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FH DFachhochschule DüsseldorfFachgebiet Strömungstechnik und Akustik
- Strömungstechnik II -
Drehimpulssatz und Betrachtungsweise von Bewegungen
Eine Lehrveranstaltung für das 4. Semester des Studiengangs Prozess-, Energie-, und Umwelttechnik
Frank Kameier
Frank Kameier 2007
FH DFachhochschule DüsseldorfFachgebiet Strömungstechnik und Akustik
Frank Kameier 2007
d
dtr c dV r f dV r dAx
V
x x ~
Multiplikation (Kreuzprodukt) des Impulssatzes mit r
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Frank Kameier 2007
d
dtr c Ads
r c A
tds r c A
ds
dtr c A
ds
dtx
V
x
s
s
x x
~
1
2
2 2 2 22
1 1 1 11
M r p A e r p A eE x x 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
mr e
tds m c r e m c r e M M M
x
s
s
x x V M E 1
2
2 2 2 2 1 1 1 1
m c r e m c r e M M Mx x V M E2 2 2 2 1 1 1 1
Für einen Stromfaden folgt nach rein mathematischer Umformung:
mit ds/dt=c der Kontinuitätsgleichung und dem Moment in den Endflächen ME
folgt
und für stationäre Strömungen folgt der Eulersche Momentensatz
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Betrachtungsweise von Bewegungen:
ruhendes System mitbewegtes System
Absolutsystem Relativsystem
Inertialsystem Nicht-Inertialsystem
keine Scheinkräfte Coriolis- und Zentripetal kraft als Scheinkräfte
inertial (fixed) frame of reference rotating frame (of reference)
Schnitt durch ein Pumpenlaufrad:
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c u w
rxu
t
Die Geschwindigkeit im Absolutsystem ist gleich der Umfangsgeschwindigkeit plus der Geschwindigkeit im Relativsystem.
.
Die Umfangsgeschwindigkeit ist das Kreuzprodukt aus Winkelgeschwindigkeit und Radiusvektor r .
,
mit der Winkelgeschwindigkeit
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wuc
Die Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung:
m c r e m c r e M M Mx x V M E2 2 2 2 1 1 1 1 aus
mit
(Momente werden auf die Drehachse bezogen oder verschwinden aufgrund der Orientierung der Normalenvektoren der Endflächen)
0 0
m r c r c Mx x M2 2 1 1
Dem Betrage nach folgt
m r c r c Mu u2 2 1 1
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Exkurs zum Zusammenhang von Drehimpuls, Arbeit und Leistung:
sFW
s r
W F s F r
Eine Kraft, die über einen Weg verrichtet wird, nennt man Arbeit
Der überstrichene Weg bei einer rotatorischen Bewegung ist
mit dem Betrag des Radiusvektors r und dem Winkel , so dass für die Arbeit folgt
M r xF
Der Kraft äquivalent ist das Drehmoment
.
[Nm]=[J]
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W F s M
P Fs
tM
t
vs
t
t
für die Arbeit folgt
.Die in der Zeit t geleistete Arbeit führt zu der Leistung
Die zurückgelegte Wegstrecke pro Zeit wird Geschwindigkeit genannt
Der überstrichene Winkel pro Zeit wird Winkelgeschwindigkeit genannt
[ Nm/s ]=[ J/s ]=[ W ]
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2n
P M
M m r c r cu u 2 2 1 1
P m r c r cu u 2 2 1 1
u11u22 cucumP
Auf ganze Umdrehungen 2 bezogen gilt mit der Drehzahl n
Für die Leistung an der Welle einer Strömungsmaschine folgt somit
Mit dem Betrag des Drehimpulses
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Y P m
Y u c u cu u 1 1 2 2
Y u c u cu u 2 2 1 1
Für Strömungsmaschinen (Turbine oder Pumpe) gilt1 = Laufradeintritt,2= Laufradaustritt.
(stets positiv!)
(Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung)
- kompressible und inkompressible Strömungen- mit und ohne Reibung der Strömung im Schaufelgitter.
Die Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung gilt somit für hydraulische und thermische Strömungsmaschinen.
für Turbinen
für Pumpen/Verdichter
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c u w u
u c u c u w uu 2
222
222
wuc2
1uw
uuw2wc
u c c u w u
u cc u w
u
u
1
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
Umformung für eine anschauliche Interpretation (Cosinus-Satz)
Quadrieren des Geschwindigkeitsdreiecks ergibt
eingesetzt folgt
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2
ww
2
uu
2
ccY
22
21
22
21
22
21
Yc c u u w w
2
212
22
12
22
12
2 2 2
In die Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung eingesetzt folgt für Turbinen
für Turbinen
für Pumpen
Änderung der spezifischen kinetischen Energie im Absolutsystem (z.B. durch Beschleunigung der Strömung bei Pumpen oder durch Verzögerung der Strömung bei Turbinen)
Differenz der spezifischen kinetischen Energie durch Änderung der Fliehkräfte am Ein- und Austritt
Änderung der spezifischen kinetischen Energie im Relativsystem (z.B. die spezifische Verzögerungsarbeit der Strömung bei einer Pumpe und die spezifische Beschleunigungsarbeit der Strömung bei einer Turbine).
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Bernoullische Gleichung mit Energiezufuhr und Verlusten (inkompressible Strömung):
Vppzg
cppzg
c 22
221
1
21
22
mit z z1 2 , d.h. Ein- und Austritt der Strömungsmaschine befinden sich auf gleicher geodätischer Höhe,
Yppp
2
ccp V
ungDruckändertotaleespezifisch
ungDruckänderstatischeespezifisch
1221
22
(für inkompressible Medien)
„Gesamt“ = „total“ = „dynamisch“ + „statisch“
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h
cgz h
cgz
P
mT
222
2 112
12 2
Y
t
derungEnthlpieäntotale
nderungEnthalpieästatische
12
21
22 hYhh
2
cc
spezifische Stufenarbeit bei kompressibler Strömung (Energiesatz für einen Stromfaden)
mit z z1 2 , d.h. Ein- und Austritt der Strömungsmaschine befinden sich auf gleicher geodätischer Höhe,
(für kompressible Medien)
„dynamisch“ + „statisch“ = „Gesamt“ = „total“
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Änderung des Betriebszustands - Androsseln
u u u1 2
Y u c cu u ( )2 1
ungedrosselter
Strömungszustand im Axialgitter gedrosselter
Strömungszustand im Axialgitter
c c cx x x2 1 (für inkompressible Medien) c cxunged
xged. .
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