fizik lab.-1 kitapçık (pdf)

Muhendislik FakultesiOgrencileri icin

Fizik Laboratuvarı IDeney Kitapcıgı

DEU, Fen Fak. Fizik Bolumu

Arastırma Gorevlileri tarafından Muhendislik Fakultesi

ogrencileri icin duzenlenmistir.

Temmuz, 2016 (Yaz Donemi)IZMIR

1

Laboratuar Isleyisi Ile Ilgili Acıklamalar

• Ogrenciler 2016 Yaz donemi boyunca bu yonergede belirtilen deneyleri haftadaIKI deney olacak sekilde yapacaklardır.

• Ogrenciler deneylere gelmeden once deneyi okuyarak hazırlanmıs olarak gelme-lidir. Deneye hazırlık yapmadan gelen ve laboratuvar isleyisini bozandavranıslarda bulunan ogrencileri deney yonlendiricisi dısarıya cıkarabilir.

• Yonlendirici bilgi vermeden, ogrencilerin deney aletlerini kurcalamalarıYASAKTIR !!.

• Ogrenciler deney sırasında yaptıkları olcum sonuclarını ilgili tablolara yaza-caktır.

• HER LABORATUVAR SAATINDE YOKLAMA ALINACAKTIR.BU YOKLAMALAR, DERSIN SORUMLUSUNA ILETILEREK DE-VAM/DEVAMSIZLIK TAKTIRI DERSIN SORUMLU HOCASINABIRAKILACAKTIR. BU ANLAMDA DEVAMSIZLIK NEDENIYLELABORATUVAR NOTU ’0’ OLARAK VERILMEYECEK VE DERSEKAYITLI TUM OGRENCILER, LABORATUVAR SINAVINAGIREBILECEKTIR.

• DEGERLENDIRME : Fizik 1 dersine % 20 not katkısı olan laboratuvarnotu, tum deneylerden sonra yapılacak tek bir TEST sınavı ile belirlenecektir.Sınavın yeri ve saati Laboratuvar Ilan Panosunda ve http://kisi.deu.edu.tr/umit.dogan/adresinde ilan edilecektir. Sınav yeri ve saati bilgisini takip etmek ogrencilerinsorumlulugundadır.

• Laboratuara ilan edilen deney baslama saatinden GEC GELMEYINIZ !!

• Ogrenciler deney sonunda deney masalarını duzenli bırakmalıdır.

2

2106 Yaz Donemi Fizik-1 ve Fizik-2 Laboratuvar Programı

Not: Laboratuvar uygulamaları 25 Temmuz 2016 haftası baslayıp takip eden 4hafta boyunca devam edecektir.

3

.

Icindekiler

O Giris : Olcu Aletleri,Hata Hesabı ve Grafik Cizimi

O D1 : VEKTORLER

O D2 : BIR BOYUTTA HAREKET

O D3 : IKI BOYUTTA HAREKET

O D4 : EGIK DUZLEM VE EYLEMSIZLIK PRENSIBI

O D5 : NEWTON’UN II. YASASI ve IS-ENERJI

O D6 : DUZGUN DAIRESEL HAREKET VE MERKEZCIL KUVVET

O D7 : BIR BOYUTTA CARPISMA

O D8 : EYLEMSIZLIK MOMENTI VE DONDURME MOMENTI

4

Giris : Olcu Aletleri,Hata Hesabı ve GrafikCizimi

• SURGULU KUMPAS

Oldukca duyarlı uzunluk ve acı olcmekte kullanılan bir cok aletin esasını olusturanverniye eseli 1631 yılında Pierre VERNIER tarafından gelistirilmistir. Bu foy kap-samında ki deneylerde verniye eselinin daha gelismis sekli olan surgulu kumpas kul-lanılarak cesitli uzunluk olcumlerinin yapılması hedeflenmektedir. Surgulu kumpasınverniye eseline gore ustunlugu ic ceper ve derinlik olcumlerinin de yapılabilmesineizin verebilmesidir.

Sekil 1: Bir surgulu kumpas

Surgulu kumpas uzerinde iki tane esel bulunmaktadır. Bunlardan ilki mm du-yarlıgında ayarlanmıs olan sıradan cetvel eseli, digeri ise mm nin 1/10’u duyarlıgındaayarlanmıs verniye eselidir.

Sekil 2: Surgulu kumpas uzerinde ornek bir olcu

Surgulu kumpasta olcum alırken uzunlugu olculecek cisim (ic ceper ya da derinlik)

5

kumpasın ceneleri (ic cap ceneleri ya da derinlik olcum cubugu) arasına yerlestirilir.Verniye eselinin basladıgı sıfır degerinden once gelen cetvel eseli degeri kaydedilir(bkz. sekil 2’de ki ornek olcum icin bu deger 2.4 cm dir). Ardından her iki eselincakıstıgı (ya da neredeyse cakıstıgı) degerler saptanır. Ornegimizde cakısma verniyeeselinin 7. cizgisinde gerceklesmektedir. Verniye eselinde iki cizgi arasındaki uzaklık(duyarlılıgı) 0.1 mm=0.01 cm oldugundan 2.4 cm’ ye 7.10−2 cm (0, 1× 7 = 0.7 mm)eklenerek alınmak istenen olcu 2.47 cm olarak elde edilir.

• MIKROMETRE

Hassas uzunluk olcumleri yapmak icin gelistirilmis bir diger arac ise mikrometredir.Mikrometreler temelde adım sayılarına gore sınıflandırılırlar. Buna gore bir adımı 1ya da 0.5 mm olan iki yaygın mikrometre turu bulunmaktadır. Labaratuvarımızdadaha duyarlı olcum yapma olanagı saglayan 0.5 mm’lik adıma sahip mikrometrelerkullanılmaktadır.

Sekil 3: Mikrometre ve temel parcaları.

Mikrometre ile olcu alırken olculmek istenen nesne mikrometrenin olcum milleriarasına yerlestirilir. Yerlestirilme isinin tamamlanıp tamamlanmadıgını anlayabilmekicin dislicark cevrilir ve ses gelmeye baslayınca cevirme islemine son verilir. Bu du-rumda uzunlugu olculmek istenen nesne miller arasına tam olarak yerlesmistir.

Sekil 4: Mikrometre ile yapılan ornek bir olcum.

Mikrometrenin bir adımı 0.5 mm oldugundan ve mikrometre yuksugu 50 bolmeuzerinden esellendirildiginden yuksuk uzerindeki iki cizgi arası 0.5/50 = 0.01 mm’ye karsılık gelmektedir. Olcu alırken ilk olarak mikrometre kolu uzerinde gorulebilenson cizginin karsılık geldigi deger okunur. (bkz. sekil 4’de ki ornek olcum icin bu

6

deger 8.5 mm’ dir.) Daha sonra bu degere, kol cizgisinin yuksuk eselini kestigi yerdekideger belirlenerek (37.5) iki cizgi arasındaki mesafe (0.01) ile carpılır ve mm cinsindeneklenir. Yani Sekil 4’teki olcu degeri 8.5+37.5×10−2 = 8.875 mm olarak okunacaktır.

• HATA HESABI VE STANDART SAPMA

Yapılan her olcume bir hata eslik eder. Alınan olcumler uzerinde yapılan hatalarklasik istatistigin konusu olmakla birlikte burada yalnızca bazı basit hata kavramlarıuzerinde duracagız. Bunlar mutlak hata, bagıl hata ve standart sapmadır.

Hata Hesabı

Fiziksel olcumler gozonune alındıgında en yaygın kullanılan hata tanımları mutlakve bagıl hatadır. Alınan bir olcumun sonucu X, olculmek istenen buyuklugun kesin(gercek) degeri x olmak uzere bu olcumde yapılan mutlak hata

∆x = |X − x| (1)

ifadesiyle tanımlıdır. Sozkonusu olcunun gercek degeri olarak genellikle alınan olculerinaritmetik ortası kullanılır. Ideal olarak bir buyukluk uzerinde sonsuz sayıda (cok fa-zla sayıda) olcum yapılıp alınan bu olculerin ortalaması kullanılırsa gercek degere enyakın degeri belirlemis oluruz. Yalnızca mutlak hata, yapılan olcumun saglıklı olupolmadıgı konusunda bir fikir vermez. Bu konuda karar verebilmek icin bagıl hatadenilen bir tanım kullanılır. Buna gore yapılan bir olcumdeki bagıl hata

∆x

x(2)

ifadesiyle tanımlıdır. Bagıl hata yapılan olcumun ne olcude saglıklı oldugu konusundabir fikir verebilir. Bagıl hatanın boyutsuz bir kavram oldugu da tanım ifadesindenanlasılmaktadır. Bunu su ornekle acıklayalım.

x X ∆x ∆x/x0.1 m 0.101 m 0.001 m 0.01

y Y ∆y ∆y/y0.010 m 0.011 m 0.001m 0.1

Yukarıdaki tabloda da goruldugu gibi x ve y niceliklerinin olcumlerinde yapılanmutlak hatalar esittir. Buna karsın bagıl hatalar goz onune alındıgında x niceliginindaha az hatalı olculdugu gorulmektedir.Ayrıtlarının uzunlukları sırasıyla x, y ve z ile gosterilen dikdortgenler prizması

seklindeki tahta parcasının hacmini olcerken yapılan hatayı hesap edelim. Kul-lanacagımız surgulu kumpas, mikrometre ve terazinin uzerinde bagıl hata degerleriyazmaktadır. Prizmanın hacmini V ile gosterirsek V = xyz yazılabilir. Bu ifadenin∆V diferansiyelini

∆V = yz∆x+ zx∆y + xy∆z (3)

olarak yazabiliriz. Buradan yararlanarak

∆V

V=

∆x

x+

∆y

y+

∆z

z(4)

7

esitligi elde edilir. ∆V/V oranı hacim olcumundeki bagıl hatayı temsil etmektedir.Herbir ayrıtın olcumunde yapılan hatalar birbirine esit oldugundan (nicin? ) bu sonucasagıdaki gibi de ifade edilebilir.

∆V

V= ∆x

(1

x+

1

y+

1

z

)(5)

Benzeri sekilde hareket ederek bir cismin kutle yogunluguna (ρ) ilisikin bagıl hataifadesinin

∆ρ

ρ=

∣∣∣∣∆m

m− ∆V

V

∣∣∣∣ (6)

ile verilebilecegini soyleyebiliriz. Burada m cismin kutlesini gostermektedir. Ancakbu ifadedeki − isareti hata miktarını azaltır ve yalnızca matematiksel bir gerek-tirmedir. Gercekte ise hem kutleyi hem de hacmi belirlemede yapılan hatalar toplamhatanın azalmasına degil artmasına neden olacagından (6) esitligini

∆ρ

ρ=

∣∣∣∣∆m

m+

∆V

V

∣∣∣∣ (7)

seklinde duzeltmek gerekir.

Standart Sapma

Herhangi bir fiziksel buyukluge (x) ait n tane olcum yaptıgımızı dusunelim. Gercektebu buyuklugun yalnızca bir tek degeri oldugu varsayımından hareketle almıs oldugu-muz bu n tane olcunun olusturdugu kumeye ({xi}) ait standart sapma (x), xortkumenin aritmetik ortası ve de ∆xi alınan her bir olcunun aritmetik ortadan farkını(baska bir deyisle i. olcumdeki mutlak hatayı) gostermek uzere

x =

√√√√√ n∑i=1

(∆xi)2

n− 1(8)

esitligiyle tanımlanır. Buna gore, olcumun sonucu elimizdeki olcu kumesi dikkatealındıgında x0±x biciminde ifade edilir. Asagıda verilen ornek hata hesabının yapılısıhakkında fikir vermektedir.1 Bir basit sarkacın periyoduna ait altı olcum asagıdakitabloda verilmistir.

i xi(s) ∆xi = xi − xort (∆xi)2

1 3.9 0.3 0.09

2 3.5 -0.1 0.01

3 3.7 -0.1 0.01

4 3.8 -0.2 0.04

5 3.4 0.2 0.04

6 3.5 -0.1 0.01

Eger bu veriler arasında digerlerinden cok farklı olcum degerleri var ise dikkatealınmamalıdır.xort, yapılan 5 olcumun ortalama degeri:

xort =3.9 + 3.5 + 3.7 + 3.8 + 3.4 + 3.5

6= 3.6 s (9)

1Ayrıntılı bilgi icin http://phys.columbia.edu/ tutorial/introduction/ adresinden yararlanınız.

8

bulunur.Tablonun ikinci sutuna herbir olcumun ortalama degerden farkı ∆xi = xi − xort,

ucuncu sutuna ise bu farkların kareleri yazılmıstır. 8 denklemine gore bu olcumlereait standart sapma:

x =

√+0.09 + 0.01 + 0.01 + 0.04 + 0.04 + 0.01

5= 0.1920s (10)

bulunur. Buna gore sonucx = (3.6± 0.1920)s (11)

seklinde yazılır. Bagıl hata :

∆x

x=

0.1920

3.633= 0.0533 (12)

bulunur.

9

D1 : VEKTORLER

1 Deneyin Amacı

Kuvvet masası yardımıyla vektorlerin ozelliklerinin incelenmesi.k

2 Kuram

Vektorler, buyuklugu ve yonu olan, skalerler ise yalnız buyuklugu olan nicelik-

lerdir. Bir vektor−→A veya A seklinde gosterilir. Iki A ve B vektoru ucgen veya par-

alelkenar kuralı kullanılarak toplanabilir. Ucgen yonteminde (Sekil.1), C = A + Bvektoru A nın baslangıcından B nin ucuna gider. Paralelkenar yonteminde (Sekil.1),C, kenarları A ve B olan bir paralelkenarın kosegenidir.

Sekil 1: Vektorlerin toplanması

A vektorunun x bileseni olan Ax, Sekil.2’ deki gibi bir koordinat sisteminin x ekseniboyunca izdusumune esittir. BuradaAx = A cos θ veA,A vektorunun buyuklugudur.Aynı sekilde, A nın Ay bileseni, Ay = A sin θ dır ve Ay, A nın y ekseni boyuncaizdusumudur.

Sekil 2: Vektorlerin bilesenlere ayrılması

Iki veya daha fazla vektorun bileskesini bulmak icin butun vektorler x ve y bilesen-lerine ayrılır. x ve y bilesenlerinin ayrı ayrı cebirsel toplamaları bulunur ve bileskevektorun buyuklugunu bulmak icin Pisagor teoremi kullanılır. Bileske vektorun xekseniyle yaptıgı acı, uygun bir trigonometrik fonksiyon kullanılarak bulunabilir.Bir A vektoru, Ax e esit bir x bilesenine ve Ay ye esit bir y bilesenine sahipse,

vektor A = Axi + Ayj gibi birim vektorlerle ifade edilebilir. Bu gosterimde i ve j,sırasıyla, +x ve +y dogrultusunda yonelen birim vektorlerdir. i ve j birim vektorleroldugundan |i| = |j| = 1 dir.

10

3 Deneyde Kullanılacak Araclar

• Uc ayaklı kuvvet masası

• Makara (3 adet)

• Kutle tutucu (3 adet)

• Plastik halka

• Kutleler

• Ip

4 Deneyin Yapılısı

1. Kuvvet masasını Sekil.3’teki gibi kurarak, masaya uc makara yerlestiriniz. Birip yardımı ile kutle tutucularını kuvvet masasındaki halkaya baglayınız. Bunuyaparken iplerin makaraya ulasacak kadar uzun olmasına dikkat ediniz.Sectiginiz iki kutle tutucuya rastgele kutleler koyunuz (Bir kutlenin, acılarıdaha rahat belirlemek acısından kuvvet masasındaki skalada 0 derecede ol-ması kolaylık saglayabilir). Sistemi dengeye getirmek icin, deneme yanılmayoluyla, iki kutleyi dengeleyecek ucuncu makaranın yerini ve uzerine asılmasıgereken kutleyi bulunuz. Ucuncu kuvvet dengeleyici kuvvet olarak adlandırılırve bileske kuvvetin negatifine esittir. Sistemi dengelemek uzere kullanılanucuncu makaraya astıgınız kutleyi ve makaranın yerini (acısını) tabloya kayde-diniz. Bu kuvvetlere karsılık gelen vektorleri Sekil 4 e ciziniz.

2. Simdi ucuncu makaraya ne kadarlık bir kutlenin, nereye (acı) asılacagını be-lirlemek icin bilesenler yontemi yardımıyla (Sekil 4 e cizdiginiz vektorlerinbilesenlerini aynı sekil uzerinde belirterek) dengeleyici kuvvetin yonunu ve buyuklugu-nu hesaplayınız. Bunun icin uyguladıgımız iki kuvveti x ve y bilesenlerineayırarak bileske kuvveti bulunuz. Dengeleyici kuvvet, bileske kuvvetle aynıbuyuklukte, fakat zıt yondedir. Dengeleyici kuvvet icin buldugunuz sonuclarıtabloya kaydediniz.

3. Iki yontemle buldugunuz sonucları karsılastırınız. Sonuclar birbirinden farklımı? Neden?

Yontem Kutle (kg) Acı(o)

Deneysel

Bilesenler (Teorik)

11

Sekil 3: Kuvvet masası

5 Deney Sonu Soruları

1. Her iki deney sonucu icin, iki yontemle (teorik ve deneysel yontemler) buldugunuzsonucları karsılastırınız. Sonuclar birbirinden farklı mı? Neden?

2. Deneyde yapılan hata kaynakları nelerdir?

3. Bir parcacıgın yerdegistirmesinin buyuklugu, alınan yolun uzunlugundan dahabuyuk olabilir mi?

4. Uzunlukları farklı ancak vektorsel toplamları sıfır olan iki vektor bulabilir misiniz?

5. Uc vektorun vektorel toplamlarının sıfır olabilmesi isteniyorsa bu uc vektor icinne tur uzunluk kosullamaları gereklidir? Acıklayınız.

12

Sekil 4:

k

13

D2 : BIR BOYUTTA HAREKET

(Serbest Dusme)

1 Deneyin Amacı

Tek boyutta sabit ivmeli harekete ornek olan serbest dusme hareketinin incelenmesi,bu harekete sebep olan yercekimi ivmesi g nin belirlenmesi.

2 Kuram

Butun cisimlerin, serbest bırakıldıkları zaman yere hemen hemen sabit ivme iledusecegi iyi bilinir. Galileo Galilei’nin, egik Piza Kulesi’nden aynı anda serbestbırakılan farklı iki kutlenin yere yaklasık olarak aynı zamanda carptıgını gozleyerekbu gercegi ilk defa kesfettigi rivayet edilir. Her ne kadar bu ozel deneyin yapıldıgıhakkında bazı kuskular varsa da, Galileo’nun egik duzlemler uzerinde hareket edencisimlerle bircok sistematik deney yaptıgı bilinmektedir. Uzunluk ve zamanaralıklarının dikkatli olcumlerinden, durgun halden harekete gecen bir cismin yerdegistirmesinin, cismin hareketi boyunca gecen zamanın karesi ile orantılı oldugugozlenmistir. Bu gozlem, sabit ivmeli hareket icin elde edilen kinematik denklem-lerin bir tanesi ile uyumludur. Galileo’nun mekanik bilimindeki basarıları, Newton’unhareket yasalarının gelismesinde onemli paya sahiptir.Bir bozuk para ve burusturulmus bir parca kagıt aynı anda aynı yukseklikten

bırakılsın. Hava direnci yokken, her ikisi de aynı hareketi yapacaklar ve yere aynızamanda carpacaklardır. (Gercek bir deneyde, hava direnci ihmal edilemez.) Havadirencinin ihmal edildigi, ideallestirilmis halde, boyle bir hareket serbest dusme olaraktanımlanmaktadır. Bu deney, hava direncinin gercekten ihmal edilebilir oldugu iyi birvakumda yapılabilseydi, kagıdın seklini dikkate almaksızın, kagıt ve para aynı ivmeile duseceklerdir. 2 Agustos 1971 de, boyle bir deney astronot Davit Scott tarafındanay uzerinde yapıldı. Astronot, bir cekic ve bir sahin tuyunu aynı anda serbest bıraktıve ayın aynı yuzeyine aynı anda dustuklerini gozledi. Bu gosteri deneyi Galileo’yukesinlikle onaylamıstır.Yercekimi ivmesi g ile gosterilir. g nin buyuklugu, yerin yuzeyinde yaklasık olarak

9, 80 m/s2 dir ve yuksekligin artması ile azalır. g vektoru, asagıya, yerin merkezinedogru yonelmistir.Serbest dusen cisim denildiginde, sadece durgun halden baslayarak dusen bir cisim

anlasılmamalıdır. Serbest dusen bir cisim, onun ilk hareketine bakılmaksızın, yercekimininetkisi altında serbestce hareket eden herhangi bir cisimdir. Yukarı veya asagı fırlatılanbir cisim, durgun halden itibaren serbest bırakılan bir cisim ile aynı ivmenin etkisialtında kalır. Cisimler serbest dusme halinde iken, yercekiminden ileri gelen ivmeyeesit, asagı dogru bir ivmeye sahip olacaklardır.Hava direncini ihmal eder ve yercekimi ivmesinin yukseklikle degismedigini kabul

edersek, serbest dusen bir cismin hareketi, sabit ivme altındaki bir-boyutlu hareketeozdestir. Bu nedenle, sabit ivmeli hareket icin gecerli olan kinematik esitlikler uygu-lanabilir. Bu durumda kinematik denklemler, ((1), (2), (3) ve (4) denklemleri)

14

(a) x = f(t)

(b) υ = f(t)

(c) a = f(t)

Sekil 1: Konum, hız ve ivmenin zamana gore grafikleri.

υ = υ0 + gt (1)

y − y0 =1

2(υ + υ0)t (2)

y − y0 = υ0t+1

2gt2 (3)

υ2 = υ20 + 2g(y − y0) (4)

ile verilir. Yercekimi ivmesinin asagı dogru oldugu unutulmamalıdır. Serbest dusenbir parcacık icin konum-zaman, hız-zaman ve ivme-zaman grafikleri ise Sekil.1’dekigibidir.

15

Sekil 2: Isık kapısı ve ısık kapısına duyarlı cetvel.


L Isık kapısı (photogate)

L Isık kapısı duyarlı cetvel

Isık kapısı (photogate) nedir?Isık kapısı bir ucunda kızılotesi ısık yayan, diger tarafta da bu ısıgı algılayabilen biralıcıdan ibarettir. Boylece ısık kesildiginde algılayıcı bilgisayara isaret yollayacak,tekrar kesilinceye kadar gecen zamanı bilgisayar belirleyecektir.


1. Konumu olcmek icin, serbest dusme hareketi yapan cisim olarak cetvel kul-lanacagız. Kullanacagımız cetvele, 2 cm aralıklarla 1 cm genisliginde bant-lar yapıstırılmıstır. Bantlar, cetveli serbest bıraktıgımızda, ısık kapısındangecerken ısıgı kesmeye yarar. Dolayısıyla, bilgisayar, cetveldeki iki bantlı kısımarasında (3 cm lik kısım) gecen sureyi verecektir.

2. Veri almak icin kullanılan, bilgisayardaki “Datastudio” programının kurulumu:Data Studio acınız; “Deney yarat” tıklayınız; ısık kapısı takılı olan kanalaekranda tıklayınız; “Algılayıcı yada arac sec” bolumu acılacaktır, buradan “Isıkkapısı ve cit” secip; “Olcumler” sekmesinde “Pozisyon” secenegi secili hale ge-tirip; “Sabitler” sekmesinden “Bant aralıgı” kısmı 0.03 m (3cm) olarak degistiriniz(Buradan sonra ”Baslat”a basıp oluc almaya baslayabiliriz). Cetvelle yapılanatıslarda “Tablo” dan “Pozisyon” degerlerine bakılsın; 10 veri olan atısı elealınız (10 veri alınmasının sebebi kullanılan cetvelde 10 aralık olmasındandır.Daha az veri alınmıssa atıs tekrarlanır). Buradan Konum - Zaman verileri eldeedilir.

16

3. Olcmus oldugunuz konum ve zaman degerlerini tabloya kaydediniz.

4. Cismin hız degerleri bu zaman ve konum degerlerini kullanarak su sekilde be-lirlenebilir: υ1 = (x2−x1)/(t2− t1), υ2 = (x3−x2)/(t3− t2), ... (10 tane zamanve 10 tane konum degeri icin 9 hız degeri olacaktır.)

5. Yukarıda buldugunuz hız degerlerini kullanarak a1 = (υ2 − υ1)/(t2 − t1), a2 =(υ3 − υ2)/(t3 − t2), ... (9 tane zaman ve 9 tane hız degeri icin 8 ivme degeriolacaktır.) Buldugunuz ivme degerlerinin ortalamasını alarak yer cekimi ivmesig yi belirleyiniz.

5 Olcum Sonucları

Tablo 1: Cetvel serbest duserken alınan sonuclarZaman (s) Konum (m) Hız (m/s) Ivme (m/s2)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

g = .............. m/s2

17

k


1. Buldugunuz hızlar ortalama mı yoksa ani hız degerleri midir? Nedeniyle birlikteacıklayınız.

2. Aynı deney kutuplarda ve ekvatorda yapılsaydı yercekim ivmesi degeri nasıldegisirdi? Neden?

3. Serbest dusme hareketinde cismin yerdegistirmesi ile gecen zaman arasında nasılbir bagıntı vardır? Bu bagıntıya gore bu iki degiskenin bir grafigi cizilecek olsanasıl bir grafik olurdu? Bu grafikten yercekimi ivmesi bulunabilir mi? Nasıl?

18

D3 : IKI BOYUTTA HAREKET

1 Deneyin Amacı

Iki boyutta sabit ivmeli (egik atıs) hareketin incelenmesi.DENEY YONLENDIRICISININ UYARILARINI DINLEMEDEN TOP FIRLATI-

CISINI KULLANMAYINIZ!!!

2 Kuram

Egik atıs, yatay eksenle belli bir acı altında fırlatılan parcacıgın dusey duzlem icindekihareketidir. Tenis veya futbol topunun hareketi (hava direncini ihmal edilirse) buharekete ornek olarak verilebilir.Egik atıs hareketi (Sekil 1) yatayda ve duseyde olmak uzere iki boyutta ince-

lenebilir. Egik atılan cisimler yatayda esit zaman aralıklarında esit yer degistirmeleresahiptir. Bu da cisimlerin yatayda sabit hızla hareket ettiklerini gosterir. Duseydeise asagı yonlu ve sabit yer cekimi ivmesi (g) ile hareket ederler. Ilk atıldıkları anda,atılma hızının dusey bileseni maksimum degere sahiptir. Yukarı yonlu olan dusey hızbileseni yer cekiminin etkisi ile gittikce azalır ve bir muddet sonra sıfır olur. Bu andacisim duseyde cıkabilecegi maksimum yukseklige cıkmıstır. Daha sonra cisim geridonerek asagı yonlu serbest dusme hareketi yapar ve dusey hız bileseni g ivmesiylegiderek artar. Atıldıgı seviyeye geldigi andaki hızı, ilk atıldıgı hızın dusey bileseniyleaynı buyuklukte fakat zıt yondedir.

Sekil 1: Egik atıs yapan bir cismin yorungesi.

19

Egik atısın basladıgı yeri koordinat sisteminin merkezi olarak secelim. t=0 anındayatayla belli bir θ0 acısı yapacak sekilde v0 ilk hızı ile atısın yapıldıgını dusunelim.Bu durumda ilk hızın yatay ve dusey bilesenleri

vox = v0cos(θ0), voy = v0sin(θ0) (1)

olarak belirlenir. Atısın yapıldıgı andan bilyenin yere carptıgı ana kadar olan ucussuresi

tuc =2v0sin(θ0)

g, (2)

ve bilyenın cıktıgı maksimum yukseklik

hmax =v0

2sin2(θ0)

2g, (3)

ifadeleri ile verilir. Buna gore yatay eksende cismin aldıgı maksimum yol (menzil):

X = v0xtuc =v0cos(θ0)2v0sin(θ0)

g=

v20sin(2θ)

g(4)

ile hesaplanır.


c Egik atıs duzenegi.

c Bilye.

c Cetvel

c Bilgisayar


Egik atıs duzenegi Sekil 2’de gosterildigi gibi kurulur. Deney yonlediricisinin talimat-ları dogrultusunda deney masasındaki cisme (sarı bilye) egik atıs yaptırılır. Bilyeninyere carptıgı uzaklık olculerek menzil (X) kaydedilir. Atısın yapıldıgı acı degeri θ0, hyuksekligi ve bilgisayardan okunan ucus suresi tAD kaydedilir. Bu sure DataStudioprogramı ile elde edilecektir. Olcum sonucu elde edilen veriler yardımıyla hmax ve Hyukseklikleri, v0 ilk hızı, AB mesafesi icin gerekli tAB suresi ve yere carpma hızı v (1),(2),(3) ve (4) ifadeleri ile hesaplanır. Gerekli hesaplamalar yapılırken bu esitliklerideney duzenegine gore ele almak gerekebilir.

20

Sekil 2: Deney duzenegi ve egik atıs yaptırılan cismin yorungesi.

5 Olculer ve Sonuclar

Tum olcum ve hesap sonuclarınızı SI sistemine uygun olarak kg,m, s cinsinden olusturunuz.Yer cekimi ivmesi g = 9.81 m/s2 dir.

• h = ...................

θ0 X tAD

• v0 = .......................,

• hmax = ...................,

• tAB = ...................,

• H = ...................,

• v = ...................

k

21


1. Yatayla α acısı yapacak sekilde v0 ilk hızı ile egik olarak atılan bir cismin(sekil1’de goruldugu gibi) cıkabilecegi maksimum yuksekligi, menzilini, yukselissuresini ve ucus suresini veren bagıntıları cıkarınız.α = 00 ve 900 olması du-rumlarında bu bagıntıların alacagı sekillleri acıklayarak belirtiniz.

2. Hız ne zaman minimum, ne zaman maksimum degerdedir? Hızın y-bilesenininnegatif olması ne anlama gelir?

3. Deneyde egik olarak atılan biyenin (Sekil 2’deki gibi) CD mesafesini almasıicin gereken sure t ile gosterilmistir.Bu sureyi elde etmek icin gerekli ifadeyituretiniz.

22

D4 : EGIK DUZLEM VE EYLEMSIZLIKPRENSIBI

1 Deneyin Amacı

Newton’un Birinci Kanunu’nun gerceklenmesi ve olcekli egik duzlemden alınan ver-ilerle matemetiksel sonucların karsılastırılması.k

2 Kuram

Herhangi bir cisim uzerine bir kuvvet etki etmiyorsa, ya da etki eden kuvvetlerinbileskesi sıfırsa, cisim durumunu degistirmez; yani duruyorsa durur, ya da hareketediyorsa, devinimini bir dogru boyunca devam ettirir.

a)Duran bir cisme bir kuvvet etki etmedikce cisim yine hareketsiz kalır. Cisme etkieden kuvvetlerin bileskesi sıfır ise, cisim o anki durumunu korur. Bir cisim icin netkuvvet sıfır ise a=0 olur.

b) Hareketli bir cisme bir kuvvet etki etmezse cismin hızı ve yonu degismez. Cisimhareket ediyorsa duzgun dogrusal yani sabit hızlı olarak hareketine devam eder.

Dısarıdan uygulanan bir kuvvetin etkisinde olmayan bir cisim; durgun ise dur-gun halde kalmaya devam eder, hareketli ise sabit hızla hareketine devam eder. Busekilde ifade edilebilecek olan Newton’un birinci yasası aynı zamanda eylemsizlikyasası olarak da bilinir.

Duzgun yuzeyli θ egim acısına sahip bir egik duzlem yuzeyi uzerinde m kutlelicisim bırakılırsa, cisme etkiyen kuvvetler, N normal kuvveti ile asagı yonlu W agırlıkkuvvetidir. Sekil 1’de ipteki gerilmeyi hesaplayabilmek icin, W agırlık kuvveti ikibilesene ayrılabilir. Wx, egik duzlemin yuzeyine paralel olan bilesen ve Wy egikduzlem yuzeyine dik olan bilesendir. Wx ve Wy bilesenleri kolayca hesaplanabilir.Wx = W sin θ ve Wy = W cos θ’dır. Sistem dengede oldugundan cisme etkiyenkuvvetlerin x ve y bilesenlerinin ayrı ayrı toplamı sıfır olmalıdır. Ipteki gerilim T,Wx’e esit fakat zıt yonlu, egik duzlem tarafından uygulanan tepki kuvveti N’de Wy’yeesit olacaktır.

ΣFx = Mg sin θ − T = 0

ΣFy = N −Mg cos θ = 0


c Deney Tahtası

c Egik Duzlem

23

c Makara (2 adet)

c Silindirik Cisim

c Dinamometre

c Kutleler

c Kutle tutucu (1 adet)

c Ip


Sekil 1: Deney Duzenegi

Silindirik cismin kutlesini (M) ve agırlıgını (W) belirleyin.

M = ...... W = .....

Sekilde gorulen deney duzenegini kurun. Kutle tutucuya kutle astıktan sonra egikduzlemin egimini degistirerek sistemi denge haline getirin. Dogru sonuclar elde ede-bilmek icin silindirik cisme baglı ipin, egik duzlem yuzeyine paralel olmasına dikkatedin.Kutle tutucuya asılı cismin kutlesini (M’), agırlıgını (W’) ve egik duzlemin egim

acısını (θ) belirleyerek kaydedin.

M ′ = ..... W ′ = ..... θ = ....

W ’nın x bilesenini hesaplayın.

Wx = .....

Bu Wx kuvvetini hangi kuvvet dengelemektedir? Dengeleyen bu kuvvet ile Wx

kuvveti aynı mı? Bu deneyde surtunme katsayısını nasıl bulabilirsiniz?

24


1) Sistemdeki tum kuvvetleri sekil uzerinde gosteriniz. (Sekli asagıya tekrarcizin.)

2) Egim acısı 600 oldugunda sistemin dengede kalabilmesi icin kutle tutucuyane kadar agırlık asılmalıdır?

2) Olculen degerler ile hesaplananlar aynı mı? Sebebini acıklayınız.

25

D5 : NEWTON’UN II. YASASI ve IS-ENERJI

1 Deneyin Amacı

Bu deneyde; Newton’ un II. hareket yasasının deneysel olarak gerceklenmesi, hareketinve harekette degisimlerin sebeplerinin arastırılarak, kuvvetle hareket arasındaki bagıntınınincelenmesi, is, enerji, enerji cesitleri, is-enerji iliskisi gibi temel fiziksel kuram vekavramların incelenmesi ve anlasılması, bunların ogrenci tarafından diger fizikselkavramlar ve kuramlarla iliskilendirilmesi hedeflenmektedir.HAVA RAYI UZERINDEKI KUTLEYI UFLEYICIYI CALISTIRMADANKESINLIKLE

HAREKET ETTIRMEYINIZ!!!

2 Kuram

2.1 Newton’un II. Yasası

Newton’un hareket yasaları, bir cisim uzerine etki eden kuvvetler ve cismin hareketiarasındaki iliskileri ortaya koyan yasalardır.Newton’un I. hareket yasasına gore, eylemsiz referans sisteminde bulunan bir parcacık

uzerine bir net kuvvet etki etmiyorsa cismin hızında herhangi bir degisiklik olmaz.“Bir cisim uzerine dengelenmemis bir dıs kuvvet etkimedikce, cisim hareket duru-

munu (duraganlık veya sabit hızlı hareket) korur.”Newton’un II. hareket yasasına gore, eylemsiz bir referans sisteminde, bir parcacık

uzerindeki net kuvvet onun cizgisel momentumunun zaman ile degisimi ile orantılıdır:F = d(mv)/dt. Momentum, (mv) kutle ile hızın carpımına esittir. Kuvvet ve momen-tum vektorel nicelikler oldugundan, net kuvvet cisim uzerine etki eden tum kuvvet-lerin vektorel toplamı ile bulunur.“Bir cisim uzerindeki net kuvvet, cismin kutlesi ile ivmesinin carpımına esittir.”∑

F = ma (1)

2.2 Is-Enerji

2.2.1 Is

Bir cisme etki eden sabit bir kuvvet, cisme belli bir miktarda yol aldırıyor ise, budurum cismin is yapması olarak tanımlanır. Yapılan is, cisme uygulanan kuvvetinbuyuklugu ve bu kuvvetin etkisi altında cismin aldıgı yolun uzunlugu ile dogruorantılıdır.

W = F · x (2)

Yapılan is skalar bir buyukluktur. SI birim sisteminde birimi Newton-metre (N.m)veya Joule (J) olarak ifade edilir.

26

(a) (b)

Sekil 1: a) Yerdegistirme dogrultusundaki kuvvetin yaptıgı is, yerdegistirme ilekuvvetin carpımına esittir (W = F x). b) Eger F kuvveti yola paralel degilse isiyapan kuvvet F kuvvetinin yola paralel olan Fx bilesenidir (W = Fx x = F x cosα).

Eger, cisim degisken bir kuvvetin etkisinde ise (ornegin konuma baglı bir kuvvet)bu kuvvetin cismi bir x1 noktasından x2 noktasına goturmek icin yaptıgı is;

W =

x2∫x1

F (x) · dx (3)

Degisken kuvvete ornek olarak bir yayın ucuna baglı m kutleli bir cismin uzerine,yayın gerilme veya sıkıstırılması durumunda etkiyen kuvvet verilebilir. Bu durumdayay sabiti k ise cisim uzerine

|F | = −k x (4)

kadar kuvvet etkir. Burada, x, cismin denge konumundan olan yerdegistirmesidir.

2.2.2 Enerji

Enerji, en genel anlamda bir cismin veya sistemin is yapabilme yetenegi olaraktanımlanır. Enerji skaler bir buyukluktur. Yani enerjinin yonu, bileseni ve uygu-lama noktası gibi vektorel ozellikleri yoktur. SI birim sisteminde enerji birimi Joule(J) dur.Mekanik enerji, ısı, ısık, ses, elektrik, manyetik ve kimyasal enerji gibi birbirinden

farklı bircok enerji cesidi vardır. Bu deneyde mekanik enerji ile ilgilenilecektir.Mekanik enerji cismin hareketli olup olmaması durumuna gore iki kısımda incelenir:Kinetik enerji ve potansiyel enerji.

2.2.3 Kinetik Enerji

Hareket eden bir cismin, bu hareketi nedeniyle sahip oldugu enerjidir. Hareketli bircismin sahip oldugu kinetik enerji, hızın karesi ve kutlesiyle dogru orantılıdır.

K =1

2m(v)2 (5)

Kinetik enerji skaler bir niceliktir ve birimi enerji birimidir.

2.2.4 Potansiyel Enerji

Herhangi bir cismin konumu dolayısıyla sahip oldugu enerjidir. Bircok potansiyelenerji olmasına ragmen deneyde mekanik potansiyel enerji ile (yercekimi potansiyel

27

enerjisi) ilgilenecegiz. Genel olarak secilen herhangi bir kıyas noktasından h kadaryuksekte olan m kutleli bir cismin, yercekimi ivmesi g olmak uzere;

U = hm|g| (6)

kadar mekanik potansiyel enerjisi vardır. Potansiyel enerji de diger tum enerjiler gibiskaler bir niceliktir ve birimi enerji birimidir.

2.2.5 Is - Enerji iliskisi

m kutleli bir cisim uzerine F gibi bir degisken kuvvetin etkidigini dusunelim. Bukuvvet cismin kuvvet dogrultusu ve yonunde yerdegistirmesini saglasın ve cismi x1noktasından x2 noktasına gotursun. Bu durumda kuvvetin yaptıgı is;

W =

x2∫x1

F · dx

olacaktır. Kuvvet ile yerdegistirme aynı yonlu oldugundan vektor isaretlerini kaldırarakve Newton’un 2. yasasından;

F = ma (7)

W =

x2∫x1

ma dx (8)

a = dv/dt ve zincir kuralı kullanılarak;

a =dv

dt=

dv

dx

dx

dt(9)

Ve, v = dx/dt kullanılarak;

a = vdv

dx(10)

Bunu is ifadesinde yerine yazarsak;

W =

2∫1

mvdv

dxdx =

v2∫v1

mv dv (11)

=1

2m

(v22 − v21

)(12)

Yani, cisim uzerine etkiyen bileske kuvvetin yaptıgı is, cismin kinetik enerji degisimineesitir.

W = ∆K (13)

Kinetik Surtunmeyi Iceren Durumlar :

Eger bir yuzey uzerinde hareket eden bir cisme surtunme kuvveti etki ediyorsa, bukuvvet cismin kinetik enerjisini azaltacak yonde olur.

28

Fs kinetik surtunme kuvveti olmak uzere surtunme kuvvetinin yaptıgı is:

Ws = −Fs x

ile ifade edilir.Surtunme kuvveti herzaman hızın dogrultusunun tersi yonde oldugu icin, cisim

uzerine yapılan toplam is ifadesi;

W −Ws = ∆K (14)


Sekil 2: Deney duzenegi

3.1 I. Kısım: Newton’un II. Yasası

1. Bu deneyde surtunme kuvvetini mumkun oldugunca en aza indirgemek icinhava rayı kullanılmaktadır (Sekil 1). Hava rayının bir ucunda hava ufleyici,diger ucunda bir makara ve uzerinde hareketini inceleyecegimiz kutle (kızak)bulunmaktadır. Boylece makaradan gececek bir ip aracılıgıyla kutle tutu-cuya kutleler asarak kızaga kuvvet uygulanabilir. Deneyde zaman olcumu icinyine ısık kapısı (photogate) kullanacaktır. Bu nedenle bilgisayara ısık kapısıbaglantısı yapılmıstır.

2. Deneye baslamadan once hava ufleyiciyi calıstırınız ve hava rayını dengeyegetiriniz. Kızagın ilk hızsız harekete baslamasını saglamak icin kızagı ısıkkapısının hemen bitisiginden harekete baslatınız.

29

3. Kutle tutucuya m2 kutlesi asılarak m1 kutleli kızak ivmelenmis olacaktır. Isıkkapısı ve bilgisayar yardımıyla kızagın x boyu kadar mesafeyi ne kadar suredealdıgını (t) belirleyiniz. Aldıgınız olcumleri asagıda not ediniz.

m2 = . . . . . . . . . . . . t = . . . . . . . . . . . .

x = . . . . . . . . . h = . . . . . . . . . H = . . . . . . . . .

4. Newton’un II. Yasası’nı kullanarak ipteki T gerilmesini ve kızagın m1 kutlesinibulmaya calısacagız. Bu nedenle ilk olarak

x =1

2at2 (15)

hareket denklemi kulanılarak sistemin ivmesi bulunmalıdır.

a = . . . . . . . . . . . .

5. Her iki kutleye etki eden kuvvetleri sekil uzerinde gostererek her iki kutle icinNewton’un 2. Yasası’nı ayrı ayrı yazınız.

m1 kutlesi icin; . . . . . . . . . . . .

m2 kutlesi icin; . . . . . . . . . . . .

Bu ifadeleri kullanarak ipteki T gerilmesini ve kızagın m1 kutlesini bulunuz.

T = . . . . . . . . . . . .

m1 = . . . . . . . . . . . .

6. Kızagın gercek kutlesini hassas terazi kullanarak belirleyiniz.

m1(gercek) = . . . . . . . . . . . .

3.2 II. Kısım: Is - Enerji Iliskisi

1. Deneyin I. kısmındam1 vem2 kutlelerinden olusan sistem serbest bırakıldıgındaipteki gerilme kuvvetim1 kutlesi uzerinde is yapmıstır. Bu kuvvetm1 kutlesininx kadar yer degistirmesine neden oldugu icin deneyin I. kısmında buldugunuzT gerilme kuvvetinin m1 uzerine yaptıgı isi hesaplayınız.

W = . . . . . . . . . . . . . . . (16)

2. m1 uzerine yapılan bu is, bu kutlenin kinetik enerjisini degistirir. A noktasındacisim durgun olsun (v1 = 0). B noktasında ise v2 hızına sahip olacaktır.v2 hızını deneyin I. kısmında hesaplamıs oldugunuz ivme degerini kullanarakhesaplayınız:

v2 = a t

v2 = . . . . . . . . . . . .(17)

30

3. Durgun halden harekete baslayan m1 kutleli kızagın uzerindeki kinetik enerjidegisimini

∆K =1

2m1 v22 (18)

denklemini kullanarak hesaplayınız.

∆K = . . . . . . . . .

4. 16 ve 18 denklemlerinde elde ettiginiz sonucları karsılastırınız.

31


1)Deneyin I. Kısmında hesapladıgınızm1 kutlesi ile olctugunuz kızagın kutlesinikarsılastırınız.

2) Deneyin II. kısmındaki sonuclarınıza gore Is-Kinetik Enerji iliskisi icin nesoyleyebilirsiniz? Is-Enerji teoremi sisteme uygulanan kuvvetin sabit veya degiskenolmasına baglı mıdır? Acıklayınız.

4) Sistemdeki tum kuvvetleri sekil uzerinde gosteriniz.

5) Enerjinin korunumu ilkesi mekanik enerji dısındaki enerji cesitleri icin degecerli midir? Tartısınız.

6) Bir cisim durgun ise, uzerine etki eden dıs kuvvetlerin olmadıgını soyleyebilirmisiniz?

32

D6 : DUZGUN DAIRESEL HAREKET VEMERKEZCIL KUVVET

1 Deneyin Amacı

Duzgun dairesel hareket yapan bir cismin hareketinin incelenmesi ve merkezcil kuvvetinbulunması.DENEYDEGUC KAYNAGINI MAKSIMUM 2 VOLTGERILIM ALTINDA CALISTIRINIZ!!!

2 Kuram

Boyutu ihmal edilecek kadar kucuk olan yani noktasal olarak kabul edebilecegimizbir tanecigin dairesel bir yol boyunca yapmıs oldugu harekete dairesel hareket denir.Cisim esit zaman aralıklarında esit yay parcaları katediyorsa yani acısal hızın buyuklugusabitse hareketi duzgun dairesel harekettir.

Sekil 1: Dairesel hareket yapan bir cismin farklı noktalardaki cizgisel hızları(v1, v2, v3, v4) ve konum vektorleri (r1, r2).

Boyle bir hareketi analiz edebilmemiz icin ilk olarak gerekli olan; yerdegistirme,hız ve ivme kavramlarıdır. Belli bir yondeki konum degisimine yerdegistirme denir.Dairesel harekette yon surekli olarak degistiginden hareketin cok kısa bir anı icinyerdegistirme sonsuz kucuk yerdegistirme olarak tanımlanır.Sekil 2’de dairesel hareket yapan bir cismin hareketinin kucuk bir aralıgı gorul-

mektedir. ∆r yerdegistirmesi konumda 1’den 2’ye olan degisim olarak tanımlanır ve1’den 2’ye olan degisim sıfırdan buyuk oldugu surece hareketin yorungesi ile birebircakısmaz. Bu durumu soyle acıklayabiliriz: Ancak 2’yi 1’e cok cok yaklastırdıgımızdurumda yani ∆r → 0 limitinde sonsuz kucuk bir yerdegistirme dr saglarız ki budurumda yerdegistirme yorunge ile bire bir cakısır.

33

Sekil 2: Dairesel hareket yapan bir cimin acısal yerdegistirmesi.

Dairesel harekette hız kavramı, acısal hız ve cizgisel hız olarak ikiye ayrılır. Cigiselhız, dogrusal harekette oldugu gibi

v =dr

dt(1)

seklinde tanımlanır. Sekil 1’den dairesel bir yorungedeki dort farklı noktada cizgiselhızları gormek mumkundur. Hızın yonu yorunge boyunca her bir noktada farklıolmasına ragmen buyuklugu surekli aynı kaldıgı icin duzgun dairesel hareket olarakisimlendirilir. Ayrıca yorunge boyunca her bir noktada hız vektoru yarıcapa dikoldugundan bu buyukluk tegetsel hız olarak da isimlendirilmektedir.Acısal hız ise birim zamanda acısal yerdegistirmedeki degisim olarak tanımlanır.

Genellikle ω ile gosterilir. Acısal yerdegistime ise Sekil 2’den de gorulecegi gibi yarıcapvektorunun ard arda gelen iki durumu arasında supurdugu acı α olarak tanımlanırve radian cinsinden ifade edilir. Boylece acısal hızı

ω =dα

dt(2)

seklinde ifade edebiliriz. Acısal hızın yonu sag el kuralı ile belirlenir. Buna gore sagelin dort parmagı dolanım yonunde olacak sekilde kıvrıldıgında bas parmak acısalhızın yonunu gosterir.Duzgun dairesel hareketi, hareket halindeki bir cisme, sabit buyuklukte bir kuvvet

surekli olarak hareket dogrultusuna dik olarak uygulandıgında bu cisim bir dairenincevresi uzerinde buyuklugu degismeyen bir hızla donmesi olarak ta tanımlayabiliriz.Ayrıca duzgun dairesel hareket ile ilgili diger bazı kavramlar ise:Periyot(T ), duzgun dairesel hareket yapan bir cismin bir tam dolanımını gercekles-

tirmesi icin gecen sure olarak tanımlanır ve birimi saniyedir(s).Frekans(f veya ν ) birim zamandaki dolanım sayısıdır birimi s−1 yada Hertz(Hz)dir

ve f = 1T olarak verilir. Duzgun dairesel hareket icin acısal hız sabit oldugundan

ω =2π

T, (3)

ω = 2πν, (4)

34

ve

v =2πr

T= ωr (5)

yazılabilir.Duzgun dairesel harekette cizgisel hız sabittir ancak surekli yon degistirir ve genel

olarak hızda meydana gelen bir degisim ivmeye neden oldugundan merkeze dogruyonelmis merkezcil bir ivme vardır.

Sekil 3: Dairesel hareket yapan cismin cizgisel hız degisimi.

Sekil 3’ten de goruldugu gibi hızdaki degisim dairenin merkezine dogru yonelmisbir vektordur. Herhangi bir noktadaki hız vektoru o noktadaki konum vektorunediktir bu nedenle r1, r2, ∆r ve v1, v2, ∆v ucgenleri benzerdir ve buradan

∆v

v=

∆r

r(6)

yazılabilir.∆r ve ∆v kucuk degisimleri goz onune alınırsa ve acı radyan cinsinden ifade edilirse

∆r = r∆α (7)

elde edilir.(6) ve (7) denklemleri yardımıyla

1

v

∆v

∆t=

∆α

∆t(8)

elde edilir. ∆t → 0 limitinde

1

v

dv

dt=

dα

dt(9)

elde edilir.Burada sagdaki terim acısal hız ω, soldaki dv

dt terim ise ivmedir. Bunu

1

va = ω (10)

35

veya

a = vω (11)

seklinde yazmak mumkundur.

ω =v

r(12)

oldugundan (11) ifadesi

a =v2

r(13)

seklinde yazılabilir.Ayrıca

a = ω2r =4π2

T 2r = 4π2rf2 (14)

yazmak mumkundur. Dairenin merkezine yonelmis oldugundan bu ivmeye merkezcilivme denir.Newton’un II. hareket yasası uyarınca (F = ma), kuvvet ve ivme vektorleri aynı

yonludurler. Bu nedenle bir cismin dairesel hareket yapmasını saglayan ve merkezcilkuvvet olarak adlandırılan bu kuvvet

F = mυ2

r(15)

veya

F = −m4π2r

T 2

dir.


c Donen disk

c Tutucu ayak

c Kronometre

c Merkezcil kuvvet sistemi

c Motor ve guc kaynagı

c Kutle ve kutle tutucu

c Makara ve ip

36

Sekil 4: Deney duzenegi 1

Sekil 5: Deney Duzenegi 2


4.1 Duzgun dairesel hareket

Sekil 4 te gorulen deney duzenegini kurunuz. Tutucu ayak ustune yerlestirilen diskielinizle hızlı bir sekilde dondurunuz. Bir sure bekledikten sonra kronometreyicalıstırarak diskin 10 tur donmesi icin gecen sureyi kaydediniz. Bu islemi birkackez tekrarladıktan sonra ortalamasını hesaplayınız. Bu sekilde periyodu belirlediktensonra yarıcapının da olculmesiyle acısal hızı, cizgisel hızı, frekansı ve merkezcil ivmesihesaplayınız ve asagıdaki tabloyu doldurunuz.

Olculer ve Sonuclar

• r = ............ , ν = ............

• T = ............ , v = ............

• ω = ............ , a = ............

37

4.2 Merkezcil kuvvet

• Bu deneyde duzgun dairesel hareket yapan bir cismin uzerine etki eden merkez-cil kuvveti inceleyecegiz. Bu amacla Sekil 5’de gosterildigi gibi ip yardımıylakancalı kutleyi cisme duzgun dairesel hareket yaptırabileceginiz sekilde asarakduzenegi kurunuz ve bu sistemin dengeye gelmesini saglayınız.

• Indikatorun yerini ve dengelemek icin kullanılan asılan kutleyi belirleyiniz.

• Asılan kutleyi kancalı kutleden cıkartınız. Bu durumda kancalı kutle merkezdekidestege dogru kayacaktır.

• Motoru calıstırıp duzenegin dairesel hareket yapmasını saglayınız. Motorauygulanan gerilimi yavas yavas artırarak indikatorun sistemin ilk konumundakiyerine gelmesini saglayınız.

• Sistemin periyodunu kaydediniz.

• Merkezcil kuvvetin yarıocap ile nasıl degistigini gozlemlemek icin aynı deneyifarklı bir yarıcap icin de yapabilirsiniz.

Olculer ve Sonuclar Tabloya kaydedilecek veriler; Yarıcap: Kenardaki destek -Merkezdeki destek arası uzaklık; Kutle: Asılan kutle miktarıdır.

Yarıcap Kutle Periyod Merkezcil Kuvvet(m) (kg) (s) (N)

38


1. Duzgun dairesel harekette hangi buyuklukler zamanla degismez?

2. Dusey duzlemde bir ipin ucunda duzgun dairesel hareket yapan bir cisminhareketi yukarıdaki sekildeki gibi incelendiginde cisim A, B, C ve D nokta-larında iken uzerine etkiyen vektorel niceliklerini gosteriniz.

3. Bulunan bu merkezcil kuvvet yapılan deneyde nasıl dogrulanmaktadır?

39

D7 : BIR BOYUTTA CARPISMA

1 Deneyin Amacı

Dogrusal hareket halindeki iki cismin yapmıs oldugu farklı carpısma turleri icin mo-mentum ve kinetik enerjinin korunumu ilkelerinin incelenmesi.HAVA RAYI UZERINDEKI KUTLEYI, UFLEYICIYI CALISTIRMADANKESINLIKLE

HAREKET ETTIRMEYINIZ!!!k

2 Kuram

υ hızı ile hareket eden m kutleli bir parcacıgın cizgisel momentumu,

p = mυ (1)

ifadesiyle tanımlanır. Momentum, klasik fizikte nitel olarak hareketin kalitesidir.Momentum vektoru ile hız vektorunun dogrultusu ve yonu aynıdır. Cizgisel momen-tum parcacıga etki eden kuvvete baglı olarak da ifade edilebilir. Soyle ki: Newton’unikinci hareket yasasına gore, eylemsiz bir referans sisteminde, bir parcacık uzerineetki eden net kuvvet onun cizgisel momentumunun zamana gore degisimine esittir.

F =d(mυ)

dt. (2)

Buradan hareketle parcacıgın momentumundaki degisim icin: ti anındaki pi momen-tumu, ts anında ps degerini almıssa,

∆p = ps − pi =

ts∫ti

F dt (3)

olur ki bu esitligin sag tarafındaki nicelik, ∆t = ts−ti zaman aralıgı icin F kuvvetininitmesi yani impuls (itme) olarak isimlendirilir. Goruldugu gibi bir F kuvvetine aitimpuls, parcacıgın momentumundaki degisime esittir.Bilindigi uzere, yine klasik fizikte parcacıkları tanımlayan temel nicelikler yuk ve

kutledir. Yuksuz m1 ve m2 kutleli iki parcıktan olusan bir sistemin toplam mo-mentumu daima korunur. Daha basit bir deyisle, yuksuz iki parcacık carpıstıgında,yalıtılmıs olmak kaydıyla toplam momentumları sabit kalır. (Cizgisel momentumunkorunumu ilkesi). Bu durum asagıdaki ifade ile tasvir edilir.

p1i + p2i = p1s + p2s. (4)

Herhangi turden bir carpısma olayında, sistemin carpısmadan hemen onceki mo-mentumu, carpısmadan hemen sonraki momentumuna esit olur. Butun carpısmaolaylarında toplam momentum daima korunurken yine butun carpısma olaylarındakinetik enerjinin korundugu soylenemez. Elastik bir topun bir yuzeyden sekmesi(aslen yuzey ile carpısmasıdır) gibi esnek olmayan carpısmalarda momentum ko-runur ancak kinetik enerji korunmaz. Iki macunun carpıstıktan sonra butunleserek

40

birlikte hareket etmesi turunden bir carpısma, esnek olmayan carpısmadır ve sonhızları aynıdır. Bilardo topu carpısmaları veya kapalı bir kaptaki hava molekullerininkendilerini cevreleyen duvarla ve birbirileri ile carpısmaları gibi esnek carpısmalardahem momentum hem de kinetik enerji korunur.

2.1 Esnek Carpısma

Sekil 1’deki gibi esnek carpısmaya ugrayan iki parcacık icin hem momentum hemde kinetik enerji korunur. Bu iki durum asagıdaki esitlikler ile matematiksel olarakbetimlenir.

Sekil 1: Esnek carpısma

Momentum korunumu:

m1υ1i +m2υ2i = m1υ1s +m2υ2s (5)

Kinetik enerji korunumu:

1

2m1υ

21i +

1

2m2υ

22i =

1

2m1υ

21s +

1

2m2υ

22s (6)

2.2 Esnek Olmayan Carpısma

Esnek olmayan carpısmada kinetik enerji korunmaz. Baska bir deyisle bu turcarpısmada kinetik enerji kaybı vardır. Carpısmadan sonraki toplam kinetik enerjicarpısmadan onceki toplam kinetik enerjiden daha kucuktur. Carpısmadan oncekive carpısmadan sonraki toplam kinetik enerjiler arasındaki enerji farkı ya ısı gibihiyerarsik olarak daha kalitesiz bir enerji turune donusur ya da carpısan cisimlerdepotansiyel enerji olarak depolanır.Sekil 2 deki gibi, carpısmadan sonra iki cismin bitiserek hareket etmesi durumunda

enerji korunmaz. Bu ornekte momentumun korunumu ifadesi

m1υ1i +m2υ2i = (m1 +m2)υs (7)

seklinde olacaktır.


c Hava rayı

c Hava puskurtucu

c Isık kapısı (Photogate)

41

Sekil 2: Esnek olmayan carpısma

c Hassas Terazi

c Iki adet kızak

c Cetvel

c Aynı kutuplu mıknatıs uclar

c Lastik uclar

c Mantar ve igne uc


1. Yatay durumda bulunan hava masasının dengede olup olmadıgını kontrol edi-niz. Bunun icin, hava rayının ortasına deneyde kullanacagınız kızaklardanbir tanesini yerlestiriniz. Hava puskurtucuyu, hava rayının bir ucuna takarakcalıstırınız. Bu durumda, kızagın hareket edip etmedigini kontrol ediniz. Egerkızak bir yone dogru surekli olarak hareket ediyorsa egim var demektir. Buegimi ortadan kaldırmak icin hava rayının altında bulunan vidalı ayakları uy-gun sekilde ayarlayarak kızagın suruklenmedigi noktayı bularak duzenegi kali-bre ediniz.

Sekil 3: Hava rayı deney duzenegi

2. Isık kapılarını sekildeki gibi yerlestirerek, bilgisayarla baglantılarını yapınız.

42

3. Yapmak isteyeceginiz carpısma turunu belirleyerek (esnek veya esnek olmayan)kızakların uclarına uygun parcaları (aynı kutuplu mıknatıslar veya lastik uclar)takınız.

4. Ilgili siyah fon kartonlarının uzunluklarını cetvelle olcerek tabloya kaydedinizve ardından kızakların uzerine takınız.

5. Kızakları parcaları takılmıs deneyde kullanılacak bu son hali ile hassas terazidetartarak kutle degerlerini tabloya kaydediniz.

6. Bilgisayarda ‘Data Studio’ programını calıstırınız.

7. Hava puskurtucu calısıyor iken kızakları Sekil 3’deki ilk konumuna getirip, bir-birlerine dogru elinizle hafif bir hız vererek ittiriniz ve carpısmalarını gozlemleyiniz.

8. Isık kapıları ve bilgisayar yardımıyla carpısmadan once her bir kutlenin boyukadar mesafeyi ne kadar zamanda aldıgını belirleyiniz. Esnek carpısmada,kızaklar carpıstıktan sonra ilk hareket yonlerinin tersine dogru hareket ederekısık kapılarından tekrar gececektir. Dolayısıyla yaptıgınız carpısma turune gorecarpısmadan sonraki zamanları da olcunuz. Carpısmadan onceki ve sonrakizaman degerlerini tabloya kaydediniz.

9. Zaman ve yol degerleri bilindiginden kutlelerin carpısmadan onceki ve sonrakihız degerlerini hesaplayabilirsiniz.

10. Carpısma oncesi ve sonrası momentumun korunup korunmadıgını hesaplayınız.

11. Her bir carpısma turu icin kinetik enerjinin korunup korunmadıgını belirleyiniz.


Tablo 1. Esnek carpısma olcum ve hesap sonucları

m(kg) x(m) tilk(s) tson(s) υilk(m/s) υson(m/s)

1. Kutle

2. Kutle

pilk(kgm/s) pson(kgm/s) Eilk(J) Eson(J)

1. Kutle

2. Kutle

Toplam

Tablo 2. Esnek olmayan carpısma olcum ve hesap sonucları

43

m(kg) x(m) tilk(s) tson(s) υilk(m/s) υson(m/s)

1. Kutle

2. Kutle

pilk(kgm/s) pson(kgm/s) Eilk(J) Eson(J)

1. Kutle

2. Kutle

Toplam

44


1. Deneyde incelemis oldugunuz butun carpısma turleri icin kinetik enerji ko-runuyor mu? Nedenleri ile acıklayınız.

2. Asagıdaki her durum icin carpısmanın esnek, esnek olmayan veya tam esnekolmayan carpısma turlerinden hangisi oldugunu nedenleri ile belirtiniz.

• Elastik bir topu elinizden bıraktıgınızda top yere carpıp zıplıyor ve tekrarsizin elinize ulasıyor.

• Elinizden baska bir topu bıraktıgınızda bu top yere carpararak zıplıyorama bırakıldıgı yuksekligin ancak yarısına ulasıyor.

• Kilden yapılma bir topu elinizden bıraktıgınızda top yere dusuyor ve du-ruyor.

3. Deney duzenegindeki ve ortamdaki surtunmeleri ihmal edemedigimiz bir du-rumda, kızakların birbirine gorece yakın ve uzak mesafelerden birbirine dogruitildigi iki deneyden hangisi; diger butun kosulların aynı olması kaydıyla; dahaaz hata ile yapılabilirdi? Neden?

45

D8 : EYLEMSIZLIK MOMENTI VEDONDURME MOMENTI

1 Deneyin Amacı

Dairesel harekette eylemsizlik momenti ve dondurme momenti (tork) kavramlarınınincelenmesi.k

2 Kuram

2.1 Eylemsizlik Momenti

Bir cismin donme hareketine karsı gosterdigi bir tur direncin olcusune eylemsizlik(atalet) momenti denir. Bir eksen etrafında ω acısal hızıyla donen katı bir cismiolusturan tum parcacıkların, belirli kinetik enerjilere sahip olmaları gerekir. Donmeekseninden r kadar uzakta bulunan m kutleli bir parcacık, r yarıcaplı cemberselyorunge uzerinde υ cizgisel hızı ile donerken

K =1

2mυ2 =

1

2mr2ω2 (1)

ile ifade edilen bir kinetik enerjiye sahip olacaktır (Sekil 1). Dolayısıyla, donme

Sekil 1: z ekseni etrafında sabit ω acısal hızı ile donen katı bir cisim.

ekseninden farklı uzaklıklarda bulunan cok sayıda parcacıktan olusmus katı bir cisimicin (1) ifadesi

K =1

2

(m1r

21 +m2r

22 + ...

)ω2 =

1

2

[∑i

mir2i

]ω2 (2)

seklinde yazılabilir. Bu bagıntı kesikli sistemler icin gecerlidir. (2) bagıntısındaki

I =∑i

mir2i (3)

ifadesine yani parcacıkların kutleleri ile donme eksenine olan uzaklıklarının karelerinincarpımlarının toplamına eylemsizlik momenti denir. Diger taraftan, cismin surekli bir

46

yapıya sahip oldugu kabul edilirse, (3) bagıntısındaki toplam sembolu yerini integralisaretine bırakır ve tum cisim uzerinden integral alınarak eylemsizlik momenti

I =

∫r2dm (4)

seklinde ifade edilir. Dolayısıyla eylemsizlik momenti, cismin hem sekline ve kutledagılımına hem de donme eksenine baglıdır. Eylemsizlik momentinin SI sistemindekibirimi kgm2dir. Buna gore, bir eksen etrafında donmekte olan bir cismin, (4) ileverilen toplam kinetik enerjisi

K =1

2Iω2 (5)

olur. (5) denkleminden goruldugu gibi eylemsizlik momenti buyudukce, cismin donmehareketi yapması icin daha fazla is yapması gerekir.Belirli bir geometrik sekle sahip olmayan bir cismin eylemsizlik momentinin (4)

bagıntısı yardımıyla hesaplanması oldukca zor iken, basit sekilli katı cisimlerinki gayetkolaydır. Ornegin, R yarıcaplı M kutleli duzgun bir diskin merkezinden gecen ve diskduzlemine dik olan bir eksene gore eylemsizlik momenti,

I =1

2MR2 (6)

ile verilir. Ayni diskin donme ekseni Sekil 4(b)’deki gibi secilirse eylemizlik momenti

I =1

4MR2 (7)

olarak degisir. Ayrıca ic yarıcapı R1, dıs yarıcapı R2 olan bir halkanın eylemsizlikmomenti

I =1

2M

(R2

1 +R22

)(8)

ile tanımlıdır.

2.2 Dondurme Momenti

Bir kuvvet etkisiyle bir cisim bir nokta (O noktası) etrafında donmeye zorlanırsa,deneyler donme etkisinin O noktasının kuvvet dogrultusuna olan OA uzaklıgı ile,baska bir deyimle OA kuvvet kolu ile arttıgını gostermektedir (Sekil 2). Cismin ko-laylıkla donebilmesi icin OAF = OPF sinϕ’nin buyuk olması gerekir. Bu buyuklugedondurme momenti (tork) denir ve

τ = R× F (9)

seklinde ifade edilir. Donme momentinin SI sistemindeki birimiNm’dir. O’dan gecen,sekil duzlemine dik olan eksen etrafında donen bir cismin P noktasına, dolayısıylacisme etki eden dondurme momenti, P’de bulunan ve F kuvvetinin etkisi altındaaynı eksen etrafında donen bir parcacıga etki eden dondurme momentine esdegerdir.Su halde cismin bu eksen etrafında dt gibi kısa bir surede donmesiyle, cismin herhangibir P noktasının bu surede dairesel yorungede aldıgı yol ds = Rdθ’dir (Sekil 2(b)).Bu durumda yapılan is

dW = F · ds = Fds cos(π

2− ϕ) = FR sinϕdθ = τdθ (10)

47

Sekil 2: (a) Katı cisme uygulanan F kuvveti, sistemi O ekseni etrafında dondurmeegilimine sahiptir. (b) Kuvvetin F sinϕ bileseni dondurme islemine katkı saglar.

dır. Yukarıda da belirtildigi gibi bir eksene gore konumları R1, R2, ... ile belirtilenm1,m2, ... kutleli parcacıklardan olusan ve bu eksen etrafında donen bir cismin kinetikenerjisi,

K =1

2(m1R

21 +m2R

22 + ...)ω2 =

1

2(∑

miR2i )ω

2 =1

2Iω2 (11)

idi. Buna gore kinetik enerjinin zamana baglı degisimi,

d

dt

(1

2Iω2

)=

1

2Id

dtω2 = Iω

dω

dt= Iαω (12)

seklinde ifade edilebileceginden, (10) bagıntısı yardımıyla dondurme momenti

τ = Iα (13)

seklinde yazılabilir. Su halde, sabit bir eksen etrafında donen bir cismin acısal ivmesiile eylemsizlik momentinin carpımı cisme etki eden donme momentine esittir. Donmehareketi icin elde edilen, (13) bagıntısı oteleme hareketindeki F = ma bagıntısına ben-zetilebilir. Dolayısıyla, oteleme hareketindeki m kutlesinin yerini, donme hareketindekutle dagılımını ifade eden I eylemsizlik momenti alır.

Sekil 3’te merkezden gecen ve kendisine dik bir eksen (donme ekseni) etrafında

(a) (b) (c)

Sekil 3: Dairesel hareket ve kuvvet

donebilen bir daire gorulmektedir. Yarıcapa dik uygulanan F kuvveti dairenin bueksen etrafında donme hareketi yapmasına sebep olur (Sekil 3). Ancak bu kuvvetindondurme etkisi, buyuklugunden baska iki seye daha baglıdır:

• Kuvvetin uygulama noktasının donme eksenine olan uzaklıgı

• Kuvvetin yonunun yarıcap dogrultusu ile yaptıgı acı

Basit birkac olcum veya gunluk hayattaki gozlemlerinizle su sonuclara varabilirsiniz:

48

• Yarıcap dogrultusu ile aynı acıyı yapan aynı buyuklukteki iki kuvvetten, uygu-lama noktası donme eksenine daha uzak olanın dondurme etkisi daha buyuktur(Sekil 3(b) de donme eksenine r2 uzaklıgında uygulanan kuvvetin dondurmeetkisi daha buyuktur).

• Donme eksenine aynı uzaklıktan uygulanan aynı buyuklukteki iki kuvvetten,yarıcap dogrultusu ile daha buyuk acı (0 − π/2 arasında) yapan kuvvetindondurme etkisi daha buyuktur( Sekil 3(c) de β = 0 oldugunda kuvvetindondurme etkisinin olmayacagını gorebilirsiniz).

Bu sonuclardan hareketle, donme eksenine d uzaklıgından, yarıcap dogrultusu ile βacısı yapan F buyuklugundeki kuvvetin dondure momenti (tork)

τ = Fd sinβ (14)

bagıntısı ile verilebilir (bkz. Sekil 3(c)). Dondurme monenti (τ) kuvvetin dondurmeetkisidir ve dogrusal hareketteki kuvvet kavramı yerine dairesel harekette dondurmemomenti kavramı kullanılır.


c Donen disk

c Kronometre

c Kutle tutucu ve farklı kutleler

c Cetvel

c Surgulu kumpas

Deney duzenegi Sekil 4’te gorulmektedir. Donen disk Sekil 4 deki gibi merkezindengecen eksen etrafında yatay duzlemde donebilmektedir. Diske ilk hareket verildigindeuzunca bir sure hareketine devam edebilmektedir, yani surtunmesi dusuktur.

Sekil 4: Deneyde kullanılan duzenek (Yatay donen disk)

49


4.1 Eylemsizlik Momenti

Sekil 4’de sematik olarak gosterilen sistem, dusey bir eksen etrafında donebilen diskseklinde bir tabla ile h yuksekligi boyunca dusen bir m kutlesinden olusmustur. mkutlesinin agırlıgı r1 yarıcaplı bir makaraya sarılı olan ipi cekerek, tablayı dondurur.Sistem sabit bir kuvvetin etkisiyle hareket ettigine gore, m kutlesinin hareketi duzgunhızlanan dogrusal harekettir. Sistem durgun halden harekete baslarsa υ0 = 0olacagından ve h yolunu t1 surede alırsa cizgisel ivmesi;

h = υ0t−1

2at2 → a1 =

2h

t21(15)

olur. Dolayısıyla ipteki gerilme kuvveti Newton’un 2.nci hareket yasasına gore:

T1 = m(g − a1) = m

(g − 2h

t21

)(16)

seklinde olmalıdır. Bu durumda donen diske etki eden tork (13) ve (14) denklemlerinegore:

τ1 = F × d = T1r1 (17)

τ1 = I1α1 (18)

Burada r1 deney duzenegindeki ipin sarılı oldugu makaranın yarıcapı ve α1 sisteminacısal ivmesidir. Acısal ve cizgisel ivmeler arasındaki iliskiyi,

α1 = a1/r1 =2h

r1t21, (19)

kullanılarak donen diskin eylemsizlik momenti (17) ve (18)’den

I1 = m

(g − 2h

t21

)r21a1

(20)

ile verilir.Deney duzenegindeki ipin sarılı oldugu makaranın yarıcapı surgulu kumpasla olculur

ve Tablo-1’e islenir. m kutlesinin serbest bırakılacagı h yuksekligi cetvelle olculur.Kutlenin bu yukseklikten asagıya inis suresi olculur. Denklem (20) kullanılaraktablanın eylemsizlik momenti (Idisk)deneysel hesaplanır. Denklem (6) kullanılarakdiskin teorik eylemsizlik momenti (Idisk)teorik hesaplanır ve hata hesabı yapılır. SonuclarTablo-1’e islenir.


Sekil 4’teki donen diskin kutlesi Mdisk = 1500g dır.

1. Tablo 1: Eylemsizlik Momentim(kg) h(m) t1(s) Iden1 (kgm2) Iteori1 (kgm2)

1. Kutle

50


1. Eylemsizlik momenti oteleme hareketinde hangi fiziksel buyukluge karsılık gelir,neden?

2. (a) Sekil 3(b) deki birbirine esit buyuklukteki F kuvvetlerinden, merekeze r1uzaklıgından uygulanmıs olanı yarıcap dogrultusu ile β1, r2 uzaklıgındanuygulanmıs olanı da yarıcap dogrultusu ile β2 acısı yapıyor olsun. Heriki dondurme momentinin esit olması durumunda r1, r2, β1, β2 arasındakibagıntıyı bulun.

(b) r2 = 2r1 ve β2 = 90 derece olursa iki kuvvetin dondurme momenti esitolabilir mi? Nedenini acıklayın.

51

fizik lab.-1 kitapçık (pdf)

Documents