informe de centroides - fisica
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Breve descripcion del tema de centroides .TRANSCRIPT
“AÑO DE LA PROMOCIÓN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y DEL
COMPROMISO CLIMÁTICO”
“UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ”
FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA QUÍMICA AMBIENTAL E
INGENIERÍA QUÍMICA DEL GAS NATURAL Y ENERGÍA
CATEDRA: FÍSICA I
CATEDRÁTICO: ING. MANUEL NESTARES GUERRA
PRESENTADO POR:
GAGO OBISPO, Anthony IQGNE
HUAROC HUIZA, Diana Palmira IQGNE
JIMÉNEZ CHUQUIMANTARI, Javier Jimmy IQGNE
PÁRRAGA QUISPE, Alicia Xiomara IQA
PAUCAR LAZO, Natali Bonifacia IQA
TORRES RIVERA, David IQGNE
SEMESTRE: I- B
FECHA DE ENTREGA: 26-11-14
HUANCAYO –PERÚ
2014
CENTROIDES
ABSTRACT
In this lab aims to implement the theoretical concepts in physics , I worked with Theorem Papuan and gulden , the group put a figure on an axis to form a solid circle . This report develops information collected and the objectives will be determined initially as determining the centroids in x, y, z; determining the volume and the area of the figure. The content is composed of two parts: a theoretical and experimental another : The first regards all concepts that we used for this report laboratory and mathematical models , the second found in the experimental part which has been used statements of each mystery to solve, using mathematical models, and diagram free solid, and each has been calculated to obtain them. As the final results, discussion of results and the solutions given to each raised hand, as also attached the relevant annexes are obtained. Thus putting into practice concepts learned and starting to become familiar with the experimental method for the analysis of the theory collected
ii
RESUMEN
En el presente laboratorio tiene como fin poner en práctica los conceptos teóricos,
sobre física, sé trabajó con el teorema de papús y gulden, el grupo puso una figura
en un eje que al dar vueltas forma un sólido.
El presente informe se desarrolla con la información recaudada y se determinaran
los objetivos planteados inicialmente como: determinar los centroides en x, y, z;
determinar el volumen y el área de la figura.
El contenido se encuentra conformada por dos partes que son: una parte teórica y
otra experimental: La primera que se refiere a todos los conceptos que hemos
utilizado para realizar el presente informe de laboratorio y modelos matemáticos, en
la segunda encontramos la parte experimental en la cual se ha utilizado los
enunciados de cada incógnita a resolver, los modelos matemáticos a usar, y el
diagrama de solido libre, y cada uno con los cálculos realizados para obtenerlos.
Como parte final se obtienen los resultados, discusión de resultados y las
soluciones que se le da a cada parte planteada, como también se adjuntan los
anexos correspondientes.
Poniendo así en práctica conceptos aprendidos y empezando a familiarizarnos con
el método experimental para el análisis de la teoría recabada
iii
HOJA DE NOTACION
R CM Centro de masas resultantes
(rCG) Sistema de referencia del centro de gravedad
ur Centro de gravedad de “r”
∑𝑀𝑥 Sumatoria de masas en “X”
∑𝑀𝑦 Sumatoria de masas en “Y”
∑𝑀𝑧 Sumatoria de masas en “Z”
��𝑒𝑙𝑑𝐴 Coordenadas de centroide del elemento
∫ 𝑥b
a
Integral definida desde “a” hasta “b”.
∫dL Integral de la diferencial de línea.
∫dm Integral de diferencial de masa
∑(r i. mi)i
Sumatoria de centros de referencia y masas
Qx Momento respecto a “X”
QY Momento respecto a “Y”
W1 Peso del cuerpo 1
x Centroide en el eje “X”.
y Centroide en el eje “Y”.
z Centroide en el eje “Z”.
�� coordenada “Z” del centroide en el plano “YZ” dCM Distancia del centro de masas
dV Diferencial de volumen
m Pendiente
RPM Revoluciones por minuto
x Centro de masa del cuerpo en “x” a integrar
Z Centro de masa del cuerpo en “Z” a integrar
ρ Densidad
𝐴 Área
𝐿 Longitud del cuerpo
𝑉 Volumen
𝑌 Centro de masa del cuerpo en “Y” a integrar
𝑑𝐴 Diferencial de área
𝑓 Frecuencia
𝑓(𝑥) Función de “x”
𝜃 ángulo
𝜔 Velocidad angular
iv
INDICE ………………………………………………………………………………….…. ii
………………………………………………………………………………….…. iii
…………………………………………………………………. iv
……………………………………………………………………………………….…. v
................................................................................................. vii
………………………………………………………………………………. viii
............................................................................................ 9
................................................................................ 9
................................ 80
.............. 80
.... 80
..................................................................... 91
....................... 113
............................... 113
.................................................... 124
.................................................................. 135
............................................................... 157
................................... 168
. 180
.......................................... 202
......................................................................... 213
..................................................................... 224
...................................................................... 235
................................................................................................... 235
3.2. ............................................................... 235
.......................................................... 235
............................................. 246
.................. 257
................................................................................................ 29
................................................................................................ 302
................................................................. 31
............................................................................................. 31
................................................................................... 32
............................................................ 33
................................................................................................ 34
............................................................................................................. 35
vi
Este trabajo se realizó aplicando los conceptos básicos de centro de gravedad,
centroide y “EL TEOREMA DE PAPPUS Y GULDING”, cuando un punto se
desplaza forma una línea. Cuando el desplazamiento de una superficie forma un
sólido. Se deduce que ciertas superficies como sólidos, se generan como
consecuencia del movimiento se ciertas figuras. Si una región de un plano se gira
alrededor de un eje X de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional
llamada solido de revolución generada por la región plana alrededor de lo que se
conoce como eje de revolución. El primer teorema es: el área que genera una línea
cuando gira alrededor un eje e igual a la longitud de la circunferencia que recorre
su centro de gravedad multiplicado por la longitud de la línea.
vii
Aplicar los conceptos teóricos sobre centroide, integración y teorema de
pappus y Guldinus.
Determinar el centroide de x, y, z por el método de integración.
Determinar el volumen y el área por el teorema de papús y gulden
viii
El centro de masas de un sistema discreto es el punto geométrico que
dinámicamente se comporta como si estuviese sometido a la resultante de las
fuerzas externas al sistema. De manera análoga. Normalmente se abrevia como
CM. [1]
En física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo
ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los
términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El
centroide es un concepto puramente geométrico, mientras que los otros dos
términos se relacionan con las propiedades físicas de un cuerpo. Para que el
centroide coincida con el centro de masa, el objeto debe tener densidad
uniforme, o la distribución de materia a través del objeto debe tener ciertas
propiedades, tales como simetría. Para que un centroide coincida con el centro
de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masa y el objeto debe
estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme. [1]
En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el
punto donde se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se
utiliza para análisis físicos en los que no es importante considerar la distribución
de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas. [1]
FIGURA 1.Centro de gravedad de cuerpos de masa.
FUENTE: MECANICA PARA INGENERIA ESTATICA-KING
9
Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de
masas puntuales, el centro de masas se puede calcular como:
(1)
En el caso de un sistema de cuerpos cuasi puntuales, o cuerpos que
distan entre sí mucho más que las dimensiones de cada uno de los cuerpos,
el cálculo anterior resulta bastante aproximado. Sin embargo, para sistemas
de masas continuos (o sistemas en que las distancias entre los cuerpos son
comparables a las dimensiones de los cuerpos. [1]
(2)
(3)
Si la masa está distribuida
homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede
sacar fuera de la integral haciendo uso de la relación. [1]
(4)
(5)
(6) R CM =∫ r dV
V
R CM =ρ∫ r dV
ρ∫ dV
dm = ρdV
R CM =∫ r dm
∫dm
R CM =1
M∫r dm
R CM =∑ (r i. mi)i
∑ mii
10
Nota: V es el volumen total. Para cuerpos bidimensionales o mono
dimensionales se trabajará con densidades superficiales/longitudinales y con
superficies/longitudes.
Para el caso de cuerpos con geometría regular tales como esferas,
paralelepípedos, cilindros, etc. el CM coincidirá con el centro geométrico del
cuerpo. [1]
Los centros de masas
en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la
función de densidad . En este caso se calcula el CM de la
siguiente forma. [2]
(7)
La resolución de la integral dependerá de la función de la densidad.
El centro de gravedad (CG) es el punto de aplicación de la resultante de
todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas masas materiales
de un cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto
de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre
los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo. El centro de
gravedad o centroide es la posición donde se puede considerar actuando la
fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se
concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico homogéneo, el
centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un
objeto irregular. [2]
Por ejemplo, si consideramos dos puntos materiales A y B, cuyas masas
respectivas valgan 𝑚1 y 𝑚2; además los suponemos rígidamente unidos por
una varilla de masa despreciable, a fin de poder considerarlos como formando
parte de un cuerpo sólido. La gravedad ejerce sobre dichos puntos sendas
fuerzas paralelas 𝑚1𝑔 y 𝑚2𝑔 que admiten una resultante cuyo punto de
aplicación recibe el nombre de centro de gravedad o centroide. [2]
R CM =∫ r ρ(r )dV
M
11
En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación
de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes
puntos materiales que constituyen el cuerpo. [2]
Un objeto está en equilibrio estable mientras su centro de gravedad quede
arriba y dentro de su base original de apoyo. [2]
Cuando éste es el caso, siempre habrá un torque de restauración. No obstante,
cuando el centro de gravedad cae fuera del centro de apoyo, el torque de
restauración pasa sobre el cuerpo, debido a un torque gravitacional que lo hace
rotar fuera de su posición de equilibrio. [2]
Los cuerpos rígidos con bases amplias y centros de gravedad bajos son, por
consiguiente, más estables y menos propensos a voltearse. Esta relación es
evidente en el diseño de los automóviles de carrera de alta velocidad, que
tienen neumáticos anchos y centros de gravedad cercanos al suelo. También
la posición del centro de gravedad del cuerpo humano tiene efectos sobre
ciertas capacidades físicas. Por ejemplo, las mujeres suelen doblarse y tocar
los dedos de sus pies o el suelo con las palmas de sus manos, con más
facilidad que los varones, quienes con frecuencia se caen al tratar de hacerlo;
en general, Los varones tienen centros de gravedad más altos (hombros más
anchos) que las mujeres (pelvis grande), de modo que es más fácil que el
centro de gravedad de un varón quede fuera de su base de apoyo cuando se
flexiona hacia el frente.
FIGURA 2.Centro de gravedad de una varilla
FUENTE: MECANICA PARA INGENERIA ESTATICA-MERIAN
12
El movimiento que ejecuta cualquiera de los puntos de un sistema
material puede ser muy complicado, pues resulta de componer el debido a
la fuerza exterior aplicada al mismo con el que producen las fuerzas
interiores que dimanan de los puntos restantes del sistema. Sin embargo,
puede demostrarse que siempre, cualesquiera que sean las fuerzas
interiores, el centro de gravedad del sistema se mueve como si en él
estuviera concentrada toda la masa y sobre y sobre él actuasen todas las
fuerzas exteriores. [3]
Entre las propiedades del centro de gravedad destacan, por su
importancia, las siguientes:
Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio (esta
aproximación puede considerarse constante para objetos de sólo unos
metros de longitud) dicho objeto será estable si el centro de gravedad
está situado sobre la vertical de la base de apoyo.
Además si se desplaza el cuerpo de la posición de equilibrio
(caracterizada por el hecho de que la distancia vertical entre el centro de
gravedad y la base de apoyo es mínima), siempre habrá un torque de
restauración.
No obstante, cuando el centro de gravedad cae fuera del centro de
apoyo, el torque de restauración pasa sobre el cuerpo, debido a un torque
gravitacional que lo hace rotar fuera de su posición de equilibrio.
Si se suspende un cuerpo o se le apoya en su centro de gravedad, queda
en equilibrio tanto de traslación como de rotación.
Si a un cuerpo se le aplica una fuerza en la dirección de su centro de
gravedad, únicamente adquiere movimiento de traslación.
Si a un cuerpo se le aplica una fuerza que no esté en la dirección del
centro de gravedad, adquiere movimiento de traslación y rotación.
La ubicación del centro de gravedad de un cuerpo rígido es la misma,
cualquiera que sea la orientación en que se encuentre el cuerpo.
Se aprovecha esta última propiedad para determinar la posición del
centro de gravedad de los cuerpos irregulares. Para ello, se le suspende
de cualquiera de sus puntos, se le deja moverse libremente y se marca
la vertical que pasa por el punto del que se colgó; se repite después la
operación, pero suspendiéndolo de otro punto: donde se cruzan las dos
verticales, se encuentra el centro de gravedad.
El centro de gravedad de un cuerpo K viene dado por el único vector
que cumple que:
(8) Mg(rCG) = ∫ρ(r)dV)g
13
Para un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo
gravitatorio “g” es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se
reduce a una equivalente a la definición del centro de masas. [3]
Para el campo gravitatorio creado por un cuerpo másico cuya distancia al
objeto considerado sea muy grande comparado con las dimensiones del
cuerpo másico y del propio objeto, el centro de gravedad del objeto vienen
dado por:
(9)
Por ejemplo para una barra homogénea de longitud L orientada hacia un
planeta lejano, y cuyo centro de gravedad distan del centro de gravedad del
planeta una distancia dCM, el centro de gravedad de la barra está situado a
una distancia del centro del planeta dada por:
(10)
(11)
Conocer su posición permite producir una distribución uniforme de los
esfuerzos en la sección transversal de una estructura y localizar el eje neutro
de las vigas sometidos a esfuerzos de flexión y corte. [4]
El centroide de área está definido por las siguientes ecuaciones.
Considerando un volumen V y dV un elemento diferencial de V con
coordenadas, X, Y y z. (para el centro de masa dV se substituye por dm y
dm=ρdV, donde p es la densidad volumétrica de masa por unidad de volumen.
El subíndice v en la integral significa que la integral se lleva a cabo sobre el
volumen completo. [4]
uCG
r2CG
= ∫ur
r2dV
dCG = √d2CM −
L2
4
dCG = [1 −L2
8d2CM
]
14
(12)
Para localizar el centroide de un área nos ayuda recordar que es su posición
promedio. Por ejemplo, está claro que el centroide de un área circular o
rectangular se encuentra en el centro del área. Si un área tiene "simetría de
espejo", su centroide se encuentra sobre el eje, y si un área es simétrica
respecto a dos ejes, el centroide se encuentra en la intersección de ellos.
Las coordenadas del centroide de un área A son donde “x” y “y” son las
coordenadas del elemento diferencial de área dA. (En el caso de centro de masa
x =∫ xdV
∫ dV
y =∫ ydV
∫ dV
z =∫ zdV
∫ dV
FIGURA 4.Centro de gravedad de un cuerpo homegeneo
FUENTE: ESTATICA- ANTHONY BEDFORD
15
la dA se substituye por dm, y 𝑑𝑚 = 𝜎𝑑𝐴, donde σ es la densidad superficial de
masa por unidad de área).
El subíndice A significa que la integración se efectúa sobre el área completa.
Un área compuesta es una combinación de partes simples y es fácil determinar
su centroide si se conocen los centroides de las partes. Las coordenadas “x”,
“y” del área compuesta son:
Se pueden usar las mismas ecuaciones para determinar los centroides de las
áreas compuestas que contengan agujeros, tratando éstos como áreas
negativas. [2]
(13)
(14)
FIGURA 5.
(15)
Sx = 2π∫ x√1 + (dy
dx)2b
a
dx
Sx = 2π∫ydS
x =∫ xdA
∫dA
y =∫ ydA
∫ dA
z =∫ zdA
∫ dA
FIGURA 5.Diferenciales de centro de masa
FUENTE: ESTATICA- ANTHONY BEDFORD
16
Comencemos con la idea común de una posición promedio. Si queremos
determinar la posición promedio de un grupo de estudiantes en un aula, primero
establecemos un sistema coordenado para poder expresar la posición de cada
estudiante. Y alineamos los ejes con las paredes.
Luego, numeramos a los estudiantes del 1 al N y denotamos la posición del
estudiante 1 con x1, Y1, etc. Las coordenadas promedio de “x” y de “y” son las
sumas de sus coordenadas “x” o “y” dividida entre N, es decir:
Supongamos ahora que repartimos entre los estudiantes cierto número de
monedas. [3]
¿Cuál será la posición promedio de las monedas en el aula? Para determinar
la coordenada “x” o “y” de la posición promedio de las monedas, necesitamos
sumar las coordenadas de “x” o de “y” de las monedas y dividirlas entre el
número de monedas.
FIGURA 6.Centroide de masas y de líneas.
FUENTE: ESTATICA- RILEY
FIGURA 6.Centroides de figuras regulares.
FUENTE: ESTATICA- RILEY
17
Las ecuaciones anteriores sirven para calcular la posición promedio de
cualquier conjunto de cantidades a las que podamos asociar posiciones. Una
posición promedio obtenida de dichas ecuaciones se denomina "posición de
peso ponderado" o Centroide. Los centroides coinciden con los centros de
masa en clases particulares de cuerpos, pero también surgen en muchas otras
aplicaciones. [1]
Las coordenadas del centroide de una línea L son:
(16)
Donde: dL es una longitud diferencial de la linea de coordenadas “x”, “y”, y “z”.
En muchos casos, una placa plana puede dividirse en rectángulos,
triángulos u otras de las formas comunes mostradas en la figura 8.
La abscisa X de su centro de gravedad G puede determinarse a partir de
las abscisas x-i, x2,. . ., xn de los centros de gravedad de las diferentes
partes que constituyen la placa, expresando que el momento del peso de
toda la placa con respecto al eje y es igual a la suma de los momentos de
los pesos de las diferentes partes con respecto a ese mismo eje (figura 5.9).
La ordenada Y del centro de gravedad de la placa se encuentra de una
forma similar, igualando momentos con respecto al eje x. Así, se escribe
(17)
x =∫ xdL
∫ dL
y =∫ ydL
∫dL
z =∫ zdL
∫ dL
18
Si la placa es homogénea y de espesor uniforme, el centro de gravedad
coincide con el centroide C de su área. La abscisa X del centroide del área
puede determinarse observando que el primer momento Qy del área
compuesta con respecto al eje y puede expresarse como el producto de X con
el área total y como la suma de los primeros momentos delas áreas
elementales con respecto al eje y (figura 9). La ordenada Y del centroide se
encuentra de forma similar, considerando el primer momento Qx del área
compuesta. Así, se tiene
Estas ecuaciones proporcionan los primeros momentos del área compuesta
o pueden utilizarse para obtener las coordenadas X y Y de su centroide.
Se debe tener cuidado de asignarle el signo apropiado al momento de cada
área. Los primeros momentos de áreas, al igual que los momentos de las
fuerzas, pueden ser positivos o negativos. Por ejemplo, un área cuyo
centroide está localizado a la izquierda del eje y tendrá un primer momento
negativo con respecto a dicho eje. Además al área de un agujero se le debe
asignar un signo negativo
De manera similar, en muchos casos es posible determinar el centro de
gravedad de un alambre compuesto o el centroide de una línea compuesta
dividiendo al alambre o a la línea en elementos más simples.
(18)
FIGURA 8.Centroides de figuras compuestas.
FUENTE: ESTATICA- RILEY
19
El centroide de un área limitada por curvas analíticas (esto es, curvas
definidas por ecuaciones algebraicas) por lo general se determina eva-
luando las integrales que aparecen en las ecuaciones:
Si el elemento de área dA es un pequeño rectángulo de lados dx y dy, la
evaluación de cada una de estas integrales requiere una integración doble
con respecto a x y y. También es necesaria una integración doble si se usan
coordenadas polares para las cuales dA es un elemento de lados dr y r dd.
Sin embargo, en la mayoría de los casos es posible determinar las
coordenadas del centroide de un área con una sola integración. Esto se
logra seleccionando a dA como un rectángulo o tira delgada o como un
sector circular delgado (fıgura 10); el centroide de un rectángulo delgado
está localizado en su centro y el centroide de un sector delgado está
localizado a una distancia de \r a partir de su vértice (como en el caso de un
triángulo). Entonces, las coordenadas del centroide del área en
consideración se obtienen expresando que el primer momento del área total
con respecto a cada uno de los ejes coordenados es igual a la suma (o
integral) de los momentos correspondientes de los elementos del área.
Representando con xel y yel las coordenadas del centroide del elemento dA,
se escribe
Si el área no se conoce esto también se puede calcularse a partir de esos
elementos.
(20)
(19)
20
Las coordenadas xe¡ y ye¡ del centroide del elemento del área dA deben
expresarse en términos de las coordenadas de un punto localizado sobre la
curva que limita al área en consideración. Además, el área del elemento dA
debe expresarse en términos de las coordenadas de dicho punto y de los
diferenciales apropiados. Esto se ha hecho en la figura 5.12B para tres tipos
comunes de elementos; la porción de círculo de la parte c debe utilizarse
cuando la ecuación de la curva que limita al área esté dada en coordenadas
polares. Deben sustituirse las expresiones apropiadas en las fórmulas (5.9) y
debe utilizarse la ecuación de la curva que limita al área para expresar a una
de las coordenadas en términos de la otra. De esta forma, se reduce a una
sola integración. Una vez que se ha determinado el área y han sido evaluadas
las integrales. cuando una línea está defınida por una ecuación algebraica,
puede determinarse su centroide al evaluar las integrales que aparecen en
las ecuaciones:
El diferencial de longitud dL debe reemplazarse por una de las siguientes
expresiones, dependiendo de cuál coordenada x, y o 6, se seleccione como
la variable independiente en la ecuación utilizada para definir la línea (estas
expresiones pueden derivarse con el uso del teorema de Pitágoras
(21)
FIGURA 9 Diferenciales de centroides elegidas.
FUENTE: ESTATICA- BEER JHONSTON
21
(22)
Después de que se ha utilizado la ecuación de la línea para expresar una de
las coordenadas en términos de la otra, se puede llevar a cabo la integración
y se pueden resolver las ecuación para las coordenadas x y y del centroide
de la línea.
Estos teoremas fueron formulados primero por el geómetra griego Pappus durante
el siglo III después de Cristo y fueron replanteados posteriormente por el
matemático suizo Guldinus o Guldin (1577-1643), se refieren a superficies y
cuerpos de revolución.
Una superficie de revolución se genera mediante la rotación de una curva plana
con respecto a un eje fıjo. Por ejemplo:
FIGURA 12.
Puede obtener la superficie de una esfera rotando un arco semicircular ABC
con respecto al diámetro AC; se puede producir la superficie de un cono rotando
una línea recta AB con respecto a un eje AC y se puede generar la superficie de
un toroide o anillo rotando la circunferencia de un círculo con respecto a un eje
que no interseca a dicha circunferencia. Un cuerpo de revolución se genera
mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje fıjo. Se puede generar
FIGURA 10.Giros de figuras para determinar el área generada
FUENTE: ESTATICA- BEER JHONSTON
22
una esfera, un cono y un toroide rotando la forma apropiada con respecto al
eje que se indica.
FIGURA 13.
El área de una superficie de revolución generada al girar una curva plana de
longitud “L” alrededor de un eje coplanario con ella y que no la corte es igual
al producto de la curva que recorre su centroide así:
Del cilindro hueco:
𝑑𝐴 = 2𝜋𝑍𝑑𝐿
∫𝑑𝐴 = ∫2𝜋𝑍𝑑𝐿
𝐴 = 2𝜋 ∫𝑍𝑑𝐿
La coordenada “Z” del centroide en el plano “YZ” viene dada por la siguiente
relación:
�� =∫ 𝑍𝑑𝐿
∫ 𝑑𝐿
El área de una superficie generada por la línea AB al efectuar el giro
completo alrededor del eje Y es:
𝐴 = 2𝜋��𝐿
FIGURA 11.Areas generadas por cada figura.
FUENTE: ESTATICA- BEER JHONSTON
FIGURA 12.Diferencial de longitud de un cuerpo.
FUENTE: ESTATICA- BEER JHONSTON
23
El teorema también es válido si la línea ab gira un ángulo 𝜃 que no sea
2𝜋𝑅𝑎𝑑. Así para un ángulo de rotación 𝜃 cualquiera el área generada será:
𝐴 = 𝜃��𝐿 ˄ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
El volumen del solido de revolución generado al hacer girar una superficie
plana de área A alrededor de un eje coplanario que no la corte, es igual al
producto del área de dicha superficie por la longitud del camino que recorre
el centroide de la superficie.
𝑑𝑉 = 2𝜋𝑧𝑑𝐴
El volumen generado al realizar la superficie A un giro completo alrededor
del eje Y es:
∫𝑑𝑉 =∫2𝜋𝑍𝑑𝐴
𝑉 = 2𝜋 ∫𝑍𝑑𝐴
El volumen generado al realizar la superficie a un giro completo alrededor
del eje Y es:
∫𝑑𝑉 = ∫2𝜋𝑍𝑑𝐴
𝑉 = ∫2𝜋𝑍𝑑𝐴
La coordenada Z del centroide contenida en el plano YZ viene dada por
la siguiente relación:
�� =∫𝑍𝑑𝐴
∫𝑑𝐴
El volumen generado al efectuar la superficie una revolución completa
alrededor del eje Y será:
FIGURA 13.Diferencial de área.
FUENTE: ESTATICA- BEER JHONSTON
24
𝑉 = 2𝜋��𝐴
Este teorema también es válido si la superficie A gira a un ángulo 𝜃 distinto
de 2𝜋. Así para un ángulo de rotación𝜃 cualquiera será:
𝑉 = 𝜃��𝐴 ˄ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
El método de investigación aplicado al trabajo es el método experimental
3.2.
Se utilizó un Motor como soporte en tres dimensiones, en la cual se traza sus
ejes coordenados; con ayuda del desarmador utilizamos para fijar la placa
metálica, las cuales están sujetadas a uno de los ejes coordenados as. El
cronometro sirve para controlar el tiempo en las vueltas que da la placa
metálica y así poder determinar las revoluciones correspondientes.
Motor
Placa metálica
25
Destornillador
Cronometro
Preparar los materiales necesarios a utilizar.
Debemos conocer los ejes en que se va a trabajar (x, y, z)
Ya listo los materiales, empezamos colocando la placa metálica en un eje
coordenado y sujetándola con los tornillos.
Entornillar a cada agujero así para mantener una buena estabilidad a la
hora de moverse.
Ya sujetas y entornillada la placa metálica, se enciende el motor y se toma
en cuenta las cantidades de vueltas que da en un minuto.
26
Se elabora el sistema de referencia para determinar los cálculos.
Ubicamos la placa adecuadamente para determinar los cálculos.
27
Hallamos la función de la placa mediante la ecuación de la recta.
Recordando:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 𝟏. 𝟏
𝑡𝑔𝛼 = 𝑚 =𝑐𝑜
𝑐𝑎
Hallando la pendiente “m” de la placa
𝑡𝑔𝛼 = 𝑚 =15,9
21
𝑡𝑔𝛼 = 0,7571
𝑚 = 0,7571 𝟏. 𝟐
Las coordenadas de los puntos:
A= (8,5;0) 1.3
B=(29,5;0) 1.4
C= (29,5; 15,9) 1.5
Reemplazando 1.2 , 1.3 en 1.1
𝑦 − 0 = 0,7571(𝑥 − 8,5)
𝑦 = 0,76𝑥 − 6,44 𝑓(𝑥) = 0,76𝑥 − 6,44
Entonces la función dada por la figura será:
𝑓(𝑥) = 0,76𝑥 − 6,44
28
Determinar el centroide ��, ��, �� por el método integral.
29
Recordemos:
�� =∫ 𝑥 𝑑𝐴
∫𝑑𝐴 �� =
∫ 𝑦 𝑑𝐴
∫𝑑𝐴 𝑧 =
∫ 𝑧 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
Además: y=0.76x-6.44
�� =∫𝑧 𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥
�� =∫ 𝑥𝑦𝑑𝑥
21
8.5
∫ 𝑦𝑑𝑥21
8.5
=∫ 𝑥(0.76𝑥 − 6.44)𝑑𝑥
21
8.5
∫ (0.76𝑥 − 6.44)𝑑𝑥21
8.5
=
1925 ∫ 𝑥2𝑑𝑥
21
8.5−
16125 ∫ 𝑥𝑑𝑥
21
8.5
1925 ∫ 𝑥𝑑𝑥 −
16125 ∫ 𝑑𝑥
21
8.5
21
8.5
�� =
1925
𝑥3
3|218.5
−16125
𝑥2
2|218.5
1925
𝑥2
2|218.5
−16125
𝑥|218.5
=1576
200= 7.88
�� =∫𝑦 𝑑𝐴
∫𝑑𝐴 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥 y=
𝑦
2
�� =∫
𝑦2(𝑦 + 6.44)
0.76𝑑𝑦
21
8.5
∫(𝑦 + 6.44)
0.76𝑑𝑦
21
8.5
=∫
(𝑦2 + 6.44𝑦)1.52
𝑑𝑦21
8.5
∫(𝑦 + 6.44)
0.76𝑑𝑦
21
8.5
=
5076
𝑦3
3|218.5
+6.441.52
𝑦|218.5
5038
𝑦2
2|218.5
+6.440.76
𝑦|218.5
=2677.40
348.08= 7.68
Determinar el Área y Volumen por el Teorema de Pappus y Guldin.
x
y 30
𝐴 = 2𝜋��𝐿 𝑉 = 2𝜋��𝐴
𝐿 = √212 + 15.92 = 26.34
𝐴 = 2𝜋��𝐿
𝐴 = 2𝜋(7.68)(26.34)
𝐴 = 1271.03𝑐𝑚2
x
Y
31
𝑉 = 2𝜋��𝐴
Del dato anterior: �� =
𝐴 =21×15.9
2= 166.95
𝑉 = 2𝜋(7.68)(166.95)
𝑉 = 8056.15𝑐𝑚3
Hallando la frecuencia, velocidad angular y las revoluciones
Determinando la frecuencia
𝑓 =#𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑓 =172
60
𝑓 = 2,87𝐻𝑧
Determinado la velocidad angular
𝜔 = 2𝜋𝑓
𝜔 = 2𝜋𝑥2,87
𝜔 = 5.74𝜋
Determinado las revoluciones por minuto
𝜔 = 2𝜋𝑥2,87
𝜔 = 5.74
= (1𝑅𝑃𝑀
2𝜋)(
5,74𝜋
1𝑋⁄
)
= 9 𝑅𝑃𝑀
�� = 7.88𝑐𝑚
�� = 7.68𝑐𝑚
𝐴 = 1271.03𝑐𝑚2
𝑉 = 8056.15𝑐𝑚3
𝑓 = 172𝐻𝑍𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
𝜔 = 5.74𝜋
32
Al obtener los cálculos, se tuvo que redondear las cifras a la centésima ya
que esto interfiere en el resultado.
Al momento de hacer su revolución, la máquina se detenía por un momento
y eso dificultaba el conteo de las vueltas.
Al momento de usar el cronometro y el momento en que empieza a gira la
placa no son instantáneos, esto hace que varíe el resultado.
Al girar la maquina hace que los ejes no estén quietos haciendo que
hallemos un área y volumen falsos.
Al generar vibración la maquina el volumen varia por eso los resultados no
son exactos.
Se logró determinar el centroide ��, ��, �� por el método integral.
�� = 7.88
�� = 7.68
𝑧 = 0
Se logró determinar el Área y Volumen por el Teorema de Pappus y Guldin.
El cual es:
𝐴 = 1271.03𝑐𝑚2
𝑉 = 8056.15𝑐𝑚3
33
Realizar con mucha precisión los cálculos para encontrar los centroides en
X, Y y Z.
Tener las coordenadas y en que eje estas trabajando para calcular el
sistema de coordenadas ya sea (x, y, z) para que en el cálculo de los
objetivos específicos salgue sin dificultades.
Contar exactamente el número de vueltas que da la placa metálica en un
minuto.
Al realizar la práctica tenemos que trabajar con mucho orden por parte de
cada uno de los integrantes de nuestro grupo.
Se recomienda usar una máquina en buen estado para su correcto uso y sin
errores de construcción.
34
[1] : KING; 1991; MECÁNICA PARA INGENIERÍA ESTÁTICA Y SUS
APLICACIONES; 2ª EDICIÓN.
[2] : MERIAM; 1976; MECÁNICA PARA INGENIERÍA ESTÁTICA; 3ª
EDICIÓN.
[3] : SINGER; 1975; MECÁNICA PARA INGENIEROS; 3ª EDICIÓN.
[4] : ING. MANUEL NESTARES GUERRA; 2014; CUADERNO DE FÍSICA
I – 2014-II
35
ANTHONY BEDFORD; WALLACE FOWLER; 1996; ESTATICA,
EDITORIAL ADISON.
.
DAS / KASSIMALI / SAMI; 1999; ESTÁTICA; PRIMERA EDICION; LIMUSA;
pp 58-60.
HIBBELER, 2010; ESTATICA; DECIMOSEGUNDA EDICION; EDITORIAL
PEARSON.
IRVING H. SHAMES; 1979; ESTATICA; PRIMERA EDICION.
J. N. MERIAN; 1975; ESTATICA; EDITORIAL REVERTÉ.
36
-Tabla de centroides de del triángulo y semicírculo.
-Centroides de líneas en dos dimensiones
-Tabla de centroides de áreas .
-Tabla de centroides de volúmenes.