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Equazioni di Maxwell
F i s i c a s p e r i m e n t a l e I I c d l C h i m i c a
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Riepilogo principali espressioni
∇ ⋅E =
ρε0
∇ ×E = −
dBdt
∇ ⋅B = 0
c2∇ ×B =
Jε0
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
in generale E ≠∇Φ
∇ ⋅J = −
dρdt
conservazione della carica elettrica
F = q
E + v ×
B( )forza agente su di una carica
legge di moto
F =
dpdt
= m0ddt
v1− v2 c2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
sono tra loro in contrasto
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c2∇ ×B =
Jε0
∇ ⋅J = 0 invece che:
∇ ⋅J = −
dρdt
Si nota che:
Tutte le volte che
la legge di Amper porta a risultati assurdi o contraddittori
dρdt
≠ 0
Un esempio per tutti:
sfera di materiale radioattivo che emetta particelle α
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per calcolare il campo magnetico a distanza “R” dal centro della sfera
Circonferenza di raggio “r” su di una sfera di raggio “R”
B ⋅dl
Γ∫ =
1ε0c
2
J ⋅ n ds
S∫
B2πr = 1ε0c
2 J(R)πr2 =
1ε0c
2
i4πR2
πr2
B=1
ε0c2
i8πR2
rDa cui: dipende dal raggio della circonferenza !!!
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Per superare dette contraddizioni Maxwell propose di modificare la legge di Amper tramite l’aggiunta di un termine al
secondo membro
c2∇ ×B =
Jε0
+X Questo è sono uno degli infiniti modi in cui
la legge di Amper può essere modificata
Che condizione dobbiamo imporre a riguardo del
termine aggiuntivo?
Accordo con la legge di conservazione della carica
elettrica
0 =∇ ⋅J
ε0+∇ ⋅X
∇ ⋅X = −
∇ ⋅J
ε0=1ε0
ddt
ρ
Conosciamo una possibile funzione candidata?
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∇ ⋅E =
ρε0
Dalla:
ddt
∇ ⋅E =∇ ⋅
ddtE⎛
⎝⎜⎞⎠⎟=1ε0
ddt
ρ
Una possibile soluzione:
X =
ddtE
solo una delle infinite possibili
Maxwell propose quindi
c2∇ ×B =
Jε0
+ddtE
Come si può essere sicuri che la modifica proposta sia quella giusta?
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Essa sana le contraddizioni, ma questo non può essere il motivo per cui si considera corretta la modifica
B ⋅dl
Γ∫ =
1ε0c
2
J ⋅ n ds
S∫ +
1c2
dEdt
⋅ n dsS∫
B2πr = 1ε0c
2 J(R)πr2 +
1c2dE(R)dt
πr2 = 1ε0c
2
i4πR2
πr2 + 1c2
πr2 14πε0
1R2
dQdt
B2πr = 1ε0c
2
i4R2
r2 +1c2r2
14ε0
1R2(−i) = 0 B = 0
le contraddizioni sono sanate dall’accordo con la conservazione della carica, ma vi sono infiniti modi di
ottenere l’accordo!
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∇ ⋅E =
ρε0
∇ ×E = −
dBdt
∇ ⋅B = 0
c2∇ ×B =
Jε0
+dEdt
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
prima equazione di Maxwell
seconda equazione di Maxwell
terza equazione di Maxwell
quarta equazione di Maxwell
Con la modifica apportata, il complesso delle quattro equazioni predice fenomeni nuovi
Si tratta di verificare sperimentalmente se detti fenomeni realmente esistono
Se la verifica è positiva, si deve concludere che la modifica apportata è corretta
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Dove è la novità?
∇ ⋅E =
ρε0
∇ ×E = −
dBdt
∇ ⋅B = 0
c2∇ ×B =
Jε0
+dEdt
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
∇ ⋅E = 0
∇ ×E = −
dBdt
∇ ⋅B = 0
c2∇ ×B =
dEdt
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
ρ = 0J = 0
⎧⎨⎩
Se non fossero presenti le derivate temporali
La soluzione sarebbe:
E = 0B = 0
⎧⎨⎪
⎩⎪
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∇ ⋅E = 0
∇ ×E = −
dBdt
∇ ⋅B = 0
c2∇ ×B =
dEdt
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
Dato che per
I secondi membri non sono identicamente nulli
Si hanno soluzioni in assenza di cariche e correnti che dipendono dalla particolare forma dei secondi
membri
ρ = 0J = 0
⎧⎨⎩
Da qui la possibilità di verifica sperimentale
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Due lastre infinite uniformemente cariche
Se le due lastre sono ferme non avremo campi elettrici e magnetici nello spazio esterno
E = 0B = 0
⎧⎨⎪
⎩⎪
Se , all’istante t=0 , forniamo alla lastra positiva una velocità v diretta come in figura
Avremo delle correnti dirette come “y”
Campi magnetici nel piano “zx”
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c2B ⋅dl =∫ c2 2b ⋅ B x ≡
a2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=σvε0b
B x ≡a2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
σv2ε0c
2indipendente dalla distanza
Se non ci fosse il termine correttivo di Maxwell:
Quindi, mettendo in moto la lamina, il campo passerebbe da 0 al valore finito trovato
Il campo quindi dipenderebbe dal tempo e questo genererebbe campi elettrici,
secondo la legge di Faraday
∇ ×E = −
dBdt
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Come sarà diretto il campo elettrico?
∇ ×E = −
dBdt
indica che è diretto in modo da “opporsi” alla causa che lo genera
Ovviamente anche il campo elettrico generato sarà dipendente dal tempo
Senza il termine aggiuntivo di Maxwell questo effetto non si ripercuoterebbe sul
valore del campo magnetico
Ma, se la correzione è giusta, il modo con cui abbiamo valutato il campo magnetico non è corretto, ed il valore trovato è errato
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Di quanto avremo sbagliato?
omesso il flusso della derivata del campo elettrico
L’errore sarà tanto maggiore quanto più grande è il lato”a”
del rettangolo
Quindi:nelle immediate vicinanze il risultato trovato risulterà
praticamente correttoa grande distanza il valore del campo magnetico potrà
essere completamente diverso da quanto calcolato
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Diamo una soluzione e verifichiamola
La verifica andrà fatta a cavallo del fronte
−c2B ⋅b =ddt
Φ E( ) = −bαE
EB=c2
α
Relazione tra i moduli dei campi
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Nel piano perpendicolare
E ⋅b = −ddt
Φ B( ) = −b ⋅ −B( )α EB= αda cui:
Le due relazioni concordano solo se α=c
EB=c2
αsi era trovato:
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Le altre due equazioni
ΦS
E( ) = 0
ΦS
B( ) = 0
in quanto le linee di campo sono rette giacenti su piani paralleli a quello delle lastre ed il modulo del campo
dipende solo dalla distanza
sono ovviamente sempre soddisfatte
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La soluzione:
Campi tra loro perpendicolari
Fronte che si muove con velocità”c”
Modulo dei campi uniformeModulo dei campi nullo
Campi perpendicolari alla direzione lungo la quale si muove il fronte
soddisfa le equazioni di Maxwell
B x < ct( ) = σv2ε0c
2 E x < ct( ) = σv2ε0c
di moduli
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Campi tra loro perpendicolari
Fronte che si muove con velocità ”c”
Modulo dei campi uniformeModulo dei campi nullo
Campi perpendicolari alla direzione lungo la quale si muove il fronte
B x < ct( ) = σv2ε0c
2 E x < ct( ) = σv2ε0c
Valgono in generale
Valgono nel caso particolare
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Le lamine sono due.
Supponiamo, al tempo t=T, di muovere anche la seconda lamina con identica velocità della prima
dato che è carica di segno opposto, produrrà campi opposti a quelli generati dalla prima
Campi magnetici generati dalle due lastre in moto
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I campi occupano solo uno straterello di spazio definito da “c(t-T) < x < c t”
Adesso le lastre possono essere anche poste a contatto in modo che le cariche si neutralizzino
a vicenda
Ciò non produrrà alcun effetto sullo straterello occupato dai campi, i cui fronti continueranno a muoversi entrambi
con velocità “c”
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Fino ad ora i campi non potevano essere separati dagli
oggetti materiali.
Venivano introdotti per superare la difficoltà concettuale delle
“interazioni a distanza”, ma se ne poteva fare a meno
Se si riconosce che possono sussistere anche indipendentemente dagli oggetti, allora essi divengono un soggetto fisico a tutti gli effetti:
cambia l’ottica con cui guarda a
tutto quanto ricavato
Giustifica il cambiamento di nome delle equazioni
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Fenomeni simili accadono realmente?Nella risposta a questa domanda risiede la giustificazione del
termine introdotto da Maxwell
Occorre generare, nella stessa regione di spazio, sia campi elettrici che magnetici e vedere se siano o meno in grado di
propagarsi nello spazio
Circuito RLC
Campo elettrico
Campo magnetico
ε = ε0 cos ω t( )
ε − iR − Ldidt
−qC
= 0
Punto di partenza:
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ε − iR − Ldidt
−qC
= 0
derivando rispetto al tempo
Passando alla notazione complessa: ε → ε0ejω t i→ℑ0e
jω t
jω ε0ejω t = R jω ℑ0e
jω t − Lω 2 ℑ0ejω t +
1Cℑ0e
jω t
ddt
ε = R ddti + L
d 2
dt 2i +
iC
ℑ0 =ε0
R + j Lω − 1ωC
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
ℑ0 =ε0
R2 + Lω − 1ωC
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2 R − j Lω −1
ωC⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟=
ε0
R2 + Lω − 1ωC
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
R − j Lω − 1ωC
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
R2 + Lω − 1ωC
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2=
ε0
R2 + Lω − 1ωC
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2e jϕ
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i = i0 cos ω t +ϕ( )
B x,t( ) =
B x( )cos ω t +ϕ( )
Il problema è che il campo elettrico è confinato tra le armature del condensatore mentre il campo
magnetico è nello spazio esterno
q = i0 cos ω t +ϕ( )0
t
∫ dt =i0ωsin ω t +ϕ( )
E t( ) =
E0 sin ω t +ϕ( )
ℑ0 =ε0
R2 + Lω − 1ωC
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2e jϕ
Impedenza
Sfasamento
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Sia il campo elettrico che quello magnetico
occupano la stessa regione di spazio
Possono quindi intervenire le derivate temporali dei campi
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Heinrich Hertz
I campi si propagano come previsto dalle equazioni di
Maxwell e valgono per loro le stesse leggi dell’ottica
geometrica
Pure la velocità con cui si propagano è numericamente uguale a quella della luce
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Questo porta a riconoscere la luce come campi elettromagnetici che si propagano nello spazio
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Soluzioni delle Equazioni di Maxwell
∇ ⋅E =
ρε0
∇ ×E = −
dBdt
∇ ⋅B = 0
c2∇ ×B =
Jε0
+dEdt
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
Cerchiamo di riscrivere queste equazioni in modo che sia evidente il
tipo di soluzione da loro ammessa
Due delle quattro equazioni ci serviranno per introdurre delle funzioni potenziale esprimendo in
termini di questi i campi
Le altre due serviranno per ricavare materialmente i potenziali
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Se
∇ ⋅B = 0 allora:
B =∇ ×A
Dalla:
∇ ×E = −
dBdt
∇ ×E = −
d∇ ×A( )
dt= −∇ ×
dAdt
∇ ×
E +
dAdt
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= 0
E +
dAdt
= −∇Φ
Quindi:
B =∇ ×A
E = −
∇Φ −
dAdt
potenziale scalare
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Dato che il potenziale vettore determina entrambi i campi
se:
A→
A +∇ϕ
allora occorre cambiare pure il potenziale scalare secondo la:
Φ→Φ−ddtϕ
Veniamo adesso alle altre due equazioni: quelle che servono per determinare i potenziali
∇ ⋅E =
ρε0
∇ ⋅ −
∇Φ −
dAdt
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
ρε0
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∇2Φ +d∇ ⋅A( )
dt= −
ρε0
La divergenza del potenziale vettore è arbitraria, quindi la possiamo scegliere in
modo da semplificare l’equazione
Vediamo prima l’ultima relazione
c2∇ ×B =
Jε0
+dEdt
c2∇ ×
∇ ×A( ) =
Jε0
+d −∇Φ − d
Adt
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
dt
c2∇∇ ⋅A( ) − ∇2 A⎡
⎣⎤⎦ +∇dΦdt
+d 2A
dt 2=Jε0
Potremmo rendere l’equazione identica a quella dell’elettrostatica!
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c2∇∇ ⋅A( ) − ∇2 A⎡
⎣⎤⎦ +∇dΦdt
+d 2A
dt 2=Jε0
∇2Φ +d∇ ⋅A( )
dt= −
ρε0
La maggiore difficoltà risiede nel fatto che entrambi i potenziali sono legati sia alle cariche che alle correnti
Possiamo usare la scelta sulla divergenza in modo da separare le dipendenze
Calibro di Lorentz
∇ ⋅A = −
1c2dΦdt
Non conviene quindi scegliere
∇ ⋅A = 0
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∇2Φ−1c2d 2Φdt 2
= −ρε0
∇2 A −1c2d 2A
dt 2= −
Jc2ε0
Sono quattro equazioni strutturalmente identiche
La prima connette il potenziale scalare alle densità di carica
Le altre connettono il potenziale vettore alle tre componenti del vettore densità di corrente
I primi membri sono simmetrici nelle quattro coordinate: “x” , “y”,”z”ed “ict”
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∇ ⋅E =
ρε0
∇ ×E = −
dBdt
∇ ⋅B = 0
c2∇ ×B =
Jε0
+dEdt
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
B =∇ ×A
E = −
∇Φ −
dAdt
∇2Φ−1c2d 2Φdt 2
= −ρε0
∇2 A −1c2d 2A
dt 2= −
Jc2ε0
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
La novità viene dallo spazio
vuoto !
B =∇ ×A
E = −
∇Φ −
dAdt
∇2Φ−1c2d 2Φdt 2
= 0
∇2 A −1c2d 2A
dt 2= 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
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∇2Φ−1c2d 2Φdt 2
= 0Quali soluzioni ammette la:
d 2
dx2Φ +
d 2
dy2Φ +
d 2
dz2Φ−
1c2d 2Φdt 2
= 0
Una soluzione di questa equazione è
Φ r ,t( ) = Φ0 sin 2π
k ⋅ r −υ t( ) +ϕ( )
Vettore dato
Costanti date
d 2
dx2Φ = −Φ0
2 sin 2πk ⋅ r −υ t( ) +ϕ( ) 2π( )2 kx2
Infatti:
ed analoghe
Oltre la ovvia Φ r ,t( ) = 0
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d 2Φdt 2
= −Φ02 sin 2π
k ⋅ r −υ t( ) +ϕ( ) 2π( )2υ 2
infine
per cui:
che implica la condizione:
Quindi: Φ r ,t( ) = Φ0 sin 2π
k ⋅ r −υ t( ) +ϕ( )
con qualunque e
k
υ = c
k
è soluzione per lo spazio vuoto
kx2 + ky
2 + kz2 = k2 =
υ 2
c2
d 2
dx2Φ +
d 2
dy2Φ +
d 2
dz2Φ−
1c2d 2Φdt 2
= −Φ02 sin 2π
k ⋅ r −υ t( ) +ϕ( ) 2π( )2 kx
2 + ky2 + kz
2 −υ 2
c2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = 0
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Uguali soluzioni saranno valide per le singole componenti del potenziale vettore
Quali saranno i punti dello spazio in cui, ad un dato istante la fase è la stessa?
2πk ⋅ r −υ t( ) +ϕ = costante
k ⋅ r = costante
Dato valore della proiezione di “r” lungo “k”
Il luogo di tali punti è un piano avente normale parallela al vettore “k”
Si parla quindi di : “Onde piane”
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Possiamo quindi scegliere un asse coordinato nella direzione del vettore “k”
Φ r ,t( ) = Φ0 sin 2π k x −υ t( ) +ϕ( )
Φ r ,t( ) = Φ0 sin 2πk x − ct( ) +ϕ( )
Come cambia nel tempo il luogo dei punti corrispondenti a fase assegnata?
x − ct = costante x = costante + ct
Trasla nel tempo con velocità pari a “c” in direzione concorde al vettore “k”
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Lunghezza d’onda
Periodo
Ampiezza
Di quanto debbo spostarmi nella direzione del vettore d’onda per fare si che la fase vari di 2π ?
Quanto tempo devo attendere perché, in un dato punto, la fase vari di 2π ?
Di quanto differiscono i valori massimo e medio?
Φ r ,t( ) = Φ0 sin 2πk x − ct( ) +ϕ( )
λ =1k
T =1kc
=1υ
Φ0
Alcune definizioni:
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In generale, i potenziali Vettore e Scalare potranno essere espressi come combinazione lineare di onde piane
Φ r ,t( ) = Φn sin 2πkn ⋅r −υn t( ) +ϕn( )
n∑
υn = ckncon
Air ,t( ) = Ain sin 2π
kn ⋅r −υn t( ) +ϕn( )
n∑ i = x, y, z{ }
Differiscono tra loro per modulo, direzione e verso
È necessario il segno “-”?
Φ r ,t( ) = Φn− sin 2π
kn ⋅r −υn t( ) +ϕn
_( )n∑ + Φn
+ sin 2πkn ⋅r +υn t( ) +ϕn
+( )n∑
ed analoghe per il potenziale vettore
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Possiamo domandarci:
Prescindendo dalle sommatorie, le funzioni base debbono necessariamente essere seni o coseni?
La risposta è negativa. Quello che è importante è la dipendenza della funzione dalle variabili spaziali e temporali
d 2
dx2Φ =
1c2d 2Φdt 2
Caso unidimensionale:
Φ = f x − ct( ) + g x + ct( ) è soluzione
Funzioni arbitrarie
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esistono dei teoremi, dovuti a Fourier, che mostrano come
f x − ct( ) = C k( )∫ sin 2πk x − ct( )( )dk
ed insegnano come valutare i coefficienti ”C(k)”
Questo non contraddice quanto detto a proposito delle onde piane in quanto
Questo per i potenziali, ma per i campi?
Se i potenziali possono essere espressi come combinazione lineare di seni e coseni lo stesso varrà per i campi
in quanto essi si deducono dai potenziali attraverso derivazioni
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Vediamo la cosa esplicitamente, ricavando le equazioni differenziali a cui debbono obbedire i campi
B =∇ ×A
∇2 B = ∇2
∇ ×A( ) = ∇ × ∇2 A( )
ora
∇2 A =1c2d 2A
dt 2per cui
∇2 B =1c2∇ ×
d 2A
dt 2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=1c2
d 2
dt 2∇ ×A( ) e quindi
∇2 B =1c2
d 2
dt 2B formalmente identica alla
∇2 A =1c2d 2A
dt 2
Allo stesso modo si ricava che
∇2 E =1c2
d 2
dt 2E
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Orientazione spaziale di “k”, “E” e “B”
∇ ⋅E = 0
∇ ×E = −
dBdt
∇ ⋅B = 0
c2∇ ×B =
dEdt
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
“E” e “B” sono ortogonali alla direzione di propagazione “k”
“E” e “B” sono tra loro ortogonali
E =E0 sin 2π
k ⋅ r −ωt( )
∇ ⋅E = 2π E0xkx + E0yky + E0zkz( )cos 2π k ⋅ r −ωt( ) = 0
E0xkx + E0yky + E0zkz( ) = E0 ⋅
k = 0
Allo stesso modo si trova che
B ⋅k = 0
E ⋅k = 0
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∇ ×E = −
dBdt
E =E0 sin 2π
k ⋅ r −ωt( )
B =B0 sin 2π
k ⋅ r −ωt( )
prendiamo la componente “z”
∇ ×E( )
z= −
dBzdt
∇ ×E( )
z= 2π E0xky − E0ykx( )cos 2π k ⋅ r −ωt( ) = −Bzω cos 2π
k ⋅ r −ωt( )
E0xky − E0ykx( )∝ −Bz ed analoghe
E ×k ∝ −
B
E ×B ∝k
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Soluzioni per onde sferiche
Φ r ,t( ) = Φn− sin 2π
kn ⋅r −υn t( ) +ϕn
_( )n∑ + Φn
+ sin 2πkn ⋅r +υn t( ) +ϕn
+( )n∑
è utile quando il numero di termini nella sommatoria è piccolo
Non sarà adatta se si i vettori “k” differiscono anche in direzione
Per descrivere ciò che accade in tutta la zona di spazio che attornia la distribuzione di cariche è opportuno ricercare
soluzioni base che abbiano simmetria sferica
Φ(r ,t) = Φ r ,t( )
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∇2Φ r ,t( ) − 1c2
d 2
dt 2Φ r ,t( ) = 0
Data la simmetria sferica, conviene scrivere l’operatore ∇2 in coordinate sferiche, tenendo conto che la funzione dipende solo
dal modulo della distanza
ddx
f r( ) = ddr
f r( ) ddx
x2 + y2 + z2( )12 =
ddr
f r( ) ⋅ xr
d 2
dx2f r( ) = d 2
dr2f r( ) ⋅ x
r⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2
+ddr
f r( ) ⋅ 1r+ x
ddx
x2 + y2 + z2( )−12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
d 2
dx2f r( ) = d 2
dr2f r( ) ⋅ x
r⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2
+ddr
f r( ) ⋅ 1r1− x2
r2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
∇2 f r( ) = d 2
dr2f r( ) + d
drf r( ) ⋅ 1
r3−1( ) = d 2
dr2f r( ) + 2
rddr
f r( )
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ora: d 2
dr2r f r( )( ) = d
drf r( ) + r d
drf r( )⎛
⎝⎜⎞⎠⎟= 2 d
drf r( ) + r d
2
dr2f r( )
per cui ∇2 f r( ) = d 2
dr2f r( ) + 2
rddr
f r( ) = 1rd 2
dr2r f r( )( )
∇2Φ r ,t( ) − 1c2
d 2
dt 2Φ r ,t( ) = 0 1
rd 2
dr2rΦ r,t( )( ) − 1
c2d 2
dt 2Φ r,t( ) = 0
d 2
dr2rΦ r,t( )( ) − 1
c2d 2
dt 2rΦ r,t( )( ) = 0
Per il prodotto “rΦ” vale la stessa equazione differenziale trovata per il caso unidimensionale
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Potremo scrivere quindi: Φ r,t( ) = 1rf r − ct( ) + g r + ct( )( )
Per grandi distanze vi è una attenuazione
Quale è il significato fisico dell’attenuazione
dell’onda?
Per quale motivo non vi era
attenuazione nel caso dell’onda
piana?
1r
cos(r)r
Notare che per piccole distanze gli andamenti tendono ad essere simili
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La densità di energia è proporzionale al quadrato del modulo del campo
Man mano che l’onda si espande il volume occupato dai campi aumenta come il quadrato della distanza
E2dv = costante∫
Campi al tempo t=t1
Campi al tempo t=3t1
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Un secondo aspetto:
Φ r,t( ) = 1rf r − ct( ) + g r + ct( )( )
Φ r,t( ) = 1rf r − ct( )Per cui si una sempre:
Significato fisico della
eliminazione
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Un problema apparenteΦ r,t( ) = 1
rf r − ct( )
Divergenza nell’origine
Per quale motivo?L’equazione differenziale usata non è corretta in prossimità dell’origine
∇2Φ r ,t( ) − 1c2
d 2
dt 2Φ r ,t( ) = −S r ,t( )
Usando la:
La divergenza non vi sarebbe
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Vediamo dal punto di vista fisico cosa dobbiamo attenderci
Cambiamento di variabile
Invece di: Φ r,t( ) = 1rf r − ct( )
Φ r,t( ) = 1rf t −
rc
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟scriviamo:
Zona occupata dalle sorgenti
Per valutare la situazione in “p” possiamo usare il
principio di sovrapposizione
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dΦ r ,t( ) = 1r1,2
df t −r1,2c
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Integrando:
Φ r ,t( ) = 1r1,2
df t −r1,2c
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟V
∫
Se il punto è molto lontano da tutte le sorgenti:
Φ r ,t( ) 1r
df t −rc
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
V∫ =
1rg t −
rc
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
come già visto
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Se il punto è interno al sistema di correnti
dovremmo in teoria escludere l’elemento di volume che lo contiene
Φ r ,t( ) = 1r1,2
df t −r1,2c
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟V
∫
tuttavia: df ≈ dl 3 per cui dfr
≈ dl2
Φ r ,t( ) = 1r1,2
df t −r1,2c
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟V
∫E quindi, sempre:
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Φ r ,t( ) = 1r1,2
df t −r1,2c
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟V
∫
resta da trovare l’espressione della funzione “f” in termini delle sorgenti
Domandiamoci per questo a cosa essa si riduce in prossimità delle sorgenti
df t −r1,2c
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟→ df t( )
Ritardo temporale
Se sono interessato a vedere ciò che accade al tempo”t”, debbo
valutare una opportuna funzione al tempo “t-r/c”
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df t −r1,2c
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟→ df t( )
Quanto dovrò essere vicino per poter trascurare il termine di
ritardo temporale?
Non si tratta di una distanza “fissata”
Occorre che in un tempuscolo pari ad “r/c” le condizioni fisiche della sorgente non siano variate in modo apprezzabile
Avvicinandoci sufficientemente ci porteremo sempre in tale condizione
dΦ r ,t( ) = 1r1,2
df t −r1,2c
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
dΦ r ,t( ) = 1r1,2
df t( )
Invece della:
Avremo:
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dΦ r ,t( ) = 1rdf t( ) cosa ci ricorda?
potenziale Coulombiano dovuto ad una carica “dq”
dΦ r( ) = 14πε0
dqr
Vi è la dipendenza dal tempo, ma esso non interviene nell’operatore differenziale e quindi appare come un
semplice parametro
connesso con l’equazione
differenziale:∇2Φ = −
ρε0
∇2Φ t( ) = −ρ t( )ε0
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Questa analogia era da attendersi?
Mai nulla è statico, cosa significa quindi
Elettrostatica o Magnetostatica?
Questa considerazione ci permette di identificare la funzione”f”Tra “df” e le sorgenti dei campi vi sarà la stessa relazione
dq4πε0
=ρdv4πε0
ρε0
che intercorre tra e
L’evoluzione temporale dei parametri è talmente lenta che possiamo, in ogni momento,
riferirci ai valori caratteristici di quell’istante,come se perdurassero
per un tempo infinito
Questa è proprio l’approssimazione insita nell’omettere il ritardo temporale
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Quindi: df t( ) = 14π
s(r,t)dv s(r,t) =
ρ(r,t)ε0
Ji (r,t)ε0c
2
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
Identificata la funzione, reintroduciamo il ritardo temporale
Φ r ,t( ) = 1r1,2
df t −r1,2c
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟V
∫
Φ 2,t( ) = 14πε0
ρ 1,t − r1,2 / c( )r1,2∞
∫ dv1
A 2,t( ) = 1
4πε0c2
J 1,t − r1,2 / c( )
r1,2∞∫ dv1
E = −
∇Φ −
ddtA
B =∇ ×A
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
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Espressioni praticamente identiche a quelle dei casi statici; vi è solo da tener
conto del ritardo temporale.
Φ 2,t( ) = 14πε0
ρ 1,t − r1,2 / c( )r1,2∞
∫ dv1
A 2,t( ) = 1
4πε0c2
J 1,t − r1,2 / c( )
r1,2∞∫ dv1
E = −
∇Φ −
ddtA
B =∇ ×A
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
Anche se le espressioni dei potenziali sono simili, il ritardo temporale ha grosse conseguenze sull’andamento dei campi
Infatti Φ r,t( ) = 1rf r − ct( ) descrive sia l’andamento dei
potenziali che dei campi
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Non è più vero che i potenziali vanno come r-1 mentre i campi come r-2
Entrambi vanno come r-1
Potenziale in funzione della distanza a tempo fissato
i = i0 cos(ω t)
Az =1rcos(t − r / c)
A− = −1r
A+ =1r
Esempio:
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Potenziale in funzione della distanza a tempo fissato
Az =1rcos(t − r / c)
A− = −1r
A+ =1r
L’andamento del potenziale è simile all’andamento asintotico, quindi il
campo va come r-2
Il potenziale dipende dalla distanza più fortemente degli andamenti asintotici,
quindi i campi sono più intensi di quelli statici. Per questo dipenderanno dalla
distanza meno di quanto non ne dipendano quelli statici
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A grande distanza, successivi minimi e
massimi del potenziale sono espressi da numeri
opposti
ddrA
ar + λ 2
− − ar
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
λ 2arλ
∝1r
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Per questo possiamo vedere la luce delle stelle!
Nebulosa M16