fourier [tryb zgodności] - zespół przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 dyskretne widmo...
TRANSCRIPT
![Page 1: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Spis treści
1. Dyskretne widmo sygnałów okresowych
2. Związek między szeregiem i transformacją Fouriera
3. Warunki istnienia i odwracalności transformacji Fouriera
4. Widma sygnałów
5. Własności transformacji Fouriera
6. Przykład transformat Fouriera
7. Uogólniona transformacja Fouriera
ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW
![Page 2: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Trochę historiiBaron Jean Baptiste Joseph FOURIER (1768-1830)
Z wyróżnieniem ukończył szkołę wojskową w Auxerre.
Został nauczycielem Ecole Normal a potem Politechniki w Paryżu.
Napoleon mianował go zarządcą Dolnego Egiptu w wyniku ekspedycji z 1798 roku.
Po powrocie do Francji został prefektem w Grenoble. Baronem został w 1809 roku. Ostatecznie w 1816 roku został sekretarzem Akademii Nauk a następnie jej członkiem w 1817.
W okresie od 1808 roku do 1825 roku napisał 21 tomowy Opis Egiptu.
Równaniem ciepła zainteresował się w 1807 roku. W opublikowanej w 1822 roku pracy pokazał jak szereg zbudowany z sinusów i kosinusów można wykorzystać do analizy przewodnictwa ciepła w ciałach stałych. Nad szeregami trygonometrycznymi pracował do końca życia, rozszerzając tę problematykę na transformację całkową.
![Page 3: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Dyskretne widmo sygnałów okresowych
Dla sygnałów spełniających dwa warunki: ),( Cs s t s t T( ) ( )
s t c c nf tnn
T n( ) cos
01
2
gdzie f TT 1 / oraz
c f s t dtT
T
00
( ) c a bn n n 2 2
n n nb a arc tg( )
a f s t nf t dtn T T
T
2 20
( ) cos( ) b f s t nf t dtn T T
T
2 20
( ) sin( )
można utworzyć szereg
widmo amplitudowe
widmo fazowe
![Page 4: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Od zespolonego szeregu do transformacji
Fouriera
s t s enjnf t
n
T( )
2
gdzie
s f s t e dtn Tjnf t
f
T
T
( ) 2
0
1
T fT 1 /
Niech fnfT
czyli ,n fT 0
Po zmianie granic całkowania s f s t e dtn Tj n f tT
fT
fT
( ) 2
12
12
s t s enn
jnt T( ) /
2
+
sT
s t e dtn
Tj n t T 1
0
2( ) /
+
s f s fn T ( )Dodatkowo niech
![Page 5: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Od szeregu do transformacji Fouriera
Podstawiając s f s fn T ( ) oraz nf fT
otrzymujemy ( ) ( )s f s t e dtjft
2 fT 0dla
Ze wzoru s t s n f e fTjn f t
Tn
T( ) ( )
2 oznaczając f dfT
otrzymujemy s t s f e dfjft( ) ( )
2
s f s t e dtn Tj n f tT
fT
fT
( ) 2
12
12
bo fT 0
![Page 6: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Bramka prostokątna i jej widmo Fouriera
Sygnał
Czas
-T 0 T
0
1
s(t)
-2/T -1/T 0 -1/T 2/T
0
1
s(f)^
Częstotliwość
Widmo jest funkcją rzeczywistą
s tT t T
t T t T( )
10
dladla i
( )sin( )
s f e dtj f
ef T
fjft jft
T
T
T
T
2 21
22
Obliczyć widmo sygnału
Posługując się definicją transformacji Fouriera
![Page 7: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Definicja transformacji Fouriera
Ogólnie( ) ( )s f s t e dtj f t
s t s f e dfj f t( ) ( )
2
Dla nas 1 i 2
Często 1 i lub 1 1 2/ i 1
)(ˆ)( fsts
![Page 8: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Warunki odwracalności transformacjiFouriera
Twierdzenie 1.Niech dany będzie sygnał s L 1( ) taki, że jego transformataFouriera ( )s L 1 , wtedy
s t e s t e dt dfjft jft( ) ( )
2 2
w każdym punkcie t dla którego sygnał s jest ciągły.
Twierdzenie 2.
Jeżeli sygnał s L L 1 2( ) ( )
to wtedy jego transformata ).(ˆ 2 Ls
dttsLsdf
)()(1
dttsLsdf
)()( 22
![Page 9: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Widma sygnałów
( ) ( )s f s t e dtjft
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )s f r f j i f s f e A f ej f j f
( )s f , A f( ) - widma amplitudowe,( )f , ( )f - widma fazowe,( )r f - widmo rzeczywiste,( )i f - widmo urojone.
( ) ( ) ( )s f r f i f 2 2
)(ˆ)(ˆtgarc)(
frfif
- widmo zespolone,
![Page 10: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Widma sygnałów
arc tg : / , / 2 2 / ( ) /2 2f
A fr f i f
i ff f
r f f( )
( ) ( )( )
sin ( ) ( )
( ) ( )
2 2
0
0
dla
dla
0)(dla)(0)(dla)(
)(ˆarg)(<fAf
fAffsf
( )tWzajemna jednoznaczność między widmem ( )s f a widmami amplitudowymi i fazowymi:
( )s f razem z ( )flub
A f( ) ( )f)(ˆ)( fsfA
zatem
)(ˆ)(ˆtgarc)(
frfif
razem z
![Page 11: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Parzystość widma rzeczywistego i amplitudowegooraz nieparzystość widma urojonego i fazowego
( ) ( ) ( ) cos ( ) sin( ) ( ) ( )s f s t e dt s t ft j ft dt r f j i fjft
2 2 2
gdzie( ) ( )cos( )r f s t ft dt
2
( ) ( ) sin( )i f s t ft dt
2
( ) ( )( ) ( )r f r fi f i f
)(ˆ)(ˆtgarc)(
frfif( ) ( ) ( )s f r f i f 2 2
)()()(ˆ)(ˆfffsfs
![Page 12: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Własności widm
( ) ( ) ( )s f r f i f 2 2
( ) (( ) ( ))f i f r f arc tg
Dla sygnału s t s t( ) ( )
otrzymujemy
0
)2cos()(2)(ˆ)(ˆ dtfttsfrfs
Dla sygnału s t s t( ) ( )
otrzymujemy
0
)2sin()(2)(ˆ)(ˆ dtfttsjfijfs
( ) ( ) ( ) cos ( ) sin( ) ( ) ( )s f s t e dt s t ft j ft dt r f j i fjft
2 2 2
![Page 13: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Transformacja Fouriera jest przekształceniem liniowym
Addytywność s t s t e dt s f s fj f t1 2
21 2( ) ( ) ( ) ( )
Jednorodność a s t e dt as fjft( ) ( )
2
Zatem a s t b s t e dt a s f b s fjft1 2
21 2( ) ( ) ( ) ( )
![Page 14: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Zachowanie iloczynu skalarnego
Twierdzenie Rayleigha
s t s t dt s f s f df1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
Wynika stąd
0ˆ,ˆ0, 2121 ssss
![Page 15: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Zachowanie energii
Twierdzenie Parsevala
s sL L2 22 2
zatem
s t dt s f df2 2( ) ( )
![Page 16: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Zachowanie odległości
Skoro
)()()( 21 tststs
otrzymujemy
dffsdtts 22 )(ˆ)(
to przyjmując
dffsfsdttsts 221
221 )(ˆ)(ˆ)()(
)(ˆ)( fsts bo dla parydzięki liniowości transformacji Fouriera )(ˆ)(ˆ)(ˆ 21 fsfsfs
![Page 17: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Dualność transformacji Fouriera
( ) ( )s f s t e dtj f t
2
( ) ( )s e s t e dt dfjf j f t
2 2
Otrzymujemy zależność zwaną dualnością transformacji Fouriera
( ) ( )s s
( ) ( ) ( ) ( )s f s t e dt s f s t e dtjft jft
2 2
-T 0 T
0
1
s(t)
-2/T -1/T 0 -1/T 2/T
0
1
s(f)^
Np.
![Page 18: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Początkowa wartość transformaty Fouriera
( ) ( )s f s t e dtj f t
2
Podobnie, podstawiając do przekształcenia odwrotnego otrzymujemy
dffsdfefss jf )(ˆ)(ˆ)0( 02
Podstawiając do przekształcenia0f
otrzymujemy
dttss )()0(ˆ
0t
![Page 19: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/19.jpg)
19
)()(1 tts
)()( 32
2 tts
2
2 π2π3sin
23)(ˆ
f
f
fs
2
1 ππsin)(ˆ
fffs
Zmiana skali czasu sygnału
s at a s f a( ) ( / ) 1
)(ˆ)( fsts
![Page 20: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Przesunięcie w dziedzinie czasui częstotliwości
Przesunięcie w dziedzinie czasu
s t t s f e jft( ) ( ) 0
2 0
bo s t t e dtjft( )
02 po podstawieniu t t0 równa się
s e e djft jf( )
2 20
Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości
s t e s f fjf t( ) ( )20
0
s t e s f fjf t( ) ( ) 20
0
2 2 0 0 0s t f t s f f s f f( )cos( ) ( ) ( )
Sumując obustronnie otrzymujemy
![Page 21: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/21.jpg)
21
)()( 23
1 ttts
ff
f
fffs
j2π
1π
)πsin(
π)πsin()(1̂
)1()1()( 21
12 tttsts
)j2πexp(j2π
1π
)πsin(
π)πsin()j2πexp()(ˆ)(ˆ 12 f
ff
f
ffffsfs
Przesunięcie w dziedzinie czasu
![Page 22: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/22.jpg)
22
)12()12()(1 ttts)πcos(
π2πsin2
)(1̂ ff
f
fs
)j2πexp()12()12()(2 tttts
)1π(cos)1π(
2)1π(sin2
)1(ˆ)(ˆ 12
ff
f
fsfs
Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości
![Page 23: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Różniczkowanie w dziedzinie czasu
Jeżeli :
- sygnał s(t) i jego kolejne pochodne aż do rzędu n-1 są ciągłe,
- pochodna rzędu n istnieje prawie wszędzie,
- sygnał i wszystkie jego pochodne aż do rzędu n posiadajątransformaty Fouriera, czyli dostatecznie szybko dążą do zera dla t
d s tdt
jf s fn
nn( )( ) 2
to
![Page 24: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/24.jpg)
24
)()(1 tts
)1()1()()( 12 tt
dttdsts
2
1 π)πsin()(ˆ
fffs
fffs
π)π(sinj2)(ˆ
2
2
Różniczkowanie w dziedzinie czasu
sygnał parzysty
sygnał nieparzysty
![Page 25: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/25.jpg)
Ograniczone nośniki
Analityczna funkcja - funkcja różniczkowalna, której pochodne sąrównież różniczkowalne. Oznacza to, że funkcja analityczna zmiennej zespolonej może być lokalnie (tzn. w pewnym otoczeniu dowolnego punktu ) przedstawiona w postaci szeregu potęgowego
T
jftdtetsfs0
2)()(ˆ T
jftdtetstjdf
fsd
0
2)(2)(ˆ
T
jftnnn
n
dtetstjdf
fsd
0
2)(2)(ˆ 12)(2)(ˆ
0L
nnnT
nnnn
n
sTdttsTdf
fsd Oznacza to, że widmo )(ˆ fs jest funkcją analityczną.
0f
!)(ˆ
)(ˆ 0
00
nff
dfsdfs
n
ffnn
n
Niech sygnał ma ograniczony nośnik.
![Page 26: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/26.jpg)
Zasada nieoznaczoności Heinsenberga
Oznacza to, że widmo może być lokalnie, tzn. w pewnym otoczeniu dowolnego punktu przedstawione w postaci szeregu potęgowego,0f
-T 0 T
0
1
s(t)
-2/T -1/T 0 -1/T 2/T
0
1
s(f)^
0
0
0 !)(ˆ
)(ˆ0
n
nn
n
ffnn
n
fan
ffdf
sdfs
czyli nośnik widma nie może być ograniczony!
Impuls prostokątny i jego widmo amplitudowe.
Postępując podobnie można udowodnić, że jeżeli nośnik widma jest ograniczony, to nośnik sygnału nie może być ograniczony.
![Page 27: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Nieoznaczoność Heinsenberga
Środek rozłożenia energii sygnału
dttstst 22* )(
Środek rozłożenia energii widma sygnału
dffsfsf 22* )(ˆ
Unormowane kwadraty odchyleń standardowych dla rozkładów energii, czyli wariancje
dttsttst )()( 22*
22
dffsffsf22
*22 )(ˆ)(
Zasada Heinsenberga t f 0 5,
![Page 28: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Różniczkowaniew dziedzinie częstotliwości
( ) ( ) ( )s f r f ji f
( ) ( ) ( ) ( )r f r f i f i f
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 1nn
n
n
nn
n
n
n
n
d r fd f
d r fdf
d i fd f
d i fdf
n
nn
dffsdtsjt )(ˆ)()2(
Warunek wystarczający t s t d tn ( )
Obustronnie różniczkując otrzymujemy
Czyli parzyste pochodne zachowują parzystość części rzeczywistej i nieparzystość części urojonej. Czyli sygnał będzie miał wartości rzeczywiste. W przeciwnym wypadku będzie czysto urojony. Można udowodnić, że
![Page 29: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Splot w dziedzinie czasu
s t s s t d( ) ( ) ( )
1 2 gdy s s L1 22, ( , )
Splot oznaczamy s t s t1 2( ) ( )
Przemienność splotu
s t s t s s t d s s t d s t s t1 2 1 2 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Gdy s t1 0( ) i s t2 0( ) dla t 0 to t
dtsststs0
2121 )()()()(
Musi być t 0 aby s t2 ( ) nie było równe zeru
)(ˆ)(ˆ)(ˆ)()()( 2121 fsfsfsdttssts
![Page 30: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Przykład splotu w dziedzinie czasu
![Page 31: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/31.jpg)
31
f
ff
f
fstttsj2π
)πcos(π
)πsin(
)(ˆ)()( 11
fffstts
π)πsin()(ˆ)()( 22
ff
ff
f
fsfstttttttstsj2π
2π)π2sin(
π)πsin(
)(ˆ)(ˆ)(2
)(2
)(*)(
2
1121
2
21
2
21
Wzory do rysunków
Splatane sygnały
Splot w dziedzinie czasu i jego widmo
jdffsdtst
21)(ˆ)(
bo
![Page 32: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Splot w dziedzinie częstotliwościi całkowanie w dziedzinie czasu
Całkowanie w dziedzinie czasu
s djf
s ft
( ) ( )
12
Warunek ( )s 0 0 s t dt( )
0
Splot w dziedzinie częstotliwości
s t s t s f s f s g s f g dg1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
![Page 33: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Impuls paraboliczny
Dla sygnału
s t t t tt t
( )
6 6 1 1 10 1 1
2 dladla i
znaleźć składową parzystą i nieparzystą oraz wyznaczyć ich widma.
![Page 34: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Rozłożenie na część parzystą i nieparzystą
Każdy sygnał można jednoznacznie rozłożyć na sumęs s sp n
gdziesygnał parzysty s t s t s tp ( ) ( ) ( ) 1
2
sygnał nieparzysty s t s t s tn ( ) ( ) ( ) 12
tzn.s t s ts t s tn n
p p
( ) ( )( ) ( )
s t ts t t
p
n
( )( ) 6 1
6
2
Z teoretycznych rozważań wiemy, że sygnał parzysty ma widmo czysto rzeczywiste a nieparzysty widmo czysto urojone.
Dla rozważanego przykładu otrzymujemy
![Page 35: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Widmo części parzystej
( ) ( )s f t e dtpjft
6 12 2
1
1
Posługując się tożsamością
t e dt ea
a t atatat
23
2 2 2 2
otrzymujemy widmo czysto rzeczywiste
( ) cos( ) sin( )s f ff f f
fp
6 2 1 7 3 22 2 2 2
jfa 2gdzie
![Page 36: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Prezentacja części parzystej
-1 0 1
0
5
sp(t)
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
6
sp(f)^
SygnałWidmo
amplitudowe
Czas Częstotliwość
![Page 37: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Widmo części nieparzystej
( )s f t e dtnjft
6 2
1
1
Posługując się tożsamością
t e dt ea
atatat
2 1
otrzymujemy widmo czysto urojone
fff
fjfsn
2
)2sin()2cos()(ˆ
gdzie jfa 2
![Page 38: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Prezentacja części nieparzystej
-1 0 1
-5
0
5
sn(t)
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
6
sn(f)^
Widmo amplitudoweSygnał
Czas Częstotliwość
![Page 39: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Wykresy do powyższego przykładu
Widmo amplitudoweSygnał
Czas Częstotliwość
-1 0 1
0
10
s(t)
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
6
s(f)^
![Page 40: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/40.jpg)
40
Przykład transformaty Fouriera
Wyznaczyć widmo sygnału s tt t
tt
( )
2 0 11 1 20
dladladla pozostałych
Ze wzoru definiującego transformację Fouriera
( )s f t e dt e dtjft jft 2 2 2
1
2
0
1
Posługując się tożsamością t e dt ea
a t atatat
23
2 2 2 2 otrzymujemy
ffff
fjf
fff
ffs
)2cos()2sin()4cos(
21)4sin()2sin()2cos(
21)(ˆ 22
![Page 41: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/41.jpg)
41
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo amplitudoweSygnał
Czas Częstotliwość
0 1 2
0
1
s(t)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
1
s(f)^
![Page 42: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo amplitudoweSygnał
Czas Częstotliwość0 0.5 1 2
0
1
s(t)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
1
s(f)^
![Page 43: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/43.jpg)
43
Przykład transformaty Fouriera
Wyznaczyć widmo sygnału
s tt
t( ),
1 0 0 50
dla i 1 t 2dla pozostałych
Posługując się definicją transformacji Fouriera
( ),
s f e dt e dtjft jft 2
0
0 52
1
2
1)cos()2cos()4cos()sin()2sin()4sin(21
fffjffff
![Page 44: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/44.jpg)
44
Wykresy do kolejnego przykładuWidmo amplitudowe równe modułowi części urojonej
widmaSygnał
Czas Częstotliwość
-T 0 T
-1
0
1
s(t)
-5/T -4/T -3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T0
1
s(f)^
Sygnał jest funkcja nieparzystą, więc widmo jest czysto urojone.Dla sygnałów o wartościach rzeczywistych widmo urojone jest funkcją nieparzystą.
![Page 45: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/45.jpg)
45
Kolejny przykład transformaty Fouriera
Obliczyć widmo sygnału
Tt
TttT
tsdla0
0dla10dla1
)(
Posługując się definicją transformacji Fouriera
( )s f e dt e dtjft
T
jftT
20
2
0
Po całkowaniu
( )s fjf
ejf
ejft
T
jftT
12
12
20
2
0
Po podstawieniu granic otrzymujemy widmo czysto urojone
( ) sin ( )s f jf
fT
2 2
![Page 46: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/46.jpg)
46
Wykresy do kolejnego przykładu
Widmo amplitudowe równe części rzeczywistej widmaSygnał
Czas Częstotliwość
-T 0 T
0
1
s(t)
-3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T
0
1
s(f)^
Sygnał jest funkcja parzystą, więc widmo jest funkcją rzeczywistą.Dla sygnałów o wartościach rzeczywistych widmo rzeczywiste jest funkcją parzystą.
![Page 47: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/47.jpg)
47
Kolejny przykład transformaty Fouriera
Obliczyć widmo sygnału
TtTtTt
tTTtts
dla00dla
0dla)(
Korzystając z zależności
s t s t dtT
t
( ) ( )
i posługując się twierdzeniem o transformacie z całki
( ) ( )
s fs f
j f
2otrzymujemy widmo czysto rzeczywiste
( )sin ( )
s ffT
f 2
2 2
![Page 48: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/48.jpg)
48
Jeszcze jeden przykład dzisiaj
Jakie jest widmo sygnału
s t e tt
Tt( )
dladla
00 0
Posługując się definicją transformacji Fouriera
( ) ( ) ( )s f e dtT jf
eT jf
T jf t T jf t
2
0
20
12
12
![Page 49: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/49.jpg)
49
Wykresy do jeszcze jednego przykładu
Widmo amplitudoweSygnał
Czas Częstotliwość
0 T 2T 3T
0
1
s(t)
-3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T
0
1
s(f)^
![Page 50: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/50.jpg)
50
Kolejny pouczający przykładtransformaty Fouriera
Dla sygnału w postaci funkcji Gaussa
s t t( ) exp ( )
2 22
widmo ma postać
( ) exps ff
j f
22
2 2
![Page 51: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/51.jpg)
51
Wykresy do kolejnego pouczającego przykładu
Sygnał
Czas
Częstotliwość
-1 0 1
0
1
s(t)
= 2 = 0
-1 0 1
0
1
s(f)^
= 2 = 0
Widmo amplitudowe równe części rzeczywistej widma
Sygnał jest funkcja parzystą, więc widmo jest funkcją rzeczywistą.Dla sygnałów o wartościach rzeczywistych widmo rzeczywiste jest funkcją parzystą. Funkcja Gaussa jest niezmiennikiem transformacji Fouriera.
![Page 52: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/52.jpg)
52
Uogólnienie transformacji Fouriera
lim ( ) ( )
0s t s t gdzie 0
lim ( ) ( )
0s f s f
( )s f uogólniona transformata Fouriera,czyli transformata w sensie granicznym
![Page 53: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/53.jpg)
53
Widma impulsu Diraca i sygnału stałego
Widmo impulsu Diraca
s ts tTT ( )
( )
2s t
t T T tt T t T
t T ( )
dladladla
00
0
lim ( ) ( )T T
s t t
0
( )sin ( )
s ffT
f TT 2
2 2 2
lim ( )T Ts f
0
1
s t t s f( ) ( ) ( ) 1
Transformata Fouriera sygnału stałego
s t s f f( ) ( ) ( ) 1
![Page 54: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/54.jpg)
54
Transformaty Fouriera sygnałów okresowych
s t a a nf t b nf tn nn
( ) cos( ) sin( )
0 0 01
2 2 lub
s t c enj n f t
n( )
2 0
Widmo )2cos()( 0tnftsc
s t nf t s f nf s f nf( )cos( ) , ( ) , ( )2 0 5 0 50 0 0
cos( ) , ( ) , ( )2 0 5 0 50 0 0 nf t f nf f nf
sin( ) , ( ) , ( )2 0 5 0 50 0 0 nf t j f nf j f nf
e nf t j nf tjnf t20 0
0 2 2 cos( ) sin( ) e f nfjnf t20
0 ( )
1
000 )()(5,0)()(ˆn
nnnn nffjbanffjbafafs
n
n nffcfs )()(ˆ 0
![Page 55: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/55.jpg)
55
ttts
π)πsin()(1
)π(j2sin)(j2π)( 12 ttstts
)()(1̂ ffs
)()()(ˆ 21
21
2 fffs
Różniczkowanie w dziedzinie częstotliwości
n
nn
dffsdtsjt )(ˆ)()2( bo
![Page 56: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/56.jpg)
56
)1()1(21)(ˆ)π2cos()( 22 fffstts
Iloczyn w dziedzinie czasu
fffstts
)sin()(ˆ)()( 11
)1π(2)1π(sin
)1π(2)1π(sin)(ˆ*)(ˆ)()π2cos()()( 2121
ff
fffsfstttsts
![Page 57: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/57.jpg)
57
Iloczyn w dziedzinie czasu
)1π(2)1π(sin
)1π(2)1π(sin)(ˆ*)(ˆ)()π2cos()()( 2121
ff
fffsfstttsts
![Page 58: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/58.jpg)
58
Transformacja Fouriera sygnałuz niezerową wartością średnią
s t s t s( ) ( ) 0
gdzie )(0 ts spełnia warunki dla klasycznej transformacji Fouriera
sT
s t dtT
T
T
lim ( )
12
s t s t s s f s f s f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0
s sygnał o stałej wartości, czy
![Page 59: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/59.jpg)
59
Transformacja Fouriera sygnału 2-D
Widmo sygnału dwu-wymiarowego
dydxeyxsffs yfxfjyx
yx )(2),(),(ˆ
s x y s f f e df dfx yj f x f y
x yx y( , ) ( , ) ( )
2
![Page 60: Fourier [tryb zgodności] - Zespół Przetwarzania …dydaktyka:fourier_nowy.pdf3 Dyskretne widmo sygnałów okresowych Dla sygnałów spełniających dwa warunki: sC( , ) s() ( )t](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041803/5e52bc889b7b317fb048fe55/html5/thumbnails/60.jpg)
60
Wielowymiarowe przekształcenia Fouriera
Jeśli x f n, to
( ) ( )s f s x e dx dxj f xn
xx
T
n
21
1
s x s f e df dfj f xn
ff
T
n
( ) ( )
21
1