equações diferenciais de 1ª ordem algumas...
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Equações Diferenciais
de 1ª ordem
ALGUMAS APLICAÇÕES
© 2003 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc.
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APLICAÇÃO: MODELOS DE CRESCIMENTO POPULACIONAL
MODELO DE MALTHUS
Problemas populacionais nos levam às perguntas:
1. Qual será a população de certo local ou ambiente em alguns anos?
2. Como poderemos proteger os recursos deste local ou de ambiente para quenão ocorra a extinção de uma ou de várias espécies?
Para apresentar uma aplicação de equações diferenciais relacionadas com esteproblema, consideramos o modelo de Malthus que é um modelo de crescimentoexponencial, em que baseia-se na premissa de que uma população cresce a umataxa proporcional ao tamanho da população.
É razoável presumir isso para uma população de bactérias ou animais emcondições ideais (meio ambiente ilimitado, nutrição adequada, ausência depredadores, imunidade a doenças).
𝒕 = 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒗𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝑷 = 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒗í𝒅𝒖𝒐𝒔 𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂çã𝒐 (𝒗𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆)
A taxa de crescimento da população é a derivada𝒅𝑷
𝒅𝒕.
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MODELO DE MALTHUS
Assim a equação que descreve a taxa de crescimento da população, que éproporcional ao tamanho da população, é dada por:
𝒅𝑷
𝒅𝒕= 𝒌𝑷
onde 𝒌 é a constante de proporcionalidade.
Esta é uma EDO linear cuja solução é dada por:
𝑷 𝒕 = 𝑷𝒐𝒆𝒌𝒕
onde 𝑷𝟎 é a população inicial, 𝑷 𝟎 = 𝑷𝟎. Portanto,
1. Se 𝒌 > 𝟎, a população cresce e continua a expandir para +∞.
2. Se 𝒌 < 𝟎, a população se reduzirá e tenderá a 𝟎. Em outras palavras seráextinta.
Observação: A longo prazo, 𝒌 > 𝟎 pode não ser adequado: o ambiente temlimitações, e o crescimento populacional é eventualmente inibido pela falta derecursos essenciais.
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ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
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Problemas de Diluição
Exemplo:
Um tanque contém inicialmente 100 litros de salmoura com 20 gramas de sal. Noinstante 𝑡 = 0, começa-se a deitar (derramar) no tanque água pura à taxa de 5litros por minuto, enquanto a mistura resultante se escoa do tanque à mesmataxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante 𝑡.
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Circuitos Elétricos
A equação básica que rege a quantidade de corrente I(em ampères) em umcircuito simples do tipo RL (Fig. I), consistindo de uma resistência R (emohms), um indutor L (em henries) e uma força eletromotriz (fem) E (emvolts) é
𝒅𝑰
𝒅𝒕+𝑹
𝑳𝑰 =
𝑬
𝑳
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Circuitos Elétricos
Para um circuito do tipo RC consistindo de uma resistência R, um capacitor C (emfarads), uma força eletromotriz E, e sem indutância (Fig. II), ligados emsérie. A equação que rege a quantidade de carga elétrica 𝑞 (em coulombs) nocapacitor é
𝒅𝒒
𝒅𝒕+
𝟏
𝑹𝑪𝒒 =
𝑬
𝑹
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Circuitos Elétricos
Exemplo:
Um circuito RL tem f.e.m. de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1henry. A corrente inicial é zero. Determine a corrente no circuito no instante t.
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Exercícios de Aplicações
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1. Um corpo à temperatura de 50°F é colocado ao ar livre, onde atemperatura ambiente é de 100°F. Se após 5 min. a temperatura do corpo é de60°F, determine:
a) o tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 75°F; R: 15,4 min.
b) a temperatura do corpo após 20 min. R: 79,5°F.
2. Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quartomantido à temperatura constante de 30°F. Se, após 10 min, a temperatura docorpo é 0°F e após 20 min é 15°F, determine a temperatura inicial. R: −30°F.
3. Um tanque contém inicialmente 100 litros de salmoura com 1 grama desal. No instante t=0 , adiciona-se outra solução de salmoura com 1 grama de salpor litro, à razão de 3 litros por min, enquanto a mistura resultante se escoaà mesma taxa.
Determine:
a) a quantidade de sal presente no tanque no instante t;𝑹:𝑸 𝒕 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟗𝟗𝒆−𝟎,𝟎𝟑𝒕
a) o instante em que a mistura restante no tanque conterá 2 gramas de sal.R:0,338 min