Савченко Елена Михайловна,

учитель математики высшей квалификационной категории.

Муниципальное общеобразовательное учреждение гимназия №1, г. Полярные Зори, Мурманская обл.

Государственная (итоговая) аттестация

Обучающие модули для дистанционной самоподготовки

Задача В12.

XIV Всероссийский конкурс методических разработок «Сто друзей»

Применять эти формулы можно,

если величины S, t и v выражены в одинаковых

единицах измерения. Например, S (м), t (с) и v (м/с).

В задачах на движение протяженных тел требуется, как

правило, определить длину одного из них. Наиболее типичная

ситуация: определение длины поезда, проезжающего мимо столба

или протяженной платформы. В первом случае поезд проходит мимо

столба расстояние, равное длине поезда, во втором случае —

расстояние, равное сумме длин поезда и платформы.

Задачи на движение обычно содержат следующие величины

Равенства,

связывающее

эти величиныvtS=

vSt =

tSv=

t – время, S – расстояние.v – скорость,

1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает

мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в

метрах.

Решение. Зная скорость движения v = 80 км/ч и время, за которое он

проезжает мимо столба t = 36 с, можно найти длину поезда как

пройденное расстояние по формуле:

vtS=

1 мин1 с 1ч

: 60 : 60

* 60* 60ct 36= мин= ч= ч01,0=

Выразим время в часах

)(8,001,080 кмS == )(800 м=

* 1000Пройденное расстояние

= длине поезда

60

366060

36

: 60 : 60

2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает

мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту.

Найдите длину поезда в метрах.

400 м

Решение. Зная скорость движения v = 60 км/ч и время, за которое он

проезжает мимо лесополосы t = 1 мин, можно найти расстояние,

которое прошел поезд (длина лесополосы + длина поезда). vtS =

минt 1= ;ч=

Выразим время в часах

)(160

160 кмS == )(1000 м=

поездадлинам)(6004001000 =

1 мин1 с 1ч

: 60 : 60

* 60* 60

Пройденное расстояние =длине поезда + длина

лесополосы

60

1

: 60

2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает

мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту.

Найдите длину поезда в метрах.

400 м

Решим задачу с

помощью уравнения

x

x+400

60

16000400 =х

1000400 =х

600=х

vS = t

, чt

, м/чv

, мS

ч60

1

6000 м/ч

При решении задач на движение двух тел часто очень

удобно считать одно тело неподвижным, а другое —

приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей

этих тел (при движении навстречу) или разности скоростей

(при движении вдогонку). Такая модель помогает разобраться

с условием задачи.

3. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют

два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров.

Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент

времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго

составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз

отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до

носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость

первого сухогруза меньше скорости второго?

Воспользуемся предложенной моделью

2

3. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два

сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала

второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние

от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние

от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько

километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

120 м400 м 600 м 80 м

tSv=

)/(10012:1200 минмv ==

* 60

)/(6000 чм= )/(6 чкм=

: 1000

++ +

1

Решение. Будем считать, что первый сухогруз неподвижен, а второй

приближается к нему со скоростью v (м/мин), равной разности скоростей

второго и первого сухогрузов. Тогда за 12 минут второй сухогруз должен

обогнать первый на расстояние: расстояние 1200 м

4. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении

следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны

соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам.

Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел

мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

600 м

)/(603090 чкм=

* 1000 : 60

)/(60000 чм= )/(1000 минм=Скорость вдогонку (на сколько скорость

пассажирского поезда больше скорости товарного)

минзам 1)(100011000 =

поездатоварногодлинам)(4006001000 =

Решение. Будем считать, что один поезд неподвижен, а второй

приближается к нему со скоростью v (м/мин), равной разности скоростей

поездов. Тогда за 1 минуту второй поезд обгонит первый на расстояние,

равное сумме длин этих составов.

4. По двум параллельным железнодорожным путям в одном

направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости

которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного

поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если

время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте.

Ответ дайте в метрах.

600 м

Решим задачу с

помощью уравнения

x

11000600 =х

1000600 =х

400=х

vS = tx+600

, минt

, м/минv

, мS

мин1

1000 м/мин

5. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу

другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны

соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он

прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в

метрах.

700 м

)/(1009565 чкм=

* 1000

)/(100000 чм=Скорость навстречу друг другу

(сумма скоростей при движении навстречу друг другу)

ct 36=

: 60 : 60

мин60

36= ч

6060

36

= ч01,0=

чзам 01,0)(100001,0100000 =

поездатоварногодлинам)(3007001000 =

5. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу

другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны

соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он

прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в

метрах.

700 м

Решим задачу с

помощью уравненияx

100

1100000700 =х

1000700 =х

300=х

vS = tx+700

, чt

, м/чv

, мS

ч100

1

100000 м/ч

6. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 54 км/ч, проезжает

мимо идущего параллельно путям со скоростью 6 км/ч навстречу ему

пешехода за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

минct2

130 ==

*1000 : 60

)/(60654 чкм= )/(60000 чм= )/(1000 минм=

Выразим время в минутах

)(5002

11000 мS ==

Решение. Будем считать, что пешеход неподвижен, а поезд двигается со

скоростью v (м/мин), равной сумме скоростей пешехода и поезда

(скорость навстречу друг другу). Сам пешеход не имеет «протяженной»

длины (если бы это была колонна солдат, то мы бы учли это).

Скорость навстречу друг другу (сумма

скоростей при движении навстречу друг другу)

7. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 65 км/ч, проезжает

мимо идущего в том же направлении параллельно путям со

скоростью 5 км/ч пешехода за 30 секунд. Найдите длину поезда в

метрах.

минct2

130 ==

*1000 : 60

)/(60565 чкм= )/(60000 чм= )/(1000 минм=

Выразим время в минутах

)(5002

11000 мS ==

Решение. Будем считать, что пешеход неподвижен, а поезд двигается со

скоростью v (м/мин), равной разности скоростей пешехода и поезда.

Пешеход не имеет «протяженной» длины.

Скорость навстречу друг другу (сумма

скоростей при движении навстречу друг другу)

• Рисунки автора http://le-savchen.ucoz.ru/index/0-67

• http://office.microsoft.com/ru-ru/images/

• http://www.ansc.ru/Images/PJupit.gif

ЕГЭ 2010. Математика. Задача В12. Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко

http://www.2x2abc.com/forum/users/2010/B12.pdf

Открытый банк заданий по математике. ЕГЭ 2011http://mathege.ru/or/ege/Main.html

Рисунки