esempio applicazione distribuzione di gumbel

12. Esempio di applicazione: distribuzione di Gumbel

Funzione di probabilità

uxxF

uxuxxf

expexp)(

expexp)( 1

I due parametri sono: e u

5772.0

6

xu

Metodo dei momenti per stima di e u

= scarto quadratico medio

Esempio di applicazione: distribuzione di Gumbel

Distribuzione di densità di probabilità

di Gumbel

25155 100 200

f(x)

0.1

0.3

0.2

0.4

403530 x

Le funzioni possono essere espresse utilizzando la variabile ridotta y=(x-u)/

Determinazione del valore di x caratterizzato da un tempo di ritorno T

TT

T

T

TTT

yuxT

Ty

TTxF

xFxXPxXPT

èpoichéxF

y

yxF

1lnln

1)(

)(1)(1)(1:

)(1lnln

)]exp(exp[)(

xT valore della variabile corrispondente al tempo di ritorno T secondo la distribuzione di probabilità in esame


y=(x-u)/

1. Determinazione del valore di T corrispondente ad un’osservazione x

)]uxexp(exp[)]yexp(exp[)x(FT

)x(FT

)]yexp(exp[)x(F

uxy

1

11

11

1

11

Noto il valore di x e dei parametri u e , si calcola il valore di y,(variabile ridotta), da cui si calcola F(x) e quindi il valore del tempo di ritorno T


y=(x-u)/

Stazione pluviografica di Trentoprincipali statistici del campione e valori dei parametri della distribuzione di probabilità di GUMBEL Stima dei parametri u e con il metodo dei momenti.

Durata (ore) N casi minimo massimo media Deviazione standard

y

1 52 11.0 45.0 21.1 7.7 17.69288 6.00279 3 52 16.0 62.0 31.3 11.0 26.35318 8.59703 6 52 25.0 82.4 42.5 14.4 35.98954 11.23940 12 52 30.0 123.0 58.6 21.8 48.77891 17.02172 24 52 40.2 147.6 76.8 25.5 65.31335 19.89397

Valori dei quantili regolarizzati di precipitazione (mm) con la distribuzione di probabilità di GUMBEL

Tempo di ritorno (T) T y Durata 2 5 20 50 100 2 0.36651 1 19.9 26.7 35.5 41.1 45.3 5 1.49994 3 29.5 39.2 51.9 59.9 65.9

20 2.97020 6 40.1 52.8 69.4 79.8 87.7 50 3.90194 12 55.0 74.3 99.3 115.2 127.1

100 4.60015 24 72.6 95.2 124.4 142.9 156.8


57720

6

.

xu

s

u

y=-ln[ln(T/(T-1))

xt=u+y

Esempio di applicazione: distribuzione log-normale (a due parametri)

Funzione di densità di probabilità

2)ln(

21exp

21)(

x

xxf

I due parametri sono: e

5.0

2

2

2

2

1ln

1ln21ln

xs

xsx

Nel caso di questa distribuzione, si assume che ln (x) segua una distribuzione normale

La distribuzione cumulata di probabilità normale non è disponibile in forma chiusa (si trova tabulata).

Metodo dei momenti per stima di e

z rappresenta quindi il valore della variabile della distribuzione di probabilità normale corrispondente al tempo di ritorno T.

σμ(x) lnz

Introducendo la variabile ridotta z

si hanno le seguenti espressioni delle funzioni densità di probabilità e probabilità cumulata di non superamento

2z2

e2π1 f(z)

Z2

z

dze2π1 Z)P(z F(z)

2


Tabella relativa alla distribuzione cumulata di probabilitànormale

Per T=100 anni, P(Zz)=0.99, z=2.325

Determinazione del valore di x caratterizzato da un assegnato tempo di ritorno T

zxT exp σz(x)ln

P(z Z) = (T-1)/T

T

dalle tabelle della distribuzione cumulata di probabilità normale si ottiene z

T = 1/P(z Z) = 1/(1 – P(z Z))

σμ(x)ln z


Determinazione del valore di T (o di P(Xx)) corrispondente ad un osservazione x nota

xz ln

Noto il valore di x e dei parametri e , si calcola il valore di z, (variabile della distribuzione di probabilità normale corrispondente)

Il valore di probabilità corrispondente viene determinato utilizzando le tabelle relative alla distribuzione normale, per cui se z=2.326


P(Zz)=0.99T=100 anni

Stazione pluviografica di Trento - massimi annuali di precipitazione di durata 1,3,6,12 e 24 ore

ANNO P01 P03 P06 P12 P24 ANNO P01 P03 P06 P12 P241932 26.8 29.6 32.6 35.8 40.2 1963 20.0 26.0 28.6 43.6 55.41936 14.0 21.0 33.0 52.0 66.0 1964 12.6 18.6 31.6 50.0 74.61937 45.0 56.0 56.0 56.0 60.6 1965 14.2 22.0 42.6 61.6 113.01938 25.0 48.0 62.4 68.6 97.0 1966 19.0 31.0 51.0 81.4 125.61939 15.0 33.0 54.0 94.6 96.4 1968 22.2 31.2 44.2 44.6 67.41940 23.8 47.0 59.0 77.0 85.0 1969 19.4 38.2 38.8 65.6 77.21941 13.2 19.0 33.0 41.6 54.0 1970 22.4 34.6 46.4 51.6 69.81942 29.0 47.0 82.4 123.0 123.0 1971 17.0 21.8 27.8 40.0 73.61943 21.8 25.0 31.8 31.8 47.4 1972 16.8 24.4 30.8 51.4 71.61944 22.0 43.6 44.6 56.6 64.2 1973 32.8 33.0 34.8 42.0 56.01947 35.6 37.4 37.8 47.4 82.0 1974 17.0 25.6 44.2 50.0 50.41948 14.6 25.0 31.2 44.0 61.8 1975 14.0 18.2 27.0 30.0 51.01949 12.0 21.0 35.0 50.8 62.8 1976 21.0 44.2 74.0 112.0 147.61950 17.2 18.4 27.8 34.6 50.2 1977 13.8 20.2 33.6 46.4 54.01951 40.0 62.0 79.0 99.0 116.4 1978 21.6 22.6 26.0 40.0 66.01952 26.6 30.0 43.0 58.6 95.6 1979 21.0 28.0 39.0 73.8 102.01953 16.8 32.8 40.4 67.0 104.6 1980 26.0 41.4 57.8 86.8 106.81954 13.4 29.0 29.8 41.0 49.0 1981 13.4 23.2 28.8 47.4 91.01955 12.8 16.0 25.0 38.4 47.6 1982 26.2 27.4 36.0 51.0 60.41956 11.0 20.6 26.0 43.0 56.8 1983 24.2 38.6 55.8 70.2 71.21957 20.8 23.6 27.2 35.8 64.6 1985 37.4 52.8 52.8 62.4 67.81958 16.8 21.0 33.2 38.0 55.6 1986 12.8 22.8 44.0 80.2 120.81959 20.4 26.0 47.2 68.4 109.6 1987 19.8 27.2 39.4 63.2 68.61960 22.8 46.2 59.8 80.8 96.8 1988 14.4 22.4 38.0 48.6 56.81961 23.0 30.2 38.6 52.4 69.6 1989 34.4 35.4 36.0 44.0 57.61962 29.0 43.0 54.8 56.2 59.2 1990 18.4 46.2 75.2 117.2 121.2

Applicazione: distribuzione log-normale

Stazione pluviografica di Trentoprincipali statistici del campione e valori dei parametri della distribuzione diprobabilità LOG-NORMALEStima dei parametri e con il metodo dei momenti.

Durata (ore) N casi minimo massimo media deviazionestandard

1 52 11.0 45.0 21.1 7.7 2.986 0.35363 52 16.0 62.0 31.3 11.0 3.385 0.34336 52 25.0 82.4 42.5 14.4 3.693 0.330012 52 30.0 123.0 58.6 21.8 4.006 0.360024 52 40.2 147.6 76.8 25.5 4.288 0.3230

Valori dei quantili regolarizzati di precipitazione (mm) con la distribuzione diprobabilità LOG-NORMALE

Tempo di ritorno (T)T z Durata 2 5 20 50 1002 0.0 1 19.8 26.6 35.3 40.8 44.95 0.85 3 29.3 39.2 51.6 59.5 65.3

20 1.645 6 40.0 52.7 68.6 78.4 85.750 2.055 12 54.4 73.4 97.8 113.1 124.6

100 2.326 24 71.8 94.8 123.7 141.6 155.0

Applicazione: distribuzione log-normale

5.0

2

2

2

2

1ln

1ln21ln

xs

xsx

xz ln

zxT exp

dalla tabella

Le carte probabilistiche

Le carte probabilistiche esistono per ogni tipo di funzione di probabilità (log-normale, Gumbel, ..)

Le curve di probabilità della funzione corrispondente viene rappresentata da una retta

ascissa viene riportata la variabile x

ordinata viene riportata la probabilità P(Xx) o P(Xx), il tempo di ritorno, e/o la variabile ridotta della distribuzione.

Le carte probabilistiche

• per verificare l’ammissibilità della funzione di probabilità prescelta per descrivere il campione, ancor prima di stimare i parametri:

se il tipo di funzione di distribuzione prescelto è adatto ad interpretare le osservazioni, i punti devono addensarsi intorno ad una retta.

La variabile ridotta y della distribuzione Gumbel e z della log-normale sono funzioni della probabilità cumulata di non superamento e le rette y = (x –u)/ ed z = (ln(x) -)/ individuano quindi le popolazioni che seguono rispettivamente le distribuzioni di parametri e u ed e .

le carte probabilistiche possono essere utilizzate

La carta probabilistica log-normale

La carta probabilistica di Gumbel

Carte probabilistiche e plotting position

Se i parametri della distribuzione non sono stati ancora determinati, non è possibile calcolare la probabilità attraverso le formule consuete.

1)(

NmXxP

dove m : posizione del dato nella serie ordinata in senso crescente, N : numerosità del campione

Plotting position

Per riportare un punto sulla carta probabilistica, è necessario conoscere di esso il valore x e la probabilità P(Xx) o P(Xx).

Nelle carte probabilistiche viene quindi utilizzata un’approssimazione della probabilità di superamento, detta plotting position. Approssimazione normalmente utilizzata:

Carte probabilistiche e plotting position

• procedere in modo analitico alla determinazione dei parametri (p. es. tramite il metodo dei momenti) e quindi riportare la retta risultante sul grafico al fine di valutarne la capacità descrittiva (questo metodo è preferibile).

Dopo aver riportato i valori sulla carta probabilistica, ed avere accertato che si addensano intorno ad una retta, è possibile:

• utilizzare direttamente il diagramma per identificare la retta che meglio regolarizza i valori (p.es. tramite il metodo dei minimi quadrati)

oppure

Applicazione: stazione pluviografica di Trento

Le figure riportano le carte probabilistiche di Gumbel relative ai valori di precipitazione massima annuale di durata pari ad 1 e 24 ore. Le rette introdotte nei grafici sono quelle stimate tramite il metodo dei momenti. Infatti nelle carte viene riportata in ascissa la variabile ridotta ed in ordinata il dato.

Extr.ValExpectedObserved

Stazione pluviografica di Trento - 1932-1990Cartogramma probabilistico di GUMBEL

y: variabile ridotta

mas

sim

i ann

uali

(1 o

ra)

.01 .05

.15 .25

.35 .45

.55 .65

.75 .85

.95 .99

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Extr.ValExpectedObserved

Stazione di Trento - (1932-1990)cartogramma probabilistico di GUMBEL

y: variabile ridotta

mas

sim

i ann

uali

24 o

re (m

m)

.01 .05

.15 .25

.35 .45

.55 .65

.75 .85

.95 .99

2030405060708090

100110120130140150

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

uyxuxy

P. es.: u rappresenta il valore dell’intercetta dall’applicazione del metodo dei momenti si ricava u (1h) = 17.7 u (24h) = 65.3

esempio applicazione distribuzione di gumbel

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