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Los números enteros

1. Los números enteros. Representación y valor absoluto

2. Ordenación de los números enteros

3. Operaciones con números enteros. Propiedades

4. Operaciones combinadas

UNIDAD 04

1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS


LOS NÚMEROS ENTEROS


El conjunto de los números enteros está formado por:

Los números positivos NEl cero

Los números negativos

Z = {…, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}




Los utilizamos para expresar:

- Temperaturas bajo cero

- Fechas históricas

- Altitudes

- Deudas

- …




El valor absoluto de un número entero es el mismo número con signo positivo. Se expresa escribiendo el número entre barras.

|+ 9| = |− 9| = 9 op (– 9) = 9

|+ a| = |− a| = a

|+ 6| = |− 6| = 6

Dos números enteros son opuestos o simétricos si tienen distinto signo y el mismo valor absoluto.

2. Ordenación de los números enteros



La forma más sencilla de ordenar los números enteros es mediante su representación en la recta numérica.

Un número entero a es mayor que un número entero b, a > b, si a está a la derecha de b en la recta numérica y viceversa.

a > b a – b > 03 > – 2 3 – (– 2) = 5 > 0

a < b a – b < 0– 3 < – 1 – 3 – (–1) = – 2 < 0

3. Operaciones con números enteros. Propiedades.



Para sumar dos o más números enteros del mismo signo se suman los valores absolutos de los sumandos y se deja el mismo signo.

Adición

(+8) + (+3) + (+5) = (+16)

(–6) + (–8) + (–9) = (–23)




Para sumar dos o más números enteros de distinto signo se suman por separado los del mismo signo y después se restan sus valores absolutos, el menor del mayor, y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto.

(–5) + (+4) + (–3) = (–5) + (–3) + (+4) =

= (–8) + (+4) = (–4)

Adición




Para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo y se obtiene así otro número entero.

Sustracción

(–7) – (–3) = (–7) + (+3) = (–4)




Para multiplicar dos o más números enteros se multiplican sus valores absolutos. El signo del producto se obtiene mediante la regla de los signos.

(+ 3) · (+ 5) = (+15)

(+ 4) · (– 5) = (– 20)

(– 7) · (+ 2) = (– 14)

(– 6) · (– 3) = (+18)

Multiplicación




Para se dividen sus valores dividir dos números enteros absolutos. El signo de la división se obtiene mediante la regla de los signos.

División

(+ 15) : (+ 5) = (+3)

(+ 18) : (– 2) = (– 9)

(– 12) : (+ 4) = (– 3)

(– 24) : (– 6) = (+4)




La potencia de un número entero es otro número entero que se halla multiplicando la base por sí misma tantas veces como indique el exponente.

Si la base es positiva, la potencia es siempre positiva.

Si la base es negativa, la potencia será positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es impar.

(+ 5)2 = 25

(– 3)2 = (+9) (– 3)3 = (– 27)

Potencias



Solo se puede realizar la raíz de un número entero positivo y de cero

a


Raíces

= ± b (± b)2 = a

= ± 3 (±3)2 = 9

La raíz de un número entero negativo no existe.

9



La suma y la multiplicación de números enteros tienen las siguientes propiedades:

Suma Multiplicación

Conmutativa (–3) + (+ 4) = (+ 4) + (–3) (–3) · (+ 4) = (+ 4) · (–3)

Asociativa [(+ 5) + (+ 7)] + (– 9) =

= (+ 5) + [(+7) + (–9)]

[(+ 5) · (+ 7)] · (– 9) =

= (+ 5) · [(+7) · (–9)]

Elemento neutro (–6) + 0 = (– 6) (+ 5) · 1 = (+ 5)

Elemento opuesto o simétrico

(+3) + (– 3) = 0

Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma

(–2) · [(+7) + (–3)] = (–2) · (+7) + (–2) · (–3)




Las potencias de números enteros tienen las siguientes propiedades.

Multiplicaciónam · an = am + n (–6)3 · (–6)2 = (–6)3 + 2

División am : an = am – n (–6)3 : (–6)2 = (–6)3 - 2

Potencia de una potencia

(am)n = am · n [(–6)2 ]3·= (–6)2 · 3

Potencia de cero y de uno

a0 = 1

a1 = a

(–6)0 = 1

(–6)1 = (–6)





Las operaciones entre paréntesis son las primeras que debes realizar. También puedes eliminarlas de la siguiente manera:

Si delante del paréntesis hay un signo positivo, los signos de los números que hayan dentro del mismo no se modifican.

3 + (–7 + 6) = 3 – 7 + 6 = 2

Si delante del paréntesis hay un signo negativo, cambiarán de signo todos los números que se encuentren dentro.

5 – (–3 + 8) = 5 + 3 – 8 = 0




Cuando hay varias operaciones juntas debes seguir el siguiente orden:

1.º Efectuar las operaciones entre paréntesis y corchetes.

2.º Calcular las potencias y las raíces.

3.º Realizar las multiplicaciones y divisiones en orden de aparición.

4.º Efectuar las sumas y restas de izquierda a derecha.

[(– 5) – 3] · (– 2) + (– 8) : 22




= (+16) + (– 2) = (+14)

= (– 8) · (– 2) + (– 8) : 22 =

[(– 5) – 3] · (– 2) + (– 8) : 22 =

= (– 8) · (– 2) + (– 8) : 4 =

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