05 centroides

ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOFACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE INGENIERÍAS CIVIL Y GEOMÁTICADEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS

ASIGNATURA: ESTÁTICA ESTRUCTURALTEMA: CENTROIDES


CENTRO DE MASA.

CENTRO DE GRAVEDAD.

CENTROIDES:

CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE.

INICIO

EJEMPLO.


CENTRO DE GRAVEDAD.

Considerando un sistema de n partículas fijo dentro del sistema dereferencia global XG , YG y ZG.

Los pesos de las partículas consisten en un sistema de fuerzasparalelas al eje global ZG, cuyas coordenadas Xi y Yi se conocen.

Xn

Yn


Este punto de aplicación se llama centro de gravedad.

El sistema de fuerzas paralelas, se puede sustituir por un solo pesoresultante o equivalente en un punto definido de aplicación.

… CENTRO DE GRAVEDAD.

El peso resultante o equivalente es igual a la suma de todos los pesos:


La suma de los momentos de los pesos de todas las partículas respecto alos ejes XG, y YG, es igual al momento que produce el peso resultante WRrespectivamente a esos ejes.

La sumatoria de momentos respecto al eje YG es:


Donde xi y yi son las coordenadas de cada partícula Wi respecto

al sistema de referencia.

La sumatoria de momentos respecto al eje XG es:


Finalmente la fuerza resultante WR y sus coordenadas quedan de la

siguiente forma:

WR


Donde:WR es la suma de todos los pesos de todo el sistema de partículas.

xC y yC son las coordenadas del centro de gravedad G del sistema de partículas.

xCyC

G

REGRESAR


Considerando la 2ª Ley de Newton: F = ma que también se puedeescribir como: W = mg y suponiendo que la aceleración de lagravedad g para cada partícula es constante, se tiene:

CENTRO DE MASA.

La suma de los momentos de las masas de todas las partículasrespecto a los ejes XG y YG, es igual al momento de la masaresultante mR respectivamente a esos ejes:



… CENTRO DE MASA.

Donde Xi y Yi son las coordenadas de cada partícula mi respecto

al sistema de referencia.



Finalmente la masa resultante mR y sus coordenadas del punto de

aplicación quedan de la siguiente forma:

mR

… CENTRO DE MASA.

Donde:mR es la suma de todas las masas de todo el sistema de partículas.

xC y yC son las coordenadas del centro de masas Cm del sistema de partículas.

XC

YC

Cm

REGRESAR


Considerando un sistema de referencia global XG, YG y ZG.

CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE.

Si se tiene una superficie, ésta se puede dividir en n áreas o elementos diferenciales de área, dA i, como se muestra en la figura.

Xn

Yn


De las áreas de las n partículas se puede hacer una sumatoria de

momentos de primer orden respecto a los ejes en que estácontenida la superficie. De forma similar a un centro de gravedad sepuede calcular un punto donde se puede concentrar toda el área dela superficie, o área resultante o equivalente.

… CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE.

A este punto de aplicación se llama centro geométrico.

El área total de la superficie se puede obtener de la siguiente forma:





Donde xi y yi son las coordenadas de dAi respecto al sistema de

referencia.


Finalmente las coordenadas del centro geométrico de la superficiese obtiene con las siguientes expresiones:


REGRESAR


Las coordenadas del centro geométrico (centroide) de la superficie se obtiene con las siguientes expresiones:

CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.


Obtener el centroide de la figura de área triangular de base a y altura b, que se muestra en la figura siguiente:

… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.


En la figura, el elemento diferencial de base dx y altura y, recorre a la figura desde un valor 0 hasta una distancia a, por lo que se tiene:


Su área es: dA = ydx , por lo que su área se calcula como:


Calculando momentos de primer orden respecto al eje Y, se tiene:



Finalmente, la ordenada del centroide de la figura es:



Calculando momentos de primer orden respecto al eje X, se tiene:



Finalmente, la ordenada del centroide de la figura es:



Sus coordenadas centroidales quedan de la siguiente forma:


REGRESAR

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