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FASÍCULO:
ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Teorema.
Sea un espacio vectorial sobre y sea un producto interno en ; entonces,
:
i)
ii)
iii)
iv)
Ejemplo: Sean el espacio vectorial con el producto interno definido por
, y los vectores
Si son los ángulos entre los vectores y y los vectores y respectivamente.
Obtener .
*Solución.
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- Condición de Ortogonalidad.
Con un producto interno complejo:
*No es ortogonal a pesar de que el producto interno dio 0. Esto sucedió debido a que sólo fue
tomada la parte real. Para que sea ortogonal debe dar 0 en la parte real e imaginaria.
Ejemplo:
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Sea un espacio con producto interno complejo y tales que y .
Determinar
Elevando al cuadrado:
Norma de un vector.
Definición.
Sea un espacio vectorial sobre y sea un producto interno en . Se llama norma
de , y se representa con , al número real no negativo definido por
- Propiedades (Teorema)
Si es un espacio vectorial con producto interno, entonces y :
i)
ii)
iii)
iv)
Distancia entre dos vectores.
Definición.
Sea un espacio vectorial con producto interno, y sean . Se llama distancia de a
, y se representa con al número real definido por
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- Propiedades
(Teorema).
Si es un espacio vectorial con producto interno, entonces :
i)
ii)
iii)
iv)
Ángulo entre vectores.
Definición.
Sea un espacio vectorial con producto interno real, y sean dos vectores no nulos de
. Se llama ángulo entre y al número real , en el intervalo , tal que
Ortogonalidad.
Definición.
Sea un espacio vectorial con producto interno. Dos vectores son ortogonales si
.
Teorema de Pitágoras (Teorema).
Sea un espacio vectorial con producto interno y sean . Si son ortogonales
entonces:
Definición.
Sea un espacio con producto interno y sea un conjunto de vectores
de . Se dice que es un conjunto ortogonal cuando
Si además , el conjunto es ortonormal.
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Definición.
Sea un espacio con producto interno y sea una base ortogonal.
Entonces
, donde
En particular, si B es una base ortonormal
Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.
Proyección vectorial
Proyección vectorial
Proyección vectorial
Proyección vectorial
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Base ortogonal
Proyección vectorial
- Ejemplo. Sea el conjunto de vectores un generador de
. Determinar a partir de G:
a) Una base ortogonal
b) Una base ortonormal
Solución.
a) Base ortogonal
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b) Base ortonormal.
- Proceso de ortogonalización de Gram (Teorema).
Sea un espacio con producto interno y sea un generador de . El
conjunto donde
Es un generador ortogonal de
- Ejemplo. Sea el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual
a 2 con coeficientes reales. una base de y el producto interno en
definido por
a) A partir de B, determinar una base ortogonal de .
Solución.
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Sea el espacio vectorial real de polinomios de grado menor o igual a 2 con coeficientes
reales con producto interno definido por
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Y sea un subespacio de que tiene como una de sus bases al conjunto
a) Determinar la proyección del vector sobre
b) Expresar al vector como una suma , donde y pertenece al
complemento ortogonal del espacio .
Teorema de Proyección.
Sea un espacio con producto interno y sea un subespacio de . Para cada vector
existe uno y sólo un vector tal que
Dicho vector es la proyección de sobre .
a)
Base ortogonal.
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La base ya era ortogonal
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Sea el producto interno en definido por
Y sea . Determinar el vector cuya distancia al
vector sea mínima.
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Complemento ortogonal.
Para el producto interno usual en , obtenga el complemento ortogonal de cada uno
de los subespacios siguientes de y dar una interpretación geométrica de dichos
complementos.
a)
Solución.
b)
Solución.
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Sea el espacio vectorial de las matrices de con elementos reales
un subespacio de y el producto interno en definido
por:
a) Determinar el complemento ortogonal de W
b) Expresar al vector como , donde y
PRODUCTO INTERNO USUAL Espacios
Espacios
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Espacios
Matrices M x n
t
Ejemplo.- Verificar si el siguiente es un producto interno de :
Solución:
1.-
Se cumple
2.-
Factorizando II:
Comparando I y II:
Se cumple
3.-
4.-
Se cumple
Ejemplo.- Sea el espacio vectorial con el producto interno definido por:
Y los vectores Si son los ángulos entre los vectores y y los vectores y respectivamente. Obtener :
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Ejemplo.- Sea V un espacio con producto interno complejo y tal que:
y , determinar:
Solución:
Entonces:
Ejemplo.- Sea el conjunto un generador de E2. Determinar a
partir de G: a) Una base ortogonal
b) Una base ortonormal
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Ejemplo.- Sea el espacio vectorial real de polinomios de grado menor ó igual a 2 con
caracteres reales, una base de y el producto interno en definido por:
Ejemplo.- Para el producto interno usual en , determinar el complemento ortogonal de
cada uno de los subespacios siguientes de : a)
b)