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Exercícios resolvidos de circunferência – Prof: Darlan Moutinho6.10 - Exercícios de revisão.
01)(UCe) Dada a circunferência , seja y = a x + b a reta tangente à
circunferência no ponto ( 2, 2). Determine o valor de a + b. Resp: 3
Solução:
Centro e raio da circunferência: C (0, 0) e raio r =
O ponto ( 2, 2) pertence a circunferência, pois 4 + 4 = 8.
Cálculo do coeficiente angular da tangente:
Coeficiente angular da reta que liga o centro ao ponto (2, 2);
Coeficiente angular da tangente: m = - 1
Reta tangente: y – 2 = - 1 (x – 2) y – 2 = - x + 2 y = - x + 4 e a + b = 3
02)(Fuvest) Qual a equação da circunferência tangente ao eixo dos x na origem e que
passa pelo ponto ( 3, 4)? Resp:
Solução:
Equação da circunferência tangente ao eixo dos x na origem:
O ponto (3, 4) pertence à circunferência: 9 + (4 – b)2 = b2
64x2 + 64y2 – 1.6.25y = 0
03)(Fuvest) Dadas a circunferência C : x2 + (y – 2)2 = 9 e a reta ( r ) y = x – 5, pedem-se:
a) a equação da reta perpendicular a ( r ) e que passa pelo centro de C.
b) o ponto de C mais próximo de ( r ). Resp: a) x + y – 2 = 0 e b) .
Solução:
a) Centro da circunferência: (0, 2). Coeficiente angular de ( r ): 1.
Coeficiente angular da perpendicular a ( r ): m = - 1.
Equação da perpendicular a reta ( r ): y = -x + n ou x + y – n = 0.
Como a reta passa pelo centro: 2 =
- 0 + n e n = 2. Logo: y = - x + 2
Equação da reta: x + y – 2 = 0.
1
b) O ponto mais próximo de ( r) e mais próximo do centro é a interseção da perpendicular a reta ( r ) que passa pelo centro com a circunferência.y = - x + 2 interseção com
04) Determine a área da região limitada pelas desigualdades: .
Resp: S = unidades de área.
Solução:
Na figura abaixo a área é a região hachurada.
05) Determine a equação da reta tangente a circunferência e que
passa pelo ponto (2, 3). Resp: x – y + 1 = 0.
Solução:
Cálculo do centro e raio da circunferência: C ( 3, 2) e raio: r =
2
A = área de três quadrantes do círculo de raio 2 mais a área do triângulo cujos vértices são o centro e os pontos de interseção da reta com a circunferência, logo:
Equação reduzida da circunferência: .
(2, 3) pertence à circunferência: .
Coeficiente angular da reta que passa pelo centro e pelo ponto (2, 3):
Coeficiente angular da tangente: mt = 1
Equação da tangente: y – 3 = 1(x – 2) y – 3 = x - 2 x – y + 1 = 0
06)(UFRS) Determine a equação da circunferência inscrita no triângulo eqüilátero, figura
abaixo
07) Determine a equação da reta tangente à circunferência no ponto .
Resp:
Solução:
pertence à circunferência ,
Centro da circunferência: C (0, 0).
Coeficiente angular da reta que passa pelo centro e pelo ponto .
m = - 1, é o coeficiente angular da reta tangente.
Equação da tangente:
Testes de Vestibulares.
01) Qual das equações abaixo representa a circunferência de centro (2, - 1)
tangente a reta de equação y = - x + 4 ?
a) 9 (x – 2)2 + 9 (y + 1)2 = 2 b) 2 (x + 2)2 +2 (y + 1)2 = 9
c) 2 (x – 2)2 + (y + 1) 2 = 9 d) 4 (x – 2)2 + 4 (y + 1)2 = 9
e) 4 (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9 Resp: C
Solução:
3
O centro é o ponto de encontro das bissetrizes que no caso do triângulo é eqüilátero é o baricentro. O baricentro encontra-se a 1/3 da base. A altura é , e o centro é
. então a equação será:
A circunferência tem centro em (2, -1) e tangencia a reta x + y – 4 = 0, então a distância
do centro a reta é igual ao raio:
Equação da circunferência:
02) Qual das circunferências abaixo passam pela origem ?
a) b)
c) d)
e) Resp: C
Solução:
(0, 0) pertence à circunferência, então satisfaz a equação da circunferência.
a) b)
c) ( V ).0
03)(UPE) O maior valor inteiro K para que a equação
represente uma circunferência é:
a) 10 b)12 c)13 d)14 e)15 Resp: B
Solução:
Centro da circunferência: e
.
O maior valor de k para o qual a equação representa uma circunferência é k = 12.
.04) Dadas as circunferências de equações e x2 + y2 – 2x - y + 1 =
0, a equação da circunferência que passa pelos pontos de interseção das duas e
pela origem é:
a) b) x2 + y2 – y = 0 c)
d) e) Resp: A
Solução:
Interseção das circunferências: .Subtraindo a equação 1 de 2,
teremos: x -1= 0 e x = 1.
1 + y2 – 2 – y + 1 = 0 y2 – y = 0 y = 0 ou y = 1
Pontos de interseção: A (1, 0) e B (1, 1).
4
Equação da circunferência: . Os pontos A, B e (0, 0) pertencem à
circunferência, então: .
.
Raio da circunferência: r =
Equação da circunferência:
05) Sabe-se que as circunferências dadas pelas equações x2 + y2 – 2x – y+ 3 = 0 e
são secantes. A equação da corda comum é:
a) 2x + 2y + 5 = 0 b) x + 2y + 5 = 0 c) x + y + 4 = 0
d) 2x + y + 5 = 0 e) x – y – 1 = 0 Resp: A
Solução:
06) As circunferências de raio 15 tangentes à circunferência no ponto
(6, 8) têm centros nos pontos:
a) (- 1, 4) e (15, - 20) b) (3, - 4) e (- 9, 12) c) (- 12, 16) e (9, - 12)
d) (- 8, 32) e (8, - 32) e)(15, 20) e (3, 4) Resp: E
Solução:
36 + 64 = 100, logo ( 6, 8) pertence a circunferência.
Raio da circunferência: r = 10. Centro da circunferência: C (0, 0).
Reta que passa por (0, 0) e (6, 8): y =
Distância de (0, 0) ao centro das circunferências de raio 15 tangente a circunferência
. d = 15 + 10 se as circunferências são tangentes exteriores e d = 15 – 10 = 5
se as circunferências são tangentes interiores.
Seja os centros das circunferências, então:
5
. Então os centros são (15, 20) .
x = 3. Então o centro será (3, 4)
07) A equação da circunferência que tangencia os eixos OX e OY e cujo centro
está na reta x + y – 2 = 0 é:
a) b)
c) d)
e) Resp: A
Solução:
Centro está na reta y = 2 – x, logo será: (x, 2 – x). Como a circunferência é tangente aos
eixos então x = | 2 – x| ou seja x = 2 – x x = 1 e y = 1
x = - 2 + x 0x = 2 (absurdo). Logo o centro da circunferência é (1, 1) e o raio 1.
Equação:
08) As circunferências de equações são:
a) secantes b) tangentes interiores c) exteriores
d) concêntricas e) tangentes exteriores Resp: B
Solução:
Centros e raios das circunferências:
.
centro: (0, 0) e r = 7.
Distância entre os centros: Então as circunferências são tangentes
interiores..
09) As circunferências de centro C (5, 12) e tangentes à circunferência x2 + y2 = 1,
tem por equações:
a)
b)
c)
d)
e) Resp: B
Solução:
6
Centro e raio da circunferência. C (0, 0) e r = 1
As circunferências são tangentes exteriores, a distância entre os centros é igual a soma
dos raios. = 1 + r r = 12.
Equação da circunferência:
Circunferências tangentes interiores, a distância entre os centros é igual a diferença dos
raios. r = 14
Equação da circunferência:
10) As retas que contém o ponto P (0, 4) e tangenciam a circunferência de raio 2
e centro na origem têm por equação:
a) b) c)
d) e) Resp: C
Solução:
Equação da circunferência:
(0, 2) é exterior á circunferência, pois .
Equação da reta tangente: y = mx + n, onde 4 = m.0 + n ou seja, y = mx + 4,
m x – y – 4 = 0.
Como a reta é tangente à circunferência, então a distância da reta ao centro é igual ao
raio.
Retas tangentes:
11) A equação da circunferência que passa pelos pontos A (0; - 1) e B (0; 3) e
determina com o eixo das abscissas uma corda de comprimento 4 unidades, tem
raio igual a:
a) b) 5 c) d) 7 e)3 Resp: A
Solução:
A circunferência corta o eixo dos y nos pontos A (0, - 1) e B ( 0, 3). A reta que passa pelo
ponto médio da corda AB passa pelo centro da circunferência, ou seja a reta y = 1 passa
pelo centro, logo a ordenada do centro é 1. Para encontrar o centro precisamos
determinar a sua abscissa. Como a corda CD sendo C e D pontos onde a circunferência
corta o eixo dos x, mede 4 então C(x, 0) e D (x + 4, 0) e o ponto médio é e a
reta x + 2 = 0 passa pelo centro na sua interseção com a reta y = 1, logo: x + 2 = 1 então
7
x = -1 e o centro da circunferência é o ponto (- 1, 1). O raio é a distância do centro ao
ponto (0, 3). Então: r =
Graficamente teremos:
12) Sejam as circunferências com centros nos
pontos M e N, respectivamente. As circunferências são secantes nos pontos A e
B. A área do triângulo AMN é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resp: A
Solução:
Centros das circunferências: (0, 0) e (2, 2)
Interseção das circunferências:
O ponto A (1,0), M ( 0, 0) e N (2, 2), logo a área do triângulo é:
13) As circunferências são:
a) secantes b) tangentes interiores
c) tangentes exteriores d) disjuntas exteriores
e) disjuntas interiores Resp: A
Solução:
Centros e raios das circunferências:
8
. Então r + r’ = 10 > d logo as circunferências são secantes.
14)O centro e o raio da menor circunferência tangente aos eixos coordenados e
que passa pelo ponto (1; 2), é:
a) C ( 0; 1) e r = 4 b) C (3, 3) e r = 12 c) C (1; 1) e r = 1
d) C (2; 2) e r = 2 e) C (5; 5) e r = 5
Solução:
Se a circunferência é tangente aos eixos então C ( |r|, |r|) e o raios r > 0.
Como a circunferência passa por um ponto no primeiro quadrante então ela está contida
no primeiro quadrante e sua equação é:
Como
. Logo o centro e o raio da menor circunferência é:
C ( 1, 1 ) e r = 1.
15) A equação da reta tangente à circunferência no ponto
(2; - 3) é:
a) x – 3y – 11 = 0 b) 2x + y – 1 = 0 c) x – 2y – 8 = 0
d) x + y + 1 = 0 e) x + y – 1 = 0 Resp: C
Solução:
(2, - 3) pertence à circunferência.
Reta que passa pelo centro e (2, - 3) tem coeficiente angular:
Coeficiente angular da reta tangente é
Equação da reta tangente: y + 3 = (x – 2) 2y + 6 = x - 2 x – 2y – 8 = 0
15) As circunferências são secantes
em A e B. Sendo C1 e C2 os centros das circunferências, podemos afirmar que a
área do quadrilátero AC1BC2 é igual a:
a) 6 b)7 c)8 d)9 e)5 Resp: A
Solução:
9
Cálculo dos centros: .
x = 1,
y = 2 ou x = 3, y = 4. Os pontos de interseção são (1, 2) e (3, 4)
A área do quadrilátero é 2 vezes a área do triângulo AC1C2.
Área do quadrilátero: S = 6
16) Das equações abaixo, qual determina uma circunferência::
Solução:
a)
b)
c) Não é circunferência pois C = 2
d) A = 1 e B = - 1, logo A B, não é circunferência.
e) . É uma circunferência de centro
(1, 1) e raio r = .
17) O raio de uma das circunferências de centro no ponto M (3, 4) e tangentes a
circunferência de equação , mede:
a) 4 b) 5 c) 2 d) 3 e) 1 Resp: A
Solução:
Tangentes exteriores: r + r’ = d
Centro e raio da circunferência: C (0, 0) e r = 1.
. 1 + r’ = 5 r’ = 4
18) A circunferência de equação , possui no eixo das abscissas
uma corda de comprimento 3. Podemos afirmar que a, vale:
a) 4 b) 5 c) – 4 d) – 5 e ) 1 Resp: C
Solução:
10
Centro da circunferência: .
O centro situa-se sobre a reta x = -5/2 e divide a corda em duas partes iguais.
Se (m, 0) e (n, 0) são os pontos onde à circunferência corta o eixo dos x então o ponto
(- 5/2, 0) é o ponto médio da corda.
Então: n = m + 3 e .
O raio da circunferência é a distância do centro (-5/2, -1) ao ponto (- 4, 0)
Equação da circunferência: .
. Então a = - 4.
19)(ITA) Seja r a mediatriz do segmento de extremos M (-4, -6) e N (8, - 2). Seja R o raio
da circunferência com centro na origem e que tangencia à reta r. Então R é igual a:
a) b) c) d) e) Resp: D
Solução:
Coeficiente angular da reta MN:
Coeficiente da reta ( r ): mr = - 3.
Ponto médio do segmento MN: P (2, - 4).
Equação de ( r ): y + 4 = - 3 (x – 2) y + 4 = - 3x + 6 3x + y – 2 = 0
O raio é a distância de (0, 0) a ( r ): r =
Equação da circunferência:
11
20)(Fuvest) Determine o conjunto de pontos (x, y) do plano cartesiano, cujas coordenada
satisfazem a equação .
Resp:
Obs: Duas retas perpendiculares.
Resp: D
Solução:
Para que a equação seja satisfeita é necessário que :
2x + 3y – 1 = 0 ou 3x – 2y + 3 = 0
A solução representa duas retas perpendiculares, ou seja a alternativa D.
21) A reta de equação y = 2x – 1 intercepta à circunferência de equação
nos pontos P e Q. A distância de P até Q é:
a) b) c) d) e) Resp: D
Solução:
A interseção das curvas é:
12
x = 2 ou x = 3/5.
Pontos de interseção: P (2, 3) e .
22) O segmento é diâmetro da circunferência . Se A é o ponto (0, 2),
então B é o ponto:
a) (- 3, 9) b) (3, 9) c) (0, 10) d) ( 0, 0) e) (1, 3) Resp: D
Solução:
Cálculo do centro da circunferência: .
A reta que passa por
Como AB é diâmetro então AB passa por C e C é o ponto médio de AB.
0 = e
23) (UFPr) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a equação da tangente a
circunferência , no ponto (3, 4) é:
a) – 3x + 4y – 7 = 0 b) 3x + 4y + 25 = 0 c) 3x – 4y + 7 = 0
d) 4x + 3y – 24 = 0 e) 3x + 4y – 25 = 0 Resp: E
Solução:
O ponto pertence à circunferência: 9 + 16 = 25
Coeficiente angular da reta que passa por (0, 0) e (3, 4):
Coeficiente angular da tangente: .
Equação da tangente: 3x + 4y – 25 = 0
24)(UFRS) Se os gráficos de são circunferências
tangentes, então m é igual a:
a) 3 e -5. b) – 3 e 5. c) 5 d) 3 e) 1 Resp: B
Cálculo do centro e raio das circunferências: C (0, 0) e r = 1
. Centro C (0, - 2) e r =
Distância entre os centros:
Tangentes exteriores: 2 =
Tangentes interiores:
13
25)(ITA) Seja C o centro da circunferência . Considere A e B os pontos
de interseção desta circunferência com a reta de equação y = x. Nestas condições o
perímetro do triângulo de vértices A, B e C é igual a:
a) b) c)
d) e) Resp: E
Solução:
Cálculo de C: .
Cálculo da interseção da reta com a circunferência:
Cálculo de A e B: x = 0 y = 0 logo A (0, 0) e x = 4 e B
Cálculo do perímetro do triângulo:
26) O ponto da circunferência mais próximo do ponto (5, 5), tem coordenadas
cuja soma vale:
a) 2 b) c) d) e) Resp: B
Solução:
O centro da circunferência é (0, 0) e o raio 1.
Equação da reta que passa por (5, 5) e (0,0) é y = x.
A interseção da reta com a circunferência é:
Como (5, 5) pertence ao primeiro quadrante e queremos determinar a menor distância,
então a interseção será A soma das coordenadas é:
27) A reta paralela a reta de equação 3x + 4y – 2 = 0 e que seja tangente à circunferência
de centro na origem e de raio 5, tem por equação:
a) 2x + 3y – 5 = 0 b) 3x – 4y – 5 = 0 c) 3x + 4 y + 10 = 0
d) 3x – 4y – 25 = 0 e) 3x + 4y + 5 = 0 Resp: E
Solução:
Equação da reta: ( r ) 3x + 4y + n = 0.
Reta ( r ) é tangente à circunferência
14
.
Uma das retas tangentes é 3x + 4y + 5 = 0
28) A área da região limitada pelas desigualdades: é igual a:
a) b) c)
d) e) Resp: A
Solução:
Equação da reta :x + y 4. A região do plano acima
da reta x + y = 4.
, é a região do plano no círculo da
circunferência de raio 4 e centro (0, 0).
A figura ao lado mostra a região do plano limitada
pelas curvas.
Sua área é igual a rea de um quadrante da
circunferência menos a área do triângulo.
S =
29) A circunferência de centro ( 2, 3) tangencia a reta 3x - 4y + 1 = 0. Podemos afirmar
que a equação da circunferência é:
a) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 1 b)
c) c)
d) Resp: A
Solução:
A distância da reta à circunferência é igual ao raio.
30) Na figura abaixo, podemos afirmar que a equação da reta ( r ) é:
a) y = - x + 4 b) x – 4y + 3 = 0 c) x + 3y – 1 = 0
d) 4x – y + 4 = 0 e) 3x – y – 2 = 0 Resp: B
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Solução: Equação da reta tangente à circunferência e que passa por (-3, 0)y = mx + n onde 0 = - 3m + n ou n = 3m. A equação da tangente é: y = mx + 3m, ou mx - y + 3m = 0Como a reta é tangente à circunferência, então a distância da reta ao centro é igual ao raio.
.
Como a inclinação de ( r ) é maior que zero e menor que 90°, então m > 0. logo a
equação da reta ( r ) é:
16