estado del arte cfd conveccion

SOLUCIN DE PROBLEMAS DE CONDUCCIN Y CONVECCIN DECALOR MEDIANTE EL MTODO CV-RBF

Carlos A. Bustamantea, Whady F. Flreza, Mauricio Giraldoa y Henry Powerb

aGrupo de Energa y Termodinmica, Universidad Pontificia Bolivariana, Circ. 1 No.73-34 Medelln,Colombia, [email protected], http://www.upb.edu.co

bSchool of Mechanical, Materials and Manufacturing Engineering, University of Nottingham, NG72RD Nottingham, United Kingdom, [email protected],

http://www.nottingham.ac.uk/schoolm3

Palabras Clave: Volmenes Finitos, Funciones de Base Radial, Conduccin, Conveccin.

Resumen. En este trabajo se presenta una variacin del Mtodo de Volmenes Finitos (FVM) para lasolucin de problemas de valores en la frontera, consistente en la implementacin de un esquema deinterpolacin Hermtica utilizando Funciones de Base Radial (RBFs), en lo que se conoce como el mto-do CV-RBF (Control Volume- Radial Basis Function). El esquema de interpolacin es una aplicacinlocal del Mtodo Simtrico utilizado en los mtodos Sin Malla, en el cual se realiza una aproximacinde la funcin empleando informacin de la ecuacin diferencial parcial (EDP) gobernante y las condi-ciones de frontera que definen el problema global. Se utiliza la RBF multicudrica con un parmetro deforma hallado experimentalmente. De acuerdo a la naturaleza sin malla del esquema de interpolacinempleado, se llega a una estrategia de discretizacin espacial sumamente verstil en cuanto a geometras,mallas y condiciones de frontera. El esquema CV-RBF es acoplado con el mtodo de Newton-Rapshony el esquema de discretizacin temporal de Crank-Nicholson para la solucin de problemas no lineales yen estado transitorio. Como aplicacin del mtodo se soluciona la ecuacin de calor bidimensional paradiferentes geometras y tipos de condiciones de frontera. Se obtienen los resultados para el problema deDirichlet en conduccin de calor, conveccin de calor con campo de velocidad conocido, conduccin enestado transitorio y conduccin no lineal. Se verifican los resultados con respecto a soluciones exactas ynumricas validadas, usando mallas estructuradas y no estructuradas. Los errores relativos obtenidos sonadecuados en todos los casos estudiados.

Mecnica Computacional Vol XXVIII, pgs. 1097-1118 (artculo completo)Cristian Garca Bauza, Pablo Lotito, Lisandro Parente, Marcelo Vnere (Eds.)

Tandil, Argentina, 3-6 Noviembre 2009

Copyright 2009 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

1. INTRODUCCINEl Mtodo de Volmenes Finitos (FVM) se ha convertido en la estrategia de discretizacin

preferida por investigadores en el rea de los fenmenos de transporte. La aproximacin deflujos difusivos y convectivos en las caras de los volmenes representaron un claro aspecto demejoramiento del FVM. La compilacin de estrategias realizada por Patankar (1980), y poste-riormente por Versteeg y Malalasekera (1995) y Wesseling (2001) ha sido depurada y ampliadaen una cantidad de metodologas que buscan disminuir el orden del error de truncamiento delas aproximaciones y por lo tanto aumentar la exactitud de las soluciones numricas. Adems,los esquemas de interpolacin en mallados no estructurados se han convertido en un interesantey necesario campo de investigacin enmarcado en el problema de encontrar las soluciones aproblemas de fenmenos de transporte en dominios con geometras curvas.

Las mallas no estructuradas parecen ser la mejor opcin en cuanto a geometra se trata, puesen estas no es necesario que los volmenes conserven una orientacin definida con respecto asus vecinos y por lo tanto sus lados son completamente libres para aproximar las curvas pre-sentes en el dominio. La primera complicacin es la necesidad de usar mallas desplazadas,estrategia estudiada por Vidovic et al. (2004), o en su defecto esquemas de interpolacin quegaranticen un buen acoplamiento entre las variables dependientes del problema, tal como loimplementan Perron et al. (2004), en la solucin de las ecuaciones de Navier Stokes. Al im-plementar esquemas de alto orden, Lilek y Peric (1995) evadieron la dificultad de utilizar ma-llas desplazadas. Otros desarrollos en el uso de mallados no estructurados empleando FVM sepueden apreciar en Zhao y Zhang (2000), Kim y Choi (2000) y Wang y Liu (2000). La combi-nacin de aproximaciones con mallas desplazadas para flujos convectivos y mallas colocadaspara difusivos es desarrollada por Ge y Sotiropoulus (2007), mejorando el tiempo de cmputopero requiriendo una ptima reconstruccin de los gradientes para as no afectar la exactitudlograda con las aproximaciones de alto orden utilizadas. Este ltimo aspecto motiva a Abgrall(1994) a insistir en la posibilidad de reconstruir flujos en mallados triangulares por medio defunciones polinomiales bidimensionales. Por su parte, Jayantha y Turner (2005) investigan laforma de reconstruir los flujos por medio funciones de mnimos cuadrados (Least Square Re-construction Technique, LSRT), mientras Truscott y Turner (2004) y Manzini y Putti (2007) ha-cen lo mismo utilizando la tcnica de reconstruccin de gradientes Gauss-Green (Gauss GreenReconstruction Technique, GGRT) en combinacin con la aproximacin LSRT.

Se puede afirmar que al combinar aproximaciones de orden superior con un adecuado trata-miento de las geometras, es posible lograr cdigos de solucin que resuelven las ecuaciones deconveccin difusin para un gran nmero de problemas particulares que representan situacionesreales de fenmenos de transporte. El procesamiento geomtrico necesario para la definicin deaproximaciones de flujos, es la causante de mayores tiempos de cmputo y de la notoria de-pendencia de los esquemas de interpolacin con el tipo de malla utilizada. La interpolacinpor colocacin con Funciones de Base Radial (RBFs) constituye una estrategia que no dependedirectamente de la configuracin espacial de la informacin y que garantiza altos ordenes deexactitud en las aproximaciones de los flujos.

Actualmente las RBFs son ampliamente utilizadas en la interpolacin de datos dispersos porcolocacin y constituyen la estrategia base de algunos de los procedimientos numricos quese enmarcan en los mtodos Sin Malla para la solucin de EDPs. Es Kansa (1990) quien fun-damenta el mtodo Sin Malla mediante RBFs, al desarrollar el esquema asimtrico o Mtodode Kansa, e insiste en la relacin intrnseca entre el esquema de interpolacin y las ecuacionesdiferenciales a solucionar. La principal dificultad encontrada en este trabajo fue el mal condi-

C.A. BUSTAMANTE, W.F. FLOREZ, M. GIRALDO, H. POWER1098


cionamiento de la matriz resultante, que empeora hasta hacer intil el mtodo con el aumentodel nmero de puntos de colocacin. Posteriormente diversas alternativas fueron probadas porKansa y Hon (2000) con el fin de mejorar el condicionamiento de las matrices resultantes y aslograr la solucin de la ecuacin de Laplace. Jumarhon et al. (2000) desarrolla una variante delmtodo de Kansa utilizando la interpolacin Hermtica, conocida como Mtodo Simtrico. Eneste se concluye que las RBFs adems de funcionar en la interpolacin de una funcin dada,tambin permiten reconstruir sus derivadas, y que mediante el mtodo simtrico se obtienenerrores menores. Posteriormente, el esquema simtrico ha sido empleado en la solucin de laecuacin de conveccin difusin por medio del mtodo de la solucin fundamental (Method ofFundamental Solution MFS) por LaRocca et al. (2005), y utilizando una doble colocacin enlos puntos ubicados en las fronteras por LaRocca y Power (2008), con el objetivo de satisfacerla condicin de frontera y la ecuacin gobernante en dichos puntos.

Debido al lmite impuesto por el mal condicionamiento de las matrices resultantes que sepuede presentar en las estrategias de interpolacin global con RBFs, se introduce la idea demejorar la exactitud de los mtodos clsicos. El Mtodo de Diferencias Finitas (FDM) es mo-dificado por Wright y Fornberg (2006), trabajo en el que se obtienen aproximaciones de ordensuperior por medio de la interpolacin Hermitica con RBFs. El Mtodo de Volmenes Finitos(FVM) es mejorado mediante la interpolacin de los gradientes empleando RBFs en un pro-blema de difusin no lineal en material ansisotrpico, tanto en dos, Moroney y Turner (2006),como en tres dimensiones, Moroney y Turner (2007). Orsini et al. (2008) resuelve la ecuacinde difusin conveccin por medio de FVM conjugado con una interpolacin Hermtica conRBFs para encontrar expresiones para los flujos convectivos y difusivos en trminos de losvecinos.

El uso de RBFs en FMV, en lo que se conoce como Control Volume-Radial Basis Func-tion (CV-RBF), permite aprovechar las ventajas de la interpolacin Hermtica sin la necesidadde invertir matrices de gran tamao suceptibles al mal condicionamiento. Adems comprendeun mtodo en desarrollo que no ha sido implementado en la solucin de sistemas acoplados.Siguiendo esta lnea de desarrollo, se emplea el mtodo CV-RBF para solucionar diversas situa-ciones de transferencia de calor. En la siguiente seccin se presenta el modelo matemtico quemodela los fenmenos de transferencia de calor por conduccin y conveccin. Despus se ex-plica el mtodo CV-RBF desde su fundamento matemtico hasta la ecuacin final discretizadapara situaciones de conveccin difusin. Posteriormente se ilustra el acople con el mtodo deCrank-Nicholson para problemas transitorios y el mtodo Newton-Raphson para problemas nolineales. En la ltima seccin se obtienen los resultados numricos, y se realiza una compara-cin entre estos y las soluciones analticas y resultados numricos validados. Desde el anlisisde los errores obtenidos se demuestra la aplicabilidad del mtodo en mallas estructuradas y noestructuradas, y en problemas definidos por condiciones de frontera tipo Dirichlet y Neumann.

2. TRANSFERENCIA DE CALORAl realizar un balance de energa en un medio continuo despreciando la componente mecni-

ca y estableciendo relaciones entre las propiedades termodinmicas, es posible obtener la ecua-cin de cambio para la temperatura (1) en un medio incompresible, sea fluido Newtoniano oslido. En esta los coeficientes son la densidad y capacidad calorfica Cp. La ecuacin (1)corresponde a la relacin entre los mecanismos de transferencia de calor y el cambio en laspropiedades termodinmicas del sistema. El vector ~q representa el flux de calor y constituye lacontribucin por conduccin, ~v es la velocidad del medio que hace parte del trmino convectivo,

Mecnica Computacional Vol XXVIII, pgs. 1097-1118 (2009) 1099


y ST contiene los efectos provocados por las fuentes y sumideros de calor.

CpT

t+ Cpvj

T

xj=

qjxj

+ ST (1)

El fenmeno molecular responsable del flujo de calor por conduccin en un medio cual-quiera, puede ser cuantificado a nivel macroscpico mediante la ley de Fourier (2). Segn estaexpresin el flux de calor es proporcional al gradiente de la distribucin de temperatura en elsistema evaluado. El coeficiente de proporcionalidad k es conocido como la conductividad tr-mica. Esta corresponde a una propiedad que depende principalmente del material que constituyeel medio y de la temperatura. Si se trata de una material isotrpico la conductividad se puedeexpresar como una funcin escalar.

qi = k(T )T

xi(2)

3. MTODO CV-RBFEl mtodo CV-RBF es una mejora a FVM en cuanto a estrategias de interpolacin. Actual-

mente, las RBFs han sido aplicadas por Moroney y Turner (2006), Moroney y Turner (2007)a la solucin de la ecuacin de difusin en un medio anisotrpico, utilizando la aproximacinbase del mtodo de Kansa, mientras Orsini et al. (2008), basados en esta primera aproxima-cin, definen el mtodo CV-RBF implementando tanto el mtodo simtrico como el asimtricoy aplicandolo a la solucin de la ecuacin genrica de conveccin difusin. A continuacin sepresenta un proceso de discretizacin genrico por FVM y la interpolacin por colocacin porFunciones de Base Radial (RBFs). Finalmente se expone el mtodo resultante de acoplar FVMcon la interpolacin mencionada.

3.1. Mtodo de Volmenes FinitosSe agrupan en el Mtodo de Volmenes Finitos (FVM) los procedimientos numricos que

tienen como objetivo resolver ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) mediante dos proce-dimientos bsicos: divisin del dominio en subdominios relativamente pequeos e integracindirecta de la ecuacin sobre cada uno de los subdominios obtenidos. Al aplicar la ecuacin go-bernante en cada volumen o subdominio y definir sus correspondientes variables dependientescomo el valor de la propiedad en un punto especfico del subdominio y sus vecinos (centro delvolmen, centro de las caras, vrtices) se puede obtener un sistema de ecuaciones algebraicascon tantas variables y ecuaciones como volmenes. A continuacin se ilustra el procedimientode discretizacin aplicado a una EDP genrica.

Se considera una ecuacin de conservacin genrica que establece el balance en estado esta-cionario entre flujos convectivos, flujos difusivos, flujo por reaccin y un trmino fuente Sindependiente, para la propiedad genrica . La expresin (3) representa el balance local de lacantidad de inters en estado estacionario, teniendo en cuenta que ~U , D y kr son respectiva-mente velocidad del fluido, coeficiente de difusin y coeficiente reactivo.

xi

(D

xi

)

Ui

xi+ kr = S(~x) (3)

Al integrar sobre un volumen finito genrico el balance local (3), y aplicar el teorema dela divergencia se obtiene la expresin (4), donde ~n es el vector unitario normal a la superficieque define la frontera del volumen, orientado hacia fuera de este por convencin. Tanto para



el trmino reactivo como para el trmino fuente, se estima un valor promedio en un puntoespecfico del subdominio (centro para el caso cell centered) que al multiplicarlo por el volumenaproxima la integral de volumen, segn la regla del punto medio.

S

D

xinidS

S

UinidS + krV p = SV (4)

Dependiendo del tipo de malla utilizada para subdividir el dominio, cada volumen corres-ponde a un polgono de Ns lados o superficies. As la integral de superficie total ser igual a lasumatoria de las integrales evaluadas en cada una de las reas que delimitan el volumen. Poste-riormente se aproximan las integrales mediante alguno de los mtodos numricos utilizados enla solucin de integrales tales como regla del punto medio, regla de Simpson o cuadratura deGauss. Por simplicidad, en este caso se emplea la regla del punto medio, en la cual la integralde superficie se aproxima al producto entre el valor del integrando evaluado en el punto mediodel intervalo (centro de la cara respectiva) y el tamao del intervalo, para obtener la ecuacindiscretizada (5).

Nsl=1

(D

xiniS

)l

Nsl=1

(UiniS) |l + krV p = SV (5)

De acuerdo con la expresin (5), es necesario aproximar tanto el valor de la funcin desco-nocida como su gradiente en los puntos de integracin considerados, en este caso los puntosmedios de cada una de las caras. Estas aproximaciones deben relacionar el valor de la variableindependiente y su gradiente con los valores nodales de esta evaluada en el centro del volu-men y sus vecinos. De acuerdo con esta relacin ser posible definir el orden de exactitud delmtodo.

3.2. Mtodo sin Malla y Funciones de Base RadialLos Mtodos Sin Malla son procedimientos numricos que resuelven EDPs valindose de

una distribucin de puntos en el dominio del problema. La interpolacin mediante RBFs es unade las herramientas de uso comn en los Mtodos Sin Malla, pues una de sus cualidades es elbuen comportamiento en el tratamiento de informacin dispersa en el espacio. Al utilizar RBFspara interpolar la variable dependiente de un problema, el objetivo, como en cualquier mtodode colocacin, es encontrar los coeficientes que permiten a la funcin aproximada acercarseal valor de la solucin exacta del problema. A continuacin se ilustran los procedimientos yvariantes del mtodo clsico Sin Malla para la solucin de EDPs.

Considerando una distribucin espacial de puntos en los que se conoce informacin sobreuna variable, es posible encontrar sus valores en cualquier otro punto del dominio que contengala distribucin de puntos iniciales, al hallar una funcin que se ajuste a los datos disponibles.Diversas estrategias pueden ser utilizadas para tal fin, pero el uso de RBFs constituye el mtodode mejor rendimiento en cuanto a precisin, eficiencia computacional y estabilidad, segn laevaluacin realizada por Franke (1982) a una muestra significativa de mtodos.

Las RBFs se caracterizan por depender nicamente de la distancia euclidiana entre el ar-gumento y el origen, lo que establece una simetra radial de la funcin, es decir, su valor nocambia al realizar rotaciones del sistema de coordenadas. Otras caractersticas importantes sonel crecimiento o decrecimiento montono de la funcin con respecto a la distancia del origen,suavidad fcilmente ajustable y excelentes propiedades de convergencia. En el presente desar-rollo se utilza la funcin Multicudrica (6), donde r = x j es la distancia euclidiana entre



un punto del dominio x y un punto de prueba j .

(r) = (r2 + c2)m/2 (6)La funcin multicudrica generalizada (MQ) converge exponencialmente pero es condi-

cionalmente definida positiva de orden m > 0 ya que, en el momento de realizar la interpo-lacin, es necesario agregar un polinomio de orden m1 con el fin de hacer la matriz resultanteinvertible. Adems posee un parmetro de forma c que permite variar la pendiente de la funcincerca del punto de colocacin. Para valores de c pequeos la funcin tomar forma de cono quese ir aplanando con el incremento del parmetro.

La funcin de interpolacin s se construye a partir de la combinacin lineal de las RBFs(r) evaluadas en N puntos de prueba, y los trminos del polinomio de orden m 1, segn laexpresin (7).

s(x) =Nj=1

j(x j) +mj=1

j+NPjm1(x) (7)

Si se tiene la informacin de la funcin a aproximar S en los puntos de colocacin xi, esposible construir el sistema de ecuaciones lineales A = B segn (10) y (11), evaluando lafuncin de interpolacin en los puntos de colocacin de acuerdo con la expresin (8) y agregan-do la restriccin (9), para hacer el sistema invertible. Esta restriccin es un artificio matemticoque no posee significado fsico.

S(xi) =Nj=1

j(xi j) +mj=1

j+NPjm1(xi) (8)

Nj=1

jPkm1(xj) = 0, k = 1, ...,m (9)

A =

( Pm1

P Tm1 0

)(10)

B =

(S0

)(11)

Un problema de valores en la frontera lineal y no homogneo est definido por las expre-siones (12) y (13) , donde L y B son operadores diferenciales lineales que aplican en el dominio y en la frontera , respectivamente; y es la variable dependiente. Se conocen dos procedi-mientos genricos para llegar a la solucin de este problema por medio de RBFs: Mtodo Kansao asimtrico y Mtodo simtrico.

L[(~x)] = f(~x) (12)

B[(~x)] = g(~x) (13)En ambos procedimientos, tal como en el caso de la interpolacin, se requiere de un conjunto

de N puntos ubicados en el dominio y su frontera , conocidos como puntos de prueba ~jcon j = 1, . . . , N . Para llevar a cabo el proceso de colocacin tambin es necesario un conjuntode puntos ~xi que normalmente coincide con el conjunto de puntos de prueba. Del conjunto de



N puntos dispersos, n se ubican a la frontera y N n en el interior del dominio; por lo tanto seconoce el valor de B[] en n ubicaciones y de L[] en N n como datos necesarios para llevara cabo el proceso.

Se aproxima el valor de la variable dependiente mediante la combinacin lineal de RBFsevaluadas en los puntos de prueba ~j (14). En este caso, se requiere encontrar los valores delos coeficientes j , no por medio de los valores de la funcin desconocida , si no por lainformacin sobre su comportamiento, brindada por las expresiones (12) y (13).

(~x) =Nj=1

j(~x ~j) +mj=1

j+NPjm1(~x) (14)

Al aplicar los operadores lineales B y L a la expresin (14), y evaluar las funciones resul-tantes en cada uno de los n puntos de colocacin ~xi para B[], y N n para L[] se obtieneel sistema de ecuaciones en su forma matricial A = B, despus de agregar la restriccin (9).A es una matriz no simtrica definida por (15) y el subndice x hace alusin a la aplicacindel operador con respecto a la variable ~x. Aunque el mtodo asimtrico ha sido utilizado pararesolver numerosos problemas de valor de frontera, no existe una prueba rigurosa de existen-cia de la solucin y convergencia. Adems la matriz resultante puede ser extremadamente malcondicionada para ciertas distribuciones de puntos, lo que la hace no invertible y por lo tanto,el sistema no solucionable. Varias tcnicas pueden ser aplicadas con el fin de hacer la matriz nosingular, algunas basadas en una eleccin condicionada tanto de los puntos de prueba como decolocacin, y otras perturbando estratgicamente el parmetro de forma de las RBFs utilizadas.

A =

Bx[] Bx[Pm1]Lx[] Lx[Pm1]

P Tm1 0

(15)

B =

g(~x)f(~x)

0

(16)

Con el fin de llegar a una matriz A de colocacin incondicionalmente invertible se planteala posibilidad de aproximar la solucin por medio de una interpolacin Hermtica, basada enla formulacin de Hermite-Birkhoff y probada por Schaback y Franke (1998) en la solucinde EDPs. En el mtodo simtrico la matriz obtenida es simtrica y del mismo tamao que laresultante del mtodo asimtrico.

A diferencia del mtodo de Kansa, la variable dependiente del problema se aproxima segn laecuacin (17), donde los operadores L y B aplican a las funciones de base radial con respectoa la variable ~. Por lo tanto se plantea una funcin de interpolacin que contiene informacinacerca del comportamiento de la variables a aproximar tanto en el dominio como en su frontera.

(~x) =n

j=1

jB[(~x ~j)] +N

j=n+1

jL[(~x ~j)] +mj=1

j+NPjm1(~x) (17)

Al sustituir la ecuacin (17) en (12) y (13), se obtienen las expresiones a ser evaluadas enlos n puntos de colocacin ubicados en las fronteras, y los N 1 localizados al interior deldominio, respectivamente. Se llega al sistema lineal A = B con las matrices A y B definidas



por (18) y (16). El paso adicional, con respecto a la formulacin directa del mtodo asimtrico,comprende el clculo de los nuevos operadores BxB, BxL, LxB y LxL.

A =

BxB[] BxL[] Bx[Pm1]LxB[] LxL[] Lx[Pm1]

Bx[PTm1] Lx[P

Tm1] 0

(18)

La matriz resultante del mtodo simtrico es no singular siempre y cuando no ocurra que dospuntos de colocacin, compartiendo operadores diferenciales linealmente dependientes, seanubicados en la misma locacin; y se elija la RBF apropiada para los operadores diferencialesdel problema, es decir, una funcin que no sea necesariamente nula al aplicarle los operadores.

El mtodo sin malla basado en RBFs, para solucin de ecuaciones diferenciales parciales anivel global, comprende una temtica de investigacin en desarrollo, pues en la actualidad nose garantiza que el sistema resultante tenga solucin para cualquier distribucin arbitraria depuntos. El gasto computacional es alto, considerando que, tanto en el mtodo de Kansa comoen el Simtrico, la matriz obtenida es fully populated, es decir, valores diferentes de cero seencuentran dispersos en toda la matriz y por lo tanto no siguen un patrn determinado. Es poresto que el uso local de interpolacin con RBFs en mtodos clsicos de solucin de EDPspermite explotar algunas de las caractersticas ms importantes de las RBFs sin la necesidad deinvertir matrices de gran tamao susceptibles al mal condicionamiento.

3.3. El nuevo esquema de interpolacinPara continuar el proceso de solucin de la ecuacin de cnveccin difusin mediante FVM,

se interpola la funcin en las caras de un volumen genrico por medio del esquema Simtrico.Como primer paso se debe elegir el conjunto de puntos de prueba ~j y de colocacin ~xi. Enel mtodo CV-RBF, se elije un subespacio que contenga el volmen sobre el cual se discretizala ecuacin genrica y, al menos, un volumen vecino que comparta la cara donde se ubica elpunto en el que se interpola la funcin. Este subespacio recibe el nombre de stencil y se puedeconfigurar de diversas formas, siempre y cuando contenga p puntos correspondientes a centrosde volmenes, n puntos de frontera (en el caso que el stencil est limitado por la frontera deldominio) y N n p puntos internos diferentes a los ya especificados. Orsini et al. (2008)prueba dos posibles configuraciones: one stencil one cell (Figura 1 a.), donde el stencil contieneel volmen central y todos lo volmenes vecinos; y one stencil one face (Figura 1 b.), en la cualel stencil contiene el volmen central y el vecino con el que comparte la cara en la que se realizala interpolacin. En este mismo trabajo se concluye que mediante la configuracin one stencilone cell se obtienen menores errores en la solucin de la ecuacin de conveccin difusin. Espor esta razn que en el presente trabajo se utiliza este arreglo de puntos.

A diferencia del mtodo simtrico convencional, la funcin en el punto de inters se apro-xima segn la interpolacin Hermtica (19), resultado de una combinacin necesaria entre elmtodo de Kansa y el Simtrico, que permite expresar la aproximacin por RBFs de la variable en el centro de la cara, en trminos de los valores nodales desconocidos que le rodean.

(~x) =

pj=1

j(~x ~j) +n

j=p+1

jB[(~x ~j)]

+N

j=n+1

jL[(~x ~j)] +mj=1

j+NPjm1(~x) (19)



a. b.

Figura 1: Posibles configuraciones del Stencil a. one stencil one cell b. one stencil one face. puntos donde seevala la variable, puntos donde se aplica operador de frontera B, puntos donde se aplica el operador L.

3.3.1. Colocacin

Al reemplazar la aproximacin (19) en la EDP lineal (12) y las condiciones de frontera (13),se llega al sistema de ecuaciones a resolver para los valores de los coeficientes , mediante elproceso de colocacin en el conjunto de puntos ~xi y considerando la restriccin (9) impuestaal polinomio. Este conjunto contiene p ubicaciones en las que se pretende conocer los valoresnodales de , n puntos en los que se conoce el valor de g(~x), y N n p locaciones en las quese tiene la funcin f(~x). Es as como se llega a un sistema algebraico de ecuaciones de la formaA = B, donde la matriz simtrica A de tamao (N +m) (N +m) est estructurada segn(20) y el vector columna B est dado por (21).

A =

B[] L[] Pm1Bx[] BxB[] BxL[] Bx[Pm1]Lx[] LxB[] LxL[] Lx[Pm1]P Tm1 Bx[P

Tm1] Lx[P

Tm1] 0

(20)

B =

volg(~x)f(~x)0

(21)

La ecuacin constituida por las matrices A y B no se puede solucionar an para los valoresde , pues la matriz B contiene el vector columna vol cuyos p componentes corresponden a losvalores desconocidos de en los centros del volumen en cuestin y sus vecinos. El proceso decolocacin termina cuando los coeficientes quedan expresados en trminos de los p valoresnodales presentes en el stencil de acuerdo con la ecuacin (22).

= A1B (22)

3.3.2. Interpolacin local y ensamble global

Conocidos los coeficientes que definen la aproximacin de la funcin en el stencil, esposible encontrar el valor de la funcin en cualquier punto de este, en trminos de los valores



nodales que contiene el vector columna vol. En virtud de la aproximacin (19) y la linealidadde los operadores, el valor de la funcin y su gradiente podrn ser evaluados en cualquier puntodel stencil ~xl segn las siguientes expresiones.

(~x)|~x=~xl =

pj=1

j(~x ~j)|~x=~xl +n

j=p+1

jB[(~x ~j)]|~x=~xl

+N

j=n+1

jL[(~x ~j)]|~x=~xl +mj=1

j+NPjm1(~x)|~x=~xl (23)

(~x)

xi

~x=~xl

=

pj=1

j

(

xi(~x ~j)

)~x=~xl

+n

j=p+1

j

(

xiB[(~x ~j)]

)~x=~xl

+N

j=n+1

j

(

xiL[(~x ~j)]

)~x=~xl

+mj=1

j+N

(

xiP jm1(~x)

)~x=~xl

(24)

En su forma matricial, las ecuaciones (23) y (24) pueden ser escritas de la siguiente forma.

[(~x)]~x=~xl = [C1l]T [] (25)

[(~x)

xi

]~x=~xl

= [C2il]T [] (26)

Prosiguiendo con la solucin de la ecuacin mencionada, es necesario sustituir en la expre-sin (5) las Ns (nmero de superficies) aproximaciones de la funcin (25) y su gradiente (26).Estos se encuentran en trminos de los valores nodales del stencil respectivo y se evalan en elpunto ~xl, que ahora corresponde al centro de la superficie l. El proceso de sustitucin y el valorde la matriz segn (22), produce la ecuacin de conveccin difusin ms reaccin discretizadapor el mtodo CV-RBF y aplicada a un volmen genrico (27).(

Nsl=1

(DCT2iniS

)l

Nsl=1

(UiC

T1 niS

)l

)A1B + kV p = SV (27)

Al aplicar la ecuacin (27) a cada uno de los volmenes del dominio, ser posible construir elsistema lineal global a resolver. El objetivo es hallar los valores de en todos los centros de losvolmenes, es decir las cantidades que conforman el vector columna vol. Conocida la funcinen los nodos o centros, y reemplazando su valor en (22) para hallar los coeficientes , se podrconocer la funcin y su gradiente en cualquier punto del dominio, identificando el stencil quelo contiene y aplicando las expresiones (23) y (24).

Gracias a la interpolacin Hermtica por RBFs, el mtodo CV-RBF se constituye como unaaproximacin de alto orden que adems contiene un esquema analtico de diferencias desplaza-das (upwind), pues las aproximaciones contienen la informacin sobre el coeficiente convectivoUi. Debido a la naturaleza Sin malla de la interpolacin, otras cualidades importantes son lagran versatilidad en el tratamiento de fronteras, y la independencia con respecto al tipo de mallautilizado, pues no es necesario que esta sea estructurada.



4. MTODOS DE SOLUCIN4.1. Mtodo de Crank-Nicholson

Para obtener la solucin de problemas transitorios se hace necesario un acople entre un mto-do clsico de discretizacin temporal (Crank-Nickholson) y el mtodo CV-RBF, hasta ahoradesarrollado para el anlisis espacial. Con este objetivo se crea el cdigo DCCVRBFt que tienela capacidad de resolver la ecuacin (28) que corresponde al modelo matemtico para la con-veccin difusin y reaccin (de primer orden) en estado transitorio de una propiedad genrica en un medio incompresible. En esta expresin kt es un coeficiente que acompaa el trminode acumulacin mientras los coeficientes restantes corresponden a las cantidades de la ecuacin(3), con S(~x) = 0.

kt

t=

xi

(D

xi

)

Ui

xi+ kr (28)

En primer lugar se realiza la discretizacin temporal de la ecuacin (28), de acuerdo con elmtodo de Crank-Nicholson, para generar la expresin (29). es una constante de peso quepuede dar al esquema la calidad de implcito ( = 1), explicito ( = 0) o una combinacin desegundo orden en el tiempo mediante valores intermedios.

(~x, t+t) (~x, t)

t=

kt

(

xi

(D(~x, t+t)

xi

)

Ui(~x, t+t)

xi kr(~x, t+t)

)

+(1 )

kt

(

xi

(D(~x, t)

xi

)

Ui(~x, t)

xi kr(~x, t)

)(29)

Esta nueva expresin es utilizada por LaRocca et al. (2005) para redefinir, en un esquemaglobal, los operadores diferenciales parciales que constituyen la matriz Hermtica. En el casolocal y empleando FVM no es necesario modificar los operadores ya que el efecto del avanceen el tiempo es incluido en el esquema mediante la ecuacin resultante de aplicar FVM. Laecuacin (29) se lleva a la forma (30) realizando una discretizacin espacial por FVM y reem-plazando los valores de la variable y su gradiente por aquellos que entrega la interpolacin Her-mtica. El trmino fuente corresponde al operador diferencial aplicado al valor de la variable enla iteracin anterior (n 1).

t

((Nsl=1

(D

ktCT2iniS

)l

Nsl=1

(UiktCT1 niS

)l

)A1B

(krkt

+1

V

)p

)

= (1)t

(Nsl=1

(D

kt

n1

xiniS

)l

Nsl=1

(Uiktn1niS

)l

(krkt

+1

( 1)V

)n1p

)

(30)

4.2. Mtodo de Newton-RapshonLos modelos matemticos que describen fenmenos de transporte mediante EDPs lineales

son en general aproximaciones al comportamiento real de los sistemas. Los procesos realesde transporte de masa, energa y momentum son fundamentalmente no lineales, pues existeuna fuerte dependencia entre las propiedades que caracterizan el sistema y los mecanismos



de transporte y acumulacin. Ejemplo de no linealidad en procesos de transferencia de caloren medios incompresibles, es la dependencia de la conductividad y el calor especfico con latemperatura. Para la solucin por CV-RBF, se considera la EDP no lineal de la forma (31). Estaexpresin modela un fenmeno de conveccin difusin reaccin con coeficientes en trminosde la variable dependiente , teniendo en cuenta que Sf es una trmino fuente que toma encuenta el flujo de por reaccin.

xi

(D()

xi

)

Ui()

xi+ Sf () = S(~x) (31)

De la misma manera que para el caso lineal, se lleva a cabo el proceso de discretizacin dela ecuacin (31) segn el mtodo FVM. Se obtiene la funcin no lineal (32) que conforma elsistema de ecuaciones global al ser aplicada a cada uno de los volmenes (de Ns lados) en quese divide el dominio.

f

(,

x1,

x2

)=

Nsl=1

(D()

xiniS

)l

Nsl=1

(Ui()niS) |l + V (Sf S) = 0 (32)

La ecuacin resultante (32) se resuelve utilizando el mtodo de Newton-Raphson. Con losvalores iniciales y empleando la interpolacin Hermtica por RBF es posible evaluar la funcinno lineal en las locaciones requeridas. Se debe tener en cuenta que para la aplicacin del esque-ma de interpolacin es necesario llevar el operador diferencial parcial Lx a una de sus posiblesformas lineales, en este caso, una ecuacin de Poisson (33). El superndice n se refiere al valorde la variable en la n-sima iteracin. Esta forma lineal del operador Lx resulta de extraer todaslas cantidades que deban ser recalculadas iteracin tras iteracin, con el fin de realizar la inver-sin de matrices de interpolacin solo una vez al inicio del algoritmo. La matriz Jacobiana seevala numericamente mediante un esquema de diferencias centradas.

Lx(n) =

2n

xixi=

1

D(n1)

(Ui(

n1)n1

xi

D()

n1

xi

n1

xi+ S(~x) Sf (

n1)

)(33)

5. RESULTADOSEl mtodo CV-RBF en conjunto con la estrategias numricas mencionadas, se aplican a la

solucin de la ecuacin de calor (1) para diversas situaciones tpicas en transferencia de calor, amodo de validacin y aplicacin. A continuacin se ilustra la aplicabilidad del mtodo CV-RBFy se evalua su desempeo en problemas bidimensionales de conduccin lineal, conveccin,conduccin transitoria y conduccin no lineal, empleando diferentes tipos de condiciones defrontera y mallas.

5.1. Placa Plana: Problema de DirichletSe analiza a continuacin la transferencia de calor por conduccin en estado estacionario

en una placa plana. Las caractersticas geomtricas del problema a solucionar se ilustran en laFigura 2. Para este caso en el cual se aplica una condicin tipo Dirichlet en todas sus fronteras,se define = T T1. T1 es el valor de la temperatura en las fronteras, excepto en x2 = W



donde la temperatura es una funcin conocida f(x1). La solucin analtica al problema se lograpor medio del mtodo de separacin de variables y corresponde a la expresin (34).

Figura 2: Geometra y condiciones de frontera para la conduccin estacionaria de calor en una placa rectangular

(x1, x2) =2

L

n=1

sinh(nx2/L)

sinh(nW/L)sin(nx1

L

) L0

f(x1) sin(nx1

L

)dx1 (34)

Con el fin de evaluar el rendimiento del cdigo DCCVRBF en situaciones de conduccinbidimensional, se utilizan las siguientes dos formas de la funcin f(x1) con sus respectivassoluciones particulares derivadas de la ecuacin (34).

f(x1) = T2

f(x1) = T2 sin(nx1L

)En el primer caso la solucin analtica particular toma la forma (35), donde f = T2 T1.

Para el segundo caso se obtiene como solucin la expresin (36), teniendo en cuenta un valormximo de la variable dependiente en la frontera superior definido por m = T2 T1 con T2representando el valor mximo de temperatura. Se consideran dimensiones L = W = 1, yvalores para T2 y T1 iguales a 120 y 20 C respectivamente.

(x1, x2) = f2

n=1

(1)n+1 + 1

nsin(nx1

L

) sinh(nx2/L)sinh(nW/L)

(35)

(x1, x2) = m sin(x1

L

) sinh(x2/L)sinh(W/L)

(36)

Se utiliza el cdigo creado DCCVRBF para obtener la solucin numrica de ambos casospor medio del mtodo CV-RBF. Para la primera situacin se divide el dominio del problemaen una malla estructurada homognea de 10 10 volmenes. En la Figura 3 se comparan losresultados obtenidos con la solucin analtica en la lneas x2 =0.25, x2 = 0.50 y x2 = 0.75, yse ilustra el comportamiento del error en estas rectas. Se utiliza la funcin MQ con m = 1 para



0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

x1[m]

[C]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x1[m]

%E

x2=0.25

x2=0.55

x2=0.75

a. b.

Figura 3: Valores de temperatura para el problema de conduccin estacionaria en una placa plana (Primerasituacin). a) Comparacin con la solucin exacta (lnea continua) en las rectas x2 = 0.25 (), x2 = 0.5 (o)yx2 = 0.75 (+) b) Comportamiento del error relativo

Figura 4: Divisin del dominio en la segunda situacin: a. Malla no estructurada, b. Stencil correspondiente

realizar la interpolacin Hermtica propia del mtodo simtrico, con parmetro de forma igualal tamao del lado de cada volumen.

Con el objetivo de ilustrar la independencia del mtodo con respecto a la malla, se utiliza unadivisin no estructurada del dominio (Figura 4 a.) en la solucin del segundo caso con condicinde frontera tipo Dirichlet. En la Figura 4 b. se ilustra la configuracin one stencil-one cell deun stencil interno en la malla no estructurada. Al igual que en el caso anterior se compara lasolucin numrica con la solucin analtica y se evala la tendencia del error relativo en laslneas del dominio donde x2 =0.25, x2 = 0.50 y x2 =0.75, como se puede apreciar en la Figura5.

Se calculan el error RMS y el error mximo para cada uno de los casos analizados. La Tabla1 muestra el valor y comportamiento de tales parmetros conforme aumenta la densidad demalla, tanto para el caso estructurado (primera situacin) como para el no estructurado (segundasituacin). Se observa como el error disminuye conforme aumenta la densidad de malla, lo cualadems de asegurar la convergencia del mtodo, verifica una relativa independencia del esquemacon respecto al tipo de malla utilizado.

En las Figuras 3 a. y 5 a. se ilustra la forma de las distribuciones de temperatura obtenidas, lascuales mantienen la tendencia y valores dados por los resultados analticos. La cercana entrelos valores se puede apreciar en las Figuras 3 b. y 5 b. donde se reporta el error relativo a lasolucin exacta, que tanto para la malla estructurada en la situacin 1 y para la no estructuradaen la 2 se encuentran valores menores al 1.2 % y 4 % respectivamente. De acuerdo con estos



0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

x1[m]

[C]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 14

3

2

1

0

1

2

3

4

x1[m]

%E

x2=0.25x2=0.55x2=0.75

a. b.

Figura 5: Valores de temperatura para el problema de conduccin estacionaria en una placa plana (Segundasituacin). a. Comparacin con la solucin exacta (lnea continua) en las rectas x2 =0.25 (), x2 = 0.50 (o)yx2 = 0.75 (+) b. Comportamiento del error relativo

valores es posible afirmar que mediante el mtodo CV-RBF se soluciona de manera adecuadael problema lineal de conduccin de calor con condiciones de frontera tipo Dirichlet, utilizandouna funcin Multicudrica con m = 1 y mallas medianamente densas (100 volmenes).

Tabla 1: Indicadores de la solucin de la ecuacin de conduccin de calor bidimensional

Malla Situacin 1 max RMS Malla Situacin 2 max RMS5 5 0.0064 0.0023 32 vol 0.0422 0.016510 10 0.0034 0.0012 100 vol 0.0245 0.010520 20 0.0028 0.00067 384 vol 0.0136 0.004230 30 0.0028 0.00035 882 vol 0.0053 0.0013

5.2. Conveccin forzada en flujo PoiseuilleA continuacin se estudia la situacin de flujo de calor a travs de un fluido que se encuentra

en movimiento. Se analiza el comportamiento de la solucin de las ecuaciones de conveccindifusin con coeficiente convectivo dependiente de la posicin, obtenida mediante CV-RBF. Seconsideran dos placas planas paralelas entre las cuales se mueve en la direccin x1 un fluidoNewtoniano e incompresible de propiedades constantes, tal como se muestra en la Figura 6. Laprimera placa esta ubicada en x2 = 0 y a la otra en x2 = H . El fluido est hidrulicamentedesarrollado, se encuentra en estado estacionario y su velocidad es independiente de la tempe-ratura. De acuerdo con la geometra y tipo de fluido, el campo de velocidad est descrito por elperfil parablico (37), tambin conocido como Flujo Poiseuille plano.

u1(x2) = (u1)max

(1

(x2 0.5H

0.5H

)2)(37)

La transferencia de calor se da desde los alrededores al fluido cuando este, que se encuentraa una temperatura uniforme T0, atraviesa la recta x1 = 0 y es calentado por las placas quepermanecen a una temperatura constante T1, y alcanza el estado estacionario. La ecuacin quemodela el fenmeno esta dada por la expresin (1) eliminando los trminos de acumulaciny fuentes. Las condiciones de frontera se definen segn (38) y (40), y el dominio es dividido



Figura 6: Configuracin geomtrica del problema de transferencia de calor entre placas

mediante una malla estructurada 3090. La solucin analtica del presente modelo es conocidacomo el problema de Graetz en coordenadas rectangulares y an no existe una forma cerrada dela solucin. Por lo tanto la comparacin de resultados se hace con respecto a los obtenidos porDivo y Kassab (2005) mediante mtodo sin malla empleando interpolacin global con RBF y asu vez comparados con la solucin arrojada por el programa comercial Fluent.

T (0, x2) = T0 (38)

T (x1, 0) = T (x1, L) = T1 (39)

T (L, x2)

x1= 0 (40)

Se elige como fluido de trabajo aire con calor especfico Cp = 1006.46 J/kg oC, densidad = 1.225 kg/m3 y conductividad k = 0.0242 W/m oC. El perfil parablico que describe elmovimiento del fluido se caracteriza por una velocidad mxima u1max = 0.25m/s.

x1 [m]

x 2 [m

]

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x 103

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

Figura 7: Distribucin de temperatura en flujo Poiseuille plano con temperatura constante en paredes

El perfil de temperatura en desarrollo encontrado se ilustra en la Figura 7. La distribucinobtenida ilustra el calentamiento del fluido debido a la diferencia de temperatura existente entre



30 40 50 60 70 80 90 100 110 1200

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

T[C]

x 2[m

]

DCCVRBF, x1=0.25DCCVRBF, x1=0.5DCCVRBF, x1=0.75DCCVRBF, x1=1.0Divo et al.

Figura 8: Perfiles de temperatura en desarrollo en un flujo Poiseuille plano

este y las paredes. El fluido, mediante el mecanismo de la conveccin forzada, extrae calor delmedio circundante, en este caso, las placas. Se presenta la parte de perfil trmico en desarrollo,pues es de esperarse que a una longitud determinada de la entrada, la temperatura no vare en ladireccin x1 para establecer un flujo trmica e hidrulicamente desarrollado. En la Figura 8 semuestra el proceso de desarrollo del perfil de temperatura conforme aumenta x1, adems de laverificacin de los resultados con la solucin numrica referenciada.

El comportamiento de la solucin de la ecuacin es adecuado. El efecto convectivo es bienpercibido por el esquema de interpolacin, teniendo en cuenta un Pe 1200. Las condicionesde frontera impuestas responden a la situacin real, incluyendo la restriccin tipo Neumann quepredice la variacin nula en la temperatura a la longitud que delimita el domino. El parmetrode forma de la ecuacin MQ m = 1 se hace constante en todo el dominio excepto en la zonaubicada cerca de la frontera x1 = 0.0 donde ocurre un cambio sustancial de la temperatura, yen la cual el parmetro se hace 5 veces ms grande.

5.3. Calentamiento de una placa planaUna placa plana rectangular de lados 2lx1 y 2lx2 que se encuentra a temperatura ambiente

T0, experimenta un proceso de calentamiento cuando sus fronteras son puestas en contacto conuna fuente de calor a temperatura constante T1. Como se trata de una situacin simtrica conrespecto al centro de la placa, se analiza solo un cuadrante de la misma mediante la aplicacin deuna condicin de frontera tipo Neumann en los planos de simetra. A continuacin se describede manera exacta las condiciones de frontera e iniciales para la solucin de la ecuacin de decalor (1) en estado transitorio considerando ~u = ~0 y ausencia de fuentes.

T (x1, x2, 0) = T0 (41)

T (Lx1 , x2, t) = T (x1, Lx2 , t) = T1 (42)

T (0, x2, t)

x1=

T (x1, 0, t)

x2= 0 (43)



00.5

1

0

0.5

10

20

40

60

80

100

x1 [m]x2 [m]

T[C]

30

40

50

60

70

80

90

0

0.5

1

0

0.5

10

20

40

60

80

100

x1 [m]x2 [m]

T[C]

75

80

85

90

95

0

0.5

1

0

0.5

10

20

40

60

80

100

x1 [m]x2 [m]

T[C]

97.5

98

98.5

99

99.5

a. b. c.

Figura 9: Distribuciones de temperatura en diferentes momentos del calentamiento de una placa plana: a. Fo =0.1,b. Fo =0.3, c. Fo=0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 140

50

60

70

80

90

100

x1

T[C]

Fo=0.1Fo=0.2Fo=0.3Fo=0.4Fo=0.6Fo=0.8Fo=1.0Analitica

Figura 10: Perfiles de temperatura en x2 =0.5 en calentamiento de placa plana

El fenmeno se caracteriza mediante el nmero adimensional de Fourier Fo = t/lx,y se consideran las propiedades constantes a 25 oC de una aleacin de Aluminio T6: k =180 W/m2 oC, Cp = 900 J/kg

oC y = 2800 kg/m3. La solucin analtica esta dada por laexpresin (44), que es obtenida mediante el mtodo de separacin de variables. Se utiliza unafuncin Multicudrica con m = 1 y c = 0.01h (h es una longitud caracterstica de la malla).Se divide el dominio rectangular de lx1 = lx2 = 1 m con una malla estructurada de 21 21elementos, se estima un t = 100s y se utiliza un esquema semi-implcito fijando =0.5.

T1 T

T1 T0= 4

(n=0

(1)n(n+ 1

2)e(n+ 12)22Focos(n+ 1

2

)x2Lx2

)(

m=0

(1)m(m+ 1

2)e(m+ 12)22Focos(m+ 1

2

)x1Lx1

)(44)

En la Figura 9 se muestran las distribuciones de temperatura en tres diferentes momentos dela solucin. La evolucin de la temperatura es acorde con las propiedades fsicas del medio y lascondiciones de frontera establecidas. La solucin analtica tiene problemas de convergencia paraFo cercanos a cero, por lo tanto se evala el comportamiento solo hasta Fo =0.1, momento enel cual la temperatura en el centro de la placa, tanto numrica como exacta, es aproximadamente



x1 [m]

x 2 [m

]

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

30

40

50

60

70

80

90

100

x1 [m]

x 2 [m

]

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

30

40

50

60

70

80

90

100

a. b.

Figura 11: Solucin del problema de conduccin de calor en material de conductividad variable: a. Exacta, b.Numrica

de 41 C. En la Figura 10 se ilustra el comportamiento de la solucin en la recta x2 =0.5 paradistintos momentos. Se puede apreciar la exactitud de los resultados numricos excepto enFo =0.1 al aumentar x1, donde el error se hace notorio e indeterminado como consecuencia dela divergencia de la solucin analtica.

5.4. Conduccin de calor no linealSe considera una situacin hipottica de conduccin de calor en un material de conductividad

dependiente de la temperatura y fuente independiente. El fenmeno es modelado mediante laecuacin (31) con = T T, D = T 1.3, ~U = ~0, Sf = 0 y S obtenida al sustituir en la EDP lasolucin impuesta (45). La geometra del problema y las condiciones de frontera son anlogasa las mostradas en la Figura 2 teniendo en cuenta una f(x1) = T1 y T = T1 y un valor deL = W = 1.

T (x1, x2) T = 100Tx1x2(1 x1)(1 x2)e(x2

1+x2

2) (45)

Se evala el comportamiento de la solucin numrica obtenida utilizando una MQ conm = 1y un parmetro de forma c = 0.1h, donde h es una longitud caracterstica de cada stencil. Seutiliza una malla estructurada de 30 30 volmenes. En la Figura 11 se compara el contornoexacto con el numrico para observar la cercana de la solucin numrica. Tambin se analizacon mayor detalle el valor de la temperatura en la recta x1 =0.5 mediante las Figuras 12 a. y12 b., donde se aprecia la cercana entre los resultados considerando un bajo error relativo. Esteaumenta al acercarse a las fronteras pero sin afectar notoriamente el comportamiento global dela solucin, pues se obtiene un RMS = 0.54 %.

Se reportan tendencias del error residual para el proceso iterativo en la que, segn la Figura12 c., se puede observar un comportamiento estable y una velocidad de convergencia relativa-mente alta. Por medio de las pruebas de convergencia y exactitud realizadas al cdigo creado(DCCVRBFnl) se demuestra su validez y se asegura un buen funcionamiento.

6. CONCLUSIONESSe solucionaron adecuadamente las EDPs que modelan situaciones bsicas en transferencia

de calor mediante cdigos creados para la aplicacin del mtodo CV-RBF. Esta primera aproxi-



0 0.2 0.4 0.6 0.8 120

30

40

50

60

70

80

90

100

x2

T[C]

DCCVRBFnlAnalitica

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x2

%E

0 5 10 15 20106

104

102

100

102

104

iteraciones

resi

duos

RM

S

a. b. c.

Figura 12: Problema de conduccin de calor en material de conductividad variable, a. Temperatura en x1 =0.5, b.Error relativo en x1 =0.5, c. Error residual

macin al mtodo resulta exitosa teniendo en cuenta los modelos estudiados y su fcil acople alos diferentes mtodos numricos clsicos como son el mtodo de Newton-Raphson y el mtodode Cranck-Nicholson.

El mtodo CV-RBF es una versin mejorada del esquema clsico de FVM al permitir unamayor versatilidad en el tratamiento de geometras gracias a la interpolacin Hermtica porRBF que garantiza la independencia con respecto al tipo de malla empleado. Los resultadosobtenidos en las validaciones realizadas en mallas estructuradas y no estructuradas muestrangran correspondencia con los datos de referencia.

La funcin Multicudrica MQ con m = 1 registra buen comportamiento en las simulacionesrealizadas. El parmetro de forma es variable en el dominio y sus valores, para las simulacionesrealizadas, son del orden de una dcima parte del tamao de malla, en promedio. Los valoresregistrados para el valor del parmetro de forma en la literatura relacionada an no son univer-sales y solo aplican para las situaciones y esquemas de interpolacin especficos. Por lo tantola labor experimental de encontrar los valores ptimos se hace mediante el anlisis del errorrelativo o el error residual, en un proceso an tedioso, que se convierte en un aspecto a mejoraren el mtodo.

La capacidad de solucin de problemas en mallas no estructuradas, un esquema de interpo-lacin de alto orden con cualidades de esquemas de diferencias desplazadas (upwind), erroresrelativos bajos y una buena convergencia al ser acoplado con mtodos tradicionales, son lasprincipales fortalezas del mtodo CV-RBF. Estas cualidades invitan a continuar su desarrolloencaminado a la modelacin y simulacin de situaciones reales mediante la solucin de sis-temas de EDPs acoplados.

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INTRODUCCINTRANSFERENCIA DE CALORMTODO CV-RBFMtodo de Volmenes FinitosMtodo sin Malla y Funciones de Base RadialEl nuevo esquema de interpolacinColocacinInterpolacin local y ensamble global

MTODOS DE SOLUCINMtodo de Crank-NicholsonMtodo de Newton-Rapshon

RESULTADOSPlaca Plana: Problema de DirichletConveccin forzada en flujo PoiseuilleCalentamiento de una placa planaConduccin de calor no lineal

CONCLUSIONES

estado del arte cfd conveccion

Documents

mtodo cv

conduccin de calor

esquema cv

mtodo simtrico

mtodo de newton

conveccin de calor

condiciones de frontera

conduccin enestado transitorio