SESO DEL IES LAS CUMBRES. GRAZALEMA MATEMÁTICAS 2º ESOhttp://iesgrazalema.blogspot.com

NÚMEROS ENTEROS

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Calcula: a) ∣2−3∣

∣2−3∣=∣2−3∣=∣−1∣=1

b) ∣−5−1∣

∣−5−1∣=∣5−1∣=∣4∣=4

c) ∣−44∣

∣−44∣=∣0∣=0

d) ∣6−9∣

∣6−9∣=∣6−9∣=∣−3∣=3

e) ∣2 ·−5∣

∣2 ·−5∣=∣−10∣=10

f) ∣−4 ·−5∣

∣−4 ·−5∣=∣20∣=20

g) ∣2 ·3∣

∣2 ·3∣=∣6∣=6

h) ∣−4 ·3∣

∣−4 ·3∣=∣−12∣=12

i) ∣2 ·−1∣

∣2 ·−1∣=∣−2∣=2

j) ∣−4 ·−1∣

∣−4 ·−1∣=∣4∣=4

k) ∣−3·8∣

∣−3·8∣=∣−24∣=24

l) −9∣−13∣

−9∣−13∣=−913=4

m) ∣−25 :5∣

∣−25 :5∣=∣−4∣=4

n) ∣−30∣: −10

∣−30∣: −10=30 : −10=−3

ñ) −∣5−11∣

−∣5−11∣=−∣−6∣=−6

o) −2 ·∣−7∣

−2 ·∣−7∣=−2 ·7=−14

p) ∣18 :−9∣

∣18 :−9∣=∣−2∣=2

q) −2 ·∣−6∣

−2 ·∣−6∣=−2 ·6=−12

r) ∣−8∣· −4

∣−8∣· −4=8· −4=−32

s) 2 ·∣−9∣

2 ·∣−9∣=2 ·9=18

t) ∣−24 :6∣

∣−24 :6∣=∣−4∣=4

u) ∣3−5∣∣−104∣

∣3−5∣∣−104∣=∣−2∣∣−6∣=26=8

v) ∣−3∣5−∣−4∣

∣−3∣5−∣−4∣=35−4=8−4=4

w) ∣10−172∣

∣10−172∣=∣12−17∣=∣−5∣=5

2.- Determina el valor de los números desconocidos representados por letras: a) ∣6∣=∣x∣= y

∣6∣=∣x∣= y⇒{x=−6y=6 }

b) ∣x∣=∣y∣=4

∣x∣=∣y∣=4⇒{x=4y=−4 }

c) op 4 x=−3

op 4 x=−3−4x=3

x=34x=7

d) −2 · x=∣−10∣

−2 · x=∣−10∣−2 x=10

x= 10−2

x=−5

e) ∣−7∣−x=−1

∣−7∣−x=−17−x=−1−x=−1−7− x=−8

x=−8−1

x=8

f) x :op −6=4

x :op −6=4x :6=4

x=4 ·6x=24

g) ∣−6∣x=0

∣−6∣ x=06x=0

x=0−6x=−6

h) −2∣x∣=5

−2∣x∣=5∣x∣=52∣x∣=7

x=±7

i) 3− x=∣op −8∣

3− x=∣op −8∣3−x=∣8∣3−x=8− x=8−3−x=5

x=5−1

x=−5

j) −9op x =∣−4∣

−9op x=∣−4∣op x=49op x =13

x=−13

k) ∣5 x∣=0

∣5x∣=05x=0

x=0−5x=−5

l) ∣−4∣−x=0

∣−4∣−x=04− x=0−x=0−4− x=−4

x=−4−1

x=4

m) ∣−3− x∣=0

∣−3−x∣=0−3−x=0

−x=03−x=3

x= 3−1

x=−3

n) ∣−6∣x=0

∣−6∣x=06 x=0

x=0−6x=−6

3.- Encuentra los números enteros que, en cada caso, cumplen las siguientes condiciones: a) Su valor absoluto es menor que 3.

∣x∣3⇔−3x3⇒ x=−2, −1, 0, 1, 2

b) Su valor absoluto es menor o igual que 3.

∣x∣3⇔−3x3⇒ x=−3, −2,−1, 0, 1, 2, 3

c) Su valor absoluto es mayor que 3.

∣x∣3⇔−3x3⇒ x=−7,−6, −5, −4, 4, 5, 6, 7

d) Su valor absoluto es mayor o igual que 3.

∣x∣3⇔−3x3⇒ x=−7,−6, −5, −4,−3, 3, 4, 5, 6, 7

e) Negativo y con valor absoluto menor que 9.

{ x0∣x∣9⇔−9x9⇒ x=−8, −7, −6,−5, −4, −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}⇒⇒ x=−8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1

f) Su opuesto es un número negativo mayor que – 3.

{ op x 0⇔x0op x−3⇔x3⇒ x=−5, −4,−3, −2, −1, 0, 1, 2}⇒ x=1, 2

g) Su valor absoluto es 12 y está comprendido entre – 14 y – 10.

{ ∣x∣=12−14x−10⇒ x=−13, −12, −11}⇒ x=−12

h) Son dos números negativos consecutivos y el valor absoluto de su suma es 13.

1er número x2º número x1

{ x0∣xx1∣=13⇒∣x x1∣=13⇒∣2 x1∣=13}⇒2 x1=−13⇒2 x=−13−1⇒

⇒2 x=−14⇒ x=−142

⇒ x=−7

1er número x=−72º número x1=−71=−6

4.- Plantea y resuelve las siguientes cuestiones: a) ¿Cuál es el valor absoluto de la suma de dos números opuestos?

∣xop x∣=∣x−x ∣=∣x−x∣=∣0∣=0

b) ¿A qué es igual la suma de los valores absolutos de dos números enteros opuestos?

∣x∣∣op x ∣=∣x∣∣−x∣=x x=2 x

c) ¿Cuál es el resultado de dividir un número negativo entre su valor absoluto?

x0⇒ x∣x∣

= x−x

=−1

d) ¿Qué se obtiene al dividir un número positivo entre el valor absoluto de su opuesto?

x0⇒ xop x

= x∣−x∣

= xx=1

e) ¿Qué relación hay entre un número positivo y el valor absoluto de la diferencia entre él y su opuesto?

x0⇒ x∣x−opx ∣

= x∣x−−x∣

= x∣xx∣

= x∣2 x∣

= x2 x

=12

f) ¿Qué relación hay entre un número negativo y el valor absoluto de la diferencia entre él y su opuesto?

x0⇒ x∣x−opx ∣

= x∣x−−x∣

= x∣xx∣

= x∣2 x∣

= x−2 x

= 1−2

=-12

5.- Escribe las barras de valor absoluto donde corresponda para que estas igualdades sean ciertas: a) −6−4: −2=4

∣−6∣−4 :∣−2∣=6−4 : 2=6−2=4

b) −6−4: −2=8

∣−6∣−4 : −2=6−4 :−2=62=8

c) −6−4: −2=−5

∣−6−4∣: −2=∣−10∣:−2=10 : −2=−5

d) −6−4: −2=−4

−6−∣4∣: −2=−6−4 : −2=−62=−4

6.- Calcula: Puedes comprobar los resultados con tu calculadora, con Qalculate!, con WIRIS ...

a) 57=12 57=12

b) 14−10=14−10=4 14−10=4

c) −10−3=−13 −10−3=−13

d) 15−22=15−22=−7 15−22=−7

e) 12−5=7 12−5=7

f) −2−−10=−210=8 −210=8

g) 3−15=−12 3−15=−12

h) −12−−7=−127=−5 −127=−5

i) −211=9 −211=9

j) 15−−3=153=18 153=18

k) −2110=−11 −2110=−11

l) 2−−11=211=13 211=13

m) −15−7=−22 −15−7=−22

n) −10−7=−10−7=−17 −10−7=−17

ñ) 101=11 101=11

o) −5−12=−5−12=−17 −5−12=−17

p) −12−−10=−1210=−2 −1210=−2

q) −7−−15=−715=8 −715=8

7.- Calcula: Puedes comprobar los resultados con tu calculadora, con Qalculate!, con WIRIS ... a) 10−3−−5

10−3−−5=10−35=15−3=12

b) −−12−−15−7

−−12−−15−7=1215−7=27−7=20

c) 10−2−−9

10−2−−9=10−29=19−2=17

d) −12−−1015

−12−−1015=−121015=25−12=13

e) 4−52

4−52=4−52=6−5=1

f) 8−3−−2

8−3−−2=8−32=10−3=7

g) −−12−−8

−−12−−8=128=20

h) −7153

−7153=−7153=18−7=11

i) 25−4−6

25−4−6=25−4−6=25−10=15

j) −4−26

−4−26=−4−26=6−6=0

k) 9−18−2

9−18−2=9−18−2=9−20=−11

l) −−4−3−8

−−4−3−8=4−3−8=4−11=−7

m) −2−−10−12−2

−2−−10−12−2=−210−12−2=10−16=−6

n) −12−−10−512

−12−−10−512=−1210−512=22−17=5

ñ) −10−5−−3−2

−10−5−−3−2=−10−53−2=3−17=−14

o) 27−17−5−−25

27−17−5−−25=27−17−525=52−22=30

p) −16−34−18−8

−16−34−18−8=−16−34−18−8=−76

q) −−15−17−8−−10−163

−−15−17−8−−10−163=15−17−810−163=28−41=−13

8.- Calcula: Puedes comprobar los resultados con tu calculadora, con Qalculate!, con WIRIS ... a) 3−−235

1 3−−235=3−15=3−15=8−1=7

2 3−−235=32−35=10−3=7

b) 41−4−310

1 41−4−310=5−110=5−110=15−1=14

2 41−4−310=41−4310=18−4=14

c) −10−−3−2−5−7−2

1 −10−−3−2−5−7−2=−10−−5−−2−2=−1052−2=7−12=−5

2 −10−−3−2−5−7−2=−1032−57−2=12−17=−5

d) 8−159−12

1 8−159−12=8−24−12=8−12=8−12=−4

2 8−159−12=8−15−912=20−24=−4

e) −−1−2−3−5−5468

1 −−1−2−3−5−5468=−−6−23−5=−−6−18=6−18=−12

2 −−1−2−3−5−5468=123−55−4−6−8=11−23=−12 f) −1−9−5−4688−7

1

−1−9−5−4688−7=−10−19−41=−10−151==−10−151=1−25=−24

2 −1−9−5−4688−7=−1−9−54−6−88−7=12−36=−24

g) 32−3−1−5−7

1 32−3−1−5−7=3−1−1−12=3−1−−11=3−111=14−1=13

2 32−3−1−5−7=32−3−157=17−4=13 h) −1−−12−54

1 −1−−12−54=−1−6−6=−1−0=−1−0=−1

2 −1−−12−54=−11−25−4=6−7=−1

i) 35−9−7−5−7

1 35−9−7−5−7=3−4−7−12=3−4−−5=3−45=8−4=4

2 35−9−7−5−7=35−9−757=20−16=4

j) 4−5−73−−92−1

1

4−5−73−−92−1=43−12−2−10=4−9−−8=4−98== 12−9=3

2 4−5−73−−92−1=4−5−739−21=17−14=3

9.- Calcula: Puedes comprobar los resultados con tu calculadora, con Qalculate!, con WIRIS ... a) −12−[−13−5−−4]

1

−12−[−13−5−−4]=−12−−13−54=−12−4−18=−12−−14==−1214=2

2 −12−[−13−5−−4]=−12135−4=−12135−4=18−16=2

b) 8−3−[−9−6]

1 8−3−[−9−6]=8−3−−9−6=5−−15=515=20

2 8−3−[−9−6]=8−3−−9−6=8−396=23−3=20

c) [2−3−−25]−4

1 [2−3−−25]−4=[−1−3]−4=−1−3−4=−4−4=−4−4=−8

2 [2−3−−25]−4=2−3−−25−4=2−32−5−4=4−12=−8

d) −12[2−−25]−3

1

−12[2−−25]−3=−12[2−3]−3=−122−3−3=−12−1−3 ==−12−1−3=−16

2 −12[2−−25]−3=−122−−25−3=−1222−5−3=4−20=−16

e) 3−[−2−5−3]5

1

3−[−2−5−3]5=3−[−2−8]5=3−−2−85=3−−105 == 3105=18

2 3−[−2−5−3]5=32−−5−35=32535=18

f) −[−5−5−2]−7

1 −[−5−5−2]−7=−[−5−3]−7=−−5−3−7=−−8−7=8−7=1

2 −[−5−5−2]−7=55−2−7=55−2−7=10−9=1

g) [−5−310]−[−243−5]

1

[−5−310 ]−[−243−5]=[−5−13]−[−6−2]==−5−13−−6−2=−18−−8=−188=−10

2

[−5−310 ]−[−243−5]=−5−31024−3−5==−5−3−1024−35=11−21=−10

h) −−2−5−[−−53−5−7]−2

1

−−2−5−[−−53−5−7]−2=−−7−[−−2−12]−2 ==−−7−2−12−2=−−7−−10−2=710−2=17−2=15

2

−−2−5−[−−53−5−7]−2=−−2−5−53−−5−7−2== 25−5357−2=22−7=15

i) −[−53−2−7]−3−25

1

−[−53−2−7]−3−25=−[−8−9]−3−25 ==−−8−9−3−25=−−17−15=17−15=22−1=21

2

−[−53−2−7]−3−25=53−−2−7−3−25 ==5327−325=24−3=21

j) 3−[47−9−−193−10]−11−8−72

1

3−[47−9−−193−10]−11−8−72 == 3−[11−9−3−29]−11−152=3−[2−−26]−11−152== 3−226−11−152=3−28−−42=3−2842=9−28=−19

2

3−[47−9−−193−10]−11−8−72 == 3−47−9−193−10−11−8−72== 3−4−79−193−10−11872=32−51=−19

k) −8[−3−4−932−1]−5

1

−8[−3−4−932−1]−5=−8[−3−4−122−1]−5==−8[−3−4−122−1]−5=−8[−3−6−12−1]−5==−8[−3−−6−1]−5=−8−36−1−5=−86−4−5==−82−5=−82−5=2−13=−11

2

−8[−3−4−932−1]−5=−8−3−4−932−1−5==−8−3−493−2−1−5=−8−3−493−2−1−5=12−23=−11

l) −9−[−1−3−1−7]−10

1

−9−[−1−3−1−7]−10=−9−[−1−3−1−7]−10==−9−[−1−3−8]−10=−9−[−1−3−8]−10=−9−[−1−−5]−10==−9−−15−10=−9−4−10=−9−4−10=−23

2

−9−[−1−3−1−7]−10=−913−1−7−10 ==−913−1−7−10=−913−1−7−10 ==−913−1−7−10=4−27=−23

10.- Determina el valor del número entero desconocido x: a) 5 x−4=0

5x−4=0x1=0

x=0−1x=−1

b) −8−15−x=0

−8−15− x=0−x−23=0

−x=023−x=23

x= 23−1

x=−23

c) 79− x=0

79− x=0−x16=0

− x=0−16−x=−16

x=−16−1

x=16

d) x12−6=0

x12−6=0x6=0

x=0−6x=−6

e) 23− x=1

23− x=1−x5=1

−x=1−5−x=−4

x=−4−1

x=4

f) −51−x=10

−51− x=10⇒−x−4=10⇒− x=104⇒−x=14⇒ x= 14−1

⇒ x=−14

g) 4−x−2=8

4−x−2=8− x2=8

−x=8−2−x=6

x= 6−1

x=−6

h) −3x−4=−5

−3x−4=−5x−7=−5

x=−57x=2

i) −102x=−3

−102 x=−3x−8=−3

x=−38x=5

j) −x−58=−12

−x−58=−12−x3=−12

−x=−12−3−x=−15

x=−15−1

x=15

11.- Calcula: a) 9 ·−4

9 ·−4=−36

b) −75:5

−75:5=−15

c) −3·−16

−3·−16=48

d) 49 : −7

49 : −7=−7

e) −6 ·20

−6 ·20=−120

f) −40 :−8

−40 :−8=5

g) −4 ·−5 ·−3

−4 ·−5 ·−3=−60

h) −8 ·3·−2

−8 ·3· −2=48

i)−60−10

−60−10

=6

j)96−8

96−8

=−12

k) 3 ·−9 ·5

3 ·−9 ·5=−135

l) −8 ·−2· −4

−8 ·−2· −4=−64

m) −6 · −5·10· −2

−6 · −5·10 ·−2=−600

n) 2 ·−3·−1·5 ·4 ·−6·−1

2 ·−3·−1·5 ·4 ·−6·−1=720

ñ)−72−6

−72−6

=12

o)−3015

−3015

=−2

12.- Calcula: 1 Respetando la jerarquía de las operaciones.

2 Aplicando la propiedad distributiva.

a) −2 ·[5−3]

1 −2 ·[5−3]=−2 ·5−3=−2 ·2=−4

2 −2 ·[5−3]=−2 ·5−2·−3=−106=−4

b) −7·−4−6

1 −7· −4−6=−7 ·−10=70

2 −7· −4−6=−7 ·−4−−7 ·6=2842=70

c) 2 ·−47

1 2 ·−47=2·3=6

2 2 ·−47=2· −42 ·7=−814=6

d) −5 ·3−6

1 −5 ·3−6=−5 ·−3=15

2 −5 ·3−6=−5 ·3−−5·6=−1530=15

e) 6 ·−2−1

1 6 ·−2−1=6 ·−3=−18

2 6 ·−2−1=6 ·−2−6 ·1=−12−6=−18

f) −9· −85

1 −9· −85=−9 ·−3=27

2 −9· −85=−9 ·−8−9·5=72−45=27

g) −57·2

1 −57·2=2 ·2=4

2 −57·2=−5 ·27·2=−1014=4

h) −4 ·−10−1

1 −4 ·−10−1=−4 ·−11=44

2 −4 ·−10−1=−4 ·−10−−4·1=404=44

i) 6 ·−3−8

1 6 ·−3−8=6 ·−11=−66

2 6 ·−3−8=6 ·−3−6·8=−18−48=−66

j) 5−9· −6

1 5−9· −6=−4 · −6=24

2 5−9· −6=5 ·−6−9 ·−6=−3054=24

k) −4 ·−623

1 −4 ·−623=−4 · −65=−4 ·−1=4

2 −4 ·−623=−4 · −6−4·2−4·3=24−8−12=24−20=4

l) 4 · −59−6

1 4 · −59−6=4 ·9−11=4 ·−2=−8 2 4 · −59−6=4 ·−54 ·9−4·6=−2036−24=36−44=−8 m) [−37−−2] ·−8

1 [−37−−2] ·−8=−372·−8=9−3 ·−8=6 ·−8=−48

2 [−37−−2] ·−8=−3·−87 ·−8−−2·−8=24−56−16=24−72=−48

n) [−815−3]· −3

1 [−815−3]· −3=−815−3·−3=15−11 ·−3=4 ·−3=−12

2 [−815−3]· −3=−8·−315 ·−3−3 ·−3=24−459=33−45=−12

13.- Calcula: 1 Respetando la jerarquía de las operaciones.

2 Sacando factor común.

a) −5 ·8−5·4

1 −5 ·8−5·4=−40−20=−60

2 −5 ·8−5·4=−5· 84=−5 ·12=−60

b) −8 ·3−5 ·3

1 −8 ·3−5 ·3=−24−15=−39

2 −8 ·3−5 ·3=3 ·−8−5=3·−13=−39

c) 3 · 2−6 ·3

1 3 ·2−6 ·3=6−18=−12

2 3 ·2−6 ·3=3 ·[2−6]=3 ·2−6=3· −4=−12

d) −9·4−4· −3

1 −9·4−4· −3=−3612=−24

2 −9·4−4· −3=4 ·[−9−−3]=4· −93=4 · −6=−24

e) −2 ·7−3·−2

1 −2 ·7−3·−2=−146=−8

2 −2 ·7−3·−2=−2 ·[7−3]=−2 ·7−3=−2· 4=−8

f) −11 ·5−5 ·9

1 −11 ·5−5 ·9=−55−45=−100

2 −11 · 5−5 ·9=5· −11−9=5· −20 =−100

g) −12 ·−913 ·−9

1 −12 ·−913 ·−9=108−117=−9 2 −12 ·−913 ·−9=−9 ·−1213=−9 ·1=−9 h) −3·−2−7 ·−2

1 −3·−2−7 ·−2=614=20

2 −3·−2−7 ·−2=−2 ·−3−7=−2· −10=20

i) 6 ·−38 ·6

1 6 ·−38 ·6=−1848=30

2 6 ·−38 ·6=6 · −38=6 ·5=30

j) −2 ·−4−−4·3

1 −2 ·−4−−4· 3=812=20

2 −2 ·−4−−4·3=−4·−2−3=−4·−5=20

k) −2 ·5−2·6−2· −7

1 −2 ·5−2· 6−2· −7=−10−1214=14−22=−8

2−2 ·5−2·6−2· −7=−2 ·[56−7]=−2· 56−7=−2 ·11−7==−2·4=−8

l) −5 ·5−−5· 10−5 · 2

1 −5 · 5−−5· 10−5 · 2=−2550−10=50−35=15

2 −5 · 5−−5· 10−5 · 2=−5 ·5−102=−5· 7−10=−5· −3=15

m) −8 ·33 ·−4−−2·3

1 −8 · 33 ·−4−−2· 3=−24−126=6−36=−30

2−8 ·33 ·−4−−2·3=3 ·[−8−4 −−2]=3 ·−8−42=3· 2−12== 3·−10=−30

n) 4 · −84 ·34 ·−2

1 4 · −84 ·34 ·−2=−3212−8=12−40=−28

24 · −84 ·34 ·−2=4· [−83−2]=4 ·−83−2=4· 3−10== 4 ·−7=−28

14.- Calcula, sacando factor común: a) 7 · 4−3·−4

7 ·4−3· −4=7 ·43·4=4 · 73=4 ·10=40

b) 3 ·−3−5 ·−6

3 ·−3−5 ·−6=3 ·−3−5 ·2 ·−3=3·−3−10 ·−3=−3 ·3−10==−3 ·−7=21

c) −9· −25 ·3

−9· −25 ·3=3 ·−3·−25 ·3=3 ·65 ·3=3· 65=3 ·11=33

d) 3 ·−5−3 ·7

3 ·−5−3 ·7=3 ·−53 ·−7=3 ·[−5−7]=3 ·−5−7=3 ·−12=−36

e) 4 · −1−−4· 2

4 · −1−−4·2=4 ·−1−4 ·−2=4· [−1−−2]=4· −12=4·1=4

f) 5· −8−5·7

5· −8−5·7=5·−85· −7=5 ·[−8−7]=5 ·−8−7=5 ·−15=−75

g) 5· −3−6 ·4−3·−7

5· −3−6 ·4−3·−7=5· −3−3· 2·4−3· −7== 5·−3−3·8−3 ·−7=−3·[58−7]=−3·58−7== −3·13−7=−3·6=−18

h) −5 ·2−−3·42 ·13

−5 ·2−−3·42 ·13=−5·2−−3·2 ·22 ·13=−5 ·2−−6·22 ·13== 2 ·[−5−−613]=2· −5613=2· 19−5=2 ·14=28

i) −4 ·−52 ·−34 ·−7

−4 ·−52 ·−34 ·−7=2 ·−2· −52 ·−32 ·2 ·−7== 2 ·102 ·−32 ·−14=2 ·[10−3−14]=2 ·10−3−14=2 ·10−17== 2 ·−7=−14

j) 6 ·−5−4·3−−9·4

6 ·−5−4·3−−9·4=3 ·2· −5−4·3−3 ·−3·4== 3· −10−4·3−3 ·−12=3· [−10−4−−12]=3· −10−412== 3· 12−14=3 ·−2=−6

k) −2 ·5−2· −112 ·−7

−2 ·5−2· −112 ·−7=2 ·−52 ·112 ·−7== 2 ·[−511−7]=2· −511−7=2· 11−12=2 ·−1=−2

l) 3 ·7−3 ·−96

3 ·7−3 ·−96=3 ·7−3 ·−93 ·2=3 ·[7−−92]=3 ·792=3·18=54

15.- Saca factor común y calcula: a) 14−2 ·3

14−2 ·3=2 ·7−2· 3=2 ·7−3=2 ·4=8

b) 9−9·2

9−9·2=9 ·1−9 ·2=9 ·1−2=9 ·−1=−9

c) 20−25

20−25=5·4−5 ·5=5· 4−5=5·−1=−5

d) −7−7 ·5

−7−7 ·5=−7 ·1−7 ·5=−7 ·15=−7 ·6=−42

e) 921

921=3 ·33 ·7=3 ·37=3·10=30

f) 8−6

8−6=2 ·4−2 ·3=2· 4−3=2 ·1=2

g) 20−−15

20−−15=5· 4−5 ·−3=5·[ 4−−3]=5·43=5 ·7=35

h) −4−14

−4−14=2· −2−2 ·7=2 ·−2−7=2 ·−9=−18

i) −405−35

−405−35=5 ·−85·15 ·−7=5· [−81−7]=5 ·−81−7=5 ·1−15==5 ·−14=−70

j) 7−14−−28

7−14−−28=7 ·17 ·−2−7 ·−4=7· [1−2−−4]=7 ·1−24== 7· 5−2=7 ·3=21

k) −16−−324

−16−−324=4 ·−4−4 ·−84 ·1=4 ·[−4−−81]=4 ·−481== 4 ·9−4=4 ·5=20

h) 10−−8−12

10−−8−12=2 ·5−2· −4−2 ·6=2· [5−−4−6 ]=2· 54−6== 2 ·9−6=2 ·3=6

16.- Determina el valor del número entero x: a) −6 · x=30

−6 · x=30

x= 30−6

x=−5

b) x :−5=−2

x : −5=−2

x=−2· −5x=10

c) −8 : x=−1

−8 : x=−1−8=−1 · x

x=−8−1

x=8

d) x ·4=−24

x · 4=−24

x=−244

x=−6

e) 5· x=−20

5· x=−20

x=−205

x=−4

f) 40 : x=−10

40 : x=−1040=−10 · x

x= 40−10

x=−4

g) x :−8=2

x : −8=2

x=2· −8x=−16

h) x ·−9=27

x ·−9=27

x=27−9

x=−3

17.- Comprueba si son ciertas las siguientes igualdades: a) 715·−9−1=715· −9−1

{ 715·−9−1=7−135−1=7−136=−129715·−9−1=22 ·−9−1=−198−1=−199}⇒715· −9−1≠715·−9−1

b) 3−10−5=3−105

{3−10−5=3−5=−23−105=8−10=−2}⇒3−10−5=3−105

c) 12 :−4 ·3=12: −12

{12: −4·3=−3 ·3=−912 : −12=−1}⇒12: −4·3≠12 : −12

d) 5−7 ·2=−2 ·2

{5−7 ·2=5−14=−9−2·2=−4}⇒5−7 ·2≠−2 ·2

e) 8−6·4=2·4

{8−6·4=2 ·4=82 ·4=8}⇒8−6·4=2·4

f) 3−98−4 =3−98−4

{3−98−4=3−17−4=3−13=−103−98−4=11−13=−2}⇒3−98−4≠3−98−4

18.- Calcula: Puedes comprobar los resultados con tu calculadora, con Qalculate!, con WIRIS ... a) 5−13 ·2−−4·7

5−13 ·2−−4·7=5−2628=33−26=7

b) −45: 98 ·−3−6

−45 :98 ·−3−6=−5−24−6=−35

c) −34: −2· 5

−34: −2·5=17 ·5=85

d) 12 :−4−40 :−8

12 :−4−40 : −8=−35=2

e) 64 :−8·−7

64 : −8·−7=−8·−7=56

f) −9−21: −34

−9−21 : −34=−974=11−9=2

g) −15 ·2−−16: −8

−15 ·2−−16: −8=−30−2=−32

h) −12−9·6 : −2

−12−9·6 : −2=−12−54 :−2=−1227=15

i) 7−3·−4−27 :−9

7−3· −4−27 :−9=7123=22

j) −45−−49:7 ·−6

−45−−49:7 ·−6=−457· −6=−45−42=−87

k) −206· −5: −2

−206· −5: −2=−20−30: −2=−2015=−5

l) 54 :−3·2−9 ·−4

54 :−3·2−9 ·−4=−18·2−9 ·−4=−3636=0

19.- Calcula: Puedes comprobar los resultados con tu calculadora, con Qalculate!, con WIRIS ... a) 45 : 2−113 ·4

45 : 2−113 ·4=45 : −93 ·4=−512=7

b) −36: −172 · 4

−36: −172 ·4=−36 : −178=−36 : −9=4

c) 8−4 ·−103−7

8−4 ·−103−7=8−4· −7−7=828−7=36−7=29

d) 2−[6−−31]8 :2

2−[6−−31]8 : 2=2−[6−−2]8: 2=2−628: 2=2−88: 2=2−84 == 6−8=−2

e) 54 :−3−65−12 ·−2

54 :−3−65−12 ·−2=54 : −9−7 ·−2=−614=8

f) 9−4·−3−1−80 : −20

9−4·−3−1−80 : −20=5· −4−80 :−20=−204=−16

g) 2 ·−7−[−5· 8−49]

2 ·−7−[−5· 8−4 9]=2 ·−7−−5·49=2· −7−−209=2 ·−7−−11==−14−−11=−1411=−3

h) −10 : −2−3−[4−1−7]

−10 : −2−3−[4−1−7]=−10: −2−3−[4−−6]=−10 :−2−3−46==−10 : −5−10=2−10=−8

i) 15−7−9 ·68 ·−2

15−7−9 ·68 ·−2=15−−2·68 ·−2=1512−16=27−16=11

j) 6 ·−4−[5−12−9]

6 ·−4−[5−12−9]=6 ·−4−5−3=6 ·−4−2=−24−2=−26

k) 45 : −83 ·2−10

45 : −83·2−10=45: −5·2−10=−9 ·2−10=−18−10=−28

l) 20 ·−2 :5−16 :8· −3

20 ·−2 :5−16 :8· −3=−40 :5−2 ·−3=−86=−2 m) 3 ·4−6 ·2−15−5: −10

3 ·4−6 ·2−15−5: −10=3· 4−12−15−5: −10 =3· −8−20 :−10==−242=−22

n) −9−4·1−24 ·−8:−16

−9−4·1−24 ·−8: −16=−13· −14· −8: −16=13−32 :−16==132=15

ñ) −10 ·−2−6: −20−7−4

−10 ·−2−6: −20−7−4=−10 ·−8: −20−3=80 : −20−3=−4−3=−7

o) 12 :3−7−2 ·−14

12 :3−7−2 ·−14=12 :−4−2 ·−14=−328=25

p) 8· −9 :−2 ·3−1

8· −9 :−2 ·3−1=8· −9 :−6−1=−72 : −6−1=12−1=11

q) [6 · 4−12−10] :−2

[6 · 4−12−10] :−2=[6 · −8−10] : −2=−48−10:−2=−58 :−2=29

20.- Determina el valor del número entero desconocido x: a) −36−x=9 ·−4−8 ·−5

−36−x=9· −4−8· −5−36− x=−3640

−x=40

x=40−1

x=−40

b) x :−39 ·−1=−15

x :−39 ·−1=−15x :−3−9=−15

x : −3=−159x :−3=−6

x=−6· −3x=18

c) −5 · x=−5· −32

−5· x=−5 ·−32−5· x=−5 ·−1−5 · x=5

x= 5−5

x=−1

d) x−14=12 :6 ·−4−2· 7

x−14=12 :6 ·−4−2· 7x−14=2 ·−4−2· 7x−14=−8−14

x=−8

e) 7− x=7−8−12:−4

7−x=7−8−12: −47− x=7−−4: −47−x=7−1

x=1

f) 36−x=6−4 ·930

36−x=6−4 ·93036−x=6−363036− x=36−36

x=36

21.- Coloca los paréntesis necesarios para que estas igualdades sean ciertas: a) −9·3−5−8=10

−9· 3−5−8=−9 ·−2−8=18−8=10

b) −9·3−5−8=−24

−9·3−5−8=−27−−3=−273=−24

c) −9· 3−5−8=−40 −9·3−5−8=−27−5−8=−40

22.- Calcula:

a)−2 ·−84 :−1

−2 ·−84 :−1

= 16−4

=−4

b)24: −3−12: 6

24: −3−12: 6

=−8−2

=4

c)−2· 10· −5−50·10

−2· 10· −5−50:10

=100−5

=−20

d)200:−2

−2· −1·−10

200: −2

−2· −1·−10=−100

−20=5

e)−258·−35−79· 5−3−1

−258·−35−79 ·5−3−1

=13−2·−35−79· 5−4

=11 ·22·1

=222=11

f)[−2−3−6]−[4−32]

−[−732]

[−2−3−6]−[4−32]−[−732]

=−2−3−6−432

7−32=−2−3−6−432

7−3−2=

=5−157−5

=−102

=−5

g)[3−5−4]·[−2−−5−3][−2−−5−3]: [6−21]

[3−5−4]· [−2−−5−3][−2−−5−3] : [6−21]

=[3−1] ·[−2−−8][−2−−8] : [6−3]

=3−1· −28−28:6−3

=

=2·66 :3

=122=6

h)−−235−[−2−5−2][−35−−2−9]

−[8−2−7−3]

−−235−[−2−5−2][−35−−2−9]−[8−2−7−3]

=

=−−23525−2−35−−2−9

−8−27−3=2−3−525−2−3−529

−827−3=

=20−189−11

= 2−2

=−1

23.- La diferencia entre de dos números es – 3. El segundo de ellos es – 1. Calcula el primero.

x−−1=−3x1=−3

x=−3−1x=−4

24.- La diferencia entre de dos números es – 13 y el minuendo – 6. ¿Cuál es el sustraendo?

−6−x=−13− x=−136−x=−7

x=−7−1

x=7

25.- Halla el número que hay que sumar a 8 para que la mitad de la suma sea – 1.

8 x2

=−1

28 x2

=2 ·−1

8 x=−2x=−2−8x=−10

26.- El producto de dos números enteros es igual a – 270 y uno de ellos es el opuesto de 15. ¿Cuál es el otro?

x · op15=−270⇒ x ·−15=−270⇒ x=−270−15

⇒ x=18

27.- ¿Por qué número hay que dividir – 105 para obtener – 7?

−105x

=−7

−105=x ·−7

x=−105−7

x=15

28.- Calcula: a) El doble de – 20 + 13.

2 ·−2013=2 ·−7=−14

b) La tercera parte de – 18 – 3.

−18−3

3=−21

3=−7

c) El cuádruplo de – 63 : | – 7 |.

4 · −63 :∣−7∣=4· −63 :7=4 · −9=−36

29.- Halla el número que dividido entre – 6 da 5.

x−6

=5

x=−6 ·5x=−30

30.- Halla el número que multiplicado por – 8 da 96.

x ·−8=96

x=96−8

x=−12

31.- El dividendo de una división exacta es 108, y el cociente, – 18. ¿Cuál es el divisor?

108: d=−18108=d ·−18

d= 108−18

d=−6

32.- Halla el número que dividido por 7 da – 5.

x7=−5

x=7· −5x=−35

33.- ¿Qué número multiplicado por – 14 da 84?

x ·−14=84

x=84−14

x=−6

34.- Juan ha comprado un terreno de 450 m2 a 160 €/m2. Al cabo de un tiempo lo vende por 78.750 €. ¿Cuánto ganó por cada m2?

−450 m2 ·160 € /m278.750 €

450 m2=−72.000 €78.000 €

450 m2=6.750 €

450 m2=15 € /m2

35.- En un día de invierno, la temperatura a las seis de la mañana es de 3 ºC bajo cero. Al mediodía ha subido 9 ºC, pero a las doce de la noche el termómetro marca 1 ºC bajo cero. ¿Qué diferencia de temperatura ha habido entre el mediodía y la medianoche?

−1 ºC−−3 ºC9 ºC =−1 ºC−6 ºC=−7 ºC

36.- Euclides fue un matemático que vivió 60 años y murió en el 265 a. C. ¿En qué año nació?

−265 años−60 años=−325 años325 a. C.

37.- La primera mujer matemática conocida, Hypatia de Alejandría, nació en el 370 d. C. ¿Cuánto tiempo pasó desde que murió Euclides hasta que nació Hypatia?

370 años−−265 años=370 años265 años=635 años

38.- El pico más alto de España, con 3.478 m de altura, es el Mulhacén. El Sistema de Trave, a – 1.441 m de profundidad, es la cuarta sima más profunda del mundo. Halla la diferencia de altitud.

3.470 m−−1.441 m=3.470 m1.441 m=4.911 m

39.- El mes pasado, un empleado no fue a trabajar durante 5 días. Le han descontado un total de 195 € de su sueldo. ¿Cuánto dinero ha perdido cada día que no fue al trabajo?

−195 €5 días

=39 € /día

40.- Un reloj atrasa 40 s cada hora. Si a las 9 de la mañana del lunes tenía la hora exacta, ¿qué hora tendrá a las 12 del mediodía?

12 h−9 h· −40 s/ h=3 h ·−40 s /h=−120 s :60=−2 min de atraso12 h−2 min⇒11: 58 horas

41.- El primer mes del año, la gasolina bajó 5 céntimos, el segundo subió 3 céntimos, el tercero subió 8 céntimos y el cuarto bajó 2 céntimos. Calcula la variación total del precio de la gasolina en ese tiempo.

−0,05 € 0,03 €0,08 € −0,02 €=0,11 €−0,07 €=0,4 €

42.- Una comunidad de vecinos ha instalado placas solares y ha conseguido ahorrar 180 € en el recibo de la luz durante un año. ¿Cuál ha sido el ahorro mensual? −180 € :12 meses=−15 € /mes

43.- Pablo tenía 850 € en su cartilla de ahorros. Ha añadido 250 €/mes durante los últimos 5 meses. Sacó 2.300 € para pagar al carpintero. ¿Qué saldo le queda?

850 € 250 € /mes · 5 meses−2.300 €=850 €1.250 € −2.300 € == 2.100 €−2.300 € =−200 €

44.- En un instituto se juega una competición de fútbol entre las clases. Se consiguen 3 puntos al ganar un partido, 0 al empatar y – 2 al perder. De los 20 partidos jugados, una clase ha ganado 10 y ha empatado 5. ¿Cuántos puntos han logrado hasta ese momento?

10 ganados ·3 puntos / ganado5 empatados ·0 puntos /empatado ++ 5 perdidos ·−2 puntos / perdido=30 puntos0 puntos−10 puntos == 30 puntos−10 puntos=20 puntos

45.- Una expedición científica a la Antártida ha enviado los siguientes datos sobre las temperaturas mínimas en una semana:

Día Temperatura mínima

Lunes – 27 ºC

Martes – 25 ºC

Miércoles – 23 ºC

Jueves – 21 ºC

Viernes – 21 ºC

Sábado – 21 ºC

Domingo – 26 ºC

a) Representa los datos gráficamente, utilizando un diagrama de barras.

b) Calcula la máxima variación de temperaturas mínimas durante la semana.

−21 ºC−−27 ºC =−21 ºC27 ºC=6 ºC

lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Temperaturas mínimas en la Antártida

Días

Te

mp

era

tura

s (º

C)

46.- Unos amigos han realizado a pie una ruta de montaña. Empezaron a 650 m sobre el nivel del mar. En la primera etapa subieron 150 m más. En la segunda etapa bajaron 200 m y en la tercera etapa subieron hasta alcanzar los 936 m de altura. a) Completa la siguiente tabla sobre las distintas altitudes alcanzadas:

Salida 650 m

1.ª etapa 650 m150 m=800 m

2.ª etapa 800 m−200 m=600 m

3.ª etapa 936 m

b) Representa gráficamente las distintas altitudes alcanzadas.

c) Calcula los metros que subieron en la última etapa.

936 m−600 m=336 m

47.- Durante dos meses, Marta ha ahorrado 6 € a la semana. Ha gastado 24 € en un regalo para su abuela. Si cuando empezó a ahorrar ya tenía 15 €, ¿cuánto dinero tiene ahora?

15 €8 semanas·6 € / semana−24 € =15 €48 €−24 €=63 €−24 € =39 €

Salida 1ª. etapa 2ª. etapa 3ª. etapa

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

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