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UNIVERSIDAD SAN FRANCISCO DE QUITO USFQ
Colegio de Posgrados
Segmentación geométrica de la ciudad de Quito por medio de un método de aprendizaje no supervisado
Felipe Javier Vaca Ramírez
Luca Guzzardi, Ph.D. Director de Trabajo de Titulación
Trabajo de titulación de posgrado presentado como requisito para la obtención del título de Magister en Matemáticas Aplicadas
Quito, septiembre de 2015
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UNIVERSIDAD SAN FRANCISCO DE QUITO USFQ
COLEGIO DE POSGRADOS
HOJA DE APROBACIÓN DE TRABAJO DE TITULACIÓN
Segmentación geométrica de la ciudad de Quito por medio de un método de
aprendizaje no supervisado
Felipe Javier Vaca Ramírez
Firmas
Luca Guzzardi, Ph.D.,
Director del Trabajo de Titulación
Carlos Jiménez Mosquera, Ph.D.,
Director de la Maestría en Matemáticas
Aplicadas y Miembro del Comité de Trabajo
de Titulación
Julio Ibarra Fiallo, M.Sc.,
Miembro del Comité de Trabajo de
Titulación
César Zambrano, Ph.D.,
Decano del Colegio de Ciencias e Ingeniería
Hugo Burgos, Ph.D.
Decano del Colegio de Posgrados
Quito, septiembre de 2015
3
© Derechos de Autor
Por medio del presente documento certifico que he leído todas las Políticas y
Manuales de la Universidad San Francisco de Quito USFQ, incluyendo la Política de
Propiedad Intelectual USFQ, y estoy de acuerdo con su contenido, por lo que los derechos de
propiedad intelectual del presente trabajo quedan sujetos a lo dispuesto en esas Políticas.
Asimismo, autorizo a la USFQ para que realice la digitalización y publicación de este
trabajo en el repositorio virtual, de conformidad a lo dispuesto en el Art. 144 de la Ley
Orgánica de Educación Superior.
Firma del estudiante:
Nombre: Felipe Javier Vaca Ramírez
Código de estudiante: 00118079
C. I.: 1003307418
Lugar, Fecha Quito, septiembre de 2015
4
DEDICATORIA
A mis amigos les adeudo.
A los espíritus inquietos.
5
AGRADECIMIENTOS
A quienes han hecho posible este trabajo, la duda y el viaje.
6
RESUMEN
El presente documento recoge una aplicación de métodos de análisis de datos en urbanismo y Sistemas de Información Geográfica. Se apunta a encontrar patrones de forma y densidad en el mapa de Quito, partiendo del supuesto de que existen similitudes entre las manzanas de la urbe en términos de sus atributos geométricos y su ubicación espacial. Los algoritmos Jerárquico Aglomerativo y DBSCAN han sido considerados como herramientas de análisis. Siendo el resultado una nueva segmentación de la ciudad, en la cual los nuevos barrios o sectores no están definidos de manera arbitraria, se abre la puerta a un replanteamiento de la planificación urbana.
Palabras clave: agrupamiento, polígonos, características geométricas, ciudades,
vecindarios, urbanismo, Sistemas de Información Geográfica.
7
ABSTRACT
This document contains an application of data analysis methods on urbanism and Geographic Information Systems. It aims to find shape and density patterns in the map of Quito, starting from the assumption that there are some similarities between the city blocks in terms of its geometric features and its spatial location. The Hierarchical Agglomerative and DBSCAN algorithms have been considered as analysis tools. Since the result is a new partition of the city, in which the new neighborhoods or sectors are not defined in an arbitrary way, we open the door for rethinking urban planning.
Key words: clustering, polygons, geometric features, cities, neighborhoods, urbanism,
Geographic Information Systems.
8
TABLA DE CONTENIDO
RESUMEN ............................................................................................................................................... 6
ABSTRACT .............................................................................................................................................. 7
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................. 11
METODOLOGÍA .................................................................................................................................. 15
DATOS Y RESULTADOS ..................................................................................................................... 21
CONCLUSIONES .................................................................................................................................. 33
REFERENCIAS ...................................................................................................................................... 34
9
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1: Matriz de Correlaciones de Pearson .......................................................................... 36
Tabla 2: Índice de Moran.......................................................................................................... 37
Tabla 3: Índices de Validación Interna del Agrupamiento Jerárquico ..................................... 42
Tabla 4: Indicadores DBSCAN con centroides de rejillas ......................................................... 43
10
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1: Tipos de Geometrías Delimitadoras Mínimas .......................................................... 21 Figura 2: Mapa del Índice de Moran Local de Ratio Circle .................................................... 22 Figura 3: Partición de DBSCAN con todos los centroides ..................................................... 23 Figura 4: Cluster Dendrogram .................................................................................................. 24
Figura 5: Índices de Validación Interna del Agrupamiento Jerárquico ................................... 24 Figura 6: Mapa de agrupamiento jerárquico ............................................................................ 25
Figura 7: Ejemplos de grupos de manzanas ............................................................................. 25 Figura 8: Grupos con disposición tipo rejilla ........................................................................... 26 Figura 9: Distancias de los centroides de rejillas a sus vecinos más cercanos ......................... 27 Figura 10: Indicadores de μ ...................................................................................................... 28 Figura 11: Partición de DBSCAN con centroides de rejillas .................................................. 29
Figura 12: DBSCAN vs. Año de edificación ........................................................................... 30 Figura 13: Diagramas de caja de Norte, Centro y Sur ............................................................. 31 Figura 14: Densidad de distancias entre centroides ................................................................. 31
Figura 15: Diagramas de dispersión de los datos ..................................................................... 36
Figura 16: Histogramas de los datos ........................................................................................ 37
Figura 17: Diagramas de dispersión de Moran ........................................................................ 38
Figura 18: Mapas del Índice de Moran Univariante Local ....................................................... 39
Figura 19: Distancias de todos los centroides a sus vecinos más cercanos ............................. 42
Figura 20: Diagramas de caja de grupos finales ...................................................................... 43
Figura 21: Histograma del Diámetro de Grupos ...................................................................... 47
ÍNDICE DE ANEXOS
ANEXO A: TABLAS Y GRÁFICOS ADICIONALES .......................................................................... 36
ANEXO B: MEDIDAS DE VALIDACIÓN INTERNA ........................................................................ 48
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INTRODUCCIÓN
La ciudad es un concepto que involucra una gran variedad de aspectos: sociales,
económicos, arquitectónicos, geográficos, ambientales, políticos, etc. De ahí la complejidad
de estudiarla, pues no sólo basta caracterizar cada uno de dichos aspectos, sino también
entender las relaciones que existen entre ellos y su evolución.
La estructura y la forma, en tanto variables espaciales, constituyen características
ineludibles en el estudio de la urbe. Según Clifton et al. (2008), “el progreso hacia un mejor
crecimiento o a un nuevo urbanismo puede únicamente lograrse con un entendimiento más
completo de la forma de la ciudad y qué medidas de política se necesitan como respuesta”.
A su vez, la estructura urbana está constituida por la red vial y otros elementos físicos
como edificios, manzanas y vecindarios. La red vial constituye una parte importante dicha
estructura en tanto puede capturar información sobre mecanismos subyacentes de
formación y evolución de la urbe (Louf y Barthelemy, 2014), mientras los otros elementos
dan cuenta del uso del suelo y de la ubicación de puntos de interés. Estos elementos pueden
estudiarse como problemas complementarios: por un lado, se puede caracterizar el grafo de
la red vial, y por otro, las manzanas se pueden tratar como polígonos y por ende usar sus
atributos (Louf y Barthelemy, 2014).
De hecho, la mayor parte de los trabajos dedicados a estudiar la estructura de las
ciudades utiliza como recurso el análisis de la topología de los grafos de las redes viales
correspondientes.1 Son pocos los estudios que explotan el potencial de los algoritmos de
clasificación para caracterizar la estructura de una ciudad. Más aún, entre estos, gran parte
son de tipo normativo, es decir, parten definiendo tipos de manzanas o calles de acuerdo a 1 Véase Schirmer y Axhausen (2015) para consultar una revisión al estado del arte sobre este enfoque.
12
cierto criterio de experto o a un ideal de buena ciudad. Con ello la clasificación se vuelve
supervisada.2 Entre las aproximaciones que utilizan algoritmos de agrupamiento o
clasificación no supervisada, cabe citar (en orden cronológico) a:
Joshi et al. (2009) proponen una extensión al algoritmo DBSCAN para agrupar
polígonos. En particular, adaptan las definiciones para puntos a polígonos y utilizan como
métrica la distancia de Hausdorff. Finalmente, usan algunos ejemplos de prueba para probar
el algoritmo y comparan los resultados con el DBSCAN, obteniendo grupos más compactos
con la propuesta.
Gil et al. (2009) clasifican manzanas y calles de dos barrios de Lisboa (Portugal), uno
antiguo y otro contemporáneo, considerando datos geométricos y de uso de suelo y
utilizando el algoritmo k-means. El propósito es identificar tipologías comunes y distintas en
dichos barrios.
Amindarbari y Sevtsuk (2013) hacen una revisión de indicadores de forma urbana y
uso del suelo (como tamaño, densidad, cobertura, multicentralidad, entre otros) con el fin
de describir el cambio y el crecimiento del built environment de áreas metropolitanas.
Hecht et al. (2013) utilizan diferentes herramientas de clasificación supervisada para
clasificar edificios de la ciudad de Dresden (Alemania). Se agregan los resultados a nivel de
manzana, se derivan tipos de estructuras urbanas y se evalúa la precisión del procedimiento
propuesto.
Louf y Marc Barthelemy (2014) clasifican ciudades de acuerdo a los patrones de sus
calles utilizando la distribución de probabilidad condicional de los factores de forma de las
2 Aunque existe una rama importante que utiliza reconocimiento de imágenes y morfología matemática, una mención a la
misma está fuera del alcance del presente trabajo.
13
manzanas con un área determinada y un método de agrupamiento jerárquico simple.
Adicionalmente, los autores llevan a cabo el mismo proceso en barrios de Nueva York.
Finalmente, Schirmer y Axhausen (2015) discuten los atributos y medidas para
caracterizar a la morfología urbana. Proponen una metodología para realizar clasificación a
diferentes escalas (edificio, manzana, vecindario, distrito y municipio) y lograr una tipología
utilizando los algoritmos k-means y k-medoids. El conjunto de datos de prueba corresponde
al cantón de Zurich.
Es necesario notar que, la mayoría de estos trabajos consideran grupos de manzanas
cuya manifestación más frecuente son los barrios. Si bien sus resultados son de gran utilidad,
estas aproximaciones no están exentas de críticas. Uno de sus posibles sesgos radica en que
los barrios o sectores censales suelen ser divisiones administrativas cuyo establecimiento
puede carecer de sustento o volverse obsoleto, principalmente para las partes más
contemporáneas de la ciudad. Esto provoca la omisión de potenciales relaciones espaciales
entre las manzanas y calles, el sometimiento del análisis a cómo se define la unidad de área
y la consecuente elaboración de políticas inadecuadas en materia urbana (Louf y
Barthelemy, 2014; Serra et al., 2013). Por esta razón, se hace necesario extraer estos
“nuevos barrios o sectores” y estudiar las relaciones espaciales entre los distintos grupos
que puedan surgir de este proceso.
Asumiendo que existen semejanzas entre los elementos de la estructura urbana, el
presente trabajo asume este reto y apunta a buscar patrones de tipo geométrico-espacial en
la estructura urbana de la ciudad de Quito a partir del estudio de sus manzanas. Se realiza
clasificación no supervisada (agrupamiento) en tanto se procura dejar de lado tipos
14
predefinidos de formas urbanas y explotar la flexibilidad de algunos métodos de
agrupamiento.
Puesto que dichos patrones pueden tener relaciones con la accesibilidad, flujo
vehicular, uso del suelo, calidad del paisaje urbano, crecimiento, forma, evolución y otros
aspectos de la ciudad, el presente trabajo abre una gama de potenciales estudios en cuanto
a planificación urbana y brinda insumos para el desarrollo de una nueva política pública.
Para concluir esta sección, cabe mencionar que, el resto del documento consta de:
una referencia a los métodos utilizados, el análisis de los resultados obtenidos y algunas
conclusiones y recomendaciones.
15
METODOLOGÍA
Algoritmo de Agrupamiento Jerárquico Aglomerativo
Los algoritmos jerárquicos dividen el conjunto de datos en una secuencia de
particiones anidadas. En el caso de los algoritmos jerárquicos aglomerativos el proceso
empieza considerando a cada uno de los patrones (u objetos) en un grupo unitario. Luego se
fusionan los pares de grupos más cercanos de acuerdo a algún criterio de semejanza o
diferencia hasta lograr un solo grupo que contenga todos los patrones. A dichos criterios de
comparación se los conoce como funciones de enlace (en inglés, linkage functions) o
métodos de aglomeración.
Una de los métodos ampliamente utilizado es el método Ward (1963) o método de
mínima varianza. El nombre obedece a que, en cierto modo, minimiza la pérdida de
información asociada a cada fusión de grupos. Usualmente, la información se cuantifica en
términos de una suma de cuadrados de los errores. Así, en cada etapa de este método se
fusionan dos grupos cuando dicha fusión resulte en el mínimo incremento en la pérdida de
información. Sean 𝐶𝑟 y 𝐶𝑠 dos grupos con centroides 𝐶𝑟 y 𝐶��, respectivamente. La función de
enlace de Ward está dada por:
𝑑(𝐶𝑟 , 𝐶𝑠) =|𝐶𝑟||𝐶𝑠|
|𝐶𝑟| + |𝐶𝑠|‖𝐶𝑟
− 𝐶��‖2 ,
Cabe mencionar que, una forma de representar los agrupamientos posibles es a
través de un dendrograma. Así, el número de grupos que se desee formar se ve reflejado
como un corte en dicho dendrograma.
16
Descripción del algoritmo
Medidas de Validación Interna3
La determinación del número de grupos puede realizarse mediante un contraste de
Medidas de Validación Interna. Estas medidas reciben como argumento al conjunto de datos
y la partición del mismo y utilizan información intrínseca de los datos para evaluar la calidad
del agrupamiento. Los indicadores considerados hacen referencia a tres criterios:
1) Compacidad. Evalúa la homogeneidad del agrupamiento, observando usualmente
la varianza intra-grupos.
3 Tomado de Brock et al. (2011)
17
2) Conectividad. Evalúa en qué medida las observaciones están en el mismo grupo
en el que se están sus vecinos más cercanos en el espacio de datos. Una forma de
cuantificarlo es con el indicador Connectivity (Handl et al., 2005).
3) Separación entre los grupos obtenidos. Usualmente medido a través de la
distancia entre los centroides de los grupos.
De acuerdo a Handl et al. (2005), mientras que la homogeneidad intra-grupos mejora
cuando el número de grupos se incrementa, la distancia entre grupos tiende a deteriorarse.
Por esta razón, algunos indicadores ampliamente utilizados combinan los dos índices en uno.
Entre estas medidas de validación interna se encuentran: Connectivity, Silhouette Width y
Dunn Index. Sus definiciones y características son recogidas en el Anexo B.
Density-based spatial clustering of applications with noise (DBSCAN)
El algoritmo de agrupamiento por densidad DBSCAN propuesto por Ester et al. (1996)
encuentra grupos con forma arbitraria en un conjunto de datos espaciales recibiendo como
argumento dos parámetros: 𝜀 (radio de las vecindades) y μ (umbral de densidad). Algunas
definiciones previas se requieren antes de describir el algoritmo.
Definición. Sea 𝐷 un conjunto de puntos. La ε-vecindad de un punto 𝑝, denotada por
𝑁𝜀(𝑝), se define como 𝑁𝜀(𝑝) = {𝑞 ∈ 𝐷 | 𝑑(𝑝, 𝑞) ≤ ε}
Definición. Se llama umbral de densidad, denotado con μ al mínimo número de
puntos que una vecindad debe contener para considerarse de “alta densidad”.
Definición. Un punto 𝑝 es directamente denso-alcanzable desde un punto 𝑞 con
respecto a 𝜀 y μ si y sólo si:
1) 𝑝 ∈ 𝑁𝜀(𝑞), y
18
2) |𝑁𝜀(𝑞)| ≥ 𝜇.
Definición. Un punto 𝑝 es denso-alcanzable desde un punto 𝑞 con respecto a 𝜀 y μ si
existe una cadena de puntos 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, con 𝑝1 = 𝑞 y 𝑝𝑛 = 𝑝, tal que 𝑝𝑖+1 es directamente
denso-alcanzable desde 𝑝𝑖.
Definición. Un punto 𝑝 es denso-conexo a un punto 𝑞 con respecto a 𝜀 y μ si existe
un punto 𝑟 tal que tanto 𝑝 y 𝑞 sean denso-alcanzables desde 𝑟 con respecto a 𝜀 y μ.
Definición. Sea 𝐷 un conjunto de datos. Un cluster 𝐶 con respecto a 𝜀 y μ es un
subconjunto no vacío de D que satisface las siguientes condiciones:
1) ∀ 𝑝, 𝑞: si 𝑝 ∈ 𝐶 y 𝑞 es denso-alcanzable desde 𝑝 con respecto a 𝜀 y μ, entonces
𝑞 ∈ 𝐶 (Maximalidad).
2) ∀ 𝑝, 𝑞 ∈ 𝐶: 𝑝 es denso-conexo a 𝑞 con respecto a 𝜀 y μ (Conectividad).
Definición. Sean 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑘 clusters de un conjunto de datos 𝐷 respecto a
parámetros 𝜀𝑖 y 𝜇𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑘. Se define como ruido al conjunto de puntos en 𝐷 que no
pertenecen a ningún grupo 𝐶𝑖.
Definición. Los puntos cuya ε-vecindad es de “alta densidad” se denominan puntos
centrales de un grupo (en inglés, core points o seed points). Los puntos que no tengan una ε-
vecindad de “alta densidad” pero pertenezcan a alguna que lo sea se denominan puntos
frontera (en inglés, border points). Los puntos que no tengan una ε-vecindad de “alta
densidad” y tampoco pertenezcan a alguna que lo sea se denominan puntos ruido (en inglés,
noise points).
19
Descripción del algoritmo
Formas de escoger 𝜺 y 𝝁
Ester et al. (1996) fijan 𝜇 = 4 y estudian un gráfico en el cual el eje y contiene el valor
de la distancia al cuarto vecino más cercano de cada observación y el eje x un índice
asignado a cada observación. 4 Puesto que los valores de dicha distancia están ordenados de
forma descendente, el gráfico tiene forma de codo. Así, el codo corresponde al umbral 𝜀
sobre el cual están los puntos que pertenecen a los grupos y bajo el cual están los puntos
ruido u outliers.
La forma en que se escogió 𝜀 y 𝜇 en el presente trabajo, aunque considera a dichos
autores, difiere de manera considerable del mismo:
4 De acuerdo a dichos autores, 𝜇 = 4 es un valor “adecuado” para datos en dos dimensiones.
20
Se parte determinando el radio de la vecindad 𝜀 en base al histograma y al gráfico de
codo de las distancias al vecino más cercano de cada observación como en Ester et al.
(1996). Posteriormente, para establecer el parámetro 𝜇 se corre DBSCAN con 𝜇 = 1, 2, . . . , 𝑘
(donde k es un entero menor que el número de puntos)5 y se calculan: 1) el porcentaje de
puntos ruido respecto al total de puntos, 2) el número de grupos “grandes” o significativos
(cuya cardinalidad sea mayor que la media más dos desviaciones estándar de las
cardinalidades de los grupos), y 3) el porcentaje de puntos que están en dichos grupos
“grandes” respecto al total de puntos. A medida que el número mínimo de puntos
requeridos en una 𝜀-vecindad se incrementa se espera que el porcentaje de outliers también
se incremente, y por ende, el porcentaje de puntos en grupos “grandes” disminuya. De este
modo, el parámetro 𝜇 más adecuado será aquel que minimice el ruido y maximice los grupos
significativos. Nótese la disyuntiva entre ambos objetivos.
Cabe mencionar que, los indicadores de validación interna podrían utilizarse para
escoger los parámetros de DBSCAN. Sin embargo, se los ha descartado puesto que resultan
inadecuados para el tipo de datos en cuestión. En efecto, no necesariamente son malos
aquellos agrupamientos con alta varianza intra-grupos y tampoco son necesariamente
buenos aquellos con alta distancia entre centroides de grupos.
5 Los experimentos del presente trabajo determinaron que k = 20 es adecuado.
21
DATOS Y RESULTADOS
El punto de partida es un archivo .shp de líneas que corresponde a la red vial de
Quito y que es convertido a polígonos; estos representan las manzanas de la ciudad. Para
cada polígono se mide su área y el área de algunos tipos de geometrías delimitadoras
mínimas (en inglés, minimum bounding geometry types) especificados en la figura 1.
Siguiendo a Louf y Barthelemy (2014), se calculan las razones entre el área del polígono y el
área de dichas geometrías delimitadoras como medidas de forma. Adicionalmente, se
añaden el número de lotes de cada manzana como una medida de densidad intra-manzana
y la elevación del centroide de cada manzana (obtenido de un modelo de elevación digital)
como proxy de la altura promedio de la manzana.
Figura 1: Tipos de Geometrías Delimitadoras Mínimas
Fuente: http://resources.arcgis.com/en/help/
Puesto que estamos buscando variables que no estén altamente correlacionadas
(véanse la tabla 1 y la figura 15), se excluye de este conjunto de variables a la razón
correspondiente a RECTANGLE_BY_WIDTH.
En cuanto a los métodos cabe plantearse si indicadores de dependencia espacial
como el Índice de Moran son suficientes para capturar y extraer la estructura de la ciudad.
Los resultados de este índice se muestran en las figuras 2, 17 y 18 y la tabla 2. Aunque
22
existen indicios de dependencia espacial de las variables, esta herramienta no resulta ser útil
para extraer la estructura de la urbe así como se demuestra en la siguiente figura. Nótese
que las manzanas de tipo rectangular pertenecen a distintos grupos.
Figura 2: Mapa del Índice de Moran Local de Ratio Circle
Tampoco resulta adecuado utilizar DBSCAN directamente sobre todas las
observaciones, pues siendo los parámetros adecuados ε = 200 y μ = 4, cerca del 74% de
observaciones pertenecen al grupo 4 (en color amarillo en la siguiente figura) y 79 de los 88
grupos tienen participaciones menores al 1%. Los puntos ruido representan el 3.7%.
23
Figura 3: Partición de DBSCAN con todos los centroides 6
Por esta razón se utiliza una técnica de agrupamiento en dos etapas. En la primera se
trata de extraer una especie de esqueleto de la ciudad utilizando un algoritmo de
agrupamiento jerárquico con función de enlace de Ward y distancia euclideana. De los
resultados obtenidos nos interesan principalmente aquellos grupos cuya disposición se
asemeje a una rejilla. El propósito de este paso es disminuir de manera significativa el
número de objetos a analizar en la siguiente fase, tanto para considerar únicamente aquellas
manzanas relevantes como también para reducir el costo computacional.
De los resultados del agrupamiento representados en un dendrograma y de acuerdo
a índices de validación interna (figuras 4 y 5), las particiones que consideran 3, 8 y 11 grupos
son las candidatas. Una exploración visual sobre los resultados, nos lleva a elegir la de 8
grupos. Dentro de esta partición, los grupos 1, 3 y 4 contienen a la mayor parte de las
6 Se muestran únicamente aquellos grupos cuya cardinalidad es mayor que la media.
Group
24
2670
77
8184
24
manzanas cuya disposición en el mapa es de tipo rejilla. El número de observaciones a ser
utilizadas en la siguiente etapa es 9160, es decir, 30% menos objetos que en el conjunto
original. Los resultados del agrupamiento están representados en las figuras 6, 7 y 8.
Figura 4: Cluster Dendrogram
Figura 5: Índices de Validación Interna del Agrupamiento Jerárquico
4 6 8 10 14
1500
2500
k
Index
Connectivity
4 6 8 10 14
0.0
008
0.0
010
0.0
012
k
Index
Dunn
4 6 8 10 14
0.1
20.1
40.1
60.1
8
k
Index
Silhouette
25
Figura 6: Mapa de agrupamiento jerárquico
Figura 7: Ejemplos de grupos de manzanas
26
Figura 8: Grupos con disposición tipo rejilla
En la segunda etapa se apunta a segmentar la ciudad por densidad, considerando
como observaciones a los centroides de los polígonos pertenecientes a los grupos tipo rejilla
y como herramienta al algoritmo DBSCAN. Se utiliza la distancia de Manhattan en tanto ésta
tiene mayor concordancia con la forma en que ocurren los desplazamientos de una manzana
a otra en una ciudad.
Observando el histograma y el gráfico de codo de las distancias de las observaciones
a sus vecinos más cercanos (figura 9), se fija el parámetro ε en 200, con lo cual se
considerará al menos al 3% de las observaciones como ruido.
27
Figura 9: Distancias de los centroides de rejillas a sus vecinos más cercanos
Dado ε, el número mínimo de puntos μ adecuado es a lo sumo 5 (véanse la figura 10
y la tabla 4). Considerando adicionalmente la cantidad de grupos “grandes” y el porcentaje
de observaciones en los mismos, se escogió μ = 4.
Con estos parámetros, el resultado de DBSCAN es una partición del mapa en 169
grupos (figura 11) con puntos ruido ubicados principalmente a lo largo de la periferia y sin
concentrarse en lo que podría considerarse un barrio o sector. Cabe notar que, aunque
existen grupos pequeños que podrían asociarse a un barrio, ciertamente los más grandes
encierran a varios de ellos. Estos nuevos sectores, se diferencian principalmente en su
altura, año de construcción, diámetro (máxima distancia entre dos puntos) y distancia de sus
manzanas al centroide (figuras 20 y 21).
Por otra parte, se observa que aunque el agrupamiento se basó en atributos distintos
al año de edificación de la manzana, sus resultados tienen concordancia con dicho año. En
efecto, en la figura 12 se observa que la mayoría de grupos formados con ε = 200 y μ = 4
28
(polígonos de borde azul) contienen manzanas de a lo sumo dos épocas, y en tal caso, dichas
épocas son cercanas.
Figura 10: Indicadores de μ
Adicionalmente, si se mantiene fijo μ y se establece ε = 261.83 (el 1% de las
observaciones es ruido), los grupos resultantes (polígonos de borde rojo) siguen
manteniendo la división entre norte y sur. Nótese que, en este último nivel de agregación
algunas manzanas que no fueron consideradas en DBSCAN y que en parte corresponden a
espacios verdes “grandes”, son ahora capturadas por las envolventes de borde rojo. Cuando
dichos espacios verdes se ubican en la periferia, éstos son más propensos a no ser
29
encerrados por las envolventes mencionadas (un ejemplo de ello es el Parque Metropolitano
Guangüiltagua). Se evita su asignación a uno de los sectores obtenidos con DBSCAN, en
tanto estos espacios verdes suelen ser compartidos por habitantes de diversas partes de la
ciudad.
Esto da pie para pensar que, por un lado, las huellas de la planificación urbana
pueden estudiarse a partir de los patrones existentes en los atributos geométricos y la
densidad de las manzanas de la urbe, y por otro, que existe una especie de jerarquía en la
estructura de la ciudad que determina la forma y estructura de la ciudad y que concuerda
con la lectura clásica de la urbe.
Figura 11: Partición de DBSCAN con centroides de rejillas 7
7 Se muestran únicamente aquellos grupos cuya cardinalidad es mayor que la media.
Group
1
3
47
811
14
1820
25
3751
5559
70
8596
98
100102
103143
160
161162
30
Figura 12: DBSCAN vs. Año de edificación
Finalmente, cabe mencionar que, en el presente trabajo la diferenciación entre norte
y sur se da principalmente por la altura y las distancias entre centroides de manzanas
(figuras 13 y 14). Ciertamente, la diferenciación entre estas dos zonas va más allá del
aspecto geométrico o espacial, sin embargo, el entendimiento de dicha diferenciación
escapa al alcance del presente trabajo.
31
Figura 13: Diagramas de caja de Norte, Centro y Sur
Figura 14: Densidad de distancias entre centroides
32
RECONOCIMIENTOS
La obtención de los datos que sirven de insumo para el agrupamiento jerárquico y las
coordenadas de los centroides de cada manzana fue realizada en ArcGis 10.2. A excepción
de los Índices de Moran para cuyo cálculo se utilizó GeoDa 1.6.1., el análisis de datos fue
realizado en su totalidad en RStudio 0.98.1103 con los paquetes maptools, spdep, fpc y
clValid.
33
CONCLUSIONES
El presente documento recoge una propuesta metodológica para segmentar una
ciudad a partir de los atributos geométricos de sus manzanas y la densidad de las mismas en
el mapa. Se consideró a la ciudad de Quito como caso de estudio y se observó que los
resultados del agrupamiento tienen concordancia con la huella de la planificación urbana en
dicha ciudad. Estos nuevos grupos pueden servir como insumo de política pública en tanto
permitirían tratar problemas locales y estudiar sus interrelaciones en lugar de abordar
directamente el problema global.
Puesto que existen limitaciones de información, los trabajos futuros apuntan en
primera instancia a incorporar datos a nivel de edificación, uso de suelo, puntos de interés,
sistemas de transporte público, flujo vehicular, semáforos, intersecciones, accesibilidad, etc.
En segundo lugar, es necesario encaminar esfuerzos a caracterizar y segmentar la ciudad a
partir del grafo de la red vial y contrastar los resultados con los obtenidos en el presente
trabajo. Finalmente, la consideración de factores socioeconómicos (como la producción,
empleo, migración, formación de barrios marginales y/o clandestinos y relaciones centro-
periferia) y ambientales (como emisiones de CO2 y generación de ruido) son vitales para
avanzar hacia una mejor comprensión de la ciudad, y por ende, hacia una adecuada
planificación urbana..
34
REFERENCIAS
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36
ANEXO A: TABLAS Y GRÁFICOS ADICIONALES
Tabla 1: Matriz de Correlaciones de Pearson
circle envelope rect.area rect.width conv.hull height plots
circle 1 0.637 0.542 0.519 0.503 0.11 0.058 envelope 0.637 1 0.493 0.481 0.485 0.075 0.108 rect.area 0.542 0.493 1 0.996 0.777 0.094 0.008 rect.width 0.519 0.481 0.996 1 0.768 0.093 0.007 conv.hull 0.503 0.485 0.777 0.768 1 0.084 -0.076 height 0.11 0.075 0.094 0.093 0.084 1 -0.054 plots 0.058 0.108 0.008 0.007 -0.076 -0.05 1
Figura 15: Diagramas de dispersión de los datos
37
Figura 16: Histogramas de los datos
Tabla 2: Índice de Moran
circle envelope rect.area conv.hull height plots
I 0.318 0.521 0.394 0.248 0.971 0.051 p-valor* 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.002
* pseudo p- valor basado en 1000 permutaciones. Ho: aleatoriedad espacial.
circle
Fre
quency
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0100
300
envelope
Fre
quency
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0200
400
rect.area
Fre
quency
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0400
800
conv.hull
Fre
quency
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
03000
6000
height
Fre
quency
0 500 1000 2000 3000
01000
2500
plots
Fre
quency
0 20 40 60 80 100 120
01000
2500
38
Figura 17: Diagramas de dispersión de Moran
39
Figura 18: Mapas del Índice de Moran Univariante Local
40
41
42
Tabla 3: Índices de Validación Interna del Agrupamiento Jerárquico
N. grupos Índice
Connectivity Dunn Silhouette
3 1226.629 0.00133 0.19065 4 1859.541 0.00131 0.15987 5 2055.294 0.00131 0.15675 6 2199.174 0.00128 0.13984 7 2374.060 0.00128 0.15092 8 2474.865 0.00128 0.16938 9 2558.349 0.00128 0.16395
10 2633.680 0.00128 0.16252 11 2796.524 0.00128 0.16696 12 2922.676 0.00081 0.11967 13 3071.795 0.00081 0.12046 14 3201.800 0.00081 0.12734 15 3202.466 0.00085 0.13370
Figura 19: Distancias de todos los centroides a sus vecinos más cercanos
43
Tabla 4: Indicadores DBSCAN con centroides de rejillas
mu % noise N. sig. clust. % Sig. clust.
1 0 11 0.645 2 0.032 8 0.556 3 0.047 6 0.485 4 0.072 7 0.476 5 0.108 7 0.366 6 0.152 6 0.294 7 0.207 2 0.116 8 0.272 1 0.065 9 0.324 1 0.065
10 0.392 0 0.065 11 0.463 0 0.064 12 0.524 0 0.064 13 0.574 0 0.063 14 0.620 0 0.063 15 0.657 0 0.056 16 0.699 0 0.056 17 0.735 0 0.056 18 0.774 0 0.055 19 0.807 0 0.054 20 0.833 0 0.054
Figura 20: Diagramas de caja de grupos finales 8
8 Se muestran únicamente aquellos grupos cuya cardinalidad es mayor que la media.
44
45
46
47
Figura 21: Histograma del Diámetro de Grupos
48
ANEXO B: MEDIDAS DE VALIDACIÓN INTERNA9
Connectivity. Sea un conjunto de datos de N observaciones y M variables. Sea 𝑛𝑛𝑖(𝑗)
el j-ésimo vecino más cercano de la observación i y defínase
𝑥𝑖,𝑛𝑛𝑖(𝑗)= {
0, 𝑠𝑖 𝑖 𝑦 𝑗 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜1
𝑗, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑜
Para una partición de los N datos 𝐶 = {𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑘} en k grupos disjuntos, la
conectividad se define como:
𝐶𝑜𝑛𝑛(𝐶) = ∑ ∑ 𝑥𝑖,𝑛𝑛𝑖(𝑗)
𝐿
𝑗=1
𝑁
𝑖=1
,
donde L corresponde al número de vecinos más cercanos a considerar. La
conectividad es un número mayor o igual que cero y debe ser minimizado.
Silhouette Width. Es una combinación no lineal de compacidad y separación. En
particular, es el promedio del valor de la Silhouette de cada observación. Ésta última mide el
grado de confianza en la asignación de una observación a un grupo, tomando valores
cercanos a -1 cuando la observación está “mal asignada” a un grupo y cercanos a 1 cuando
está “bien asignada”. Para una observación i, este indicador se define como:
𝑆(𝑖) =𝑏𝑖 − 𝑎𝑖
𝑚𝑎𝑥 (𝑏𝑖, 𝑎𝑖) ,
donde 𝑎𝑖 es la distancia promedio entre la observación i el resto de observaciones del
mismo grupo, y 𝑏𝑖 es la distancia promedio entre i y las observaciones del “grupo más
cercano”, es decir
9 Tomado de Brock et al. (2011)
49
𝑏𝑖 = min𝐶𝑘∈𝐶\𝐶(𝑖)
∑𝑑(𝑖, 𝑗)
|𝐶𝑘|𝑗∈𝐶𝑘
,
donde 𝐶(𝑖) es el grupo que contiene a la observación i y 𝑑(𝑖, 𝑗) la distancia entre las
observaciones i y j. El indicador Silhouette Width está en el intervalo [−1,1] y deber ser
maximizado.
Dunn Index. Es una combinación no lineal de compacidad y separación. En particular,
es la razón entre la menor distancia entre observaciones que no se encuentran en el mismo
grupo y la mayor distancia intra-grupo, es decir:
𝐷(𝐶) =min
𝐶𝑘,𝐶𝑙∈𝐶,𝐶𝑘≠𝐶𝑙
( min𝑖∈𝐶𝑘,𝑗∈𝐶𝑙
𝑑(𝑖, 𝑗))
max𝐶𝑚∈𝐶
𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐶𝑚) ,
donde 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐶𝑚) es la máxima distancia entre observaciones del grupo 𝐶𝑚. Dunn
Index toma valores mayores o iguales que cero y debe ser maximizado.