elemente der schulgeometrie - didmath.ewf.uni … · darauf zu achten, dass sie mathematische...

1 Elemente der Schulgeometrie

wwwdidmathewfuni-erlangende rarr Material zu den Veranstaltungen rarr HS Grundbegriffe der Geometrie SS 2006 rarr Aufgaben (zu Beginn der Uumlbungsstunde abgeben)

Schein auf Uumlbungen nur bei Bestehen der Klausur (mind 75 mit bdquooldquo bewertet) I Ziele des Geometrieunterrichts - Erwerb elaborierten Wissens uumlber Figuren Koumlrper geometrische Operationen sowie deren Beziehungen

Bsp rarr Eigenschaften (Form Durchmesser Bedeutung des Mittelpunkts Radius etc)

handwerklicher und formaler Techniken (Konstruieren Zeichnen Messen Berechnen hellip)

- Befaumlhigung zur Anwendung dieses Wissens Alltag Beruf und weiterfuumlhrende Schulen

- Erziehung zu konzentriertem sauberen Arbeiten Zeichnen Basteln Loumlsen einer Berechnungsaufgabe

- Foumlrderung von Problemloumlsetechniken speziell auf die Geometrie bezogen aber auch allgemein

- Foumlrderung kreativen Verhaltens Freude am Schaffen und Entdecken Kreativitaumltsroutinen Forderungen aus dem Mathematik-Fachprofil (Lehrplan) auf wwwdidmathewfuni-erlangende

- Beim Loumlsen hellip geometrischer Aufgaben sollen die Schuumller hellip Flexibilitaumlt und problemloumlsendes Denken entwickeln - Der Unterricht soll zur Selbststaumlndigkeit ermuntern den Einfallsreichtum foumlrdern und Freude am mathematischen Tun wecken hellip gestalterischer Umgang mit geometrischen Formen koumlnnen dazu bei- tragen das die Schuumller Freude am mathematischen Tun gewinnen - Versuche hellip Loumlsungswege zu variieren sollen den Schuumllern das Durchdringen und selbststaumlndiges Bearbeiten von Aufgaben erleichtern - hellip raumlumt der Unterricht auch der Entwicklung von Loumlsungsideen Platz ein - Zunehmend verwenden die Schuumller gaumlngige Begriffe der mathematischen Fachsprache Es ist aber darauf zu achten dass sie mathematische Bezeichnungen und Symbole mit inhaltlichen Vorstellungen und Wissen verbinden - Kenntnisse uumlbe geometrische Figuren und das Wissen um geometrische Beziehungen koumlnnen aus der Arbeit mit konkreten Modellen sowie dem zeichnerischen Darstellen erwachsen Durch haumlufige und vielfaumlltige kopfgeometrische Aufgaben wird intensiv das raumlumliche Denken und Vorstellungsvermoumlgen geschult

Bsp Wuumlrfel = 8 Ecken rarr nicht abzaumlhlen lassen rarr Foumlrderung des Vorstellungsvermoumlgens

bdquoKopfgeometrische Uumlbungenldquo Start 1 ndash 2 ndash 3 rarr Modell des Objekts im Kopf - Berechnungsformeln duumlrfen nicht zu fruumlh eingefuumlhrt sie muumlssen schrittweise aus der Anschauung ent- wickelt werden Eine wiederholte Ruumlckbesinnung auf ihre Gewinnung erleichtert den Schuumllern eine flexible Anwendung

2 Bildung geometrischer Begriffe

Sprech- und Schreibweisen - Man fasst in der Geometrie Figuren bzw Koumlrper als Teilmengen und Punkte als Elemente der Ebene bzw des Raums auf - Damit sind spezielle Sprech- bzw Schreibweisen aus der Mengenlehre verbunden

Bsp A isin g rarr Element [ AB ] sub g rarr Teilmenge

Zwischen Figuren werden durch sub sup nsub hellip Beziehungen dargestellt

[ AB ] cap g wenn sich [ AB ] und g schneiden

Durch cap cup werden aus zwei Figuren neue Figuren erzeugt

[ AB ] B = [ AB [

- Die Ebene (bzw der Raum) kann mittels eines Koordinatensystems beschrieben werden Man spricht dann vom R2 bzw R3

A = ( 3 | 2 ) harr A ( 3 | 2 ) Kreis um A mit r = 1 cm harr k (A 1 cm) = x | [ AX ] = 1 cm | = mit der Eigenschaft

- Es muss generell zwischen Figur und dem ihr zugeordneten Maszlige unterschieden werden

rarr k (A 1 cm) = x | AX = 1 cm Empfohlene Schreibweisen

A B C Punkte

P (x y) Punkt im Koordinatensystem mit den Koordinaten x und y

AB Gerade durch A und B

[ AB ] Strecke von A nach B

AB Laumlnge der Strecke [ AB ]

g h k Geraden

g h g ist parallel zu h

g perp h g ist senkrecht zu h ∢ (ABC) Winkel mit Scheitelpunkt B

α β γ δ Winkelmaszlig

3 Naive Vorstellung

Zu vielen Begriffen existiert eine naive Vorstellung Sie ist oft gekennzeichnet durch

- Prototypen rarr verschiedene Viereckarten middot Sonderformen (Rechteck statt Viereck) middot Normallagen (Quadrat vs Raute) middot Standardproportionen (Draht = Zylinder Blatt Papier = Quader)

- Bezug zu bestimmter Sachsituation (z B Cheopspyramide) Bsp Was bedeutet bdquoachsensymmetrischldquo

- Unschaumlrfe (Achsensymmetrie = hellip zwei gleiche Teile hellip)

- Eigenschaftsarmut (Parallelogramm nur Parallelitaumlt)

An diese naive Vorstellung sollte im Unterricht angeknuumlpft werden

- Teilweise um sie auszumerzen da sich diese sonst auf Dauer festigt (Raute vs Quadrat)

- Teilweise um sie auszunutzen middot als Merkhilfe fuumlr Bezeichnungen (Pyramide Trapez Zylinder hellip) middot als mentale Prototypen z B bildliche Repraumlsentation im Gedaumlchtnis Normallage bestimmte Proportionen

Bsp Satz von Thales

middot als Ausgangspunkt fuumlr eine Verallgemeinerung (schiefe nichtquadratische Pyramide)

Fachmathematischer Aspekt

Begriffe (z B Figuren Relationen Abbildungen hellip) werden definiert d h so knapp wie moumlglich eindeutig beschrieben und mit einem Namen bezeichnet

Bsp Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten ist ein gleichseitiges Dreieck besser Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten nennt man gleichseitiges Dreieck

Fachmathematische Definition fuumlr bdquoVieleckldquo

Als Streckenzug A1 A2 hellip An bezeichnet man eine Figur [A1A2] cup [A2A3] cup hellip cup hellip [An-1An]

Als Vieleck bzw n-Eck bezeichnet man einen Streckenzug A1A2 hellip An+1 a) der geschlossen ist d h An+1 = A1 b) der nicht uumlberschlagen ist d h

Aj falls i + 1 = j [AiAi+1] cap [AjAj+1] = Aj+1 falls j + 1 = i Oslash fuumlr i ne j const

c) bei dem keine drei benachbarten Punkte kollinear sind d h Ai isin Ai-1Ai+1 und A1 isin A1A2

4 - Definitionen erfolgen oft durch

middot Einschraumlnkung bereits definierter bzw Grundbegriffe mit Hilfe definierter Begriffe middot Abstraktionsprozess durch Aumlquivalenzklassenbildung (z B Flaumlcheninhalt)

- bdquoDefinierendeldquo Einschraumlnkungen muumlssen unabhaumlngig sein

Bsp Rechteck nennt man ein Viereck mit drei rechten Innenwinkeln schlecht Rechteck nennt man ein Viereck mit vier rechten Innenwinkeln gleich langen und gegenuumlberliegenden Seiten

- Meist existiert eine Vielzahl moumlglicher aumlquivalenter Definitionen

Bsp Parallelogramm - Figur mit zwei Paar paralleler Gegenseiten - Figur deren gegenuumlberliegende Seiten jeweils gleich lang sind

- Definition im Unterricht

middot Fuumlr den Unterricht sind strenge Definitionen manchmal zu kompliziert Dennoch muumlssen auch dort Definitionen klar und eindeutig sein middot Ausgangsbegriff oder einschraumlnkende Eigenschaften koumlnnen im Unterricht - vorher definiert - aus Alltag bekannt und eindeutig verwendet oder - an Beispielen und Gegenbeispielen geklaumlrt werden middot Beispiel fuumlr eine schulgerechte bdquoDefinitionldquo von Viereck

Ein Vieleck ist ein ebener nicht uumlberschlagener und geschlossener Streckenzug

Vielecke keine Vielecke Dreieck nicht Vieleck

middot Definitionen koumlnnen bdquostatischldquo oder bdquodynamischldquo erfolgen - Bsp Kegel

statisch Definition uumlber Grundflaumlche und Verbindungen zur Spitzes des Kegels

dynamisch Definition uumlber rechtwinkliges rotierendes Dreieck

statisch dynamisch

- Bsp Parallelogramm

statisch Definition uumlber jeweils gegenuumlberliegende Seiten

dynamisch Definition uumlber verschobenes Rechteck oder Quadrat

- Bsp Drachenviereck

5 - Begriffe beinhalten meiste eine Vielzahl von Eigenschaften

middot Viereckseigenschaften koumlnnen sich z B beziehen auf - Seiten (Laumlngen Lage) Winkel Symmetrien Diagonalen (Laumlngen Lage) Um- fang Flaumlcheninhalt Inkreis Umkreis hellip

- Die Eigenschaften eines Begriffs stehen meist in engen Beziehungen zueinander

middot z B aus Laumlngengleichheit der Gegenseiten folgt im Viereck Maszliggleichheit der Gegenwinkel

(1) AB = CD oder [AB] = [CD] (Vor 1) (2) AD = CB (Vor 2) (3) DB = BD (4) ABD = CDB ((1) (2) (3) SSS-Satz) (5) ∢ BAD = ∢ DCB ((4)) alt ∢ BAD = ∢ DCB (1) [AB] || [DC] (Vor 1) (2) [AD] || [CB] (Vor 2) (3) α = γ ((1) Z-Winkel) (4) β = δ ((2) Z-Winkel) (5) α + β = γ + δ ((3) (4) Behauptung)

- Begriffe stehen in Bezug zu anderen Begriffen und sind in ein Begriffnetz eingebunden

middot Gemeinsames Auftreten (z B Kreise gleichschenkliges Dreieck) middot Analoge Begriffe in anderen Dimensionen (z B Strecke Quadrat Wuumlrfel) (1 Dimension Strecke 2 Dimension Quadrat 3 Dimension Wuumlrfel)

Ordnen Vernetzung

Hierarchische Begriffsbeziehungen

- Unter- Ober- bzw Nachbarbegriff

6

- Lokales Ordnen bekannter Begriffe

middot Warum systematisches Ordnen

- Notwendige Faumlhigkeit im Alltag (z B Ordnerstruktur im Computer) - Propaumldeutik allgemeinen systematischen wissenschaftlichen Ord- nens (z B zoologische Systematik) - Lernerfolgssicherung der Einzelinhalte durch middot Wiederholung middot Vernetzung middot Reduktion des Lernstoffes (Vererbung der Eigenschaften) - Klaumlrung korrekter Sprechweisen (z B bdquoDas Parallelogramm ist ein Trapezldquo) - Einsicht in die Bedeutung solcher hierarchischer Begriffssysteme

fuumlr die Formulierung mathematischer Saumltze (Saumltze fuumlr die Oberbe- griffe gelten insbesondere auch fuumlr entsprechende Unterbegriffe und muumlssen dort nicht neu bewiesen werden)

middot Wie kann geordnet werden

1 Waumlhle definierende Eigenschaften fuumlr einen Viereckstyp A (z B Punktsymmetrie fuumlr Parallelogramm) 2 Pruumlfe ob diese Eigenschaften auch anderen Typen B zueigen ist

- Wenn JA dann ist Typ B Unterbegriff von A (z B Rechteck Raute oder Quadrat) - Wenn NEIN dann ist Typ B

middot Nachbarbegriff zu A (z B Drache gleichschenkliges Trapez)

7 oder middot Oberbegriff zu A (z B Trapez allg Vierecke)

in diesem Fall muss eine definierende Eigenschaft von Typ B stets auch Typ A zueigen sein

8 - Kreatives Ordnen rarr Begriffe werden beim Ordnen erarbeitet

1 Waumlhle einen Satz ordnender Eigenschaften (z B Achsensymmetrie Punktsymmetrie) 2 Pruumlfe welche Vierecksformen dabei entstehen

middot Achsensymmetrie - bezuumlglich der Diagonalen (Drache) - bezuumlglich der Mittelsenkrechten (Trapez) middot Punktsymmetrie

3 Kombiniere die ordnenden Eigenschaften z B Achsensymmetrie bezuumlglich - zweier Diagonalen - dreier Mittelsenkrechten - einer Diagonalen + Punktsymmetrie

4 Pruumlfe insbesondere Existenz und Abhaumlngigkeiten

1 Bsp zwei Diagonalen senkrecht aufeinander 2 Bsp Diagonale + Punktsymmetrie

- Nichtexistenz sowie Abhaumlngigkeiten verringern die Zahl der zu ordnenden Vierecke

5 Ordnung ergibt sich aus Kombination der geforderten Eigenschaften

Fachmathematische Begriffsbildung ist ein kreativer Prozess

- Was macht einen Begriff mathematisch wertvoll

middot Prinzipiell koumlnnen jederzeit beliebige (neue) mathematische Begriffe gebildet werden middot Entscheidend fuumlr das bdquoUumlberlebenldquo eines Begriffs ist aber dessen mathematische Beziehungshaltigkeit

1 Bsp bdquoEin Viereck mit drei gleich langen Seiten heiszligt bdquoDreiseitgleichldquo rarr nicht achsensymmetrisch rarr nicht punktsymmetrisch rarr kein gleiches Teilungsverhaumlltnis der Diagonalen rarr Diagonalenprodukt gleich rarr nein rarr Umkreis

9 - Solange man keine anderen Eigenschaften des Begriffs findet die in Beziehung zueinander stehen ist das Dreiseitgleich mathematisch langweilig und damit zum Aussterben verurteilt

2 Bsp bdquoEin Viereck dessen Gegenseiten summengleich sind heiszligt Gegen- seitensummerichldquo rarr Beim Gegenseitensummerich findet man eine zusaumltzliche in- teressante Eigenschaft Dieses Viereck besitzt stets einen Inkreis rarr Das Gegenseitensummerich wird also weiterleben (Wenn er dies auch entsprechend seiner Inkreiseigenschaft nor- malerweise unter dem Decknamen Tangentenviereck tut)

Lebensweltlicher Aspekt

Geometrische Begriffe finden sich oft in unserer Umwelt (Alltag Beruf)

Hier ist es fruchtbar zu fragen - Wo kommt ein geometrischer bdquoBegriffldquo (Objekt Eigenschaft Rotation Abbildung hellip)

z B bdquoWo findest du hier im Klassenzimmer Trapeze (Parallelitaumlten Drehungen hellip) Ziel Blick schaumlrfen fuumlr mathematische Begriffe in der Umwelt und fachsprachliche

Bezeichnungen einuumlben

- Warum kommt ein bdquoBegriffldquo gerade hier vor

middot Warum findet man so viele Trapeze an einer Fachwerkfassade rarr parallel liegende Querbalken (Boden Decke) (Allgemeinbildender Aspekt)

middot Warum sind hellip

- Schimmelkulturen Hexenringe Baumscheiben hellip kreisfoumlrmig rarr Schimmelkulturen Hexenringe Baumscheiben etc sind deshalb nahezu kreisfoumlrmig da sie von einem Zentrum aus mit etwa gleicher Geschwin- digkeit nach auszligen wachsen

- Himmelskoumlrper Seifenblasen kugelfoumlrmig rarr Eine Kugel ist genau die Form mit der moumlglichst wenig Seifenblasen- fluumlssigkeit moumlglichst umschlieszligen kann

- Teller Tassen hellip rund (Teller als Rotationskoumlrper erzeugt) middot Im Gegensatz zum Zirkel wird hier nicht das formgebende Element sondern die Unterlage bewegt middot Daraus laumlsst sich ein Zeichenverfahren fuumlr Kreise ohne Zirkel entwickeln rarr Fingernagel und Bleistift bilden eine feste Einheit Finger fixiert Blatt an einer Stelle um die dieses mit der anderen Hand gedreht wird

Ziel Entstehung geometrischer Eigenschaften verstehen Foumlrderung der Allgemeinbildung

Vertraut machen mit Fachbezeichnungen aus dem Handwerk Beziehung von Herstellungsprozess (bzw natuumlrlichem Entstehungspro-

zess) und Eigenschaften verdeutlichen

middot Warum entstehen Rauten wenn man zwei Parallelgitter gleichen Gitterabstandes kreuzt

harr

Ziel Als Ausgangspunkt fuumlr eine innermathematische Problemstellung nutzen

10 Beweisidee

Kongruente Dreiecke (Seitenlaumlnge d ist gleich groszlig) (Winkel 90deg) zweiter Winkel gleich groszlig (WSW-Satz) rarr A kongruent rarr Seiten gleich lang

middot Wie lassen sich Eigenschaften geometrischer Begriffe fuumlr die Funktion von Bauteilen oder fuumlr eine handwerkliche Vorge- hensweise nutzen

- Muumlssen Raumlder kreisfoumlrmig sein middot Gibt es andere Figuren gleichen Durchmessers (Gleichdicke) als den

Kreis Ja z B das Reuleaux-Dreieck middot Aber bei nicht kreisfoumlrmigen Gleichdicken gibt es kein Zentrum fuumlr eine Achse das bei ebener Strecke auf gleicher Houmlhe bleibt

rarr Raumlder muumlssen also Kreise Rollen hingegen nur Gleichdicke sein

middot Was hat das Parallelogramm mit einer Briefwaage zu tun middot Wie stellt man einen Turm gerade Oder wie bohrt man ein senkrechtes Loch

Grunderfahrung zum Lot zu einer Ebene mit dem Faltw inkel Ein Faltwinkel entsteht durch geeignetes zweimaliges Falten eines Papiers rarr geeignet fuumlr ebene und raumlumliche Geometrie

Mit ihm koumlnnen Grunderfahrungen gemacht werden die auf folgende Definition und Satz vorbereitet

Def Eine Gerade g heiszligt senkrecht zur Ebene E wenn g auf zwei Geraden der Ebe- ne senkrecht steht die durch ihren Schnittpunkt mit E (Spurpunkt) gehen

Satz Ist eine Gerade g senkrecht zur Ebene E so steht sie auch senkrecht auf allen Geraden aus E die durch ihren Spurpunkt gehen Aspekt der Ungenauigkeit Die Schuumller sollen erkennen dass mathematische Konstruktionen unabhaumlngig vom Konstruktionsverfahren theoretisch zu exakten Ergebnissen fuumlhren in der praktischen Anwendung aber auf Grund von Ungenauigkeiten fuumlr ein praumlzises Arbeiten zusaumltzliche Aspekte beruumlcksichtigt werden muumlssen

middot Wie repariert man eine klemmende Schranktuumlr

rarr Ursache bdquoVerschiebungldquo des Rechtecks zum Parallelogramm

11 Loumlsung Ausgleich der Unebenheit (links unten Papperdeckel)

Ziel Geometrische Zusammenhaumlnge bewusst nutzen koumlnnen uumlbliche Formen und Vorgehensweisen kritisch hinterfragen oder auch optimieren koumlnnen

- Wie findet man solche Beziehungen zwischen geometrischen Begriffen und Umweltaspekten

1 Man geht von einem geometrischen Begriff aus und sucht diesen in der Umwelt Hier helfen z B Lexika oder Suchmaschinen im Internet 2 Man beobachtet wachen Auges die Umwelt und sucht in dieser geometrische Aspekte 3 Man sieht Loumlwenzahn oder die Sendung mit der Maus

Unterrichtliche Repraumlsentation

Repraumlsentationsformen

Man unterscheidet in enaktive (Handlung) ikonische (Bild) und symbolische (Text mit mathematischen Symbolen Gleichungen hellip) Repraumlsentationsformen

enaktiv Spannen eines Rechtecks Schneiden eines Quaders aus einer Kartoffel ikonisch Tafelbild symbolisch Text (verbale Beschreibung)

Bsp ABCD cap ∆EFG

- Diese Formen treten unter Vermittlung durch Sprache im Laufe eines Begriffsbildungspro- zesses haumlufig in dieser Reihenfolge auf

Bsp Wie viele Einheitsquadrate passen in ein Rechteck rarr Handlung Zusammensetzen von Papierquadraten rarr Bild Zeichnung im Heft

a = Anzahl der Einheitsquadrate die in die Laumlnge passen b = Anzahl der Einheitsquadrate die in die Breite passen

rarr a middot b

- Auch wenn die Klassifikation einen sinnvollen Anhaltspunkt fuumlr Repraumlsentationen im Unterricht liefern so hellip

middot sind sie nicht trennscharf (Bsp Zeichnen oder DynaGeo Handlung oder Bild) middot sollte diese Abfolge auf keinen Fall als Schema fuumlr einzelne Unterrichtseinheiten ver- standen werden middot kann z B die Noumltigung zum handelnden Vorgehen bei Schuumllern die bereits geeignete mentale Vorstellungen aufgebaut haben die angestrebte kognitive Verarbeitung sogar behindern

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middot sind Abweichungen von der Reihenfolge manchmal sinnvoll (insbesondere hat Text eine vermittelnde Funktion fuumlr alle Ebenen) middot sichern sie nicht die Qualitaumlt der Repraumlsentation middot muumlssen sie stets in Beziehung zueinander gebracht werden

a) Enaktive Repraumlsentation

- Hauptziele

middot Erfahrungen sammeln (Auspraumlgung des raumlumlichen Vorstellungsvermoumlgens) middot entdeckend lernen

Welche Vierecke kann man legen rarr Entstehung bestimmter Formen bei Einhaltung bestimmter Vorgaben

middot Entdecken lernen (Entwicklung einer Sensibilitaumlt fuumlr Phaumlnomene)

Begriff bdquooperierenldquo Veraumlnderung von Parametern an einem System rarr Beobachtung wie sich die Veraumlnderung auf das System auswirkt

middot Wird zu Aktivitaumlten aufgefordert so hellip

- muumlssen diese zielfuumlhrend fuumlr das Erreichen konkreter Lernziele sein (Handlungen nicht als Selbstzweck)

Bsp bdquoViereck aus Papier ausschneidenldquo macht nur Sinn wenn man bei- spielsweise Symmetrieeigenschaften untersucht (Falten)

Bsp bdquoKreis im Schulhofldquo nur sinnvoll wenn es darum geht warum z B bei einer Seifenblase eine Kugel entsteht (Nicht Einfuumlhrung der Figur bdquoKreisldquo)

oben wenig gekruumlmmt ndash Person wird nach auszligen gedruumlckt links stark gekruumlmmt ndash Person wird nach innen gedruumlckt

- muss ihre Bedeutung intensiv verbalisiert werden (Handlungen fuumlhren uumlber die Sprache zu mentalen Einsichten)

b) Ikonische Repraumlsentation

- Hauptziele

middot Festhalten der Erfahrungen middot Auswahl eines praumlgnanten Prototypen fuumlr mentales Modell

- Bei der ikonischen Darstellung ist darauf zu achten dass hellip

middot Wesentliches hervorgehoben wird (z B Farbe Strichdichte hellip)

Bsp

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middot der Prototyp keinen Spezialfall darstellt

Bsp bdquoRechteckldquo

und nicht

middot der Zusammenhang mit der vorangegangenen Handlung deutlich gemacht wird

Bsp Wenn Diagonalen senkrecht aufeinander

Moumlglichkeit a Antragen einer Strecke rarr Lot dazu Moumlglichkeit b Ausgangspunkt Gerade rarr links und rechts dieselbe Laumlnge antragen

c) Symbolische bzw textliche Repraumlsentation

- Hauptziele

middot Waumlhrend der Handlungen (vor allem sprachlich)

- Klaumlrung der noch undeutlichen Ideen - Kommunikation der Entdeckungen

Beschreibung zwar noch unscharf aber dennoch verstaumlndlich rarr Verwenden eigener Bezeichnungen (der Schuumller)

middot Abschlieszligend

- Ergaumlnzen der ikonischen durch die propositionale Fassung

rarr Vernetzung der Begriffe mit Bildern im Kopf

- um Sachverhalte gtgt allgemein guumlltig sowie gtgt leicht kommunizierbar zu repraumlsentieren - zur Unterstuumltzung des Memorierens (Vernetzung mit mentalem Modell)

- Training exakten Formulierens

rarr Ernstnehmen der Vorschlaumlge der Schuumller rarr Ausarbeitung der Vorschlaumlge zu einer passenden Formulierung rarr Hefteintrag

middot Weiterfuumlhrend

- Moumlglichkeit einer abstrakten Weiterverarbeitung

Formeln ne Ziel der Unterrichtsstunde rarr Einfuumlhrung der Formeln am Ende der Stunde rarr Zeit nehmen zur Herleitung

- Bei der abschlieszligenden textlichen Darstellung ist darauf zu achten dass

middot knapp aber unmissverstaumlndlich formuliert wird (Literaturhinweis Schulz v Thun und Goumltz bdquoMathematik verstaumlndlich erklaumlrenldquo Muumlnchen 1976) middot der Text in engem Bezug zu der ikonischen Darstellung steht (Aufgreifen von Bezeichnungen und Farben raumlumliche Naumlhe hellip)

14 Bsp Auszligenwinkelsatz

bdquoIn einem Dreieck ist der Auszligenwinkel stets so groszlig wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel zusammenldquo

γ α β= +

orange ( )Stufenwinkelα α=

blau ( )Wechselwinkelβ β= gruumln γ Bsp Repraumlsentation des geraden Drachens

- Enaktiv middot Das Ausschneiden eines Drachen ist eine Handlung deren Er- gebnis zwar den geometrischen Begriff repraumlsentiert die selbst

aber keinen Bezug zu den Eigenschaften desselben steht (Inadaumlquate Repraumlsentation)

middot Das Ausschneiden durch zwei Schnitte aus einem gefalteten Pa- pier hingegen steht in direktem Bezug zu seiner Symmetrie

rarr Diagonaleneigenschaften festlegen und Gummi einspannen

rarr Von einem Winkel aus geht man immer weiter hoch

rarr Aufeinanderklappen der Seiten beim Drachen (Schnittpunkt der Linien = Inkreismittelpunkt

middot Das Zusammenlegen zweier Paare jeweils gleich langer Stifte steht ebenfalls in direktem Bezug zu seinen Eigenschaften Beim Variieren der Winkel koumlnnen zusaumltzliche Zusammenhaumlnge

bzw Invarianten erkannt werden (Operatives Prinzip)

Weihnachtsstern

- Ikonisch middot Inadaumlquate Repraumlsentation hellip Nicht beruumlcksichtig middot Adaumlquate Repraumlsentation hellip

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- Symbolisch

middot Text 1 bdquoBei einem Drachen gilt a = b und c = dldquo (unguumlnstig da Bezeichnungen nicht zwingend)

middot Text 2 bdquoEin Drache setzt sich aus zwei Paaren jeweils gleich langer Nachbarseiten zusammenldquo (guumlnstig da unabhaumlngig von Bezeichnungen)

Repraumlsentation von Koumlrpern

Die ikonische Repraumlsentation von Koumlrpern ist gegenuumlber der ebenen Figuren besonders problematisch da Laumlngen und Winkel verzerrt dargestellt werden

a) zeigt nicht was wir sehen b) stellt die Winkel nicht so dar wie sie in Wirklichkeit sind

Deshalb ist bei Koumlrpern die unmittelbare enaktive Repraumlsentation unerlaumlsslich Bei Koumlrpern unterscheidet man grob zwischen Kanten- Flaumlchen- und Voll- bzw

Fuumlllkoumlrpermodellen die passend zu den jeweiligen Lernzielen eingesetzt werden muumlssen

- Kantenmodell Kanten- Diagonaleneigenschaften hellip (Teilfiguren wie Stuumltzdreiecke muumlssen selbst wieder z B als Pappfigur repraumlsentiert werden) - Flaumlchenmodell Flaumlcheneigenschaften Oberflaumlche - Voll- bzw Fuumlllkoumlrpermodell Volumen Gewicht

Der Wechsel vom Modell zum Schraumlgbild ist mit entsprechenden Uumlbungen zu gestalten damit das Schraumlgbild richtig interpretiert wird

Zum Aufbau eines mentalen Modells von Koumlrpern muumlssen hellip

- die unterschiedlichen Modelltypen von den Schuumllern selbst hergestellt werden (Achten Sie dabei auf sauberes Arbeiten rarr Hilfestellung) - die Koumlrper als Kanten- oder Flaumlchenmodell strukturiert werden durch hellip

middot Repraumlsentation relevanter Aspekte z B mittels Farbe middot Prozess des Aufbaus

16 ein Rechteck vier Stuumltzen weiteres Rechteck

- diese strukturierenden Repraumlsentationen verbal erlaumlutert werden - entsprechende Vorstellungsuumlbungen gemacht werden (zB Wechselspiel zwischen Be- trachtung des realen Modells mit offenen und des mentalen Modells bei geschlossenen Augen) rarr Vorstellung der Rechtecke und Stuumltzen - die Koumlrper von den Schuumllern als Schraumlgbild gezeichnet werden - Strukturierungen durch Einfaumlrben dort sichtbar gemacht werden (kongruente Flaumlchen = gleiche Farbe)

- der Wechsel vom Modell zum Schraumlgbild mit entsprechenden Uumlbungen gestalt werden damit das Schraumlgbild richtig interpretiert wird (zB Einzeichnen von Diagonalen Schnittfigurenhellip)

- reale zeichnerische oder mentale Operationen an Koumlrpern vorgenommen werden (zB Schnitte Verlaumlngerung von Seiten hellip)

Welche Flaumlchen veraumlndern sich bei Verlaumlngerung der Seitenkanten Welche bleiben gleich Schnittfigur beim Quader rarr Rechteck

Netze von Koumlrpern

Koumlrper die von ebenen Flaumlchen begrenzt werden heiszligen Polyeder (Vielflaumlchner) Diese Begrenzungsflaumlchen sind Vielecke Das Netz eines Koumlrpers erzeugt man indem man diesen entlang von Kanten aufschneidet und in

der Ebene ausbreitet Diesen Prozess nennt man Abwicklung

Bsp

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Nicht zusammenhaumlngend

Gegenbeispiel

Wie entscheidet man ob etwas ein Wuumlrfel- bzw ein Quadernetz ist

- mental-visuelles Zusammenfalten

middot Vorstellungshilfe Schweren Koumlrper auf Grundflaumlche stellen

- Anwenden von Ausschlusskriterien

middot kein bdquoUldquo middot kein bdquo5er-Bandldquo middot kein bdquogroszliger Winkelldquo

- Speziell fuumlr Quadernetze

middot 3 Paare kongruenter Rechtecke middot uumlber Eck keine ungleichlangen Rechtecksseiten

Nicht an einer gemeinsamen Kante zusammenhaumlngend

18 Wie viele Quadernetze gibt es (11 Moumlglichkeiten)

- Gleich oder verschieden

Lernziele zu Koumlrpernetzen

- Umweltaspekt middot Vermeidung von Leimkasten middot Verpackungsprobleme

- Einpraumlgen von Koumlrpereigenschaften

- Training des raumlumlichen Vorstellungsvermoumlgens

middot speziell des mental-visuellen Operierens (Einpacken eines Glaswuumlrfels) und middot der Nutzung propositional beschreibbarer Relativlagen

Standardnetze der geraden quadratischen Pyramide

bdquosternfoumlrmigldquo

(repraumlsentiert Symmetrieeck)

bdquomantelfoumlrmigldquo

(repraumlsentiert Aufteilung in Mantel- und Grundflaumlche)

Drehen

Umklappen

19 - Herstellungsaspekt Geringe bdquoLoumltlaumlngeldquo

middot bdquosternfoumlrmigldquo 4 middot Seitenkante middot bdquomantelfoumlrmigldquo 3 middot Grundkante + 1 middot Seitenkante

- Konstruktionsmoumlglichkeit 1

repraumlsentiert Aspekt gleicher Laumlnge aufeinander fallender Seiten

middot Kreisbogen um Quadratecken middot Schnittpunkte = Pyramidenspitze


repraumlsentiert bdquoLotaspektldquo

middot Mittelsenkrechten der Quadratseiten rarr Schnittpunkt = Mittelpunkt middot Kreis um M mit Zirkel Schnittpunkte = Pyramidenspitze


bdquoGrundkanten als Sehnen am Umkreis des Mantel- netzes antragenldquo

middot Ausgangspunkt Quadrat middot Antragen desselben Radius von zwei benachbarten Eckpunkten aus rarr Schnittpunkt = Pyramidenspitze middot Antragen desselben Radius vom Schnittpunkt aus middot Antragen desselben Radius vom Eckpunkt aus rarr Schnittpunkt middot Antragen des Radius vom neuen Schnittpunkt aus middot Antragen des Radius von der Pyramidenspitze aus rarr Schnittpunkt hellip

- Konstruktionsaufgabe

middot Gegeben Grundkantenlaumlnge a = 3 cm und Pyramidenhoumlhe hPyr = 4 cm middot Gesucht Netz der Pyramide

1 Markieren von [DM] mit Farbe 2 Antragen der Halbgeraden [MA 3 Markieren von [ME] mit Farbe 4 Verbinden von D und E

5 DE ist die Laumlnge der Seitenkanten der Pyramide

20 Netz einer beliebigen Dreieckspyramide Viereckspyramide

middot beliebige Grundflaumlche middot beliebige Laumlnge einer Seite middot anliegende Seite der benachbarten Seitenflaumlche muss gleich lang sein rarr Zirkel

Problem Bei der Viereckspyramide passen drei Seitenflaumlchen zusammen zur vierten fehlt ein Stuumlck

Bedingungen fuumlr Pyramidennetze

(1) aufeinander treffende Dreiecksseiten jeweils gleich lang

(2) Dreiecksseiten nicht zu kurz

(3) Spurgeraden der Dreiecksspitzen schneiden sich in einem Punkt dem Houmlhenfuszligpunkt der Pyramide (bei Dreieckspyramiden bereits bei (1) erfuumlllt)

21 Anmerkung Bei konkaven Koumlrpern kann es bei der bdquoAbwicklungldquo zu Uumlberlappungen

kommen

konvex konkav

Netz einer regulaumlren n-Eckspyramide

- Definition des regulaumlren n-Ecks

Ein n-Eck mit middot n gleich langen Seiten und middot ausschlieszliglich gleich groszligen Innenwinkel (alt Umkreis)

heiszligt regelmaumlszligiges bzw regulaumlres n-Eck - Konstruktion eines regulaumlren n-Ecks

middot Konstruktionsmoumlglichkeit uumlber Bestimmungsdreieck

Gegeben a = 2 cm Gesucht entsprechendes regulaumlres Dreieck

360 5 72

180 72 108

108 2 54

deg = degdeg minus deg = deg

deg = deg

middot Schrittweise Abbiegen

360 5 72α = deg = deg

middot Kreis um Mittelpunktstrahlen

Literatur

- Schwartze bdquoElementarmathematik aus didaktischer Sichtldquo Band 2 - Leutenbauer bdquoDas praktische Handbuch fuumlr den Mathematikunterrichtldquo Band 2

22 Zylindernetze

- Gerader Kreiszylinder

Moumlgliche Definition Ein gerader Kreiszylinder ist ein Koumlrper der entsteht wenn man eine ebene Kreisflaumlche parallel zu sich im Raum verschiebt so dass der Verschie- bungsvektor orthogonal zur Ebene der Grundflaumlche steht

2KreisU rπ= sdot harr Re 2chteckl rπ= sdot

- Beliebiger gerader Zylinder

Moumlgliche Definition Ein gerader Zylinder ist ein Koumlrper der entsteht wenn man ein von einer Kurve begrenztes ebenes Flaumlchenstuumlck parallel zu sich im Raum verschiebt sodass der Verschiebungsvektor orthogonal zur Ebene der Grundflaumlche steht

middot Anwendung Rohrknie middot Mantelflaumlche Sinus-Kurve rarr Steigungswinkel 45α = deg

Kegelnetze

- Gerader Kreiskegel

Moumlgliche Definition Durch Drehung der Flaumlche eines rechtwinkligen Dreiecks um eine Kathete oder eines gleichschenkligen Dreiecks um seine Symmetrieachse entsteht als Rotationskoumlrper ein gerader Kreiskegel

23 middot Zusammenhang zwischen Radius r und Winkel ϕ

2 2360

360

360

360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

= sdotdeg

=deg

= sdot deg

middot Besonderheit

- wenn m = 4r rarr Viertelkreis = 90deg - wenn m = 2r rarr Halbkreis = 180deg - wenn m = 1r rarr ganzer Kreis = 360deg

Netz des schiefen Prismas

- Abwicklung (muss man nicht koumlnnen)

Netz der Kugel

- Die Kugel ist nicht abwickelbar Sie hat kein Netz - Nur naumlherungsweise kann z B die Abwicklung einer Orange durch Schaumllen

middot unsystematisch oder middot systematisch versucht werden

Aufschneiden entlang der bdquoLaumlngengradeldquo

Zusammensetzen rarr kugelaumlhnlicher Polyeder

spiraliges Abschaumllen

II Inhaltslehre Fachmathematische Grundbegriffe der Flaumlcheninhaltslehre

- Ein Vieleck V heiszligt elementargeometrisch in V1 hellip Vn zerlegt wenn

1 V = V1 cup hellip cup Vn

2 Je zwei Vielecke der Menge V1 hellip Vn haben houmlchstens Randpunkte gemeinsam - Zwei Vielecke V und W heiszligen zerlegungsgleich wenn sie in endlich viele Vielecke V1 hellip Vn bzw W1 hellip Wn so zerlegt werden koumlnnen dass i = 1 hellip n gilt V1 ist kongruent zu W1 middot Zerlegungsgleichheit ist eine Aumlquivalenzrelation

rarr kongruent V = V rarr symmetrisch V zu W ndash W zu V rarr transitiv V zu W ndash W zu X rarr V zu X - Zwei Vielecke V und W heiszligen ergaumlnzungsgleich wenn sie sich durch endlich viele paarweise kongruente Vielecke zu zerlegungsgleichen Vielecken ergaumlnzen lassen

- Satz

bdquoZwei Vielecke sind genau dann ergaumlnzungsgleich wenn sie zerlegungsgleich sind ldquo

24 Flaumlcheninhaltsfunktion

- Eine Funktion die in jedem Vieleck V eine positive reelle Zahl | V | zuordnet heiszligt Flaumlchen- inhaltsfunktion wenn gilt

1 1 2V V= falls V1 kongruent zu V2

2 1 2V V V= + falls V in V1 und V2 zerlegbar ist

3 1V = falls V Einheitsquadrat ist

- Satz

bdquoEs gibt nur eine einzige Flaumlcheninhaltsfunktionldquo Zusammenhang zwischen Flaumlcheninhalt und Zerlegungsgleichheit

- Satz

bdquoZerlegungsgleiche Vielecke haben denselben Flaumlcheninhaltldquo

Aufbau des Flaumlcheninhaltsbegriffs in der Schule

1 Direkter Flaumlchenvergleich

- ohne Zerlegung - mit Zerlegung

2 Indirekter Flaumlchenvergleich mittels eines hellip

- ungenormten Repraumlsentanten (geeignetes weiteres Vieleck)

middot Beispiel Vergleichen der Bankflaumlche mit dem Heft

middot Motivation Quantifizierung des Groumlszligenunterschieds

larr um hellip kleiner als

- genormte Repraumlsentanten (Einheitsquadrat)

middot Motivation Vergleich auch bei groumlszligeren Distanzen moumlglich durch Ruumlckfuumlhrung des Problems auf Laumlngeneinheiten

middot Warum Einheitsquadrate und nicht z B gleichseitige Einheitsdreiecke

- Parkettieren insbesondere der haumlufig auftretenden Rechtecksflaumlchen und - Abzaumlhlen besonders leicht moumlglich

3 Ableitung von Flaumlcheninhaltsformeln

- Rechteck

middot 1 Schritt Auslegen mit Einheitsquadraten und Abzaumlhlen middot 2 Schritt Erarbeitung eines verkuumlrzten Abzaumlhlverfahrens (Abdecken) middot 3 Schritt Formel (spaumltestens hier Festlegung von m middot m = m2 als Flaumlcheninhalt des Einheitsquadrats) rarr 22 3 6F l b m m m= sdot = sdot =

middot 4 Schritt Umrechnungen von einer Maszligeinheit in eine andere

- andere Vier- bzw Vieleckstypen

middot Die Formeln fuumlr andere Vieleckstypen werden (letztlich) auf das Rechteck zuruumlck- gefuumlhrt durch hellip - Umbauen (insbesondere Idee der Mittellinie) - Zerlegen (insbesondere Idee der Triangelation())

25 - Ergaumlnzen - Scheren (auch Cavalieri)

allgemeines Vieleck rarr Zerlegung in Dreiecke regelmaumlszligiges Vieleck rarr Zerlegung in Bestimmungsdreiecke

- beliebige bdquokrummlinigeldquo Formen

middot Vor allem fuumlr Grobabschaumltzungen Ersetzen durch geeignete Vielecke

middot Auf Karopapier Einbeschriebenes und umbeschriebenes bdquoKaroeckldquo middot Trapezstreifenmethode

- Kreis

middot 1 Schritt Grobabschaumltzung fuumlhrt bereits zum Ansatz 2KreisA r π= sdot

A lt A lt A 2 2 22 4r r rsdot lt sdot lt sdot

middot 2 Schritt Genauere Beobachtung des Faktors π an Beispielen Dazu z B - Bestimmung der Flaumlcheninhalte von Kreis und Quadrat wie oben oder - Ausschneiden und Wiegen (Hebelgesetz)

middot Weitere bzw hier ergaumlnzende Moumlglichkeit bdquoTortenstuumlckmethodeldquo - Voraussetzung Umfang des Kreises bereits erarbeitet - stellt Zusammenhang zwischen Umfang und Flaumlchen- inhalt her 2d lt U lt 4d

15 181

2

m mm

+ sdot

26 middot Fachmathematische π ndash Bestimmung z B mittels Folge ein- bzw umbeschriebener n-Ecke die immer bessere Naumlherungswerte fuumlr die Verhaumlltnisse aus Kreisumfang und Durchmesser liefern

a lt c lt 2a

Vermutung c = 15 a Messungen zeigen c ~ 14 a

rarr

Im gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck gilt

a2 + a2 = c2 a2 = c middot p

Diagonalenlaumlnge im Rechteck rarr Analogisieren

Die Satzgruppe des Pythagoras

- In einem rechtwinkligen Dreieck

middot sind die Quadrate uumlber den Katheten zusammen flaumlchengleich dem Quadrat uumlber der Hypotenuse (Satz des Pythagoras) middot ist das Quadrat uumlber der Houmlhe flaumlchengleich dem Rechteck aus den beiden Hypotenu- senabschnitten (Houmlhensatz) middot ist das Quadrat uumlber einer Kathete flaumlchengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt (Kathetensatz)

1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

c a

+ =

+ ==

=

27 - Einfache Beweise (fuumlrrsquos Examen)

middot Beweis des Houmlhensatzes

1 Zentrale Idee Produktgleichung h2 = p middot q

lnumwanderarr Verhaumlltnisgleichung

h q

p h=

Strategie zentrische Streckung Problem keine Parallelen ndash zentrische Streckung nuumltzt nichts rarr Aumlhnlichkeitsfigur 2 Zentrale Idee Verhaumlltnisgleichungen stehen meist im Zusammenhang mit zentrischer Streckung bzw aumlhnlichen Dreiecken

90blau gruumln+ = deg∢ ∢

ABC CAD BCD sim sim (Verhaumlltnis wie bei 1) Foumlrmlicher Beweis (1) α + β = 90deg (Voraussetzung γ = 90deg Winkelsumme ABC ) (2) γ1 = β und γ2 = α ((1) h perp AB Winkelsumme CAD und BCD ) (3) CAD BCD sim ((2) WWW-Satz)

(4) h q

p h= ((3))

(5) h2 = p middot q ((4) Behauptung)

- Weitere Beweise

middot Perigal

Dynamischer Beweis (2 x Scheren 1 x Verschieben)

rarr rarr rarr

Ergaumlnzender Beweis

rarr - Zu jedem Satz existiert eine Umkehrung

28 Aufbau des Volumens

(Analog Flaumlcheninhalt)

- direkter Volumenvergleich

middot ohne Verformung (z B Kegel in Schachtel legen) middot mit Verformung (z B mit Knetgummi Katze wird zu Zylinder)

- indirekter Vergleich mittels

middot ungenormte Repraumlsentanten middot genormten Repraumlsentanten (Einheitswuumlrfel) Aktivitaumlten

- Volumenvergleiche bzw -messungen durch

middot Wiegen

- Vollkoumlrper gleichen Materials verwenden

middot mit Wasser befuumlllen (Wasser z B mit Kaliumpermanganat faumlrben)

- Direktvergleich - Umschuumltten in ein drittes Gefaumlszlig (z B Messbecher)

middot Wasser verdraumlngen

- Uumlberlaufen lassen - Wasserspiegel ansteigen lassen

middot Zerlegungen

- Bei geraden Saumlulen analog zu Vielecken gut dabei Wiederholung Ableitung der Volumenformel

Bsp Wuumlrfel aus sechs gleichen viereckigen Pyramiden rarr 3 Pyramiden = 12 Wuumlrfel = viereckiges Prisma (quadratisch) rarr Pyramide = 13 viereckiges Prisma (quadratisch) = 13 middot g middot h

Zusammenfassend

Gerade Koumlrper Grundflaumlche middot Houmlhe Spitze Koumlrper 13 middot Grundflaumlche middot Houmlhe Umgang mit Formeln

- Intensive formenkundliche Analysen voranstellen - Formeln nicht zu fruumlh einfuumlhren - Analogien herausarbeiten - keine uumlberfluumlssigen Einzelformen (Modulares Arbeiten) gerade Koumlrper harr spitze Koumlrper - Notwendige Schuumllerkompetenzen

middot Anwendungsbereich kennen middot Formel interpretieren

Bsp 13 middot G middot h = 1 3 des umgebenen Prismas

middot nicht auf identische Bezeichnungen fixiert sein middot Groumlszligen einsetzen und mit diesen rechnen

31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h

sdot= sdot sdot harr =

Schuumller muumlssen selbst umstellen koumlnnen

29 middot Formel in Formel einsetzen middot Zusammengesetzte Koumlrper bzw Figuren vielseitig additiv oder subtraktiv analysieren

- Wenn Koumlrper gedreht wird muumlssen die Schuumller ihn unabhaumlngig von seiner Lage benennen koumlnnen rarr flexibles Denken - Nicht alle Aufgaben zu Ende rechnen ndash auch Uumlbungsphasen abhalten in denen nur nach dem Loumlsungsweg gesucht wird

IV Ziele des Geometrieunterrichts KONGRUENZABBILDUNGEN

- Propaumldeutisch Abbildungen die Figuren auf deckungsgleiche abbilden heiszligen Kongruenz- abbildungen

middot Frage Wie bildet man eine Figur F1 auf eine deckungsgleiche Figur F2 ab

- Bildfigur parallel - Bildfigur zusaumltzlich gedreht

(Verschiebung) (Verschiebung + Drehung)

Wie findet man den Drehpunkt

- Verbindung Punkt ndash Bildpunkt - Mittelsenkrechten - Schnittpunkt Drehzentrum Z

rarr Die Figur 1 laumlsst sich stets auch allein durch eine Drehung auf Figur 2 abbilden

Sonderfall

Drehung um 180deg Punktspiegelung rarr Zentrum = Mittelpunkt der Punkt- Bildpunkt-Verbindungsstrecken

30 - Bildfigur liegt spiegelbildlich

Die Mittelsenkrechten der Punkt-Bildpunkt-Verbindungsstrecken stellen eine einzige Gerade dar die so genannte bdquoSymmetrieachseldquo

- Bildfigur hat entgegen gesetzten Drehsinn (nicht spiegelbildlich )

Die Mittelsenkrechten der Punkt-Bildpunkt-Verbindungsstrecken fallen nicht zusammen die Mittelpunkte der Strecken liegen aber auf einer gemeinsamen Geraden

Methode bdquoKlappen und dann Verschiebenldquo Hier kann F1 nicht allein durch eine Achsenspiegelung auf F2 abgebildet werden dafuumlr aber stets allein durch eine bdquoSchub- spiegelungldquo Bsp Verbinden von Punkt und Bildpunkt Mittelpunkte der Strecken auf Gerade Spiegelung an Gerade Verschiebung durch Vektor ( v g )

middot Antwort Die Abbildung auf eine deckungsgleiche Figur gelingt stets allein durch - Verschiebung - Drehung (mit Sonderfall Punktspiegelung) - Achsenspiegelung oder - Schubspiegelung

middot Definition von Kongruenzabbildungen am Beispiel der Drehung

Unter einer Drehung DZα versteht man eine (bijetive) Abbildung der Ebene E auf sich die einem Punkt Pisin E einen Bildpunkt PrsquoisinE so zuordnet dass gilt

a) Prsquo liegt auf Kreis um Z durch P

b) ZP ZP=

(1) PZP α=∢ und ZP ZP= fuumlr alle P ne Z

(2) Prsquo = Z fuumlr P = Z

31 - Fachmathematisch

middot Definition 1 Eine laumlngentreue Abbildung der Ebene auf sich heiszligt Kongruenzab- bildung

laumlngentreu Abstand von Bildstrecken = Abstand von Originalstrecke

- Satz

bdquoEine laumlngentreue Abbildung der Ebene auf sich ist immer auch geradentreu und winkelmaszliggetreuldquo

middot Definition 2 Eine Verkettung von Achsenspiegelungen heiszligt Kongruenzabbildung

middot Eine Figur F2 heiszligt kongruent zur Figur F1 wenn F1 durch eine Kongruenzabbildung auf F2 abgebildet werden kann

middot bdquoDreispiegelungssatzldquo

bdquoDie Verkettung von Achsenspiegelungen kann stets auf eine Verkettung von houmlchstens drei Achsenspiegelungen ersetzt werden Dabei bleibt die Anzahl der Achsenspiegelungen gerade bzw ungeradeldquo

rarr gleicher Drehsinn ndash 2 Spiegelungen (Verschiebung und Drehung)

rarr entgegen gesetzter Drehsinn ndash 1 oder 3 Spiegelungen (Achsenspiegelung Schubspiegelung)

VERKETTUNG VON KONGRUENZABBILDUNGEN

- Verschiebung mit Verschiebung - Verschiebung mit Drehung - Drehung mit Drehung (Drehung um α + Drehung um β = Drehung um α + β) - Achsenspiegelung mit Achsenspiegelung - hellip SYMMETRIE

bdquoSymmetrieldquo nennt man die Eigenschaft einer Figur bzw eines Koumlrpers durch eine Kongruenz-abbildung auf sich selbst abgebildet zu werden (mit Ausnahme der Identitaumltsabbildung)

- Zu jeder Kongruenzabbildung existiert eine eigene Form der Symmetrie In der Ebene sind dies

middot Achsenspiegelung rarr Achsensymmetrie

middot Drehsymmetrie - Drehung um 360degn rarr n-strahlige Symmetrie - Drehung um 180deg rarr Punktsymmetrie (2-strahlig) - Alle Drehungen mit gemeinsamen Zentrum rarr Rotationssymmetrie

middot Verschiebungs- bzw Translationssymmetrie

middot Schubspiegelungssymmetrie - Achsensymmetrie (bzw Ebenensymmetrie im Raum)

middot Definition Eine Figur F heiszligt achsensymmetrisch wenn eine Achsenspiegelung existiert die F auf sich selbst abbildet

middot Beispiele

32

- Figur F1 und F2 haben jeweils keine Symmetrieeigenschaft - F1 liegt spiegelbildlich zu F2 - F1 ist Urbild und F2 ist Bild der Spiegelung an a (bzw umgekehrt) - Die Vereinigung von F1 mit F2 ergibt eine achsensymmetrische Figur

middot Wo findet man (naumlherungsweise) achsensymmetrische Objekte und warum haben sie diese Eigenschaften

- Natur middot Tierwelt Mensch Huftiere Katzen Schmetterlinge usw middot Pflanzenwelt Blaumltter Bluumlten Fruumlchte Grobumriss von Baumlumen middot Geologie Kristalle Vulkane middot Ursache Fortbewegung erfolgt in eine Richtung Orientierung nach links bzw rechts gleichberechtigt Flugfaumlhigkeit symmetrisches Wachstum auf Grund symmetrischer Bedingungen hellip

- Artefakte middot Alltagsgegenstaumlnde Bauwerke Kunstobjekte middot Ursache - Anpassung an vorhandene Symmetrie Brille Stahl Toilette etc) - Vermeidung von Drehmomenten Kraumlfteverteilung Statik (Schaufeln Rechen Gewoumllbe) - Aumlsthetik (Abbild von Mensch und Tier Symbol der Ausgewogenheit und Ordnung)

- Drehsymmetrie

middot Definition Man sagt Eine Figur F hat eine n-zaumlhlige Drehsymmetrie wenn eine Drehung um 360degn (nlt1) existiert die F auf sich selbst abbildet

middot Beispiele

- punktsymmetrische Figur

- drehsymmetrische Figur mit

middot dreizaumlhliger Drehsymmetrie

middot vierzaumlhliger Symmetrie

- regulaumlres n-Eck (n-zaumlhlig)

- Dreht man eine Figur n ndash 1 mal um 360degn und ver einigt sie mit ihren n ndash 1 Bildern so entsteht eine Figur mit n-zaumlhliger Drehsymmetrie

- Verschiebungssymmetrie

middot Verschiebungssymmetrische Figuren koumlnnen nicht begrenzt sein

middot Beispiele

- Gerade - Bandornamente - Parkette

33 SCHUumlLERAKTIVITAumlTEN UND VERANSCHAULICHUNGEN ZU KONGRUENZAB-BILDUNGEN UND SYMMETRIEN

- Achsenspiegelung -symmetrie

middot Klecksbilder middot Umklappen einer Figur auf Folie middot Einfach gefaltetes Papier - schneiden - durchstechen middot Kohlepapier middot Spiegel middot Pantomime middot Miraspiegel middot Bauen z B mit Lego middot Karopapier (Achsenlage parallel oder diagonal)

middot bdquoKonstruktionldquo mit hellip - Zirkel - Geodreieck middot Finden (z B mit Spiegel) und Einzeichnen von Symmetrieachsen middot Ergaumlnzen zu symmetrischen Figuren

- Drehung ndash Dreh- bzw Punktsymmetrie

middot Drehung einer Figur auf Folie middot bdquoKonstruktionldquo mit hellip - Zirkel - Geodreieck middot Doppelt gefaltetes Papier schneiden

- Papier beliebig zweimal falten - Stuumlck herausschneiden rarr Symmetrieachse sichtbar - Papier aufklappen

middot Doppelspiegel middot Erzeugen einer drehsymmetrischen Figur durch mehrfaches Abbilden middot Finden und Einzeichnen des Drehpunktes bzw des Symmetriezentrums middot Problematisieren Riesenrad (Gondeln parallel) vs Mond (Mondgesicht)

Riesenrad

Verschiebung ndash keine Drehung

Mondgesicht

Drehung

- Verschiebung ndash Verschiebungssymmetrie

middot Parallelverschiebung mit Zirkel und Lineal

34 middot Erzeugung von Bandornamenten rarr Verschiebung mit Hilfe von Ornamenten middot Doppelt (mehrfach) parallel gefaltetes Papier schneiden middot Finden und Markieren einer Elementarzelle eines Bandornaments

PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip

middot Den Schattenwurf dimensionaler Koumlrper mittels einer punktfoumlrmigen Lichtquelle (Projektions- zentrum) auf eine Ebene nennt man Zentralprojektion middot Positioniert umgekehrt ein Betrachter sein Auge an die Position der Lichtquelle (Augpunkt) so erzeugt das zentralperspektivische Bild denselben Sinneseindruck wie der Koumlrper selbst

- Eigenschaften

middot Figuren die parallel zur Bildebene liegen werden auf aumlhnliche abgebildet middot Geraden (die nicht durch das Projektionszentrum verlaufen) werden auf Geraden abgebildet middot Kreise werden auf Kegelschnitte (Kreise Ellipsen Parabeln Hyperbeln) oder Strecken abgebildet middot Bilder paralleler Geraden die nicht parallel zur Bildebene liegen schneiden sich in einem Punkt

dem bdquoFluchtpunktldquo

Bsp Wuumlrfel Eine Kante wird kuumlrzer als die andere rarr Verbindungsstrecken nicht mehr parallel

Kanten die senkrecht zur Projektionsflaumlche sind bleiben parallel bdquoFluchtpunkteldquo liegen auf der bdquoFluchtgeradenldquo

middot Die Fluchtpunkte von Parallelscharen die parallel zu einer Ebene verlaufen liegen auf einer Geraden (Horizontlinie)

Parallelprojektion

- Prinzip

middot Den Schattenwurf dreidimensionaler Koumlrper mittels paralleler Strahlen auf eine Ebene nennt man Parallelprojektion middot Eine Zentralprojektion naumlhert sich bei zunehmender Entfernung des Projektionszentrums einer Parallelprojektion an (z B Sonne) middot Blickt ein Betrachter aus groumlszligerer Distanz in Richtung dieser Strahlen auf ein parallelperspekti- visches Bild so erzeugt auch dieses Bild einen aumlhnlichen Sinneseindruck wie der Koumlrper selbst

- Eigenschaften

middot Figuren die parallel zur Bildebene liegen werden auf kongruente abgebildet middot Geraden (die nicht durch das Projektionszentrum verlaufen) werden auf Geraden abgebildet middot Strecken die senkrecht zur Bildebene verlaufen werden um einen festen Wert (Abbildungs- faktor) veraumlndert abgebildet middot Kreise werden auf Kreise Ellipsen oder Strecken abgebildet middot Bilder paralleler Geraden sind stets Parallelen

middot Schraumlgbild vs Normalbild

- Beim Normalbild stehen im Gegensatz zum Schraumlgbild die abbildenden Strahlen senkrecht auf der Bildebene

Bsp Wuumlrfel rarr muss entsprechend gedreht werden sonst Quadrat rarr MaDiN (Problem der Mehrdeutigkeit Dreitafelprojektion)

- Dreitafelbild - Konstruktion eines Schraumlgbilds

middot Heuristische Ideen - Hilfslinien rarr punktweise Abbildung - Ruumlckfuumlhrung auf bekanntes Problem rarr Einbettung in Quader

35

Abbildungsfaktor b

a

Abbildungswinkel α Problem Bei einem bestimmten Faktor koumlnnen Linien aufeinander fallen (Bsp 45deg bei Wuumlrfel) middot Beispiel Sechseckspyramide Kegel hellip

(Gegeben Abbildungswinkel 45deg Abbildungsfaktor 12)

- Lot nach unten von jedem Punkt faumlllen

- 45deg-Winkel an den Schnittpunkten der Lote mit d er Geraden unten antragen

- halbe Strecke (da 12) auf dem 2 Schenkel antragen

- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde

- Zentrische Streckung

Bsp Streckungsfaktor 23

middot Zeichne Halbgerade durch A middot Kreisbogen um A mit beliebigem Radius

rarr P Schnittpunkt des Kreisbogens mit Halbgeraden middot Kreisbogen mit gleichem Radius um P rarr Prsquo middot Kreisbogen mit gleichem Radius um Prsquo rarr Prsquorsquo middot Verbinde Prsquorsquo und B middot Parallele zu [PrsquorsquoB] durch Prsquo rarr Brsquo Schnittpunkt von Parallele und [AB] - Achteckspyramide umgeben von einem Quader

- Kreiszylinder

2 Bildung geometrischer Begriffe

Sprech- und Schreibweisen - Man fasst in der Geometrie Figuren bzw Koumlrper als Teilmengen und Punkte als Elemente der Ebene bzw des Raums auf - Damit sind spezielle Sprech- bzw Schreibweisen aus der Mengenlehre verbunden

Bsp A isin g rarr Element [ AB ] sub g rarr Teilmenge

Zwischen Figuren werden durch sub sup nsub hellip Beziehungen dargestellt

[ AB ] cap g wenn sich [ AB ] und g schneiden

Durch cap cup werden aus zwei Figuren neue Figuren erzeugt

[ AB ] B = [ AB [

- Die Ebene (bzw der Raum) kann mittels eines Koordinatensystems beschrieben werden Man spricht dann vom R2 bzw R3

A = ( 3 | 2 ) harr A ( 3 | 2 ) Kreis um A mit r = 1 cm harr k (A 1 cm) = x | [ AX ] = 1 cm | = mit der Eigenschaft

- Es muss generell zwischen Figur und dem ihr zugeordneten Maszlige unterschieden werden

rarr k (A 1 cm) = x | AX = 1 cm Empfohlene Schreibweisen

A B C Punkte

P (x y) Punkt im Koordinatensystem mit den Koordinaten x und y

AB Gerade durch A und B

[ AB ] Strecke von A nach B

AB Laumlnge der Strecke [ AB ]

g h k Geraden

g h g ist parallel zu h

g perp h g ist senkrecht zu h ∢ (ABC) Winkel mit Scheitelpunkt B

α β γ δ Winkelmaszlig

3 Naive Vorstellung









Bsp Satz von Thales























statisch dynamisch












Ordnen Vernetzung



6








































harr


10 Beweisidee





















Bsp ABCD cap ∆EFG




rarr a middot b



12



- Hauptziele












- Hauptziele




Bsp

13



und nicht





- Hauptziele

















γ α β= +











Weihnachtsstern


15

- Symbolisch





















Bsp

17


Gegenbeispiel





















Drehen

Umklappen
























kommen

konvex konkav







360 5 72

180 72 108

108 2 54


deg = deg


360 5 72α = deg = deg


Literatur


22 Zylindernetze







Kegelnetze




2 2360

360

360

360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

= sdotdeg

=deg

= sdot deg

middot Besonderheit




Netz der Kugel











- Satz







- Satz


- Satz















- Rechteck










- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

c a

+ =

+ ==

=





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


- Weitere Beweise

middot Perigal


rarr rarr rarr










middot Wiegen






middot Zerlegungen



Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder

3 Naive Vorstellung









Bsp Satz von Thales























statisch dynamisch












Ordnen Vernetzung



6








































harr


10 Beweisidee





















Bsp ABCD cap ∆EFG




rarr a middot b



12



- Hauptziele












- Hauptziele




Bsp

13



und nicht





- Hauptziele

















γ α β= +











Weihnachtsstern


15

- Symbolisch





















Bsp

17


Gegenbeispiel





















Drehen

Umklappen
























kommen

konvex konkav







360 5 72

180 72 108

108 2 54


deg = deg


360 5 72α = deg = deg


Literatur


22 Zylindernetze







Kegelnetze




2 2360

360

360

360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

= sdotdeg

=deg

= sdot deg

middot Besonderheit




Netz der Kugel











- Satz







- Satz


- Satz















- Rechteck










- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

c a

+ =

+ ==

=





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


- Weitere Beweise

middot Perigal


rarr rarr rarr










middot Wiegen






middot Zerlegungen



Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder














statisch dynamisch












Ordnen Vernetzung



6








































harr


10 Beweisidee





















Bsp ABCD cap ∆EFG




rarr a middot b



12



- Hauptziele












- Hauptziele




Bsp

13



und nicht





- Hauptziele

















γ α β= +











Weihnachtsstern


15

- Symbolisch





















Bsp

17


Gegenbeispiel





















Drehen

Umklappen
























kommen

konvex konkav







360 5 72

180 72 108

108 2 54


deg = deg


360 5 72α = deg = deg


Literatur


22 Zylindernetze







Kegelnetze




2 2360

360

360

360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

= sdotdeg

=deg

= sdot deg

middot Besonderheit




Netz der Kugel











- Satz







- Satz


- Satz















- Rechteck










- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

c a

+ =

+ ==

=





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


- Weitere Beweise

middot Perigal


rarr rarr rarr










middot Wiegen






middot Zerlegungen



Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder








Ordnen Vernetzung



6








































harr


10 Beweisidee





















Bsp ABCD cap ∆EFG




rarr a middot b



12



- Hauptziele












- Hauptziele




Bsp

13



und nicht





- Hauptziele

















γ α β= +











Weihnachtsstern


15

- Symbolisch





















Bsp

17


Gegenbeispiel





















Drehen

Umklappen
























kommen

konvex konkav







360 5 72

180 72 108

108 2 54


deg = deg


360 5 72α = deg = deg


Literatur


22 Zylindernetze







Kegelnetze




2 2360

360

360

360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

= sdotdeg

=deg

= sdot deg

middot Besonderheit




Netz der Kugel











- Satz







- Satz


- Satz















- Rechteck










- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

c a

+ =

+ ==

=





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


- Weitere Beweise

middot Perigal


rarr rarr rarr










middot Wiegen






middot Zerlegungen



Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder

6








































harr


10 Beweisidee





















Bsp ABCD cap ∆EFG




rarr a middot b



12



- Hauptziele












- Hauptziele




Bsp

13



und nicht





- Hauptziele

















γ α β= +











Weihnachtsstern


15

- Symbolisch





















Bsp

17


Gegenbeispiel





















Drehen

Umklappen
























kommen

konvex konkav







360 5 72

180 72 108

108 2 54


deg = deg


360 5 72α = deg = deg


Literatur


22 Zylindernetze







Kegelnetze




2 2360

360

360

360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

= sdotdeg

=deg

= sdot deg

middot Besonderheit




Netz der Kugel











- Satz







- Satz


- Satz















- Rechteck










- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

c a

+ =

+ ==

=





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


- Weitere Beweise

middot Perigal


rarr rarr rarr










middot Wiegen






middot Zerlegungen



Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder
































harr


10 Beweisidee





















Bsp ABCD cap ∆EFG




rarr a middot b



12



- Hauptziele












- Hauptziele




Bsp

13



und nicht





- Hauptziele

















γ α β= +











Weihnachtsstern


15

- Symbolisch





















Bsp

17


Gegenbeispiel





















Drehen

Umklappen
























kommen

konvex konkav







360 5 72

180 72 108

108 2 54


deg = deg


360 5 72α = deg = deg


Literatur


22 Zylindernetze







Kegelnetze




2 2360

360

360

360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

= sdotdeg

=deg

= sdot deg

middot Besonderheit




Netz der Kugel











- Satz







- Satz


- Satz















- Rechteck










- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

c a

+ =

+ ==

=





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


- Weitere Beweise

middot Perigal


rarr rarr rarr










middot Wiegen






middot Zerlegungen



Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder

10 Beweisidee





















Bsp ABCD cap ∆EFG




rarr a middot b



12



- Hauptziele












- Hauptziele




Bsp

13



und nicht





- Hauptziele

















γ α β= +











Weihnachtsstern


15

- Symbolisch





















Bsp

17


Gegenbeispiel





















Drehen

Umklappen
























kommen

konvex konkav







360 5 72

180 72 108

108 2 54


deg = deg


360 5 72α = deg = deg


Literatur


22 Zylindernetze







Kegelnetze




2 2360

360

360

360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

= sdotdeg

=deg

= sdot deg

middot Besonderheit




Netz der Kugel











- Satz







- Satz


- Satz















- Rechteck










- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

c a

+ =

+ ==

=





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


- Weitere Beweise

middot Perigal


rarr rarr rarr










middot Wiegen






middot Zerlegungen



Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder









Bsp ABCD cap ∆EFG




rarr a middot b



12



- Hauptziele












- Hauptziele




Bsp

13



und nicht





- Hauptziele

















γ α β= +











Weihnachtsstern


15

- Symbolisch





















Bsp

17


Gegenbeispiel





















Drehen

Umklappen
























kommen

konvex konkav







360 5 72

180 72 108

108 2 54


deg = deg


360 5 72α = deg = deg


Literatur


22 Zylindernetze







Kegelnetze




2 2360

360

360

360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

= sdotdeg

=deg

= sdot deg

middot Besonderheit




Netz der Kugel











- Satz







- Satz


- Satz















- Rechteck










- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

c a

+ =

+ ==

=





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


- Weitere Beweise

middot Perigal


rarr rarr rarr










middot Wiegen






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Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


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35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder

12



- Hauptziele












- Hauptziele




Bsp

13



und nicht





- Hauptziele

















γ α β= +











Weihnachtsstern


15

- Symbolisch





















Bsp

17


Gegenbeispiel





















Drehen

Umklappen
























kommen

konvex konkav







360 5 72

180 72 108

108 2 54


deg = deg


360 5 72α = deg = deg


Literatur


22 Zylindernetze







Kegelnetze




2 2360

360

360

360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

= sdotdeg

=deg

= sdot deg

middot Besonderheit




Netz der Kugel











- Satz







- Satz


- Satz















- Rechteck










- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

c a

+ =

+ ==

=





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


- Weitere Beweise

middot Perigal


rarr rarr rarr










middot Wiegen






middot Zerlegungen



Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


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35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder

13



und nicht





- Hauptziele

















γ α β= +











Weihnachtsstern


15

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Bsp

17


Gegenbeispiel





















Drehen

Umklappen
























kommen

konvex konkav







360 5 72

180 72 108

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deg = deg


360 5 72α = deg = deg


Literatur


22 Zylindernetze







Kegelnetze




2 2360

360

360

360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

= sdotdeg

=deg

= sdot deg

middot Besonderheit




Netz der Kugel











- Satz







- Satz


- Satz















- Rechteck










- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

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+ =

+ ==

=





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


- Weitere Beweise

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Zusammenfassend






31

3Pyramide

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h













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b) ZP ZP=






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32





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Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

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35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





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Weihnachtsstern


15

- Symbolisch





















Bsp

17


Gegenbeispiel





















Drehen

Umklappen
























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konvex konkav







360 5 72

180 72 108

108 2 54


deg = deg


360 5 72α = deg = deg


Literatur


22 Zylindernetze







Kegelnetze




2 2360

360

360

360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

= sdotdeg

=deg

= sdot deg

middot Besonderheit




Netz der Kugel











- Satz







- Satz


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- Rechteck










- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

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+ =

+ ==

=





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


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Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













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b) ZP ZP=






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32





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Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


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35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder

15

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Bsp

17


Gegenbeispiel





















Drehen

Umklappen
























kommen

konvex konkav







360 5 72

180 72 108

108 2 54


deg = deg


360 5 72α = deg = deg


Literatur


22 Zylindernetze







Kegelnetze




2 2360

360

360

360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

= sdotdeg

=deg

= sdot deg

middot Besonderheit




Netz der Kugel











- Satz







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- Rechteck










- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

c a

+ =

+ ==

=





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


- Weitere Beweise

middot Perigal


rarr rarr rarr










middot Wiegen






middot Zerlegungen



Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


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35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder









Bsp

17


Gegenbeispiel





















Drehen

Umklappen
























kommen

konvex konkav







360 5 72

180 72 108

108 2 54


deg = deg


360 5 72α = deg = deg


Literatur


22 Zylindernetze







Kegelnetze




2 2360

360

360

360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

= sdotdeg

=deg

= sdot deg

middot Besonderheit




Netz der Kugel











- Satz







- Satz


- Satz















- Rechteck










- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

c a

+ =

+ ==

=





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


- Weitere Beweise

middot Perigal


rarr rarr rarr










middot Wiegen






middot Zerlegungen



Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder

17


Gegenbeispiel





















Drehen

Umklappen
























kommen

konvex konkav







360 5 72

180 72 108

108 2 54


deg = deg


360 5 72α = deg = deg


Literatur


22 Zylindernetze







Kegelnetze




2 2360

360

360

360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

= sdotdeg

=deg

= sdot deg

middot Besonderheit




Netz der Kugel











- Satz







- Satz


- Satz















- Rechteck










- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

c a

+ =

+ ==

=





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


- Weitere Beweise

middot Perigal


rarr rarr rarr










middot Wiegen






middot Zerlegungen



Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















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32





- Drehsymmetrie


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middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


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35

Abbildungsfaktor b

a






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36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder













Drehen

Umklappen
























kommen

konvex konkav







360 5 72

180 72 108

108 2 54


deg = deg


360 5 72α = deg = deg


Literatur


22 Zylindernetze







Kegelnetze




2 2360

360

360

360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

= sdotdeg

=deg

= sdot deg

middot Besonderheit




Netz der Kugel











- Satz







- Satz


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- Rechteck










- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

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+ =

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h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


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Zusammenfassend






31

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Pyramide

VV G h G

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32





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Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

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Parallelprojektion

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35

Abbildungsfaktor b

a






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36 Letzte Stunde





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konvex konkav







360 5 72

180 72 108

108 2 54


deg = deg


360 5 72α = deg = deg


Literatur


22 Zylindernetze







Kegelnetze




2 2360

360

360

360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

= sdotdeg

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= sdot deg

middot Besonderheit




Netz der Kugel











- Satz







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- Rechteck










- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

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+ =

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h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


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Zusammenfassend






31

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Pyramide

VV G h G

h













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32





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Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


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Parallelprojektion

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35

Abbildungsfaktor b

a






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36 Letzte Stunde





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22 Zylindernetze







Kegelnetze




2 2360

360

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360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

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middot Besonderheit




Netz der Kugel











- Satz







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15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

c a

+ =

+ ==

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h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


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middot Perigal


rarr rarr rarr










middot Wiegen






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Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






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32





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Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


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35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder


2 2360

360

360

360

GrundkreisU b

r m

r m

r

mr

m

ϕπ π

ϕ

ϕ

ϕ

=

sdot = sdot sdotdeg

= sdotdeg

=deg

= sdot deg

middot Besonderheit




Netz der Kugel











- Satz







- Satz


- Satz















- Rechteck










- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

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+ =

+ ==

=





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


- Weitere Beweise

middot Perigal


rarr rarr rarr










middot Wiegen






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Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder






- Satz


- Satz















- Rechteck










- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

c a

+ =

+ ==

=





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


- Weitere Beweise

middot Perigal


rarr rarr rarr










middot Wiegen






middot Zerlegungen



Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder






- Kreis





15 181

2

m mm

+ sdot


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

c a

+ =

+ ==

=





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


- Weitere Beweise

middot Perigal


rarr rarr rarr










middot Wiegen






middot Zerlegungen



Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder


a lt c lt 2a


rarr







1 2 3

2 2 2

2 22

2

A A A

a a c

a c

c a

+ =

+ ==

=





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


- Weitere Beweise

middot Perigal


rarr rarr rarr










middot Wiegen






middot Zerlegungen



Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder





h q

p h=




(4) h q

p h= ((3))


- Weitere Beweise

middot Perigal


rarr rarr rarr










middot Wiegen






middot Zerlegungen



Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder








middot Wiegen






middot Zerlegungen



Zusammenfassend






31

3Pyramide

Pyramide

VV G h G

h













Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder











Sonderfall











b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder










b) ZP ZP=






- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









middot Beispiele










Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







35

Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder




- Satz

















middot Beispiele

32





- Drehsymmetrie


middot Beispiele









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Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







35

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a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder

32





- Drehsymmetrie


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Riesenrad


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Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







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Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

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- Kreiszylinder









Riesenrad


Mondgesicht

Drehung




PROJEKTIONEN

Zentralprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften






Parallelprojektion

- Prinzip


- Eigenschaften







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Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder


PROJEKTIONEN

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- Prinzip


- Eigenschaften






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- Prinzip


- Eigenschaften







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Abbildungsfaktor b

a






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36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder

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Abbildungsfaktor b

a






- Punkte verbinden

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder

36 Letzte Stunde





- Kreiszylinder

elemente der schulgeometrie - didmath.ewf.uni … · darauf zu achten, dass sie mathematische...

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