II- Çok uçlu direnç, endüktans, kapasite bağımsız akım ve gerilim kaynaklarının oluşmuş devrelerde durum denklemlerinin elde

edilmesi Yöntem: 1. Adım: Uygun Ağaç Seçimi Bir önceki durumdaki adımlar atılmadan önce• Devrede bulunan çok uçluların yazılabilen tüm uç denklemlerini gözönüne alınız• Her bir denklem için gerilim büyüklüğüne karşı gelen ucu grafa dal olarak , akım büyüklüğüne karşı gelen ucu grafa kiriş elemanı olarak yerleştiriniz.

Bir önceki durumdaki adımları izleyerek ağacı belirleyiniz.

Farklı uç denklemlerinden hangisi daha fazla durum değişkeni veriyorsa o duruma ilişkin ağacı uygun ağaç olarak seçiniz.

Diğer Adımlar: devrede 2-uçlu direnç elemanı, kapasite, endüktans ve bağımsız kaynaklar varken ki durum ile aynı

2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü

002

1

2

1

2221

1211

2

1 )( , xtxub

b

x

x

aa

aa

x

x

00)( , xtxBuAxx

)()()( txtxtx özelhT

tth e

S

SSetx

2

1)(

Çözüm, 1. mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümlerine benzer şekilde

Homojen kısım:

Çözüm Tahmini

00)( , xtxAxx

ASS

ASeSe tt

belirlememiz gereken kaç büyüklük var?

0 SAI sıfırdan farklı çözüm erin olması nasıl mümkün

olur? 0det AI 02 ba Karakteristik Denklem

21, Karakteristik denklemin kökleri: özdeğerler

S Belirlememiz gereken özvektör

011 SAI Hangi uzayın elemanı?

O uzaya ait neyi belirlersek aradığımızı bulmuş oluruz?

022 SAI

‘e ilişkin özvektör

1

‘e ilişkin özvektör

2

111 VcS

222 VcS

2

121

21)(c

cVeVetx tt

h

)(tM Temel Matris

2

1)(c

ctM

)(

)()(

2

1

tx

txtx

özel

özel

özel

Özel çözüm:

Tam çözüm: )()()( txCtMtx özel

Nasıl belirleyeceğiz?

)()()( 000 txCtMtx özel )()()( 001

0 txtxtMC özel

)()()()()()( 0001 txtxtxtMtMtx özelözel

)()()()()()( 0001 txtxtxtMtMtx özelözel

Durum Geçiş Matrisi

)()()()()()( 00 txttxtxttx özelözel

)(t

)()()()()()( 00 txttxtxttx özelözel

öz çözüm zorlanmış çözüm

öz çözüm zorlanmış çözüm

)()()(0

)(0

t

t

tAAt dBuetxetx

Önce lineer dinamik sistemleri durum denklemleri ile ifade ettik ...

)()()(

)( ),()()(

tDutCxty

xtxtButAxtx oo

durum değişkeni

giriş değişkeni

çıkış değişkeni

........x ........y ........u

Bu sistemin çözümü.....

t

t

tAo

ttA

o

o dBuetxetx )()()( )()(

ilk koşul

Dinamik Sistem

Bir özel hal: )()( tAxtx Otonom sistem

Çözümü bir daha yazarsak

)(.....)()()( 0)(

022)(

011)( 21 txSetxSetxSetx nn

tttttt onoo

özdeğerler

özvektörler

Çözüm, özvektörler ve özdeğerler ile nasıl değişir

.......................................................................................

......................

Özvektörleri aynı özdeğerleri farklı iki sistem

21

501A

41

522A

i2111 i2112

i2321 i2322

i

S3651.01826.0

9129.011

i

S3651.01826.0

9129.012

i

S3651.01826.0

9129.021

i

S3651.01826.0

9129.022

A1 sistem

i

A2 sistem

i

Hangisi daha hızlı sıfıra yaklaşıyor ?

Özdeğerleri aynı özvektörleri farklı iki sistem

3.01

52.01B

3.05

12.02B

i235.225.011 i235.225.012

i235.225.021

i235.225.022

i

S4081.00051.0

9125.011

i

S4081.00051.0

9125.012

9125.0

4081.00051.021

iS

9125.0

4081.00051.022

iS

B1 sistem

i

B2 sistem

i

Bu durumda lineer sistemin çözümleri neler olabilir?

Tüm bu durum portrelerinde ortak bir şey var, ne? S. Haykin, “Neural Networks- A Comprehensive Foundation”2nd Edition, Prentice Hall, 1999, New Jersey.

Dinamik sistemin özel bir çözümü: Denge noktası

)()( tAxtx dAx0))(()( txftx )(0 dxf

Kaç tane denge noktası olabilir?

Sistemin davranışını incelemenin bir yolu kararlılığını incelemektir.Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık

sistemine ilişkin bir denge noktası olsun. Verilen herhangi bir için eşitsizliği

eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir bulunabiliyorsa denge noktası Lyapunov anlamında kararlıdır.

))(()( txftx dx0

)()0( dxx

dxtx )(

)( dx

Lineer sistemlerde denge noktasının Lyapunov anlamında kararlılığını incelemek için ne yapılınılıyor? Denge noktasının kararlılığı neye denk, neden?