formulario di fisica · 2019. 11. 28. · 1 di 19 formulario di fisica meccanica dei solidi...
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Formulario di Fisica MECCANICA DEI SOLIDI Cinematica (spostamento, velocità, accelerazione)
velocità media
!vm =
Δ!xΔt
=!x f −
!xi
t f −ti
velocità istantanea !v = lim
Δt→0
Δ!xΔt
=d!x
dt.
accelerazione media
!am =Δ!vΔt
=!v f −!vi
t f −ti
accelerazione istantanea !a = lim
Δt→0
Δ!vΔt
=d!vdt
.
· legge oraria del MRU (
!vm =!v ): x t( )= x 0( )+ vt .
· leggi orarie del MRUA ( !am =
!a ): x t( )= x 0( )+ v 0( )t +
12
at2 ; v t( )= v 0( )+ at .
· Relazioni sul moto circolare:
velocità angolare media ωm =
ΔϑΔt
=ϑ f −ϑi
t f −ti
velocità angolare istantanea ω=
dϑdt
.
accelerazione angolare media αm =
ΔωΔt
=ω f −ωi
t f −ti
accelerazione angolare istantanea α=
dωdt
.
· MCU ( ω COSTANTE ): v =
2πrT
= ωr , ac =
v2
r.
· MCUA ( α COSTANTE ): ϑ t( )= ϑ 0( )+ω 0( )t +
12αt2 , ω t( )= ω 0( )+αt .
· Relazioni sul MA:
x t( )= x 0( )·cos ωt( ) ; v t( )=−ωx 0( )sin ωt( );
a t( )=−ω2x 0( )cos ωt( )=−ω2x t( ) .
Applicazione: · Periodo di un moto armonico di una molla di costante elastica k: T = 2π m k .
· Periodo di un moto armonico di un pendolo di lunghezza l: T = 2π l g .
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Dinamica (forze, lavoro, energia)
!Fi
i=1
n
∑ = m!a (II principio della dinamica), dove !F N⎡⎣ ⎤⎦ indica la forza applicata a un oggetto
di massa m kg⎡⎣ ⎤⎦ . momento torcente (o della forza):
!τ =!r×!F N·m⎡⎣ ⎤⎦
Applicazione:
· Condizione di equilibrio di un punto materiale:
!Fi
i=1
n
∑ =!0 .
· Condizione di equilibrio di un corpo rigido:
!Fi
i=1
n
∑ =!0 e
!τi
i=1
n
∑ =!0 .
quantità di moto
!p = m!v kg·m s⎡⎣ ⎤⎦ .
impulso di una forza
!I =Δ
!p =!F t( )dt
ti
t f
∫ kg·m s⎡⎣ ⎤⎦ ( =!F·Δt se
!F COSTANTE ), da cui il
secondo principio della dinamica
!F =
d!pdt
.
Vale il principio di conservazione della quantità di moto: in un sistema chiuso e isolato la quantità di moto si conserva, ovvero
!pi =!pf .
Applicazione: · Urto elastico:
!pi =!pf e Ki = K f , dove K indica l’energia cinetica ( J⎡⎣ ⎤⎦ ).
· Urto anelastico: !pi =!pf ma Ki ≠K f (se completamente anelastico ΔK è massima, ovvero
i due oggetti rimangono attaccati). momento della quantità di moto
!L =!r× !p = m!r× !v kg·m2 s⎡
⎣⎢⎤⎦⎥ , da cui il secondo principio
della dinamica rotazionale !τ =
d!L
dt.
forze fondamentali
i. forza peso !F = m!g ( g =
gT = G MT
RT2 ! 9,8m s2 accelerazione di gravità terrestre).
ii. forza elastica: !Fe =−kΔ
!x , dove k N m⎡⎣ ⎤⎦ è la costante elastica del materiale.
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iii. forza gravitazionale:
!FH =−G Mm
r2 r (
!H =
!FH
m campo gravitazionale, G costante di
gravitazione universale). iv. forza di attrito statico (
!Fs =−µs
!N x , dove µs (adimensionale) indica il coefficiente di
attrito statico, !N = N l’intensità della forza normale e x il versore spostamento),
dinamico ( !Fd =−µd
!N v , dove µd (adimensionale) indica il coefficiente di attrito
dinamico e v il versore velocità) e viscoso ( !Fv =−β
!v , dove β kg s⎡⎣ ⎤⎦ indica il coefficiente di attrito viscoso).
Lavoro di una forza
L =
!F i d!x
xi
x f
∫ (che per !F COSTANTE si ha L =
!F iΔ
!x = F·Δxcosϑ )
i. Lavoro della forza peso: L =−mgΔh
ii. Lavoro della forza elastica: L =−
12
kΔx2
iii. Lavoro della forza di gravitazione: L = GMm 1
rf
−1ri
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟ (
UH = G Mm
r energia potenziale
gravitazionale e VH = G M
r potenziale gravitazionale)
energia cinetica K =
12
mv2 (rotazionale: K =
12
Iω2 , dove I = miri
2
i=1
n
∑ è il momento
d’inerzia). energia potenziale gravitazionale U =Ug = mgh .
energia potenziale elastica U =Uela =
12
kΔx2 .
energia meccanica totale E = K +U . lavoro totale L = LC + LNC , dove LC =−ΔU è il lavoro delle forze conservative, LNC =ΔE è il lavoro delle forze non conservative. Da qui il Teorema della vis viva: L =ΔK . Vale il principio di conservazione dell’energia meccanica: in un sistema chiuso e isolato l’energia totale si conserva, Ki +Ui = K f +U f .
potenza meccanica P =
LΔt
=!F i!v W⎡⎣ ⎤⎦ .
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MECCANICA DEI FLUIDI Fluidostatica e fluidodinamica
pressione idrostatica p =
!NS
Pa⎡⎣ ⎤⎦ ; 1 atm = 1,013·105 Pa = 1,013 bar = 760 mmHg .
legge di Stevin p h( )= pext +ρgh , dove pext indica la pressione esterna sopra al fluido
d’indagine e ρ kg m3⎡⎣⎢
⎤⎦⎥ la densità del fluido.
principio di Archimede un oggetto immerso in un fluido (di volume Vimm ) riceve una spinta rivolta verso l’alto pari al peso del fluido spostato: FA = ρF Vimmg , dove ρF indica la densità del fluido.
portata media Qm =
ΔVΔt
m3 s⎡⎣⎢
⎤⎦⎥ ( = S !vm se a sezione S costante).
portata istantanea Q =
d Vdt
( = S !v se a sezione S costante).
legge di Castelli
Qi = Qf →Si
!vi = Sf!v f .
pressione idrodinamica pd = p+ρgh+
12ρv2 .
legge di Bernoulli pdi = pd f → pi +ρghi +
12ρvi
2 = pf +ρghf +12ρv f
2 .
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TERMODINAMICA temperatura T K⎡⎣ ⎤⎦= T°C + 273,15 condizioni standard STP di temperatura ( 0 °C = 273,15 K ), pressione ( 1 atm ) e volume ( 22,4ℓ mol , 1 ℓ= 1 dm3 = 10−3 m3 ). equazione fondamentale della calorimetria ΔE = Q = m c ΔT , dove Q indica il calore J⎡⎣ ⎤⎦ che si ha per variazione di temperatura ( 1 cal = 4,184 J ) e c J kg·K( )⎡
⎣⎢⎤⎦⎥ il calore specifico del
corpo di massa m. capacità termica C = m c J K⎡⎣ ⎤⎦ . calore latente λQ = Q m J kg⎡⎣ ⎤⎦ , dove Q indica il calore J⎡⎣ ⎤⎦ che si ha per cambiamento di stato. primo principio della dinamica Q =ΔU + L , ovvero il calore fornito (o sottratto) a un sistema termodinamico o serve per variare l’energia interna del sistema ( ΔU = nc VΔT , dove c V J K⎡⎣ ⎤⎦ indica il calore specifico a volume costante) o serve per far compiere (o compiere) lavoro. · se il sistema riceve calore Q+ > 0 · se il sistema cede calore Q− < 0 · se il sistema fa lavoro L+ > 0 · se al sistema si fa lavoro L− < 0
rendimento di una macchina termica η=
L+
Q+ = 1−Q−
Q+ .
teorema di Carnot η≤ ηC = 1−
Tfredda
Tcalda
.
entropia S: ΔS =
ΔQT
J K⎡⎣ ⎤⎦ (o dS =
1T
dQA
B
∫ ).
secondo principio della dinamica ΔS≥ 0 . equazione di stato dei gas perfetti (ideali) pV = nRT , dove V m3⎡
⎣⎢⎤⎦⎥ indica il volume, n il
numero di moli di gas ed R = NAkB la costante dei gas perfetti ( NA indica il numero di Avogadro, kB indica la costante di Boltzmann).
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· trasformazione isobara ( Δp = 0 o VT
COSTANTE ) L =−pΔV , Q = ncpΔT (dove cp J K⎡⎣ ⎤⎦
indica il calore specifico a pressione costante).
· trasformazione isocora ( ΔV = 0 o pT
COSTANTE ) L = 0 , Q = nc VΔT .
· trasformazione isoterma ( ΔT = 0 o pV COSTANTE ) L =−nRT ln
Vf
Vi
=−Q .
· trasformazione adiabatica ( Q = 0 o pV γ COSTANTE , dove γ= cp c V ) L =
1γ−1
Δ pV( ) .
relazione di Mayer R = cp−c V .
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ONDE Onde meccaniche, suono funzione d’onda y = ψ x−vt( ); caso dell’onda armonica ψ x−vt( )= Acos kx−ωt( ) , dove
A m⎡⎣ ⎤⎦ indica l’ampiezza, k = 2π λ m−1⎡⎣⎢⎤⎦⎥ il numero d’onda ( λ m⎡⎣ ⎤⎦ la lunghezza d’onda) e
ω= 2π T rad s⎡⎣ ⎤⎦ la pulsazione d’onda ( T s⎡⎣ ⎤⎦ il periodo). Si ha che v =λT
=λ f , dove f
indica la frequenza ( f = 1 T Hz⎡⎣ ⎤⎦ ).
Onde stazionarie su una corda λn =
2ℓn
e fn = n v
2ℓ sono rispettivamente la lunghezza
d’onda e la frequenza dell’n-esimo armonico, n∈!\ 0{ } . velocità di un’onda sonora su una corda v = T µ , dove T N⎡⎣ ⎤⎦ indica la tensione della corda e µ kg m⎡⎣ ⎤⎦ la densità lineare. velocità di un’onda sonora nello spazio v = γp ρ (dipende dalla temperatura:
v = v0 1+αT con v0 = 331 m s la velocità a 0°C e α= 1 273,15 °C−1 , T espressa in °C).
intensità di un’onda sonora I =
PS
W m2⎡⎣⎢
⎤⎦⎥ ; livello sonoro
β= 10log I
I0
, dove
I0 = 10−12 W m2 rappresenta la soglia di udibilità. Udibilità fino a 1 W m2 che corrisponde a 120 dB. frequenza f Hz⎡⎣ ⎤⎦ di udibilità 20-20˙000.
Effetto Doppler ′f =
v−vS
v−vO
f , dove ′f indica la frequenza percepita dall’osservatore O, f
la frequenza dell’onda emessa dalla sorgente S, vS la velocità della sorgente e vO la velocità dell’osservatore (le velocità sono positive se hanno lo stesso verso della propagazione dell’onda, altrimenti sono negative).
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Onde elettromagnetiche (prima parte), luce riflessione i = s . Si ha diffusione se la superficie non è liscia. rifrazione (Snell-Cartesio) n1 sin i = n2 sin r , dove ni = vi c rappresenta l’indice di rifrazione dell’i-esimo mezzo, con c velocità della luce nel vuoto. Si ha dispersione se la luce non è monocromatica. interferenza (Young) dsinϑ= nλ (frange luminose per fasci luminosi coerenti in fase,
n∈! ); dsinϑ= 2n+1( )λ2
(frange oscure per fasci luminosi coerenti in fase, n∈! ).
diffrazione (Huygens – Fraunhofer) dsinϑ= nλ (frange oscure, n∈!\ 0{ } ). in un reticolo di diffrazione dsinϑ= nλ (frange luminose n∈! ), dove d è il passo del reticolo.
risoluzione di un’immagine (criterio di Rayleigh): ϑmin = 1,22 λ
D, dove D è l’apertura del
dispositivo ottico (ad esempio la pupilla) usato per osservare le sorgenti luminose. lunghezza d’onda λ ; frequenza f delle onde radio: > 300 mm; < 109 Hz lunghezza d’onda λ ; frequenza f delle µ onde: 0,3 – 300 mm; 109−1012 Hz lunghezza d’onda λ ; frequenza f dei raggi IR (infrarosso): 700 - 300˙000 nm = 0,3 mm ;
1012−4,3·1014 Hz lunghezza d’onda λ dei colori dello spettro del visibile in nm:
Rosso 610-700 Arancione 590-610 Giallo 570-590 Verde 470-570 Azzurro 440-470 Indaco 420-440 Violetto 380-400
lunghezza d’onda λ ; frequenza f dei raggi UV (ultravioletto): 3 – 400 nm; 7,5·1014−1017 Hz lunghezza d’onda λ ; frequenza f dei raggi X: 0,003 – 3 nm; 1017−1020 Hz lunghezza d’onda λ ; frequenza f dei raggi γ : < 0,003 nm; >1020 Hz
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ELETTROMAGNETISMO Elettrostatica
legge di Coulomb
!FE = k Qq
r2 r (
!H =
!FH
m
!E =
!FE
q N C o V m⎡⎣ ⎤⎦ campo elettrico, k costante di
Coulomb, k =
14πε
dove ε= ε0·εr con ε0 costante dielettrica del vuoto e εr costante
dielettrica relativa al materiale). flusso del campo elettrico attraverso una superficie piana φE =
!E i n·S = E·S·cosϑ V·m⎡⎣ ⎤⎦
teorema di Gauss: in una superficie gaussiana (chiusa) il flusso vale φE =
qiint
i=1
n
∑ε
.
Applicazioni:
· campo elettrico su una superficie sferica uniformemente carica E r( )= k Q
r2 .
· campo elettrico di una distribuzione uniforme infinita lineare di carica E r( )=
λQ
2πεr, dove
λQ =
Qℓ
C m⎡⎣ ⎤⎦ .
· campo elettrico di una distribuzione uniforme infinita superficiale di carica E =
σ2ε
, dove
σ=
QS
C m2⎡⎣⎢
⎤⎦⎥ .
energia potenziale elettrica (di una coppia di cariche) U = k Qq
r (posto U∞ = 0 ).
principio di conservazione dell’energia estesa ai fenomeni elettrici: Ki +Ui = K f +U f .
potenziale elettrico V =
Uq
V⎡⎣ ⎤⎦ ; per una carica puntiforme V = k Q
r.
il campo elettrico come gradiente del potenziale elettrico ΔV =−
!E iΔ
!x (caso
!E uniforme).
lavoro per spostare una carica elettrica L =−qΔV .
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la circuitazione del campo elettrico ΓE =!E iΔ
!r∑ (o ΓE =
!E i d!r"∫ ) V⎡⎣ ⎤⎦ .
il campo elettrico è conservativo: ΓE ≡ 0 .
la capacità di un conduttore (in particolare un condensatore) C =
QΔV
F⎡⎣ ⎤⎦ .
la capacità di un condensatore a facce piane parallele C = ε
Sd
.
intensità del campo elettrico all’interno di un condensatore piano E = σ ε
energia immagazzinata in un condensatore E =
12
Q2
C.
densità di energia del campo elettrico (uniforme) nel vuoto uE =
12ε0E
2 .
n condensatori in serie, C1 , C2 ,…, Cn :
Ceq =1
1Cii=1
n
∑.
n condensatori in parallelo, C1 , C2 ,…, Cn : Ceq = Ci
i=1
n
∑ .
Elettrodinamica
intensità di corrente elettrica media Im =
ΔqΔt
= ne ·e·vd ·S A⎡⎣ ⎤⎦ , dove ne #elettroni m3⎡⎣⎢
⎤⎦⎥ , e è la
carica elementare, vd la velocità di deriva, S la sezione del filo dove scorre la corrente.
intensità di corrente elettrica istantanea I =
dqdt
A⎡⎣ ⎤⎦ forza elettromotrice di una batteria ideale (generatore di tensione) fem = L q V⎡⎣ ⎤⎦ potenza elettrica erogata dal generatore Pe = fem·I
la resistenza elettrica R =ΔV
IΩ⎡⎣ ⎤⎦ (prima legge di Ohm).
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la resistenza elettrica di un filo R = ρR
ℓS
, dove ρR Ω·m⎡⎣ ⎤⎦ indica la resistività del materiale
(seconda legge di Ohm). potenza elettrica dissipata da un resistore Pd = R·I 2 .
n resistenze in serie, R1 , R2 ,…, Rn : Req = Ri
i=1
n
∑ .
n resistenze in parallelo, R1 , R2 ,…, Rn :
Req =1
1Rii=1
n
∑.
I legge di Kirchhoff: in un nodo IIN = IOUT∑∑ . II legge di Kirchhoff: in una maglia ΔV = 0 . circuito RC in corrente continua:
· fase di carica fem = Ri t( )+
1C
q t( )→ q t( )= fem·C 1−e−t τc( ) e
i t( )=
femR
e−t τc , dove τc = RC
è il tempo caratteristico.
· fase di scarica (su una resistenza R): 0 = Ri t( )+
1C
q t( )→ q t( )= q 0( )e−t τc e i t( )=−
q 0( )RC
e−t τc
Magnetismo la forza esercitata su un filo percorso da corrente elettrica immerso in un campo magnetico (legge di Laplace)
!F = I
!ℓ×!B , dove
!B T⎡⎣ ⎤⎦ indica il campo magnetico.
intensità di campo magnetico generato da un filo percorso da corrente (legge di Biot-
Savart, esperimento di Oersted) B =
µ2π
Ir
, dove µ = µ0·µr con µ0 permeabilità magnetica
del vuoto e µr permeabilità magnetica relativa al materiale). forza di Lorentz
!F = q!v×
!B .
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moto di una carica elettrica immersa in un campo magnetico · caso
!v"!B : MRU.
· caso !v⊥!B : MCU con raggio di curvatura
r =
mvqB
.
· altri casi: composizione dei due moti (moto a elica). forza di Lorentz generalizzata
!F = q
!E+!v×!B( ) .
moto di una carica elettrica immersa in un campo elettro-magnetico · selettore di velocità: v = E B .
· spettrometro di massa: fase di accelerazione 12
v2 = qΔV ; fase di rotazione r =
mvqB
.
flusso del campo magnetico φB =
!Bn·S Wb⎡⎣ ⎤⎦ .
teorema di Gauss magnetico φB ≡ 0 . circuitazione del campo magnetico ΓB =
!B iΔ
!r∑ (o ΓB =
!B i d!r"∫ ) T·m⎡⎣ ⎤⎦
teorema di Ampere ΓB = µ Ii
conc
i=1
n
∑ .
Applicazioni: · intensità del campo magnetico generato da un solenoide B = µnsI , dove ns = N ℓ è la densità di spira. momento torcente in una spira percorsa da corrente I immersa in un campo magnetico
!B
!τ = ISn×
!B =!µB×
!B , dove
!µB A·m2⎡⎣⎢
⎤⎦⎥ indica il momento magnetico.
intensità della forza tra due fili percorsi da corrente immersi in un campo magnetico
(esperimento di Ampere) F =
µ2π
I1I2
rℓ .
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Elettromagnetismo
legge di Faraday femm =
ΔφB
Δt (valore assoluto della forza elettromotrice indotta media) o
fem =
dφB
dt (valore assoluto della forza elettromotrice indotta istantanea).
legge di Lenz femm =−
ΔφB
Δt (forza elettromotrice indotta media) o
fem =−
dφB
dt (forza
elettromotrice indotta istantanea).
induzione elettromagnetica (legge di Faraday-Neumann-Lenz) ΓEi
=−dφB
dt, dove
!Ei
rappresenta il campo elettrico indotto e la sua circuitazione la fem indotta istantanea.
induttanza Li =
dφB
di H⎡⎣ ⎤⎦ →ΔV = Li
didt
.
induttanza di un solenoide Li = µns
2ℓS .
energia immagazzinata in un solenoide U =
12
LI 2 .
densità di energia del campo magnetico (uniforme) nel vuoto uB =
12µ0
B2 .
circuito RLi in corrente continua:
· fase di carica fem = Ri t( )+ L
di t( )dt→
i t( )=
femR
1−e−t τl( ) , dove τl = Li R è il tempo
caratteristico.
· fase di scarica (su una resistenza R): 0 = Ri t( )+ L
di t( )dt→ i t( )= i 0( )e−t τl .
Circuiti in corrente alternata generatore AC ( ω COSTANTE): fem = fem0 sin ωt( ) , dove fem0 = NBSω .
circuito puramente resistivo: i t( )= i0 sin ωt( ) , dove i0 =
fem0
R.
potenza istantanea dissipata P t( )= Ri2 t( ).
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potenza istantanea massima dissipata PMAX = Ri02 .
potenza media dissipata P = Rieff2 , dove
ieff =
femeff
R, con
ieff =
i0
2 e
femeff =
fem0
2.
circuito puramente capacitivo: i t( )= i0 sin ωt +
π2
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ , dove
i0 =
fem0
XC
, con XC =
1ωC
che è
chiamata reattanza capacitiva. potenza media dissipata P = 0 .
circuito puramente induttivo: i t( )= i0 sin ωt− π
2⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ , dove
i0 =
fem0
XLi
, con XLi= ωLi che è
chiamata reattanza induttiva. potenza media dissipata P = 0 .
circuito RCL in serie: impedenza Z = R2 + X2 = R2 + ωL− 1
ωC⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2
, tanϕ=
ωL− 1ωC
R.
potenza media dissipata P = femeff ieff cosφ= femeff ieff
RZ
.
Equazioni di Maxwell e onde elettromagnetiche (seconda parte) valori medi (nel vuoto) valori istantanei (nel vuoto)
φE =qint∑ε0
φB ≡ 0
ΓE =−ΔφB
Δt
ΓB = µ0 iconc + µ0ε0ΔφE
Δt∑
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
φE =qint∑ε0
φB ≡ 0
ΓE =−dφB
dt
ΓB = µ0 iconc + µ0ε0dφE
dt∑
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
in caso di assenza di sorgenti (nel vuoto)
φE = 0φB ≡ 0
ΓE =−dφB
dt
ΓB =1c2
dφE
dt
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
, dove c =
1ε0µ0
.
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onda elettromagnetica che si propaga lungo l’asse x:
!E x;t( )= EMAX sin kx−ωt( )z!B x;t( )= BMAX sin kx−ωt( )y
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
, con
E = cB . densità di energia media trasportata da un’onda elettromagnetica che si propaga nel
vuoto: u =
12ε0Eeff
2 +1
2µ0
Beff2 = ε0Eeff
2 =1
µ0
Beff2 .
quantità di moto media trasportata dall’onda p =
uVc
.
intensità media di un’onda elettromagnetica I = uc .
intensità trasmessa per un fascio non polarizzato I =
I0
2;
intensità trasmessa per un fascio polarizzato (legge di Malus) I = I0 cos2 ϑ .
polarizzazione totale (angolo di Brewster) tanϑB =
n2
n1
.
pressione di radiazione pr =
Ic
.
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FISICA MODERNA Relatività trasformazioni di Galilei da un sistema di riferimento Oxyzt a un sistema di riferimento
′O ′x ′y ′z ′t che si sta muovendo rispetto al primo lungo l’asse x a velocità costante.
′x = x−vt′y = y′z = z′t = t
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
, con la legge di composizione delle velocità ′u = u−v
trasformazioni di Lorentz da un sistema di riferimento Oxyzt a un sistema di riferimento
′O ′x ′y ′z ′t che si sta muovendo rispetto al primo lungo l’asse x a velocità costante.
′x = γ x−vt( )′y = y′z = z
′t = γ t− vc2 x
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
, dove
γ=1
1− v2
c2
è il fattore lorentziano.
legge di composizione delle velocità
′u =u−v
1− uvc2
.
dilatazione degli intervalli temporali Δt = γΔt0 , dove Δt0 è l’invariante tempo proprio.
contrazione della lunghezza lungo il moto L =
L0
γ, dove L0 è l’invariante lunghezza
propria. L’invariante intervallo spazio-tempo Δs( )2
= Δx( )2+ Δy( )2
+ Δz( )2−c2 Δt( )2 .
effetto Doppler relativistico ′f =
c ± vc∓v
f , dove i segni sopra fanno riferimento
all’avvicinamento tra sorgente e osservatore mentre quelli sotto fanno riferimento al loro reciproco allontanamento. massa relativistica m = γm0 , dove m0 indica l’invariante massa a riposo.
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quantità di moto relativistica !p = γm0
!v .
il secondo principio della dinamica relativistica
!F = m!a + m0
!v dγdt
;
vale il principio di conservazione della quantità di moto relativistica. energia relativistica E = E0 + K→mc2 = m0c
2 + K→ K = m0 γ−1( )c2 . vale il principio di conservazione della massa-energia; è possibile misurare le masse delle particelle in MeV c2 .
l’invariante quadrivettore energia-quantità di moto Ec2
2
−p2 ( = m02c2 ).
Fisica quantistica irraggiamento del corpo nero (legge di Stefan-Boltzmann) P = εσST 4 , dove 0 <ε≤1 ( ε= 1 per il corpo nero), σ= 5,67·10−8 W K·m2( ) è la costante di Stefan.
intensità della radiazione del corpo nero (emittanza) I = σT 4 .
in generale l’emittanza è l’integrale improprio della densità di energia
I λ( )dλ0
+∞
∫ .
legge dello spostamento di Wien λMAX =
bT
, dove b = 2,90·10−3 m·K è la costante di Wien,
fornisce la lunghezza d’onda per la quale si ha l’intensità massima.
legge di Rayleigh-Jeans (valida per λ≥λMAX ) I λ( )dλ=
8πkBcTλ4 J m3⎡
⎣⎢⎤⎦⎥ .
legge di Planck En = nhf , n∈! (quantizzazione dell’energia della radiazione), dove h rappresenta la costante di Planck.
densità di energia della radiazione del corpo nero:
I λ( )dλ=2πhc2
λ5 · 1
ehcλkBT −1
J m3⎡⎣⎢
⎤⎦⎥ .
effetto fotoelettrico KMAX = hf −L0 , dove L0 = hf0 rappresenta il lavoro di estrazione, con
f0 frequenza di soglia.
massa; quantità di moto di un fotone: mfotone = 0 ; pfotone =
hλ
.
18 di 19
formula dello scattering di Compton: Δλ=λc 1−cosϑ( ) , dove λc =
hmec
= 2,43·10−12 m è
la lunghezza d’onda Compton dell’elettrone e ϑ l’angolo con il quale si diffonde il fotone X. atomo di Bohr
· rn = a0
n2
Z, n∈!\ 0{ } , dove
a0 =
! 2
mek0e2 = 5,29·10−11m indica il raggio della prima orbita
di Bohr (con !=
h2π
) e Z è il numero atomico dell’idrogenoide.
· vn =
k0e2
!Zn
, n∈!\ 0{ } , dove v1 =
k0e2
!= 2,18·106 m s .
· En =−
mek0e4
2! 2Z2
n2 , n∈!\ 0{ } , dove E1 =−13,6 eV ( 1 eV = 1,60·10−19 J ).
Applicazione:
· deduzione della legge empirica di Rydberg-Ritz
1λ
= R 1nf
2 −1
ni2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟, dove nf ,ni ∈!\ 0{ } con
nf < ni , R =
mek0e4
4π! 3 = 1,097·107 m−1 constante di Rydberg.
· conferma sperimentale: esperimento di Franck-Hertz.
la lunghezza d’onda di de Broglie λ=
hp
;
· conferma sperimentale: esperimento di Davisson e Germer (legge di Bragg): 2dsinϑ= nλ , n∈!\ 0{ } ; · conferma teorica: quantizzazione del momento angolare Ln = n! , n∈!\ 0{ } . equazione di Schroedinger (caso di un elettrone che si muove di MRU):
∂∂tψ x;t( )=
!i2me
∂2
∂x2 ψ x;t( ) , dove i rappresenta l’unità immaginaria.
La soluzione dell’equazione di Schroedinger nel caso dell’elettrone dell’atomo di idrogeno implica l’esistenza di quattro numeri quantici:
19 di 19
· numero quantico principale n, n∈!\ 0{ } (già trovato da Bohr). · numero quantico del momento angolare orbitante ℓ= 0, 1, …, n−1 ; fornisce l’intensità del momento angolare orbitante dell’elettrone L = ℓ ℓ+1( )·" . · numero quantico magnetico mℓ =−ℓ, −ℓ+1, …, −1, 0, 1, 2, …, ℓ−1, ℓ ; fornisce i valori della componente z del momento angolare dell’elettrone: Lz = mℓ" .
· numero quantico di spin ms = ±
12
.
principio di indeterminazione di Heisenberg: Δpx ·Δx≥ !
2 (o
ΔE·Δt≥ !
2).
TABELLA DELLE COSTANTI
costante di gravitazione universale G = 6,67·10−11 Nm2
kg2
costante di Boltzmann kB = 1,38·10−23 J
K
numero di Avogadro NA = 6,02·1023 mol−1
costante dielettrica nel vuoto ε0 = 8,85·10−12 F m
costante di Coulomb nel vuoto k0 = 8,99·109 Nm2
C2
permeabilità magnetica del vuoto µ0 = 4π·10−7 H m
velocità della luce nel vuoto c = 3,00·108 m s
carica elementare e = 1,60·10−19 C
massa dell’elettrone me = 9,11·10−31kg
costante di Planck h = 6,63·10−34 J·s