smale, cuyas propiedades trataremos a lo largo de estetrabajo, es una consecuencia natural de una forma geométrica de considerara las ecuaciones de Cartwright-Littlewood y Levinson. Esta geometrización

1.2. SISTEMAS DINÁMICOS. 7

provee una comprensión de los mecanismos del caos y un vínculo causal conla extendida impredecibilidad en la dinámica.

Años después el científico Robert May encontró ejemplos de caos endinámica de poblaciones usando la función logística discreta. A continuaciónllegó el más sorprendente descubrimiento de todos de la mano de Feigen-baum. Él descubrió que hay un conjunto de leyes universales concretas quediferencian la transición entre el comportamiento regular y el caos. Por tan-to es posible que dos sistemas evolucionen hacia un comportamiento caóticoigual.

El caos es un fenómeno de la dinámica y la dinámica es la evolución conrespecto al tiempo, de un conjunto de estados de la naturaleza.

1.2. Sistemas dinámicos.

Sea X el espacio topológico y d una distancia definida por:

d : X ×X → R

y con las propiedades siguientes:

1. Definida positiva

d (x, y) ≥ 0 y d (x, y) = 0⇔ x = y, ∀x, y ∈ X.

2. Simétricad (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X.

3. Desigualdad triangular

d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X.

Luego (X, d) es un espacio métrico, siendo d la métrica.Sea f : X → X una función continua y Φ, una función que llamamos

flujo del sistema, se define por:

Φ : N×X −→ X(n, x) 7−→ Φ (n, x) = fn (x) .

Es inmediato que se cumplen las propiedades:

1. Φ (0, x) = x para todo x ∈ X.


2. Propiedad del determinismoΦ (n, fm (x)) = fn (fm (x)) = fn+m (x) = Φ (m, fn (x)).

A la dupla (X, f) se le llama Sistema Dinámico Discreto.

Definición 1.2.1 Llamamos órbita hacia delante de f en x ∈ X a la suce-sión:

x, f (x) , f (f (x)) , ..., fn (x) , ... .

Es decir,Orbf (x) = (fn (x))∞n=0 .

Se entiende por dinámica conocer el comportamiento de todas las órbitas detodos los puntos de X.

Vamos a tomar algunas definiciones para algunos puntos que tienen ór-bitas particulares.

Definición 1.2.2 Sea (X, f) un sistema dinámico discreto.Llamamos período de la órbita de x por f (también diremos período del puntox por f) al número natural n más pequeño que cumple

fn (x) = x, y f j (x) 6= x para todo 0 < j < n.

Diremos que x es un punto periódico de período n (más concretamente, deprimer período n).Decimos que x es un punto fijo de f si es un punto periódico de período 1,es decir,

f (x) = x.

Definición 1.2.3 Llamaremos a x punto eventualmente periódico de perío-do k ∈ N, si existe N ∈ N tal que

fn+k (x) = fn (x) ,∀n ≥ N.

Decimos que x es un punto eventualmente fijo si es eventualmente periódode período 1, es decir, existe N ∈ N tal que

fn+1 (x) = fn (x) ,∀n ≥ N.

Es evidente que la periodicidad implica la periodicidad eventual.

1.2. SISTEMAS DINÁMICOS. 9

Definición 1.2.4 Sea f ∈ C1 (X), definimos dos tipos de puntos.Se dice que x ∈ X es un punto atractor de la función f cuando se cumpleque ∣∣∣f ′ (x)

∣∣∣ < 1.

Igualmente, se dice que x ∈ X es un punto repulsor de la función f cuandose cumple que ∣∣∣f ′ (x)

∣∣∣ > 1.

Definición 1.2.5 Sea p un punto de X, llamamos conjunto estable de p alconjunto definido de la siguiente forma

Ws (p) =x ∈ X : lım

n→∞d [fn (x) , p] = 0

.

Diremos lo mismo con el conjunto estable de un subconjunto J ⊂ X

Ws (J) =x ∈ X : lım

n→∞d [fn (x) , J ] = 0

.

Además, durante nuestro trabajo, utilizaremos algunos resultados impor-tantes que describimos a continuación.

Definición 1.2.6 Se dice que la función f es contractiva si existe K < 1tal que

d (f (x) , f (y)) ≤ Kd (x, y) para cualesquiera x, y ∈ X.

Teorema 1.2.1 (Teorema del Valor Intermedio) Sea f una función con-tinua en un intervalo [a, b] y supongamos que f(a) < f(b) (si f(a) > f(b)se demuestra análogamente). Entonces para cada u tal que f(a) < u < f(b),existe un c ∈ (a, b) tal que f(c) = u.

Demostración. Para demostrarlo, suponemos que f(a) < u y f(b) > u.Tomamos un conjunto K, que contiene todos los puntos x del intervalo [a, b]que verifican que f(x) ≤ u. (K es distinto de vacío, ya que f(a) < u).

K = x ∈ [a, b] : f(x) ≤ u .

Ese conjunto tiene un supremo c, que verifica que c ≥ f(x) para todo xperteneciente a K.f(c) < u o f(c) = u, por definición de K.

Si f(c) < 0, hay un intervalo (c− ε, c+ ε), con ε > 0 en el que f < u, porlo que podrían haber f(x) < u para algún x > c. Esto no puede pasar, porque


c es cota superior del conjunto K, que tiene todos los valores donde f(x) < u.

Por esto, el mayor no puede ser un c tal que f(c) < u, así que f(c) = u.

Teorema 1.2.2 (Teorema del punto fijo de Banach) Sea (X, d) un es-pacio métrico completo y sea f : X → X una aplicación contractiva en X.Entonces existe un único punto fijo de f .

Demostración. La demostración se sigue de que la sucesión así definida esuna sucesión de Cauchy por ser la función contractiva.Como X es completo converge a un x0 de X.Por ser la función contractiva, es continua y de la forma en que se ha definido,se sigue que x0 es un punto fijo de la función y que es único.

Aunque el conocido Teorema de Sharkovskii (1964) es más trascendente ycontiene al Teorema de Li-Yorke (1974), vamos a enunciar únicamente esteúltimo que es el que hemos utilizado ocasionalmente a lo largo de nuestrotrabajo.

Teorema 1.2.3 (Teorema de Li-Yorke) Sea f : R→ R una función con-tinua. Si f tiene un punto periódico de primer período 3, entonces tiene ór-bitas periódicas de todos los primeros períodos.

Demostración. Una demostración detallada se encuentra en [LI-Y].

1.3. Conjuntos de Cantor.Definición 1.3.1 Un conjunto no vacío Ω ⊂ R es llamado conjunto deCantor si cumple estas tres propiedades:

1. Ω es compacto (todo recubrimiento abierto tiene un subrecubrimientofinito).

2. Ω no contiene intervalos, es decir que las componentes conexas entrepuntos son los propios puntos.Los conjuntos que cumplen esto los llamamos totalmente desconectados.

3. Ω no tiene puntos aislados, o lo que es lo mismo, todos los puntos sonde acumulación.A estos conjuntos les llamamos conjuntos perfectos.

1.4. CAOS EN SENTIDO DEVANEY. 11

Ejemplo 1 El conjunto ternario de Cantor, llamado así por ser introducidopor Georg Cantor en 1883, es un destacado subconjunto fractal del intervaloreal [0, 1], que admite dos definiciones equivalentes:

la definición numérica: es el conjunto de todos los puntos del intervaloreal [0, 1] que admiten una expresión en base 3 que no utilice el dígito1.

la definición geométrica, de carácter recursivo, que elimina en cada pasoel segmento abierto correspondiente al tercio central de cada intervalo.

En general, podemos construir una infinitud de conjuntos homeomorfos alconjunto ternario de Cantor, y por tanto también son conjuntos de Cantor,quitando el intervalo abierto central de longitud α en lugar de 1/3, con 0 <α < 1.

1.4. Caos en sentido Devaney.Los sistemas dinámicos discretos caóticos han recibido una gran aten-

ción en los últimos años, aunque no existe una definición matemática univer-salmente aceptada de caos. Vamos a adoptar la definición de caos introducidapor Devaney en 1986, lo llamaremos Caos en sentido Devaney.

Devaney aísla tres principios fundamentales de este comportamiento. SeaX un espacio métrico y f : X → X una aplicación continua. Sea Λ ⊂ Xun conjunto invariante por f , es decir, f (Λ) ⊂ Λ. Decimos que el sistemadinámico (X, f) es caótico en Λ si cumple estas tres condiciones:

1. f es topológicamente transitiva en Λ; es decir, si para cualesquiera dosabiertos no vacíos U, V ⊂ Λ, existe n ∈ N tal que

fn (U) ∩ V 6= ∅.

Equivalentemente, f es topológicamente transitiva en Λ si para cadapar de puntos x e y de Λ y cada ε > 0, existe z ∈ Λ tal que

|z − x| < ε y |fn (z)− y| < ε

para cada n ∈ N.


2. Los puntos periódicos forman un conjunto denso en Λ. Devaney de-nomina a esta condición, condición de regularidad del sistema.

3. f tiene en Λ dependencia sensible a las condiciones iniciales. f verificaen Λ tal propiedad si existe un número positivo δ > 0 (condición desensibilidad) tal que para cada x ∈ Λ y cada entorno de x en Λ, U (x),existe un punto y ∈ U (x) y un n tal que

d (fn (x) , fn (y)) > δ.

Esta propiedad refleja la idea de que pequeños errores en la lectura delos puntos x e y provocan divergencias a largo plazo. La dependenciasensible a las condiciones iniciales constituye la idea central del caos.

Como un primer análisis de esta definición vamos a ver que la dependenciasensible a las condiciones iniciales es una condición redundante si se verificanlas condiciones (1) y (2).

Teorema 1.4.1 Sea (X, f) un sistema dinámico topológicamente transitivoen el conjunto invariante Λ ⊂ X y cuyos puntos periódicos sean densos enΛ. Entonces f tiene sensibilidad a las condiciones iniciales en Λ.

Demostración. Primero observemos que existe un número δ0 > 0 tal quepara cada x ∈ Λ existe un punto periódico q ∈ Λ cuya órbita Orbf (q) está auna distancia como mínimo δ0/2 de x.

Elijamos dos puntos periódicos arbitrarios q1 y q2 con órbitas disjuntasOrbf (q1) y Orbf (q2) y denotemos con δ0 la distancia entre las citadas órbitas.Usando la desigualdad triangular cada punto x ∈ Λ está como mínimo a unadistancia δ0/2 de una de las órbitas periódicas elegidas.

Vamos a demostrar que f tiene dependencia sensible a las condicionesiniciales con constante de sensibilidad δ = δ0/8.

Sea x ∈ Λ un punto arbitrario y U (x) un entorno de x. Como los puntosperiódicos de f son densos en Λ existirá un punto periódico P en A =U (x) ∩Bδ (x) donde con Bδ (x) denotamos la bola de radio δ y centro x.

Denotemos por n el período de P . Existe un punto periódico q ∈ Λ cuyaórbita Orbf (q) está a la distancia como mínimo 4δ de x. Ponemos ahora

V =n⋂i=0

f i(Bδ

(f i (q)

)).

Claramente V es abierto y no vacío ya que q ∈ V . Como consecuencia, y yaque f es transitiva, existe y ∈ A y un entero positivo k tal que fk (y) ∈ V .

1.4. CAOS EN SENTIDO DEVANEY. 13

Sea j la parte entera de kn

+ 1. Entonces será 1 ≤ nj − k ≤ n.Por construcción tenemos:

fnj (y) = fnj−k(fk (y)

)∈ fnj−k (V ) ⊆ Bδ

(fnj−k (q)

).

Ahora es fnj (P ) = P y aplicando la desigualdad triangular es

d (fnj (P ) , fnj (y)) = d (P, fnj (y))≥ d

(x, fnj−k (q)

)− d

(fnj−k (q) , fnj (y)

)− d (P, x) ,

Como consecuencia y ya que P ∈ Bδ (x) y fnj (y) ∈ Bδ

(fnj−k (q)

)ten-

emosd(fnj (P ) , fnj (y)

)> 4δ − δ − δ = 2δ.

Usando de nuevo la desigualdad triangular, es o bien

d(fnj (x) , fnj (y)

)> δ,

o biend(fnj (x) , fnj (P )

)> δ.

En cualquier caso hemos determinado un punto en U cuya nj-ésima iteradaestá a una distancia mayor que δ de fnj (x), que es lo queríamos demostrar.

Vamos a enunciar el siguiente lema que no vamos a demostrar.

Lema 1 Sea J ⊂ R un intervalo no necesariamente acotado y f : J → Jcontinua. Si J0 ⊂ J es un intervalo que no contiene ningún punto periódicode f y z, fm (z) y fn (z) ∈ J0 con 0 < m,n, entonces se verifica que, obienz < fm (z) < fn (z), o bien z > fm (z) > fn (z).

Teorema 1.4.2 Sea J ⊂ R un intervalo no necesariamente acotado y

f : J → J

una función continua y topológicamente transitiva en J . Entonces los puntosperiódicos de f son densos en J .

Demostración. Supongamos que los puntos periódicos de f no son densosen J .

Existe un intervalo J0 ⊂ J que no contiene puntos periódicos.Sea x ∈ J0 un punto que no sea un punto de los extremos del intervalo, unentorno de x, U (x) ⊂ J0 y un intervalo abierto E ⊂ J0 − U (x).


Como f es topológicamente transitiva en J , existe un número m > 0 talque

fm (U (x)) ∩ E 6= ∅

y un y ∈ J0 tal que fm (y) ∈ E ⊂ J0. Como J0 no contiene puntos periódicosentonces y 6= fm (y) y siendo f continua, esto significa que podemos encontrarun entorno V (y) verificando

fm (V (y)) ∩ V (y) = ∅.

Como V (y) es abierto, entonces existe un n > m y z ∈ V (y) con fn (z) ∈V (y).

Pero entonces tenemos 0 < m < n y z tal que fn (z) ∈ V (y), mientrasque fm (z) /∈ V (y) y esto contradice el lema anterior.

Como conclusión, en J son equivalentes las siguientes propiedades:

1. f es caótica en sentido Devaney.

2. f es topológicamente transitiva.

Capítulo 2

La función logística.

2.1. Dinámica de la función logísticaAl igual que Lorenz con la meteorología, los ecólogos analizaron la repro-

ducción de una ciertas especies y observaron que la densidad de poblaciónde un año al siguiente se ajustaba notablemente a un tipo de función quellamamos función logística.

fr : [0, 1]→ [0, 1]

fr (x) = rx (x− 1) , con 0 ≤ r ≤ 4

La forma en que se modifica la dinámica de fr según se va incrementando res realmente curiosa, y ya había despertado el interés matemático hace variasdécadas.Aunque nos centramos en el estudio de la función en el cuadrado [0, 1]× [0, 1],podremos referirnos en ocasiones a ella fuera de este conjunto.Vamos a describir paso a paso el comportamiento de esta función cuandor ∈ [0, 4].

fr es continua para todo r.

Puntos fijos: x = 0 y x = r−1r, para todo r:

fr (0) = 0, fr

(r − 1

r

)= r

(r − 1

r

)(1−

(r − 1

r

))=r − 1

r.

Puntos eventualmente fijos: 1 y 1r, para todo r:

fr (1) = 0, fr (0) = 0

15

16 CAPÍTULO 2. LA FUNCIÓN LOGÍSTICA.

fr

(1

r

)= r

(1

r

)(1− 1

r

)=r − 1

r, fr

(r − 1

r

)=r − 1

r.

Sea pr = r−1r

y llamaremos, por abuso de lenguaje, 0 al punto (0, 0).

1. Si r = 0, entonces fr(x) = 0.

2. Cuando 0 < r < 1:

Tenemos f ′r (x) = r (1− 2x), pr < 0 y 1r> 1.

|f ′r (0)| = |r| < 1, es decir, 0 es un punto atractor. Como |r (1− 2pr)| =|−r + 2| > 1, luego pr es un punto repulsor.Gráficamente, observamos los conjuntos estables siguientes:

Ws (0) =

(pr,

1

r

)y Ws (∞) = (−∞, pr) ∪

(1

r,+∞

).

En términos biológicos, que la dinámica de fr converge a 0, se traducecomo que la densidad de la especie estudiada está condenada a suextinción.

3. Si r = 1, f1 (x) = x− x2:Aquí, el único punto fijo es 0 y no es ni atractor ni repulsor, ya que|f ′r (0)| = 1.El conjunto estable de 0 es [0, 1] y, en general, establecemos:

si r ≥ 1,Ws (∞) = (−∞, 0) ∪ (1,+∞) .

Aquí tenemos la misma circunstancia anterior y la especie seguiría con-denada a extinguirse.

En r = 1 encontramos un punto de bifurcación desde cero, en el sentidoque cuando r > 1 obtenemos pr = r−1

r> 0 y además pr → 0 cuando

r → 1.

4. Cuando 1 < r < 3:|f ′r (0)| = |r| > 1, luego 0 es un punto repulsor. Tenemos pr ∈ (0, 1),|r (1− 2pr)| = |−r + 2| < 1, por tanto el punto pr es atractor.Y gráficamente deducimos:

Ws (0) = 0, 1 , y Ws (pr) = (0, 1) .

Se puede interpretar como que la densidad de la población de la especieestudiada se estabilizaría con el tiempo.

2.1. DINÁMICA DE LA FUNCIÓN LOGÍSTICA 17

Figura 2.1: r = 2

5. Si r = 3:Tenemos igualmente que p3 = 2

3es un punto atractor y 0 es repulsor.

Además los conjuntos estables siguen siendo

Ws (0) = 0, 1 , y Ws (p3) = (0, 1) .

Si r = 3 entonces p3 es un nuevo punto de bifurcación y f ′3 (p3) = −1.Como veremos, se produce la ramificación de una órbita de períododos, y por eso esta bifurcación se denomina bifurcación de duplicaciónde período.

6. Cuando 3 < r < 1 +√

6:Los puntos 0 y pr son repulsores, y el conjunto estable de 0 son única-mente los puntos 0 y 1.Aquí encontramos puntos periódicos de período 2i en cada f ir, veamosen la segunda iteración:

f 2r (x) = r2x (1− x) [1− rx (1− x)] = x.

Tiene 4 soluciones: 0, pr, x1 =1+r−√

(r−3)(r+1)

2ry x2 =

1+r+√

(r−3)(r+1)

2r.

La órbita x1, x2 es de período 2. Además, tenemos que(f 2r

)′(x) = r2 [1− 2rx (1− x)] (1− 2x)


Figura 2.2: r = 3.3

entonces (f 2r

)′(x1) =

(f 2r

)′(x2) = −r2 + 2r + 4

y la órbita x1, x2 es atractora cuando |−r2 + 2r + 4| < 1, es decir,para r ∈

(3, 1 +

√6).

7. Cuando 1 +√

6 ≤ r < a∞:Aquí tenemos otras bifurcaciones en x1 y en x2, ya que:(

f 21+√

6

)′(x1) =

(f 2

1+√

6

)′(x2) = −1.

Además, los puntos 0 y p1+√

6 son repulsores. Se trata de otra bifur-cación de duplicación de período, que se analiza estudiando la cuartaiteración de f . Se produce así la ramificación de una órbita atractorade período cuatro.Vamos ahora a definir una sucesión an de bifurcaciones, aunque no lavamos a tratar en profundidad con el fin de no alargar nuestro trabajo,de tal manera:a0 = 3, a1 = 1 +

√6.

3 = a0 < a1 < a2 < ... < an < ... < a∞, siendo a∞ = lımn→∞ an.La sucesión an es estrictamente creciente y acotada, donde para cadan, an presenta una bifurcación en la que ramifican órbitas atractorasde período 2n, pasando a ser repulsoras las de período 2n−1. Además,tenemos que:

a∞ = lımn→∞

an ≈ 3.57.

2.1. DINÁMICA DE LA FUNCIÓN LOGÍSTICA 19

Figura 2.3: r = 3.57

Figura 2.4: r = 3.9, 300 iteraciones


8. r ∈ (a∞, 4]:Existe una órbita de período 3 y, por el Teorema de Li-Yorke, podemosdecir que existen órbitas de todos los períodos.

Figura 2.5: Diagrama de bifurcación.

2.2. La función logística cuando r > 4.Ya que las imágenes por fr de muchos puntos escapan del intervalo [0, 1]

cuando r > 4, en lo que sigue, consideraremos que fr está definida de [0, 1]en R.Supongamos que r > 4 y fr (x) = rx (1− x). Aquí tendríamos que fr

(12

)> 1

y su órbita se iría asintóticamente hacia el infinito. fr (0) = 0 y fr (1) = 0.Entonces, por el Teorme del valor intermedio, existen x0, x1 tal que:

x0 ∈[0, 1

2

]⇒ fr (x0) = 1,

f 2r (x0) = 0.

x1 ∈[

12, 1]⇒ fr (x1) = 1,

f 2r (x1) = 0.

Además, como fr es monótona en[0, 1

2

]y[

12, 1], x0 y x1 son los únicos que

cumplen estas propiedades.Como las órbitas de los puntos que salen de [0, 1] se van a −∞, vamos adefinir el conjunto:

Γn = x : fnr (x) ∈ [0, 1] .

Queremos estudiar el conjunto Γ =⋂∞n=1 Γn. Vamos a describir este conjunto

y para ello enunciemos esta proposición.

2.2. LA FUNCIÓN LOGÍSTICA CUANDO R > 4. 21

Proposición 2.2.1 Si fr (x) = rx (1− x) con r > 4, entonces se cumplen:

i. El conjunto real de [0, 1] que cumple que fr (x) > 1 es(1

2−√r2 − 4r

2r,1

2+

√r2 − 4r

2r

)luego,

Γ1 =

[0,

1

2−√r2 − 4r

2r

]∪[

1

2+

√r2 − 4r

2r, 1

].

ii. Γn tiene 2n intervalos disjuntos cerrados para todo n ∈ N.

iii. Si J es uno de los intervalos en Γn, luego

fnr : J → [0, 1]

es una biyección.

Demostración. fr (x) ∈ [0, 1]⇒ x ∈ [0, 1]⇒ Γn ⊂ [0, 1].

i. Resolviendo fr (x) = 1, obtenemos 12±√r2−4r2r

.El conjunto Γ1 se deduce trivialmente.

Γ1 =

[0,

1

2−√r2 − 4r

2r

]∪[

1

2+

√r2 − 4r

2r, 1

].

ii. y iii. Lo demostramos por inducción.

Para n = 1Γ1 tiene 2 intervalos cerrados y disjuntos.fr (0) = fr (1) = 0, fr

(12±√r2−4r2r

)= 1, así que por continuidad y

por el Teorema del valor intermedio, fr|J : J → [0, 1] es sobreyec-tiva.Falta ver que es inyectiva. f ′r (x) = r (1− 2x) y

f ′r (x) > 0 si x < 12.

f ′r (x) < 0 si x > 12.

Por tanto fr es monótona en cada intervalo cerrado, así que fr|Jes inyectiva.


Supongamos cierto para kΓk tiene 2k intervalos cerrados y disjuntos, y si [a, b] es uno de losintervalos, la aplicación

fkr |[a,b] : [a, b]→ [0, 1]

es biyectiva y, o bien(fkr)′

(x) < 0 para todo x ∈ [a, b], o bien(fkr)′

(x) > 0 para todo x ∈ [a, b].Consideremos Γk+1. Es inmediato que Γk+1 ⊂ Γk, la demostraciónla dejamos al lector. Queremos ver qué partes de Γk no están enΓk+1, o lo que es lo mismo, qué partes tienen en común.Sea [a, b] uno de los 2k intervalos de Γk. Vamos a tomar que(fkr)′

(x) > 0 para todo x ∈ [a, b], es decir, que fkr sea estric-tamente creciente en [a, b] (si fuera estrictamente decreciente, lademostración sería análoga). Como fkr es continua y

fkr ([a, b]) = [0, 1] ,

podemos aplicar el Teorema del valor intermedio para ver queexisten dos únicos puntos x2 y x3 tal que:

1. a < x2 < x3 < b,

2. fkr ([a, x2]) =[0, 1

2−√r2−4r2r

],

3. fkr ((x2, x3)) =(

12−√r2−4r2r

, 12

+√r2−4r2r

),

4. fkr ([x3, b]) =[

12

+√r2−4r2r

, 1].

La primera condición implica que los intervalos [a, x2] y [x3, b] sondisjuntos.De las últimas tres deducimos que

fk+1r ([a, x2]) = [0, 1] , fk+1

r (x) > 1

para todo x ∈ (x2, x3), y

fk+1r ([x3, b]) = [0, 1] .

Por tanto, existen dos intervalos cerrados y disjuntos de [a, b] ⊂ Γkque también están en Γk+1: [a, x2] y [x3, b].Además, si x ∈ [a, x2], entonces

fkr (x) ∈[0,

1

2−√r2 − 4r

2r

]y f

′

r

(fkr (x)

)> 0.

2.2. LA FUNCIÓN LOGÍSTICA CUANDO R > 4. 23

Como, por hipótesis de inducción,(fkr)′

(x) > 0, tenemos que:(fk+1r

)′(x) = f

′

r

(fkr (x)

)·(fkr)′

(x) > 0.

Análogamente, se demuestra que(fk+1r

)′(x) < 0 para todo x ∈

[x3, b].Hemos visto que para cada intervalo cerrado y biyectivo a [0, 1]bajo fkr , tenemos dos intervalos cerrados y disjuntos que tambiénson biyectivos a [0, 1] bajo fk+1

r . Por tanto, usando la hipótesis deinducción, el conjunto Γk+1 contiene 2

(2k)

= 2k+1 intervalos cer-rados y disjuntos. Y para cada uno de esos intervalos, por ejemplosea J , hemos demostrado que

fk+1r |J : J → [0, 1]

es sobreyectivo y como(fk+1r

)′ es monótona en J por lo que esinyectiva, y con lo que queda demostrada la proposición.

Vamos a continuar con el estudio de la dinámica de la función logística,en particular del conjunto

Γ =∞⋂n=0

Γn

que queremos probar que se trata de un conjunto de Cantor. En esta secciónlo probaremos cuando r > 2 +

√5, también es cierto para 4 < r ≤ 2 +

√5

pero la demostración requiere un trato más delicado y lo trataremos en lasiguiente sección.

Lema 2 Si r > 2 +√

5 y fr (x) = rx (1− x), entonces existe λ > 1 tal que∣∣f ′r (x)∣∣ > λ cuando x ∈ Γ1. Además, la longitud de cada intervalo de Γn es

menor que(

1λ

)n.Demostración. f ′r (x) = r(1− 2x) y f ′′r (x) = −2r.En[0, 1

2−√r2−4r2r

], la derivada de fr es mayor que

f ′r (x) ≥ r − 1

2+√r2 − 4r.

En[

12

+√r2−4r2r

, 1], la derivada de fr es menor que

f ′r (x) ≤ r − 1

2−√r2 − 4r.


Luego |f ′r| > λ con λ > 1 si x ∈ Γ1. Por el Teorema del valor intermediopodemos deducir la segunda parte del lema.

Teorema 2.2.2 Si r > 2 +√

5, entonces Γ =⋂∞n=0 Γn es un conjunto de

Cantor.

Demostración. Como 0 es punto fijo de fr, 0 ∈ Γ, así que Γ 6= ∅.Para probar que Γ es un conjunto de Cantor, tenemos que demostrar 3propiedades: que es compacto, totalmente desconectado y perfecto.

1. Γ es compacto.Como Γ es la intersección de conjuntos cerrados, por lo tanto es cerrado.Además como está contenido en el intervalo [0, 1], es acotado. Por tanto,Γ es compacto.

2. Γ es totalmente desconectado.Si Γ contiene el intervalo abierto (α, β) con longitud |β − α|, entoncespara n, (α, β) tiene que estar contenido en uno de los intervalos de Γn.Por otra parte, el lema anterior nos dice que existe λ > 1 tal quela longitud de cada intervalo de Γn es menor que

(1λ

)n. Se tomar unn0 ∈ N, tal que |β − α| >

(1λ

)n0 , luego el intervalo (α, β) no puede estarcontenido en Γn0 . Por tanto, Γ no contiene intervalos abiertos.

3. Γ es perfecto, es decir, todo punto de Γ es un punto de acumulación.Suponemos que x es un punto de Γ y sea Nδ (x) = (x− δ, x+ δ) unentorno de x.Veamos que Nδ (x) contiene otro punto de Γ diferente de x.Notemos que si a es un extremo de uno de los intervalos de Γn, a ∈ Γsi fn+1

r (a) = 0. Ahora para cada n, x debe estar contenida en una delos intervalos de Γn, sea el mismo que el de a.Tomamos λ como en el lema anterior y elegimos n para que

(1λ

)n< δ.

Entonces el intervalo de Γn está contenido en el entorno Nδ (x) ya quecada intervalo de Γn es de longitud menor que

(1λ

)n.Por tanto, cada extremo del intervalo está en el entorno Nδ y tenemosun punto diferente de x que pertenece a Γ.

Proposición 2.2.3 Si r > 2 +√

5, entonces fr (x) = rx (1− x) es topológi-camente transitivo en Γ.

2.3. LA FUNCIÓN LOGÍSTICA SI 4 < R ≤ 2 +√

5. 25

Demostración. Sean x, y elementos de Γ y ε > 0.Bastaría con mostrar que |x− z| < ε y que fnr (z) = y para algún n.Por el Lema 2 sabemos que existe λ > 1 tal que la longitud de cualquierintervalo de Γn es menor que

(1λ

)n. Tomamos un n que cumpla(1

λ

)n< ε.

Como x ∈ Γ, por la Proposición 2.1.1., que el intervalo Jn de Γn que contienea x forma una biyección

fnr : Jn → [0, 1] .

Por la elección de n, la longitud de Jn es menor que ε.Si y ∈ [0, 1], existe z ∈ Jn tal que fnr (z) = y. Por lo tanto, z debe estar en Γy hemos encontrado z tal que

|x− z| < ε y fnr (z) = y.

Teorema 2.2.4 La función fr es caótica en el sentido de Devaney en Γ.

Demostración. Por la Proposición 2.1.3 fr es topológicamente transitiva enΓ y en el capítulo 1 hemos demostrado que ésa es condición suficiente paraque sea caótica en sentido de Devaney.

2.3. La función logística si 4 < r ≤ 2 +√5.

Queremos comprobar que el conjunto definido como

Γ =∞⋂n=0

Γn =∞⋂n=0

x : fnr (x) ∈ [0, 1]

siendo fr (x) = rx (1− x), es un conjunto de Cantor también cuando 4 <r ≤ 2 +

√5.

Para ello, necesitamos algunos lemas previos. El siguiente lema demuestrados de las tres propiedades que determinan un conjunto de Cantor.

Lema 3 Si 4 < r ≤ 2 +√

5, entonces Γ es un conjunto compacto y perfecto.


Demostración. Cada Γn es compacto, por tanto Γ es compacto.Para ver que Γ es perfecto, primero notemos que para cada n, cada extremode un intervalo de Γn está en Γ. Sea x uno de esos extremos y sea Jn ∈ Γn elintervalo que contiene el punto x.Si |Jn| → 0 cuando n→∞, entonces x está en la clausura de Γ− x.Por otra parte, si |Jn| no tiende hacia 0 cuando n→∞, entonces

⋂∞n=0 Jn es

un intervalo cerrado y

x ∈∞⋂n=0

Jn ⊂ Γ

luego x también está en la clausura de Γ− x.Por tanto, todo punto de Γ es un punto de acumulación.

Definición 2.3.1 El conjunto Ω está en el dominio de la función g se diceconjunto repulsor hiperbólico si Ω es compacto, g (Ω) = Ω, y existe N > 0tal que

∣∣(gn)′ (x)∣∣ > 1 para todo x ∈ Ω y n ≥ N . Igualmente, el conjunto Ω

está en el dominio de la función g se dice conjunto atractor hiperbólico siΩ es compacto, g (Ω) = Ω, y existe N > 0 tal que

∣∣(gn)′ (x)∣∣ < 1 para todo

x ∈ Ω y n ≥ N .

Definición 2.3.2 El conjunto Ω está en el dominio de la función g se diceconjunto hiperbólico si Ω es compacto, g (Ω) = Ω, y existen C > 0 y λ > 1tal que ∣∣(gn)′ (x)

∣∣ ≥ Cλn

para todo x ∈ Ω y n ≥ 1.

Con 4 < r ≤ 2 +√

5, nos encontramos con que∣∣f ′r (x)

∣∣ > 1 para algúnx ∈ [0, 1] y

∣∣f ′r (x)∣∣ ≤ 1 para otro x ∈ [0, 1]. Esta combinación entre atractor y

repulsor hace que sea más compleja la demostración de que Γ es un conjuntode Cantor para todo r > 4.

Definición 2.3.3 La derivada Shwarziana de una C3-función f en un puntox es

Sf (x) =f′′′

(x)

f ′ (x)− 3

2

(f′′′

(x)

f ′ (x)

)2

con f ′ (x) 6= 0.

Lema 4 La función logística fr (x) = rx (1− x) con r > 0, cumple que:

(1) Sfr (x) < 0∀x ∈ R−(

12

),


5. 27

(2) Sfnr (x) < 0∀n > 1 y ∀x ∈ R−⋃n−1i=0

x ∈ [0, 1] : f ir (x) = 1

2

.

Lema 5 Si g′ (x) 6= 0 y f ′ (g (x)) 6= 0, luego

S (f g) (x) = Sf (g (x)) ·(g′(x))2

+ Sg (x) .

Además, si Sg (x) < 0 y Sf (g (x)) < 0, entonces

S (f g) (x) < 0.

Demostración. Derivando por la regla de la cadena:(f g)

′(x) = f

′(g (x)) g

′(x),

(f g)′′

(x) = f′′

(g (x))2 + f′(g (x)) g

′′(x),

(f g)′′′

(x) = f′′′

(g (x))(g′(x))3

+ 3f′′

(g (x)) g′′

(x) g′(x) +f

′(g (x)) g

′′′(x).

Operando con estas tres derivadas se obtienen los resultados deseados.

Decimos que la función f tiene derivada Schwarziana negativa en el inter-valo I si f ′ (x) 6= 0 y Sf (x) < 0 para todo x ∈ I, y abreviamos por Sf < 0en I.

Lema 6 Si J es un intervalo abierto y Sf < 0 en I, entonces f ′ no tienemínimos locales positivos ni máximos locales negativos en I.

Demostración. Suponemos que x es un mínimo local positivo de f ′ en I.Luego f ′ (0) > 0, f ′′ (x) = 0, y f ′′′ ≥ 0.Esto implica que Sf ≥ 0 en I, que contradice Sf < 0.

Igualmente, si x es un máximo local negativo de f ′ en I.Luego f ′ (0) < 0, f ′′ (x) = 0, y f ′′′ ≤ 0.Esto implica que Sf ≥ 0 en I, que contradice Sf < 0.

Lema 7 (Principio Mínimo) Sea I = [a, b] y supongamos f es C3 en I.Si Sf < 0 en (a, b), entonces∣∣∣f ′ (x)

∣∣∣ > mín∣∣∣f ′ (a)

∣∣∣ , ∣∣∣f ′ (b)∣∣∣ ∀x ∈ (a, b) .

Demostración. Como∣∣f ′∣∣ es continua en el intervalo cerrado I, debe de

alcanzar un mínimo local en un punto x0 ∈ I.Si x0 ∈ (a, b), f ′ (x0) 6= 0 y Sf < 0 en (a, b).Si f ′ (x0) > 0, f ′ tendría un mínimo local positivo en (a, b), lo que contradiceel Lema anterior.


Por otra parte, si f ′ (x0) < 0, f ′ tendría un máximo local negativo en (a, b),lo que también contradice el Lema anterior.Por tanto, o bien x0 = a o bien x0 = b.

Recordamos que pr = 1 − 1res punto fijo para fr, y que f ′r (pr) = 2 − r,

luego∣∣f ′r (pr)

∣∣ > 1 cuando r > 3.Sea pr = 1

r. Tenemos que fr (pr) = pr. Llamamos x0 y x1, con x0 < x1, tal

quefr (x0) = fr (x1) = 1.

Notemos quefr ([pr, x0]) = fr ([x1, pr]) = [pr, 1] .

Definimos el conjunto J como

J = (pr, x0) ∪ (x1, pr)

y si x ∈ J , fr (x) /∈ J .

Lema 8 (Lema Retorno) Si r > 4 y si x ∈ J , entonces existe un enteron ≥ 2 tal que fnr (x) ∈ [pr, pr).

Demostración. Tomamos x ∈ J , luego fr (x) ∈ (pr, 1) y f 2r (x) ∈ (0, pr).

Si f 2r (x) ∈ [pr, pr), ya estaría.

Supongamos que f 2r (x) ∈ (0, pr).

Queremos que para algún n ≥ 1, fn+2r (x) ∈ [pr, pr). Lo vamos a demostrar

por reducción al absurdo, es decir, suponemos que esto no se cumple.Luego fr (z) > z para todo z ∈ (0, pr), sabemos que fn+2

r es una sucesióncreciente acotada superiormente por pr.fn+2r (x) converge hacia un punto z0 ≤ pr cuando n→∞.Se sigue que z0 es un punto fijo de fr y 0 < z0 < pr, lo que contradice nuestrahipótesis.

Lema 9 Si r > 4, entonces x0 − pr < pr.Además, los intervalos (pr, x0) y (x1, pr) son de longitud menor a los inter-valos (0, pr) y (pr, 1).

Demostración. Veamos que r > 4 implica que 2pr > x0.

pr =1

ry x0 =

1

2−√

1

4− 1

r.


5. 29

Como r > 4, tenemos 0 < 1− (4/r) < 1, luego√

1− (4/r) > 1− (4/r).Si multiplicamos por 1/2, √

1

4− 1

r>

1

2− 2

r,

o bien

2

(1

r

)>

1

2−√

1

4− 1

r.

Teorema 2.3.1 Si r > 4, entonces Γ es un conjunto hiperbólico para fr.

Demostración. Sea x ∈ Γ. Tomamos que x > 1/2, el caso que x < 1/2 sededuce por la simetría de fr respecto a 1/2.Necesitamos encontrar un entero n tal que

∣∣(fnr )′ (x1)∣∣ > 1.

Si x ≥ pr, tenemos que n = 1.Si x = x1, luego fnr (x1) = 0 para n ≥ 2,∣∣(fnr )′ (x1)

∣∣ =∣∣(f ′r) (x1)

∣∣ · ∣∣(f ′r) (1)∣∣ · ∣∣(f ′r) (0)

∣∣n−2,

= rn−1√r2 − 4r = rn

√1− (4/r),

que es mayor que 1 cuando n es suficientemente grande.Ahora veamos qué pasa si x está entre x1 y pr. El Lema Retorno nos

asegura que existe un n tal que fnr (x) ∈ [pr, pr). Sea Jn el intervalo de Γnque contiene a x. Entonces tenemos dos casos: que cada Jn ⊂ [x1, pr) o queno lo esté.

Supongamos que Jn ⊂ [x1, pr]. Separamos cada Jn en tres intervalos:

Jn = Kn ∪ Ln ∪Mn,

donde fnr (Kn) = [0, pr] , fnr (Ln) = (pr, pr) , f

nr (Mn) = [pr, 1] .

Como Kn ⊂ Jn ⊂ [x1, pr] y Mn ⊂ Jn ⊂ [x1, pr], el lema anterior nosasegura que

|fnr (Kn)| > |Kn| , y |fnr (Mn)| > |Mn| .

Aplicando el Teorema del valor intermedio a fnr , podemos decir queexiste y ∈ Kn y z ∈ Nn tal que

∣∣(fnr )′ (y)∣∣ > 1 y

∣∣(fnr )′ (z)∣∣ > 1.

Cuando fnr (x) ∈ [pr, pr), tenemos que

x ∈ Ln, si y ≤ x < z.

Por lo tanto, como en [y, z], usando el Lema del Principio Mínimo,deducimos que

∣∣(fnr )′ (x)∣∣ > 1.


Ahora suponemos que Jn no está contenido en [x1, pr]. Separamos comoantes cada Jn en tres intervalos:

Jn = Kn ∪ Ln ∪Mn,

donde fnr (Kn) = [0, pr] , fnr (Ln) = (pr, pr) , f

nr (Mn) = [pr, 1] .

Como antes, x ∈ Ln porque fnr (x) ∈ [pr, pr).Si x ∈ (x1, pr), uno de los Kn o Mn está contenido en [x1, pr), pero,como Jn no está en [x1, pr), uno de los dos no estará contenido en(x1, pr).Supongamos que Kn está contenido en [x1, pr), y Mn no lo está (elcaso contrario es análogo). Si Jn ⊂ [pr, 1] y Jn ∩ [x1, pr) 6= ∅, entoncespr ∈ Jn.Como antes, |fnr (Kn)| > |Kn|, así que aplicando el Teorema del ValorIntermedio, tenemos que existe un punto y ∈ Kn tal que |fnr (y)| > 1.Además, |fnr (pr)| > 1.Por lo tanto, como fnr no tiene puntos críticos en [y, pr], usando el Lemadel Principio Mínimo, deducimos que

∣∣(fnr )′ (x)∣∣ > 1.

Teorema 2.3.2 Si r > 4, entonces Γ es un conjunto de Cantor y fr escaótica en Γ.

Demostración. Ahora la prueba es similar que en la sección anterior, en elcaso r > 2 +

√5.

Capítulo 3

Herradura de Smale.

3.1. Construcción y dinámica de la Herradurade Smale.

Hay muchas versiones diferentes para describir la aplicación denominadaHerradura de Smale, vamos a utilizar la que consideramos más estética yprecisa de entre las que hemos observado.Sea I el intervalo cerrado [0, 1] de la recta real R.Llamamos A y B a los subconjuntos de R2 que corresponden respectivamentea la mitad izquierda del disco de radio 1/2 y centro (0, 1/2) y a la mitadderecha del disco de radio 1/2 y centro (1, 1

2).

Consideramos el siguiente conjunto conexo y compacto en R2,

M = A ∪ (I × I) ∪B.

Analíticamente, tendríamos

M =

(x, y) : y ∈ [0, 1] ,−

√1

4−(y − 1

2

)2

≤ x ≤ 1 +

√1

4−(y − 1

2

)2

.

Definimos ahora una aplicación h : M → M que consiste en la composi-ción de varias transformaciones que se basan en estrechar, alargar y doblarel conjunto M para obtener otro conjunto contenido en M con forma de her-radura y tal que su dinámica se comporta de una manera muy especial comoveremos. Describimos explícitamente la función h como la composición de 6funciones

h = f6 f5 f4 f3 f2 f1.

31

32 CAPÍTULO 3. HERRADURA DE SMALE.

Figura 3.1: Conjunto M

En primer lugar, contraemos el conjunto M verticalmente en una proporciónde 1 a 1

5.

f1(x, y) = (x,1

5)

Figura 3.2: Contracción vertical

Ahora vamos a contraer horizontalmente los conjuntos f1(A) y f1(B) paraque formen de nuevo dos mitades de disco, esta vez de radio 1

10y centros

(0, 110

) y (1, 110

), respectivamente.

f2(x, y) =

(x

5, y), x ≤ 0;

(x, y), x ∈ I;(1 + x−1

5, y), x ≥ 1.

El siguiente paso es el de alargar el conjunto horizontalmente sin alterarlos dos semidiscos. Para ello, definimos la función f3 que realiza esa labor:

f3(x, y) =

(x, y), x ≤ 0;(5x, y), x ∈ I;(x+ 4, y), x ≥ 1.

3.1. CONSTRUCCIÓN Y DINÁMICA DE LA HERRADURA DE SMALE.33

Figura 3.3: Alargamos horizontalmente

Con la función f4 doblamos el conjunto f3f2f1(M) por la parte que estáen 2 ≤ x ≤ 3. Queremos que la parte que está en x ≤ 2 no se vea afectada yla parte donde x ≥ 3 sufra una rotación seguida de una translación.

f4(x, y) =

(x, y), x ≤ 2;(2 + ( 3

10− y)sen(πx), 3

10+ (y − 3

10)cos(πx)

), x ∈ [2, 3];

(5− x, 35− y), x ≥ 3.

f5 translada el conjunto f4 f3 f2 f1(M) hacia la izquierda con el fin deque la zona x ≥ 0 esté inmersa en M .

f5(x, y) = (x− 1, y +1

5)

Y, finalmente, contraemos horizontalmente la zona x ≤ 0 del conjunto paraque esté inmerso en M con un proporción de 1 a λ (donde λ es una constanteque cumple 0 < λ < 1).

f6(x, y) =

(λx, y), x ≤ 0;(x, y), x ≥ 0.

Tenemos pues definida de manera explícita la función h : M →M así:

h = f6 f5 f4 f3 f2 f1

Si componemos todas las funciones, obtenemos la función herradura de formaexplícita:

h(x, y) =

(λx

5− λ, y+1

5

), x < 0;(

5λx− λ, y+15

), x ∈

[0, 1

5

];(

5x− 1, y+15

), x ∈

[15, 2

5

];(

1 +(

310− y

5

)sin 5πx, 1

2+(y5− 3

10

)cos 5πx

), x ∈

[25, 3

5

];(

4− 5x, 4−y5

), x ∈

[35, 4

5

];(

λ (4− 5x) , 4−y5

), x ∈

[45, 1]

;(−λ(

4+x5

), 4−y

5

)x > 1.

Tenemos las siguientes propiedades inmediatas:


h es continua (por ser composición de funciones continuas).

h es diferenciable en todo punto de M excepto en el conjunto

C =

(x, y) : x ∈

0,

1

5,2

5,3

5,4

5, 1

∩M

.

h es inyectiva (por ser composición de funciones inyectivas).

h(M) ⊂ int(M)

Figura 3.4: Herradura de Smale

La Herradura de Smale tiene propiedades muy especiales que iremos des-cubriendo a lo largo de nuestro trabajo. Veamos en primer lugar la dinámicade esta transformación.

Lema 10 h tiene un único punto fijo en el conjunto A.

Demostración. Recordamos que h(x, y) = (λ(x5−1), y+1

5)si (x, y) ∈ Acon 0 <

λ < 1. Tenemos que (x, y) ∈ A cuando x < 0, pero entonces λ(x5− 1) < 0

y como h(M) ⊂ int(M), h(A) ∈ A. Se sigue que para cualquier pareja depuntos en A, (x,y) y (u,v) se tiene que

‖h(x, y)− h(u, v)‖ =∥∥(1

5(λx− 5λ, 1

5(y + 1))− (1

5(λu− 5λ, 1

5(v + 1))

∥∥≤ 1

5‖(x, y)− (u, v)‖ .

Luego, h : A→ A es una contracción y como A es compacto, h tiene unpunto fijo en A y además es único.

A este punto fijo lo llamaremos p y como h(M) ⊂ int(M), p ∈ int(A).Además, cuando (x, y) ∈ A, se tiene que lımn→∞ h

n(x, y) = p, así que p esun punto fijo atractor bajo h. Para ver cómo se comportan el resto de las

3.1. CONSTRUCCIÓN Y DINÁMICA DE LA HERRADURA DE SMALE.35

secciones de nuestro conjunto, veremos cómo mueve la función h las abcisasde M.

Cuando (x, y) ∈ D1, h(x, y) = (λ5x− λ, y5

+ 15).

Si 0 ≤ x ≤ 15, entonces −λ ≤ λ5x− λ ≤ 0. Por tanto, h(D1) ⊂ A, y por

lo tanto los puntos de este conjunto tienen órbitas que convergen a p.Los puntos deD3 son a los que les aplicamos la transformación de doblado

por la función

h(x, y) = (1 + (3

10− y

5)sen(5πx),

1

2+ (

y

5− 3

10)cos(5πx)),

con x ∈ [25, 3

5] e y ∈ [0, 1]

Si x = 25o x = 3

5, sen(5πx) = 0

0 ≤ sen(5πx) ≤ 1, ∀x ∈[

2

5,3

5

]y sen(5π

1

2) = 1

1

10≤ 3

10− y

5≤ 3

10, ∀y ∈ [0, 1].

Luego, 1 ≤ x1, es decir, h(x, y) ∈ B ∀(x, y) ∈ D3. Ahora, para todo (x, y) ∈B, tenemos

h(x, y) =

(−λ4 + x

5,4− y

5

).

Pero si x ≥ 1, −λ4+x5< 0 ∀λ ∈ (0, 1). Tenemos entonces que h2(D3) ⊂ A

y h(B) ⊂ A.Para los puntos de D5, tenemos que x0 ∈

[45, 1], y como

x1 = λ(4− 5x), − λ ≤ x1 ≤ 0 con 0 < λ < 1.

Por tanto, h(D5) ⊂ A.Con estos resultados tenemos que la variedad estable de p contiene a casi

todos los conjuntos que forman M .

A ∪D1 ∪D3 ∪D5 ∪B ⊂ W est(p).

Nos queda por estudiar la dinámica de la función en los conjuntos D2 y D4.

Lema 11 h tiene exactamente dos puntos fijos en D2 y D4, siendo p1 =(1

4, 1

4) y p2 = (2

3, 2

3).

Obsérvese que todo segmento de recta vertical u horizontal contenido enD1 ∪ D2 es transformado bajo h respectivamente en un nuevo segmento de


recta vertical u horizontal contenido en I × I. Esto es inmediato pues lafunción en estos conjuntos es lineal, es decir, ‘conserva las líneas’.Los puntos de los conjuntos D1 y D2 que transformados bajo h no caen encualesquiera de estos conjuntos sabemos que tendrán órbitas que se acercanasintóticamente a p. Por lo tanto, vamos a ver qué puntos se mantienen enD1 o D2 aplicando h.

Figura 3.5: h restringida en I × I

Vamos a citar algunas propiedades que podemos encontrar en esta apli-cación si la restringimos al cuadrado I× I, aunque no entramos en detalles ylo tratamos de manera superficial ya que hemos centrado nuestro trabajo enver que el atractor de la función Herradura, tal y como la hemos construido,es un continuo indescomponible. Citamos estas características al ser similaresa las de la función logística.

Restringimos la función h al cuadrado I × I.En general tendremos que

⋂nj=0 h

j(I×I) serán 2n franjas horizontales de an-cho (1

5)n−1. Análogamente,

⋂0j=−n h

j(I× I) serán 2n franjas verticales de an-cho (1

5)n−1. Entonces

⋂nj=−n h

j(I× I) consta de 4n cuadrados de lado (15)n−1.

La intersección de todos los iterados de I × I es el producto cartesianode dos conjuntos de Cantor iguales, es decir, Λ = hn(I × I) = K ×K con Kun conjunto de Cantor.

El conjunto Λ sería, entonces, el conjunto de puntos cuyas órbitas per-manecen en I × I. Así mismo podemos observar que K × I sería el conjuntode puntos cuya órbita pasada se encuentra contenida en I × I e I × K elconjunto de puntos que al iterarse por f no saldrán de I × I nunca.

Teorema 3.1.1 La función Herradura de Smale h es caótica en el sentidoDevaney en Λ.

Demostración. Podemos encontrar una demostración en [WIG1].

3.2. El atractor de la Herradura.

Definición 3.2.1 Sea (X, d) un espacio métrico.Se dice que este espacio es un continuo si es conexo y compacto.

3.2. EL ATRACTOR DE LA HERRADURA. 37

De la relación h(M) ⊂ M obtenemos la siguiente sucesión encajada de con-juntos: M ⊂ h(M) ⊂ ... Para cada n ∈ N se tiene:i) hn(M) = intersdei = 0anF i(M).ii) hn(M) es compacto, conexo y distinto del vacío.Sea Λ el siguiente conjunto:

Λ =⋂n∈Z

hn(M).

Está claro que los tres puntos fijos de h pertenecen a Λ, p, p1, p2 ∈ Λ. Dadoque Λ se expresa como una intersección de conjuntos cerrados, entonces Λ esun conjunto cerrado. Y ya que Λ ⊂M , Λ es compacto.Para ver que Λ es un continuo, nos faltaría probar que sea conexo. Para ello,utilizaremos un lema previo.

Lema 12 Sea U ∈ R2 un conjunto abierto tal que Λ ⊂ U . Entonces existeN ∈ N tal que para todo n ≥ N se tiene que hn(M) ⊂ U .

Demostración. Bastaría probar que existe N ∈ N tal que el conjuntohN(M) está contenido en U .Lo hacemos por reducción al absurdo, suponiendo que para toda n ∈ N, setiene que hn(M) ∩ (M − U) 6= ∅. Entonces existen una sucesión creciente deíndices n1, n2, n3, ... y una sucesión de puntos (xn1 , yn1), (xn2 , yn2), (xn3 , yn3), ...tales que para cada ni se tiene que (xni

, yni) ∈ hni (M), (xni

, yni) ∈M − U , y

lım(xni, yni

) = (x0, y0). Dado que M −U es compacto, (x0, y0) ∈M U y, porello, (x0, y0) no está en Λ.Sea k ∈ N. Observemos que nk ≥ k y, por tanto, para todo i ≥ k tenemos que(xni

, yni) ∈ hk(M). De aquí se sigue que para todo k ∈ N, (x0, y0) ∈ hk(M).

Así, (x0, y0) ∈ Λ. Esto es contradicción.

Proposición 3.2.1 Λ es conexo.

Demostración. Sean U y W dos conjuntos abiertos tales que Λ ⊂ U ∪Wy U ∩W = ∅. Como U ∪W es un conjunto abierto, existe N ∈ N tal quehN(M) ∈ (U ∪W ). Como hN(M) es conexo, hN(M) ⊂ U o hN(M) ⊂ W .Por tanto, Λ ⊂ U o Λ ⊂ W . Es decir, Λ es conexo.

Sean Y un subconjunto compacto de X y x ∈ X. La distancia de x a Yestá dada por:

dist(x, Y ) = mín d(x, y) : y ∈ Y .El diámetro de Y nos lo da el siguiente máximo:

diám(Y ) = máx d(y, z) : z ∈ Y .


Con la siguiente proposición veamos que las órbitas de todos los puntos deM tienden hacia Λ. Tal vez la órbita de (x, y) ∈ M no sea una sucesiónconvergente, pero la distancia entre el punto hn(x, y) y el conjunto Λ sí con-verge a cero cuando n tiende a infinito. Es por cumplir esta condición quenos referiremos a Λ como el atractor de la herradura.

Proposición 3.2.2 Para todo (x, y) ∈M se tiene que:

lımn→∞

dist(hn(x, y),Λ) = 0.

Demostración. Sean (x, y) ∈M y ε > 0. Consideremos el conjunto:

U =⋃

(u,v)∈Λ

Bε(u, v),

donde Bε(u, v) = (s, t) ∈ R2 : ‖(s, t)− (u, v)‖ < ε. El conjunto U es abiertoy Λ ⊂ U . Luego, por el lema anterior, existe N ∈ N tal que hn(M) ⊂ U sin ≥ N . De aquí se sigue que

dist(hn(x, y),Λ) < ε,∀n ≥ N

Veamos además que el conjunto Λ también nos proporciona un lugardonde h es un homeomorfismo.

Proposición 3.2.3 h(Λ) = Λ

Demostración. Observemos que:

h(Λ) = h

(∞⋂n=0

hn(M)

)⊂

(∞⋂n=1

hn(M)

)= Λ.

Por otro lado, tomemos (x, y) ∈ Λ.Como (x, y) ∈ h(M), existe (u, v) ∈M tal que h(u, v) = (x, y).Dado que h es inyectiva y que para toda n ≥ 0 es (x, y) ∈ hn+1(M) =h(hn(M)), se sigue que (u, v) ∈ hn(M) para toda n ≥ 0.Esto es, (u, v) ∈ Λ. Por lo tanto (x, y) ∈ h(Λ).

3.3. DIAGRAMA CONMUTATIVO. 39

3.3. Diagrama conmutativo.Consideramos ahora la función P : M → I, definida por:

P (x, y) =

0, (x, y) ∈ A;x, (x, y) ∈ I × I;1, (x, y) ∈ B.

Destacamos las siguientes propiedades de P :

P no es inyectiva, de hecho P (x, y) es igual para todo y ∈ I, es decir,

P (x × I) = x .

P es suprayectiva, pues P (I × I) = I.

P es continua, pues

P (0, y) = lımx→0+

P (x, y) = lımx→0+

x = 0

yP (1, y) = lım

x→1−P (x, y) = lım

x→1−x = 1.

Lo que pretendemos ahora es encontrar una función h : I → I tal que paratodo (x, y) ∈M se tenga que

f P (x, y) = P F (x, y).

Es decir, que haga que el siguiente diagrama sea conmutativo:

Mh⇒ M

P ↓ ↓ P

Ih⇒ I

A través de las siguientes correspondencias, describimos la función h:

Como F (A) ⊂ A entonces h(0) = h(P (x, y)) = P (h(x, y)) = 0.

Si 0 ≤ x ≤ 15, F (x, y) ∈ A. Luego h(x) = h(P (x, y)) = P (h(x, y)) = 0.

Si 15≤ x ≤ 2

5, F (x, y) = (5x−1, y+1

5) y, por tanto, h(x) = h(P (x, y)) =

P (h(x, y)) = 5x− 1.


Si 25≤ x ≤ 3

5, entonces F (x, y) ∈ B. Por tanto, h(x) = h(P (x, y)) =

P (h(x, y)) = 1.

Si 35≤ x ≤ 4

5, F (x, y) = (4−5x, 4−y

5) y, por tanto, h(x) = h(P (x, y)) =

P (h(x, y)) = 4− 5x.

Si 45≤ x ≤ 1, entonces F (x, y) ∈ A. Por tanto, h(x) = h(P (x, y)) =

P (h(x, y)) = 0.

Como F (B) ⊂ A entonces h(1) = h(P (x, y)) = P (h(x, y)) = 0.

Recopilando la información, tenemos que dado si x ∈ I:

h(x) =

0, x ∈

[0, 1

5

]∪[

45, 1]

;5x− 1, x ∈

[15, 2

5

];

1, x ∈[

25, 3

5

];

4− 5x, x ∈[

35, 4

5

].

Las siguientes propiedades se ven inmediatamente:

h no es inyectiva, trivialmente.

h es suprayectiva, pues h([15, 2

5]) = I.

h es continua.

Además, para todo (x, y) ∈M , h P (x, y) = P h(x, y).Para restringir el diagrama al atractor Λ, tratamos la siguiente proposi-

ción:

Proposición 3.3.1 P (Λ) = I

Demostración. Sabemos que Λ es conexo y que p, p1, p2 ⊂ Λ. ComoP (p) = 0, entonces 0 ∈ P (Λ). Además como

Λ ⊂ h(M) ⊂M −

(x, y) : x < 1, y ∈(

2

5,3

5

),

la intersección de Λ con B no es vacía. De aquí que 1 ∈ P (Λ). Y como P (Λ)es conexo, P (Λ) = I. Así que podemos concluir que el siguiente diagramaconmuta:

Λh⇒ Λ

P ↓ ↓ P

Ih⇒ I

3.4. EL LÍMITE INVERSO ES UN CONTINUO INDESCOMPONIBLE.41

3.4. El límite inverso es un continuo indescom-ponible.

Definición 3.4.1 Un continuo X es descomponible si tiene dos subcontinu-os propios, H y K, tales que X = H∪K. Decimos que X es indescomponiblesi no es descomponible.

Vamos a comenzar asociando un espacio topológico a la pareja h e I. Esteestudio nos ayudará para ver la propiedades topológicas del atractor de laherradura, Λ.Vamos a utilizar el conjunto Q llamado Cubo de Hilbert definido por

Q =∞∏n=0

I.

Y la métrica en Q que está dada por

d(x, y) =∞∑i=0

|xi − yi|2i

, donde x = (x0, x1, x2, ...), y = (y0, y1, y2, ...) ∈ Q.

Q es compacto y conexo, es decir, es un continuo. Para cada n ≥ 0 definimosla n-ésima proyección πn : Q→ I así:

πn(x0, x1, ..., xn, ...) = xn.

Las proyecciones son continuas y suprayectivas.Ahora tenemos el siguiente subconjunto deQ que llamaremos el límite inversode h:

(I, h) =x ∈ Q : h(xn+1) = xn para toda n ≥ 0

.

Proposición 3.4.1 (I, f) es cerrado.

Demostración. Sea y = (y0, y1, y2, ...) ∈ Q − (I, h). Existe i ≥ 0 tal queyi 6= h(yn+1).La continuidad de h nos permite asegurar la existencia de dos números pos-itivos, α y β, tales que para todo x ∈ (yi+1 − α, yi+1 + α) se tiene quef(x) /∈ (yi − β, yi + β).Sea U el siguiente conjunto abierto:

U = π−1i (yi − β, yi + β) ∩ π−1

i+1(yi+1 − α, yi+1 + α).

Observemos que y ∈ U y que para todo x = (x0, x1, x2, ...) ∈ U , f(xi+1) 6= xiya que xi ∈ (yi − β, yi + β) y xi+1 ∈ (yi+1 − α, yi+1 + α). Por lo tantoU ∩ (I, h) = ∅ y, con ello, (I, f) es cerrado.

Como (I, h) es cerrado, es también compacto.


Proposición 3.4.2 (I, h) es conexo.

Demostración. Sean H y K dos subconjuntos cerrados de Q. Supongamosque (I, h) = H ∪K y que H y K no son vacíos. Para mostrar que (I, h) esconexo basta demostrar que, bajo estas condiciones, H ∩K 6= ∅.

Para cada n ≥ 0 tenemos que

πn(H) ∪ πn(K) = πn(I, h) = I.

La última igualdad es consecuencia de que h es suprayectiva.Como I es conexo, para cada n ≥ 0, πn(H) ∩ πn(K) 6= ∅. Sea zk∞k=0 una

sucesión en I tal que zk ∈ πk(H) ∩ πk(K) para cada k ≥ 0.Existen dos sucesiones, una en H, xk∞k=0 ⊂ H, y otra en K, yk

∞k=0 ⊂

K, tales que:zk = πk(xk) = πk(yk).

Para cada k ≥ 0, los puntos xk y yk coinciden en las primeras k + 1 coorde-nadas. Por lo tanto:

d(xk, yk) =∑∞

i=012i|πi(xk)− πi(yk)|∑∞

i=k+112i|πi(xk)− πi(yk)| ≤ 1

2k.

Como (I, h) es compacto podemos suponer, sin perder generalidad, que lasucesión xk∞k=0 es convergente, digamos al punto x. Como yk∞k=0 también esconvergente al mismo punto y H y K son dos conjuntos cerrados, entoncesx ∈ H ∩K.

Como (I, h) es conexo, es también continuo.

Proposición 3.4.3 (I, h) es un continuo indescomponible.

Demostración. Sean G y H dos subcontinuos de (I, h) tales que (I, h) =G ∪H.Demostraremos que G = (I, h) o que H = (I, h).

Paso 1.Sabemos que para cada n ≥ 0, πn(I, h) = I. Entonces πn(G) = Gn yπn(H) = Hn son dos intervalos cerrados tales que su unión es I.Sea k ≥ 1 y supongamos que 0 ∈ Gk. Entonces el punto 1

2tiene dos

opciones:

1. Si 12∈ Gk, entonces

[0, 1

2

]⊂ Gk y h(Gk) = [0, 1].

3.5. EL ATRACTOR DE LA HERRADURA ES UN CONTINUO INDESCOMPONIBLE.43

2. Si 12/∈ Gk, entonces

[12, 1]⊂ Hk y h(Hk) = [0, 1].

Podemos concluir, siguiendo un argumento similar, que si 0 ∈ Hk, conk ≥ 1, entonces ya sea que h(Gk) = [0, 1] o bien que h(Hk) = [0, 1].Supongamos, sin perder generalidad, que existe un subconjunto infinitode N ∪ 0, que llamaremos Ω, tal que para todo n ∈ Ω se tiene quef(Gn) = [0, 1].Veamos pues que Gn = [0, 1] para todo n ≥ 0.Sea n ≥ 0, y γ ∈ Ω tal que n < γ. Observemos que si k ≥ 0, entoncespara todo punto x ∈ (I, h) se tiene que f πk+1(x) = πk(x).De aquí se sigue que

Gγ−1 = πγ−1(G) = f(πγ(G)) = f(Gγ) = [0, 1].

Por lo tanto,

Gn = πn(G) = fγ−n(πγ(G)) = fγ−n−1 f(πγ(G)) = [0, 1].

Paso 2.Demostraremos ahora que G es denso en (I, h).Sean x = (x0, x1, x2, . . . ) ∈ (I, h) y ε > 0.Sea N ∈ N tal que

∑∞i=N+1

(12

)i< ε.

Como GN = πN(G) = [0, 1], entonces existe y = (y0, y1, y2, ...) ∈ G talque yN = πN(y) = xN .Por esto, x e y coinciden en las primeras N + 1 coordenadas, y:

d(x, y) =∞∑i=0

|xi − yi|2i

=∞∑

i=N+1

|xi − yi|2i

≤∞∑

i=N+1

1

2

i

< ε.

La compacidad de G y su densidad en (I, h), implican que G = (I, h).

Si se tuviera que para toda n ∈ Ω, f(Hn) = [0, 1], concluiríamos que H =(I, h), es decir, uno de los dos subcontinuos, G o H, debe ser el espacio total.Por lo tanto, (I, h) es un continuo indescomponible.

3.5. El atractor de la Herradura es un continuoindescomponible.

A partir del diagrama conmutativo que hemos visto anteriormente:

Λh⇒ Λ

P ↓ ↓ P

Ih⇒ I


Sean z = z0, z1, z2, ... ∈ (Λ, F ) y P : (Λ, F ) → (I, f) la función dadapor:

P (z) = (P (z0), P (z1), P (z2), ...) .

Proposición 3.5.1 P : (Λ, F )→ (I, f) es continua.

Demostración. Dado k ≥ 0, sea ϕk la k-ésima proyección de∏∞

i=0 Λ enΛ. Recordemos que πk representa la correspondiente k-ésima proyección de∏∞

i=0 I en I.Para demostrar que P : (Λ, F )→ (I, f) es continua, es suficiente mostrar

que para cada k ≥ 0 la función πk P es continua.Sea z = z0, z1, z2, ... ∈ (Λ, F ). Entonces:

πk P (z) = πk (P (z0), P (z1), P (z2), ...) = P (zk) = P ϕk (z) .

Como P y ϕk son funciones continuas, entonces πk P es continua.

Proposición 3.5.2 P : (Λ, F ) → (I, f) es biyectiva y, por tanto, es unhomeomorfismo.

Demostración. La demostración se centrará en demostrar la suprayectivi-dad de la función P : (Λ, F ) → (I, f) ya que demostrar que P sea inyectivava ligado a dicha prueba.

Paso 1.Sean 0 = (0, 0, 0, ...) ∈ (I, f) y a = (a, a, a, ...) ∈ (Λ, F ).Recordemos que F (a) = a y que a ∈ A. Además, P (a) = 0.Si b = (b0, b1, b2, ...) ∈ (Λ, F ) es tal que P (b) = 0, entonces, para todok ≥ 0, tenemos que bk ∈ A, ya que P (bk) = 0.Consideremos un número n ≥ 0 fijo y observemos que si m > 0, en-tonces:

‖bn − a‖ = ‖Fm (bn+m)− Fm (a)‖ ≤ Cm ‖bn+m − a‖ ≤ Cm,

donde 0 < C < 1.Las últimas desigualdades se siguen del hecho de que bn+m y a estánen A y, en esa zona, la función F es una contracción.Además, diam(A) = 1. Por tanto, para todo n ≥ 0 se tiene que bn = a.

Paso 2.Sea x = (x0, x1, x2, ...) ∈ (I, f), con x 6= 0.Existe N ≥ 0 tal que xN 6= 0. Se sigue que para todo n ≥ N + 1, xnno es cero ni uno.

3.5. EL ATRACTOR DE LA HERRADURA ES UN CONTINUO INDESCOMPONIBLE.45

Como xn ∈ (0, 1), con n ≥ N + 1, la imagen inversa de xn bajo P esun segmento de recta vertical contenido en (0, 1)× (0, 1) ⊂M .Construiremos ahora un punto z = (z0, z1, z2, ...) ∈ (Λ, F ) tal queP (z) = x. Veremos también que existe un único punto en (Λ, F ) conesa propiedad.Tenemos fijado n con n ≥ N + 1. Sean k ≥ 0 y Sn+k el segmento derecta correspondiente a P−1 (xn+k). La (n+ k)-ésima coordenada de zdebe ser un punto contenido en Sn+k.Como fk P = P F k, entonces F k (P−1 (xn+k)) ⊂ P−1 (xn). De aquíque la n-ésima coordenada de z debe ser un punto no sólo contenidoen Sn, sino también en F k (Sn+k). Consideremos la siguiente sucesiónde conjuntos encajados:

Sn ⊃ F (Sn+1) ⊃ F 2 (Sn+2) ⊃ ... ⊃ F k (Sn+k) ⊃ ...

Como la longitud de F k (Sn+k) tiende a cero cuando k → ∞, la sigu-iente intersección es un sólo punto.

zn =∞⋂k=0

F k (Sn+k) .

A partir de esto definimos z = (z0, z1, z2, ...) de la siguiente manera:

• Si n ≥ N + 1 definimos la n-ésima coordenada de z, zn, con en laintersección anterior.

• Si 0 ≤ n < N + 1, definimos zn = FN+1−n (zN+1).

Para confirmar que este punto está efectivamente en (Λ, F ), observemosque si n ≥ N + 1, entonces:

F (zn+1) = F(⋂∞

k=0 Fk (Sn+1+k)

)⊂⋂∞k=0 F

k F (P−1 (xn+1+k))⊂⋂∞k=0 F

k (P−1 (xn+k)) =⋂∞k=0 F

k (Sn+k) = zn .

Ahora es inmediato que z, definido de esta manera, es el único puntoen el límite inverso (Λ, F ) con la propiedad P (z) = x.

Podemos al fín demostrar el teorema que ha sido el eje motivador denuestro estudio.

Teorema 3.5.3 Λ es un continuo indescomponible.


Demostración. Hemos visto que P : (Λ, F )→ (I, f) es un homeomorfismoy que (I, f) es un continuo indescomponible, por lo que (Λ, F ) es un continuoindescomponible.Dado que F : Λ→ Λ es un homeomorfismo, Λ y el límite inverso (Λ, F ) sonhomeomorfos.Por lo tanto, Λ es un continuo indescomponible.

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funcion logistica atractor smale 1

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