esfuerzo ideal en metales con estructura cristalina cúbica
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BENEMÉRITA UNIVERSIDAD
AUTÓNOMA DE PUEBLA
FACULTAD DE INGENIERÍA
COLEGIO DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA
Esfuerzo ideal en metales con estructura
cristalina cúbica centrada en el cuerpo
(bcc).
PRESENTA:
Victor Vicente Alcocer de la Fuente
ASESOR:
Dr. Alejandro Bautista Hernández
Abril 2015
INDICE
1.- Introducción
1.1.- La simulación en la ingeniería
1.2.- Propiedades mecánicas de los metales
1.3.- Concepto del esfuerzo ideal
2.- Marco teórico
2.1.- Marco teórico
2.2.- La superficie de energía potencial
2.3.- Código Gulp
2.4.- Optimización de las geometrías
2.5.- Método del átomo incrustado
2.6.- Módulos de elasticidad
2.7.- Potencial Finnis Sinclair
2.8.- Enlace metálico
3.- Resultados obtenidos
3.1.- Optimización de geometrías de los sistemas estudiados
3.2.- Construcción del diagrama esfuerzo-deformación
3.2.1.- Diagramas esfuerzo-deformación
4.- Conclusiones
5.- Bibliografía
5
Capítulo 1.- Introducción
1.1.- La simulación en la ingeniería
En ocasiones la ingeniería se vale del conocimiento empírico para buscar nuevos
desarrollos de sistemas o procesos, este conocimiento proviene de las ciencias
como la Física, la cual es conocida por utilizar el método teórico en la búsqueda
de conocimiento para después realizar cálculos, mediciones y pruebas
necesarias para la comprobación de los resultados obtenidos, de esta manera se
llega a comprobar la teoría. Este proceso de creación de teorías para después
llevarlas a la práctica ha resultado muchas veces eficaz y de manera económica
muy inferior a los costos en laboratorio.
En las últimas décadas muchas ciencias se han valido de la simulación por
medios computacionales para realizar estudios de procesos o sistemas que en
muchas ocasiones no pueden estudiarse en un laboratorio como es el caso de los
estudios ambientales, climáticos, económicos, sociales, estos modelos
computarizados constituyen un complemento importante para el estudio
experimental ya que de manera más controlada y económica brindan la
posibilidad de realizar estudios sobre modelos de procesos o sistemas
complejos.
Existe un gran desarrollo en la simulación orientada a la ingeniería,
específicamente en el diseño asistido por computadora CAD (computer-aided
design), que permite la creación de piezas, ensambles y análisis de esfuerzo,
deformaciones y vibraciones para verificar de manera simulada el correcto
funcionamiento de las propiedades mecánicas del modelo. La ingeniería asistida
por computadora (CAE, del inglés Computer Aided Engineering) es el conjunto
de programas informáticos que permiten analizar y simular los diseños de
ingeniería realizados con el ordenador, esto le confiere un gran poder a la
simulación en la búsqueda de mejores materiales hechos mediante aleaciones
para el desarrollo tecnológico, también mediante la simulación se pueden
realizar estudios a niveles de magnitudes difíciles a la hora de experimentar.
6
Desde luego, la simulación no podrá nunca sustituir a las medidas
experimentales, pues éstas constituyen la última palabra a la hora de verificar
las propiedades de un cuerpo y de probar la validez de un modelo teórico, pero
sí constituye una herramienta potente, eficaz, y a menudo barata que permite
orientar los experimentos y hacer una preselección de entre un cúmulo de
posibilidades de aquellas que resultan más adecuadas [1].
JUSTIFICACIÓN
El estudio de las propiedades físicas y químicas de metales es muy importante,
debido a que debemos conocer su comportamiento ante variables físicas y
químicas, que nos indican las posibles aplicaciones tecnológicas. En este trabajo
de tesis, se plantea el estudio del cálculo del esfuerzo ideal para los metales Fe,
W, Nb, V, Mo y Ta con estructura bcc. Se plantea dicho trabajo por las siguientes
razones:
1. De acuerdo a la revisión bibliográfica realizada previamente, no existen
estudios de este tipo con estos metales.
2. Estos metales tienen aplicaciones muy importantes, aquí mencionamos
algunas de ellas:
El fierro o hierro es el metal más usado, con el 95% en peso de la producción
mundial de metal. El hierro puro (pureza a partir de 99.5%) se utiliza por su
potencial magnético. El hierro tiene su gran aplicación para formar los
productos siderúrgicos, utilizando éste como elemento matriz para alojar otros
elementos aleantes tanto metálicos como no metálicos, que confieren distintas
propiedades al material. Se considera que una aleación de hierro es acero si
contiene menos de un 2,1% de carbono; si el porcentaje es mayor, recibe el
nombre de fundición. El acero es indispensable debido a su tenacidad,
especialmente en automóviles, barcos y componentes estructurales de edificios.
Las aleaciones férreas presentan una gran variedad de propiedades mecánicas
dependiendo de su composición o el tratamiento que se haya llevado a cabo.
El Tántalo o tantalio se utiliza casi exclusivamente en la fabricación de
condensadores electrolíticos de tantalio, un componente esencial de los
7
dispositivos electrónicos: teléfonos móviles, GPS, satélites artificiales, armas
teledirigidas, televisores de plasma, videoconsolas, computadoras portátiles, etc.
Aproximadamente las dos terceras partes del molibdeno consumido se emplean
en aleaciones. El molibdeno se utiliza pues en aleaciones de alta resistencia que
soporten temperaturas y corrosiones sumamente altas. Estas aleaciones se usan
en la construcción y en piezas de aviones y automóviles. El molibdeno se usa
como catalizador en la industria petrolera. En concreto, es útil para la
eliminación de azufre.
Industrialmente, la mayoría de vanadio se utiliza como un aditivo para mejorar
aceros. En lugar de proceder a través de metal vanadio puro es a menudo
suficiente para reaccionar el producto bruto de pentóxido de vanadio, "V2O5",
con hierro en bruto. Esto produce ferrovanadio adecuado para el trabajo futuro.
Los soldadores utilizan el niobio para ligar los componentes de acero inoxidable.
Además, los fabricantes de acero agregan pequeñas cantidades de un compuesto
de niobio-hierro conocido como ferroniobio para aumentar la fortaleza de sus
productos, así como la resistencia a las temperaturas y a la corrosión. El acero
combinado con niobio es utilizado ampliamente en las industrias aeroespacial,
química, de energía eléctrica y automotriz.
Los cristales de tungsteno con la estructura BCC están tan comprimidos que
resultan ser eficaces escudos contra la radiación de todas las clases. Barras y
planchas de tungsteno o carburo de tungsteno pueden resistir emisiones incluso
de partículas gamma, rayos de neutrones. Es un poderoso escudo, superior al
plomo y que además ofrece una toxicidad nula, cosa que el plomo no. Repele los
neutrones y la energía nuclear debido a su gran densidad y estabilidad atómica.
Para la soldadura TIG (Tungsten Inert Gas): consiste en usarlo de electrodo no
fusible (que no se funde), para hacer de arco eléctrico entre la pieza y la
máquina, ya que soporta 3410 °C cuando es puro (se usa para soldar aluminio o
magnesio, en corriente alterna).
OBJETIVO GENERAL
Cálculo del esfuerzo ideal uniaxial (tensión) para elementos con estructura
cúbica bcc (Fe, Mo, V, W, Nb y Ta) mediante cálculos semiempíricos.
8
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
a) Calcular los parámetros de red para cada elemento y comparar dichos
resultados con datos experimentales (validación del potencial usado).
b) Calcular el módulo de Young, módulo de corte y módulo de compresibilidad
en ausencia de esfuerzo.
c) Calcular el módulo de Young, módulo de corte y módulo de compresibilidad
como función del esfuerzo aplicado.
d) Análisis de la respuesta mecánica para cada elemento en función del esfuerzo
aplicado.
Planteamiento del problema
Tradicionalmente el estudio de las propiedades mecánicas de los materiales se
ha realizado mediante un punto de vista en el cual la materia se considera como
un medio continúo, isotrópico y homogéneo. Este ha sido el punto de partida a
los métodos de la Mecánica del Medio Continuo y la Mecánica de Sólidos
utilizada ampliamente en Ingeniería. Los resultados de la aplicación de esta
metodología han sido satisfactorios obteniendo una gran cantidad de
aplicaciones tecnológicas. Sin embargo, el desarrollo de nuevos materiales para
aplicaciones específicas, hace necesaria la introducción de nuevas metodologías
de cálculo capaces de responder a dichas necesidades. Recientemente [1-33] se
ha iniciado el estudio de las propiedades mecánicas de materiales mediante
aproximaciones a nivel atómico. A pesar de que los resultados obtenidos son de
carácter cualitativo principalmente, su enorme potencial en el estudio de las
propiedades mecánicas es muy importante [34].
1.2.- propiedades mecánicas de los metales
Las propiedades mecánicas pueden definir específicamente el comportamiento
de un material a soportar fuerzas aplicadas, incluyendo fuerzas de tensión,
compresión, impacto, de fatiga o fuerzas a altas temperaturas. El
comportamiento de los materiales queda definido por su estructura, a nivel
microscópico, la estructura de un átomo determina la naturaleza de los enlaces
atómicos que a su vez contribuye a fijar las propiedades de un material dado.
9
Experimentalmente, el ensayo mecánico se ocupa de la determinación de las
medidas de las propiedades mecánicas. Las mediciones primarias involucradas
son la determinación de la carga y el cambio de longitud. Estas se convierten en
términos de esfuerzo y deformación por medio de la consideración de las
dimensiones de una probeta [2].
Para un material dado, los resultados de un solo ensayo son aplicables a todo
tamaño y forma de muestras, si se convierte la fuerza en esfuerzo y la distancia
entre marcas calibradas en deformación. El esfuerzo y la deformación se definen
mediante las ecuaciones siguientes:
0
0
0
l
llnDeformació
A
FEsfuerzo
(1)
Donde A0 es el área original de la sección transversal de la probeta antes de
iniciar el ensayo, l0 es la distancia original entre marcas calibradas y l es la
distancia entre las mismas, después de haberse aplicado la fuerza F [3].
Las propiedades mecánicas fundamentales son la resistencia, la rigidez, la
elasticidad, la plasticidad y la capacidad energética. La resistencia de un
material se mide por el esfuerzo según el cual se desarrolla alguna condición
limitativa específica. Las principales condiciones limitativas o criterios de la
falla son la terminación de la acción elástica y la ruptura. La dureza, usualmente
indicada por la resistencia a la penetración o la abrasión en la superficie de un
material, puede considerarse como un tipo o una medida particular de
resistencia. La rigidez tiene que ver con la magnitud de la deformación que
ocurre bajo la carga; dentro del rango del comportamiento elástico, la rigidez se
mide por el “módulo de elasticidad”. La elasticidad (no el módulo de elasticidad)
se refiere a la capacidad de un material para deformarse no permanentemente al
retirar el esfuerzo [2].
Si una carga es estática o cambia relativamente muy despacio con respecto al
tiempo y es aplicada sobre una sección transversal o superficie de una
estructura, el comportamiento mecánico puede ser comprobado por una simple
prueba de esfuerzo-deformación [3].
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Existen diferentes tipos de ensayes mecánicos:
Tracción: esfuerzo a que está sometido un cuerpo por la aplicación
de dos fuerzas que actúan en sentido opuesto, y tienden a estirarlo,
aumentando su longitud y disminuyendo su sección.
Compresión: esfuerzo a que está sometido un cuerpo por la
aplicación de dos fuerzas que actúan en sentido opuesto, y tienden
a comprimirlo, disminuyendo su longitud y aumentando su
sección.
Flexión: esfuerzo que tiende a doblar el objeto. Las fuerzas que
actúan son paralelas a las superficies que sostienen el objeto.
Siempre que existe flexión también hay esfuerzo de tracción y de
compresión.
Cortadura: esfuerzo que tiende a cortar el objeto por la aplicación
de dos fuerzas en sentidos contrarios y no alineadas. Se encuentra
en uniones como: tornillos, remaches y soldaduras.
Torsión: esfuerzo que tiende a retorcer un objeto por aplicación de
un momento sobre el eje longitudinal.
En el ensayo mecánico de probetas preparadas hay cinco tipos primarios de
cargas; según lo dictado por la condición de esfuerzo a inducir: tensión,
compresión, corte directo, torsión y flexión. En los ensayos de tensión y
compresión (que son los que más nos interesan), se intenta aplicar una carga
axial a una probeta a modo de obtener una distribución uniforme del esfuerzo
sobre la sección transversal crítica [2].
11
Figura 1. Maquina universal de ensaye
El esfuerzo de tensión es la definición de la fuerza que un material puede
soportar antes de sufrir una fractura, siempre se expresa en función de una
unidad de área. Además del esfuerzo tensor, otros factores mecánicos deben
considerarse para realizar una conexión adecuada, incluyendo el esfuerzo de
deformación y el correcto acomodo de todas las partes de la conexión.
La deformación se define como el cambio de forma de un material debido a un
esfuerzo aplicado sobre el mismo; puede ser una deformación elástica que es el
cambio en la forma que sufre un cuerpo bajo carga, el cual se comprime esta
última o una deformación plástica que es el cambio de forma que sufre un
cuerpo bajo carga, el cual no se elimina al suprimir la carga que lo origina,
obteniéndose una deformación permanente, la deformación usualmente se
supone como un cambio lineal y se mide en unidades de longitud.
La deformación entonces se define como el cambio por unidad de longitud en
una dimensión lineal de un cuerpo, el cual va acompañado por un cambio de
esfuerzo. Es una razón, o un número adimensional, y es, por lo tanto, la misma
si se le mide en pulgadas por pulgada, o en centímetro por centímetro, etc. [2]
Bajo esfuerzo de tensión o compresión, la deformación se mide en forma
paralela a la dirección de la deformación y a la dimensión a la cual se le refiere
[2].
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El diagrama esfuerzo deformación expresa tanto el esfuerzo como la
deformación en términos de las dimensiones originales de la probeta,
un procedimiento muy útil cuando se está interesado en determinar los datos de
resistencia y ductilidad para propósito de diseño en ingeniería muestra
realmente lo que sucede en el material.
El uso de incrementos de carga en lugar de incrementos de deformación ha sido
práctica común porque, en términos generales, es más simple tabular los
incrementos de carga que los de las lecturas de la deformación [2].
Figura 2. Diagrama esfuerzo-deformación
La elasticidad es una propiedad de la materia que permite a los cuerpos
deformarse cuando están sometidos a una fuerza y recuperan la forma inicial
cuando la causa de la deformación desaparece. Existe un límite de
elasticidad, que si se sobrepasa, un cuerpo deja de ser elástico y por lo tanto
quedaría deformado permanentemente. Este límite depende de cada cuerpo y
de cada sustancia.
Si una carga de tensión dentro del rango elástico es aplicada, las deformaciones
axiales elásticas resultan de la separación de los átomos o moléculas en la
dirección de la carga. Al mismo tiempo se acercan más unos a otros en dirección
transversal. Para un material relativamente isotrópico, las características de
esfuerzo y deformación son muy similares no importando la dirección de la
13
carga, pero para los materiales anisótropos, estas propiedades varían según la
dirección de la carga [2].
La propiedad que tiene un material para resistir deformaciones se llama rigidez.
Esta capacidad de resistir una deformación elástica por efecto de una tensión.
Para la ingeniería, la rigidez de algo se evidencia por la capacidad de una pieza
estructural o de un material sólido para soportar esfuerzos sin sufrir
deformaciones ni desplazarse. La cuantificación de la rigidez frente a diversas
configuraciones de carga puede expresarse a través de los coeficientes de
rigidez, que son magnitudes físicas.
Bajo un esfuerzo simple dentro del rango proporcional, la razón entre el
esfuerzo y la deformación correspondiente es denominada módulo de
elasticidad. En términos del diagrama esfuerzo deformación, el módulo de
elasticidad es la pendiente de dicho diagrama en el rango de la proporcionalidad
del esfuerzo y la deformación [2].
1.3.- Concepto del esfuerzo ideal
En los últimos años ha habido un incremento significativo en el estudio del
esfuerzo mecánico ideal de los materiales, tanto por investigadores teóricos,
experimentales y metalurgistas. En el caso de los primeros, se ha retornado a
este problema debido a que parece que ya se tienen las condiciones de trabajo
necesarias para resolverlo. Avances importantes en teorías físicas y desarrollo
de computadoras cada vez más veloces, han hecho posible calcular los límites de
estabilidad con cierta precisión. Por otro lado, los investigadores experimentales
han retornado a este problema debido a que el esfuerzo real puede aproximarse
al ideal medido localmente mediante experimentos de nanoidentación. Además,
la comunidad de metalurgia está interesada en el problema porque materiales
ultraduros, son crecidos con volúmenes microscópicos y donde el esfuerzo ideal
es relevante [4].
El esfuerzo ideal de un material puede ser definido como el esfuerzo al cual un
cristal perfecto llega a ser inestable mecánicamente [4,5] y establece un límite
superior sobre el esfuerzo que el material puede lograr en la práctica. El
esfuerzo de los materiales es normalmente controlado por nucleación y el
14
movimiento de dislocaciones. Si tales defectos no estuvieran presentes, el
material solamente debería fallar si el esfuerzo ideal fuese alcanzado. Desde el
punto de vista teórico, el esfuerzo ideal juega un papel decisivo en la teoría
fundamental de fractura. Por ejemplo, la tensión necesaria para la nucleación de
dislocaciones enlazadas, puede ser identificada con el valor del esfuerzo ideal
cortante y la tensión para la nucleación de una grieta divisoria debe superar el
valor del esfuerzo ideal a tensión. El cociente de estos valores expresa la
tendencia de la matriz del cristal para llegar a ser frágil o dúctil [6].
El esfuerzo ideal –en un cristal libre de defectos (a T=0 K)- es el esfuerzo
calculado en el punto de inflexión en la curva de energía vs. Deformación, que
corresponde al máximo del diagrama esfuerzo-deformación. Si no aparece una
inestabilidad antes de este punto (elástica o vibracional), el valor del esfuerzo
ideal corresponde al valor máximo para el material en cuestión. El esfuerzo
ideal marca el inicio de la inestabilidad de la red cristalina ante una
deformación aplicada. Por lo tanto, el entendimiento de las causas y
características del esfuerzo ideal pueden ayudar a identificar aspectos del
comportamiento mecánico que son consecuencias fundamentales de la
estructura cristalina y del enlace químico [4].
En el cálculo teórico del esfuerzo ideal no existe la fractura como tal del material
pero se obtienen las curvas de estabilidad energética, debe entenderse al
esfuerzo ideal como un límite superior en el diagrama esfuerzo-deformación de
cualquier prueba en materiales correspondiente siempre con una temperatura
T=0 K.
Se tiene conocimiento que cuando se aplica ensaye de tensión en materiales
BCC considerados cristalinos se espera comúnmente un clivaje en el material
por ser una propiedad inherente a estos.
El clivaje es una propagación rápida de una grieta en dirección perpendicular a
la dirección de la tensión aplicada, produciendo en la superficie del material una
fractura plana.
El mejor dato cuantitativo que demuestra la posibilidad de acercarse al esfuerzo
ideal experimentalmente viene de la nanoidentación de materiales con
densidades de defectos muy bajas [5]. En esta situación un identador de
15
diamante con un radio de la punta del orden de 50 nm es presionado en la
superficie pulida del material. Debido al tamaño pequeño del identador, es
posible que el área de influencia por el campo de tensión impuesto, sea libre de
defectos. También, debido a que las tensiones máximas en la prueba ocurren
debajo de la superficie, la nucleación de dislocaciones de las superficies libres se
inhibe. Durante la nanoidentación, el material se deforma elásticamente hasta
una carga crítica en que el material repentinamente se deforma plásticamente.
La naturaleza elástica de la deformación inicial sugiere que en esta región el
movimiento de defectos no juega un papel importante y así el esfuerzo ideal
puede ser relevante [5].
Las inestabilidades mecánicas de la red cristalina definen el esfuerzo ideal. Sin
embargo, a un nivel más fundamental, esta inestabilidad mecánica puede por sí
misma ser el resultado de algún otro tipo de transformación de fase en la forma
de una inestabilidad termodinámica [5], este análisis de la transformación de
fase se deja para un trabajo a futuro.
A continuación se mencionan algunos estudios ya realizados por diferentes
autores:
En 1971, Frederick Milstein estudia el esfuerzo teórico y la estabilidad mecánica
de un cristal perfecto en términos de los criterios de Born (ver apéndice A1),
cuando a los cristales estudiados se les deforma de manera homogénea, y lo
hace en cristales bcc utilizando potenciales pares del tipo Morse. [7]. En 1974 K.
Huang, F. Milstein y J. A. Baldwin Jr. hacen un estudio de la estabilidad
reticular o del esfuerzo teórico de cristales fcc sujetos a un modo particular de
corte simple sin restricción, utilizando los criterios desarrollados por Milstein
en 1971[8]. En 1977 Hill y Milstein intentan clarificar el concepto de esfuerzo
ideal, cuando es considerado como un fenómeno de inestabilidad en el contexto
de la mecánica clásica [9]. Posteriormente, Milstein y Huang estudian la
respuesta de un cristal fcc con una carga uniaxial en la dirección [110] [10]. En
1980 Milstein, Hill y Huang estudian el comportamiento mecánico de los
cristales cúbicos sometidos a una carga uniaxial en la dirección [111],
caracterizan en general y estudian en detalle el comportamiento de los cristales
cúbicos, con el resultado de tener una prueba de una inestabilidad intrínseca de
las celdas cúbicas simples [11]. Cabe mencionar que como resultado general de
16
todos estos trabajos, se obtienen ciertos criterios de estabilidad, pero es un
modelo que toma en cuenta sólo interacciones del tipo par.
En 1982 Moriarty y McMahan realizan cálculos por primeros principios de la
energía total y predicen una secuencia de transiciones estructurales en metales
del tercer periodo bajo compresión, cabe resaltar que en este estudio no se
menciona el tipo de compresión aplicada, pero parece implícito que se apliquen
cargas del tipo hidrostático, y tampoco mencionan la estabilidad elástica de los
metales estudiados [12].
P. K. Lam y M. L. Cohen publican en 1983 un cálculo por primeros principios de
las fases estructurales del Al a altas presiones (compresión) variando el volumen
de la celda unitaria [13].
En 1985 K. P. Thakur publica el artículo llamado comportamiento mecánico de
metales fcc y bcc y su estabilidad bajo esfuerzos hidrostáticos de compresión y
tensión, en este artículo se propone una función y se compara con los obtenidos
utilizando funciones generalizadas de Morse, y se observan predicciones más
precisas que las que utilizan las funciones de Morse, particularmente para los
metales fcc, además presenta una comparación de la noción de los criterios de
estabilidad elástica desarrollados por Born (1940) y los desarrollados por
Milstein-Hill. [14].
W. J. Nellis et al realizan un estudio experimental del Al, Cu y Pb con muy altas
presiones, en el rango de 0.3-1 TPa para obtener una ecuación de estado [15]. En
1994 P. Šandera y J. Pokluda estudian el esfuerzo ideal de cristales cúbicos bajo
tensión triaxial; utilizan diferentes aproximaciones de potenciales interatómicos
(una función sinusoidal, una del tipo Morse, entre otras), pero hacen este
estudio sólo en un modo de tensión [16].
R. M. Linden Bell publica su artículo un estudio de simulación de desorden
inducido, falla y fractura de cristales perfectos de metal bajo tensión uniaxial
(en 1995) en donde estudia el comportamiento de cuatro metales fcc utilizando
dinámica molecular con los potenciales desarrollados por Sutton-Chen, hace
este estudio basándose en la energía libre de los 4 metales (Ag, Au, Pt y Rh) e
investiga el desorden que presentan éstos metales a cierta temperatura. Los
17
resultados que obtiene son en base a criterios de estabilidad termodinámica
[17].
En 1996 J. C. Boetger y S. B. Trickey hacen un cálculo de alta precisión para el
aluminio a 1 TPa con cálculos por primeros principios encontrando una
secuencia de fases cristalográficas (fcc-hcp-bcc) [18]. En este mismo año, F.
Milstein y D. J. Rasky publican un estudio teórico de las inestabilidades del
módulo de corte en los metales alcalinos (bcc y fcc) con presión hidrostática
[19].
P. Šandera et al en 1997 calculan por primeros principios el esfuerzo teórico de
algunos cristales cúbicos bajo tensión triaxial [20]. En 1998 F. Milstein y S.
Chantasiriwan hacen un estudio teórico de la respuesta de 12 metales cúbicos a
una carga uniaxial [21].
T. Çağin et al mediante dinámica molecular calcula las propiedades térmicas y
mecánicas de algunos metales de transición fcc, pero las propiedades mecánicas
calculadas son a P = 0 GPa [22].
M. Černy, P. Šandera y J. Pokluda en 2001 hacen un modelado por primeros
principios de la deformación de cristales cúbicos perfectos bajo tensión triaxial
[23]. Al año siguiente C. R. Krenn et al. en su artículo “Connecting atomistic and
experimental estimates of ideal strength”, sugieren que el esfuerzo ideal de
algunos materiales puede ser observado directamente utilizando la
nanoidentación [24].
D. M. Clatterbuck, D. C. Chrzan y J. W. Morris Jr. en su artículo, “The influence
of triaxial stress on the ideal tensile strength of iron”, señalan la importancia de
la tensión hidrostática en la transición del comportamiento dúctil-frágil del
material [25]. M. Černy, M. Šob, J. Pokluda y P. Šandera en 2004 hacen un
cálculo por primeros principios del esfuerzo ideal a tensión y de la estabilidad
mecánica del cobre, pero sólo analizan el material cuando se aplica la carga en la
dirección [001][26]. Posteriormente, pero en el mismo año, M. Černy y J.
Pokluda hacen un estudio de la estabilidad de cristales fcc bajo carga
hidrostática, pero sólo estudian el Al, Cu y Ag. Lo hacen por primeros principios
y el esfuerzo ideal es evaluado en el punto donde el valor de la tensión aplicada
hace que el cristal comience a ser inestable [6].
18
Capítulo 2.- MARCO TEORICO
2.1.- Marco teórico
Metales con estructura cristalina BCC
La comprensión de los materiales se logra mediante modelos donde se
representa cada átomo como una esfera solida donde la naturaleza química de
cada elemento influye en el tamaño de cada esfera, lo átomos e unen entre sí
para formar un material, cuando los átomos no siguen ningún orden se le llama
materiales amorfos mientras que cuando siguen un patrón de orden se les
conoce como cristalinos.
La estructura cristalina es el concepto que describe la forma como se organizan
los átomos en un material, es una disposición única de los átomos o moléculas
en un líquido cristalino o sólido, los elementos Fe, V, Nb, Mo, Ta y W tienen una
estructura cristalina del tipo BCC.
En esta estructura, los átomos se encuentran en:
8 en los vértices de un cubo;
1 en el centro del cubo.
La imagen de arriba muestra que el átomo en el centro cuenta con ocho (8)
vecinos y luego el número de coordinación es 8. (Cada átomo en la parte
superior también tiene ocho vecinos si se supone que el patrón continúa hasta
una distancia infinita en todas las direcciones.)
Cada átomo en las esquinas de conteo sólo para 1/8 (cada átomo es compartido
por 8 diferentes mallas) y uno para el átomo central, la celda unidad de la
estructura incluye dos átomos. Está totalmente definida por un único parámetro
de red, la longitud del lado:
a = b = c ;
α = β = γ = 90 °.
19
Figura 3. Estructura cristalina cubica centrada en el cuerpo.
Celda unitaria
La estructura interna de los cristales está representada por la llamada celda
unitaria que se repite una y otra vez en las tres direcciones del espacio. El
tamaño de esta celda viene determinado por la longitud de sus tres aristas (a, b,
c), y la forma por el valor de los ángulos entre dichas aristas (α, β, γ). El
conjunto de elementos de simetría de un objeto que pasan por un punto,
definen la simetría total del objeto (grupo puntuales de simetría). Hay muchos
grupos de este tipo, pero en los cristales éstos han de ser compatibles con la
periodicidad (repetitividad por traslación) por lo que hay sólo 32 posibles
grupos puntuales que se denominan clases cristalinas. Combinando las dos
traslaciones y el ángulo que forman entre sí, sólo hay cinco posibles formaciones
de redes planas: paralelogramo, rectángulo, cuadrado, hexágono y rombo.
Si formamos una red espacial apilando estas redes planas, sólo existen catorce
posibles formaciones que representan las formas más sencillas en que puede
descomponerse la materia cristalina sin que por ello pierdan sus propiedades
originales, son las llamadas redes de Bravais.
Los cristales presentan formas más o menos regulares con definición de aristas,
caras y vértices. Internamente están constituidos por partículas que guardan
entre sí relaciones y distancias fijas.
20
Parámetros de red
El parámetro de red hace referencia a la distancia constante entre las celdas
unitarias en una estructura cristalina. Geométricamente una celda unitaria
puede ser representada por un paralelepípedo, la geometría de la celda unitaria
es descrita en términos de seis parámetros: La longitud de las tres aristas del
paralelepípedo (a, b y c) y los tres ángulos entre las aristas (α, βy γ). Esos
parámetros son llamados parámetros de red.
2.2.- La superficie de energía potencial
De manera general los estudios experimentales de las propiedades en los sólidos
se realizan a presión atmosférica es decir a 1 bar (10-4 GPa), esto debido a la
dificultad que se presenta para generar presiones superiores a los 3 GPa. Sin
embargo, mediante el uso de aparatos hechos de materiales muy fuertes, como
el carburo de tungsteno, ha sido posible alcanzar presiones de hasta 400 GPa, y
en cámaras de aire de impacto se han logrado alcanzar presiones de transición
que incluso exceden este valor[1].
Los materiales estudiados se utilizan en la industria para las aleaciones como el
caso del molibdeno con el acero y el cromo para formar acero aleado de alta
resistencia, el molibdeno se utiliza en aplicaciones de alta presión y alta
temperatura.
La importancia de estudiar estos metales radica en la elaboración de materiales
de mayor resistencia a las altas presiones y futuras aleaciones con futuras
aplicaciones en la industria.
En el estado sólido los átomos se encuentran en distancias considerablemente
pequeñas en comparación de los gases, se puede considerar que la fuerza que
mantiene la cohesión entre átomos de un sólido se encuentran en el mismo
rango que las que mantienen la unión entre moléculas.
La estructura cristalina es el arreglo mediante el cual se organizan los átomos o
moléculas, estas estructuras son sistemas estables y mantienen un patrón
repetitivo a través del material.
21
Los sólidos metálicos son aquellos que exhiben un enlace que puede ser
considerado como un caso límite del enlace covalente, en la que todos los iones
del cristal comparten electrones [27]. La fuerza que actúa sobre los átomos para
mantenerlos unidos y formar moléculas se denomina enlace químico, la materia
busca tener una mayor estabilidad (para contener menor energía) debido a esto
los átomos se unen para formar agregados de menor energía y mayor
estabilidad liberando energía en este proceso.
Un sólido metálico es una red regular de iones positivos esféricamente
simétricos, arreglados en forma de esferas compactas, a través de las cuales se
mueven los electrones [27].
En los métodos utilizados por la simulación siempre se inicia calculando la
energía. La interacción entre los átomos produce la energía en un sistema, esto
depende totalmente de la posición y movimiento de cada átomo y núcleo. La
energía interna de un sistema es la suma de las energías cinéticas de todos los
átomos. Aun cuando no se pueda calcular la energía de manera precisa se
pueden realizar aproximaciones. La energía se puede descomponer en una
expansión de términos de las interacciones entre diferentes subconjuntos del
número total de átomos N:
N
i
N
i
N
j
N
kijk
N
jij
N
ii UUUU
1 1 1 111 6
1
2
1 (2)
Donde el primer término representa las propias energías de los átomos, el
segundo una interacción de tipo par, y así sucesivamente. Esta descomposición
es exacta si se hace para un orden muy alto. Es bien conocido que el método de
Hartree-Fock es una primera aproximación razonable para la descripción de
muchos sistemas, aunque con un error cuantitativo sistemático para la mayoría
de las observables. Aquí el término mayor que se incluye es una integral de
cuatro centros, la cual indica que debe ser una buena aproximación si se
incluyen términos de hasta cuatro cuerpos, que se encuentra de hecho en el caso
de la mayoría de los sistemas orgánicos, por ejemplo[28].
De acuerdo a la definición anterior la energía depende de la posición de los
átomos y núcleos con esta información se puede realizar una gráfica en el
22
espacio donde se representan los puntos críticos de una superficie de energía
potencial:
Mínimo global: Es la energía más baja y nos indica la conformación más
estable. Solo existe un mínimo global para cada molécula.
Mínimo local: Mínimos que constituyen regiones donde un cambio en la
geometría en cualquier dirección nos da una geometría de mayor energía.
Punto de silla: Es el punto entre dos energías extremas. El punto silla se
define como un punto en el cual hay un incremento de energía en todas
las direcciones excepto una, y para el cual la pendiente (primera
derivada) de la superficie es cero.
Figura 4. Superficie de energía potencial
23
2.3.- Código GULP
Se utiliza el código GULP (General Lattice Utility Program) [28] para el cálculo
de los parámetros de red de los metales estudiados. Este código fue realizado
por el Dr. Richard Gale, de Australia.
La optimización de la geometría (cálculo de los parámetros de red) de un
material cristalino consiste en la minimización de su energía total como función
del volumen (figura 5). Debido a la convexidad de la curva de energía en el
mínimo se deben de cumplir dos criterios:
1. La primera derivada de la energía debe ser cero.
2. El valor de la segunda derivada de la energía debe ser mayor que cero.
Figura 5. Optimización de la geometría de un cristal (estructura cristalina fcc).
El mínimo de la energía total marca el volumen óptimo de la celda unitaria.
2.4.- Optimización de las geometrías
El cálculo de la minimización de la energía comienza dando una posición inicial
a los átomos que forman la celda unitaria (en este caso son cuatro). Con esta
estructura de entrada (volumen inicial) se calcula su energía total. Para
acercarnos más rápidamente al mínimo de energía, una primera aproximación
se realiza con el método de Newton-Raphson (N-R) [44]. Para derivar una
fórmula y conocer las raíces reales por este método tenemos, en el caso de una
sola variable, que:
a= un valor aproximado de la raíz deseada
24
h= Es la corrección que debe ser aplicada a a para dar un valor más exacto
De modo que hax y 0xf ;
Entonces tenemos
0 haf (6)
Desarrollando en serie de Taylor
2
2hafhafafhaf (7)
Como h es relativamente pequeña, despreciamos los términos que contengan h2
y de orden mayor, para tener una simple relación
0 hafaf (8)
Del cual afaf
h
1 (9)
Y como es un método iterativo, podemos observar que
1
11
n
nnn
af
afaa (10)
que es el método de Newton-Raphson [29].
Regresando a nuestro problema de minimización de la energía en N variables,
tenemos que la energía sobre algún punto dado (o de una variable) puede ser
desarrollada como una serie de Taylor:
2
2
1hxEhxExEhxE (11)
donde xE Es el vector de la primera derivada en la posición x,
xE Es la matriz de la segunda derivada (problema físico en tres
dimensiones para nuestro caso, esta matriz es llamada comúnmente hessiano).
En este método se desprecian términos de orden mayor y sólo nos quedamos
con los de segundo orden. Esto es exacto para una superficie de energía que es
armónica, que es una buena aproximación para las curvas de energía vs.
volumen que obtenemos en nuestros cálculos.
25
Derivando la expresión anterior podemos estimar la posición del vector h
1 para
hallar el mínimo de energía:
hxExd
d (12)
Tenemos
xE
xEhhxExE
0 o gHh 1
(13)
Sin embargo, existen dos complicaciones:
Calcular la matriz de la segunda derivada, es más costosa
computacionalmente que los gradientes y la energía (cálculos repetidos
de la matriz y de la inversión de la misma, son indeseables).
Si el hessiano no es determinado positivo, entonces el método N-R
convergerá hasta un máximo a lo largo de cualquier modo imaginario del
mínimo.
Un gran número de métodos tienen implícito que el inverso del hessiano es
actualizado entre ciclos de minimización basados en el gradiente g, y la posición
x, vectores del actual y el ciclo previo. Uno de los métodos más utilizados es el
debido a Davidon, Fletcher y Powell(DFP) [30]:
iiiii
iiiiii
iiii
iiiiii
ggHgg
ggHggH
ggxx
xxxxHH
11
1
11
11
11
11111 (14)
Un método mejorado alternativo es el debido a Broyden, Fletcher, Goldfarb y
Shanno (BFGS) [31] que tiene un término adicional:
uuggHgg iiiii
11
1 (15)
Aunque el programa ofrece ambas opciones, el método BFGS es elegido como
primera opción, debido a su versatilidad.
2.5.- Método del átomo incrustado
Daw and Baskes [32] han propuesto un nuevo marco para el cálculo de la
energía de metales, que ellos llaman el Método de Átomo Incrustado (EAM). En 1 Este vector nos proporciona las próximas coordenadas (x,y,z) de los átomos en la celda unitaria para aproximarnos al mínimo de la energía.
26
esta aproximación, la energía del metal es vista como la energía para incrustar
un átomo dentro de la densidad electrónica local proporcionada por los átomos
permanentes del sistema. Además, hay una interacción electrostática. La
función que propusieron es
)(,2
1
ijjiijij
i ijij
ajicoh RRFE (16)
Donde F es la energía para incrustar, ρa es el promedio esférico de la densidad
electrónica atómica, y es una interacción electrostática de dos átomos. La
densidad de fondo para cada átomo en la ecuación anterior es determinada
evaluando en este núcleo la superposición de las densidades atómicas de los
otros átomos. Esta ecuación combina la simplicidad computacional necesaria
para sistemas de gran escala con un cuadro físico que incluye los efectos de
varios átomos y evita las ambigüedades del esquema del potencial par [44].
2.6.- Módulos de elasticidad
Se considera un sólido rígido aquel cuerpo en que la distancia entre sus puntos
es constantes, es decir no se deforma. Cuando a un cuerpo se le aplica una
fuerza este sufrirá una deformación, dependiendo de las propiedades del
material será el tipo de deformación aunque también influyen los factores como
la temperatura, el tiempo y la dirección de la fuerza que se aplique.
En forma experimental si se aplica una fuerza a un cuerpo y al cesar la fuerza
este recupera su longitud se dice que su comportamiento es lineal (relación de
Hooke), pero cuando se aumenta la fuerza se llega a un punto donde ya no es
válida esa relación, aun cuando el cuerpo recupere su longitud será elástico pero
no lineal.
27
Figura 6. Limite elástico en el diagrama esfuerzo deformación.
Aumentando la fuerza llegara un punto donde el cuerpo no pueda recuperar su
longitud original, esto significa que ha sobrepasado su límite elástico y entra en
el régimen plástico. Aumentando aún más la fuerza se provocara una fractura.
Las constantes elásticas son los parámetros que caracterizan el comportamiento
elástico de un material al ser sometido a un esfuerzo.
El Modulo de Young mide el comportamiento del material elástico sometido a
una fuerza de tracción o compresión por lo que tiene el mismo valor a tensión o
compresión este comportamiento fue observado por el científico inglés Thomas
Young.
Cuando se aplica un esfuerzo uniaxial a un material entonces el alargamiento
del material se mide de acuerdo a la deformación. La relación de esfuerzo a la
deformación define el valor de módulo de Young para ese eje:
� =�
�
Donde Y es el módulo de Young, � es la presión ejercida sobre el área de sección
transversal del objeto y � representa la deformación unitaria en cualquier punto
de la barra.
28
Dado que un material siempre aumentará de longitud bajo tensión, el valor de
esta cantidad debe ser siempre positivo. Los módulos de Young en cada una de
las direcciones cartesianas se pueden calcular a partir de las conformidades
elásticas:
�� = ���� �
�� = ���� �
�� = ���� �
El módulo de cizalladura proviene del caso en que una de las caras del cuerpo
permanezca en posición fija y actúe una fuerza tangencial sobre la opuesta. Para
un material elástico lineal e isótropo, el módulo de elasticidad transversal es una
constante con el mismo valor para todas las direcciones del espacio. El módulo
de compresibilidad de un material mide su resistencia a la compresión uniforme
y, por tanto, indica el aumento de presión requerido para causar una
disminución unitaria de volumen dada.
Los módulos de bulto (K) y de cizalladura (G) contienen información sobre la
dureza de un material con respecto a diversos tipos de deformación.
Experimentalmente un módulo de bulto es mucho más fácil de determinar que
el tensor de constante elástica. Si la estructura de un material es estudiada como
una función de la presión isotrópica aplicada, entonces un gráfico de presión en
función del volumen puede ajustarse a una ecuación de estado en el que el
módulo de bulto es uno de los parámetros de la curva. Normalmente se utiliza
un tercer o cuarto orden ecuación Abedul-Murgnahan de estado.
Alternativamente, los módulos de bulto y de corte también están claramente
relacionados con los elementos de la constante elástica. Sin embargo, no existe
una definición única de esta transformación. Aquí le damos tres definiciones
diferentes debido a Reuss, Voigt y Hill. A continuación son las ecuaciones para
las definiciones Reuss y Voigt, mientras que los valores de Hill se definen como
el promedio de los otros dos:
������ = 1
9 ���� + ��� + ��� + 2(��� + ��� + ���)�
29
������ = ���� + ��� + ��� + 2(��� + ��� + ���)�� �
������ = 1
15 (��� + ��� + ��� + 3(��� + ��� + ���) − ��� − ��� − ���)
������ = 15
4(��� + ��� + ��� − ��� − ��� − ���) + 3(��� + ��� + ���)
Donde las C son constantes elásticas del material y las S los inversos de las
constantes elásticas.
En términos de la tensión y la deformación, observando que la fuerza por
unidad de área, o tensión σ, que sufre un material, es una función de la
elongación por unidad de longitud, o deformación ε, del mismo. Euler propuso,
entre otras muchas contribuciones, una relación lineal entre σ y ε de la forma
E , donde el coeficiente E es el llamado módulo de Young. Antoine Parent
introdujo el concepto de tensión de cizalla (shear) en 1713, Cauchy formalizó en
1822 el concepto de tensión en el contexto de una teoría generalizada de tres
dimensiones, expresándola como una matriz de números 3x3 que transforma
como un tensor.
La ciencia y la técnica modernas plantean continuamente la necesidad de elevar
las exigencias a las propiedades mecánicas de los sólidos, la mayoría de las
cuales depende de su estructura atómica. Por eso, debemos conocer el
comportamiento de los materiales para poder aprovechar al máximo sus
posibles aplicaciones [1].
2.7.- Potencial Finnis Sinclair
Los potenciales que usamos en el estudio de los metales bcc son de tipo Finnis
Sinclair. Este potencial [50] incorpora el carácter de la cohesión metálica para
obtener los valores correctos de la formación de vacancias y energía de cohesión
reproduce de forma precisa los parámetros de red, módulos de compresibilidad
y la energía de superficie.
El potencial de Finnis Sinclair está dado por:
30
iij
ijFS iArVU 2
1
Dónde: ijr es la distancia interatómica entre átomos i y j {B, b0, α} son los parámetros de
ajuste. La densidad está dada por cada átomo por
ij iji rr )()( (d es un
parámetro de ajuste).
∅����� = �(��� − �)� ��� ≤ �
0 ��� > �
La parte repulsiva es un polinomio de cuarto orden:
������ = �((��� − �)� (�� + ����� + �����
�)� ��� ≤ �
0 ��� � �
Donde: ��� es la distancia interatómica entre los átomos i y j, c0, c1, c2 son los
parámetros de ajuste. Se encontró que el potencial Finnis Sinclair, parece dar un
resultado no físico para propiedades que involucran separaciones interatómicas
más pequeñas.
2.9.- Enlace metálico
Se conforma con átomos de igual o parecida electronegatividad de carga
positiva, e involucran fuerzas interatómicas relativamente grandes como
resultado de las fuerzas electrostáticas entre los electrones aportados por cada
átomo. Todos son donadores de electrones, y el conjunto de iones ocupan
posiciones de máximo empaquetamiento, muy próximos.
La característica principal del enlace metálico es que los electrones de valencia
no están asociados a cada átomo sino que forman parte del conjunto de
electrones cedidos por el conjunto de átomos.
Hay tres tipos de red cristalina metálica: cúbica centrada en las caras, con
coordinación doce; cúbica centrada en el cuerpo, con coordinación ocho, y
hexagonal compacta, con coordinación doce. En el enlace metálico, los átomos
se transforman en iones y electrones, en lugar de pasar a un átomo adyacente,
se desplazan alrededor de muchos átomos. Intuitivamente, la red cristalina
metálica puede considerarse formada por una serie de átomos alrededor de los
cuales los electrones sueltos forman una nube que mantiene unido al conjunto.
31
Principales Características Físicas:
Gran Movilidad de electrones.
Conducción Eléctrica: al aplicar un voltaje a través de un cristal, los
electrones de la “nube” débilmente enlazados, se moverán con facilidad
produciendo una corriente.
Ductilidad: Si observamos los átomos ordenados y empacados
compactamente por planos, es fácil imaginar lo que ocurriría al aplicar
un esfuerzo cortante; un plano se deslizara sobre el otro, sin producir
fractura, pues las mismas fuerzas interatómicas operan después del
desplazamiento.
Son altamente maleables.
Conductividad Térmica: Las conductividades térmicas y eléctricas son
muy elevadas (esto se explica por la enorme movilidad de sus electrones
de valencia).
Los materiales metálicos vienen de este tipo de enlace.
32
3.- Resultados obtenidos
3.1.- Optimización de geometrías de los sistemas estudiados
Como primer paso, se validó el potencial utilizado para los metales estudiados.
La validación consiste en calcular el parámetro de red y compararlo con su valor
experimental. En la tabla 1 se muestran los valores obtenidos. Como se puede
observar los porcentajes de errores de los parámetros de red calculados, con
respecto al valor experimental son menores al 1 %, lo que resulta en un
excelente acuerdo con los datos experimentales. Por lo tanto, el potencial de
Finnis Sinclair reproduce bien las distancias interatómicas para todos los
metales estudiados. El potencial utilizado fue validado en ausencia de esfuerzo.
PARAMETROS DE RED
ELEMENTO CALCULADO EXPERIMENTAL % DE ERROR
VANADIO 3.02 3.03 [45] 0.10
FIERRO 2.85 2.86 [46] 0.37
NIOBIO 3.28 3.30 [47] 0.37
MOLIBDENO 3.13 3.14 [48] 0.24
TANTALO 3.29 3.30 [49] 0.20
TUNGSTENO 3.15 3.16 [49] 0.21
Tabla 1. Parámetros de red calculados y experimentales en cada elemento.
33
3.2.- Construcción del diagrama esfuerzo-deformación
La metodología que llevamos a cabo fue la siguiente
1. Optimización del parámetro de red.
2. Aplicación de deformaciones uniaxiales a la celda unitaria para cada metal en
incrementos de 0.05 GPa, tomando en cuenta la contracción de Poisson.
3. Recopilación de los módulos de elasticidad en la formulación de voight para
cada metal.
4. A partir de la definición del esfuerzo ideal, obtener el diagrama esfuerzo-
deformación:
= �
� ��
��
Donde V es el volumen de la celda unitaria optimizada,
E es la energía de la celda unitaria, es la deformación
y es el esfuerzo uniaxial.
34
3.2.1.- Diagramas esfuerzo-deformación
Figura 7. Diagrama esfuerzo-deformación para el Vanadio.
DEFORMACIÓN MODULO DE
BULTO MODULO DE
CORTE MODULO DE
YOUNG
0 156.72 46.34 146.13
0.02 156.06 46.45 145.75
0.04 154.63 46.15 143.96
0.06 152.36 45.37 140.26
0.08 149.20 44.08 133.26
0.1 145.07 42.22 118.59
0.12 139.92 39.73 71.77
0.14 133.68 36.55 819.53
0.16 126.28 32.62 223.41
0.18 117.66 27.88 189.04
0.2 107.75 22.26 175.19
Tabla 2. Módulos mecánicos para el Vanadio en función de la deformación
aplicada.
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
0
2
4
6
8
10
12
14
ES
FU
ER
ZO
(G
Pa
)
DEFORMACIÓN
35
Figura 8. Diagrama esfuerzo-deformación para el fierro.
DEFORMACIÓN MODULO DE
BULTO MODULO DE
CORTE MODULO DE
YOUNG
0 177.47 94.76 145.20
0.02 175.71 94.07 150.49
0.04 173.37 92.98 151.23
0.06 170.40 91.45 144.19
0.08 166.77 89.45 119.20
0.1 162.46 86.98 22.89
0.12 157.41 84.00 4024.64
0.14 151.62 80.49 420.79
0.16 145.03 76.42 336.79
0.18 137.62 71.78 310.60
0.2 145.95 76.72 443.48
Tabla 3. Módulos mecánicos para el Fierro en función de la deformación
aplicada.
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
0
1
2
3
4
5
6
7
ES
FU
ER
ZO
(G
Pa)
DEFORMACIÓN
36
Figura 9. Diagrama esfuerzo-deformación para el Niobio.
DEFORMACIÓN MODULO DE
BULTO MODULO DE
CORTE MODULO DE
YOUNG
0 172.02 38.12 152.23
0.02 171.77 38.46 151.08
0.04 170.56 38.36 148.54
0.06 168.32 37.76 144.27
0.08 164.99 36.60 137.30
0.1 160.49 34.81 124.63
0.12 154.73 32.33 91.07
0.14 147.66 29.09 -3521.79
0.16 139.18 25.01 210.80
0.18 129.22 20.03 174.53
0.2 146.92 31.13 75.04
Tabla 4. Módulos mecánicos para el Niobio en función de la deformación
aplicada.
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
0
5
10
15
20
25
ES
FU
ER
ZO
(G
Pa
)
DEFORMACIÓN
37
Figura 10. Diagrama esfuerzo-deformación para el Molibdeno.
DEFORMACIÓN MODUO DE
BULTO MODULO DE
CORTE MODULO DE
YOUNG
0 263.25 124.06 351.33
0.01 263.94 124.96 334.25
0.02 268.77 129.14 296.97
0.03 274.64 133.78 271.05
0.04 182.34 79.32 -446.72
0.06 163.90 68.17 1324.51
0.08 147.49 58.26 243.78
0.1 133.59 49.87 83.61
0.12 122.89 43.42 8.36
0.14 116.13 39.35 -29.82
0.16 113.47 37.75 -37.51
0.18 103.14 30.09 27.90
0.2 130.69 44.91 256.36
Tabla 5. Módulos mecánicos para el Molibdeno en función de la deformación
aplicada.
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
0
5
10
15
20
25
30
ES
FU
ER
ZO
(G
Pa
)
DEFORMACIÓN
38
Figura 11. Diagrama esfuerzo-deformación para el Tántalo.
DEFORMACIÓN MODULO DE
BULTO MODULO DE
CORTE MODULO DE
YOUNG
0 199.50 70.22 144.31
0.02 198.24 69.97 147.06
0.04 196.39 69.38 147.85
0.06 193.91 68.45 145.93
0.08 190.79 67.13 139.68
0.1 187.00 65.42 124.92
0.12 182.51 63.29 87.19
0.14 177.29 60.71 -76.88
0.16 171.31 57.64 716.86
0.18 164.54 54.08 336.51
0.2 156.95 49.98 281.48
Tabla 6. Módulos mecánicos para el Tántalo en función de la deformación
aplicada.
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
0
5
10
15
20
ES
FU
ER
ZO
(G
Pa
)
DEFORMACIÓN
39
Figura 12. Diagrama esfuerzo-deformación para el Tungsteno.
DEFORMACIÓN MODULO DE
BULTO MODULO DE
CORTE MODULO DE
YOUNG
0 312.39 158.79 381.73
0.01 312.86 159.77 360.06
0.02 316.62 163.23 328.36
0.03 322.14 167.71 303.02
0.04 229.77 112.28 5.85
0.06 185.06 84.88 1164.24
0.08 175.91 78.41 276.54
0.1 173.75 75.96 127.05
0.12 179.25 78.02 98.27
0.14 190.00 83.31 162.16
0.16 201.84 89.50 477.86
0.18 211.69 94.80 -701.81
0.2 218.21 98.38 -94.02
Tabla 7. Módulos mecánicos para el Tungsteno en función de la deformación
aplicada.
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20-5
0
5
10
15
20
25
ES
FU
ER
ZO
(G
Pa
)
DEFORMACIÓN
40
METAL ESFUERZO
MÁXIMO
DEFORMACIÓN
MÁXIMA
Parámetro
de red
No. de electrones
de valencia
Mo 28.16 0.04 3.13 6
W 23.46 0.035 3.15 6
Nb 23.25 0.13 3.28 5
Ta 19.95 0.13 3.29 5
V 13.28 0.13 3.02 5
Fe 6.21 0.13 2.85 3
Tabla 8. Esfuerzo máximo y deformaciones.
En las figuras 7-12 se muestran los diagramas esfuerzo-deformación obtenidos.
De forma general, los metales V, Fe, Nb y Ta muestran un comportamiento más
dúctil, a partir de la forma del diagrama esfuerzo-deformación. Por otro lado,
los metales Mo y W muestran un comportamiento más frágil debido a que
tienen una marcada zona lineal. Debido a que ambos metales con los más
frágiles se espera que también sean los más duros, lo que se comprueba a partir
de las 7-12.
Por otro lado, en las tablas 3-8 se muestran los resultados del cálculo del
módulo de compresibilidad, de corte y de Young, como función del esfuerzo
uniaxial aplicado, para cada metal. En general, a medida que el esfuerzo
aumenta, los 3 módulos disminuyen, lo que se traduce en la pérdida de
estabilidad mecánica. Como era de esperarse, el módulo que provoca la falla
mecánica de los metales estudiados (los módulos tienen valores negativos o
valores muy grandes) es el módulo de Young. En las tablas también se observa
que en el valor negativo (o muy grande) de los módulos de Young, el valor de la
deformación coincide con la deformación máxima alcanzada en el diagrama
esfuerzo-deformación. Esto significa que ambos resultados estas relacionados
por la pérdida de estabilidad mecánica de los metales.
En la tabla 9, tenemos un concentrado de los resultados obtenidos en este
trabajo. En esta tabla observamos que el material más resistente (y a la vez más
frágil, a partir de los valores de deformación máxima) es el Mo y el menos
resistente es el Fe. Para poder explicar estos resultados, en la tabla 9 también se
41
muestran los parámetros de red y el número de electrones de valencia para cada
elemento. Podemos observar que para el metal con mayor esfuerzo (Mo) tiene el
parámetro de red más pequeño. En este sentido, el parámetro de red aumenta,
para cada elemento, a medida que disminuye el esfuerzo máximo. Esto se puede
explicar a partir de la definición de esfuerzo ideal, en donde el esfuerzo es
inversamente proporcional del volumen de la celda. Y debido a que el volumen
es proporcional al parámetro de red, nuestros resultados resultan lógicos. Otra
información de la relación del esfuerzo máximo con características a nivel
atómico se encuentra en el número de electrones de valencia. Podemos ver que
para los materiales con mayor esfuerzo mecánico tenemos una mayor cantidad
de electrones de valencia. Esto se explica debido a que un mayor número de
electrones de valencia incrementará la fuerza del enlace químico en cada
elemento, que en este caso es de tipo metálico, donde los electrones de valencia
son los que participan en el enlace químico. Por lo tanto, podemos relacionar
propiedades macroscópicas (en este caso esfuerzo mecánico) con características
a nivel atómico (parámetros de red y enlace químico) para tener un mayor
conocimiento del origen de las propiedades físicas de los materiales.
4.- Conclusiones
1. Se realizó un estudio del comportamiento mecánico de metales bcc a nivel
atómico.
2. Se estudia un procedimiento para el cálculo de propiedades mecánicas
usando la celda unitaria de los metales, obteniendo resultados cualitativos.
3. La resistencia mecánica de los elementos estudiados es inversamente
proporcional a los parámetros de red de cada elemento. También depende del
número de electrones de valencia en donde a mayor cantidad, mayor será el
esfuerzo mecánico.
4. Los diagramas esfuerzo-deformación muestran información acerca del
carácter dúctil/frágil para cada elemento.
5. Las propiedades mecánicas se pueden relacionar con características a nivel
atómico, tal como parámetros de red y enlace químico.
42
5.- Bibliografía
[1] J. Serrano Gutiérrez, Tesis de Maestría Estudio Ab-Initio de las transiciones de fase en GaN y
AlN, 1998
[2] H. E. Davis, G. E. Troxell, C. W. Wiskocil, Ensaye e Inspección de los Materiales de Ingeniería,
Mc-Graw-Hill Book Company 1964
[3] D. R. Askeland, Ciencia e Ingeniería de los Materiales, International Thomson editores 1998
[4] A. Bautista-Hernández, M. López-Fuentes, V. Pacheco-Espejel y J. F. Rivas-Silva, Rev. Mex.
De Fís. 51 (2005) 157
[5] D. M. Clatterbuck, Tesis Doctoral The Ideal Strength of Materials: Elastic, Magnetic and
Phonon Instabilities, Spring 2003
[6] M. Černy and J. Pokluda, Journal of Alloys and Compounds 378 (2004) 159
[7] F. Milstein, Phys. Rev. B 3 (1971) 1130
[8] K. Huang, F. Milstein and J. A. Baldwin, Jr., Phys. Rev. B 10 (1974) 3635
[9] R. Hill and F. Milstein, Phys, Rev. B 15 (1977) 3087
[10] F. Milstein and K. Huang, Phys. Rev. 18 (1978) 2529
[11] F. Milstein, R. Hill and K. Huang, Phys. Rev. B 21 (1980) 4282
[12] J. A. Moriarty and A. K. McMahan, Phys. Rev. Lett. 48 (1982) 809
[13] P. K. Lam and M. L. Cohen, Phys. Rev. B 27 (1983) 5986
[14] K. P. Thakur, J. Phys. F: Met. Phys. 15 (1985) 2421
[15] W. J. Nellis, J. A. Moriarty, A. C. Mitchell, M. Ross, R. G. Dandrea, N. W. Ashcroft, N. C.
Holmes, G. R. Gathers, Phys. Rev. Lett. 60 (1988) 1414
[16] P. Šandera and J. Pokluda, Metallic Materials 32 (1994) 180
[17] R. M. Lynden-Bell, J. Phys.: Condens. Matter 7 (1995) 4603
[18] J. C. Boettger and S. B. Trickey, Phys. Rev. B 53 (1996) 3007
[19] F. Milstein and D. J. Rasky, Phys. Rev. B 54 (1996) 7016
[20] P. Šandera, J. Pokluda, L. G. Wang and M. Šob, Mater. Sci. Eng. A 370 (1997) 234
[21] F. Milstein and S. Chantasiriwan, Phys. Rev. B 58 (1998) 6006
43
[22] T. Çağin, G. Dereli, M. Ulodoğan and M. Tomak, Phys. Rev. B 59 (1999) 3468
[23] M. Černy, P. Šandera and J. Pokluda, Proc. 3rd Int. Conf. On Materials Structure &
Micromechanics of Fracture, ed. P. Šandera, VUTIUM, Brno University of Technology, Brno
2001, 140
[24] C. R. Krenn, D. Roundy, M. L. Cohen, D. C. Chrzan and J. W. Morris Jr., Phys. Rev. B 65
(2002) 134111
[25] D. M. Clatterbuck, D. C. Chrzan and J. W. Morris Jr., Scripta Materialia 49 (2003) 1007
[26] M. Černy, M. Šob, J. Pokluda and P. Šandera, J. Phys.: Condes. Matter 16 (2004) 1045
[27] R. Eisberg y R. Resnick, Física Cuántica: Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos y Partículas,
LIMUSA 1997
[28] GULP manual, http://www.ivec.org/GULP/help/manuals.html
[29] J. B. Scarborough, Numerical mathematical analysis, The Johns Hopkins press 1966
[30] R. Fletcher and M. J. D. Powell, Comput. J., 6 (1964) 163
[31] D. F. Shanno, Math. Comput. 24 (1970) 647
[32] M. S. Daw and M. I. Baskes, Phys. Rev. B 29 (1984) 6443
[33] V. Vitek and D. J. Srolovitz, Atomistic Simulation of Materials: Beyond Pair Potential,
Plenum Press 1989
[34] W. Voigt, Lehrbuch der Kristallphysik (Teubner, Berlin) 1910
[35] J. F. Nye, Physical Properties of Crystals, Oxford Science Public 1985
[36] J. Chen, L. L. Boyer, H. Krakauer and M. J. Mehl, Phys. Rev. B 37 (1988) 3295
[37] F. Birch, Phys. Rev. 71 (1947) 809
[38] A. P. Sutton and J. Chen, Phil. Mag. Lett. 61 (1990) 139
[39] M. Levy, H. E. Bass y R.R. Stern, Handbook of elastic properties of solids, liquids and gases,
Volume II, Academic Press 2001
[40] J. Wang, J. Li, S. Yip, S. Phillpot and D. Wolf, Phys. Rev. B 52 (1995) 12627
[41] L. Fast, J. M. Wills, B. Johansson and O. Eriksson, Phys. Rev. B 51 (1995) 17431
[42] E. Orowon, Rept. Prog. Phys. 12 (1949) 323
[43] M. Born y K. Huang, Dynamical Theory of Cristal Lattices, Clarendon Press 1954
44
[44] Jose Humberto Camacho Garcia, Propiedades mecánicas de metales, semiconductores y
aleaciones mediante cálculos de primeros principios, tesis de maestría, Instituto de Física.
[45] B. M. Vasyutinskiy, G. N. Kartmazov, Yu. M. Smirnov, and V. A. Finkel, Phys. Met. Metall.,
1966, 21, 134.
[46] R. Kohlhaas, P. Donner, and N. Schmitz-Pranghe, Z. Angew. Phys., 1967, 23, 245.
[47] M. E. Straumanis, and S. Zyszczynski, J. Appl. Crystallogr., 1970, 3, 1.
[48] R. G. Ross and W. Hume-Rothery, J. Less-Common Metals, 1963, 5, 258.
[49] Y. Waseda, K. Hirata, and M. Ohtani, High Temp. High Pressures, 1975, 7, 221.
[50] M.Finnis and E. Sincalir, Phil. Mag. A., 5, 45, (1984)