fft analiza

Furijeova transformacija i primene

1 Uvod

U okviru ove skripte1 upoznacemo se sa osnovnim pojmovima Furijeove transformacijekao i njenom primenom u prirodnim naukama (npr. na analizu stacionarnih vremenskihserija). Kako se podrazumeva da su se studenti vec upoznali sa pojmom Furijeove trans-formacije (Matematika 4), teorijska razmatranja su izlozena veoma koncizno davajuciprednost primerima. Neki delovi ovi skripte su zasnovani na materijalima skripti prof. drDragutina -Durovica dok je preostala koriscena literatura navedena na kraju.

1.1 Definicija Furijeove transformacije

Jednodimenziona Furijeova (integralna) transformacija2 funkcije h(t) moze se definisatikao:

H(f) =

∫ ∞

−∞h(t)ei2πftdt, (1a)

dok je:

h(t) =

∫ ∞

−∞H(f)e−i2πftdf, (1b)

tzv. inverzna Furijeova transformacija. Postoji nekoliko konvencija u smislu definicijeFurijeove transformacije. Ukoliko zelimo da koristimo kruznu frekvenciju ω ≡ 2πf tadaje uobicajeno da se Furijeova i njena inverzna transformacija definisu preko:

H(ω) =

∫ ∞

−∞h(t)eiωtdt, (2a)

i

h(t) =1

2π

∫ ∞

−∞H(ω)e−iωtdω. (2b)

Obicno se, zbog simetrije, koristi i sledeca definicija:

H(ω) =1√2π

∫ ∞

−∞h(t)eiωtdt, (3a)

i

h(t) =1√2π

∫ ∞

−∞H(ω)e−iωtdω. (3b)

1Ova skripta namenjena je studentima astrofizike koji slusaju kurs radio-astronomija.2Nekada se naziva i direktna Furijeova transformacija.

1

Funkcije h(t) i H(f) nazivacemo Furijeovim parovima3 i dalje cemo ih obelezavati sah(t) ⇔ H(f). Na slici 1 su dati primeri Furijeovih parova4.

Slika 1: Neki Furijeovi parovi. (Preuzeto iz [7].)

Razliciti autori koriste razlicite definicije Furijeove transformacije. U nekoj literaturiFurijeova i njena inverzna transformacija se definisu suprotno gore navedenoj definiciji(suprotnost se ogleda u smislu znaka minus u eksponencijalnom clanu). Rezultati sesustinski ne menjaju tako da studenti mogu koristiti bilo koju od pomenutih konvencija.

3U principu, rec je o prelasku na drugi bazis, npr. prelaz iz koordinatne u impulsnu reprezentaciju ukvantnoj mehanici ili prelaz iz vremenskog u frekventni domen u analizi vremenskih serija.

4Bitno je istaci, kao sto ce biti reci u narednim poglavljima, da se Furijeova transformacija mozeodnositi i na bilo koju drugu nezavisnu promenljivu (koordinatu) ne samo vreme. Tako -de, Furijeovatransformacija se moze uopstiti na visedimenzioni slucaj.

2

1.2 Osobine Furijeove transformacije i primeri

Lako se mozemo ubediti u vazenje sledecih osobina Furijeovih parova (dokazati zavezbu):

h(at) ⇔ 1

|a|H

(f

a

)(4a)

1

|b|h

(t

b

)⇔ H(bf) (4b)

h(t− t0) ⇔ H(f)ei2πft0 (4c)

h(t)e−i2πf0t ⇔ H(f − f0) (4d)

Parsevalova teorema: Ukupna snaga u signalu h(t) racunata u vremenskom domenu jejednaka ukupnoj snazi racunatoj u frekventnom domenu:∫ ∞

−∞|h(t)|2dt =

∫ ∞

−∞|H(f)|2df. (5)

Ukoliko je poterbno odrediti koliko je snage sadrzano u intervalu frekvencija (f, f+df)obicno posmatramo frekvencije tako da se krecu u intervalu od 0 (nulta frekvencija) do∞. Tada se moze definisati spektralna gustina (jednostrana):

Ph(f) ≡ |H(f)|2 + |H(−f)|2, 0 ≤ f < ∞ (6)

pa je snaga u intervalu (f, f + df) integral od Ph u tim granicama.

Primeri

P1 Odrediti Furijeovu transformaciju funkcije:

h(t) =

{A, |t| < T0, |t| > T.

5

Iskoristimo, npr., konvenciju (2):

H(ω) =

∫ ∞

−∞h(t)eiωtdt = A

∫ T

−Teiωtdt

H(ω) =A

iω

(eiωT − e−iωT

)=

2A

ωsin(ωT ),

gde je iskorisceno da vazi:

sin(x) =eix − e−ix

2iKonacno imamo:

H(ω) = 2AT sinc(ωT ), sinc(x) =sin(x)

xVidi prvi i drugi crtez na slici 1. Furijeova transformacija pravougaonika je sink funkcija.

3

-20 -10 0 10 20

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

sinc

(x)

x

Slika 2: Sink funkcija

4


h(t) =

0, t ∈ [(−∞, T ) ∪ (T,∞)]

AT t+A, t ∈ (−T, 0)

−AT t+A, t ∈ (0, T ).

5

Iskoristimo konvenciju (2):

H(ω) =

∫ ∞

−∞h(t)eiωtdt =

∫ 0

−T

(A

Tt+A

)eiωtdt+

∫ T

0

(A− A

Tt

)eiωtdt

H(ω) =A

T

∫ 0

−Tteiωtdt+A

∫ 0

−Teiωtdt+A

∫ T

0eiωtdt− A

T

∫ T

0teiωtdt

Posle kraceg sre -divanja i primene parcijalne integracije u prvom i cetvrtom integralu u gornjojjednacini, dobijamo:

H(ω) =2A

Tω2(1− cos(ωT )) ,

gde je iskorisceno da vazi:

cos(x) =eix + e−ix

2

Uz:1− cos(x) = 2 sin2

(x2

)dobijamo:

H(ω) =4A

Tω2sin2

(ωT

2

)= AT

(sin(ωT2

)ωT2

)2

= AT sinc2(ωT

2

)Dakle, Furijeova tranformacija trougla je sink na kvadrat.

4

-20 -10 0 10 200.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

sinc

2 (x)

x

Slika 3: Sink kvadrat funkcija

4

P3a Odrediti Furijeovu transformaciju funkcije:

h(t) = cos(xt).

5

H(ω) =

∫ ∞

−∞h(t)eiωtdt =

∫ ∞

−∞cos(xt)eiωtdt =

1

2

∫ ∞

−∞

(eixt + e−ixt

)eiωtdt

H(ω) =1

2

∫ ∞

−∞

(ei(x+ω)t + ei(ω−x)t

)dt

Kako je Dirakova δ funkcija data preko:

δ(y) =1

2π

∫ ∞

−∞eisyds, δ(y) = δ(−y)

konacno dobijamo:H(ω) = π(δ(ω + x) + δ(ω − x))

Slika 4: Uz zadatak 3a.

5

4

P3b Odrediti Furijeovu transformaciju funkcije:

h(t) = sin(xt).

5

H(ω) =

∫ ∞

−∞h(t)eiωtdt =

∫ ∞

−∞sin(xt)eiωtdt =

1

2i

∫ ∞

−∞

(eixt − e−ixt

)eiωtdt

Slicno kao i u prethodnom primeru dobijamo:

H(ω) =1

2i

∫ ∞

−∞

(ei(x+ω)t − ei(ω−x)t

)dt

H(ω) = iπ(δ(ω − x)− δ(ω + x))

4


h(t) = Ae−at2 , a > 0.

5

H(ω) =

∫ ∞

−∞h(t)eiωtdt = A

∫ ∞

−∞e−at2eiωtdt

H(ω) = A

∫ ∞

−∞e−a(t2− iω

at)dt = Ae−

ω2

4a

∫ ∞

−∞e−a(t− iω

2a)2

dt

H(ω) = Ae−ω2

4a

∫ ∞

−∞e−a(t− iω

2a)2

d

(t− iω

2a

)= A

√π

ae−

ω2

4a

Gore je iskorisceno: ∫ ∞

0e−a2x2

dx =

√π

2a, a > 0

Dakle, Furijeova transformacija Gausijana je, tako -de, Gausijan.

4

6


h(t) =cos t

t2 + a2, a > 0.

5

F (ω) =

∫ ∞

−∞

cos t

t2 + a2eiωtdt

Iz:

cos t =eit + e−it

2

sledi:

F (ω) = F1(ω) + F2(ω) =1

2

∫ ∞

−∞

eit(ω+1)

t2 + a2dt+

1

2

∫ ∞

−∞

eit(ω−1)

t2 + a2dt

Ovaj zadatak se najjednostavnije resava uz pomoc kompleksne analize. Ponovimo, zato,nekoliko vaznih rezultata kompleksne analize bitnih za resavanje ovog zadatka:

1. Ako je funkcija f : D → C analiticka na zatvorenoj, pozitivno orjentisanoj krivoj Γ, kojaje granica oblasti D, onda vazi: ∫

Γf(z)dz = 2πi

n∑k=1

Resz=zk

f(z),

gde su zk singulariteti funkcije f unutar oblasti D.

2. Vazi:

Resz=z0

f(z) = limz→z0

1

(m− 1)![(z − z0)

m f(z)](m−1) .

3. Ako je f(z) = Pm(z)Qn(z)

, gde su Pm(z) i Qm(z) polinomi po z ∈ C m-tog i n-tog stepena, iako je n ≥ m+ 2 sledi:

limR→∞

∫γR+

f(z)dz = 0,

gde je γR+ = Reit, t ∈ [0, π].

Odredimo sada F1(ω). Polovi (prvog reda) podintegralne funkcije su t = ±ai. Sa slike 5 jejasno da vazi: Γ = γR+ ∪ l, R > a, te da je:

I1 ≡∫Γ

eiz(ω+1)

z2 + a2dz =

∫γR+

(· · · ) dz +∫l(· · · ) dz

Na osnovu (1.) i (2.) sledi:

7

∫Γ

eiz(ω+1)

z2 + a2dz = 2πi Res

z=ai

eiz(ω+1)

z2 + a2= 2πi lim

z→ai

eiz(ω+1)

z2 + a2=

π

ae−a(ω+1)

Uz pomoc (3.) mozemo proceniti∫γR+

(· · · ) dz. Sa jedne strane vazi:

0 ≤

∣∣∣∣∣∫γR+

eiz(ω+1)

z2 + a2dz

∣∣∣∣∣ ≤∫γR+

dz

z2 + a2,

a sa druge, na osnovu (3.) imamo: ∫γR+

dz

z2 + a2= 0

uz R → ∞. Podsetimo se i da ako je kompleksan broj jednak nuli po modulu tada su murealna i imaginarna komponenta, tako -de, jednke nuli. Posto smo dobili da je

∫γR+

(· · · ) dz = 0

sada imamo da je:

limR→∞

∫l(· · · ) dz = lim

R→∞

∫Γ(· · · ) dz,

odnosno:

F1(ω) =π

2ae−a(ω+1)

Slicno se nalazi za F2(ω):

F2(ω) =π

2a

[e−a(ω−1) + e−a(ω+1)

]Konacno dobijamo:

F (ω) =π

ae−aω cosh a

Slika 5: Uz zadatak 5.

4

8

2 Konvolucija i korelacija

Konvolucija dve funkcije s(t) i h(t) je data preko:

y(t) =

∫ ∞

−∞s(τ)h(t− τ)dτ = s(t) ◦ h(t). (7)

Na slici 6 je graficki predstavljen princip konvolucije: funkcija h(τ) se prevede u njenuogledalsku funkciju h(−τ) i zatim translira h(t − τ) kako bi zatim bila prevucena prekocitave funkcije s(τ). Ukoliko bismo h(t − τ) zaledili na bilo kojem mestu tokom procesaprevlacenja preko s(τ) i pomnozili odgovarajuce vrednosti za ove dve funkcije dobilibismo jednu, korespondentnu, vrednost za y(t). Skup svih tako dobijenih vrednosti pred-stavlja konvoluciju dve date funkcije. Konvolucija se u nauci moze razumeti kao rezultatsprezanja dva fizicka procesa.

Slika 6: Princip konvolucije. (Preuzeto iz [7].)

Teorema o konvoluciji: Furijeova transformacija konvolucije dve funkcije je jednakaproizvodu Furijeovih transformacija svake funkcije zasebno:

h(t) ◦ s(t) ⇔ H(f)S(f). (8)

9

Teorema o konvoluciji je od velikog znacaja u nauci5.Korelacija dve funkcije s(t) i h(t) je definisana preko:

Corr(s, h) = z(t) =

∫ ∞

−∞s(τ)h(τ + t)dτ. (9)

Na osnovu teoreme o konvoluciji sledi:

z(t) ⇔ H(f)S∗(f) = Z(f) ⇒ Corr(s, h) ⇔ H(f)S∗(f). (10)

Viner-Nisin-a teorema:

Corr(g, g) ⇔ |G(f)|2 (11)

Primeri

P1 Odrediti konvoluciju f ◦ f , gde je:

f(x) =

A, |x| 6 D

2

0, |x| > D2

5

A

-D/2 D/2

Slika 7: Pravougaonik (uz zadatak 1)

Na slici 7 graficki je predstavljena finkcija f(x). Trazena konvolucija je data sa:

(f ◦ f)(τ) =∫ ∞

−∞f(x)f(τ − x)dx

Graficki se konvolucija moze zamisliti kao prevlacenje jedne funkcije preko druge i racunanjepovrsine koja se nalazi ispod funkcije koja predstavlja njihov proizvod. Kako imamo dve istefunkcije, svejedno je koju cemo prevlaciti preko koje (generalno je svejedno mada u zavisnostiod konkretnog problema moze biti jednostavnije prevlaciti jednu umesto drugu funkciju).

Racunanje konvolucije za τ < 0 odgovara kretanju funkcije iz pocetnog polozaja (u ovomslucaju kada su funkcije prekolopljene) u levo, a za τ > 0 u desno (u principu mogli bismo daposmatramo stvari npr. tako sto jedna funkcija ide iz −∞ i krece se samo desno). Kako je jasnoda je svejedno da li u razmatramo τ < 0 ili τ > 0 (resavanje je slicno, a funkcija koju cemo dobiti

10

Slika 8: Uz postupak konvolucije (primer 1).

konvolucijom je simetricna u odnosu na τ = 0), razmatracemo samo slucaj τ > 0 (kretanje nadesno).

Slika 8 objasnjava racunanje konvolucije u nekoj tacki 0 < τ 6 D. Vidimo da se za τ izovog intervala ove dve funkcije preklapaju na intervalu od −D

2 + τ do D2 i za τ u tom intervalu

racunamo konvoluciju kao povrsinu ispod krive koja predstavlja proizvod datih funkcija na tomintervalu. Za τ ∈ (0, D) imamo: ∫ D

2

−D2+τ

A2dx = A2(D − τ)

Vidimo da se za τ > D ove dve funkcije vise ne preklapaju pa je za te vrednosti τ vrednostkonvolucije jednaka nuli. Konacno dobijamo (slika 9):

f ◦ f =

A2(D − τ) τ ∈ (0, D)A2(τ −D) τ ∈ (−D, 0)0, x /∈ ((−D, 0) ∪ (0, D))

45Detaljnije o konvoluciji i njenom znacaju u nauci vidi u [7], [22], i dr.

11

Slika 9: Konvolucija dva pravougaonika je trougao.

P2 Odrediti konvoluciju f ◦ f , gde je:

f(x) =

AD (D + x) , x ∈ (−D, 0)AD (D − x) , x ∈ (0, D)0, x /∈ ((−D, 0) ∪ (0, D))

5

Slika 10: f(x)

Zanima nas da odredimo konvoluciju dva trougla. Na slican nacin kao i u prethodnom primeruresavamo i ovaj problem: gledacemo samo τ > 0 i zatim cemo simetricno preslikati funkciju zaτ < 0. Kako funkcija f(x) (vidi sliku 10) definisana razlicito za razlicite intervale, racunanjekonvolucije cemo podeliti na nekoliko intervala za τ . Za 0 < τ 6 D imamo:

f ◦ f =

∫ 0

τ−D

(A+

A

Dx

)(A+

A

D(τ − x)

)dx+

∫ τ

0

(A− A

Dx

)(A+

A

D(τ − x)

)dx+

+

∫ D

τ

(A− A

Dx

)(A− A

D(τ − x)

)dx = −7

6

A2

D2τ3 + 2A2D

Razdvojili smo integral na tri dela kako na ta tri dela imamo razlicite poditnegralne funkcije(vidi slku 11).

Za D < τ < 2D imamo (vidi sliku 12):

f ◦ f =

∫ D

τ−D

(A− A

Dx

)(A+

A

D(τ − x)

)dx =

8

3A2D − 2A2τ +

1

6

A2τ3

D2

12


Za τ > 2D vazi f ◦ f = 0. Simetricno je za τ < 0. Na kraju je neophodno ispitati osobinefunkcije (konveksnost/konkavnost). Resenje je predstavljeno na slici 13:

f ◦ f =

−7

6A2

D2 |τ |3 + 2A2D, |τ | < D83A

2D − 2A2|τ |+ 16A2|τ |3D2 , D 6 |τ | 6 2D

0, |τ | > 2D

4

P3 Odrediti konvoluciju funkcija aE(αx) i bE(βx) ako su a, b, α, β konstante a:

E(x) =

{e−x, x > 0

0, x < 0.

5

Po definiciji imamo:

aE(αx) ◦ bE(βx) = ab

∫ ∞

−∞E(αx)E(βτ − βx)dx

13


Slika 13: Konvolucija dva trougla

Na slici 14 vidimo da se funkcije preklapaju na intervalu od 0 do τ :

aE(αx) ◦ bE(βx) = abE(βτ)

∫ τ

0E(αx− βx)dx = abE(βτ)

E(ατ − βτ)− 1

β − α

14


aE(αx) ◦ bE(βx) = abE(ατ)− E(βτ)

β − α

Odredimo sada i E(αx) ◦ E(αx):

E(αx) ◦ E(αx) = limβ−α→0

E(ατ)− E(βτ)

β − α= − d

dαE(ατ) = τE(ατ)

Na kraju, odredimo i E(−αx) ◦ E(βx):

E(−αx) ◦ E(βx) =

∫ ∞

−∞E(−ατ + αx)E(βx)dx

E(−αx) ◦ E(βx) =

{ ∫∞τ e−αx+ατe−βxdx, τ > 0∫∞0 e−αx+ατe−βxdx, τ < 0.

E(−αx) ◦ E(βx) =E(−ατ) + E(βτ)

α+ β

4

15

P4 Odrediti konvoluciju funkcija f(x) = 2√πe−x2

i g(x) = e−|x|. Skicirati grafik rezultujuce

funkcije.

5

Po definiciji imamo:

(f ◦ g) (t) = 2√π

∫ ∞

−∞e−x2

e−|t−x|dx

|t− x| ={

t− x, t > xx− t, t < x

Na ovom mestu je lakse prevlaciti funkciju g(x) (u eksponentu je linearna zavisnost od x) - vidisliku 15.


(f ◦ g) (t) = 2√π

[∫ t

−∞e−x2

e−(t−x)dx+

∫ ∞

te−x2

et−xdx

](f ◦ g) (t) = 2√

π

[∫ t

−∞e−x2

exe−tdx+

∫ ∞

te−x2

e−xetdx

](f ◦ g) (t) = 2√

π

[e−t

∫ t

−∞e−(x2−x)dx+ et

∫ ∞

te−(x2+x)dx

]16

(f ◦ g) (t) = 2√π

[e−t

∫ t

−∞e−(x2−x+ 1

4)+ 1

4dx+ et∫ ∞

te−(x2+x+ 1

4)+ 1

4dx

](f ◦ g) (t) = 2√

π

[e−t+ 1

4

∫ t

−∞e−(x− 1

2)2dx+ et+

14

∫ ∞

te−(x+ 1

2)2dx

]I1 ≡

∫ t

−∞e−(x− 1

2)2dx, y = x− 1

2

I2 =

∫ ∞

te−(x+ 1

2)2dx, y = x+

1

2

⇒

(f ◦ g) (t) = 2√π

[e−t+ 1

4

∫ t− 12

−∞e−y2dy + et+

14

∫ ∞

t+ 12

e−y2dy

]

I3 =

∫ t− 12

−∞e−y2dy, z = −y

⇒

(f ◦ g) (t) = 2√π

[e−t+ 1

4

∫ −t+ 12

∞(−1)e−z2dz + et+

14

∫ ∞

t+ 12

e−y2dy

]

(f ◦ g) (t) = 2√π

[e−t+ 1

4

∫ ∞

−t+ 12

e−z2dz + et+14

∫ ∞

t+ 12

e−y2dy

]Poznato je generalno:

2√π

∫ ∞

te−x2

dx =2√π

[∫ ∞

0e−x2

dx−∫ t

0e−x2

dx

]=

1− 2√π

∫ t

0e−x2

dx = 1− erf(t)

Gore smo iskoristili da je: ∫ ∞

0e−a2x2

dx =

√π

2a, a > 0

Sada konacno imamo:

(f ◦ g) (t) = e−t+ 14

[1− erf

(−t+

1

2

)]+ et+

14

[1− erf

(t+

1

2

)]Skiciranje. Odredimo prvo (f ◦ g) (0). Iz tablica specijalnih funkcija nalazimo da je erf(12) ≈

0.52. Dobijamo: (f ◦ g) (0) ≈ 1.23. Odredimo sada prvi izvod funkcije: (f ◦ g)′(t). Posle kraceg

sre -divanja dobijamo (i cinjence da e−x2ravnomerno konvergira):

(f ◦ g)′(t) = e−t+ 1

4

[e−(t− 1

2)2 − 1 + erf

(−t+

1

2

)]+ et+

14

[1− erf

(t+

1

2

)− e−(t+ 1

2)2]

Gore je iskorisceno da vazi:

d

dτ

∫ b(τ)

a(τ)f(x, τ)dx =

∫ b(τ)

a(τ)

∂

∂τf(x, τ)dx+ f(b, τ)

db

dτ− f(a, τ)

da

dτ

17

Sada je jasno da vazi: (f ◦ g)′(0) = 0 Postoji ekstremna vrednost u nuli. Jasno je, tako -de, da

je funkcija diferencijabilna: (f ◦ g)′(0−) = (f ◦ g)

′(0+) = 0. Na kraju, odredimo drugi izvod

funkcije: (f ◦ g)′′(t). Nakon kraceg sre -divanja dobijamo:

(f ◦ g)′′(t) = e−t+ 1

4

[−(2t+ 1)e−(t− 1

2)2 + 1− erf

(−t+

1

2

)]+

+et+14

[(2t− 1)e−(t+ 1

2)2 + 1− erf

(t+

1

2

)]Iz uslova (f ◦ g)

′′(t) = 0 dobijamo:

−2e−t2− 14 + e−t · erfc

(−t+

1

2

)+ et · erfc

(t+

1

2

)= 0,

gde smo sa erfc(x) oznacili erfc(x) = 1 − erf(x). Jasno je da je za t = 0 funkcija konkavna

(drugi izvod manji od nule). Za t = 1 funkcija je konveksna (drugi izvod veci od nule). Kako

je funkcija simetricna, konacno, mozemo skicirati njen grafik (uraditi za vezbu). Oblik funkcije

moze da se oceni i samo logickim zakljucivanjem (bez trazenja izvoda) ali za lociranje prevojnihtacaka je neophodno nalazenje drugog izvoda.

4

18

3 Prakticni znacaj Furijeovih transformacija

Posmatrajmo proizvoljnu neprekidnu funkciju x(t) i uzmimo da je nezavisno promenljivavreme t. Furijeova transformacija od x(t) je, kao sto smo videli u prethodnim poglavljima:

X(f) =

∫ ∞

−∞x(t)ei2πftdt,

dok je inverzna Furijeova transformacija data sa:

x(t) =

∫ ∞

−∞X(f)e−i2πftdf,

gde je f frekvencija. Ukoliko se frekvencija zameni ugaonom brzinom ω = 2πf dobijamojednacine analogne (2a/b). Iz Ojlerove formule:

eikx = cos(kx) + i sin(kx) (12)

sledi:

X(f) =

∫ ∞

−∞x(t) cos(2πft)dt+ i

∫ ∞

−∞x(t) sin(2πft)dt = U + iV, (13)

gde je U tzv. kosinus transformacija, a V tzv. sinus transformacija.

Sada cemo pokusati da odgovorimo na pitanje o prakticnom interesu za transformacijux(t) u X(f).

Pretpostavimo da se u x(t) nalazi nekoliko (Q) slabih oscilatornih signala, potopljenihu intenzivniji sum, koji cemo predstaviti nekom nepoznatom funkcijom s(t):

x(t) =

Q∑j=1

Aj cos(2πfjt) + s(t). (14)

Ako izvrsimo smenu:

cos(2πfjt) =1

2

(ei2πfjt + e−i2πfjt

),

za Furjeovou transformaciju od x(t) se dobija:

X(f) =

Q∑j=1

Aj

2

∫ ∞

−∞

[ei2π(f+fj)t + ei2π(f−fj)t

]dt+

∫ ∞

−∞s(t)ei2πftdt

Lako se moze uociti da prvi integral sa desne strane predstavlja zbir Dirakovih funkcija:

I1 =

Q∑j=1

Aj

2

∫ ∞

−∞[ei2π(f+fj)t + ei2π(f−fj)t]dt =

Q∑j=1

Aj

2[δ(f + fj) + δ(f − fj)].

Ukoliko je, radi jednostavnosti, s(t) tzv. beli sum6 njegovom transformacijom se dobijakonstanta:

I2 =

∫ ∞

−∞s(t)ei2πftdt = const.

6Ovaj tip suma ne zavisi od frekvencije. Pored belog suma javljaju se i 1/f (flicker, pink) sum, 1/f2

(Braunov, crveni, random-walk) sum,...

19

Dakle, Furijeovom transformacijom funkcije x(t), koja sadrzi oscilatorne signale potopljeneu belom sumu, dobija se diskretna funkcija frekvencije X(f) koja se sastoji od zbiraDirakovih funkcija. Ako se sada ogranicimo samo na pozitivne frekvencije, koje imajufizicki smisao, dobijamo:

X(f) =

Q∑j=1

Aj

2δ(f − fj) + const.

Ako bismo u Dekartovom koordinatnom sistemu predstavili X(f), svakoj (ko)sinusoidnojkomponenti x(t) odgovarala bi jedna linija na f = fj koja pocinje sa konstantnog nivoaI2. Tako se, umesto slike neprekidne funkcije, dobija nesto nalik na linijski spektar, tzv.periodogram.

Na osnovu gornjeg izlaganja naslucujemo da bi Furijeova transformacija neprekidnefunkcije x(t), u kojoj nismo u stanju da vizuelno prepoznamo harmonijske komponente,mogla da omoguci da se x(t) razlozi po frekvenciji i tako analizira njena oscilatornastruktura. Me -dutim, posto su granice integracije beskonacne, gornje formule se ne moguodnositi na realno posmatrane funkcije.

Pretpostavimo sada da je x(t) zadato na intervalu t ∈ [0, T ]. Mi mozemo definisatifunkciju:

x1(t) = h(t)x(t),

gde je:

h(t) =

{1, t ∈ [0, T ]0, t /∈ [0, T ].

Ocigledno, funkcija x1(t) je definisana na intervalu t ∈ (−∞,∞), pa se moze naci odgo-varajuca Furijeova transformacija:

X1(f) =

∫ ∞

−∞h(t)x(t)ei2πftdt. (15)

Ako je H(s) Furijeova transformacija h(t), to je:

h(t) =

∫ ∞

−∞H(s)e−i2πstds,

pa sledi:

X1(f) =

∫ ∞

−∞

[x(t)ei2πft

∫ ∞

−∞H(s)e−i2πstds

]dt.

Kako se u drugom integralu vrsi integracija po promenljivoj s, to se prva podintegralnafunkcija moze uneti pod ovaj integral kao konstanta i tako dobiti:

X1(f) =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞x(t)ei2π(f−s)tH(s)dsdt.

Posto je: ∫ ∞

−∞x(t)ei2π(f−s)tdt = X(f − s),

20

konacno dobijamo:

X1(f) =

∫ ∞

−∞X(f − s)H(s)ds. (16)

Ovako definisanoX1(f) predstavlja konvoluciju funkcijaX(s) iH(s). Smenom promenljive,moze se lako pokazati da je:

X1(f) =

∫ ∞

−∞X(u)H(f − u)du.

Iz gornjih jednacina sledi zakljucak, da kad je x(t) zadato na konacnom intervalu t, inte-gral:

I =

∫ T

0

x(t)ei2πftdt,

ne predstavlja X(f) - Furijeovu transformaciju x(t), vec Furijeovu transformaciju funkcijex1(t) = h(t)x(t). Me -dutim, kao sto cemo kasnije videti, i to I = X1(f) sadrzi dovoljnojasne informacije o oscilatornoj strukturi x(t). U engleskoj terminologiji, h(t) je poznatokao boxcar function.

Radi ilustracije, uzecemo da je x(t) zadato na intervalu t ∈ [−T, T ] i da predstavljazbir sinusoidnih signala bez suma:

x(t) =∑j

[aj cos(2πfjt) + bj sin(2πfjt)] .

Ako definisemo:

I =1

T

∫ T

−T

x(t)ei2πftdt =1

T

∫ ∞

−∞h(t)x(t)ei2πftdt,

dobicemo (uz primenu Ojlerove jednacine):

I =1

T

∫ T

−T

∑j

aj [cos(2πfjt) cos(2πft) + i cos(2πfjt) sin(2πft)] dt+

+1

T

∫ T

−T

∑j

bj [sin(2πfjt) cos(2πft) + i sin(2πfjt) sin(2πft)] dt.

Sada mozemo iskoristiti trigonometrijske identitete:

cos(α) cos(β) =1

2[cos(α− β) + cos(α+ β)]

sin(α) cos(β) =1

2[sin(α− β) + sin(α+ β)]

sin(α) sin(β) =1

2[cos(α− β)− cos(α+ β)]

Integrali sinusa u granicama [−T, T ] su jednaki nuli, pa imamo:

I =∑j

aj2T

∫ T

−T

[cos (2π(fj + f)t) + cos (2π(fj − f)t)] dt+

21

+∑j

ibj2T

∫ T

−T

[cos (2π(fj − f)t)− cos (2π(fj + f)t)] dt.

Integracijom konacno dobijamo:

I =∑j

aj

[sin(2π(fj + f)T )

2π(fj + f)T+

sin(2π(fj − f)T )

2π(fj − f)T

]−

−i∑j

bj

[sin(2π(fj + f)T )

2π(fj + f)T− sin(2π(fj − f)T )

2π(fj − f)T

].

Ako je T mnogo vece od perioda P i Pj, koji odgovaraju frekvencijama f i fj, imenioc2π(f + fj)T je veliki, pa se prvi sabirci uz aj i bj mogu zanemariti tako da I postaje:

I ≈∑j

[ajsin(2π(f − fj)T )

2π(f − fj)T+ ibj

sin(2π(f − fj)T )

2π(f − fj)T

]=

=∑j

(aj + ibj)R(λ), (17)

gde je R(λ) ≡ sinc(λ) ≡ sinλλ

, λ = 2π(f − fj)T . Kad god frekvencija f , kao nezavisnopromenljiva, tezi frekvenciji nekoj od oscilacija sadrzanih u x(t) (fj) realni deo I teziaj, a imaginarni deo ka bj, jer funkcija R(λ) tezi jedinici. Podsetimo se da realni deo Isustinski odgovara kosinus transformaciji, a imaginarni sinus transformaciji. Sto god je Tvece u odnosu na periode P i Pj, ekstremum funkcije R(λ) je uzi. Takozvana selektivnostFurijeovih transformacija - mogucnost razdvajanja ekstremuma bliskih frekvencija (fj, fk)- zavisi od sirine ekstremuma R(λ) funkcija koje odgovaraju tim frekvencijama.

22

4 Diskretna Furijeova transformacija

4.1 Uzorkovanje

U praksi, mozemo samo da prikupljamo uzorke neke kontinualne funkcije odnosnosignala (njene vrednosti u diskretnim tackama). Uzorkovanje sa ekvidistantnim korakomT se obicno predstavlja proizvodom kontinualne funkcije koja se uzorkuje i tzv. cesaljfunkcije7 (set impulsnih funkcija sa korakom T ):

h(t) =∞∑

n=−∞

δ(t− nT ) ⇔ H(f) =1

T

∞∑n=−∞

δ(f − n

T

), (18)

gde za impulsnu (Dirakovu δ) funkciju vazi:

δ(t− τ) = 0 za t 6= τ,

∫ ∞

−∞δ(t− τ)dt = 1.

Na slici 16 je graficki predstavljen princip uzorkovanja i posledica teoreme o konvoluciji.Dok se u vremenskom domenu funkcije mnoze u frekventnom domenu je rec o konvoluciji.

Slika 16: Princip uzorkovanja. (Preuzeto iz [7].)

Teorema o uzorkovanju: Ako kontinualna funkcija h(t), uzorkovana sa ekvidistant-nim korakom T , zadovoljava uslov da je njena Furijeova transformacija H(f) = 0 za svefrekvencije u Najkvistovom intervalu ∀ |f | ≥ fc, tada se funkcija moze potpuno rekon-struisati datim uzorcima. fc = 1

2Tse naziva Najkvistova frekvencija. U suprotnom ce

svako H(f) 6= 0 van Najkvistovog intervala, biti pogresno preslikano u njega (aliasing).Na slici 17 je graficki prikazana negativna posledica uzorkovanja funkcije za koje ne vazeuslovi teoreme o uzorkovanju.

7Nekada se obelezava i sa X(x).

23

Slika 17: Uz objasnjenje pojave pogresnog preslikavanja. (Preuzeto iz [10].)

4.2 Diskretna Furijeova transformacija

Teorija koja je ranije izlozena odnosi se na neprekidne funkcije h(t), koje se u tehnicinazivaju analogni signali. Me -dutim, s obzirom na prirodu astronomskog posmatranja,diskretne posmatracke serije su osnova nasih istrazivanja. Iz prakticnih razloga, cesto se ianalogni signali predstavljaju pomocu diskretnih serija. Gubitak tacnosti, koji je posledicadiskretizacije (ili digitalizacije), ne mora biti znacajan. Po Najkvistovoj teoremi imamoda ako je neprekidna funkcija h(t) zadata diskretno na seriji ekvidistantnih argumenatati i ako je elementarni interval (korak) dovoljno mali, h(t) se moze rekonstruisati izme -dususednih (ti, tj) sa proizvoljnom tacnoscu.

Pretpostavimo da neku kontinualnu funkciju h(t) mozemo uzorkovati na ekvidistantnimintervalima T . Uzorkovali smo N diskretnih vrednosti funkcije hk ≡ h(kT ) gde je k =0, 1, 2, ..., N − 1. Na osnovu teoreme o uzorkovanju trazimo periodicne clanove na fn ≡n

NT, n = −N

2, ..., N

2, sa granicama ±fc. Zelimo da ocenimo Furijeovu transformaciju

(konvencija 1) u slucaju konacnog broja diskretnih tacaka8:

H(fn) =

∫ ∞

−∞hk(t)e

i2πfntdt ≈N−1∑k=0

h(kT )ei2πfnkTT

H(fn) ≈ TN−1∑k=0

hkei2πnk/N = THn,

8Logicno, diskretne su i funkcija i njena Furijeova transformacija. k broji uzorkovane vrednosti dok nbroji probne frekvencije.

24

gde Hn predstavlja tzv. diskretnu Furijeovu transformaciju9 (dalje DFT):

Hn =N−1∑k=0

hkei2πnk/N . (19a)

Lako se vidi da Hn ne zavisi od intervala uzorkovanja T . Inverzni DFT je dat:

hk =1

N

N−1∑n=0

Hne−i2πnk/N . (19b)

Za diskretnu Furijeovu transformaciju mozemo pisati:

Hn =N−1∑k=0

hk (cos(2πfnkT ) + i sin(2πfnkT )) = Uf + iVf , (20a)

Uf =N−1∑k=0

hk cos(2πfnkT ), Vf =N−1∑k=0

hk sin(2πfnkT ). (20b)

Frekvencija f ≡ fp, kao nezavisno promenljiva, se cesto naziva probna frekvencija. Ovajatribut joj se daje zbog toga sto se pri analizi signala h(t) nepoznata fp proizvoljno varirada bi se otkrili pikovi. Kao sto je ranije receno, probna frekvencija mora biti manja odNajkvistove frekvencije. Ukoliko sa ∆ oznacimo ukupnu duzinu vremenske serije jasno jeda probna frekvencija mora biti veca od 1/∆. Veci periodi od ∆ mogu biti detektovanikao prisustvo sekularnog clana u podacima (npr. linearni trend). U prakticnoj primeniFurijeovih transformacija se nastoji da ukupna duzina vremenske serije ∆ bude bar desetakputa vece od najveceg pretpostavljenog perioda.

Korisno je, kao rezultat diskretne Furijeove transformacije, prikazati grafik amplituda(amplitudni spektar) |Hn|2 ≡ Af za razlicite probne frekvencije fp. Ukoliko razmatramopozitivne frekvencije (jednostrano) tada amplitude i faze za svaku probnu frekvencijufp > 0 mozemo izracunati preko:

Af =2

N

√U2f + V 2

f , φf = arctg

(Uf

Vf

). (21)

4.3 Problemi diskretizacije i uslovi za primenu Furijeove trans-formacije

Ponovimo jos jednom da se mora voditi racuna o teoremi o uzorcima. Sa jednestrane postoji visokofrekventno ogranicenje u vidu Najkvistove frekvencije (sve frekven-cije moraju biti manje od Najkvistove odnosno svi periodi veci od minimalog dikranogNajkvistovom frekvencijom). Ako sa fu oznacimo frekvenciju uzorkovanja (fu = 1

T) tada

iz Najkvistove teoreme sledi fp < fu2

odnosno fp < fc, gde smo sa fp oznacili probne(pozitivne) frekvencije. Sa druge strane niskofrekventno ogranicenje diktirano je ukup-nom duzinom vremenske serije (periodi moraju biti manji od maksimalnog odnosno sve

9Ponekad se diskretna Furijeova transformacija definise slicno konvenciji 3.

25

frekvencije moraju biti vece od mimalne koja je odre -dena velicinom samog uzorka). Akosa N oznacimo broj uzorkovanih tacaka sa ekvidistantnim korakom T tada, u principu,mora vaziti fp >

1NT

.Diskretna Furijeova transformacija se moze koristi u analizi stacionarnih vremenskih

serija. U slucaju nestacionarnosti podesnije je koristiti metodu talasica. Tako -de, jednaod pretpostavki za primenu diskretne Furijeove transformacije jeste da je uzorkovanjeekvidistantno. Postojanje rupa i neravnomernosti u posmatrackoj seriji je cesta pojava uastronomiji (npr. oblacne posmatracke noci, itd.). U slucaju vremenskih serija sa znat-nim odstupanjima od ekvidistantnog uzorkovanja podesnije je koristiti tzv. Lombov pe-riodogram (ili njegove modifikacije). Upotreba interpolacije i zatim primena Furijeoveanalize iako sasvim opravdana moze dovesti do pojava laznih pikova koji upravo odgo-varaju rupama u posmatranjima.

Jos jedan problem vezan za analizu diskretnih podataka jeste postojanje razlike u fazi.Kako je prakticno nemoguce da pocetna i krajnja tacka sa analiziranog intervala buduu istoj fazi, tako se javlja sirina pika10. Jedan od nacina da smanjimo sirinu pika jesteupotrebom odgovarajucih filtera. Mozemo npr. koristiti Haningov prozor i time pokusatida vestacki dovedemo pocetnu i krajnju tacku u istu fazu. To se postize konstrukcijomfunkcije cije vrednosti teze nuli na pocecima i krajevima posmatranog intervala i njenimmnozenjem sa nasom serijom.

10Cinjenica da se stvarne ucestanosti sinusnih/kosinusnih komponenti koje su zaista prisutne u signalu,ne sadrze ceo broj puta u okviru datog intervala vremena vec su naglo odsecene na krajevima, doprinosisirenju linija koje opisuju te komponente u Furijeovom spektru (domen ucestanosti). Samim tim, dolazido gubitka znacajnih informacija, jer se ne zna da li je sirenje spektralnih linija nastalo usled opisanogefekta ili je u pitanju npr. amplitudna modulacija sa nosiocem na glavnoj ucestanosti, a sirenje oko oveucestanosti uslovljeno sirinom frekventnog opsega modulisuceg signala i dubinom modulacije.

26

Dodatak

Reprezentacija funkcija

Vektor F moze biti reprezentovan kao:

F =N∑

n=1

Fnin,

u bazisu (ortonormiranom skupu vektora) koji zadovoljava:

im · in = δm,n =

{1, m = n0, m 6= n.

Tako -de vazi:Fm = F · im.

Slicno, funkcija y(t) moze biti reprezentovana u nekom bazisu kao:

y(t) =N∑

n=1

Ynφn(t).

U prostoru funkcija, moze se definisati skalarni proizvod dve funkcije x(t) i y(t) kao:

(x, y) =

∫ b

a

x(t)y∗(t)ω(t)dt, (D 1.1)

na intervalu a < t < b, gde je y∗(t) kompleksno konjugovana vrednost od y(t) a ω(t)metrika.

Sistem funkcija se naziva ortogonalnim na nekom intervalu a < t < b, ako su svakedve funkcije iz tog sistema ortogonalne me -dusobno na tom intervalu, odnosno ako jezadovoljeno:

Φn · Φm =

∫ b

a

φn(t)φ∗mω(t)dt = knδm,n.

Sistem je ortonormiran ako vazi da je kn = 1, ∀n.Istorijski, prvi i najvazniji ortogonalni sistem funkcija je sistem:

1, cosx, sinx, cos 2x, sin 2x, ..., cosnx, sinnx, ... (D 1.2)

na intervalu x ∈ [−π, π] (tzv. Furijeova serija).Lako se mozemo uveriti da je ovaj sistem zaista ortogonalan. Uz definiciju skalarnog

proizvoda za dve realne funkcije x(t) i y(t), zadate na konacnom ili beskonacnom intervalu(a < t < b):

(x, y) =

∫ b

a

x(t)y(t)dt (D 1.3)

27

imamo11: ∫ π

−π

cosnx cosmxdx = 0 (m 6= n),∫ π

−π

sinnx sinmxdx = 0 (m 6= n), (D 1.4)∫ π

−π

cosnx sinmxdx = 0 (∀ m,n = 0, 1, 2, ...).

Sistem (1.2) je ortogonalan i na intervalu x ∈ [0, 2π] i uopste na bilo kom intervalu duzine2π (osobina odre -denog integrala periodicnih funkcija12).

Sistem funkcija:1, cosx, cos 2x, ..., cosnx, ... (D 1.5)

je ortogonalan na intervalu x ∈ [0, π] kao i sistem funkcija:

sin x, sin 2x, ..., sinnx, ... (D 1.6)

Pri tome, sistem funkcija (1.2) na tom intervalu nije ortogonalan.Svaku od funkcija iz (1.2) mozemo proizvoljno produziti (razvuci) duz x–ose tako da

dobijemo sistem funkcija:

1, cosπx

l, sin

πx

l, cos

2πx

l, sin

2πx

l, ..., cos

nπx

l, sin

nπx

l, ..., (D 1.7)

koji je ortogonalan na intervalu x ∈ [−l, l], pri cemu je l arbitrarno. Slicno mogu da serazvuku sistemi (1.5) i (1.6) kao i bilo koji ortogonalni sistem funkcija. Tako -de, ortogonalnisistem funkcija ostaje ortogonalan pri translacijama duz x–ose na tom (transliranom)intervalu.

Osobinu ortogonalnosti mogu imati i neki drugi sistemi funkcija. Ovde cemo navestijos i postupak konstrukcije sistema tzv. Lezandrovih polinoma na intervalu x ∈ [−1, 1].Pocicemo od sistema funkcija:

1, x, x2, x3, ..., xn, ... (x ∈ [−1, 1]) (D 1.8)

Prve dve funkcije su me -dusobno ortogonalne:∫ 1

−1

1xdx = 0,

zato mozemo staviti P0(x) ≡ 1 i P1(x) ≡ x. Treca funkcija nije ortogonalna sa prvom, pacemo za P2(x) uzeti linearnu kombinaciju prve tri funkcije (D1.8), tj.:

P2(x) = ax2 + bx+ c,

11Pretpostavlja se da su funkcije x i y bilo konacne bilo beskonacne, ali integral (1.3) mora biti apsolutnokonvergentan.

12Za periodicne funkcije vazi f(x) = f(x± α), gde je α period.

28

gde koeficijente a, b, c biramo tako da P2(x) bude ortogonalan sa vec izabranim poli-nomima P0(x), P1(x), tj.:∫ 1

−1

(ax2 + bx+ c)1dx = 0,

∫ 1

−1

(ax2 + bx+ c)xdx = 0.

Tako dobijamo:b = 0, a = −3c, tj. P2(x) = c(−3x2 + 1).

Ovde je c – proizvoljna konstanta13. Obicno je biramo tako da bude P2(1) = 1. Dobijamoc = −(1/2), tj.:

P2(x) =3

2x2 − 1

2.

Za konstrukciju P3(x) uzimamo kombinaciju prve 4 funkcije (D1.8), tj.:

P3(x) = ax3 + bx2 + cx+ d,

pri cemu se koeficijenti a, b, c, d biraju tako da P3(x) bude ortogonalna sa vec konstru-isanim polinomima P0(x), P1(x) i P2(x). Uz dopunski uslov P3(1) = 1 nalazimo:

P3(x) =5

2x3 − 3

2x.

Po analogiji dalje mozemo konstruisati:

P4(x) =1

8(35x4 − 30x2 + 3), P5(x) =

1

8(63x5 − 70x3 + 15x), ...

Ovako konstruisani polinomi su me -dusobno ortogonalni na intervalu x ∈ [−1, 1].Postupak slican ovome moze da se na intervalu x ∈ [−1, 1] sprovede nad bilo kojim sis-

temom linearno nezavisnih funkcija, kao i na bilo kom intervalu, ako su integrali kvadratatih funkcija konvergentni na izabranom intervalu. Taj postupak se naziva ortogonalizaci-jom.

Primeri razlicitih ortogonalnih sistema u prostoru funkcija su: Furijeova serija, Lezandrovipolinomi, Lagerovi polinomi, Hermitovi polinomi, Cebisevljevi polinomi, sferni harmonici,itd.

13Iz skupa ravnopravnih objekata izaberemo jedan - izvrsili smo normiranje.

29

Literatura

[1] D. Adna -devic, Z., Kadelburg, Matematicka analiza II, (Matematicki fakultet,Beograd, 2008)

[2] G. J. Babu, E. D. Feigelson, Astrostatistics, (Chapman & Hall, 1996).

[3] R. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, McGraw-Hill, Inc., 1965.

[4] D. -Durovic, Matematicka obrada astronomskih posmatranja, (ISRO ”Privredno-finansijski vodic”, Beograd, 1979).

[5] D. -Durovic, Skripte za predmet Obrada astronomskih posmatranja, (1999)

[6] D. -Durovic, Bull. Astron. Belgrade, 145, 17, (1992).

[7] P. Gregory, Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences, (CambridgeUniversity Press, 2005).

[8] A. Papoulis, The Fourier Integral and Its Applications, McGraw-Hill Book Company,Inc., 1962

[9] W. H. Press, G. B. Rybicki, ApJ, 338, 277, (1989).

[10] W. H. Press, G. B. Rybicki, Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing,Second Edition (https://www.fizyka.umk.pl/nrbook/bookcpdf.html).

[11] D. P. Radunovic, A. B. Samardzic, F. M. Maric, Numericke metode, Zbirka zadatakakroz C, Fortran i Matlab, (Akademska misao, 2005).

[12] D. Radunovic, Talasici, (Akademska misao, Beograd, 2005).

[13] K. Rohlfs, T. L. Wilson, Tools of Radio Astronomy (second completely revised andenlarged edition), (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1996).

[14] S. W. Smith, The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing, (Cal-ifornia Tehnical Publishing, 1997).

[15] D. Urosevic, J. Milogradov-Turin, Teorijske osnove radio-astronomije, (Matematickifakultet, Beograd, 2007).

[16] J. V. Wall, C. R. Jenkins, Practical Statistics for Astronomers, (Cambridge Univer-sity Press, 2003).

30

fft analiza

Documents