入試レベル標準演習 2019 数学問題編 -...

入試レベル標準演習 2019 数学 II B (問題編)

1 3で割った余りが 1となる自然数 nに対し，(x− 1)(x3n − 1)が (x3 − 1)(xn − 1)で

割り切れることを証明しなさい。

(慶大)

2 x3の係数が 1である 3次式 Q(x) は，x − 1 で割ると余りが − 1 , x − 2 で割ると

余りが 8となる．このとき，次の問( i )～( v )に答えよ．解答欄には，答えだけでなく途

中経過も書くこと．

( i ) Q(x) を (x − 1)(x − 2) で割った余りを求めよ．

( ii ) Q(− 1) = − 1 のとき，Q(x) を求めよ．

(iii) ( ii )で求めた Q(x) に対して，3次式 P (x) は P (x2 ) = P (x)Q (x) + 2x を

満たす．このとき，P (0), P (1), P (− 1) の値を求めよ．

(iv) P (x) が (iii)の条件を満たすとき，P (x) を x(x − 1)(x + 1) で割った余りを

求めよ．

( v ) P (x)が (iii)の条件を満たすとき，P (x) を求めよ。

(立教大)

— 1 — c©早稲田数学フォーラム


3 a, b, c > 0とする。

(1) 不等式 8abc � (a + b)(b + c)(c + a)を示せ。

(2) x = b + c − a, y = c + a − b, z = a + b − cとするとき，a, b, cをそれぞれ x,

y, zで表せ。

(3) (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) � abcを示せ。

(大阪医大)

4 3次の整式 f(x) = x3 + x2 + px + q (ただし，p �= q, q �= 0) , および

g(x) =−1

x + 1が次の条件 (∗)をみたすとする。

(∗) f(x) = 0の任意の解αに対して g(α)も f(x) = 0の解である。

次の問に答えよ。

(1) p, qの値を求めよ。

(2) f(x) = 0は − 2 < x < 2の範囲に 3つの実数解をもつことを示せ。

(3) f(x) = 0の任意の解を 2 cos θとするとき，2 cos 2θ, 2 cos 3θも解である

ことで示せ。

(4) 2 cos θ (0 < θ < π)が f(x) = 0の解であるとき，θの値を求めよ。

(早大)



5 aを実数の定数とする．xについての方程式

4 sin2 x − a sin x + 1 = 0 (0 � x � π)

は 4つの相異なる解を持ち，そのうちの 2つの解 x1, x2 (x1 < x2)の差がπ

2である．

(1) sinx1 = sin x2のとき，a = コ√サである．

(2) sinx1 �= sin x2のとき，a = シ√スであり，4つの解のうち，最も値が大きい解

はセ

ソπである．

(早大)

6 0 < θ < π とする．方程式

cos 2θ + 4a sin θ + a − 2 = 0 ······ 1©は，x = sin θ とおくと，

ツ x2 − テ ax − a + ト = 0 ······ 2©となる．

方程式 1©が解をもつとき，方程式 2©はナ < x � ニの範囲に解をもつ．

また，方程式 1©が異なる 2つの解をもつような aの値の範囲は，a =ヌ

ネ

およびノ

ハ< a < ヒである．

(東京薬大)



7 関数 y =√

3 sin 2x − cos 2x + 2√

3 sin x + 2 cos x について，以下の問いに答えな

さい。ただし，− π

2� x � π

2とする。

(1)√

3 sin x + cos x = t とおくとき，次の問いに答えなさい。

( i ) tの値の範囲を答えなさい。

(ii) xを用いずに tを用いて yを表しなさい。

(2) yの最小値および最大値を，そのときの xの値とともに，それぞれ答えなさい。

(岩手県大)

8 次の (1), (2)に答えなさい。

(1) 次の式が成り立つことを示しなさい。

sinα cos β =sin(α + β) + sin(α − β)

2

(2) cos θ + cos 2θ � sin θ + sin 2θ を満たす θの値の範囲を求めなさい。

ただし，0 � θ � π とする。

(宮城大)



9

α は 0 < α � π2を満たす定数とし，四角形ABCDに関する次の 2つの条件

を考える．

( i ) 四角形ABCDは半径 1の円に内接する．

(ii) ∠ABC = ∠DAB = α.

条件( i )と(ii)を満たす四角形のなかで，4辺の長さの積

k = AB BC CD DA

が最大となるものについて，kの値を求めよ．

(京大)

10 次の問に答えよ。ただし，

log10 2 = 0.3010, log10 3 = 0.4771, log10 7 = 0.8451, log10 11 = 1.0414,

とする。

(１) 320の 1の位の数字を求めよ。

(２) nを自然数とし，3nが 21桁で 1の位の数字が 7となるとき，nの値を求めよ。

(３) 770の最高位の数字を求めよ。

(４) 770の最高位の次の位の数字を求めよ。

(早大)



11 以下の問いに答えよ。

(1) 不等式 14

< 0.5x < 1を解け。

(2) (1)を満たす xの値の範囲のうち， logx y − logy x12 < − 1

2を満たす点 (x, y)が

存在する領域を図示せよ。

(岐阜薬大)

12 aを実数とするとき，関数

f(x) = 4x + 4−x − 2a(2x + 2−x) + a2 − 2a − 5

について，次の問に答えよ。

(1) t = 2x + 2−xとおくとき，tのとり得る値の範囲を求めよ。また，f(x)を tと aを用いて表せ。

(2) 方程式 f(x) = 0が異なる 4個の実数解をもつように，aの値の範囲を求めよ。

(佐賀大)



13 座標平面上の直線 y = x + 1を �とする．また，実数 aに対して，円

x2 + y2 − 8x − 2ay + a2 = 0

を Cとし，その中心を点 Pとする．

(1) �が Pを通るとき，a = ( 1 ) である．

(2) �と Cが異なる 2点で交わるための必要十分条件は

( 2 ) − ( 3 )√

2 < a < ( 4 ) − ( 5 )√

2

である．

実数 aが (2)の範囲にあるとき，�と Cの 2つの共有点を Q, Rとする．

(3) 三角形 PQRの面積が 8となるような aの値を小さい方から順に並べると，

( 6 ) , ( 7 ) である．

(4) ∠QPRが 150◦であるとき，aは

(a − 5)2 = ( 8 ) ( 9 ) − (10)√

(11)

を満たす．

(慶大)



14 aを実数とする。直線 ax + y + 1 = 0 を l1 , 直線 x + ay + 1 = 0 を l2 , 直線

x + y + a = 0を l3とおく。このとき，次の問に答えなさい。

(1) l1 , l2 , l3のどの 2つも異なり，かつ，平行にならないための，aについての条件

を求めなさい。

(2) aが (1)の条件をみたす場合に，l1と l2の交点を A, l2と l3の交点を B, l3と l1

の交点を Cとする。A, B, Cが三角形の 3頂点となるための，aについての条件を求めなさい。

(3) aが (2)の条件をみたす場合，三角形ABCが正三角形となるような aの値を求めなさい。

(埼玉大)

15 aを正の定数とする。座標平面において，円K1は中心が A(a, 2)であり，x軸および直線 � : 3x − 4y + 9 = 0 に接している。

(1) K1の半径を求めよ。

(2) aの値を求めよ。

(3) �と x軸の交点をB, K1と x軸の接点をCとするとき，3点A, B, Cを通る円K2

の方程式を求めよ。

(4) (3)で求めたK2とK1の 2つの交点および原点を通る円K3の方程式を求めよ。

(名城大)



16 3点A(− 2 , 0), B(2, 0), C(0, 1)に対し，2点 P(0, p ), Q(0 , q )を，

0 < p < qかつ線分 PQの中点が Cとなるようにとる。さらに，直線APと直線

BQの交点を Rとおく。

(1) Rの座標を p で表せ。

(2) Rの軌跡を図示せよ。

(法政大)

17 座標平面上に放物線 Cを

y = x2 − 3x + 4

で定め，領域Dを

y � x2 − 3x + 4

で定める。原点をとおる 2直線 l, mは Cに接するものとする。

(1) 放物線 C上を動く点Aと直線 l, mの距離をそれぞれ L, M とする。√

L +√

M

が最小値をとるときの点Aの座標を求めよ。

(2) 次の条件をみたす点 P(p, q)の動きうる範囲を求め，座標平面上に図示せよ。

条件：領域Dのすべての点 (x, y)に対し不等式 px + qy � 0がなりたつ。

(東大)



18 3次関数 f(x) = 14

x3 + ax2 + bx + 4a2について次の問に答えよ。

(1) a = b = 1のとき，f(x)の極値を求め，y = f(x)のグラフをかけ。

(2) f(x)が x = 1で極大値 92をとるとき，f(x)の極小値を求めよ。

(東京海洋大)

19 p, qを整数とする。関数 f(x) = x3 − px2 + (p2 − 2p)x + qについて，以下の問い

に答えよ。

(1) f(x)が極値をもつときの整数 p の値をすべて求めよ。

(2) 方程式 f(x) = 0が負の解 1つと相異なる正の解 2つをもつとき，整数 p, q の値を求めよ。

(熊本大)



20 平面上に中心を共有する半径 1 の円 C1と半径 6 の円 C2がある。C1上

の点 Pと C2上の 2点Q, Rを頂点とする三角形 PQRの面積の最大値を求

めよ。

(一橋大)

21 2次関数 y = x2のグラフを C1, y = x2 − 4x + 5のグラフを C2とし，C1と C2の

交点を Aとする。

(1) C2は C1を x軸の方向に 25 , y軸の方向に 26 だけ平行移動した放物線である。

(2) 直線 lが C1, C2のいずれにも接するとき，lと C2との接点の x座標は27

28である。

(3) Aを通り，傾きが kの直線をmとする。C2とmの交点のうち，Aとは異なる交点

の x座標は k +29 30

31である。ただし，k \= − 3

2とする。

(4) (3)において，kが − 32

< k <52の範囲を動くとき，C1とmで囲まれた部分の面

積と，C2とmで囲まれた部分の面積の和を Sとする。k = 0のとき，S =32 33

34

である。また，Sが最小となるのは，k =35

36のときである。

(日大)



22

aは正の実数とし，座標平面内の点 (x0, y0)は 2つの曲線

C1 : y = |x2 − 1 | , C2 : y = x2 − 2ax + 2

の共有点であり，|x0 | \= 1を満たすとする．C1と C2が (x0, y0)で共通の接線を

もつとき，C1と C2で囲まれる部分の面積を求めよ．

(京大)

23 放物線 C : y = x2 + ax + bが 2直線 �1 : y = px (p > 0), �2 : y = qx (q < 0)

と接している。また，Cと �1, �2で囲まれた図形の面積を Sとする。

(1) a, bを p, qを用いて表せ。

(2) Sを p, qを用いて表せ。

(3) �1, �2が直交するように p, qが動くとき，Sの最小値を求めよ。

(筑波大)



24 関数 f(x)=x3−3xを考える。a > 0に対して，曲線 y = f(x)上の点 (a, f(a))における接線を �1とし，点 (a, f(a))から曲線 y = f(x)へ引いた接線で �1とは異なるものを

�2とする。このとき，次の問いに答えよ。

(1) 関数 f(x)の増減を調べ，曲線 y = f(x)のグラフの概形をかけ。

(2) 直線 �1の方程式を求めよ。また，曲線 y = f(x)と直線 �1で囲まれた図形の面積

S1(a)を求めよ。

(3) 直線 �2の方程式を求めよ。また，曲線 y = f(x)と直線 �1で囲まれた図形の面積

を S2(a)とするとき，S1(a)S2(a)

の値を求めよ。

(島根大)

25 pを実数とする。関数 y = x3 + px2 + xのグラフ C1と関数 y = x2のグラフ C2

は，x > 0の範囲に共有点を 2個もつとする。

(1) このような p の値の範囲を求めよ。

(2) C1と C2の x > 0の範囲にある共有点の x座標をそれぞれ α, β (α < β)と

し，0 � x � α と α � x � β の範囲で C1と C2が囲む部分の面積をそれぞれ

S1, S2とする。 S1 = S2となるような p の値を求めよ。また，このときの S1

の値を求めよ。

(北大)



26 sを正の実数とする。鋭角三角形ABCにおいて，辺ABを s : 1に内分す

る点を Dとし，辺BCを s : 3に内分する点を Eとする。線分CDと線分AEの交

点を Fとする。以下の問いに答えよ。

(1)−→AF = α

−→AB + β

−→ACとするとき，αと βを求めよ。

(2) Fから辺ACに下ろした垂線を FGとする。FGの長さが最大となるときの

sを求めよ。

(東北大)

27 正方形 ABCD の辺を除く内部に，PA ⊥ PB を満たす点 Pがある。

ベクトル−→PCを x

−→PA + y

−→PBと表すとき，以下の問いに答えよ。

(1) α =|−→PB||−→PA|

とするとき，x, yを α を用いて表せ。

(2) 点 Pが題意の条件を満たしながら動くとき，(1)で求めた x, yの

和 x + y の最大値を求め，そのときの Pがどのような点かを答

えよ。

(千葉大)



28 Oを原点とする座標空間内に，定点A(4, 0, 0)と 3点P(4 cos θ, 2√

2 sin θ, 2√

2 sin θ)

Q(4 cos θ,

√2

2sin θ,

√2

2sin θ) Rがあり，0 < θ <

π

2かつ

−→OR = 4

−−→OQ∣∣−−→OQ

∣∣をみたしている。このとき，次の問いに答えよ。

(1) θが 0 < θ <π

2の範囲を動くとき，

∣∣−→PR∣∣の最大値と，そのときの cos θの値を求

めよ。

(2)∣∣−→PR

∣∣が最大となるときを考える。Oを端点とし線分PRの中点を通る半直線上に，

点Mを∣∣−−→OM

∣∣ = 4となるようにとるとき，�MOAの面積を求めよ。

(東京慈恵会医大)

29 Oを原点とする座標空間に 3点A(6, 3√

2, 0), B(8,0,0), C(3,0,−5)があ

る。点Oから直線BCに下ろした垂線をOFとし，点Aから直線BCに下

ろした垂線を AGとする。また，線分 OA (両端を含む) 上を動く点Pか

ら直線 BCに下ろした垂線を PHとする。次の問いに答えよ。

(1) 点 Fと点Gの座標をそれぞれ求めよ。

(2) 点Hの軌跡は線分 FG (両端を含む) であることを証明せよ。

(3) 線分 PHの長さの最大値と最小値を求めよ。

(4) 平面 αは次の二つの条件を満たすとする。

• αは 2直線OA, BCのどちらとも平行である。

• 点Oから αまでの距離と，点 Bから αまでの距離は等しい。

このとき，αと x軸の共有点の座標を求めよ。

(広島大)



30 tを実数とし，座標空間内に 4点O(0, 0, 0), A(1, −1, −2), B(1, 2, 1),

C(t − 3, 1, t + 1)をとる。

(1)−→OA,

−→OBの両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。

(2) tが実数全体を動くとき，�OACの面積の最小値を求めよ。

(3) 四面体 OABC の体積が 1のとき，tの値を求めよ。

(信州大)

31 Oを原点とする座標空間の 2点A(

1, 0,12

), B

(−1, 2,

32

)を通る直線を �とする．

また，xy平面上に点 C(9, −3, 0)をとる．

(1) � と yz 平面の交点の座標を求めよ．

(2) 点Cと �上の点 Pを結ぶ線分CPの長さが最小となるとき，Pの座標を求めよ．

(3) 中心が直線OC上にある半径 1の球面を Sとする．Sと �が異なる 2点Q, Rで

交わるとき，線分QRの長さが最大となる Sの中心の座標と，線分QRの長さ

の最大値を求めよ．

(慶大)



32 次のにあてはまる答を解答欄に記入しなさい。

正の整数 nを 10進法で表したときの一の位の数を f(n)で表し，

an = f(n2) − f(n)

で定義される数列 {an} を考える。このとき，a1 = (a) , a2 = (b)

であり，an = 2 となるような正の整数 n を小さい方から順に並べてできる数列

を b1, b2, b3, · · · とすると，b29 = (c) である。

次に，数列 {an}の初項から第 n 項までの和を Sn とする。このとき，Sn = 0 と

なる正の整数 n を小さい方から順に並べてできる数列を c1, c2, c3, · · · とすると，c2 = (d) , c10 = (e) である。したがって，S2017 = (f)

である。

(明治薬大)

33 数列 1, 1, 4, 1, 4, 7, 1, 4, 7, 10, 1, 4, 7, 10, 13, 1, · · · について，次の問に答えよ。

(1) 第 200項を求めよ。

(2) 初項から第 200項までの和を求めよ。

(3) 初項から第 n項までの和を Snとする。 5000 < Sn < 6000を満たす nはいくつあるか，その個数を求めよ。

(近畿大)



34 次の条件によって定まる数列 {Fn}を考える．F1 = F2 = 1 , Fn+1 = Fn + Fn−1 (n � 2 )

n

2を越えない最大の整数を

[n

2

]と表すとき，

Fn+1 =

[ n2

]∑r=0

n−rCr (�)

が成り立つことを以下の手順により示せ．

(1) 1 � r � n − 1を満たす自然数 rに対し，

nCr = n−1Cr + n−1Cr−1

が成り立つことを示せ．

(2) (�)が n = 1 , 2に対して成り立つことを示せ．

(3) すべての自然数 nに対し，(�)が成り立つことを数学的帰納法により示せ．

(お茶女大)



35 自然数 nに対して，座標平面上の 2n個の点

(1, 1), (2, 1), · · · , (n, 1), (1, 2), (2, 2), · · · , (n, 2)

の集合を Lnとし，それらを下図のように線分で結んだ図形を考える。(図は n = 5の場合)

(1, 1)

(1, 2)

(2, 1)

(2, 2)

(3, 1)

(3, 2)

(4, 1)

(4, 2)

(5, 1)

(5, 2)

そして Lnの 2個の点 P1(x1, y1), P2(x2, y2)間の最短経路距離を |x1 − x2|+ |y1 − y2 |で定義する。すなわち P1から P2へ図形の線分を通り到達するための最短距離のことで

ある。このとき Lnの異なる 2点の組み合わせにおける最短経路距離の平均値 anを求め

たい。Lnの異なる 2点の組み合わせにおける最短経路距離の総和を dnとするとき，次

の問に答えよ。

(1) d1, a1, d2, a2を求めよ。

(2) Lnに 2点 (n+1, 1), (n+1, 2)を付け加えるとLn+1になることに着目して dn+1−dn

を nで表せ。

(3) dnと anをそれぞれ nで表せ。

(東京電機大)



36 n桁 (n = 1, 2, 3, . . . )の自然数のうち，各々の位の数字が 1または素数となってい

る数は (45)

n個あるが，このうち，3で割り切れる数の個数を an, 3で割ると 1余る数

の個数を bn, 3で割ると 2余る数の個数を cnとすると

an + bn + cn = (45)

n · · · · · · · · · 1©

である．an+1を an, bn, cnであらわすと

an+1 = (46) an + (47) bn + (48) cn

となるので， 1©によって an+1と anの関係式は

an+1 = (49) (50) an + (51) (52) × (53) (54)

n

となる．初項 a1は 1であるから，anの一般項は

an =(55) (56) ×

((57) (58)

)n+ (59) (60)

n

(61) (62)

となる．

(慶大)



37 nを 3以上の自然数として，n枚のカード C1, C2, · · ·, Cn−1, Cnがあ

る。初めにこれらのカードを下から Cn, Cn−1, · · ·, C2, C1の順番に積

み上げておく。いちばん上にあるカードが C1で，いちばん下が Cnで

ある。積み上げられたカードに対して以下の試行を繰り返す。いちば

ん上にあるカードを取ってそれを残りのいずれかのカードの下に入れ

るか，またはいちばん上に戻す。どの位置におくかの確率はすべて等

しいものとする。

k = 1, 2, · · · について，k回の試行の後にカード C1が上から数えて

�番目にある確率を P (k, �) (� = 1, 2, · · · , n)で表し，また k回の試行

の後にカード C2 が上から数えて �番目にある確率を Q(k, �)で表す。

例えば P (1, �)は �によらず1nに等しい。以下の問いに答えよ。

(1) P (2, �)を求めよ。

(2) P (k, �)を求めよ。

(3) Q(k, �)を求めよ。

(千葉大)


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