Eksponen & Logaritma

Bentuk Pangkat,Akar

,Eksponen dan

Logaritma

Bentuk Pangkat

Bentuk Akar

Eksponen

Logaritma

Bulat Positif

Nol dan bulat negatif

Pangkat Pecahan

Bil.Rasional

Bil.Irrasional

Pengertian

Sifat-sifat

Persamaan

Pertidaksamaan

Sifat-sifat

Persamaan

Pertidaksamaan

PETA

KONSEP

Bentuk Pangkat

Bentuk-bentuk bilangan berpangkat dapat kita bagi menjadi empat jenis, yaitu:

• Bilangan berpangkat positif, • Berpangkat nol, • Berpangkat negatif dan • Bilangan berpangkat pecahan.

Bilangan Berpangkat Positif

Konsep pangkat bilangan berawal dari perkalian, yang bertujuan untuk meringkas penulisan perkalian dari bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama.

Sehingga : 2 × 2 × 2 = 23

3 × 3 × 3 × 3 = 34

Secara umum, bilangan berpangkat dapat ditulis sebagai berikut:an = a × a × a ×……..× a ( sebanyak n faktor)ket : a disebut bilangan pokok

n disebut pangkat.

Jika  a dan b bilangan real,m dan n bilangan bulat positif maka berlaku:

 

Pangkat Nol dan Pangkat Bulat Negatif

Jika p dan q bilangan bulat positif, kita sudah memiliki rumus ap: aq = ap-q. Jika p = q, maka ap = aq , maka ap: aq =1.Dari sisi lain, jika p = q maka p-q = 0, sehingga  ap-q = a0 =1.

Jika pq maka (p-q ) merupakan bilangan bulat negatif. Hal ini berakibat ap:aq = ap-q merupakan bilangan  berpangkat bulat negatif.

Pangkat PecahanUntuk menentukan hasil pemangkatan

bilangan pecahan berpangkat dapat di gunakan definisi bilangan berpangkat. Jika a, b∈ B, b ≠ 0, n adalah bilangan bulat positif maka:

Bentuk AkarBENTUK AKAR adalah akar bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional.

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n ∈ B dan n ≠ 0. Contoh bilangan rasional seperti:5, 3 dan seterusnya.Sedangkan bilangan irrasional adalah bilangan riil yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n ∈ B dan n ≠ 0. Bilangan-bilangan seperti termasuk bilangan irrasional, karena hasil akar dari bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional.

Bilangan-bilangan semacam itu disebut bentuk akar. Sehingga dapat disimpulkan bahwa bentuk akar adalah akar-akar dari suatu bilangan reall positif, yang hasilnya merupakan bilangan irrasional.

Operasi Hitung Bentuk Akar

a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

b. Perkalian Bentuk AkarUntuk sembarang bilangan bulat positif a dan b berlaku sifat perkalian berikut.

5

Eksponen adalah bentuk perkalian dengan bilangan yang sama yang di ulang-ulang atau singkatnya adalah perkalian yang diulang-ulang. Di tinjau dari bentuknya, bentuk an (baca : a pangkat n) dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat.

Ada beberapa aturan yang membantu menghitung pangkat :

 

Eksponen

(a x b)n = an x bn

an x am = an+m

an/am = an-m a-n = 1/an

(an)m = an x m

53 = 5 x 5 x 5 = 125

Sifat Eksponen

am . an = am+n

Contoh: 23.24 = 23+4

am/an = am-n

Contoh: 36/ 32 = 36-2

(am)n = amn

Contoh: (22)2 = 22 x 2 = 24 = 16

(ab)n =anbn

Contoh: (2.3)2= 22.32 = 4.9 =36

 

(a/b)n = (an/bn)

Contoh: (6/2)2 = 62/22 = 36/4 = 9

 

a1 = a

Contoh: 31 = 3

 

a0 = 1

Contoh: 50 = 1

Sifat – sifat Eksponen : Jika a dan b bilangan real positif, serta x dan y bilangan real, maka berlaku hubungan :

Persamaan EksponenPersamaan eksponen adalah sebuah persamaan yang

eksponennya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

2. Sifat Operasi Bilangan Pangkat RasionalJika a,b,c є bilangan real dan m,n,p,q є bilangan bulat positif, maka :a. am/n . ap/q = am/n + p/q

b. (am/n)p/q = amp/nq

c. am/n : ap/q = am/n – p/q

d. (ab)m/n = am/n . bm/n

e. (a/b)m/n = am/n/bm/n

1. Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bulat :

am x an = am+n

(am)n = (a)mn

am/an = am-n

(a x b )n = an x bn

(a/b)n = an/bn

 

Pertidaksamaan Eksponen

Pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x, dan tidak menutup kemungkingan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi eksponen baku.

Sifat Fungsi Monoton Naik (a>1) Jika af(x)≥ag(x), maka f(x)≥g(x) Jika af(x)≤ag(x), maka f(x)≤g(x) Sifat Fungsi Monoton Turun (a<1) Jika af(x)≥ag(x), maka f(x)≤g(x) Jika af(x)≤ag(x), maka f(x)≥g(x)

LogaritmaLogaritma adalah operasi matematika yang

merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.

Rumus dasar logaritma:

bc= a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis).

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

sifat – sifat Logaritma

Persamaan logaritma adalah suatu persamaan yang numerusnya (bilangan yang di ambil logaritmanya) memuat variabel x atau persamaan yang bilangan pokok atau numerusnya memuat variabel x.

Adapun bentuk – bentuk dari persamaan logaritma yang kita pelajari, sebagai berikut.

a. alog f(x) = alog p

b. alog f(x) = alog g(x)

c. alog f(x) = blog f(x)

d. A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0

Adapun f(x) dan g(x) adalah fungsi – fungsi aljabar dengan f(x),g(x) > 0; a, b, p bilangan real positif, x > 0, a ≠ 1, b ≠ 1; A, B, C bilangan real, A ≠ 0.

Persamaan Logaritma

a. Persamaan logaritma berbentuk alog f(x) = alog p

Misalkan diberikan persamaan alog f(x) = alog p dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), p > 0. Himpunan penyelesaian persamaan tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

Karena alog f(x) = alog p maka a a log p = f(x) atau f(x) = a a log p . Akibatnya f(x) = p.

Himpunan penyelesaian persamaan alog f(x) = alog p dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), p > 0 adalah himpunan yang anggotanya x sedemikian rupa sehingga f(x) = p.

b. Persamaan logaritma berbentuk alog f(x) = alog g(x)

Misalkan diberikan persamaan alog f(x) = alog g(x) dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), g(x) > 0. Himpunan penyelesaian persamaan tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

Karena alog f(x) = alog g(x) maka a a

log g(x) = f(x) atau f(x) = a a log g(x) . Akibatnya f(x) = g(x).

Himpunan penyelesaian persamaan alog f(x) = alog g(x) dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), f(x), g(x) > 0 adalah himpunan yang anggotanya x sedemikian rupa sehingga f(x) = g(x).

c. Persamaan logaritma berbentuk alog f(x) = blog f(x)

Misalkan diberikan persamaan alog f(x) = blog f(x) dengan a,b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1, a ≠ b; f(x) > 0. Himpunan penyelesaian persamaan tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. Misalkan alog f(x) = r maka ar = f(x). Demikian juga, blog f(x) = r maka br = f(x). Berarti, ar = br . Namun, karena a ≠ 1, b ≠ 1 dan a ≠ b maka r = 0. akibatnya, f(x) = 1.

Himpunan penyelesaian persamaan alog f(x) = blog f(x) dengan a,b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1, a ≠ b; f(x) > 0 adalah himpunan yang anggotanya x sedemikian rupa sehingga f(x) = 1.

d. Persamaan logaritma berbentuk A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0

Pada persamaan logaritma A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0; dengan a, x > 0, a ≠ 1 dan A, B, C bilangan real, dan A ≠ 0 jika dimisalkan y = alog x maka persamaan tersebut dapat diubah menjadi persamaan kuadrat dalam variabel y.

Pertidaksamaan Logaritma

Sifat – sifat yang digunakan dalam penyelesaian pertidaksamaan logaritma, antara lain.

√ Jika a > 1 dan alog u(x) ≥ alog v(x) maka u(x) ≥ v(x)√ Jika a > 1 dan alog u(x) ≤ alog v(x) maka u(x) ≤ v(x)√ Jika 0 < a < 1 dan alog u(x) ≥ alog v(x) maka u(x) ≤ v(x)√ Jika 0 < a < 1 dan alog u(x) ≤ alog v(x) maka u(x) ≥ v(x)

Kondisi di atas juga berlaku untuk tanda pertidaksamaan < atau >

√ Fungsi logaritma alog u(x) terdefinisi jika u(x) > 0.