EJERCICIOS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

Para dar solución los ejercicios propuestos deberán consultar las siguientes páginas de consulta:

CORRELACIÓN: http://www.vitutor.com/estadistica/bi/correlacion.html

COEFICIENTE DE CORRELACION LINEAL http://www.vitutor.com/estadistica/bi/coeficiente_correlacion.html

RECTA DE REGRESION LINEALhttp://www.vitutor.com/estadistica/bi/recta_regresion.html

EJERCICIOS

1. Un centro comercial sabe en función de la distancia, en kilómetros, a la que se sitúe de un núcleo de población, acuden los clientes, en cientos, que figuran en la tabla:

Nº de clientes (X) 8 7 6 4 2 1

Distancia (Y) 15 19 25 23 34 40

a. Calcular el coeficiente de correlación lineal .

b. Si el centro comercial se sitúa a 2 km, ¿cuántos clientes puede

esperar?

c. Si desea recibir a 500 clientes, ¿a qué distancia del núcleo de

población debe situarse?

2. A partir de los siguientes datos referentes a horas trabajadas en un taller (X), y a unidades producidas (Y), determinar la  recta de regresión  de Y sobre X, el coeficiente de correlación lineal  e interpretarlo.

Horas (X) 80 79 83 84 78 60 82 85 79 84 80 62

Producción (Y) 300 302 315 330 300 250 300 340 315 330 310 240

Vitutor

La corre lac ión t ra ta de es tab lece r l a re lac ión o dependenc ia que

ex i s te en t re l as dos va r i ab les que in te rv ienen en una distr ibuc ión

b id imensional .

E s dec i r , de te rminar s i l o s camb ios en una de l as va r i ab les i n f l uyen en

l os camb ios de l a o t ra . En caso de que suceda , d i remos que l as va r i ab les

es tán co r re lac ionadas o que hay corre lac ión en t re e l l a s .

Tipos de correlación

1º Corre lac ión d i recta

La co r re lac ión d i rec ta se da cuando a l aumenta r una de l as va r i ab les l a

o t ra aumenta .

La rec ta co r respond ien te a l a nube de puntos de l a d i s t r i buc ión es una

rec ta c rec ien te .

2º Corre lac ión inversa

La co r re lac ión i nve rsa se da cuando a l aumenta r una de l as va r i ab les

l a o t ra d i sminuye .

La rec ta co r respond ien te a l a nube de puntos de l a d i s t r i buc ión es una

rec ta dec rec ien te .

3º Corre lac ión nula

La co r re lac ión nu la se da cuando no hay dependenc ia de n ingún t i po

en t re l as va r i ab les .

En es te caso se d i ce que l as va r i ab les son i nco r re ladas y l a nube de

puntos t i ene una fo rma redondeada .

Grado de correlación

E l grado de corre lac ión i nd i ca l a p rox im idad que hay en t re l os

puntos de l a nube de puntos . Se pueden da r t res t i pos :

1. Corre lac ión fuerte

La co r re lac ión se rá fue r te cuanto más ce rca es tén l os puntos de l a

rec ta .

2. Corre lac ión débi l

La co r re lac ión se rá déb i l cuanto más separados es tén l os puntos de l a

rec ta .

3. Corre lac ión nula

C inco n iños de 2 , 3 , 5 , 7 y 8 años de edad pesan , respec t i vamente , 14 ,

20 , 32 , 42 y 44 k i l os .

1 Ha l l a r l a ecuac ión de l a rec ta de reg res ión de l a edad sobre e l peso .

2 ¿Cuál sería el peso aproximado de un niño de seis años?

x i y i

x i

·y i

x i2 y i

2

2 14 4 196 28

3 20 9 400 60

5 32 251

024160

7 42 491

764294

8 44 641

936352

25 152 1515

320894

Un centro comercial sabe en función de la distancia, en kilómetros, a la que se

sitúe de un núcleo de población, acuden los clientes, en cientos, que figuran en la tabla:

Nº de cl ientes (X) 8 7 6 4 2 1

Distancia (Y) 15 19 25 23 34 40

1 Ca lcu la r e l coe f i c i en te de corre lac ión l inea l .

2 S i e l cen t ro comerc ia l se s i túa a 2 km, ¿cuántos c l i en tes puede

espera r?

3 Si desea recibir a 500 clientes, ¿a qué distancia del núcleo de población debe

situarse?

x i y i

x i

·y i

x i2 y i

2

8 1512

064

22

5

7 1913

349

36

1

6 2515

036

62

5

4 23 92 1652

9

2 34 68 4 1

15

6

1 40 40 1

1

60

0

2

8

15

6

60

3

17

0

4

49

6

Corre lac ión negat iva muy fuerte .

Las notas obtenidas por cinco alumnos en Matemáticas y Química son:

Matemáticas 6 4 8 5 3. 5

Química 6. 5 4. 5 7 5 4

Dete rminar l a s rectas de regres ión y calcular la nota esperada en Química

para un alumno que tiene 7.5 en Matemáticas.

x i y i

x i

·y i

x i2 y i

2

66.

536

42.

2539

44.

516

20.

2518

8 7 64 49 56

5 5 25 25 25

3. 4 12. 16 14

5 25

26

. 527

153

. 25

152

. 5

15

2

Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:

Estatura

(X)186 189 190 192 193 193 198 201 203 205

Pesos

(Y)85 85 86 90 87 91 93 103 100 101

Ca lcu la r :

1 La recta de regres ión de Y sobre X .

2 E l coef ic iente de corre lac ión .

3 E l peso es t imado de un j ugador que m ide 208 cm.

x i y i x i2 y i

2 x i ·y i

18

685

34

59

6

7

22

5

15

810

18

985

35

72

1

7

22

5

16

065

19

086

36

10

0

7

39

6

16

340

19

2 90

36

86

4

8

10

0

17

280

19

387

37

24

9

7

56

9

16

791

19

391

37

24

9

8

28

1

1756

3

19 93 39 8 18

820

4

64

9414

20

1

10

3

40

40

1

10

60

9

20

703

20

3

10

0

41

20

9

10

00

0

20

300

20

5

10

1

42

02

5

10

20

1

20

705

1

95

0

92

1

38

0

61

8

85

25

5

179

971

Cor re lac ión pos i t i va muy fue r te .

A par t i r de l os s igu ien tes da tos re fe ren tes a ho ras t raba jadas en un

ta l l e r (X ) , y a un idades p roduc idas (Y ) , de te rminar l a recta de regres ión de

Y sobre X , e l coef ic iente de corre lac ión l inea l e interpretarlo.

Horas (X) 80 79 83 84 78 60 82 85 79 84 80 62

Producción

(Y)300 302 315 330 300 250 300 340 315 330 310 240

x i y i x i ·y i x i2 y i

2

80 3006

400

90

000

24

000

79 3026

241

91

204

23

858

83 3156

889

99

225

26

145

84 3307

056

108

900

27

720

78 3006

084

90

000

23

400

60 2503

600

62

500

15

000

82 3006

724

90

000

24

600

85 3407

225

115

600

28

900

79 3156

241

99

225

24

885

84 3307

056

108

900

27

720

80 3106

400

96

100

24

800

62 2403

844

57

600

14

880

9363

632

73

760

1 109

254

285

908

Corre lac ión

A p u n t e s

E j e r c i c i o s 1

E j e r c i c i o s 2

I n i c i o

0

1

2

3

4

5

6

7

8

7

Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el

número de horas que dedican diariamente a dormir y ver la televisión. La

clasificación de las respuestas ha permitido elaborar la siente tabla:

Nº de horas dormidas (X) 6 7 8 9 10

Nº de horas de televisión (Y) 4 3 3 2 1

Frecuencias absolutas (f i) 3 16 20 10 1

Se p ide :

1 Ca lcu la r e l coef ic iente de corre lac ión .

2 Dete rminar l a ecuac ión de l a recta de regres ión de Y sobre X .

3 S i una pe rsona duerme ocho ho ras y med ia , ¿ cuánto cabe espera r que vea l a te lev i s i ón?

x i y i f i

x i ·

f i

x i2 ·

f i

y i ·

f i

y i2

·

f i

x i · y i

· f i

6 4 3 18 108 12 48 72

7 3 16 112 784 48 144 336

8 3 20 160 1280 60 180 480

9 2 10 90 810 20 40 180

10 1 1 10 100 1 1 10

    50 390 3082 141 413 1078

Es una corre lac ión negat iva y fuerte .

La tabla siguiente nos da las notas del test de aptitud (X) dadas a seis dependientes

a prueba y ventas del primer mes de prueba (Y) en cientos de euros.

X 25 42 33 54 29 36

Y 42 72 50 90 45 48

1 Ha l l a r e l coef ic iente de corre lac ión e i n te rp re ta r e l resu l tado

ob ten ido .

2 Ca lcu la r l a recta de regres ión de Y sobre X . P redec i r l a s ven tas de

un vendedor que ob tenga 47 en e l t es t .

x i y i

x i

·y i

x i2 y i

2

25 42 6251

764

1

050

42 721

764

5

184

3

024

33 501

089

2

500

1

650

54 902

916

8

100

4

860

29 45 8412

025

1

305

36 481

296

2

304

1

728

209 3478

531

21

877

13

617

1. Una compañía desea hacer predicciones del valor anual de sus

ventas totales en cierto país a partir de la relación de éstas y la renta nacional. Para

investigar la relación cuenta con los siguientes datos:

X 189 190 208 227 239 252 257 274 293 308 316

Y 402 404 412 425 429 436 440 447 458 469 469

X representa l a ren ta nac iona l en m i l l ones de eu ros e Y rep resenta l as

ven tas de l a compañ ía en m i les de eu ros en e l pe r i odo que va desde 1990

has ta 2000 (ambos i nc lus i ve ) . Ca l cu la r :

1 La recta de regres ión de Y sobre X .

2 E l coef ic iente de corre lac ión l inea l e i n te rp re ta r l o .

3 S i en 2001 l a ren ta nac iona l de l pa í s fue de 325 mi l l ones de eu ros .

¿Cuá l se rá l a p red i cc ión pa ra l as ven tas de l a compañ ía en es te año?

2. La información estadística obtenida de una muestra de tamaño 12 sobre la

relación existente entre la inversión realizada y el rendimiento obtenido en cientos de

miles de euros para explotaciones agrícolas, se muestra en el siguiente cuadro:

Inversión (X) 11 14 16 15 16 18 20 21 14 20 19 11

Rendimiento

(Y)2 3 5 6 5 3 7 10 6 10 5 6

Ca lcu la r :

1 La recta de regres ión de l rend im ien to respec to de l a i nve rs ión .

2 La p rev i s i ón de i nve rs ión que se ob tendrá con un rend im ien to de 1

250 000 € .

3. El número de horas dedicadas al estudio de una asignatura y la calificación

obtenida en el examen correspondiente, de ocho personas es:

Horas (X) 20 16 34 23 27 32 18 22

Calif icación (Y) 6.5 6 8.5 7 9 9.5 7.5 8

Se p ide :

1 Recta de regres ión de Y sobre X .

2 Ca l i f i cac ión es t imada pa ra una pe rsona que hub iese es tud iado 28

ho ras .

4. En la tabla siguiente se indica la edad (en años) y la conducta agresiva (medida

en una escala de cero a 10) de 10 niños.

Edad 6 6 6.7 7 7.4 7.9 8 8.2 8.5 8.9

Conducta

agresiva9 6 7 8 7 4 2 3 3 1

1 Obtener l a recta de regres ión de l a conduc ta ag res i va en func ión

de l a edad .

2 A par t i r de d i cha rec ta , ob tener e l va lo r de l a conduc ta ag res i va que

co r responder ía a un n iño de 7 .2 años .

5. Los valores de dos variables X e Y se distribuyen según la tabla siguiente:

Y/X 100 50 25

14 1 1 0

18 2 3 0

22 0 1 2

Se p ide :

1 Ca lcu la r l a covar ianza .

2 Obtener e i n te rp re ta r e l coe f i c i en te de corre lac ión l inea l .

3 Ecuac ión de l a recta de regres ión de Y sobre X .

6. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de alumnos en una batería de test

que mide la habilidad verbal (X) y el razonamiento abstracto (Y) son las siguientes:

Y/X 20 30 40 50

(25-35) 6 4 0 0

(35-45) 3 6 1 0

(45-55) 0 2 5 3

(55-65) 0 1 2 7

Se p ide :

1 ¿Ex i s te corre lac ión en t re ambas va r i ab les?

2 Según l os da tos de l a tab la , s i uno de es tos a lumnos ob t i ene una

puntuac ión de 70 puntos en razonamiento abs t rac to , ¿en cuánto se es t imará

su hab i l i dad ve rba l ?

7. Se sabe que en t re e l consumo de pape l y e l número de l i t ros de

agua po r met ro cuadrado que se recogen en una c iudad no ex i s te re lac ión .

1 ¿Cuá l es e l va lo r de l a covar ianza de es tas va r i ab les?

2 ¿Cuánto va le e l coe f i c i en te de corre lac ión l inea l ?

3 ¿Qué ecuac iones t i enen l as dos rectas de regres ión y cuá l es su

pos i c i ón en e l p l ano?

8. En una empresa de transportes trabajan cuatro conductores. Los años de

antigüedad de permisos de conducir y el número de infracciones cometidas en el último

año por cada uno de ellos son los siguientes:

Años (X) 3 4 5 6

Infracciones (Y) 4 3 2 1

Ca lcu la r e l coef ic iente de corre lac ión l inea l e i n te rp re ta r l o .

9. Una pe rsona re l l ena semanalmente una quiniela y un boleto de lotería

primitiva anotando el número de aciertos que tiene. Durante las cuatro semanas del mes

de febrero, los aciertos fueron:

Quiniela (X) 6 8 6 8

Primitiva (Y) 1 2 2 1

Obtener e l coef ic iente de corre lac ión l inea l e i n te rp re ta r l o .

¿O f rece r í an con f i anza l as p rev i s i ones hechas con l as rec tas de reg res ión?