akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych - iti.pk.edu.pliti.pk.edu.pl/~chmaj/apsc/w07a.pdf ·...

Akwizycja i przetwarzanie

sygnałów cyfrowych

Tadeusz Chmaj

Instytut TeleinformatykiITI PK Kraków

21 luty 2011

Tadeusz Chmaj Wykład II

Projektowania filtrów IIR

Metoda niezmiennosci odpowiedzi impulsowejPodstawowa zasada okreslajaca:

projektujemy filtr cyfrowy, którego czasowa odpowiedzimpulsowa jest spróbkowana wersja odpowiedzi impulsowejznanego filtru analogowegotak okreslony filtr cyfrowy bedzie wzorował swojecharakterystyki na odpowiednich charakterystykach filtruanalogowego

główny problem tej metody: problemy z aliasingiemrzeczywiste filtry nie moga miec ograniczonego pasmakonsekwencja (w procesie próbkowania) - nastapinałozenie charakterystyk (problemy z rekonstrukcja)Minimalizacja tego efektu - wziecie mozliwie duzejczestotliwosci próbkowania



Metoda niezmiennosci odpowiedzi impulsowej - c.d.schemat metody

projektujemy prototyp filtru analogowego o pozadabejpostaci transmitancji Hc(s)ustalamy czestosc próbkowania filtru cyfrowego fs (powinnabyc odpowiednio duza)zapisujemy transmitancje filtru analogowego jako sumetransmitancji filtrów o pojedynczych biegunach (rozkładtransmitancji na ułamki proste)z załozenia o niezmiennosci odpowiedzi impulsowej –kazda ze składowych analogowej odpowiedzi impulsowejaproksymujemy odpowiedzia impulsowa elementarnegofiltra cyfrowego

Ha(s) → Hka (s) → hk

a(t) → hkc (n) → hc(n) → Hc(z)

lub inaczej:

Hka (s) =

Ak

s − pk→

Ak

1 − e−pk ts ∗ z−1 = Hkc (z)



Metoda niezmiennosci odpowiedzi impulsowej - c.d.taka procedura pozwoli nam wyznaczyc pełna odpowiedzimpulsowa - sume wkładów od powyzszych odpowiedzielementarnych - reprezentowana jako iloraz dwóchwielomianów zmiennej z.to z kolei jest równowazne formule na równanie filtru wdziedzinie czasowejaby uniezaleznic wzmocnienie filtra cyfrowego od odstepuprókowania ts, mnozymy impulsowa odpowiedz analogowaprzez tsczestosc próbkowania fs powinna byc duza by ograniczycaliasnig (nakładanie sie charakterystyk Ha(jω) )


Metoda niezmiennosci odpowiedzi impulsowej -przykład

Problem: projekt filtra dolnoprzepustowego filtra opartegoo prototyp filtra Czebyszewa

zakladane parametry: Ts = 0.01, fs = 100Hz,nierównomiernosc charakterystyki w pasmie przepustowym≤ 1dB, czestotliwosc graniczna filtru: 20Hz

Transmitancja prototypu:

Hc(s) =c

s2 + bs + c,

gdzie: c = 17410.145, b = 137.94536Podział na ułamki proste (jednobiegunowe filtryanalogowe):

Hc(s) =ic/(2R)

(s + b/2 + iR)+

−ic/(2R)

(s + b/2 − iR)

gdzie R = |(b2 − 4 ∗ c)/4)|


Metoda niezmiennosci odpowiedzi impulsowej -przykład

Ułamki proste: (opisujace jednobiegunowe filtry cyfrowe)

H(z) =ic/(2R)

1 − e−(b/2+iR)Ts z−1+

−ic/(2R)

1 − e−(b/2−iR)Tsz−1

pełna transmitancja filtra cyfrowego:

H(z) =(c/R)e−bTs/2sin(RTs) z−1

1 − e−bTs/2[2cos(RTs)]z−1 + e−bTs z−2

daje formułe czasowa filtra (mnozymy wspołczynniki przyx(n − i) przez Tc):y(n) =0.700595 x(n−1)+0.43278805 y(n−1)−0.25171605 y(n−2)


Metoda transformacji biliniowej

bardzo popularna technika projektowania filtrów IIRpolega na wykorzystanie projektu filtru analogowego Ha(s)do uzyskania charakterystyk filtru dyskretnego Hc(z), takby:

Hc(eiΩ) = Ha(iω)zmiany pulsacji analogowej ω w zakresie (−∞, +∞)przeszły w zmiany pulsacji cyfrowej Ω (unormowanej wzg.czestotliwosci próbkowania) w zakresie (−π, +π)

przejscie Ha(s) −→ Hc(z) nie wymaga stosowaniatransformacji Laplace’a ani rozkladu na ułamki proste; niema tez problemów z aliasingiem

podstawa metody - transformacja zespolona Φ zmiennejzespolonej s, z = Φ(s), która stwarza relacje miedzy Hc(z)i Hz(s) postaci: Hc(Φ(s)) = Ha(s)

postac transformacji biliniowej: z = 1+Tss/21−Tss/2


Metoda transformacji biliniowej

własnosci transformacji biliniowejszczególny przypadek transformacji holograficznejposiada transformacje odwrotna s = 2

Ts

z−1z+1

przekształca płaszczyzne zespolona w siebie transformujacokregi uogólnione (linie + okregi) w okregi uogólnioneniech s = σ + iω; wtedy z = Φ(s) = 1+σTs/2+iωTs/2

1−σTs/2−iωTs/2

zas |z|2 = (1+σTs/2)2+(ωTs/2)2

(1−σTs/2)2+(ωTs/2)2

gdy σ > 0 to |z|2 > 1, gdy σ = 0 to |z| = 1, zas gdy σ < 0 to|z|2 < 1

wnioski: transformacja biliniowa przekszałca płaszczyznezespolonego s na płaszczyzne zespolonego z tak, ze

os urojona s = iω −→koło jednostkowe z = eiΩ

bieguny lewej półpłaszczyzny (σ < 0) −→biegunywewnatrz koła jednostkowegobieguny prawej półpłaszczyzny (σ > 0 −→ bieguny nazewnatrz koła jednostkowego


Metoda transformacji biliniowej - algorytm metody

zwiazek miedzy pulsacjami:

ω =2T

tg(Ω/2) Ω = 2arctg(ωTs/2)

Algorytm metody:wyznaczamy transmitancje Ha(s) prototypu filtraanalogowegoustalamy czestotliwosc próbkowania filtra cyfrowegopodstawiamy jako zmienna transmitancji Ha(s) wielkosc2Ts

z−1(z+1) – dostajemy transmitancje Hc(z) filtra cyfrowego

sprowadzamy Hc(z) do postaci ilorazu dwóch wielomianówz tej postaci potrafimy wypisac równania struktury filtra


Metoda transformacji biliniowej - przykład

Zadanie - konstrukcja filtru dolnoprzepustowego w oparciuo taki sam zestaw danych, co w poprzednim przykładzie

Transmitancja prototypu - jak wyzej (LP Czebyszewdrugiego rzedu, fs = 100Hz, ):

Ha(s) =c

s2 + bs + c,

gdzie: c = 17410.145, b = 137.94536

wyznaczamy Hc(z) = Ha(s = 2Ts

1−z−1

1+z−1 )

wymnozenie licznika i mianownika, zebranie wyrazów orównych potegach, normalizacja tak, by wyraz wolny wmianowniku był = 1 daje:

Hc(z) =

c(a2+2b+c)

(1 + 2z−1 + z−2)

1 + (2c−2a2)(a2+ab+c)

z−1 + (a2+c−ab)(a2+ab+c)

z−2


Metoda transformacji biliniowej - przykład

wstawienie danych numerycznych, wypisanie jakorównania strukturalne:y(n) = 0.20482712712x(n)+ 0.40965424x(n − 1) +0.20482712712x(n− 2) + 0.53153089y(n − 1) −0.35083938y(n − 2)

Porównanie metod

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

Amlituda Faza


Filtry nierekursywne FIR

Sa to cyfrowe filtry bez sprzezenia zwrotnego,przyczynowe, opisane odpowiedzia impulsowa h(n):

y(n) =

∞∑

k=0

h(k)x(n − k)

ze wzgledów implementacyjnych bierzemy skonczona ilosc(pierwsze N współczynników odpowiedzi impulsowej -działanie filtra zadane przez N liczb h(n) (lub - w konwencjiMatlaba - bn), n = 0, .., N − 1

y(n) =

N−1∑

k=0

h(k)x(n − k)

reakcja na wymuszenie impulsowe zanika w skonczonymczasie (stad nazwa FIR)kazda próbka sygnału wyjsciowego – srednia wazonaustalonej ilosci ostatnich próbek sygnału wejsciowego


Filtry FIR - własnosci, metody projektowania

zalety:łatwosc projektowania,stabilnosc,mozliwosc uzyskania liniowej charaterystykifazowo-czestotliwosciowej (filtr nie zniekształca sygnału)

wady:koniecznosc stosowania duzej (w porównaniu z IIR) ilosciwspółczynnikówwieksza złozonosc obliczeniowa – koniecznosc wykonaniaduzej ilosci operacji arytmetycznych (czyli – mniejszaszybkosc działania)

najwazniejsze metody projektowaniametoda próbkowania w dziedzinie czestotliwoscimetoda aproksymacji Czebyszewa (algorytm Remesa)metoda okien


Funkcje okna - pojecie i zastosowania

W dziedzinie przetwarzania sygnałów - funkcja w(t) równazero poza ustalonym przedziałem

typowy przyklad - okno prostokatne

analiza czestotliwosciowa sygnałów - przypadek ciagły -skonczony przedział czasutechnicznie równowazne:

wyjsciowy ciagły sygnał analizowany x(t) (na ogółnieskonczony)wycinamy zakres czasowy odpowiadajacy interesujacemunas obszarowi - odpowiada to iloczynowi xw(t) = x(t)w(t)analiza czestotliwosciowa takiego sygnału - widmo sygnałuna obszarze skonczonym okreslone przez splotow widmasygnału i widma funkcji oknajak oddzielic sygnał od okna?


Funkcje okna - c.d.

przykład - analiza sygnału x(t) = cos(ω0t)zakres nieskonczony -

X(ω) = 0.5δ(ω − ω0) + 0.5δ(ω + ω0)

wyciecie - okno prostokatne o szerokosci T ;W (ω) = 2 sin(ωT )

Twidmo sygnału obcietego:

Xw (ω) =sin((ω − ω0)T )

ω − ω0+

sin((ω + ω0)T )

ω + ω0

wpyw okna - oscylacje Xw (ω)

podobnie dla sygnału dyskretnego - DFT uzywaskonczonego ciagu próbek - koniecznosc stosownaniaokien

- wynik - jak dla przypadku ciagłego - prazki w widmiespróbkowanego sygnału, ponadto powielenie widma


Funkcje okna - c.d.

struktura widm - listek główny (wysokosc, szerokosc ∆ml

zdefiniowana np. przez pozycje zer), listki boczne (głównyparametr - tłumienie Asl w stosunku do listka głównego)

mozliwe inne okna - rózne charakterystyki, wpływ nakształt obcietego sygnału

nazwa definicja ∆ml Asl

prostokatne 1 4π/N 13.3 dBtrojkatne 1 − 2|n−(N−1)/2|

N−1 8π/N 26.5 dBHamminga 0.54 − 0.46cos( 2πn

N−1) 8π/N 42.7 dB

wzrost N – spadek ∆ml , bez wpływu na tłumienie Asl

inne mozliwosc - okna parametryczne(Dolpha–Czebyszewa, Kaisera)


Metoda okien - cechyprosta pod wzgledem teoretycznym i implementacyjnymefektywna – z tych powodów: szeroko stoswana

Algorytm metody:

wybierz typ filtra (LP, HP, BP, BS, jego pulsacje graniczne) -to zadaje jego idealna (prostokatna) transmitancje H(eiΩ)wyznacz analityczna formułe na dyskretna odpowiedzimpulsowa filtra h(n) (dla idealnych filtrów gotowewyrazenia) - zazwyczaj h(n) - gasnace, nieskonczoneoscylacjewymnóz obliczona odpowiedz impulsowa z wybranafunkcja okna

hw(n) = h(n) ∗ w(n)

o skonczonej ilosci niezerowych próbek, w(n) = 0 dla|n > M|przesun uzyskana funkcje hw(n) w prawo o M probek,pobierz 2M + 1 probekfiltr hM

w (n) gotowy


Metoda okien - dyskusja wpływu okna

Rola okna - wybór z nieskonczonej odpowiedzi impulsowejfiltra jej skonczonego, najbardziej istotnego fragmentudobór długosci (N = 2 ∗ M + 1) oraz kształtu - wazny dlauzyskania liniowosci charakterystyki amplitudowej wpasmie przepuszczania, odpowiedniego tłumienia wpasmie zaporowym oraz własciwej stromosci filtraZaleznosc widma okna od parametrów

ustalony kształt okna - zwiekszanie jego długosci -zmniejszenie szerokosci listka głównego filtra, brak wpływuna poziom tłumienia listków bocznychby zwiekszyc tłumienie listków bocznych - wez "lepsze"okno

Zaleznosc widma filtra od wyboru oknaaby zwiekszyc stromosc - wydłuz oknoaby zwiekszyc tlumienie w pasmie zaporowym - wybierzinny typ okna (z mniejszym poziomem listkow bocznych)

Do projektowania filtrów korzystnie jest zastosowac oknaparametryczne (np. Kaisera, Dolpha-Czebyszewa).


akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych - iti.pk.edu.pliti.pk.edu.pl/~chmaj/apsc/w07a.pdf ·...

Documents