Grundbegriffe der Schulgeometrie

SS 2008 Teil 8

(M. Hartmann)

Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Repräsentation von Körpern• Die ikonische Repräsentation von Körpern ist gegenüber

der ebener Figuren besonders problematisch, da Längen und Winkel verzerrt dargestellt werden

• Deshalb ist bei Körpern die unmittelbare enaktive Repräsentation unerlässlich!

• Bei Körpern unterscheidet man grob zwischen Kanten-, Flächen- und Voll- bzw. Füllkörpermodellen, die passend zu den jeweiligen Lernzielen eingesetzt werden müssen– Kantenmodell: Kanten-, Diagonaleneigenschaften,…

Teilfiguren, wie Stützdreiecke müssen selbst wieder z.B. als Pappfigur repräsentiert werden

– Flächenmodell: Formen der Begrenzungsflächen, Netze, Oberflächenmaß, …

– Voll- bzw. Füllkörpermodell: Volumen, Gewicht, Dichte…

Welches der Dreiecke ist rechtwinklig?

BA

E F

H G

CD

• Zum Aufbau eines mentalen Modells von Körpern müssen – die unterschiedlichen Modelltypen von den Schülern selbst

hergestellt werden• Flächenmodell:

– Wie viele Seitenflächen?– Welche Formen bzw. Beziehungen?– Welche Lage? (Körpernetz!)

• Kantenmodell:– Überlegung notwendig: Wie viele Kanten welcher Länge

• Vollmodell: – Zusammenhang Herstellung – Eigenschaft (Rollen – Zylinder)

• Achten Sie dabei auf sauberes Arbeiten!– die Körper als Kanten- oder Flächenmodell strukturiert werden

durch • Repräsentation relevanter Aspekte z.B. mittels Farbe• Prozess des Aufbaus

– diese strukturierenden Repräsentationen verbal erläutert werden– entsprechende Vorstellungsübungen gemacht werden (z.B.

Wechselspiel zwischen Betrachtung des realen Modells mit offenen und des mentalen Modells bei geschlossenen Augen)

– die Körper von den Schülern als Schrägbild gezeichnet werden

– Strukturierungen durch Einfärben dort sichtbar gemacht werden

– der Wechsel vom Modell zum Schrägbild mit entsprechenden Übungen gestaltet werden, damit das Schrägbild richtig interpretiert wird (z.B. Einzeichnen von Diagonalen, Schnittfiguren,…)

– reale, zeichnerische oder mentale Operationen an Körpern vorgenommen werden (z.B. Schnitte, Verlängerung von Seiten, …)

Repräsentation der Kantenbeziehungen

Repräsentation der Seitenflächenbeziehungen

Repräsentation des Quadermantels

Repräsentation des Quaders als Prisma

Netze von Körpern

• Körper, die von ebenen Flächen begrenzt werden heißen Polyeder (Vielflächner)

• Diese Begrenzungsflächen sind Vielecke• Das Netz eines Körpers erzeugt man, indem man diesen

entlang von Kanten aufschneidet und in der Ebene ausbreitet. Diesen Prozess nennt man Abwicklung

Beispiele:

Gegenbeispiel:Nicht an einer gemeinsamen Kante zusammenhängend!

Nicht zusammenhängend!

Wie entscheidet man, ob etwas ein Würfel- bzw. ein Quadernetz ist?

– mental-visuelles Zusammenfalten• Vorstellungshilfe: Schweren Körper auf

Grundfläche stellen– Anwenden von Ausschlusskriterien

• Kein „U“• kein „5er-Band“• kein „großer Winkel“

– Speziell für Quadernetze• 3 Paare kongruenter Rechtecke • Über Eck keine ungleichlangen Rechtecksseiten

großes Ukleines U U

5er-Bandgroßer Winkel

Wie viele verschiedene Würfelnetze gibt es?

gleich oder verschieden?

Drehen

Umklappen

Lernziele zu Körpernetzen

• Einprägen von Körpereigenschaften• Hilfe zur Oberflächenberechnung

– Bei der Oberflächenberechnung sollte generell auf Formeln verzichtet werden

• Umwelterschließung: – Bau von Körpern

• Vermeidung von Leimkanten• Optimale Ausnutzung des Materials (Parkettieren mit Netzen)

– Lösen von Verpackungsproblemen

• Training des räumlichen Vorstellungsvermögens– speziell des mental-visuellen Operierens und– der Nutzung von Relativlagen

Standardnetze der geraden quadratischen Pyramide

„sternförmig“ „mantelförmig“

Repräsentiert Symmetrie Repräsentiert Aufteilung inMantel- und Grundfläche

• Konstruktionsmöglichkeit 1: „Kreise um Eckpunkte“

• Konstruktionsmöglichkeit 2: „Kreis um Mittelpunkt und Mittelsenkrechten der Grundkanten“

• Konstruktionsmöglichkeit 3:

„Grundkanten als Sehnen am Umkreis des Mantelnetzes antragen“

Konstruktionsaufgabe

• Geg: Grundkantenlänge a= 3cm und Pyramidenhöhe hpyr= 4cm• Ges: Netz der Pyramide

Standardnetze der geraden Rechteckspyramide

• Vorgehensweisen analog zur quadratischen Pyramide

Netz einer beliebigen Dreieckspyramide

Netz einer beliebigen Vieleckspyramide

Bedingungen für Pyramidennetze:(1) aufeinandertreffende Dreiecksseiten jeweils gleichlang

(2) Dreiecksseiten nicht zu kurz

(3) Spurgeraden der Dreiecksspitzen schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenfußpunkt der Pyramide (Ist bei Dreieckspyramiden bereits mit (1) erfüllt)

Bei konkaven Körpern kann es bei der „Abwicklung“ zu Überlappungen kommen!