Estudio completo de una función

Funciones crecientes y decrecientes

Definición 1

es creciente en si

Definición 2

es decreciente en si

Si es derivable, este crecimiento o decrecimiento de la función está ligado con el

signo de la derivada primera , que indica la pendiente de la recta tangente.

Si es creciente en

Si es decreciente en

En el caso de funciones simples el dominio de la función se puede dividir en un número finito de

intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Estos intervalos están limitados por los puntos

donde ó .

crece

decrece

crece

1

recta tangente

Crece

recta tangente

Decrece

Ejemplos

1)

en

Dom y crece

y crece

La función es siempre creciente

2)

Intervalos decrece

crece

3) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

intervalos

Si crece en

Si decrece en

Si crece en

4) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

Esta función derivada no se anula, sin embargo no existe en

Entonces los intervalos serán

decrece

crece

2

crecedecrece

crecedecrece

Extremos relativos de una función

Máximo relativo

tiene un máximo relativo en si su valor es mayor que en cualquier otro punto x de un

entorno de .

tiene un máximo relativo en si

Mínimo relativo

tiene un minimo relativo en si su valor es menor que en cualquier otro punto x de un

entorno de .

tiene un mínimo relativo en si

Condición necesaria para la existencia de un extremo relativo

En los puntos donde hay extremo se verifica que la derivada primera es cero o la función no es derivable.

Si tiene un extremo en ó ( discontinua en

)

Se llama puntos críticos a los posibles extremos de una función.

Condición suficiente para la existencia de extremos

1. Si es continua en un intervalo que contiene a un punto crítico y derivable en todo punto

de ese intervalo (a excepción quizás del mismo ), podemos asegurar la existencia de un máximo

relativo en , si al pasar por dicho punto de izquierda a derecha la función pasa de ser creciente a

ser decreciente. Es decir que la derivada cambia de signo de positiva a negativa.

tendrá un mínimo relativo en si al pasar de izquierda a derecha por él la función pasa de

decreciente a creciente, es decir que su derivada pasa de ser negativa a positiva.

Sean

> 0 -

0 a mínimo

< 0 +

> 0 +

0 a máximo

< 0-

3

Ejemplo

en

en mínimo-1 -20 01 2

Observación

Si no hay cambio de signo, no hay extremo.

2. Signo de la derivada segunda

Sea derivable en y

Si existe y entonces:

Si tiene un mínimo relativo en

Si tiene un máximo relativo en

La explicación está dada: porque significa que , luego es creciente pero al

ser entonces debe pasar de negativa a positiva (criterio anterior: es mínimo).

Al revés si significa que decreciente, pero al ser

debe pasar de positiva a negativa (criterio anterior: es máximo).

4

Ejemplos

1)

punto crítico

El cero no es punto crítico porque no pertenece al dominio.

Primer método (derivada primera):-7 -

1 0 a es un mínimo

2 +

Segundo método (derivada segunda) : mínimo

2)

3 puntos críticos

-2 72 > 0 + < 0 - > 0 +

-1 0 a 0 0 a 1 0 a

< 0 - > 0 + 2 -72 -

Máximo Mínimo Máximo

5

mínimo en

máximo en

máximo en

1

3

Concavidad y puntos de inflexión

Sea derivable, diremos que es cóncava hacia abajo (y negativas) en un intervalo si

todos los puntos de la curva están por debajo de las rectas tangentes trazadas a la misma en cualquier punto de ese intervalo.

Del mismo modo es cóncava hacia arriba (y positivas) en un intervalo si todos los puntos de

la curva están por encima de las rectas tangentes trazadas a la misma en cualquier punto del intervalo.

Por lo tanto es

Cóncava positiva si la derivada es creciente (de + a -)

Cóncava negativa si la derivada es decreciente (de - a +)

O sea:

Si es cóncava + en

Si es cóncava - en

Punto de inflexión

La función derivable tiene en un punto de inflexión si existen dos intervalos y

tales que sea cóncava hacia arriba en uno de ellos y cóncava hacia abajo en el otro (la recta

tangente atraviesa la curva en ese punto).La condición necesaria para que exista un punto de inflexión es que la derivada segunda se anule o

no exista.

ó

La condición suficiente es que haya un cambio en la concavidad.

Ejemplos

1)

Posible punto de inflexión en

cóncava + No hay cambio de signo, entonces no es punto de inflexión cóncava +

2)

6

_ +

Cóncava –

(máximo )

Cóncava +

(mínimo )

ó

Posible punto de inflexión en

cóncava más

punto de inflexión

cóncava menos

3)

ó

es un punto de inflexión

Estudio completo de una función (Construcción de gráficos)

Dada una función vamos a aplicar todos los conocimientos anteriores para obtener el

máximo de información posible sobre ella y proceder al trazado de su gráfico.

Ejemplos

1) Hacer un estudio completo de

Dominio :

Imagen :

Ceros :

Par o impar : no es ni par ni impar

Continuidad : discontinua en pues pero no evitable

Crecimiento y decrecimiento : en

creciente pues

creciente

Máximos y mínimos : no tiene

Concavidad : en posible punto de inflexión

cóncava +

7

cóncava – en

luego, es un punto de inflexión

Asíntotas : A.V.

A.H.

Gráfico :

2)

Dominio:

Imagen: Intersecciones con los ejes

en

Impar Asíntotas:

A.V.

A.O.

punto de inflexión

mínimo

máximo

8

1

-1

Gráfico simultáneo de y, y’ e y’’

9

A

B

C

D

E

A’

B’

C’

D’

E’

A’’

B’’

C’’

E’’

D’’