expansiones de ángulos múltiples
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7/30/2019 Expansiones de ngulos mltiples
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Desarrollo de expansiones de Angulos Mltiples
Daniela Pulla Vsquez . [email protected]
January 15, 2013
Abstract
Este trabajo se realiza con la finalidad del desarrollo de expansiones
de angulos mltiples donde podremos observar diferentes igualdades mas
que todo que tipo corresponde en cada ejercicio.
Cada uno de los ejercicios esta resuelto en tres demostraciones que
son. Demostracin analtica,demostracin nmrica y demostracin gr-
fica, este tipo de trabajo es muy til por que en este tipo de ejercicios
recordamos todo lo aprendido en aos anteriores y nos servira para un
mejor entendimiento ya que cada ejercicio tiene un caso diferente y mas
que todo este trabajo nos hara entender muchisimo mejor como resolverlas
paso por paso.
1 Objetivo.
-Demostrar las expansiones de ngulos multiples.-Recordar cada una de las identidades dadas.
- Sacar los resultados correctamente con cada demostracin.
2 Desarrollo.
1 Ejercicio:
Cos2A =
1
2+1
2Cos2A (1)
1.1Demostracin analtica
Cos(A + A) = cosAcosA sinAsinA (2)
Cos(A + A) = cos2A sin2A (3)
1
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Cos(A + A) = cos2A (1 cos2A) (4)
Cos(A + A) = cos2A 1 + cos2A (5)
Cos(2A) = 2cos2A 1 (6)
1 + Cos(2A) = 2cos2A (7)
2cos2A = 1 + cos(2A) (8)
cos2A =1 + cos(2A)
2
(9)
cos2A =1
2+
1
2cos2A (10)
1.2Demostracin grfica
Graficafuncion : y = cos2A (11)
Graficafuncion : y =1
2+
1
2cos2A (12)
2
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1.3Demostracin numrica
A =
6(13)
cos2(
6) =
1
2+ cos
cos
6
2
(14)
3
4=
1
2+
1
4
(15)
3
4+
3
4(16)
2 Ejercicio:
sin2A =
1
2
1
2cos2A (17)
2.1 Demostracin analtica
cos(2A) = cos2A sin2A (18)
3
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cos(2A) = 1 sin2 sin2 (19)2sin2 = 1 cos2A (20)
sin2A =1
2
1
2sin(2A) (21)
2.2Demostracin grfica
Graficafuncion : y = sin2A (22)
Graficafuncion : y =1
2
1
2sin2A (23)
4
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2.3Demostracin numrica
A =
3(24)
sin2
3=
1
2
1
2sin
2
3
(25)
34
= 34
(26)
3 Ejercicio:
cos3A =
3
4cosA+
1
4cos3A (27)
3.1Demostracin analtica
cos (3A) = cos (A + 2A) (28)
cos (3A) = cos (A) cos (2A) sin (A) sin (2A) (29)
cos (3A) = 2cos3A cosA 2sin2AcosA (30)
5
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cos (3A) = 2cos3A cosA 2 1 cos2A cosA (31)cos (3A) = 2cos3A cosA 2
cosA cos3A
(32)
cos (3A) = 2cos3A cosA 2cosA 2cos3A (33)
cos (3A) = 3cosA + 4cos3A (34)
4cos3A = 3cosA + cos(3A) (35)
cos3A =3
4
cosA +1
4
cos (3A) (36)
3.2 Demostracin grfica
Graficafuncion : y = cos3A (37)
Gr`aficafunci
`on
:y
=
3
4cosA
+
1
4cos
(3A
) (38)
6
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3.3 Demostracin Numrcica
A =
2(39)
cos2
2
=
3
4cos
2
+
1
4cos
3
2
(40)
0 = 34
(0) + 14
(0) (41)
0 = 0 (42)
4 Ejercicio:
sin3A =
3
4sinA
1
4sin3A (43)
4.1 Demostracin analticasin (3A) = sin (A + 2A) (44)
sin (3A) = sin (A) cos (2A) + cos (A) sin (2A) (45)
7
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sin (3A) = sin (A) 1 + sin2A + cos (A) 2sinAcosA (46)sin (3A) = sinA 2sin3A + 2sinA
1 sin2A
(47)
sin (3A) = sinA 2sin3A + 2sinA 2sin3A (48)
. . .sin (3A) = 3sinA 4sin3A (49)
4sin3A = 3sinA sin (3A) (50)
sin3A =3
4
sinAsin (3A)
4
(51)
4.2 Demostracin grfica
Graficadelafuncion : y = sin3A (52)
Grafcadelafunsion : y =
3
4sinA
1
4sin (3A) (53)
8
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4.3 Demostracion numrica
A =
6(54)
sin3
2
=
3
4sin
2
1
4sin
3
2
(55)
1 = 34
+ 14
(56)
1 = 1 (57)
5 Ejercicio:
cos4A =
3
8+1
2cos2A+
1
8cos4A (58)
5.1 Demostracin analticacos (4A) = (2A + 2A) (59)
cos (2A + 2A) = cos (2A) cos (2A) sin (2A) sin (2A) (60)
9
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cos (2A + 2A) =
2cos2
A 1cos (2A) (2sinAcosA) (2sinAcosA) (61)
cos (2A + 2A) = 2cos2Acos (2A) cos (2A)
4sin2AcosA2
(62)
cos (2A + 2A) = 2cos2A
2cos2A 1 cos (2A) 4sin2Acos2A (63)
cos (2A + 2A) = 4cos4A 2cos2A cos (2A) 4
1 cos2Acos2A (64)
cos (2A + 2A) = 4cos4A 2cos2A cos (2A)
4 4cos2Acos2A (65)
cos (2A + 2A) = 4cos4A 2cos2A cos (2A) 4cos2A + 4cos4A (66)
cos (2A + 2A) = 8cos4A 6cos2A cos (2A) (67)
cos (2A + 2A) = 8cos4A 6
1
2+
1
2cos2A
cos (2A) (68)
cos (2A + 2A) = 8cos4
A6
2
6
2cos2A cos2A (69)
cos (2A + 2A) = 8cos4A 3 3cos2A cos2A (70)
cos (4A) = 8cos4A 4cos2A 3 (71)
8cos4A = 4cos2A 3 cos (4A) (72)
cos4A =1
2cos2A +
3
8+
cos (4A)
8= (73)
cos4 (A) = 38 + 12cos2A + 18cos4A (74)
10
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5.2 Demostracin grfica
Graficadelafuncion : y = cos4
(A) (75)
Graficadelafuncion : y =3
8+
1
2cos2A +
1
8cos4A (76)
11
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5.3 Demostracin numrica
A = (77)
cos4 () =1
2cos (2) +
2
8+
cos (4)
8(78)
1 =1
2+
3
8+
1
8(79)
1 = 1 (80)
6 Ejercicio:
sin4A =
3
8
1
2cos2A+
1
8cos4A (81)
6.1Demostracin Analtica
cos4A = cos (2A + 2A) (82)
cos4A = cos2Acos2A sin2Asin2A (83)
cos4A = cos2A sin2A cos2A sin2A (2sinAcosA) (2sinAcosA) (84)cos4A =
1 sin2A sin2A
4sin2A
sin2A
(85)
cos4A =
1 sin2A sin2A
4sin2A sin4A
(86)
cos4A = 1 sin2A 4sin4A sin4A (87)
cos4A = 1 + cos2A
4sin4A sin4A (88)
8sin4A = 1 cos2A + cos4A + 2 (89)
8sin4A = 3 cos2A + cos4A (90)
sin4A =3
8
1
2cos2A +
1
8cos4A (91)
12
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6.2 Demostracin grfica
Graficadelafuncio : y = sin4
(A) (92)
Graficadelafuncion : y =3
8
1
2cos2A +
1
8cos4A (93)
13
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6.3 Demostrcin numrica
A = 1 (94)
sin4A (1) =3
8
1
2cos2 (1) +
1
8cos4 (1) (95)
0 = 0 (96)
7 Ejercicio:
cos5A =
5
8cosA+
5
16cos3A+
1
16cos5A (97)
7.1 Demastracin Analtica
cos5A = cos (2A + 3A) (98)
cos5A = cos2Acos3A sinAsin3A (99)
cos5A = 4cos3A 3cosAcos2A sin2A 3sinA 4sin3A2sinAcosA (100)
cos5A = 4cos3A3cosAcos2A1 cos2A6sin2AcosA8sin4AcosA (101)
cos5A = 4cos3A3cosAcos2A1+cos2A6
1 cos2AcosA8
1 cos2A
1 cos2A
cosA
(102)
cos5A = 16cos5A + 12cos3A + 9cosA (103)
16cos5A = 123A + 9cosA cos5A (104)
cos5A =5
8cosA +
5
16cos3A +
1
16cos5A (105)
14
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7.2 Demostracin grfica
Graficadelafuncion : y = cos5
(A) (106)
Graficadelafuncion : y =5
8cosA +
5
16cos3A +
1
16cos5A (107)
15
-
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7.3 Demostracin analtica
A = 0 (108)
cos5 (0) =5
8cos (0) +
5
16cos3 (0) +
1
16cos5(0) (109)
1 = 1 (110)
8 Ejercicio:
sin5A =
5
8
sinA5
16
sin3A+1
16
sin5A (111)
8.1 Demostracin Analica
sin5A = sin(2A + 2A) (112)
sin5A = sin2Acos3A + sin2Acos3A (113)
sin5A = 3sinA 4sin2Acos2A sin2A + 2sinACosA
4cos3A5cosA
(114)
sin5A = 3sinA4sin2A+4sin4Asin2A+2sin4A
1 sin2A
1 sin2A2sinA3cos2A
(115)
sin5A = 5sinA 5sin2A + 4sin4A 2sin3A + 8sin5A (116)
8sin5A = 5sinA 5sin2A + 4sin4A 2sin3A + sin5A (117)
8.2 Demostracin grfica
Graficadelafuncion : y = sin5A (118)
16
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Graficadelafuncion : y =5
8sinA
5
16sin3A +
1
16sin5A (119)
8.3 Demastracin numrica
A = 0 (120)
17
-
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sin5 (0) =5
8sin (0) +
5
16sin3 (0) +
1
16sin5(0) (121)
0 = 0 (122)
9 Ejercicio:
cos6A =
5
16+15
32cos2A+
3
16cos
4A+
1
32cos6A (123)
9.1 Demastracin Analticacos6A = cos(3A + 3A) (124)
cos6A = cos3Acos3A sin3Asin3A (125)
cos6A = (4cos3A 3cosA) (4cos3A 3cosA)(3sinA 4sin3A) (3sinA 4sin3A)(126)
cos6A = 16cos6A 12cos4A 12cos4A + 9cos2A 9
1 cos2A
(127)
+12
1 cos2A
1 cos2A 12
1 cos2A
1 cos2A
(128)
cos6A = 32cos6A + 24cos4A 30cos2A + 19 (129)
32cos6A = cos6A + 24cos4A 30cos2A + 19 (130)
cos6A =cos6A + 24cos4A 30cos2A + 19
32(131)
cos6A = 516 + 1532cos2A + 316cos4A 132cos6A (132)
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9.2 Demastracin grfica
Graficadelafuncion : y = cos6
(A) (133)
Graficadelafuncion : y =5
16+
15
32cos2A +
3
16cos4A +
1
32cos6A (134)
19
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9.3 Demostracin numrica
A = 0 (135)
cos6 (0) =5
16+
15
32cos2 (0) +
3
16cos4(0)
1
32cos6(0) (136)
1 = 1 (137)
10 Ejercicio
sin
6
A =
5
16
15
32cos2A+
3
16cos4A
1
32cos6A (138)
10.1 Demastracin Analtica
cos6A = cos (3A + 3A) (139)
cos6A = cos3Acos3A sin3Asin3A (140)
cos6A =
4cos3A 3cosA
4cos3A 3cosA
3sinA4sin3A
3sinA 4sin3A
(141)
cos6A = 16cos6A12cos4A12cos4A9cos2A9
1 cos2A
+12
1 cos2A
(142)
1 cos2A
1 cos2A
+ 16
1 cos2A
1 cos2A
1 cos2A
(143)
cos6A = 32cosA + 24cos4A 30cos2A + 19 (144)
30cos6A = cos6A + 24cos4A 30cos2A + 19 (145)
sin6A = 516
1532
cos2A + 316
cos4A 132
cos6A (146)
20
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10.2 Demastracin grfica
Graficadelafuncion : y = sin6
A (147)
Graficadelafuncion : y =5
16
15
32cos2A +
3
16cos4A
1
32cos6A (148)
21
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10.3 Demostracin numrica
A = 0 (149)
sin6 (0) =5
16
15
32cos2 (0) +
3
16cos4(0)
1
32cos6(0) (150)
0 = 0 (151)
3 Conclusin:
-Utilizar correctamente las diferentes igualdades trigonomtricas y sus aplica-ciones en cada una de ellas.
-Con este tipo de ejercicios utilizamos correctamente las tres formas men-
cionadas para comprobar si es una igualdad, y sacasr correctamete su resultado.-Aprendimos mejor el manejo correcto de el programa LYX y la utilizacionde cada una de sus opciones que nos presenta
-En este tipo de ejercicios utilizamos mucho del programa Derive para saberque tipo de grafica tenia cada una de las expnasiones del ngulo y para saber siesta correctamente realizada la operacion.
-Implica muchisima la demostracin de cada una por que asi nos damoscuenta si el ejercicio que realizamos esta bien echo y necesitamos de muchisimaconcentracion.
-Expansion exercises double angles must apply the three types of demonstra-tion to understand them so much better, and also know how to use the programto branch to know their results show. In these exercises we will remembereverything seen in years Previous. and need a lot of patience.
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