PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO PUNTO DE 2 VECTORES Y PRODUCTO CRUZ DE DOS

VECTORES

CALCULO VECTORIAL

PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO DE DOS VECTORES

El producto escalar de u = (𝑢1, 𝑢2) y v = (𝑣1𝑣2) es:

𝒖 ∙ 𝒗 = 𝑣1𝑢1 + 𝑣2𝑢2

El producto escalar de u = (𝑢1, 𝑢2, 𝑣3), v = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) es:

𝒖 ∙ 𝒗 = 𝑣1𝑢1 + 𝑣2𝑢2 + 𝑣3𝑢3

EJEMPLO: DADOS U=(2,-2), V=(5,8) Y W=(-4,3), ENCONTRAR:A) 𝒖 ∙ 𝒗 B) 𝒖 ∙ 𝒗 𝒘

C) 𝒖 ∙ (2𝒗) D) 𝑊2

SOLUCION:

a) 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝟐,−𝟐 ∙ 𝟓, 𝟖 = 𝟐 𝟓 + −𝟐 𝟖 = 𝟏𝟎 − 𝟏𝟔 = −𝟔

b) 𝒖 ∙ 𝒗 𝒘 = −𝟔 −𝟒, 𝟑 = (𝟐𝟒,−𝟏𝟖)

c) 𝒖 ∙ 2𝒗 = 𝟐,−𝟐 ∙ 𝟐 𝟓, 𝟖 = 𝟐,−𝟐 ∙ 𝟏𝟎, 𝟏𝟔 = 𝟐 𝟏𝟔 + −𝟐 𝟏𝟔 = 𝟑𝟐 − 𝟑𝟐 = 𝟎

d) 𝑊2= 𝑤 ∙ 𝑤 = −4,3 ∙ −4,3 = −4 −4 + 3 3 = 16 + 9 = 25

ANGULO ENTRE DOS VECTORES

Si 𝜃 es el ángulo entre dos vectores distintos de cero u y v, entonces:

cos 𝜃 =𝑢 ∙ 𝑣

𝑢 𝑣

EJEMPLO: SI U=(3,-1,2), V=(-4,0,2), W=(1,-1,-2) Y Z=(2,0,-1), HALLAR EL ANGULO ENTRE CADA UNO DE LOS SIGUIENTES PARES DE VECTORES:A) U Y V B) U Y W C) V Y Z

cos 𝜃 =𝑢 ∙ 𝑣

𝑢 𝑣=

3,−1, 2 ∙ (−4, 0, 2)

14 20=

−12 + 0 + 4

280=

−8

280=

−4

70

𝜃 = 118.5608° = 2.0693 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

cos 𝜃 =𝑢 ∙ 𝑤

𝑢 𝑤=

3,−1, 2 ∙ 1, −1,−2

14 6=

3 + 1 − 4

84=

0

84= 0

𝜃 = 90° = 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠

cos 𝜃 =𝑣 ∙ 𝑧

𝑣 𝑧=

−4, 0, 2 ∙ 2, 0, −1

20 5=

−8 + 0 − 2

100=−10

10= −1

𝜃 = 180° = 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 ⇒ 𝑣 = −2𝑧

PROYECCION UTILIZANDO EL PRODUCTO ESCALAR

Si u y v son vectores distintos de cero, entonces la proyección de uen v está dada por:

𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣𝒖 =𝑢 ∙ 𝑣

| 𝑣 |2𝑣

EJEMPLO: HALLAR LA PROYECCIÓN DE U EN V Y LA COMPONENTE VECTORIAL DE U ORTOGONAL A V DE LOS VECTORES U = 3I – 5J + 2K Y V = 7I + J – 2K.

SOLUCION:

*PARA LA PROYECCION DE u EN v ES

𝑤1 = 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣𝒖 =𝑢 ∙ 𝑣

| 𝑣 |2𝑣 =

3𝑖 − 5𝑗 + 2𝑘 ∙ 7𝑖 + 𝑗 − 2𝑘

542 7𝑖 + 𝑗 − 2𝑘

=3,−5,2 ∙ 7,1, −2

547𝑖 + 𝑗 − 2𝑘 =

21 − 5 − 4

547𝑖 + 𝑗 − 2𝑘 =

12

547𝑖 + 𝑗 − 2𝑘

=2

97𝑖 + 𝑗 − 2𝑘 =

14

9𝑖 +

2

9𝑗 −

4

9𝑘

*PARA LA COMPONENTE VECTORIAL DE u ORTOGONAL A v ES EL VECTOR

𝑤2 = 𝑢 − 𝑤1 = 3𝑖 − 5𝑗 + 2𝑘 −14

9𝑖 +

2

9𝑗 −

4

9𝑘 =

13

9𝑖 −

47

9𝑗 +

22

9𝑘

PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES

Sean u = 𝑢1𝑖 + 𝑢2𝑗 + 𝑢3𝑘 y 𝑣 = 𝑣1𝑖 + 𝑣2𝑗 + 𝑣3𝑘 vectores en el espacio. El producto vectorial de u y v es el vector:

𝑢 × 𝑣 = 𝑢2𝑣3 − 𝑢3𝑣2 𝑖 − 𝑢1𝑣3 − 𝑢3𝑣1 𝑗 + 𝑢1𝑣2 − 𝑢2𝑣1 𝑘

La demostración a esta fórmula se debe al siguiente caso:

𝑢 × 𝑣 =𝑖 𝑗 𝑘𝑢1 𝑢2 𝑢3𝑣1 𝑣2 𝑣3

= 𝑢2𝑣3 − 𝑢3𝑣2 𝑖 − 𝑢1𝑣3 − 𝑢3𝑣1 𝑗 + 𝑢1𝑣2 − 𝑢2𝑣1 𝑘

PROPIEDADES ALGEBRAICAS DEL PRODUCTO ESCALAR1. 𝑢 × 𝑣 = − 𝑣 × 𝑢

2. 𝑢 × 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑤

3. 𝑐 𝑢 × 𝑣 = 𝑐𝑢 × 𝑣 = 𝑢 × 𝑐𝑣

4. 𝑢 × 0 = 0 × 𝑢 = 0

5. 𝑢 × 𝑢 = 0

6. 𝑢 ∙ 𝑣 × 𝑤 = (𝑢 × 𝑣) ∙ 𝑤

EJEMPLO: DADOS U=I-2J+K Y V=3I+J-2K, HALLAR CADA UNO DE LOS SIGUIENTES PRODUCTOS VECTORIALES:

A) U×V B) V×U C) V×VSOLUCION:

a) 𝑢 × 𝑣 =𝑖 𝑗 𝑘1 −2 13 1 −2

= 4𝑖 + 3𝑗 + 1𝑘 − −6𝑘 − 2𝑗 + 𝑖

= 4𝑖 + 3𝑗 + 1𝑘 + 6𝑘 + 2𝑗 − 𝑖 = 𝟑𝒊 + 𝟓𝒋 + 𝟕𝒌

b) 𝑢 × 𝑣 = − 𝑣 × 𝑢 = − 3𝑖 + 5𝑗 + 7𝑘 = −𝟑𝒊 − 𝟓𝒋 − 𝟕𝒌

c) 𝑣 × 𝑣 = 𝟎

EJEMPLO: HALLAR UN VECTOR UNITARIO QUE ES ORTOGONAL TANTO A U=I-4J+K COMO A V=2I+3J

SOLUCION:

𝑢 × 𝑣 =𝑖 𝑗 𝑘𝑢1 𝑢2 𝑢3𝑣1 𝑣2 𝑣3

=𝑖 𝑗 𝑘1 −4 12 3 0

= 0𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 − −8𝑘 + 0𝑗 + 3𝑖

= 0𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 + 8𝑘 − 0𝑗 − 3𝑖 = −3𝑖 + 2𝑗 + 11𝑘

𝑢 × 𝑣 = −3 2 + 2 2 + 11 2 = 9 + 4 + 121 = 134

𝑢 × 𝑣

𝑢 × 𝑣=−3𝑖 + 2𝑗 + 11𝑘

134=

−𝟑𝒊

𝟏𝟑𝟒+

𝟐𝒋

𝟏𝟑𝟒+

𝟏𝟏𝒌

𝟏𝟑𝟒

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

Para u = 𝑢1𝑖 + 𝑢2𝑗 + 𝑢3𝑘, 𝑣 = 𝑣1𝑖 + 𝑣2𝑗 + 𝑣3𝑘 y 𝑤 = 𝑤1𝑖 + 𝑤2𝑗 + 𝑤3𝑘, el triple producto escalar está dado por:

𝑢 ∙ 𝑣 × 𝑤 =

𝑢1 𝑢2 𝑢3𝑣1 𝑣2 𝑣3𝑤1 𝑤2 𝑤3

𝑢 ∙ 𝑣 × 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤 = 𝑣 ∙ 𝑢 × 𝑤

Por lo regular está interpretado geométricamente en el volumen de un paralelepípedo.

EJEMPLO: CALCULAR EL VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO QUE TIENE U = 3I - 5J + K, V = 2J - 2K Y W = 3I + J + K

𝑉 = 𝑢 ∙ 𝑣 × 𝑤 =3 −5 10 2 −23 1 1

= 6 + 30 + 0 − 6 − 6 + 0 = 36

∴ 𝑉 = 36 𝑈3

BIBLIOGRAFIA

LARSON, HOSTETLER y EDWARDS, “Cálculo de varias variables. Matemáticas 3”, 1ra Edición, 2009, Editorial Mc Graw Hill 352 págs.

Swokowski, Earl, “Cálculo con geometría analítica”, 1989, Grupo Editorial Iberoamericana, 2da Edición, Estados Unidos de América, 1097