ejercicios de potencia trifasica ing. julio alvarez

POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS

Ejercicio 601: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total.

Siendo las tres impedancias de carga iguales, no hay tensión de neutro, con lo cual las tensiones de fase sobre la carga, coinciden con las tensiones de fase de la alimentación.

IR=U RO´

ZR=URO

ZR=220∠90º

22∠0º=10∠90º [A ]

IS=USO´

Z S=USO

ZS=220∠330º

22∠0º=10∠330º [ A ]

IT=U TO´

ZT=UTO

ZT=220∠210º

22∠0º=10∠210º [A ]

Ing. Julio Álvarez 04/10

WST

WRT

3 x 380 V – 50 HzSecuencia directa

O´

IT

IS

IR

T

S

R

22 Ð 0° W

22 Ð 0° W

22 Ð 0° W

ω

O = O´

DIAGRAMA FASORIAL

IT IS

IR

UST

UTR

URS

UTO = UTO´ USO = USO´

URO = URO´

150


WRT = URT IR cos 30º = 380. 10. cos 30º = 3.290,90

WST = UST IS cos 30º = 380. 10. cos 30º = 3.290,90

PTRIF. = 3.290,90 + 3.290,90 = 6.581,80 W

PR = URO´ IR

cos φR = 220. 10. cos 0º = 2.200 W

QR = URO´ IR

sen φR = 220. 10. sen 0º = 0 VAr

SR = URO´ IR

= 220. 10. = 2.200 VA

PS = USO´ IS

cos φS = 220. 10. cos 0º = 2.200 W

QS = USO´ IS

sen φS = 220. 10. sen 0º = 0 VAr

SS = UTO´ IS

= 220. 10. = 2.200 VA

PT = UTO´ IT

cos φT = 220. 10. cos 0º = 2.200 W

QT = UTO´ IT

sen φT = 220. 10. sen 0º = 0 VAr

ST = UTO´ IT

= 220. 10. = 2.200 VA

PTRIF. = PR + PS + PT = 6.600 W

QTRIF: = QR + QS + QT = 0 Var

STRIF:=√PTRIF2 +QTRIF

2 =√6 .6602+02=6. 600VA

La pequeña diferencia en la potencia activa trifásica, en relación con la suma de las indicaciones de los vatímetros, se debe al redondeo de la tensión de línea en 380 V (En lugar de tomar 381 V)



30º

IS

UST

30º

IR URT

WST

WRT


O´

IS

IR

S

R

22 Ð 90° W

22 Ð 90° W 151


Siendo las tres impedancias de carga iguales, no hay tensión de neutro, con lo cual las tensiones de fase sobre la carga, coinciden con las tensiones de fase de la alimentación

IR=U RO´

ZR=URO

ZR=220∠90º

22∠90º=10∠0º [A ]

IS=USO´

Z S=USO

ZS=220∠330º

22∠90º=10∠240º [ A ]

IT=U TO´

ZT=UTO

ZT=220∠210º

22∠90º=10∠120º [A ]

WRT = URT IR cos 60º = 380. 10. cos 60º = 1.900


120ºIS

UST

60º

IR

URT

ω

O = O´

DIAGRAMA FASORIALIT

IS

IR

UST

UTR

URS


URO = URO´

152


WST = UST IS cos 120º = 380. 10. cos 120º = - 1.900

PTRIF. = 1.900 – 1.900 = 0 W

PR = URO´ IR

cos φR = 220. 10. cos 90º = 0 W

QR = URO´ IR

sen φR = 220. 10. sen 90º = 2.200 VAr

SR = URO´ IR

= 220. 10. = 2.200 VA

PS = USO´ IS

cos φS = 220. 10. cos 90º = 0 W

QS = USO´ IS

sen φS = 220. 10. sen 90º = 2.200 VAr

SS = UTO´ IS

= 220. 10. = 2.200 V

PT = UTO´ IT

cos φT = 220. 10. cos 90º = 0 W

QT = UTO´ IT

sen φT = 220. 10. sen 90º = 2.200 VAr

ST = UTO´ IT

= 220. 10. = 2.200 VA

PTRIF. = PR + PS + PT = 0 W

QTRIF: = QR + QS + QT = 6.600 Var


2 =√02+6 . 6002=6. 600VA


Siendo las tres impedancias de carga iguales, no hay tensión de neutro, con lo cual las tensiones de fase sobre la carga, coinciden con las tensiones de fase de la alimentación.


WST

WRT


O´

IT

IS

IR

T

S

R

22 Ð - 90° W

22 Ð - 90° W

22 Ð - 90° W

153


IR=U RO´

ZR=URO

ZR=220∠90º

22∠−90º=10∠180º [A ]

IS=USO´

Z S=USO

ZS=220∠330º

22∠−90º=10∠60º [A ]

IT=U TO´

ZT=UTO

ZT=220∠210º

22∠−90º=10∠300º [A ]

WRT = URT IR cos 120º = 380. 10. cos 120º = - 1.900

WST = UST IS cos 60º = 380. 10. cos 60º = 1.900


60º

IS

UST

120º

IR

URT

ω

O = O´

DIAGRAMA FASORIAL

IT

IS

IR

UST

UTR

URS


URO = URO´

154


PTRIF. = - 1.900 + 1.900 = 0 W

PR = URO´ IR

cos φR = 220. 10. cos (- 90º) = 0 W

QR = URO´ IR

sen φR = 220. 10. sen (- 90º) = - 2.200 VAr

SR = URO´ IR

= 220. 10. = 2.200 VA

PS = USO´ IS

cos φS = 220. 10. cos (- 90º) = 0 W

QS = USO´ IR

sen φS = 220. 10. sen (- 90º) = - 2.200 VAr

SS = UTO´ IS

= 220. 10. = 2.200 VA

PT = UTO´ IT

cos φT = 220. 10. cos (- 90º) = 0 W

QT = UTO´ IT

sen φT = 220. 10. sen (- 90º) = - 2.200 VAr

ST = UTO´ IT

= 220. 10. = 2.200 VA

PTRIF. = PR + PS + PT = 0 W

QTRIF: = QR + QS + QT = - 6.600 Var


2 =√02+6 . 6002=6. 600VA


Cálculo de la tensión de corrimiento de neutro

UO´O

=URO⋅Y R+USO⋅Y S+U TO⋅Y T

Y R+Y S+Y T


WST

WRT


O´

IT

IS

IR

T

S

R

10 Ð 0° W

10 Ð 30° W

10 Ð 0° W

155


UOÓ

= 220∠90⋅0,1∠0º+220∠ 330⋅0,1∠−30º+220∠210⋅0,1∠0º0,1∠0º+0,1∠-30º+0,1∠ 0º

=39,1∠234,5º [V ]

Cálculo de las tensiones de fase sobre las impedancias de carga.

URO´

=¿URO−¿UOÓ =¿220∠90º−39,1∠234,5º=252,3∠ 84,9º [V ] ¿¿¿

USO´

=¿USO−¿UOÓ=¿220∠330º−39,1∠234,5º=226,2∠−20,1º [V ] ¿¿¿

UTO´

=¿UTO−¿U OÓ=¿220∠ 210º−39,1∠234,5º=184,7∠204,9º [V ] ¿¿¿

Cálculo de las corrientes de línea

IR=U RO´

ZR=252,3∠84,9º

10∠0º=25,2∠84,9º [A ]

IS=USO´

Z S=226,2∠ -20,1º

10∠30º=22,6∠ - 50,1º [A ]

IT=U TO´

ZT=184,7∠204,9º

10∠0º=18,5∠204,9º [ A ]

WRT = URT IR cos 24,9º = 380. 25,2. cos 24,9º = 8.685,85


24,9º

IR

URT

ω

OO´

O

UTO´

USO´

URO´

DIAGRAMA FASORIAL

IT

IS

IR

UST

UTR

URS

UTO USO

URO

156


WST = UST IS cos 50,1º = 380. 22,6. cos 50,1º = 5.508,77

PTRIF. = 8.685,85 + 5.508,77 = 14.194,62 W

PR = URO´ IR

cos φR = 252,3. 25,2. cos 0º = 6.35,96 W

QR = URO´ IR

sen φR = 252,3. 25,2. sen 0º = 0 VAr

SR = URO´ IR

= 252,3. 25,2. = 6.357,96 VA

PS = USO´ IS

cos φS = 226,2. 22,6. cos 30º = 4.427,23 W

QS = USO´ Is

sen φS = 226,2. 22,6. sen 30º = 2.556,06 VAr

SS = UTO´ IS

= 226,2. 22,6. = 5.112,12 VA

PT = UTO´ IT

cos φT = 184,7. 18,5. cos 0º = 3.416,95 W

QT = UTO´ IT

sen φT = 184,7. 18,5. sen 0º = 0 VAr

ST = UTO´ IT

= 184,7. 18,5. = 3.416,95 VA

PTRIF. = PR + PS + PT = 6.357,96 + 4.427,23 + 3.416,95 = 14.202,14 W

QTRIF: = QR + QS + QT = 0 + 2.556,06 + 0 = 2.556,06 Var


2 =√14 . 202,142+2 .556,062=14 .430,32 VA




50,1º

IS

UST

WTO

IN

O

WSO

WRO


O´

IT

IS

IR

T

S

R

10 Ð 0° W

10 Ð 30° W

10 Ð 0° W

157


IR=U RO

Z R=220∠90º

10∠0º=22∠90º [A ]

IS=USO

ZS=220∠330º

10∠30º=22∠300º [A ]

IT=U TO

ZT=220∠210º

10∠0º=22∠210º [A ]

La indicación de los vatímetros es la potencia por fase o sea:

WRO = PR = URO IR cos 0º = 220. 22. cos 0º = 4.840 W

WSO = PS = USO IS cos 30º = 220. 22. cos 30º = 4.191,56 W

WTO = PT = UTO IT cos 0º = 220. 22. cos 0º = 4.840 W

QR = URO I

R sen φR = 220. 22. sen 0º = 0 VAr

QS = USO I

S sen φS = 220. 22. sen 30º = 2.420 Var

QT = UTO I

T sen φT = 220. 22. sen 0º = 0 Var

PTRIF. = PR + PS + PT = 4.840 + 4.191,56 + 4.840 = 13.871,56 W


ω

IN

O´

O

DIAGRAMA FASORIAL

IT

IS

IR

UST

UTR

URS

UTO USO

URO

158


QTRIF: = QR + QS + QT = 0 + 2.420 + 0 = 2.420 Var


2 =√13 . 871,562+2. 4202=14 .081, 07 VA



IR=U RO

Z R=220∠90º

38∠30º=5,79∠60º [A ]

IS=USO

ZS=220∠330º

22∠45º=10∠285º [A ]

IT=U TO

ZT=220∠210º

33∠0º=6,67∠210º [A ]

IN=−( I R+¿ I S+¿ IT )=−(5,79∠ 60º+10∠285º + 6,67∠210º=7,99∠87,9º [V ] ¿¿



WOT

IN

O

WST

WRT

O´

IT

IS

IR

T

S

R

33 Ð 0° W

22 Ð 45° W

38 Ð 30° W

ω

IN

O´

O

DIAGRAMA FASORIAL

IT

IS

IR

UTR

URS

URO

159


La indicación de los vatímetros es:

WRT = URT IR cos 0º = 380. 5,79. cos 0º = 2.200,20

WST = UST IS cos 75º = 380. 10. cos 75º = 983,51

WOT = UOT IN cos 57º = 220. 7,99. cos 57º = 957,37

PTRIF = WRT + WST + WOT = 2.200,20 + 983,51 + 957,37 = 4.141,08 W

Calculo de las potencias por fase:

PR = URO I

R cos φR = 220. 5,79. cos 30º = 1.103,14 W

QR = URO I

R sen φR = 220. 5,79. sen 30º = 636,90 VAr

SR = URO I

R = 220. 5,79. = 1.273,80 VA

PS = USO I

S cos φS = 220.10. cos 45º = 1.555,63 W

QS = USO I

R sen φS = 220.10. sen 45º = 1.555,63 VAr

Ss = UsO IT

= 220.10 = 2.200 VA

PT = UTO I

T cos φT = 220. 6,67. cos 0º = 1.467,40 W

QT = UTO I

T sen φT = 220. 6,67. sen 0º = 0 VAr

ST = UTO I

T = 220. 6,67. = 1.467,40 VA

PTRIF. = PR + PS + PT = 1.103,14 + 1.555,63 + 1.467,40 = 4.126,17 W


0º

IR

URT

75º

IS

UST

57ºIN

UOT

IS

160


QTRIF: = QR + QS + QT = 636,90 + 1.555,63 + 0 = 2.192,53 Var


2 =√4 .126,172+2 .192,532=4. 672,52 VA



UO´O


Y R+Y S+Y T

UO´O

= 220∠90⋅0,0455∠0º+220∠330⋅0,0263∠−90º+220∠210⋅0,0263∠90º0,0455∠ 0º+0,0263∠-90º+0,0263∠90º

=0 [V ]

Aunque las cargas son desequilibradas, no se produce corrimiento de neutro, con lo cual:

URO´

=¿URO =¿220∠90º [V ] ¿¿

USO´

=¿USO =¿220∠330º [V ] ¿¿

UTO´

=¿UTO=¿220∠210º [V ] ¿¿



WTS

WRS


O´

IT

IS

IR

T

S

R

38 Ð - 90° W

38 Ð 90° W

22 Ð 0° W

161


IR=U RO´

ZR=220∠90º

22∠0º=10∠90º [ A ]

IS=USO´

Z S=220∠330º

38∠90º=5,79∠240º [ A ]

IT=U TO´

ZT=220∠210º

38∠ - 90º=5,79∠300º [A ]

WRS = URS IR cos 30º = 380. 10. cos 30º = 3.290,90

WTS = UTS IT cos 120º = 380. 5,79. cos 120º = - 1.100,10

PTRIF. = 3.290,90 - 1.100,10 = 2.190,8 W

PR = URO´ IR

cos φR = 220. 10. cos 0º = 2.200,00 W

QR = URO´ IR

sen φR = 220. 10. sen 0º = 0 VAr

SR = URO´ IR

= 220. 10 = 2.200,00 VA


30ºIR

URS

120º

IT

UTS

ω

O = O´O´

O

UTO´

USO´

URO´

DIAGRAMA FASORIAL

ITIS

IR

UST

UTR

URS

UTO USO

URO

162


PS = USO´ IS

cos φS = 220. 5,79. cos 90º = 0 W

QS = USO´ IS

sen φS = 220. 5,79. sen 90º = 1.273,80 VAr

SS = UTO´ IS

= 220. 5,79 = 1.273,80 VA

PT = UTO´ IT

cos φT = 220. 5,79. cos -90º = 0 W

QT = UTO´ IT

sen φT = 220. 5,79. sen -90º = - 1.273,80 VAr

ST = UTO´ IT

= 220. 5,79 = 1273,80 VA

PTRIF. = PR + PS + PT = 2.200,00 + 0 + 0 = 2.200,00W

QTRIF: = QR + QS + QT = 0 + 1.273,80 – 1.273,80 = 0 Var


2 =√2 .2002+02=2.200,00 VA

Ejercicio 608: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total. La tensión de alimentación es de 3 x 380 V – 50 Hz

ZR = 10 – j 10 = 14,14 Ð - 45º [Ω] YR= 1ZR

= 114,14∠−45º

= 0,0707∠45º [ S ]

ZS = 20 – j 20 = 28,28 Ð - 45º [Ω] YS= 1Z S

= 128,28∠−45º

= 0,03536∠45º [S ]

ZT = 30 – j 30 = 42,42 Ð - 45º [Ω] YT= 1ZT

= 142,42∠−45º

= 0,0236∠45º [ S ]


30 - j 30 [W]

20 - j 20 [W]

10 - j 10 [W]

O´

T

IT

S

IS

WST

R

IR

WRT

163



UOÓ


Y R+Y S+Y T

UOÓ

= 220∠90⋅0,0707∠ 45º+220∠330⋅0,03536∠45º+220∠210⋅0,0236∠ 45º0,0707∠ 45º+0,03536∠ 45º+0,0236∠45º

=72,1∠76,2º [V ]


URO´

=¿URO−¿UOÓ=¿220∠90º−72,1∠76,2º=150,3∠ 96,6º [V ] ¿¿¿

USO´

=¿USO−¿UOÓ=¿220∠330º−72,1∠76,2º=249,3∠−46,1º [V ] ¿¿¿

UTO´

=¿UTO−¿U OÓ=¿220∠ 210º−72,1∠76,2º=274,3∠ - 139,1º [V ] ¿¿¿


IR=U RO´

ZR=150,3∠96,6º

14,14∠ -45º=10,7∠ 141,6º [A ]

IS=USO´

Z S=249,3∠ -46,1º

28,28∠ -45º=8,8∠ - 1,1º [A ]

IT=U TO´

ZT=274,3∠ -139,1º

42,42∠ -45º=6,5∠-94,1º [A ]


ω

O

O´

UTO´ USO´

URO´

DIAGRAMA FASORIAL

IT

IS

IR

UST

UTR

URS

UTO USO

URO

164


WRT = URT IR cos 81,6º = 380. 10,7. cos 81,6º = 593,9


PTRIF. = 593,9 + 3.343,4 = 3.937,3 W

PR = URO´ IR

cos φR = 150,3. 10,7. cos 45º = 1.137,2 W

QR = - URO´ IR

sen φR = - 150,3. 10,7. sen 45º = - 1.137,2 VAr

SR = URO´ IR

= 150,3. 10,7. = 1.608,2 VA

PS = USO´ IS

cos φS = 249,3. 8,8. cos 45º = 1.551,3 W

QS = - USO´ IR

sen φS = - 249,3. 8,8. sen 45º = - 1.551,3 VAr

SS = USO´ IS

= 249,3. 8,8. = 2.193,8 VA

PT = UTO´ IT

cos φT = 274,3. 6,5. cos 45º = 1.260,7 W

QT = - UTO´ IT

sen φT = - 274,3. 6,5. sen 45º = - 1.260,7 VAr

ST = UTO´ IT

= 274,3. 6,5 = 1.783 VA

PTRIF. = PR + PS + PT = 1.137,2 + 1.551,3 + 1260,7 = 3.949,2 W

QTRIF: = QR + QS + QT = -(1.137,2 + 1.551,3 + 1260,7) = - 3.949,2 VAr


2 =√3 .949,22+3 . 949,22=5.585 VA

Ejercicio 609: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total.Ing. Julio Álvarez 04/10

1,1ºIS

UST

81,6ºIR

URT

UST

165


La tensión de alimentación es de 3 x 380 V – 50 Hz

ZR = 10 – j 10 = 14,14 Ð 45º [Ω] YR= 1ZR

= 114,14∠45º

= 0,0707∠ - 45º [ S ]

ZS = 20 – j 20 = 28,28 Ð 45º [Ω] YS= 1Z S

= 128,28∠45º

= 0,03536∠ - 45º [S ]

ZT = 30 – j 30 = 42,42 Ð 45º [Ω] YT= 1ZT

= 142,42∠45º

= 0,0236∠ - 45º [ S ]


UOÓ


Y R+Y S+Y T

UOÓ

= 220∠90⋅0,0707∠−45º+220∠330⋅0,03536∠−45º+220∠210⋅0,0236∠−45º0,0707∠−45º+0,03536∠−45º+0,0236∠−45º

=72,1∠76,2º [V ]


URO´

=¿URO−¿UOÓ=¿220∠90º−72,1∠76,2º=150,3∠ 96,6º [V ] ¿¿¿

USO´

=¿USO−¿UOÓ=¿220∠330º−72,1∠76,2º=249,3∠−46,1º [V ] ¿¿¿

UTO´

=¿UTO−¿U OÓ=¿220∠ 210º−72,1∠76,2º=274,3∠ - 139,1º [V ] ¿¿¿



30 + j 30 [W]

10 + j 10 [W]

20 + j 20 [W]

O´

T

IT

S

IS

WST

R

IR

WRT

166


IR=U RO´

ZR=150,3∠96,6º

14,14∠45º=10,7∠ 51,6º [A ]

IS=USO´

Z S=249,3∠ -46,1º

28,28∠45º=8,8∠ - 91,1º [ A ]

IT=U TO´

ZT=274,3∠ -139,1º

42,42∠45º=6,5∠175,9º [A ]


WST = UST IS cos 91,1º = 380. 8,8. cos 91,1º = - 64,2

PTRIF. = 4.022,4 – 64,2 = 3.958,2 W

PR = URO´ IR

cos φR = 150,3. 10,7. cos 45º = 1.137,2 WIng. Julio Álvarez 04/10

91,1º

IS

UST

8,4º

IR

URT

ω

O

O´

UTO´ USO´

URO´

DIAGRAMA FASORIAL

IT

IS

IR

UST

UTR

URS

UTO USO

URO

167


QR = URO´ IR

sen φR = 150,3. 10,7. sen 45º = 1.137,2 VAr

SR = URO´ IR

= 150,3. 10,7. = 1.608,2 VA

PS = USO´ IS

cos φS = 249,3. 8,8. cos 45º = 1.551,3 W

QS = USO´ IR

sen φS = 249,3. 8,8. sen 45º = 1.551,3 VAr

SS = UTO´ IS

= 249,3. 8,8. = 2.193,8 VA

PT = UTO´ IT

cos φT = 274,3. 6,5. cos 45º = 1.260,7 W

QT = UTO´ IT

sen φT = 274,3. 6,5. sen 45º = 1.260,7 VAr

ST = UTO´ IT

= 274,3. 6,5 = 1.783 VA

PTRIF. = PR + PS + PT = 1.137,2 + 1.551,3 + 1260,7 = 3.949,2 W

QTRIF: = QR + QS + QT = 1.137,2 + 1.551,3 + 1260,7 = 3.949,2 VAr


2 =√3 .949,22+3 . 949,22=5.585 VA

Ejercicio 610: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total.La tensión de alimentación es de 3 x 380 V – 50 Hz


ILT

IRT

j 30 [W]

30 [W]

ILS

IRS

j 20 [W]

20 [W]

ILR

IRR

j 10 [W]

10 [W]

O´

T

IT

S

IS

WST

R

IR

WRT

168


YR= 1RR

+ 1j XR

= 110∠0º

+ 110∠90º

= 0,1414∠ -45º [S ]

YS= 1RS

+ 1j XS

= 120∠0º

+ 120∠90º

= 0,0707∠ -45º [S ]

YT= 1RT

+ 1j XT

= 130∠0º

+ 130∠90º

= 0,0471∠ - 45º [S ]


UOÓ


Y R+Y S+Y T

UOÓ

= 220∠90⋅0,1414∠−45º+220∠330⋅0,0707∠−45º+220∠210⋅0,0471∠−45º0,1414∠−45º+0,0707∠−45º+0,0471∠−45º

=72,1∠76,2º [V ]


URO´

=¿URO−¿UOÓ=¿220∠90º−72,1∠76,2º=150,3∠ 96,6º [V ] ¿¿¿

USO´

=¿USO−¿UOÓ=¿220∠330º−72,1∠76,2º=249,3∠−46,1º [V ] ¿¿¿

UTO´

=¿UTO−¿U OÓ=¿220∠ 210º−72,1∠76,2º=274,3∠ - 139,1º [V ] ¿¿¿


IRR

=URO´

RR=150,3∠96,6º

10∠0º=15,03∠ 96,6º [A ]

ILR

=U RO´

j XR

=150,3∠96,6º10∠90º

=15,03∠ 6,6º [A ]

IR=¿ IRR+¿ ILR =¿15,03∠96,6º+ 15,03∠6,6º=21,22 ∠51,6º [ A ] ¿¿¿

Ing. Julio Álvarez 04/10 169


IRS

=USO´

RS=249,3∠ -46,1º

20∠0º=12,47∠ -46,1º [A ]

ILS

=USO´

j XS

=249,3∠ -46,1º20∠90º

=12,47∠ - 136,1º [A ]

IS=¿ IRS+¿ ILS=¿12,47∠ -46,1º+ 12,47∠ -136,1º=17,64 ∠ -91,1º [ A ] ¿¿¿

IRT

=U TO´

RT=274,3∠ -139,1º

30∠0º=9,14∠ - 139,1º [A ]

ILT

=U TO´

j XT

=274,3∠-139,1º30∠90º

=9,14∠ - 229,1º [A ]

IT=¿ IRT +¿ ILT =¿9,14∠ -139,1º+ 9,14∠ -229,1º=12,93 ∠ -184,1º [ A ] ¿¿¿

Ing. Julio Álvarez 04/10 8,4º

IR

URT

UST

ω

O

O´

UTO´ USO´

URO´

DIAGRAMA FASORIAL

IT

IS

IR

UST

UTR

URS

UTO USO

URO

170



WST = UST IS cos 91,1º = 380. 17,64. cos 91,1º = - 128,7

PTRIF. = 7.977,1 – 128,7 = 7.848,4 W

PR = URO´ IR

cos φR = 150,3. 21,22. cos 45º = 2.255,2 W

QR = URO´ IR

sen φR = 150,3. 21,22. sen 45º = 2.255,2 VAr

SR = URO´ IR

= 150,3. 21,22. = 3.189,4 VA

PS = USO´ IS

cos φS = 249,3. 17,64. cos 45º = 3.109,6 W

QS = USO´ IR

sen φS = 249,3. 17,64. sen 45º = 3.109,6 VAr

SS = USO´ IS

= 249,3. 17,64 = 4.397,6 VA

PT = UTO´ IT

cos φT = 274,3. 12,93. cos 45º = 2.507,9 W

QT = UTO´ IT

sen φT = 274,3. 12,93. sen 45º = 2.507,9 VAr

ST = UTO´ IT

= 274,3. 12,93 = 3.546,7 VA

PTRIF. = PR + PS + PT = 2.255,2 + 3.109,6 + 2.507,9 = 7.872,7 W

QTRIF: = QR + QS + QT = 2.255,2 + 3.109,6 + 2.507,9 = 7.872,7 VAr


2 =√7 .872,72+7 .872,72=11. 133,7 VA

Ejercicio 611: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total.La tensión de alimentación es de 3 x 380 V – 50 Hz


IRS 20 [W]

ICR

IRR

- j 10 [W]

10 [W]

O´S

IS

WST

R

IR

WRT

171


YR= 1RR

+ 1- j XR

= 110∠0º

+ 110∠−90º

= 0,1414∠45º [S ]

YS= 1RS

+ 1-j XS

= 120∠0º

+ 120∠−90º

= 0,0707∠45º [S ]

YT= 1RT

+ 1-j XT

= 130∠0º

+ 130∠−90º

= 0,0471∠45º [ S ]


UOÓ


Y R+Y S+Y T

UOÓ

= 220∠90⋅0,1414∠45º+220∠330⋅0,0707∠45º+220∠210⋅0,0471∠ 45º0,1414∠45º+0,0707∠45º+0,0471∠ 45º

=72,1∠76,2º [V ]


URO´

=¿URO−¿UOÓ=¿220∠90º−72,1∠76,2º=150,3∠ 96,6º [V ] ¿¿¿

USO´

=¿USO−¿UOÓ=¿220∠330º−72,1∠76,2º=249,3∠−46,1º [V ] ¿¿¿

UTO´

=¿UTO−¿U OÓ=¿220∠ 210º−72,1∠76,2º=274,3∠ - 139,1º [V ] ¿¿¿


O´S WST

172



IRR

=URO´

RR=150,3∠96,6º

10∠0º=15,03∠ 96,6º [A ]

ICR

=URO´

-j XR

=150,3∠96,6º10∠−90º

=15,03∠ 186,6º [ A ]

IR=¿ IRR+¿ ICR =¿15,03∠ 96,6º+ 15,03∠186,6º=21,22 ∠141,6º [ A ] ¿¿¿

IRS

=USO´

RS=249,3∠ -46,1º

20∠0º=12,47∠ -46,1º [A ]

ICS

=USO´

-j XS

=249,3∠-46,1º20∠−90º

=12,47∠43,9º [A ]

IS=¿ IRS+¿ ICS=¿12,47∠ -46,1º+ 12,47∠ 43,9º=17,64 ∠ -1,1º [ A ] ¿¿¿

IRT

=U TO´

RT=274,3∠ -139,1º

30∠0º=9,14∠ - 139,1º [A ]

ICT

=U TO´

-j XT

=274,3∠ -139,1º30∠−90º

=9,14∠ - 49,1º [A ]

IT=¿ IRT +¿ ICT =¿9,14∠ -139,1º+ 9,14∠ -49,1º=12,93 ∠ -94,1º [ A ] ¿¿¿


ω

O

O´

UTO´ USO´

URO´

DIAGRAMA FASORIAL

IT

IS

IR

UTR

URS

URO

173


WRT = URT IR cos 8,4º = 380. 21,22. cos 81,6º = 1.178

WST = UST IS cos 91,1º = 380. 17,64. cos 1,1º = 6.702

PTRIF. = 1.178 + 6.702 = 7.880 W

PR = URO´ IR

cos φR = 150,3. 21,22. cos 45º = 2.255,2 W

QR = - URO´ IR

sen φR = - 150,3. 21,22. sen 45º = - 2.255,2 VAr

SR = URO´ IR

= 150,3. 21,22. = 3.189,4 VA

PS = USO´ IS

cos φS = 249,3. 17,64. cos 45º = 3.109,6 W

QS = - USO´ IR

sen φS = - 249,3. 17,64. sen 45º = - 3.109,6 VAr

SS = USO´ IS

= 249,3. 17,64 = 4.397,6 VA

PT = UTO´ IT

cos φT = 274,3. 12,93. cos 45º = 2.507,9 W

QT = - UTO´ IT

sen φT = - 274,3. 12,93. sen 45º = - 2.507,9 VAr

ST = UTO´ IT

= 274,3. 12,93 = 3.546,7 VA

PTRIF. = PR + PS + PT = 2.255,2 + 3.109,6 + 2.507,9 = 7.872,7 W

QTRIF: = QR + QS + QT = - (2.255,2 + 3.109,6 + 2.507,9) = - 7.872,7 VAr


2 =√7 .872,72+7 .872,72=11. 133,7 VA


UST

IS 1,1º

URT

IR

81,1º

174


Ejercicio 612: En el siguiente circuito hallar, las corrientes de línea, la potencia activa, reactiva y aparente trifásica y la indicación de los vatímetros.La tensión de alimentación es de 3 x 380 V – 50 Hz

ZR = 10 – j 10 = 14,14 Ð - 45º [Ω]

ZS = 20 – j 20 = 28,28 Ð - 45º [Ω]

ZT = 30 – j 30 = 42,42 Ð - 45º [Ω]

Cálculo de las corrientes de fase

IRS

=U RS

ZRS

=380∠120º14,14∠−45º

=26,87 ∠165º [ A ]

IST

=UST

ZST

=380∠0º28,28 ∠−45º

=13,44 ∠45º [A ]

ITR

=U TR

Z TR

=380∠240º42,42∠−45º

=8,96 ∠285º [A ]


IR=¿ IRS−¿ ITR =¿26,87∠165º− 8,96∠285º=32,3 ∠151,1º [ A ] ¿¿¿

IS=¿ IST−¿ IRS=¿13,44∠ 45º− 26,87∠165º=35,6∠4,1º [ A ] ¿¿¿

IT=¿ ITR−¿ IST =¿8,96∠285º− 13,44∠45º= 19,5∠ - 111,6º [ A ] ¿¿¿


30 - j 30 [W]

20 - j 20 [W]

10 - j 10 [W]

ITR

IST

IRS

IR

T

IT

WTR

S

IS

WSR

R

64,1º

IS

USR

ω

- IST

ITRIT

IST- IRS

IS

- ITR

IRS

UST

UTR URS

DIAGRAMA FASORIAL

IR

175


WSR = USR IS cos 64,1º = 380. 35,6. cos 64,1º = 5.909,1

WTR = UTR IT cos 42,5º = 380. 19,5. cos 8,4º = 7.330,5

PTRIF = WSR + WTR = 5.909,1 + 7.330,5 = 13.239,6 W


PRS = URS IRS

cos φRS = 380. 26,87. cos 45º = 7.220 W

QRS = - URS IRS

sen φRS = - 380. 26,87. sen 45º = - 7.220 VAr

SRS = URS IRS

= 380. 26,87 = 10.210,6 VA

PST = UST IST

cos φST = 380.13,44. cos 45º = 3.611,3 W

QST = - UST IST

sen φST = - 380.13,44. sen 45º = - 3.611,3 VAr

SST = UST IST

= 380.13,44 = 5.107,2 VA

PTR = UTR ITR

cos φTR = 380. 8,96. cos 45º = 2.407,6 W

QTR = - UTR ITR

sen φTR = - 380. 8,96. sen 45º = - 2.407,6 VAr

STR = UTR ITR

= 380. 8,96 = 3.404,8 VA

PTRIF. = PR + PS + PT = 7.220 + 3.611,3 + 2.407,6 = 13.238,9 W

QTRIF: = QR + QS + QT = - (7.220 + 3.611,3 + 2.407,6) = - 13.238,9 VAr


2 =√13 . 238,92+13 . 238,92= 18. 722,6 VA


8,4ºIT

UTR

176


Ejercicio 613: En el siguiente circuito hallar, las corrientes de línea, la potencia activa, reactiva y aparente trifásica y la indicación de los vatímetros.La tensión de alimentación es de 3 x 380 V – 50 Hz

ZR = 10 + j 10 = 14,14 Ð 45º [Ω]

ZS = 20 + j 20 = 28,28 Ð 45º [Ω]

ZT = 30 + j 30 = 42,42 Ð 45º [Ω]


IRS

=U RS

ZRS

=380∠120º14,14∠45º

=26,87 ∠75º [A ]

IST

=UST

ZST

=380∠0º28,28 ∠45º

=13,44 ∠−45º [A ]

ITR

=U TR

Z TR

=380∠240º42,42∠45º

=8,96 ∠195º [ A ]


IR=¿ IRS−¿ ITR =¿26,87∠75º− 8,96∠195º=32,3 ∠61,1º [ A ] ¿¿¿

IS=¿ IST−¿ IRS=¿13,44∠ -45º− 26,87∠75º=35,6∠ -85,9º [ A ] ¿¿¿


30 + j 30 [W]

20 + j 20 [W]

10 + j 10 [W]

ITR

IST

IRS

IR

T

IT

WTR

S

IS

WSR

R

ω

- ISTITR

IT

IST

- IRS

IS

- ITR

IRS

UST

UTR URS

DIAGRAMA FASORIAL

IR

177


IT=¿ ITR−¿ IST =¿8,96∠195º− 13,44∠−45º= 19,5∠158,4º [ A ] ¿¿¿

WSR = USR IS cos 25,9º = 380. 35,6. cos 25,9º = 12.1692

WTR = UTR IT cos 81,6º = 380. 19,5. cos 81,6º = 1.082,5

PTRIF = WSR + WTR = 12.169,2 + 1.082,5 = 13.251,7W


PRS = URS IRS

cos φRS = 380. 26,87. cos 45º = 7.220 W

QRS = URS IRS

sen φRS = 380. 26,87. sen 45º = 7.220 VAr

SRS = URS IRS

= 380. 26,87 = 10.210,6 VA

PST = UST IST

cos φST = 380.13,44. cos 45º = 3.611,3 W

QST = UST IST

sen φST = 380.13,44. sen 45º = 3.611,3 VAr

SST = UST IST

= 380.13,44 = 5.107,2 VA

PTR = UTR ITR

cos φTR = 380. 8,96. cos 45º = 2.407,6 W

QTR = UTR ITR

sen φTR = 380. 8,96. sen 45º = 2.407,6 VAr

STR = UTR ITR

= 380. 8,96 = 3.404,8 VA

PTRIF. = PR + PS + PT = 7.220 + 3.611,3 + 2.407,6 = 13.238,9 W

QTRIF: = QR + QS + QT = - (7.220 + 3.611,3 + 2.407,6) = - 13.238,9 VAr


2 =√13 . 238,92+13 . 238,92= 18. 722,6 VA


25,9º

IS

USR

81,6º

IT

UTR

178




IRS

=U RS

ZRS

=380∠120º38∠40º

=10 ∠80º [ A ]

IST

=UST

ZST

=380∠0º38 ∠45º

=10 ∠−45º [A ]

ITR

=U TR

Z TR

=380∠240º38∠−45º

=10 ∠285º [ A ]


IR=¿ IRS−¿ ITR =¿10∠80º− 10∠285º=19,53 ∠ 92,5º [ A ] ¿¿¿


O

WTO

WSO

WRO

T

S

R

ITR

IST

IRS


IT

IS

IR

38 Ð-45° W

38 Ð45° W

38 Ð40° W

ω

- ISTITR

IT

IST

- IRS

IS

- ITR

IRS

UST

UTR

URS

DIAGRAMA FASORIAL

IR

179


IS=¿ IST−¿ IRS=¿10∠ - 45º− 10∠80º=17,74∠ - 72,5º [ A ] ¿¿¿

IT=¿ ITR−¿ IST =¿10∠285º− 10∠ - 45º= 5,18∠210º [ A ] ¿¿¿

WRO = URO IR cos 2,5º = 220. 19,53. cos 2,5º = 4.292,51

WSO = USO IS cos 42,5º = 220. 17,74. cos 42,5º = 2.877,45

WTO = UTO IT cos 0º = 220. 5,18. cos 0º = 1.139,60

PTRIF = WRT + WST + WOT = 4.291,51 + 2.877,45 + 1.139,60 = 8.308,56 W


PRS = URS IRS

cos φRS = 380. 10. cos 40º = 2.910,97 W

QRS = URS IRS

sen φRS = 380. 10. sen 40º = 2.442,59 VAr

SRS = URS IRS

= 380. 10= 3.800,00 VA

PST = UST IST

cos φST = 380.10. cos 45º = 2.687,00W

QST = UST IST

sen φST = 380.10. sen 45º = 2.687,00 VAr

SST = UST IST

= 380.10 = 3.800 VA

PTR = UTR ITR

cos φTR = 380. 10. cos -45º = 2.687,00 W

QTR = UTR ITR

sen φTR = 380. 10. sen -45º = - 2.687,00 VAr

STR = UTR ITR

= 380. 10 = 3.800 VA

PTRIF. = PR + PS + PT = 2910,97 + 2.687,00 + 2.687,00 = 8.284,97 W

QTRIF: = QR + QS + QT = 2.442,59 + 2.687,00 – 2.687,00 = 2.442,59 VAr


2 =√8 .284,972+2. 442,592=8.637,53 VA

Ejercicio 615: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total


2,5º

IR URO

42,5ºIS

USO

0ºIT

UTO

IRS IR1

10 W

WST

WRT

3 x 380 V – 50 Hz

IS

IR

S

R

10 Ð 30° W

10 Ð 30° W 180


IR1

=U RO´

ZR=U RO

ZR=220∠90º

10∠30º=22∠60º [A ]

IS1

=USO´

ZS=U SO

ZS=220∠330º

10∠30º=22∠300º [ A ]

IT1

=U TO´

ZT=UTO

ZT=220∠210º

10∠30º=22∠180º [A ]

I

RS=U RS

R=380∠120º

10∠0º=38∠120º [A ]

IR=¿ IR1+¿ IRS=¿22∠60º+ 38∠120º= 52,56 ∠98,7º [ A ] ¿¿¿

IS=¿ I 1−¿ IRS=¿22∠300º− 38∠120º=60∠ - 60º [ A ] ¿¿¿

IT=¿ IT1 =¿22∠180º [ A ] ¿¿


WST3 x 380 V – 50 Hz S

ω

IS

- IRS

IRIRS

O = O´

DIAGRAMA FASORIAL

IT1= IT

IS1

IR1

UST

UTR

URS


URO = URO´

181



WST = UST IS cos 60º = 380. 60. cos 60º = 11.400

PTRIF. = 15.587,38 + 11.400 = 26.987,38 W

PR1 = URO´ IR1

cos φR = 220. 22. cos 30º = 4.191,56 W

QR1 = URO´ IR1

sen φR = 220. 22. sen 30º = 2.420,00 VAr

SR1 = URO´ IR1

= 220. 22. = 4.840 VA

PS1 = USO´ IS1

cos φS = 220. 22. cos 30º = 4.191,56 W

QS1 = USO´ IR1

sen φS = 220. 22. sen 30º = 2.420,00 VAr

ST1 = UTO´ IT1 = 220. 20.= 4.840 VA

PT1 = UTO´ IT1

cos φT = 220. 22. cos 30º = 4.191,56 W

QT1 = UTO´ IT1

sen φT = 220. 22. sen 30º = 2.420,00 VAr

ST1 = UTO´ IT1

= 220. 22 = 4.480 VA

PRS = URS IRS cos 0º = 380. 38.1 =14.440 W

QRS = URS IRS sen 0º = 0 Var

SRS = URS IRS = 380. 38 = 14.440 VA

PTRIF. = PR + PS + PT + PRS = 27.014,68 W

QTRIF: = QR + QS + QT + QRS = 7.260 VAr


2 =√27 . 014,682+7 .2602= 27. 973,21 VA

La pequeña diferencia en la potencia activa trifásica, en relación con la suma de las indicaciones de los vatímetros, se debe al redondeo de la tensión de línea en 380 V (En lugar de tomar 381 V)

Ejercicio 616: En el siguiente circuito, Las indicaciones de los vatímetros son: WRT = 330 y Ing. Julio Álvarez 04/10

60ºIS

UST

38,7º

IR URT

182


WST = 330, sabiendo que las tres impedancias son iguales, determine el valor de las mismas.

La suma de las indicaciones vatimétricas es la potencia trifásica, o sea 660 W, o sea 220 W por fase.

Siendo un sistema equilibrado se cumple que el valor de la potencia reactiva está dada por:

Q=√3 (WRT−WST )=√3 (330−330 )=0

Luego las tres impedancias son resistencias, teniendo aplicada cada una de ella la tensión de fase de 220 V, o sea:

PFase

=UF

2

R ⇒ R=

U F2

PFase

=2202

220=220 W

Ejercicio 617: En el siguiente circuito, Las indicaciones de los vatímetros son: WRT = 4.400 y WST = 2.200, sabiendo que las tres impedancias son iguales, determine el valor de las mismas.

PTRIF. = WRT + WST = 4.400 + 2.200 = 6.600 W

QTRIF :=√3 (W RT−WST )=√3 (4 .400−2 .200 )=3.810,4 VAr



WST

WRT

O´

IT

IS

IR

T

S

R

Z [W]

Z [W]

Z [W]


WST

WRT

O´

IT

IS

IR

T

S

R

Z [W]

Z [W]

Z [W]

183


tg ϕ=QTRIF

PTRIF

=3. 810,46. 600

= 0,577 ⇒ ϕ=30º

I=PTRIF

√3.U . I . cos ϕ= 6 . 600

√3. 380 . 0,577=17,32 A

Z=UI¿220

17,32= 12,70 W

Z = 12,70 cos 30º + 12,70 sen 30º = 11 + j 6,35 [Ω]

Ejercicio 618: La carga de un establecimiento industrial conectado a la red de 3 x 380/220 V – 50 Hz, secuencia positiva, está representada por:

a) Tres impedancias iguales de valor: ZC = 4 Ðj [W] , conectadas en estrella, siendo él cos j = 0,75 en atraso.

b) Tres motores trifásicos conectados en estrella que absorben cada uno, una potencia de 15 kW con una corriente de línea de 30,4 A

Dibuje el esquema eléctrico del circuito completo, con los condensadores y los instrumentos conectados.

Determine las indicaciones obtenidas en tres amperímetros conectados uno en cada línea y en dos vatímetros conectados según el método de Aron, con el punto común en la fase T.

Luego, se compensa parcialmente el factor de potencia de la carga mediante un banco de condensadores conectados en triángulo, de modo de llevarlo al valor de 0,85 en atraso.

Calcule el valor (en mF) de estos condensadores y las nuevas indicaciones de los instrumentos mencionados.

Construya un único fasorial de tensiones y corrientes, indicando en él las tensiones de línea y de fase, y las corrientes de línea correspondientes a las situaciones antes y después de compensado el factor de potencia, para las tres fases.


AR

15 kW

M3 ~

15 kW

M3 ~

AT

AS

15 kW

M3 ~

4 Ðj W

4 Ðj W

4 Ðj W

CAPACI-TORES

WST

WRT

IT

IS

IR

T

S

R

184


Cálculo de las corrientes en las impedancias:

Dado que el sistema es equilibrado las 3 corrientes serán de igual módulo, con un ángulo de desfasaje de 120º entre ellas, siendo el ángulo de las impedancias: φ1 = Arc cos 0,75 = 41,4º.

IR1

=U RO´

ZR=U RO

ZR=220∠90º

4∠41,4º=55∠48,6º [A ]

IS1

=USO´

ZS=U SO

ZS=220∠330º

4∠41,4º=55∠288,6º [ A ]

IT1

=U TO´

ZT=UTO

ZT=220∠210º

4∠41,4º=55∠168,6º [A ]

Cálculo de las corrientes en los motores:

Cada motor absorbe una corriente de 40,3 A, lo que equivale a 120,9 A en su conjunto, con el siguiente factor de potencia:

cos ϕM

=PMOT

√3 .U . I= 3 .15000

√3 . 380. 120,9=0,566 ⇒ ϕ

M=55,5º

Las corrientes de línea de los motores serán:

IRM

=120,9 ∠90 - 55,5 = 120,9 ∠ 34,5º [A ]

ISM

=120,9∠330 - 55,5 = 120,9 ∠ 274,5º [A ]

ITM

=120,9 ∠210 - 55,5 = 120,9 ∠ 154,5º [ A ]

Cálculo de las corrientes totales de línea:

IR=¿ IR1+¿ IRM=¿55∠ 48,6º + 120,9 ∠34,5º=174,8 ∠38,9º [ A ] ¿¿¿

IS=¿ IS1+¿ ISM=¿55∠288,6º + 120,9∠274,5º=174,8 ∠278,9º [ A ] ¿¿¿

IT=¿ IT1 +¿ ITM=¿55∠168,6º + 120,9∠154,5º=174,8 ∠158,9º [ A ] ¿¿¿

φm = 90º – 38,9º = 51,1º

Indicación de los instrumentos

AR = 174,8 A AS = 174,8 A AT = 174,8 A


21,1º

IR

URT 185




PTRIF. = 61.970,5 + 10.276,48 = 72.246,98 W

Cálculo de los capacitores

ΦR = Arc tg 0,85 = 31,8º

C=Pm( tg ϕ

m− tgϕ

R

3. ω⋅U L2

=72 . 246,98 ( tg 51,1º−tg 31,8º )

3. 314 .3802 = 329 μF

Nuevas corrientes de línea

ICOR

=Pm

√3 .U . cos ϕR= 72 . 246,98

√3 . 380 .0,85=129,2 A

IRCOR

=129,2∠90 - 31,8 = 129,2 ∠ 58,2º [A ]

ISCOR

=129,2∠330 - 31,8 = 129,2 ∠ 298,2º [A ]

ITCOR

=129,2∠210 - 31,8 = 129,2 ∠ 178,2º [A ]

ARCOR = 129,2 A ASCOR = 129,2 A ATCOR = 129,2 A

WRT = URT IRCOR cos 1,8º = 380. 129,2. cos 1,8º = 49.071,77

WST = UST ISCOR cos 61,8º = 380. 129,2. cos 61,8º = 23.200,35


81,1º

IS

UST

61,8º

ISCOR

UST

1,8º

IRCOR

URT

186


PTRIF. = 49.071,77 + 23.200,35 = 72.272,12 W (La diferencia con el cálculo anterior se debe a los redondeos)

Verificación de las potencias antes de colocar los capacitores

Pm=√3 .U . I . cos ϕm=√3 .380 . 174,8. cos 51,1º = 72 . 244,87 W

Qm = Pm . tg φm = 72.244,87 . tg 51,1º = 89.534,05 Var

Sm=√3.U . I=√3. 380. 174,8 = 115. 018,40 VA

Verificación de las potencias resultantes después de colocar los capacitores

PR=√3 .U . ICOR . cos ϕR=√3 .380 .129,2 .cos 31,8º = 72. 244,87 W

QR = P.m. tg φm = 72.244,87. tg 31,8º = 44.793,72 Var

SR=√3 .U . ICOR=√3. 380. 129,2 = 85 . 013,60 VA

Ejercicio 619: Una línea trifásica de 3 x 380/220 V, 50 Hz, alimenta un motor trifásico conectado en triángulo que consume una potencia de 30 kW con cos j = 0,85 en atraso. Además dicha línea alimenta una serie de cargas de iluminación monofásicas de 220 V, de la siguiente potencia:

Una potencia de 16,5 kW con cos j = 1 sobre la fase “R” Una potencia de 11 kW con cos j = 1 sobre la fase “S” Una potencia de 8,8 kW con cos j = 1 sobre la fase “T”


ITCOR

IRCOR

ISCOR

O = O´

DIAGRAMA FASORIAL

IT

IS

IR

UST

UTR

URS


URO = URO´

187


Se colocan los vatímetros necesarios para medir la potencia del sistema.

Dibuje el esquema de conexiones de las cargas y de los vatímetros, y calcule la indicación de los mismos.

Corrientes que absorbe el motor

IM

=PMOT

√3 .U . I . cos ϕ= 30 . 000

√3 . 380 .0,85=53,6 A

φM = Arc cos 0,85 = 31,8º

IRM

=53,6 ∠90 - 31,8 = 53,6 ∠ 58,2º [ A ]

ISM

=53,6 ∠330 - 31,8 = 53,6 ∠ 298,2º [A ]

ITM

=53,6 ∠210 - 31,8 = 53,6 ∠ 178,2º [A ]

Corrientes de iluminación

Las mismas están en fase con las tensiones que tienen aplicadas, o sea:

IRIL =PRU RO

=16 . 500220

=75 A IRIL= 75 ∠90º [A ]

ISIL =PSUSO

=11.000220

=50 A ISIL= 50 ∠330º [A ]

ITIL =PTUTO

=8 . 800220

=40 A ITIL = 40 ∠210º [A ]

Corrientes totales de línea

IR=¿ IRIL+¿ IRM =¿75∠90º + 53,6 ∠58,2º=123,8 ∠76,8º [ A ] ¿¿¿

IS=¿ ISIL+¿ ISM =¿50∠330º + 53,6∠298,2º=99,6 ∠313,5º [ A ] ¿¿¿


O

WT

IT1

IS1

IR1

ITM

ISM

IRM

WS

WR

IT

IS

IR

T

S

R

M

3 ~

188


IT=¿ ITIL+¿ I TM=¿40 ∠210º + 53,6 ∠178,2º=90,1 ∠191,7º [ A ] ¿¿¿

IN=−(I R+¿ I S+¿ IT )=¿31,2∠254º [A ] ¿¿¿

WR = URO IR cos 13,2º = 220. 123,8. cos 13,2º = 26.516,4 W

WS = USO IS cos 16,5º = 220. 99,6. cos 16,5º = 21.009,6 W

WT = UTO IT cos 18,3º = 220. 90,1. cos 18,3º = 18.819,5 W

PTRIF. = 26.516,4 + 21.009,6 + 18.819,5 = 66.345,5 W

PTRIF. = PM + PR + PS + PT = 30.000 + 16.500 + 11.000 + 8.800 = 66.300 W

La diferencia con el cálculo anterior se debe a los redondeos en los ángulos.


16,5ºIS

USO

13,2º

IR

URO

18,3º

UTO

IT

ω

IT

ISIL

IRM

ITIL

IRIL

ISM

O

DIAGRAMA FASORIAL

ITM

IS

IR

UST

UTR

URS


URO = URO´

189


Ejercicio 620: Una industria toma energía de la red de 3 x 380 V – 50 Hz a través de una línea trifásica.La carga está formada por:

Motores trifásicos conectados en triángulo, que totalizan una potencia de 28 kW con factor de potencia 0,7 en atraso.

Un horno de inducción conectado en estrella que consume 7200 W, con factor de potencia 0,25 inductivo.

Un equipo de calefactores conectados en triángulo que consume 3800 W con factor de potencia igual a 1.

Se desea compensar el factor de potencia de la carga total, mediante un banco de capacitores conectados en triángulo, de modo de llevar el valor del factor de potencia a 0,85 en atraso.Para medir la potencia se utilizan vatímetros conectados en conexión Aron, con el punto común en la fase “S”.

Calcular:

1. La lectura de los vatímetros antes de la compensación2. El valor de los condensadores3. La lectura de los vatímetros después de la compensación.4. La corriente por el alimentador antes y después de la compensación

CARGAPOTENCIA

ACTIVA [W]

POTENCIA REACTIVA

[VAr]

POTENCIA APARENTE

[VA]

MOTORES 28.000 28.566 40.000

HORNO 7.200 27.885 28.800

CALEFACTORES 3.800 --- 3.800

TOTAL 39.000 56.451 68.613

ϕm=Arc tg

QmPm

=Arc tg 56 . 45139. 000

=55,4º cos ϕm=0,568


IR

HORNOCALEFACTORES

WTS

WRS

IT

IS

T

S

R

M

3 ~

190


I=Pm

√3. U. cos ϕ= 39 .000

√3 . 380 .0,568=104,35 A

IR=104,35 ∠(90 - 55,4 ) = 104,35∠ 34,6º [A ]

IS=104,35 ∠(330 - 55,4 ) = 104,35 ∠ 274,6º [A ]

IT=104,35 ∠(210 - 55,4 ) = 104,35 ∠ 154,6º [A ]

WRS = URS IR cos 85,4º = 380. 104,35. cos 85,4º = 3.180,13

WTS = UTS IT cos 25,4º = 380. 104,35. cos 25,4º = 35.819,95

PTRIF. = 3.180,13 + 35.819,95 = 39.000,08 W

Cálculo de los capacitores

C=Pm( tg ϕ

m− tgϕ

R

3. ω⋅U L2

=39 . 000 ( tg 55,4º− tg 31,8º)

3. 314 .3802 = 238 μF

Nuevas corrientes de línea

ICOR

=Pm

√3 .U . cos ϕR= 39 . 000

√3 . 380 .0,85=69,73 A

IRCOR

=69,73∠(90 - 31,8 ) = 69,73 ∠ 58,2º [A ]

ISCOR

=69,73∠(330 - 31,8 ) = 69,73 ∠ 298,2º [A ]

ITCOR

=69,73∠(210 - 31,8 ) = 69,73 ∠ 178,2º [A ]

Nuevas lecturas de los vatímetros

WRS = URS IRCOR cos 61,8º = 380. 69,73. cos 61,8º = 12.521,37


85,4º

IR

URS

25,4ºIT

UTS

URS

61,8º

IRCOR

191


WTS = UTS ITCOR cos 1,8º = 380. 69,73. cos 1,8º = 26.484,33

PTRIF. = 12.521,37 + 26.484,33 = 39.005,70 W

Ejercicio 621: En el siguiente circuito hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente total


1,8º ITCOR

UTS

ω

ITCOR

IRCOR

ISCOR

O

DIAGRAMA FASORIAL

IT

IS

IR

UST

UTR

URS


URO = URO´

ITRIST

10 W

10 W

IRS

10 W

IT1

IS1

IR1

WST

WRT

O´

IT

IS

IR

T

S

R

10 Ð 30° W

10 Ð 30° W

10 Ð 30° W

192


IR1

=U RO

Z R=220∠90º

10∠30º=22∠ 60º [A ]

IS1

=USO

ZS=220∠330º

10∠30º=22∠ 300º [A ]

IT1

=U TO

ZT=220∠210º

10∠30º=22∠ 180º [A ]

IRS

=U RS

ZRS

=380∠120º10∠0º

=38 ∠120º [A ]

IST

=UST

ZST

=380∠0º10∠0º

=38 ∠0º [A ]

ITR

=U TR

Z TR

=380∠240º10∠0º

=38 ∠240º [ A ]


IR2

=¿ IRS−¿ ITR =¿38∠120º− 38∠240º=65,82 ∠90º [ A ] ¿¿¿

IS2

=¿ IST−¿ I RS=¿38∠ 0º− 38∠120º=65,82∠330º [ A ] ¿¿¿

IT2

=¿ ITR−¿ IST =¿38∠ 240º− 38∠0º= 65,82∠210º [ A ] ¿¿¿

IR=¿ IR1+¿ IR2=¿22∠60º+ 65,82∠90º=85,58 ∠ 82,6º [ A ] ¿¿¿

IS=¿ IS1+¿ IS2=¿22∠300º+ 65,82∠330º=85,58 ∠322,6º [ A ] ¿¿¿

IT=¿ IT1 +¿ IT2 =¿22∠180º+ 65,82∠210º=85,58 ∠202,6º [ A ] ¿¿¿


IT1

ω

DIAGRAMA FASORIAL

IR

URS

URO

193



WST = UST IS cos 37,4º = 380. 85,58. cos 37,4 º = 25.834,68

PTRIF. = 30.023,17 + 25.834,68 = 55.857,85 W

Como el sistema es equilibrado:

QTRIF=√3 (W RT−W ST)=√3 (30 .023,17−25 .834,68 )=7 .254,46 VAr


2 =√55 . 857,852+7 . 254,682= 56 .326,96 VA

Ejercicio 622: En el siguiente circuito hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente total


22,6º

IRURT

37,4º

IS

UST

10 Ð90° W

10 Ð90° W 10 Ð90° W

ITRIST

IRS

IT1

IS1

IR1

WST

WRT

O´

IT

IS

IR

T

S

R

10 Ð- 30° W

10 Ð- 30° W

10 Ð- 30° W

3 x 380 V – 50 Hz Secuencia directa194


IR1

=U RO

Z R=220∠90º

10∠−30º=22∠ 120º [ A ]

IS1

=USO

ZS=220∠330º

10∠−30º=22∠ 0º [A ]

IT1

=U TO

ZT=220∠210º

10∠−30º=22∠ 240º [A ]

IRS

=U RS

ZRS

=380∠120º10∠90º

=38 ∠30º [A ]

IST

=UST

ZST

=380∠0º10∠90º

=38 ∠−90º [A ]

ITR

=U TR

Z TR

=380∠240º10∠90º

=38 ∠150º [ A ]


IR2

=¿ IRS−¿ ITR =¿38∠30º− 38∠150º=65,82 ∠ 0º [ A ] ¿¿¿

IS2

=¿ IST−¿ I RS=¿38∠ - 90º− 38∠30º=65,82∠240º [ A ] ¿¿¿

IT2

=¿ ITR−¿ IST =¿38∠150º− 38∠ - 90º= 65,82∠120º [ A ] ¿¿¿

IR=¿ IR1+¿ IR2=¿22∠120º+ 65,82∠ 0º=58,04 ∠19,16º [ A ] ¿¿¿

IS=¿ IS1+¿ IS2=¿22∠ 0º+ 65,82∠ 240º=58,04 ∠259,16º [ A ] ¿¿¿

IT=¿ IT1 +¿ IT2 =¿22∠240º+ 65,82∠120º=58,04 ∠139,16º [ A ] ¿¿¿


ω

O

DIAGRAMA FASORIAL

IT

IS

IR

UST

UTR

URS

UTO USO

URO

195



WST = UST IS cos 100,84º = 380. 58,04. cos 100,84 º = - 4.147,86

PTRIF. = 16.685,61 – 4.147,86 = 12.537,75 W

Como el sistema es equilibrado:

QTRIF=√3 (W RT−W ST)=√3 (16 .685,61 + 4 . 147,86 )=36 .083,57 VAr


2 =√12 .537,752+36 . 083,572= 38.199,73 VA

Ejercicio 623: En el siguiente circuito hallar las indicaciones de los vatímetros y la potencia activa trifásica

IR1

=U RO

Z R=220∠90º

10∠45º=22∠ 45º [A ]

IS1

=USO

ZS=220∠330º

10∠45º=22∠ 285º [A ]


40,84º

IR

URT

100,84º

IS

UST

10 Ð- 90° W

10 Ð90° W 10 W

ITRIST

IRS

IT1

IS1

IR1

WST

WRT

O´

IT

IS

IR

T

S

R

10 Ð45° W

10 Ð45° W

10 Ð45° W

3 x 380 V – 50 Hz Secuencia directa

196


IT1

=U TO

ZT=220∠210º

10∠45º=22∠ 165º [A ]

IRS

=U RS

ZRS

=380∠120º10∠90º

=38 ∠30º [A ]

IST

=UST

ZST

=380∠0º10∠−90º

=38 ∠90º [A ]

ITR

=U TR

Z TR

=380∠240º10∠0º

=38 ∠240º [ A ]


IR2

=¿ IRS−¿ ITR =¿38∠30º− 38∠240º=73,4 ∠ 45º [ A ] ¿¿¿

IS2

=¿ IST−¿ I RS=¿38∠ 90º− 38∠30º=38∠150º [ A ] ¿¿¿

IT2

=¿ ITR−¿ IST =¿38∠ 240º− 38∠90º= 73,4∠255º [ A ] ¿¿¿

IR=¿ IR1+¿ IR2=¿22∠45º+ 73,4∠45º=95,4 ∠45º [ A ] ¿¿¿

IS=¿ IS1+¿ IS2=¿22∠ 285º+ 38∠150º=27,3 ∠184,73º [ A ] ¿¿¿

IT=¿ IT1 +¿ IT2 =¿22∠165º+ 73,4∠255º=76,63 ∠238,3º [ A ] ¿¿¿

WRT = URT IR cos 15º = 380. 95,4. cos 15º = 35.016,74


175,27ºIS

UST

15ºIR

URT

ω

IT2

IT1

IS2

IS1

IR2

IR1

O DIAGRAMA FASORIAL

IT

IS

IR

UST

UTR

URS

UTO USO

URO

197


WST = UST IS cos 175,27º = 380. 27,3. cos 175,27 º = - 10.338,67

PTRIF. = 35.016,74 – 10.338,67 = 24.678,07 W

Ing. Julio Álvarez 04/10 198

ejercicios de potencia trifasica ing. julio alvarez

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