UNIVERSIDADNACIONALDELCALLAOFACULTADDECIENCIASNATURALESYMATEMATICAESCUELAPROFESIONALDEMATEMATICAINFORMEFINALDEPRACTICAPRE-PROFESIONALMODALIDADDEINVESTIGACIONTITULO: EXISTENCIALOCALDESOLUCIONESDEBILESPARALAECUACIONABSTRACTADELAONDACONTERMINODISIPATIVOAUTOR: GIANMARCOSMALDONADORUIZCODIGO: 082993JASESOR: Mg. DIONICIOORLANDOMORENOVEGARESOLUCIONNo: 023-2013-CD-EPM-FCNMSEMESTREACADEMICO: 2013-ABELLAVISTA-CALLAO2013Amispadres:MarcosMaldonadoAlvaradoMilagritosRuizRuizAmishermanos:Jose,ArturoyMarcos.AgradecimientosAlconcluirestetrabajo,quepresentocomopracticapre-profesionalenlamoda-lidaddeinvestigacionenmatematica,deseomanifestarmigratitud:ADios,esenciademiseryprimeracausadel exitologradoenmasdeunaetapademiexistencia.Al profesor Mg. Dionicio Orlando Moreno Vega, por haber sido un excelenteorientador, mas tambien, un verdadero amigo y un maestro en los consejos,comprendiendo muy bien la relacion profesor - alumno. Agradesco, tambienporlaconanzadada,acreditandosiempreenmitrabajo,porlapacienciayexigencianecesarios;porlaenormecontribucion,sinlacualestetrabajonoserarealizado.Enn,porelexcelentetrabajodeorientacion.Amifamilia,porelapoyoeincentivo,estimulandomeaestudiarsiempre.Amispadresyhermanosporsucari noyapoyoincondicional.AlprofesorLic.LeninRolandoCabracanchaMontesinos,poracreditarenmi trabajo, incentivarme y participar en mi desenvolvimiento, auxiliandomesiempreenlacontribuciondemitrabajo.Amiscompa nerosdecursoyamigosdelaFacultaddeCienciasNaturalesyMatematicadelaUniversidadNacionaldelCallao.iiiA. DATOSGENERALESA1. DATOSDELESTUDIANTEAPELLIDOSYNOMBRES : MaldonadoRuizGianMarcosCODIGO : 082993JINSTITUCION : UniversidadNacionaldelCallaoFACULTAD : CienciasNaturalesyMatematicaESCUELAACADEMICAPROFESIONAL : MatematicaSEMESTREACADEMICO : 2013-ATITULO : ExistenciaLocaldeSolucionesDebilesparalaEcuacionAbstractadelaOndaconTerminoDisipativoA2. DATOSDELPROFESORASESORAPELLIDOSYNOMBRES : MorenoVegaDionicioOrlandoCODIGO : 1387CATEGORIAYDEDICACION : Auxiliar,TiempoCompletoCONDICION : NombradoESPECIALIDAD : MatematicaFACULTAD : CienciasNaturalesyMatematicaA3. DATOSDELAINSTITUCIONINSTITUCION : UniversidadNacionaldelCallaoDIRECCION : Av.JuanPabloII306,Bellavista-CallaoTELEFONO : (051)4299740-4299748ivB. CRONOGRAMADEACTIVIDADESREALIZADAS DURACION : Abril2013-Julio2103 HORARIOSDEPERMANENCIA: Jueves-2horas(2p.m.-4p.m.) ACTIVIDADES REALIZADAS : Se realizaron las siguientes activida-des. Reuniones semanales sobre el proyecto de investigacion bajo la asesoradelMg.DionicioOrlandoMorenoVega. Se recopilo informacion sobre antecedentes tecnicos relacionado al pro-yecto. B usquedadeinformacionenbibliotecasdeotrasuniversidades. B usquedadenformacioneninternet. Exposicionessemanalessobrelosavancesdelproyecto. CRONOGRAMAANALITICOSEMANALREVISIONDEBIBLIOGRAFIAYRECOLECCIONDEIN-FORMACIONSEMANA1:Revisiondebibliografa.SEMANA2:Recolecciondeinformacion.DESARROLLODELTRABAJOSEMANA3: Revisar algunos resultados, lemas y teoremas de EcuacionesDiferencialesOrdinarias.SEMANA4: Revisar algunos resultados, lemas y teoremas de EcuacionesDiferencialesParciales.SEMANA5: Estudiar los resultados, teoremas y propiedades de los espa-ciosfuncionalesLPp0, T; Xqvectoriales.vSEMANA6: Investigaracercadelaexistenciayunicidaddesolucionesdeunaecuaciondiferencialparcialdeevolucion.SEMANA7:Determinaryencontrarlasestimativasrequeridas.SEMANA8:Realizarelpasajealmitedelassolucionesaproximadas.SEMANA9:Demostrarlaexistencialocaldesoluciones.SEMANA10:Realizarlavericaciondelosdatosiniciales.SEMANA11:Mostrarlaunicidaddelassoluciones.ANALISISDELTRABAJOSEMANA12:Analisisdelosresultadosobtenidos.SEMANA13:Aportedenuestrosresultados.SEMANA14:Discusionesyconclusionesdenuestrosresultados.REDACCIONFINALYEXPOSICIONDELINFORMESEMANA15:Redacci onnal.SEMANA16:Exposiciondelinforme.Descripcion-Semanas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Revisiondebibliografa xAnalisisdeinformacion xDesarrollodeltrabajo x x x x x x x x xAnalisisdeltrabajo x x xRedaccionnal xExposiciondelinforme xC. CARACTERISTICASDELTRABAJOLascaractersticasdeltrabajosepresentaranacontinuacion.viIndiceResumen ixIntroducci on 11. Preliminares 31.1. Ecuaciondiferencialparcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. LosespaciosLppq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. EspaciodelasFuncionesdePrueba . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. ElespaciodeDistribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1. ConvergenciaenD1pq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2. LaderivacionenD1pq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. EspaciosdeSobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.1. ElespaciodualdeHm0 pq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6. DistribucionesenespaciosdeBanach . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7. LosEspaciosFuncionalesLpp0, T; V q . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8. DistribucionesVectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8.1. DerivacionenD1p0, T; V q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9. DenicionesdeConvergencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10. ResultadosImportantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10.1. Operadoreslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10.2. Elespaciodual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19vii1.10.3. OperadorHilbertAdjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.10.4. Formasbilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212. SolucionesDebiles 252.1. ProblemaAproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2. EstimativasaPriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.1. PrimeraEstimativaaPriori . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.2. SegundaEstimativaaPriori . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3. PasajealLmite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4. VericaciondelosDatosIniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.1. Vericaciondeup0q u0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.2. Vericaciondeu1p0q u1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5. Unicidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Resultados 44Conclusiones 46Bibliografa 47viiiResumenEnestetrabajoestudiaremoslaexistencialocalyunicidaddesolucionesdebilespara una ecuacion diferencial parcial hiperbolica de evolucion de tipo de onda nohomogeneadelaforma:u2`Au `u1 f en Hup0q u0en Vu1p0q u1enHLos resultados de existencia de soluciones para datos iniciales u0 P V , u1 P Hsu-cientementepeque nosonobtenidosaplicandoelmetododeFaedo-Galerkin;donde:V unespaciodeHilbertseparablereal,cuyoproductointernoesrepresen-tadopor pp, qqylanorma } }.HunespaciodeHilbertseparablereal,cuyoproductointernoesrepresen-tadopor p, qylanorma | |.V HdensoyunainmersionV enHcompactaycontinua.IdenticandoHconsudualH1,obteniendoseV H H1 V1.unsubconjuntoabiertoyacotadobienregulardeRndefrontera.A : V V1un operador lineal, acotado, autoadjunto, simetrico y coercivo.ixf P L2p0, T; Hqacotado.PalabrasClaves:Ecuaciondeonda,metododeFaedo-Galerkin,TeoremadeCaratheodory,Existenciadesolucionesdebiles.xIntroduccionEl presentetrabajoesunproyectodeinvestigacionrealizadoenlaFacultaddeCienciasNaturalesyMatematicabajolaasesoradelMg.DionicioOrlandoMo-renoVega.Diversas ecuaciones diferenciales parciales de evolucionde segundoordensonestudiadasencienciascomoeningenieria,talescomo:u2` u `u1 fpx, tq en Q s0, Tru 0 en s0, Trupx, 0q u0pxq en u1px, 0q u1pxq en (1)Considerando:unsubconjuntoabiertoyacotadobienregulardeRndefrontera.V H10pq conproductointerno ppu, vqq uvdx `uvdxylanorma }u} |u|2dx `|v|2dx1{2.HL2pq conproducto interno pu, vq uvdxy la norma |u| |u|2dx1{2.A .f P L2p0, T; L2pqq:u0 P H10pq, u1 P L2pq.1Tambienu2` 2u `u1 fpx, tq en s0, Tru 0 en upx, 0q u0pxq en u1px, 0q u1pxq en (2)Considerando:unsubconjuntoabiertoyacotadobienregulardeRndefrontera.V Hp; q tv P L2pq; v P L2pqu con producto internoppu, vqq uvdx`uvdx y la norma }u} |u|2dx `|u|2dx1{2H L2pqconproductointerno pu, vq uvdxylanorma|u| |u|2dx1{2A 2f P L2p0, T; L2pqq;u0 P H10pq,u1 P L2pqymuchosotrosmodelos,porloqueestamosinteresadosenproporcionarunmo-deloabstractoqueabarquetodaslassituacionesanteriores.Motivadosporestoestudiaremoslaecuacionabstracta:u2` u `u1 f en Hupx, 0q u0pxq x P Vu1px, 0q u1pxq x P H(3)Considerandolas hipotesis antes mencionadas sedemuestralaexistencialocaldesoluciones debiles de3, empleandoel metododeFaedo- Galerkin, locualconsisteenhallarsolucionesparaaproximarlas, luegosehallanlasestimativascorrespondiente, supasajeal lmite, severicansuscondicionesinicialesypor ultimosuunicidad.2Captulo1PreliminaresCon la nalidad de obtener un mejor entendimiento de la exposicion, presentamosacontinuacionalgunosconceptosyresultadosimportantesenel desarrollodeltrabajo.1.1. Ecuaci ondiferencial parcialUna ecuaciondiferencialparcial(EDP)es una ecuacionmatematicaenvolviendoderivadasparciales,seaunaexpresiondelaforma:Fx1, , xn, u, BuBxi,B2uBxiBxj, ,BmuBxi1 Bxim 0 (1.1)Dondex px1, , xnqperteneceaalg undominio Rnyu: Resunafuncionconderivadashastaelordenmcuandoladerivadaparcialdeordenmasaltotieneordenm.Unadelasdistincionesmasfundamentalesentreecuacionesdiferencialesesaquellaentreecuacioneslinealesynolineales.Definicion1.1. DecimosquelaEDP(1.1)eslinealsi Feslinealenrelacionauyatodassusderivadasparciales,casocontrario,laEDPesnolineal.3Dependiendodel tipodelanolinealidad, lasEDP1snolinealessonclasicadasdelasiguienteforma:1. Ecuacionessemilineales:CuandoFesnolinealsolamenteconrelacionauperoeslinealconrelacionatodassusderivadasparciales.2. Ecuacionescuasilineales: CuandoFeslineal solamenteconrelacionalasderivadasparcialesdelordendelaecuacion.3. Ecuaciones totalmente no lineales: CuandoFes no lineal con relacion a lasderivdasparcialesdelordendelaecuacion.Enlatablasiguiente,algunosejemplosimportantesdeEDP1syclasicacion:NOMBRE ECUACION TIPOEcuaciondeltransporte ut `ux 0 Primerorden,linealEcuaciondeburgers ut `uux 0 Primerorden,cuasilinealEcuacioneikonal |u| 1 1er.orden,totalm.nolinealEcuaciondeLaplace u 0 Segundoorden,linealEcuaciondePoisson u fpxq SegundoordenlinealEcuaciondeHelmholtz u u Segundoorden,linealEcuaciondelcalor ut u Segundoorden,linealEcuaciondelaonda utt u Segundoorden,linealEcuaciondeSchrodinger iut ` u vpxqu Segundoorden,linealEcuaciondeKlein-Gordon utt u m2u Segundoorden,linealEcuaciondeltelegrafo utt ` 2dut uxxSegundoorden,linealEcuaciondePoissonnolineal u fpuq Segundoorden,semilinealEcuaccion de reaccion-difusion ut u `fpuq Segundoorden,semilinealEcuaciondeYamabe u Kpxqun`2n2Segundoorden,semilinealEcuaciondeBurgers(viscosa) ut `uux VuxxSegundoorden,cuasilineal4Ecuaciondelp-Laplaciano divp|u|p2uq 0 Segundoorden,cuasilinealEcuaci ondelasuperciemnima ut divu?1`|u|2 0 Segundoorden,cuasilinealEcuaciondeMonge-Ampere detpD2uq f Seg.orden,totalm.nolinealEcuaciondeAiry utt `uxxx 0 Tercerorden,linealEcuaci ondeKorteweg-deVries(kdv) ut `uux `uxxx 0 Tercerorden,cuasilinealEcuacionbiharmonica 2u 0 Cuartoorden,linealEcuaci ondevibraci ondelaplaca utt 2u CuartoordenlinealLamayoradelas ecuaciones diferenciales parciales surgendemodelos fsicos,unaparteimportantesurgedeproblemasenGeometraDiferencial.1.2. LosespaciosLppqConstruyamosloselementosdeLppq.SeaunsubconjuntoabiertodeRn,p P Rcon1 p 8,denotaremosLppq "u : R medible;|upxq|pdx `8*,elcualesunespaciovectorialconlasoperacionesusualesdefunciones.Denimoselfuncional:} }Lppq: Lppq Ru }u}Lppq |upxq|pdx1p.Resultaque }u}Lppqesunaseminorma.Sedicequeu vcasisiempreensiysolosiexisteM talque:upxq vpxq; @x P zMymedpMq 0.5ParaobtenerunanormasedeneunarelaciondeequivalenciaR:Seau, v P Lppq; uRv u vc.s. en DenotaremosporLppqelespaciococienteLppq LppqR trus;u P Lppqu,elcualesunespaciodeBanachconlanorma|rus|Lppq |upxq|pdx1p; u P Lppq.Observacion1.1. Siu P Lppq; rus uimplicaqueu P Lppq.Esdecir}u}Lppq |rus|LppqCuandop 2,L2pqesunespaciodeHilbertconelproductointernopu, vq upxqvpxqdx; u, v P L2pqsunormainducidaseradenotadapor}u}L2pq |upxq|2dx12; u P L2pqSedeneparap 8L8pq tu : R; medible y existe una constante c 0 tal que |upxq| Cc.t.p. en u,provistadelanorma}u}L8 nfxPtC 0, |upxq| Cc.t.p. en u,SidenimoselsupremoesencialcomosupessxP|upxq| nftC 0, |upxq| Cc.t.p. en u,tendremosque,}u}L8 supessxP|upxq|; u P L8pq.6Observacion1.2. Sea1 p `8,sedesignaporqelexponenteconjugadodep,esdecir,1p `1q 1.Teorema1.1(DesigualdaddeHolder). Seanu PLppqyv PLqpqcon1 p 8.Entoncesu.v P L1pq y|upxqvpxq|dx }u}Lp}v}LqDemostracion. VerH.Brezis[2]. Teorema1.2(DesigualdaddeMinkonwsky). Seanu PLppqyv PLqpqcon1 p 8.Entonces}u `v}Lp }u}Lp ` }v}LqDemostracion. VerAdams[1]. Teorema1.3. LppqesunespaciodeBanachparatodo1 p 8.Demostracion. VerH.Brezis[2]. Teorema1.4. Lppqesseparableyreexivoparatodo1 p 8.Demostracion. VerH.Brezis[2]. SeanV yWespaciosdeBanachconV Wcomosubespaciovectorial(proba-blementeconnormasdiferentes).Silaaplicaciondeinclusioni : V Wescontinua,denotamosV WdecimosqueV tieneinmersioncontinuaenW.EstoesequivalenteasiexisteC 0talque:}u}W C|u|v, @u P V,Teorema1.5. Sea Rnabiertoacotadocon1 p q 8.EntoncesLqpq Lppq y }u}Lppq }u}Lqpqpmedpqq1p1q7Demostracion. VerR.Adams[1]. Teorema 1.6(RepresentaciondeRieszparaLppq). Sea1 p 8yTPrLppqs1.Entoncesexistev P Lp1pqtal queparatodou P LppqTpuq upxqvpxqdxy}v}p1 }T}rLppqs1As: rLppqs1 Lp1pq.Demostracion. VerR.Adams[1]. Teorema1.7(Representacion de Riesz para L1pq).SeaT P rL1pqs1. Entoncesexistev P L8pqtal queparatodou P L1pqTpuq upxqvpxqdpxqy}v}8 }T}rL1pqs1 .As: rL1pqs1 L8pq.Demostracion. VerR.Adams[1]. Definicion1.2(Soportedefunciones). Sea Rnyu : R,elsoportedeu(en)eselconjuntosoppuq tx P ;upxq 0u.1.3. EspaciodelasFuncionesdePruebaSeaunsubconjuntoabiertodeRn, : R. Diremosquetienesoportecompacto en , si soppq es un conjunto de . Con C80 pq, denotamos el espacio8vectorial de funciones innitamente diferenciables en con soporte compacto en.AsC80 pq t : R; u es innitamente diferenciables ysoppq compacto u.Observacion1.3. Unmultindicededimensionnesunan-upladen umerosenteros no negativos p1, . . . , nq, el modulo del multindice sera denotadopor || ni1i,dadox px1, . . . , xnq PRn,porDrepresentamoseloperadordiferencialdeorden ||,denidopor:DD||Bx11 Bx22 Bxnncuando 0,denimos:D0 .Definicion1.3. Sealasucesion pq1 C80 pq. DiremosqueconvergeaenC80 pq;denotando , 8,si:i) ExisteuncompactoK talquesoppv q K, @v P N.ii) Dpv qconvergeuniformementeaceroenK, @ p1, . . . , nq PNn,esdecir,sopxPK |Dvpxq Dpxq| 0Luego el espacio vectorialC80 pq, dotado de esta convergencia es llamado elelespaciodelasFuncionesdePrueba,elcualesdenotadoconDpq.Dpq t : R; P C80 pq ysoppqu es compacto .1.4. El espaciodeDistribucionesUna distribucionT: Dpq R es una aplicacion lineal y continua (en el sentidodelaconvergenciaDpq),dondeesunabiertodeRn,esdecir,i) Tp `q Tpq `Tpq9ii) Si pq Dpq, PDpqtal que entoncesTpq Tpq(Tescontinua).ElespaciodedistribucionesesdenotadoconD1pq,enconsecuencia:D1pq tT: Dpq R;Tes lineal y continuauNotaci on1.1. SiT P D1pq,denotamosTpq xT, y; P Dpq.1.4.1. ConvergenciaenD1pqDiremosque pTq D1pqconvergeaT P D1pq,esdecir,T TenD1pqsi,ysolosi xT, y xT, yenR, @ P Dpq.1.4.2. LaderivacionenD1pqConsideremosunadistribucionT PD1pq, PNn,laderivadadeordendeTesdenidacomounafuncionallinealDTdenidoenDpqporxDT, y p1q||xT, Dy , @ P DpqNota1.1. Existen funcionales enLppq cuyas derivadas debiles no provienen deningunafunciondeLppq.Tal hechomotivaladeniciondeunaclasesignicativadeespaciosdeBanachdefunciones,conocidosconelnombredelosespaciosdeSobolev.1.5. EspaciosdeSobolevSeanm, p P N,denimoselespacioWm,ppq tu P Lppq; Du P Lppq, @|| mu.(Duenelsentidodistribucional)10Parap 2,sedenotaWm,2pq Hmpq,esdecirHmpq tu P L2pq; Du P L2pq, @|| mu.Llamadoel espaciodeSobolev(deordenn); conlasoperacionesusuales(declases)defuncionesesunespaciovectorial.Denimoslabilineal:pp , qqHmpq: Hmpq Hmpq Rpu, vq ppu, vqq ||mDuDvdxesunproductointernoenHmpq,queinducelanorma}u}Hmpq ||m|Du|2L2pq12HmpqesunespaciodeHilbert,comosepuedeverenL.Medeiros-Milla[10].Observacion1.4. Dpq}}Hmpq HmpqporloquedenimosHm0 pq Dpq}}Hmpq Hmpqquepordenicionesunsubespaciovectorialcerrado.Asu P Hm0 pqsiysolosiexisteunasucesion pq1 Dpqtalque uenHmpq.Teorema1.8(TeoremadePoincare-Friederick). Sea Rnabiertoacotado.EntoncesexisteC 0tal que|u|L2pq ni1BuBxiL2pq12, @u P H10pqDemostracion. VerH.Brezis[2] Observacion1.5. Sepruebadelteorema1.8queexistenconstantesC0,C1po-sitivastalque:C0|u|H1pq |u|L2pq C1|u|H1pq, @u P H10pq111.5.1. El espaciodual deHm0 pqSea Rnabierto acotado n P N, n 1, el espacio dual de Hm0 pq es el espacioHmpq pHm0 pqq1 tT: Hm0 pq R; Teslineal y continuau.ConlasoperacionesusualesdefuncionesHmpqesunespaciovectorial,conelfuncional:|T|Hmpq supessvPHm0pqv0|Tpvq||v|Hm0pqresulta queHmpq es un espacio normado completo (es un espacio de Banach).Nota1.2. T P Hmpqdenotamos xT; vy Tpvq.Observacion1.6. ElespaciodeSobolevWm,ppqesdeBanachconlanorma|u|Wm,ppq ||m|Du|pLppq1p, @u P Wm,ppq.Observacion1.7.Dpq Hm0 pq L2pq HmpqD1pqTeorema1.9(Meyer-Serrin).Wm,ppRnq Wm,p0pRnqDemostracion. VerR.Adams[1]. Teorema 1.10(Inmersiones de Sobolev). Sea Rnabiertoacotado, bienregular.Entoncesvalenlassiguientesinmersionescontinuas:i) Sin 2mentoncesHmpq Lppq,2 p 2mn2mii) Sin 2mentoncesHmpq Lppq,2 p `8iii) Sin 2mentoncesHmpq Ckpq,k m 1 n2Demostracion. VerE.Zeidler[15]. 121.6. DistribucionesenespaciosdeBanachSeaXunespaciodeBanach,T 0.Definicion1.4. Decimos queu :s0, Tr Xes una funcion simple (funcion esca-lon),si:uptq mj1Aiptqxi,donde xi PX, i 1, 2, , myAies lafuncioncaractersticadel conjuntomedibleseg unLebesgue.Definicion1.5. Decimosqueu:s0, TrXesunafuncionmedibleBochner,siexiste punqPNunasucesiondefuncionessimplestalque:lmn8|unptq uptq|X 0, c.t.p en s0, TrDefinicion1.6. Dadalafuncionsimpleu : s0, Tr Xu uptq mj1AiptqxiDenimoslaintegraldeBochnerdeumediantelarelacion:T0uptqdt mj1xi med Ai P XDefinicion1.7. Decimosqueu:s0, TrXesdeBochnerintegrable, si existeunasucesiondefuncionessimples punqnPNtalque:i) Laaplicaciont }unptq uptq}XesLebesgueintegrable @n P N.ii) Si lmn8T0|unptq uptq|Xdt 0.131.7. LosEspaciosFuncionalesLpp0, T; V qSea1 p `8yV unespaciode Banachseparable (estopor cuestionestecnicas).Denimoselespacio:Lpp0, T; V q $&%u :s0, Tr V ; u es medible de Bochner yt }uptq}V P Lpp0, Tq,.-$&%u :s0, Tr V ; u es medible de Bochner yT0}uptq}PV 8,/./-conlasoperaciones usuales a clasesde funcionesLpp0, T; V q es unespaciovecto-rial.Luegoelfuncional:}u}Lpp0,T;V q T0}uptq}pVdt1p,en Lpp0, T; V q dene una norma, para 0 p 8resulta que pLpp0, T; V q; }u}Lpp0,T;V qqesunespaciodeBanach.Asmismoparap 2,yV esunespaciodeHilbert.EntoncesL2p0, T; V qesunespaciodeHilbert,conelproductointernopu, vqL2p0,T;V q T0puptq, vptqqV 1Vdt.Estabiendenido,puestoquet puptq, vptqqesLebesguemedibleyT0puptq, vptqqV1Vdt T0}uptq}V}vptq}VdtT012}uptq}2Vdt `T012}vptq}2Vdt 8lacualinducelanormaBOCHIANA(deBochner)}u}L2p0,T;V q T0}uptq}2Vdt12.14Paraelcasop `8denimos:L8p0, T; V q $&%u :s0, Tr V ; u es medible de Bochner y}u}L8 supesstPs0,Tr|uptq|V 8,/./-ElcualconlasoperacionesusualesesunespaciodeBanachconlanorma}u}L8p0,T;V q supesstPs0,Tr|uptq|VNota1.3. EnamboscasosLpp0, T; V qesunespaciodeBanach.Teorema 1.11.Si Ves un espacio de Banach, y 0 T 8. Entonces Lpp0, T; V qesseparableenel casoqueV seaseparabley1 p 8.Demostracion. VerE.Zeidler[15]. Teorema 1.12. SeanV,Hdos espacios de Banach, si lainmersionV Hes continua. Entonces paratodo1 q p 8, lainmersionLpp0, T; V q Lqp0, T; Hqestambiencontinua.Demostracion. VerE.Zeidler[15]. Teorema1.13. SiV esunespaciodeBanach,elespaciodualdeLpp0, T; V qesisomorfoal espacioLqp0, T; V1qdonde1p `1q 1y1 p,q 8.Demostracion. VerE.Zeidler[15]. Mayores detalles sobre los espacios Lpp0, T; V q pueden ser encontrados en el librodeE.Zeidler[15].151.8. DistribucionesVectorialesSeau P Lpp0, T; V q,1 p `8,dondeV esunespaciodeBanachdenimoslaaplicacionTu: Dp0, Tq V Tupq xTu, y T0uptqptqdt.en el sentido de BochnerLacualestadenida,eslinealycontinua.i) TuestabiendenidaVeamos:| xTu, y | T0|uptqptq|dtt0}uptq}V|ptq|dt maxtPK|ptq|Ksoppq}uptq}Vdt CKt0}uptq}Vdt CKt0p1q1p1dtt0}uptq}Vdt1p, para 1 p `8 CKpTq1p1}u}Lpp0,T;V q `8ii) Tueslinealycontinua.Tueslineal;enefecto,porlalinealidaddelaintegralVeamoslacontinuidaddeTuSealasucesion pvqv1 Dp0, Tqtalquev 0enDp0, Tq.Esdecir:ExisteK r0; Tscompactotalquesoppvq K, @v 116Dv 0uniformementeenK @v P Nsetieneque| xTu, vy | T0uptqvptqdtt0|uptq||vptq|dt maxtPK|vptq|K}uptq}Vdt pTq1p1}u}Lpp0,T;V qmaxtPK|vptq| 0puestoque }u}Lpp0,T;V q 8yDv 0uniformementeenK.Porlotanto | xTu, vy | 0enRpuestoque }u}Lpp0,T;V q 8yDv 0uniformementeenKporlotanto | xTu, vy | 0enRLuegoTuescontinua.Aspodemosconstruirelespacio:D1p0, T; V q tT : Dp0, Tq V ; T es lineal y continuaudondeD1p0, T; V qesllamadoel espaciodelasdistribucionesvectorialesconva-loresenV denidassobre s0; Tr.1.8.1. DerivacionenD1p0, T; V qDadaunadistribucionvectorialu P D1p0, T; V q,denimosladerivadaenelsen-tidodelasdistribucionesvectoriales,denotandoporu1odudtcomo:Bdudt, F Bu, ddtF @ P Dp0, Tq, en V.engeneralladerivadadeordennsedenecomo:Bdpnqpuqdtn, F p1qnBu, dpnqdtnF @ P Dp0, Tq, en V.17Enparticulartodoelementou P Lpp0, T; V qposeederivadadetodoslosordenesenelsentidodelasdistribucionesvectorialessobre s0; Tr.1.9. DenicionesdeConvergenciasSeaV unespaciodeBanachyV1suespaciodual.1. Una sucesion puq1 V , se dice que converge fuertemente enV , si existeu P V ;|u u|V 0, si `82. Unasucesion puq1 V , convergedebilmenteenV , si existeu PV talquexv, uyV 1V; @v P V1enestecasodenotaremosu u.3. Unasucesion puq1 V1,convergedebilestrellaenV1,siexisteu P V1;xu, wyV1V xu, wyV1V; @w P Venestecasosedenotau u.1.10. ResultadosImportantes1.10.1. OperadoreslinealesSeanEyFdos espacios vectoriales normados, se designa con LpE, Fq el espaciodeoperadoreslinealesycontinuosdeEenF.AsLpE, Fq tT: E F; Tes lineal y continuau18conlasoperacionesusualesdeunespaciovectorial,conelfuncional:|T|LpE,Fq supxPEx0|Tx|F|x|Eresultaque pLpE, Fq; | |LpE,Fqqesunespaciodenormado.EnelcasoenqueE F,denotaremosLpE, Fq LpEq.Observacion1.8.i) SiT: E Fesunaaplicacionacotadaentonces @A Eacotado,TpAqesacotadoenF.ii) T : EF es lineal ycontinuasi ysolosi, existe unM0tal que|Tx|F M|x|E, @x P E.MayoresdetallesverH.Brezis[2].1.10.2. El espaciodualSea E un espacio de normado, se denomina el espacio dual del espacio de normadodeE.DenotadoE1a:E1 tf: E R; fes lineal y continuauconelfuncional:f|E1 supxPEx0| xf, xy ||x|E supxPEx0| xf, xy |Paraf P E1,denotamosfpxq xf, xyE1E.Teorema1.14. E1esunespaciodeBanach.Demostracion. VerKosakuYosida[8]. Observacion1.9. ElteoremanoexigequeEseaunespaciodeBanach.191.10.3. OperadorHilbertAdjuntoSean H1 y H2 dos espacios de Hilbert, A P LpH1, H2q. El operador Hilbert AdjuntoA1deAeseloperadorA1: H1 H2tal que pAx, yq px, A1yq @ x P H1y y P H2Teorema1.15(Teoremadeexistencia). El operadorHilbert AdjuntoA1deAexisteyes unico.A1P LpH1, H2q,queverica |A1| |A|.Demostracion. VerR.E.Showalter[14] Definicion1.8. SeaHunespaciodeHilbert. UnoperadorA PLpHqsedicequeesautoadjunto(ohermitiano),si:A1 ADefinicion1.9. SeaHunespaciodeHilbert. UnoperadorA PLpHqsedicequeessimetricosi:pAx, yq px, Ayq @x, y P HObservacion1.10. SiAesautoadjuntoysimetricotenemos:pTx, yq px, T1yq px, Tyq pTy, xqDefinicion1.10. SeaHunespaciodeHilbert. UnoperadorA PLpHqsedicequeescoercivosi:D c 0, tal que pAx, xq c|x|2@x P HTeorema1.16. SupongamosqueV seaseparable, seaAunoperadorcompactoyautoadjunto, entoncesV admiteunabasehilbertianaformadaporlovectorespropiosdeADemostracion. VerH.Brezis[2] 201.10.4. FormasbilinealesConsideremoselespaciodeHilbertV real,dotadodelproductointerno pp , qqylanorma } },sedicequeunaformabilineala : V V Res:i) Continua:si D 0, |apu, vq| }u}}v} @u, v P Vii) Coercivo:Si D 0, apu, uq }u}2@u P Viii) Simetrico:Si apu, vq apv, uq @u, v P VTeorema1.17. SeaV unespaciodeHilbertreal separable.dotadodel productointerno pp , qqylanorma } }, entoncesexisteunacorrespondenciaunoaunoconel operadorlineal continuoyautoadjuntoA: VV1ylaformabilineala : V V R,continuasimetricaycoerciva,lacual esdadapor:xAu, vyV1V apu, vq @u, v P VDemostracion. VerE.Zeidler[15]. Teorema1.18(Teorema Espectral).SeanVyHespacios de Hilbert (Vsepara-ble)consusrespectivasestructuras tV ; pp , qq, } }uy tH; p , q, | |uconinmersionV Hcompactaydensa. Si A: V V1es unoperador lineal continuoyautoadjunto,denidoxAu, vyV1V apu, vq @u, v P Vconapu, vqunaformabilineal continuasimetricaycoerciva.Entoncesi) Existe un sistema ortonormal completo pwiqiPNformado por los vectores pro-piosdel operadordel operadorA.21ii) Losvalorespropiosiasociadosawiformanunasucesi onnodecreciente0 1 2 3 i 8ycumplelarelacionapwi, vq xAwi, vyV1V ipwi, vq @u, v P V.Demostracion. VerE.Showalter[14]. Observacion1.11. Si apu, vq ppu, vqqVcumplelascondicionesdel teoremaanterior,tenemosppu, vqqV xAu, vyV1V ipu, vqH @u, v P HSeaA: VWunoperadorlineal, conV,WespaciosdeHilbert, entonceslasdoscondicionessiguientessonequivalentesi) Aesacotado,siexisteunaconstante 0talque}Au} }u}ii) Aescontinua, esdecir un uconn 8, implicaAun Au, cuandon 8.Teorema1.19.SeaV,Wespacios de Hilbert, siA : V Wes lineal y continuaentoncesAesdebil sucesi onycontinua, esdecirun uconn 8, implica.Aun Au,cuandon 8Teorema1.20 (Teorema de Caratheodory).Sea Rn`1abierto y f: Rntal quesatisfacelassiguientescondicionessobre.i) fpt, xqesmedibleentparacadaxjo.ii) fpt, xqescontinuaenxparacadatjo.22iii) Paracadaconjunto Kcompactode , existe unafunci onreal integrablemKptqtal que|fpt, xq|Rn mKptq, @pt, xq P KEntoncesel problema$&%x1ptq fpt, xqxpt0q x0tienesolucionparacualquier pt0, x0q P Demostracion. VerCoddington-Levinson[4]. Teorema1.21(Teorema de Lions-Aubin).SeanB0,ByB1espacios de BanachconB0yB1reexivos, si B0B1ylainmersiondeB0enBes compacta,entoncesparatodo1 p0, p1 8,T 0setieneel espacioW tv;v P Lp0p0, T; B0q, v1dvdt P Lp1p0, T; B1qudotadodelanorma}v}2Wr0,Ts }v}2Lp0p0,T;B0q ` }v1}2Lp1p0,T;B1qes un espacio de Banach reexivo y la inmersionW Lp0p0, T; Bq es compacta.Demostracion. VerJ.Lions[9]. Lema1.1(deGronwall). Seaz zptq,z 0 pz P L1p0, Tqqtal quezptq K1 `K2t0zpsqds, @t P p0, Tq,entonceszptq K1 exppK2tq, @t P p0, Tq.Demostracion. VerJ.M.Sotomayor[13] 23Teorema 1.22 (Teorema de Rellich).Sea un abierto y acotado de Rn, entonceslainmersionHm`10enHm0escompacta.Demostracion. VerL.Medeiros-M.Milla[10]. Teorema1.23. SeanV,HespaciosdeBanachydeHilbertrespectivamenteconV H H1 V1consideremosel espaciodeBanachWpp0, Tq tu P Lpp0, T; V q,u1P Lp1p0, T; V1quconlanorma}u}Wpp0,Tq }u}Lpp0,T;V q ` }u1}Lp1p0,T;V1qSetienei) Wpp0, Tq Cpp0, Tq; Hq; D c0 0{|u|Cpp0,Tq;Hq c0}u}Wpp0,Tq @u P Wpp0, Tqii) Si u P Wpp0, Tq entonces la aplicaci on t |uptq|2Hes absolutamente continuaen r0, Tsysevericalosiguiente:ddt|uptq|2H 2 xu1ptq, vptqyDemostracion. VerE.Zeidler[15]. 24Captulo2SolucionesDebilesEnestecaptulodedicadoaprobarlaexistenciayunicidaddesolucionesdebilesparaelsiguienteproblemau2`Au `u1 f en Hup0q u0en Vupp0q u1en H(2.1)conu0 P v, u1 P Hy f P L1p0, T; Hq acotado (2.2)Donde A : V V1un operador lineal, acotado, autoadjunto, simetrico y coercivo;V yHdos espacios de Hilbert separable real tal que V Hconinmersioncontinua,compactaydensa.Definicion2.1. Unafuncionu :s0, Tr Hsatisfaciendou P L8p0, T; V qu1P L8p0, T; Hqu2P L8p0, T; V1qesllamadasoluciondebildelproblema(2.1),siparatodo P V ,setieneddtpu1ptq, q ` pAuptq, q ` pu1ptq, q pfptq, q25enelsentidodelasdistribucionessobre s0, Tryademasup0q u0y u1p0q u1Teorema2.1. Satisfaciendolascondiciones(2.2). Entoncesel problema(2.1)admiteuna unicasoluciondebil enel sentidodeladenicion2.1.Demostraciondel Teorema2.1.Paraprobarlaexistenciadesoluciondebil mdel problema(2.1)utilizaremoselmetododeFaedo-Galerkinqueconsistedelassiguientesetapas:(i) Aproximaciones de Galerkin, que consiste en proyectar el problema de subes-paciosdedimensionnitaobteniendoel problemaaproximado. Esteasuvez es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con valores inicialescuyaexistenciadesolucionlocalseragarantizadaporelteoremadeCarat-heodory.(ii) Estimativasapriori, queconsistequeatravesdelaecuacionaproximadaencontrarlmitesparalasolucionysusderivadas.(iii) Pasajeallmite,queconsisteendemostrarquelassolucionesaproximadasconvergenparalasoluciondelproblemaoriginal.(iv) Vericaciondelosdatosiniciales, queconsisteenvericarquelasolucionobtenidaenlaetapaanteriorsatisfacelosdatosiniciales.Sea pwjqjPNlasautofuncionesdeloperadorlinealA,esdecir,solucionesdelpro-blemaespectralppj, vqq jpj, vq; @v P V ; j P N2.1. ProblemaAproximadoComoV yHsonespaciosdeHilberttal queVHconinmersioncontinua,compactaydensa.26SiendoV separable.Sea pjqjPNunabaseHilbertianadeV ;esdecir:i)}j} 1 @j P Nppi, jqq 0 @i jii) Elespaciovectorialgeneradoporlos pjqjPNesdensoenV .Laexistenciadelos pjqjPNestagarantizadaporelteoremaespectral.Param P N,consideremosVm r1, 2, , msEl subespaciodeV dedimensionnitageneradoporlosmprimerasautofun-cionesdelabase.Denamosumptq mj1gjmptqjP Vm(2.3)Dondelasfuncionesgjmptqsonescogidasdemodoque pumqmPNseasoluciondelsiguientesistemadeecuacionesdiferencialesordinarias.pu2mptq, q ` pAumptq, wq ` pu1mptq, q pfptq, q; P Vm(2.4)concondicionesinicialesump0q u0m u0en V (2.5)u1mp0q u1m u1en H (2.6)Ahorade(2.3)y(2.4)ysi i @ i 1, 2, , m.Obtenemosmj1g2jmptqj, i`Amj1gjmptqji`mj1g1jmptqj, i pfptq, iq; i P Vm(2.7)Sesiguede(2.7)mj1g2jmptqpj, iq `mj1gjmptqpAj, iq `mj1g1jmptqpj, iq pfptq, iq27g2jmptqpi, iq `gimptqpAi, iq `g1impi, iq pfptq, iqg2imptq `igimptq `g1imptq pfptq, iq, @i 1, 2, , m (2.8)Luegoelsistema(2.8)admitesolucionen r0, Tmr,0 Tm T;esdecirg21mptq `1g1mptq `g11mptq pfptq, 1qg22mptq `2g2mptq `g12mptq pfptq, 2q...g2mmptq `mgmmptq `g1mmptq pfptq, mq(2.9)Ordenandomatricialmente(2.9)obtenemosg21mptqg22mptq...g2mmptqm1`10 00 2 0.........0 0 mmmg1mptqg2mptq...gmmptqm1pfptq, 1qpfptq, 2q...pfptq, mqm1(2.10)Denotandoen(2.10)Y ptq g1mptqg2mptq...gmmptqm1; B 10 00 2 0.........0 0... mmm; Fpt, Wq pfptq, 1qpfptq, 2q...pfptq, mqm1Luegoelsistema(2.8)seradelaformaY2ptq `BY ptq `Y1ptq Fpt, Wq (2.11)Porotrolado:1) Supongamosqueump0q u0m,Comou0 P V .EntoncesUmp0q mj1gjmp0qjy u0m mj1puo, jqjDedondetenemosgjmp0q pu0, wjq 1 j m282) Supongamosqueu1mp0q u1m,comou1 P H.Entoncesu1mp0q mj1g1jmp0qjy u1m mj1pu1, jqjDedondetenemosg1jmp0q pu1, jq 1 j mLuegode1)y2)tenemosY p0q g1mp0qg2mp0q...gmmp0qm1pu0, 1qpu0, 2q...pu0, mq Y0Y1p0q g11mp0qg12mp0q...g1mmp0qm1pu1, 1qpu1, 2q...pu1, mq Y1ObtenemoselsistemaY2ptq BY ptq ImmY1ptq `Fpt, WqY p0q Y0Y1p0q Y1(2.12)EntoncesY2ptq BY ptq ImmY1ptq `Fpt, WqY1ptq mmY ptq `ImmY1ptq `mmY p0q Y0Y1p0q Y1(2.13)Donde :MatriznulammImm:Matrizidentidadmm29Tomandoxptq Y1ptqY ptq2m1Supongamosquexptqseasolucionde(2.13).EntoncesY2ptqY1ptq2m1I BI 2m2mY1ptqY ptq2m1`Fpt, wq2m1(2.14)DelocualG I BI 2m2m; Fpt, wq Fpt, wq2m1xp0q y1p0qyp0q2m1y1y02m1 x0Luegoelsistema(2.13)sepuedeescribirx1ptq Gxptq `Fpt, wqxp0q x0(2.15)ConsiderandoT: R2m R R2mtalqueTpx, tq Gxptq ` Fpt, wqyreempla-zandoen(2.15).Obtenemosx1ptq Tpx, tqxp0q x0(2.16)Mostraremosqueel sistema(2.16)cumplelascondicionesdel TeoremadeCa-ratheodory.SeaE r0, `8r,dondeD tx P R2m: }x}R2m uconunaconstantepositivayx0 P DVeamos30a) Tpx, tq es medible en t para x jo. En efecto jando x obtenemos que Tpx, tq esconstante, como toda funcion constante es medible; entonces Tpx, tq es medibleparat Ps0, Tr.b) Tpx, tqescontinuaenxparatjo. Enefectosi tesjoentoncesxtambienesjo;luegoTpx, tqesconstanteportantocontinuaenx.c) ParacadacompactoKdeEexisteunafuncionrealintegrableIxptq,talque}Tpx, tq}R2m Ixptq; @px, tq P KEnefectoComox P D,tenemos }x}R2m .Entonces}Tpx, tq}R2m }Gxptq `Fpt, wq}R2m}Tpx, tq}R2m }Gxptq}R2m ` |}Fpt, wq}|R2mR2m}Tpx, tq}R2m |}G}|R2mR2m}x}R2m ` |}Fpt, wq}|R2mR2m}Tpx, tq}R2m |}G}|R2mR2m ` |}Fpt, wq}|R2mR2m}Tpx, tq}R2m ` IkptqDonde |}G}|R2mR2m; |}Fpt, wq}|R2mR2mComo Ikptq es unaconstante enuncompacto Kde E. Entonces Ikptq esintegrableparatodot 0.Podemos concluir que el problema (2.16) satisface las condiciones del Teorema deCaratheodory. Deestaforma, existexsolucionen r0, Tmr; Tm Typortantoumessoluciondelproblemaaproximado(2.4)-(2.6)enelintervalo r0, Tmr.Suextensional intervalo r0, Ts esconsecuenciadelasestimativasapriori queseguiremosacontinuacion.312.2. EstimativasaPriori2.2.1. PrimeraEstimativaaPrioriEn(2.4)tomando u1mptq P Vm.Obtenemospu2mptq, u1mptqq ` pAumptq, u1mptqq ` pu1mptq, u1mptqq pfptq, u1mptqq12ddt|u1mptq|2`12ddtpAumptq, umptqq ` |u1mptq|2 pfptq, u1mptqq12ddtt|u1mptq|2` pAumptq, umptqqu ` |u1mptq|2` pfptq, u1mptqqIntegrandode0at;t Ps0, Tmr,Tm T|u1mptq|2`pAumptq, umptqq`2t0|u1mptq|2dt |u1mp0q|2`pAump0q, ump0qq`2t0pfptq, u1mptqqdt|u1mptq|2`pAumptq, umptqq`2|u1m|2L2p0,T;Hq|u1m|2`pAu0m`u0mq`2t0pfptq, u1mptqqdt|u1mptq|2`pAumptq, umptqq`2|u1m|2L2p0,T;Hq|u1m|2`pAu0m, u0mq`2t0|fptq||u1mptq|dt(2.17)Observacion2.1.|u1m|2` pAu0m, u0mq c1dondec1constantearbitrariaEnefecto(a) u1m u1enH;sim 8.Entonces|u1m| |u1|enREntonces pu1mqesacotadoEsdecir,|u1m| c0; c0 0 (2.18)32(b) u0m uoenV ,sim 8.Entonces}u0m} }u0}enREntonces pu0mqesacotadoEsdecir,}u0m} c0; c0 0 (2.19)Luego(c)pAu0m, u0mq |Au0m||u0m| (2.20)Nota 2.1.Como A : V V1operador lineal acotado, es decir, D M1 0 { |Au| M1yV Hconinmersioncontinua,esdecir, D M2 0 { |u| M2}u} @u P V .PorNota2.1en(2.20)tenemospAu0m, u0mq M1M2}u0m} (2.21)Por(2.19)en(2.21),tenemospAu0m, u0mq M1M2 c0pAu0m, u0mq c1(2.22)Donde c1 M1M2 c0; c1 0Por(2.18)y(2.22),obtenemos|u1m|2` pAu0m, u0mq c1Dondec1 c0 ` c1; c1 0Observacion2.2. Sabemosque|a||b| 12|a|2`12|b|2Entonces|fptq||u1mptq| |fptq|1{2p|fptq|1{2|u1mptq|q 12|fptq| `12|fptq||u1mptq|233Integrandode0at,t Ps0, Tmr,Tm T.Obtenemost0|fptq||u1mptq|dt 12t0|fptq|dt `12t0|fptq||u1mptq|2dtt0|fptq||u1mptq|dt 12t0|fptq|dt `12t0|fptq||u1mptq|2dtObservacion2.3.t0|fptq|dt |f|L1p0,T;Hq c2Dondec2esunaconstantearbitrariaLuegoporlaobservacion2.1,2.2y2.3en(2.17).Obtenemos|u1mptq|2` pAumptq, umptqq ` 2|u1m|2L2p0,T;Hq c1 `c2 `t0|fptq||u1mptq|2dt|u1mptq|2` pAumptq, umptqq ` 2|u1m|2L2p0,T;Hq c3 `t0|fptq||u1mptq|2dt|u1mptq|2` pAumptq, umptqq c3 `t0|fptq||u1mptq|2dt (2.23)Denotemosmptq |u1mptq|2` pAumptq, umptqqVemosquemptq 0|u1mptq|2 mptq (2.24)Entoncesen(2.23),tenemosmptq c3 `t0|fptq||u1mptq|2dt (2.25)De(2.24),obtenemost0|fptq||u1mptq|dt t0|fptq|mptqdt (2.26)34De(2.26)en(2.25),obtenemosmptq c3 `t0ptqmptqdtDonde |fptq| ptqPorLemadeGronwallen(2.26)tenemosmptq c4 expt0psqdsmptq c4 expT0psqdsEsdecir|u1mptq|2` pAumptq, umptqq c4 expT0psqds c5PorcoercividaddeAtenemos|u1mptq|2`}umptq}2 c5 @t Ps0, Tm; Tm TrObservacion2.4. Enladesigualdadanteriorc5 0esindependientedemyt,luego por el teorema de prolongamiento de soluciones de ecuaciones diferencialesordinarias,seobtienequeesposibleprolongarlasolucionumalintervalo r0, Ts,esdecir|u1mptq|2`}umptq}2 c5 @t P r0, TsAstenemosquepumq esta acotado en L8p0, T; V q (2.27)pumq esta acotado en L8p0, T; Hq (2.28)2.2.2. SegundaEstimativaaPrioriEn(2.4)tomando u2mptq P Vm,obtenemospu2mptq, u2mptqq ` pAumptq, u2mptqq ` pu1mptq, u2mptqq pfptq, u2mptqq|u2mptq|2 |pAumptq, u2mptqq| ` pu1mptq, u2mptqqq ` |pfptq, u2mptqq||u2mptq|2 |Aumptq||u2mptq| ` |u1mptq||u2mptq| ` |fptq||u2mptq| (2.29)35Nota2.2. Comof P L1p0, T; Hqacotado,esdecir,D c6 0 tal que |fptq| c6 @t P r0, TsEntoncesconsiderandonota2.1y2.2,ademasporlaprimeraestimativaapriori(2.28)en(2.29),obtenemos|u1mptq|2 M1|u2mptq| `c5|u2mptq| `c6|u2mptq|SeaR M1 `c5 `c6.Luegodeladesigualdadanteriortenemos|u2mptq| R; 0 t T (2.30)Nota2.3. Pordualidad, si identicamosHconsudual H1, graciasal teroemaderepresentaciondeRieszobtenemosV H H1V1dondecadaespacioesdensoenelsiguienteylasinmersionessoncontinuas.Entonces,considerandonota2.3en(2.30)tenemos}u2mptq}V1 c3@t P r0, TsAstenemosquepu2mptqq esta acotado en L8p0, T; V q (2.31)2.3. Pasajeal LmiteDelaprimeraestimativaapriori(2.27)y(2.28)podemosasegurarlaexistenciadeunasubsucesion pumkqkPNdelasucesion pumqmPN,talqueum u en L8p0, T; V q (2.32)u1m u1en L8p0, T; Hq (2.33)De(2.32),paratodo P L1p0, T; V qtenemosxumptq, yL8p0,T;V qL1p0,T;V1q xuptq, yL8p0,T;V qL1p0,T;V1q36T0xumptq, yV V1 dt T0xuptq, yV V1 dtT0ppumptq, qqdt T0ppuptq, qqdtT0pAumptq, qdt T0pAuptq, qdtEnparticulartomandoptq ptqv; P Dp0, Tq, v P Vec234T0pAumptq, vqptqdt T0pAuptq, vqptqdt (2.34)Observacion2.5.pAumptq, vq P L1ocp0, Tq para todo v P VEnefectoSeaK s0, TrunconjuntocompactotalqueK|pAumptq, vq|dt K|Aumptq||v|dt |v|k|Aumptq|dtk|pAumptq, vq|dt |v|T0|Aumptq|dt 8PorlotantopAumptq, vq P L1ocp0, TqEntoncesconsiderandolaobservacion2.5en(2.34)tenemosxpAumptq, vq, yD1p0,TqDp0,Tq xpAuptq, vq, yD1p0,TqDp0,Tq @ P Dp0, TqEsdecirpAumptq, vq pAuptq, vq @v P Ven D1p0, Tq (2.35)De(2.33),paratodo P L1p0, T; H1qtenemosxu1mptq, yL8p0,T;HqL1p0,T;H1q xu1ptq, yL8p0,T;HqL1p0,T;H1qT0xu1mptq, yHH1 dt T0xu1ptq, yHH1 dt37T0pu1mptq, qdt T0pu1ptq, qdtEnparticulartomandoptq ptqv; P Dp0, Tq, v P VT0pu1mptq, vqptqdt T0pu1ptq, vqptqdt (2.36)Observacion2.6.pu1mptq, vq P L1ocp0, Tq para todo v P VEnefectoSeaK s0, TrunconjuntocompactotalqueK|pu1mptq, vq|dt K|u1mptq||v|dt |v|K|u1mptq|dtK|pu1ptq, vq|dt |v|T0|u1mptq|dt 8Porlotantopu1mptq, vq P L1ocp0, TqEntonces,considerandoobservacion2.6en(2.36)tenemosxpu1mptq, vq, yD1p0,TqDp0,Tq xpu1ptq, vq, yD1p0,TqDp0,Tq@ P Dp0, TqEsdecirpu1mptq, vq pu1ptq, vq @v P Ven D1p0, Tq (2.37)Ahoraporcontinuidaddeloperadorderivacionen(2.37)ddtpu1mptq, vq ddtpu1ptq, vq@v P Ven D1p0, Tq (2.38)Observacion2.7. Enresumentenemosde(2.29),(2.31)y(2.32)i) pAumptq, vq pAuptq, vqii) pu1mptq, vq pu1ptq, vq38iii)ddtpu1mptq, vq ddtpu1ptq, vqParatodov P V enD1p0, TqConestas convergencias veamos el pasoal lmite de laecuacionaproximada,jamosunm0 PNytomamosm m0; multiplicamoslaecuacionaproximadaporptq P Dp0, Tqeintegramosde0aTT0pu2mptq, vqptqdt`T0pAumptq, vqptqdt`T0pu1mptq, vqptqdt T0pfptq, vqptqdt(2.39)IntegrandoporpartesT0pu2mptq, vqptqdt pu1mptq, vqptq |T0 T0pu1mptq, vq1ptqdtT0pu1mptq, vqptqdt pumptq, vqptq|T0 T0pumptq, vq1ptqdtComo P Dp0, Tq,entoncesp0q pTq 0Luegoen(2.39)T0pu1mptq, vq1ptqdt`T0pAumptq, vqptqdtT0pumptq, vq1ptqdt T0pfptq, vqptqdtxpu1mptq, vq, 1y ` xpAumptq, vq, y xpumptq, vq, 1y xpfptq, vq, yBddtpu1mptq, vq, F` xpAumptq, vq, y ` xpu1mptq, vq, y xpfptq, vq, y (2.40)Aplicandoloslmitesdelaobservacion2.7en(2.40),obtenemosBddtpu1ptq, vq, F`xpAuptq, vq, y`xpu1ptq, vq, y xpfptq, vq, y @v P Vm0; P Dp0, TqEntoncesddtpu1ptq, vq ` pAuptq, vq ` pu1ptq, vq pfptq, vq @v P Vm0en D1p0, TqComoVm0esdensoenH.Entoncesddtpu1ptq, vq ` pAuptq, vq ` pu1ptq, vq pfptq, vq @v P Hen D1p0, TqLoquedemuestraqueuptqessoluciondebildelproblema(2.1).392.4. Vericaci ondelosDatosInicialesConsiderando las convergencias en (2.32), (2.33) y aplicando el mismo criterio enlasegundaestimativaapriori(2.31)obtenemosqueu P L8p0, T; V qu1P L8p0, T; Hqu2P L8p0, T; V1qAsu P tv P L8p0, T; V q; v1P L8p0, T; V1qu Cpr0, Ts; V qu1P tv P L8p0, T; Hq; v1P L8p0, T; H1qu Cpr0, Ts; HqLuegotienesentidoup0qyu1p0q2.4.1. Vericaciondeup0q u0Seanv P V y P C1pr0, Ts, RqtalquepTq 0yp0q 1De(2.32)implicaqueT0pumptq, vq1ptqdt T0puptq, vq1ptqdt (2.41)De(2.33)implicaqueT0pu1mptq, vqptqdt T0pu1ptq, vqptqdt (2.42)Sumando(2.41)y(2.42)tenemosqueT0ddtrpumptq, vqptqsdt T0ddtrpuptq, vqptqsdtComopTq 0,entoncespump0q, vqp0q40Comop0q 1,entoncespump0q, vq pup0q, vq; v P V (2.43)Porhipotesisump0q u0enV ;m 8osea pump0q, vq pu0, vq; v P V (2.44)De(2.43)y(2.44)ylaunicidaddelmitepup0q, vq pu0, vq; v P VPortantoup0q u02.4.2. Vericaciondeu1p0q u1Seanv P V y P C1pr0, Ts, RqtalquepTq 0yp0q 1De(2.23)implicaqueT0pu1mptq, vqptqdt T0pu1ptq, vqptqdtPorlacontinuidaddeladerivacionT0ddtrpu1mptq, vqptqsdt T0ddtrpu1ptq, vqptqsdtComopTq 0.Entoncespu1mp0qqp0q pu1p0q, vq v P VComop0q 1.Entoncespu1mp0q, vq pu1p0q, vq v P V (2.45)Porhipotesisu1m u1enH;m 8osea pu1mp0q, vq pu1, vq; v P V (2.46)41De(2.45),(2.46)ylaunicidaddelmitepu1p0q, vq pu1, vq v P VPortantou1p0q u1Deestamaneraobtenemos unasolucionlocal para(2.1) denidasobre r0, Ts.Acontinuaciondemostraremoslaunicidaddelasolucionlocalcomoloindicaelteorema2.1.2.5. UnicidadSupongamosqueuyusonsolucionesdadasporelTeorema2.1.Luego,de(2.1)setieneu2`Au `u1 fu2`Au `u1en Hup0q u0 up0q en Vu1p0q u1 u1p0q en H(2.47)Seaptq uptq uptqentoncesde(2.47)ydeu PL8p0, T; V q,u1PL8p0, T; Hqyu2P L8p0, T; V1q.Tenemos2ptq `Aptq `1ptq 0 en Hp0q 0 en Vpp0q 0 en H(2.48)Talque P L8p0, T; V q, 1P L8p0, T; Hq y 2P L8p0, T; V1qPorotrapartetomando 1ptq;vemosque2p2ptq, 1q ` 2pAptq, 1q ` 2p1ptq, 1q 0ddt|1ptq|2`ddtpAptq, q ` 2|1ptq|2 0ddtt|1ptq|2` pAptq, qu ` 2|1ptq|2 042Integrandode0aT|1ptq|2` pAptq, q ` 2T0|1ptq|2dt 0|1ptq|2` pAptq, q ` 2|1|2L2p0,T;Hq 0PorlacoercividaddeA,tenemos|1ptq|2`}ptq}2` 2}1}2L2p0,T;Hq |1ptq|2` pAptq, q ` 2|1|2L2p0,T;Hq|1ptq|2`}ptq}2` 2|1|2L2p0,T;Hq 0Setiene|1ptq|2 0; }ptq}2 0; |1|2L2p0,T;Hq 0Portanto}ptq} 0ptq 0uptq uptq 0uptq uptqu uAsquedademostradolaunicidaddelasolucionlocal.43ResultadosEnel presente trabajose haestudiadolaecuacionabstractade laondaconterminodisipativou2`Au `u1 f en Hup0q u0en Vu1p0q u1en H(2.49)Donde:V unespaciodeHilbertseparablereal,cuyoproductointernoesrepresen-tadopor pp, qqylanorma } }.HunespaciodeHilbertseparablereal,cuyoproductointernoesrepresen-tadopor p, qylanorma | |.V HdensoyunainmersionV enHcompactaycontinua.IdenticandoHconsudualH1,obteniendoseV H H1 V1.unsubconjuntoabiertoyacotadobienregulardeRndefrontera.A : V V1un operador lineal, acotado, autoadjunto, simetrico y coercivo.f P L2p0, T; Hqacotado.Paradatos pu0, u1q PV Hsehademostradolaexistenciayunicidaddeuna44soluciondebilude2.49,enlaclaseu P L8p0, T; V qu1P L8p0, T; Hqu2P L8p0, T; V1qEste estudio es de vigencia actual enel area de las Ecuaciones Diferenciales Par-cialesdeEvolucion,porloqueeltrabajosirvedeaporteparaaquellaspersonasinteresadasenelestudioeinvestigaciondelareadelasEcuacionesDiferencialesParciales.45ConclusionesDenuestrotrabajoconcluimoslosiguiente:1. Probamos laexistenciayunicidaddelas soluciones debiles del siguienteproblemau2`Au `u1 f en Hup0q u0en Vu1p0q u1en H2. Podemos adecuar diversas ecuaciones diferenciales parciales de evolucion desegundoordenparaserresueltosusandonuestromodeloabstracto.3. Nuestrometododesolucionesaplicableasistemasdisipativoslineales.46Bibliografa[1] R. ADAMS, Sobolevspaces. AcademicPress, NewYork-LondonandSanFrancisco,1976.[2] H. BREZIS, An alisis Funcional. Teorayaplicaciones. AlianzaEditorial,Madrid,1983.[3] E. H. BRITO, The damped elastic stretched string equation generalized; exis-tence;uniqueness.Appl.Anal.13,219-233,1982.[4] E. A. CODDINGTONyN. LEVINSON, Theoryof OrdinaryDierentialEquations.Mc.Graw-Hill,NewYork,1955.[7] S.KESAVAN,TopicsinFunctional AnalysisandApplications.JohnWiley&Sons,NewDelhi,1989.[8] KOSAKUYOSIDA, Functional Analysis. Springer-Verlag, BerlinHeidel-berg,Germany,1995.[9] J. L. LIONS, Quelques methodes de resolution des problemes aux limites nonlineaires.Dunod,Paris,1969.[10] L. A. MEDEIROS y M. MILLA, Espacos de Sobolev Iniciacao aos ProblemasElticosn aoHomogeneos.IM-UFRJ,2000.[11] L.TARTAR,topicsinNonlinearAnalysis.UniversitePARIS,1978.47[12] M. MILLA, An alise Espectral emEspacos de Hilbert. Textos de MetodosMatematicos,IM-UFRJ,1990.[13] J.M.SOTOMAYORTELLO,LicoesdeEquacoesDiferenciaisordinarias.IMPA,RiodeJaneiro,1979.[14] R. E. SHOWALTER, Hilbert SpaceMethodsforPartial Dierential Equa-tion,ElectrinocJournal ofDierential Equations,Monograph.TEXAS,01-1994.[15] E. ZEIDLER, Nonlinear Functional Analysis, Vol. II/B. Springer-Verlag,1990.[16] EVANSLAWRENCEC,Partial Dierential Equations.AMS,1998.[17] IORIO VALERIA DE MAGALHAes, EDP un Curso de Graduacao. Colecaomatematicauniversitaria:IMPA1991.48