ecuaciones generales de cables.pdf

Clculo de Cables

Jos M.a Goicolea Ruigmez

Ctedra de Mecnica

Escuela de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

Universidad Politcnica de Madrid

mayo 2012

ndice

1. Conceptos e hiptesis bsicas 21.1. Los cables en la mecnica estructural . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Hiptesis de los modelos de cables . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Ecuaciones de equilibrio bajo cargas continuas 52.1. Ecuacin vectorial del equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Ecuaciones en coordenadas intrnsecas . . . . . . . . . . . . . 72.3. Ecuaciones en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . 92.4. Casos de fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5. Casos de fuerzas centrales o paralelas . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Configuraciones de equilibrio de cables 123.1. Cable homogneo sometido a peso propio (catenaria) . . . . . 123.2. Cable sometido a carga constante por unidad de abscisa (pa-

rbola) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3. Efecto de cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4. Algunos tipos de condiciones de apoyo en los extremos . . . . 23

4. Cables apoyados sobre superficies 274.1. Superficie lisa sin cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2. Superficie lisa con cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3. Enrollamiento sobre tambor rugoso . . . . . . . . . . . . . . . 29

1

Aptdo. 1. Conceptos e hiptesis bsicas 2

1. Conceptos e hiptesis bsicas

1.1. Los cables en la mecnica estructural

Los cables o hilos son elementos que slo resisten traccin. A pesar de lasimplicidad de su comportamiento mecnico tienen importantes aplicacionesen la tecnologa, para sistemas de transporte por traccin y guiado, paramquinas, o en sistemas estructurales.

Cindonos a los sistemas estructurales, en la antigedad las solucioneseran de dos tipos. Por una parte las basadas en materiales de slo compresincomo la piedra o el barro cocido, que condujeron a los arcos, bvedas o c-pulas, en los cuales aprovechando la geometra se consigue el funcionamientoadecuado del material. En estos la forma se debe imponer previamente me-diante una cimbra. Por otra parte los materiales de slo traccin como loscables o lonas, que adquieren la forma resistente de manera natural por supropio peso, aunque se encontraban ms limitados en cuanto a la durabilidaddebido a su naturaleza orgnica. Un interesante ejemplo son los puentes In-cas fabricados con sogas de los cuales pervive en la actualidad algn ejemplorepresentativo (figura 1).

(a) Puente de Queshwa Chaca, Ecuador (b) Puente sobre el ro Apurimac,Per (grabado s XIX)

Figura 1: Puentes Incas de Amrica

La tecnologa de los cables de acero de alta resistencia permite en laactualidad sistemas estructurales con gran durabilidad y de un tamao muchomayor. De hecho los puentes colgantes son la nica tipologa con la que sepueden alcanzar luces1 mayores de 1000 m. Cabe destacar en esta categorael puente Akashi-Kaikyo (figura 2a) que constituye el rcord mundial eneste momento con casi 2 km, o el Golden Gate (figura 2b) en la baha deSan Francisco que constituye un icono de la ciudad y fue asimismo rcordmundial en su momento.

Una tipologa muy interesante y que se ha desarrollado recientemente esla de los puentes atirantados, cuyo rango de luces abarca aproximadamenteentre los 200 m y los 1000 m. En la pennsula Ibrica existen dos interesantes

1Luz : distancia entre apoyos de un puente o sistema estructural

1.1 Los cables en la mecnica estructural 3

(a) Akashi-Kaikyo, Kobe, Japn (1991 m deluz, 1998)

(b) Golden Gate, San Francisco, USA(1280 m de luz, 1937)

Figura 2: Puentes colgantes

ejemplos, el de Barrios de Luna en Len (figura 3a) obra del profesor JavierManterola, y el de Vasco da Gama en el estuario de Tajo en Lisboa. Recien-temente se han construido puentes atirantados que superan incluso los 1000m de luz, un ejemplo es el puente de Sutong sobre el ro Yangtze en China(figura 3b)

(a) Barrios de Luna, Len, Espa-a (440 m de luz, 1983)

(b) Sutong, ro Yangtze, China (1088 m de luz, 2008

Figura 3: Puentes atirantados

Es interesante tambin el uso de los cables como sistemas de lanzamien-to o estabilizacin temporal para estructuras. Un ejemplo representativo loconstituye el viaducto sobre el barranco de Lanjarn, en el cual el sistemaestructural de un arco atirantado (autoequilibrado) fue lanzado sobre unprofundo barranco mediante unos cables y torres temporales como puede

1.2 Hiptesis de los modelos de cables 4

apreciarse en la figura 4a. Otro caso reseable es la construccin de puentesmediante atirantamiento provisional con cables, como el puente de Contreraspara el AVE (figura 4b).

(a) Viaducto de Lanjarn (cortesa deTorroja Ingeniera SL)

(b) Puente arco para el AVE sobre el embalsede Contreras (cortesa de CFC SL)

Figura 4: Uso de cables como mecanismos temporales para la construccin oel lanzamiento de puentes.

Por ltimo quiero mencionar tambin el uso de cables combinados conmembranas como sistemas de cubrimiento o techado en grandes superficies.En estas la geometra natural impuesta por la gravedad y la propia tensincontribuye a una expresividad formal intensa. Quizs el ejemplo ms repre-sentativo sea el estadio de Munich para las olimpiadas de 1972, obra delarquitecto Frei Otto y el ingeniero Jrg Schlaich, figura 5.

Figura 5: Cubierta con membranasy cables, estadio olmpico de Mu-nich, 1972

1.2. Hiptesis de los modelos de cables

El objeto de este documento es la aplicacin de los mtodos de la estticaal clculo de hilos o cables flexibles e inextensibles. La flexibilidad de los hiloshace que su estudio difiera en cierta medida de los sistemas discretos consi-derados en el resto de este curso. En efecto, uno de los objetivos principales

Aptdo. 2. Ecuaciones de equilibrio bajo cargas continuas 5

de su estudio ser determinar la configuracin que adoptan, a priori descono-cida. Sin embargo, resulta apropiado su estudio en el mbito de la mecnicade sistemas rgidos ya que comparten una propiedad esencial: las fuerzas in-ternas (las que no permiten la extensin del cable) no desarrollan ningntrabajo. En este aspecto crucial se diferencian de los sistemas estructuralesdeformables, en los que se produce una energa de deformacin interna bajocarga (generalmente energa elstica).

Las caractersticas que definen los hilos flexibles e inextensibles y se ad-miten aqu como hiptesis de partida son las siguientes:

1. Seccin despreciable. Se considera que el hilo posee una dimensin pre-dominante, mucho mayor que los otros dos, por lo que puede ser idea-lizado segn una lnea, sin seccin transversal. Tan slo ser necesarioconsiderar esta seccin a efecto de calcular su peso especfico por unidadde longitud, en funcin de la seccin transversal y su densidad.

2. Flexibilidad perfecta. El hilo no resiste esfuerzos de flexin, y por lotanto tampoco de corte. Tan slo resiste esfuerzos en direccin longi-tudinal, tangentes a la curva que forma el hilo.

3. Inextensibilidad. Cuando est sometido a traccin, el hilo es lo sufi-cientemente rgido (en direccin longitudinal) como para que se puedadespreciar su extensibilidad. Por el contrario, sometido a compresin,el hilo no ofrece resistencia y se arruga.

Debe quedar claro que estas hiptesis son una idealizacin que conformael modelo de hilos flexibles inextensibles al que se cie este captulo. Encircunstancias reales, los cables o cuerdas no cumplen exactamente ningunade las hiptesis anteriores; sin embargo, en numerosos casos prcticos essuficientemente vlida esta idealizacin.

2. Ecuaciones de equilibrio bajo cargas conti-nuas

2.1. Ecuacin vectorial del equilibrio

El cable o hilo queda definido por su curva directriz, r(s), que supondre-mos parametrizada en funcin de la longitud de arco s de la misma. En unpunto dado del hilo definido por s podremos considerar una seccin normalA, en la cual definimos como cara frontal A+ la que est orientada en senti-do de s creciente, y cara dorsal A la orientada en sentido de s decreciente(figura 6).

Si se considera el hilo cortado por esta seccin, la parte que queda pordetrs queda limitada por la seccin frontal A+, en la que el efecto del hilo

2.1 Ecuacin vectorial del equilibrio 6

T

Ts

r(s)

A+A

Figura 6: Directriz del hilo (r(s)), sec-ciones frontal (A+) y dorsal (A), yconcepto de tensin (T )

por delante que se ha eliminado puede sustituirse por una fuerza T que sedenomina tensin. Si por el contrario se considera la parte del hilo por de-lante, queda limitado por la seccin dorsal A, sobre la que el resto del hiloproduce una fuerza T , de forma que est en equilibrio con T . En principioT podra llevar cualquier direccin, aunque como veremos ms abajo su di-reccin ser tangente al propio hilo. Por otra parte, debe ser siempre T > 0de forma que corresponda a una traccin; T < 0 correspondera a un esfuerzode compresin que no puede ser resistido.

Sea un elemento PQ del hilo, de longitud infinitesimal ds. El punto Pcorresponde a la coordenada s y Q a (s+ ds). La seccin en P ser dorsal yla seccin en Q frontal (figura 7).

Sobre el hilo acta una carga continua q por unidad de longitud. Alcortar el elemento de hilo por los puntos P y Q, el equilibrio del mismoqueda garantizado por la tensin del hilo en cada extremo.

T

T + dT

q ds

dsP

Q

Figura 7: Equi-librio de unelemento PQ dehilo sometido acargas continuasq por unidad delongitud

En primer lugar, establecemos el equilibrio de fuerzas sobre este elementode hilo. Las fuerzas que actan sobre el mismo son:

Tensin en P : (T )Tensin en Q: (T + dT )

Cargas externas: (q ds)

Expresando la anulacin de la resultante,

T + (T + dT ) + q ds = 0

2.2 Ecuaciones en coordenadas intrnsecas 7

de donde resulta la ecuacin vectorial del equilibrio:

dT + q ds = 0 dTds

+ q = 0 (1)

Para completar las condiciones de equilibrio, expresamos la anulacin delos momentos en P . Denominando dr = t ds ' PQ, siendo t la tangente alhilo:

dr (T + dT ) + dr q ds = 0 ,donde hemos supuesto que la resultante de cargas exteriores (q ds) actaen un punto intermedio del elemento, definido por ( dr) desde P , siendo (0, 1). Prescindiendo de infinitsimos de 2.o orden, resulta

dr T = 0 .De aqu se deduce que la tensin ha de ser tangente al hilo, en conformidadcon la hiptesis 2. enunciada en el apartado 1.

2.2. Ecuaciones en coordenadas intrnsecas

Expresemos ahora la ecuacin del equilibrio (1) en funcin de sus compo-nentes en el triedro de Frenet2. Recordamos que la primera frmula de Frenetpermite expresar la derivada de la tangente como:

dt

ds=n

R,

siendo n la normal principal y R el radio de curvatura.La tensin lleva la direccin de la tangente, quedando definida por un

escalar T de forma que T = T t. Sustituyendo en la ecuacin del equilibrio(1):

d(T t)

ds+ q = 0

dT

dst+ T

n

R+ q = 0

Podemos extraer de esta ltima expresin las componentes segn las di-recciones del triedro. Denominando (qt, qn, qb) las componentes de q segncada una de las direcciones,

dT

ds+ qt = 0 (direccin tangente)

T

R+ qn = 0 (direccin normal)

qb = 0 (direccin binormal)

(2)

2Curso de Mecnica, J.M. Goicolea (2010), apartado 2.2.4

2.2 Ecuaciones en coordenadas intrnsecas 8

Figura 8: Equilibrio en compo-nentes intrnsecas

SSSo

SSSSSSo

7

n

t

btT = T t

Observaciones:

La componente qb segn la binormal es nula. Esto quiere decir que elhilo adopta una configuracin que contiene a la fuerza q en su planoosculador, definido por los vectores (t,n).

Si no existe componente tangencial de la fuerza aplicada (qt = 0), latensin del hilo se mantiene constante. Si adems la fuerza normal (qn)es constante, el radio de curvatura adoptado ser tambin constante,resultando una circunferencia como configuracin de equilibrio del hilo.

Ejemplo 1: Membrana cilndrica sometida a presin interna de valor p.Consideramos una rebanada de la membrana normal a la directriz del

cilindro (figura 9), por lo que podremos considerarla como un hilo. La presin

pFigura 9: Membrana cilndrica sometida a presininterna p

hidrosttica de un fluido es normal a la superficie, por lo que la tensin esconstante. Aplicando la expresin (22):

T = pR.

2.3 Ecuaciones en coordenadas cartesianas 9

2.3. Ecuaciones en coordenadas cartesianas

Empleamos la siguiente nomenclatura para las componentes cartesianasde los vectores

r (x, y, z)q (qx, qy, qz)t

(dx

ds,dy

ds,dz

ds

).

Considerando que la tensin se puede expresar como T = T t, las ecuacionesde equilibrio (12) resultan en las tres ecuaciones escalares

d

ds

(T

dx

ds

)+ qx = 0

d

ds

(T

dy

ds

)+ qy = 0

d

ds

(T

dz

ds

)+ qz = 0 .

(3)

2.4. Casos de fuerzas conservativas

Supongamos que q, fuerza aplicada por unidad de longitud del hilo, sepuede obtener de un potencial:

q = grad(V ) dV = q dr . (4)Puesto que q es una fuerza por unidad de longitud, V tiene la dimensin deenerga por unidad de longitud, es decir de fuerza.

Proyectemos la ecuacin vectorial (1) sobre la tangente t:

dT t+ q ds t = 0es decir,

dT + q dr = 0;y empleando (4) se obtiene

dT = dV

e integrandoT = V + h (5)

donde h es una constante de integracin arbitraria.Esta expresin es de gran utilidad prctica, puesto que permite de forma

muy sencilla obtener la tensin en cada punto del hilo.

Ejemplo 2: Hilo homogneo sometido a su propio peso en el campo gravi-tatorio simplificado

2.5 Casos de fuerzas centrales o paralelas 10

x

z

bbTT

T 0

6

-

6

?a = T0q

SSo

7

Figura 10: Hilo sometido a supropio peso (campo conservativo)

Sea el peso de valor q por unidad de longitud del hilo (figura 10). Elpotencial gravitatorio es V = qz, por lo que aplicando (5) obtenemos latensin en cada punto del hilo como

T = qz + h

En la prctica conviene elegir un origen de coordenadas de forma que se anulela constante arbitraria h. Esto se consigue situando el origen a una distanciaa = T0/q por debajo del vrtice o punto ms bajo de la curva de equilibrio,siendo T0 la tensin del hilo en dicho vrtice. As resulta

T = qz. (6)

2.5. Casos de fuerzas centrales o paralelas

Si el campo de fuerzas aplicadas q pasa por un punto fijo, tomando elradio vector r desde dicho punto, se cumplir

r q = 0Multiplicando vectorialmente la ecuacin del equilibrio (1) por r,

r dT +:0

r q ds = 0pero

r dT = d(r T ):0dr Tya que T lleva la direccin de la tangente, T = T dr/ds. Se llega por tantoa

r T = cte. (7)Esta expresin indica que la curva de equilibrio ser plana, puesto que r esperpendicular a una direccin constante.

Supongamos ahora que el campo de fuerzas es paralelo a una direccin udada (q = qu). Multiplicando vectorialmente la ecuacin del equilibrio (1)por u

u dT +:0

u qds = 0

2.5 Casos de fuerzas centrales o paralelas 11

pero

u dT = d(u T ):0du Tya que u es constante. Se obtiene por tanto

u T = cte. (8)

Vemos pues que en este caso tambin ha de ser plana la curva por unrazonamiento similar al anterior. En realidad, podramos haber consideradoeste como un caso particular de fuerzas centrales, dirigidas hacia un puntoimpropio.

La expresin (8) indica adems que la componente de T normal a u esconstante; llamando a esta componente Tn,

Tn = T0 (cte.) (9)

Por otra parte, para evaluar la componente de T segn u, proyectamosla ecuacin del equilibrio (1) sobre esta direccin

dTu + q ds = 0

de donde

Tu = s0

q ds+ C (10)

Siendo C una constante de integracin.Si elegimos el origen de arcos (s = 0) en el punto del vrtice de la curva,

definido como aqul en el cual la tangente se perpendicular a u y por tantoTu = 0, se anula la constante de integracin:

Tu = s0

q ds

Ejemplo 3: Hilo homogneo sometido a su propio peso, bajo la accin gra-vitatoria simplificada

Se trata de un campo de fuerzas conservativo y paralelo. Denominamoslas componentes vertical y horizontal de la tensin Tz y Tx respectivamente(figura 11).

Si el peso del hilo por unidad de longitud es q, el campo de fuerzas serq = qk, por lo que

dTz = qds Tz = qs; (11)

Tx = T0 (cte) (12)

donde se ha elegido como origen de arcos (s = 0) el vrtice o punto ms bajode la curva, con tangente horizontal (Tz = 0).

Aptdo. 3. Configuraciones de equilibrio de cables 12

Figura 11: Hilo sometido a supropio peso

x

z

bb TTx

TzT

T 0

6

-

6

?a =

T0q

SSo

7-6

La tensin total es segn (6)

T = qz =T 2z + T

2x (13)

El origen de coordenadas se ha elegido a una distancia a por debajo delvrtice de la curva, de forma que la tensin ms baja, en el punto de tangentehorizontal, vale

T0 = qa (14)De las expresiones (11), (13) y (14) se deduce la relacin

z2 = s2 + a2. (15)

Esta condicin es una propiedad que cumple la curva de equilibrio del hilo,denominada catenaria. La determinacin precisa de la ecuacin de la cate-naria se realiza ms adelante (apartado 3.1).

3. Configuraciones de equilibrio de cables

3.1. Cable homogneo sometido a peso propio (catena-ria)

Se denomina catenaria la curva de equilibrio que adopta un hilo uniformesometido a su propio peso. Supongamos que ste vale q por unidad de longi-tud, es decir q = qk. Tomando el eje z como vertical y el eje x horizontal,las ecuaciones cartesianas del equilibrio (3) con Fx = 0 y Fz = q arrojan:

d

ds

(T

dx

ds

)= 0;

d

ds

(T

dz

ds

) q = 0.

De la primera ecuacin,

Tdx

dsTx

= cte Tx = T0 = cte .

3.1 Cable homogneo sometido a peso propio (catenaria) 13

Aplicando la regla de la cadena a la segunda ecuacin de equilibrio,

d

ds

[T

dz

dx

dx

ds

] q = 0,

y eliminando T en favor de T0,

d

ds

(T0

dz

dx

) q = 0.

Reorganizando trminos y aplicando de nuevo la regla de la cadena,

T0q

d

dx

(dz

dx

)dx

ds= 1. (16)

Llamando a def= T0/q (parmetro de la catenaria) y zdef= dz/dx, y conside-

randodx

ds=

dxdx2 + dz2

=1

1 + (z)2,

la ecuacin (16) se convierte en

a

d

dxz

1 + (z)2= 1

La primitiva de esta expresin es: a senh1(z). Integrando con la condicininicial que corresponde a situar el origen de abscisas en el vrtice o punto detangente horizontal,

z|x=0 = 0se obtiene

x = a senh1 z

o bien, invirtiendo la relacin

z = senhx

a.

Integrando de nuevo con la condicin inicial z|x=0 = a resulta finalmente

z = a coshx

a(17)

La configuracin de equilibrio puede verse en la figura 12. Debido a lasconstantes de integracin tomadas, el vrtice de la catenaria corresponde alas coordenadas (x = 0, z = a).

La tensin en un punto cualquiera, segn la frmula general (6) parafuerzas conservativas y paralelas, es

T = qa coshx

a(18)

3.1 Cable homogneo sometido a peso propio (catenaria) 14

Figura 12: Configuracin deun hilo sometido a su propiopeso (catenaria)

x

z

bb TTx = T0

TzT

T 0

6

-

6

?a =

T0q

SSo

7-6

3.1.1. Longitud del arco de catenaria

Obtengamos ahora la longitud del arco de la catenaria entre dos puntosdados. Para ello, integramos el elemento infinitesimal de arco ds :

ds2 = dx2 + dz2 = dx2(1 + (z)2

)= dx2

(1 + senh2

x

a

)= dx2 cosh2

x

a.

Por tanto, el arco s medido entre el vrtice (x = 0) y un punto cualquiera deabscisa x es

s =

x0

ds =

x0

cosh

ad = a senh

x

a. (19)

Observamos inmediatamente, aplicando la relacin entre funciones hiperb-licas (senh2 x+ 1 = cosh2 x), que

s2 = z2 a2

ecuacin que coincide con la deducida antes (15).Observemos tambin que, segn se dedujo en (11) y (14), las componentes

vertical y horizontal de la tensin son

Tz = qs = qa senhx

a,

Tx = T0 = qa.

3.1.2. Segmento desde el pie de la ordenada a la tangente

Demostraremos a continuacin una propiedad geomtrica interesante dela catenaria que en ocasiones puede resultar til. Sea P el pie de la ordenadade un punto P de la catenaria (figura 13), es decir la proyeccin de P sobreel eje Ox.

Llamando al ngulo que forma la tangente a la catenaria con la hori-zontal,

tg =dz

dx= senh

x

a

cos =1

1 + tg2 =

1

coshx

a

=a

z

3.2 Cable sometido a carga constante por unidad de abscisa (parbola) 15

Figura 13: La distancia P Q des-de el pie de la ordenada a la tan-gente a la catenaria es constan-te e igual al parmetro a de lamisma; la distancia PQ es igualal arco s entre P y O (ntese queel dibujo no est a escala, por loque en ste ambas magnitudes nocoinciden).

6

-x

z

b######

\\\\

Q

s

P

P

z

a

b-

M

O

considerando el tringulo rectngulo PQP (figura 13), obtenemos la distan-cia P Q desde el pie de la ordenada a la tangente:

P Q = z cos = a (cte)

Por otra parte, la distancia desde el punto P de la curva al punto Q vale

PQ =z2 (P Q)2 =

z2 a2 = s

Es decir, es igual al arco de catenaria medido desde el vrtice.

3.2. Cable sometido a carga constante por unidad deabscisa (parbola)

Un hilo sometido a carga vertical uniforme por unidad de abscisa x (coor-denada horizontal) adopta una parbola como configuracin de equilibrio.Como ejemplo ms caracterstico puede citarse el de un puente colgante, enque el peso del tablero es soportado por los cables mediante pndolas (figu-ra 14). Como se ha dicho, esta tipologa es la empleada en los puentes mslargos que existen en la actualidad (figura 2). El caso es distinto al del hilo

Figura 14: Puente colgante: ejem-plo de carga constante por unidadde abscisa.

sometido a peso propio, que forma una catenaria, aunque si el cable est muytenso ambas curvas se aproximan bastante. En este caso la parbola podraservir como una primera aproximacin a la catenaria.


Si el peso por unidad de abscisa es q, un elemento de cable de longitudds pesar q(dx/ds). Expresando las ecuaciones cartesianas del equilibrio (3):

d

ds

(T

dx

ds

)= 0;

d

ds

(T

dz

ds

) qdx

ds= 0.

De la primera ecuacin se deduce que la tensin horizontal es constante:

Tx = Tdx

ds= T0 (cte.)

Desarrollando la segunda ecuacin y empleando este resultado,

d

ds

(T

dz

dx

dx

ds

)=

d

ds

(T0

dz

dx

)= q

dx

ds.

Simplificando las derivadas, esta expresin equivale a

d

dx

(T0

dz

dx

)= q T0 d

2z

dx2= q.

Esta ltima es la ecuacin diferencial del equilibrio, que resulta particular-mente simple para integrar. Integrando dos veces obtenemos:

z =1

2

q

T0x2. (20)

Esta ecuacin corresponde a una parbola de eje vertical. Al integrar se hanescogido los ejes para anular las constantes de integracin, imponiendo

z|x=0 = 0;dz

dx

x=0

= 0,

es decir, el origen de los ejes est situado en el vrtice de la parbola (figu-ra 15), a diferencia de la catenaria (figura 12).

Figura 15: Hilo sometido a car-ga uniforme por unidad de abscisa(parbola)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

x

z

q bbT 0T 0

6

-

-

Anlogamente al caso de la catenaria, la tensin horizontal es constantepara todo el cable, puesto que no hay fuerzas horizontales sobre l. La tensin


mnima se produce en el vrtice de la parbola, donde la nica componentede la tensin es la horizontal, T = Tx = T0.

La tensin vertical vale, proyectando la ecuacin (1) sobre la vertical,

dTz + qzds = 0 dTz = qdxds

ds

e integrando, considerando que para x = 0 es Tz = 0,

Tz = qx

Esto equivale a decir que la tensin vertical es precisamente el peso del cableentre el vrtice (x = 0) y un punto genrico de abscisa x.

La tensin total es

T =T 20 + (qx)

2 (21)

siendo su valor mayor cuanto ms alejados estemos del vrtice.En este caso las fuerzas no provienen del potencial gravitatorio que se

deducira del peso uniforme del cable, por lo cual la tensin total no valeT = qz como en el caso de la catenaria. Sin embargo, podemos comprobarque provienen de un potencial V definido como

V =T 20 + 2q T0 z

En efecto las fuerzas se obtienen derivando V :

qz = V

z=

q1 + 2q

T0z

= qdxds

; Fx = V

x= 0

Por otra parte, empleando (21) y (20) se comprueba que resulta ser T = V ,de acuerdo con la expresin (5) deducida antes.

Ejemplo 4: Sea un cable sometido a una carga repartida por unidad deabscisa q, del cual conocemos su flecha f y la luz entre apoyos L a la mismaaltura (figura 16). Se desea calcular las tensiones mnimas y mximas enel cable. Solucionar de forma genrica y aplicar para los valores numricosq = 1 kg/m, L = 200 m, f = 20 m.

La configuracin de equilibrio es una parbola, por lo que su ecuacin esla (20):

z =1

2

q

T0x2.

Para x = L/2 es z = f , luego

T0 =1

2

q

zx2 =

1

8qL2

f


Figura 16: Ejemplo: cable some-tido a carga constante por unidadde abscisa

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

q

bb6

?

f

-L

La tensin mnima es por tanto

T0 =qL2

8f,

y la tensin mxima, aplicando (21) para x = L/2,

Tmax =

T 20 +

(qL

2

)2; Tmax = qL

2

L2

16f 2+ 1

Aplicando los datos numricos del enunciado, resulta

T0 = 250,0 kg; Tmax = 269,26 kg; S = 205,2121m.

Ejemplo 5: Supongamos ahora el mismo problema que en el ejemplo ante-rior 4 (cable de flecha f y luz L entre apoyos a la misma altura) pero concarga q constante por unidad de longitud del cable.

La curva de equilibrio es ahora una catenaria (17):

z = a coshx

a

Particularizando para la flecha f en x = L/2,

(a+ f) = a coshL

2a. (22)

Para resolver el problema es preciso solucionar la ecuacin anterior en a. Setrata de una ecuacin trascendente que carece de solucin analtica, debiendoresolverse por mtodos numricos3 para obtener el parmetro a de la catena-ria. Esto se puede realizar por diversos procedimientos: dicotoma, mtodo

3No es objeto de este curso de mecnica el estudio de los mtodos numricos de reso-lucin de ecuaciones; si se precisa, consultar algn texto de anlisis numrico, como p.ej.J. Puy: Algoritmos Numricos en Pascal, Servicio de Publicaciones de la E.T.S. de Ing.de Caminos de Madrid, o R.L. Burden y J.D. Faires: Anlisis Numrico, Grupo EditorialIberoamericana, 1985.


de Newton, etc. (este ltimo es el ms recomendado con carcter general).Otra alternativa es aproximar la solucin considerando la catenaria como unaparbola, tal y como se justifica ms abajo. Una vez obtenido el valor de a,los valores de la tensin se obtienen como:

T0 = qa (Tensin mnima, en el vrtice)Tmax = q(f + a) (Tensin mxima, en el apoyo)

En el caso que nos ocupa, resolviendo para los valores numricos del enun-ciado (vase ejemplo 4), resulta:

T0 = 253,2649 kg; Tmax = 273,2649 kg; S = 205,2374m.

3.2.1. Aproximacin de la catenaria por la parbola

Como se ha dicho antes, la parbola es una buena aproximacin de lacatenaria para hilos muy tendidos, es decir, en los que la pendiente mximasea pequea. Puede comprobarse esto desarrollando en serie la ecuacin dela catenaria en funcin del argumento (x/a):

zc = a coshx

a= a

[1 +

1

2

(xa

)2+

1

24

(xa

)4+

1

720

(xa

)6+O

(xa

)8].

El segundo trmino en el desarrollo anterior corresponde precisamente a laecuacin de la parbola (20), en la que se toma T0/q = a. El primer trminocorresponde a la traslacin vertical de ejes, ya que los de la catenaria setoman una distancia a por debajo del vrtice.

Esta propiedad permite, siempre que el parmetro (x/a) sea suficiente-mente pequeo, aproximar la catenaria por una parbola. Esta aproximacines tanto mejor cuanto ms baja sea la pendiente, ya que un hilo ms tensotiene un valor mayor de a = T0/q. De esta forma, pueden resolverse de formaaproximada con operaciones ms sencillas algunos problemas de catenarias.Asimismo, esta aproximacin sirve como un primer valor para comenzar lasiteraciones en una resolucin numrica aproximada de la ecuacin de la ca-tenaria (22).

3.2.2. Longitud de la parbola

Desarrollamos a continuacin el clculo de la longitud del hilo en el casode la parbola. Partimos de la ecuacin de la misma (20), en la que parasimplificar sustituimos T0 = qa, es decir:

z =1

2

x2

a.

La longitud se obtiene integrando el elemento de arco:

s =

x0

ds =

x0

1 + (z)2 dx =

x0

1 + (x/a)2 dx


Resolviendo la integral4, resulta:

s =1

2x

1 + (x/a)2 +a

2ln(xa

+

1 + (x/a)2). (23)

Este resultado representa la longitud del hilo parablico entre el vrtice (x =0) y un punto genrico de abscisa x. Como puede comprobarse, la expresinresulta ms difcil de obtener y engorrosa de trabajar que la que correspondaa la catenaria (cf. ecuacin (19)).

Para trabajar en la prctica, a menudo conviene desarrollar en serie lalongitud de la parbola (23), obtenindose:

s = x

[1 +

1

6

(xa

)2 1

40

(xa

)4+

1

112

(xa

)6+O

(xa

)8]. (24)

En los casos usuales basta con tomar los dos primeros trminos del desarrolloen serie, es decir

s x[1 +

1

6

(xa

)2]. (25)

Ejemplo 6: Obtener la longitud del hilo en una parbola de luz L y flechaf (figura 16).

La ecuacin de la parbola (20), particularizada para x = L/2, z = farroja:

f =1

2

T0q

(L/2)2, a = T0q

=1

8

L2

f.

Sustituyendo en la ecuacin (23), y teniendo en cuenta que la longitud delhilo es S = 2s|x=L/2, resulta:

S =1

2L

1 + 16(f/L)2 +1

8

L2

fln

(4f

L+

1 + 16(f/L)2).

Empleando el desarrollo en serie (24), resulta:

S = L

[1 +

8

3

(f

L

)2 32

5

(f

L

)4+

256

7

(f

L

)6+O

(f

L

)8]

L[

1 +8

3

(f

L

)2].

Ejemplo 7: Un cable de peso Q est anclado entre dos puntos a igual altura,a una determinada distancia horizontal L, de forma que su tensin horizontalvale H = 10Q. Se desea saber la rigidez geomtrica kG del cable respecto aldesplazamiento horizontal de un extremo, es decir, el aumento de la tensin

4Mediante el cambio t = senh(x/a) y haciendo la integral resultante por partes. Laexpresin final se obtiene teniendo en cuenta que senh1 x/a = ln(x/a+

1 + (x/a)2).


horizontal H producida para un desplazamiento unidad, supuesto el cableinextensible5. Resolver el problema de dos formas distintas, como catenariay empleando la aproximacin de la parbola.

Resolucin como catenaria. En primer lugar, expresamos la ecua-cin del peso del cable, llamando x = L/2:

Q/2 = qa senhx

a= 10Q senh

x

a.

Despejando en esta expresin se obtiene

a

x=

1

senh1(1/20)= 20,00832744. (26)

A continuacin, expresamos la ecuacin de la longitud del cable y la diferen-ciamos:

S = 2a senhx

a;

0 = 2da senhx

a+ a

(adx xda

a2

)cosh

x

a;

operando extraemos da/dx:

da

dx=

1

(x/a) tgh(x/a)Teniendo en cuenta que H = qa, x = L/2, obtenemos la expresin de larigidez:

kG =dH

dL=q

2

da

dx=

H/2a

(x/a) tgh(x/a)Sustituyendo el valor de a calculado antes (26), resulta

kG = 12021,99355Q

L

Resolucin como parbola. Tomando la aproximacin de la lon-gitud de la parbola (25), la expresin del peso del cable, siendo x = L/2,es

Q/2 = qS =10Q

ax

[1 +

1

6

(xa

)2].

5Se denomina esta razn como rigidez geomtrica, ya que la rigidez real tendr ademsuna contribucin adicional (rigidez elstica) debido a la elongacin del cable bajo carga,kE = EA/S, siendo E el mdulo elstico, A la seccin del cable, y S su longitud total; larigidez conjunta se calcular mediante 1/k = 1/kG + 1/kE .

3.3 Efecto de cargas puntuales 22

Esta expresin resulta en una ecuacin cbica en a, de la cual despejando lanica raz real se obtiene

a

x= 20,00832640 (27)

A continuacin, expresamos la ecuacin de la longitud del cable y la diferen-ciamos:

S

2= x

[1 +

1

6

(xa

)2];

0 = dx

[1 +

1

6

(xa

)2]+ x

1

3

x

a

adx xdaa2

;

operando extraemos da/dx:

da

dx=

1 + (x/a)2/2

(x/a)3/3

Teniendo en cuenta que H = qa, x = L/2, obtenemos la expresin de larigidez:

kG =dH

dL=q

2

da

dx=H

2a

1 + (x/a)2/2

(x/a)3/3

Sustituyendo el valor de a calculado antes (27), resulta

kG = 12024,99376Q

L.

Como puede comprobarse, resulta un valor bastante aproximado al obtenidorealizando el clculo como catenaria.

3.3. Efecto de cargas puntuales

En lo anterior se ha considerado tan slo el efecto de cargas continuasdistribuidas sobre el hilo, que dan lugar a la ecuacin de equilibrio (1). Enun caso general pueden existir tambin sobre el hilo cargas puntuales o con-centradas aisladas, que provengan de apoyos intermedios o de cargas suspen-didas.

El efecto que tienen las cargas puntuales sobre la configuracin del hiloes producir una discontinuidad en la tangente. En efecto, debido a una cargapuntual R, planteando el equilibrio en el nudo de aplicacin de la carga(figura 17),

T 1 + T 2 +R = 0Si no hay rozamiento en el punto de aplicacin de la carga, no se transmi-

ten fuerzas al hilo en direccin tangencial. La carga puntual R estar en labisectriz de las tangentes, al ser el mdulo de la tensin igual a ambos lados,T1 = T2.

3.4 Algunos tipos de condiciones de apoyo en los extremos 23

bb b

RT 1 T 2

6/

SSSSSSw

b6@@R

T 1 T 2

R

Figura 17: Las cargaspuntuales o concentra-das en un hilo flexibleproducen una disconti-nuidad en la tangente;en este caso R se apli-ca mediante un apo-yo deslizante o poleade radio muy pequeo,por lo cual se orientacomo bisectriz de T 1 yT 2, siendo igual el m-dulo de estas dos ten-siones.

El procedimiento general de anlisis para estos casos consiste en dividirel hilo en tramos entre cada dos apoyos o cargas puntuales, y solucionar cadatramo por separado, en funcin de las cargas distribuidas en l. Si estas cargasdistribuidas son el propio peso del hilo, se formarn arcos de catenaria.

Si lo nico que existen sobre el hilo son cargas puntuales y no hay cargasrepartidas, el hilo se configura formando tramos rectos entre cada dos cargas.La configuracin resultante se denomina polgono funicular.

Figura 18: Polgono funicular de-bido a cargas concentradas sobreun hilo, sin cargas repartidas; lascargas Pi se aplican en puntos fi-jos del hilo (no deslizantes), porlo que su direccin no es bisectrizdel hilo.

eCCCCCC@@@@@HHHHH

%%%%e

?

?? ?

?

P1

P2P3

P4

P5

3.4. Algunos tipos de condiciones de apoyo en los ex-tremos

Discutimos a continuacin, a ttulo de ejemplos y sin nimo de exhaus-tividad, algunas condiciones de extremo y su tratamiento esttico en lasecuaciones de los hilos.


3.4.1. Extremo con tensin mxima dada

Para materializar esta condicin basta colocar un contrapeso P en elextremo ms alto (figura 19), cuyo valor equivaldr a la tensin mxima enel cable. El contrapeso cuelga de una pequea polea lisa, que transmite lacarga P al cable, sin variar el mdulo, hasta la direccin de la tangente al hiloen el apoyo. Como la tensin en un cable es mxima en el punto ms alto,se obtiene un cable cuya tensin mxima es constante, independientementede las cargas intermedias que luego vaya a soportar.

P

T = P

Figura 19: Cable sometido a carga constante P enun extremo a travs de un contrapeso.

3.4.2. Extremo con tensin horizontal dada

Se materializa mediante el hilo anclado a un carrito, y otro hilo auxiliar(sin peso) unido a un contrapeso P a travs de una polea lisa (figura 20).La polea de la derecha transmite la carga P fija como tensin horizontal alcarrito. El apoyo del carrito proporciona la necesaria componente de tensinvertical en el extremo del hilo.

P

T0 = P

Tz

Figura 20: Cable sometido a tensinhorizontal dada.

3.4.3. Punto de anclaje con rozamiento

En el extremo apoyado sobre la recta la reaccin vertical es Tz y la ho-rizontal T0 (figura 21). La relacin entre las componentes de la tensin esTz T0 = Tz/ tg, por lo cual para el equilibrio habr de ser

1/ tg = cotg pi/2 .En el lmite estricto de equilibrio ser 1/ tg = .


T0 Tz

TzT

Figura 21: Cable anclado en una anillaque desliza en una recta horizontal conrozamiento.

3.4.4. Anclaje en bloque pesado con rozamiento

Se considera aqu un extremo A anclado a un bloque pesado sobre unsuelo rugoso, del cual tira hacia arriba el cable (figura 22). Para el equilibriodebe considerarse que la normal es N = mg TA,z, y de nuevo que el lmitede la tensin horizontal es N . En este caso se considera la masa del bloquecomo puntual y por lo tanto no se estudia el posible vuelco del mismo.

mg

T

A

N = mg TA,zT0 N

Figura 22: Cable anclado en bloque pesado so-bre suelo rugoso.

3.4.5. Carga puntual deslizante

Suponemos en este caso un cable con extremos anclados a igual altura,y una carga puntual situada en el mismo de forma que pueda deslizar libre-mente. Obviamente se tender a situar en el punto medio, de forma que seforme un ngulo entre las dos ramas de catenaria simtricas que se formana derecha e izquierda de la carga (figura 23). Debe tenerse en cuenta que elpunto A donde se sita la carga no es el vrtice de esta catenaria. Por elcontrario, con la convencin usual de considerar el origen de abscisas bajoel vrtice de la catenaria, la abscisa de este punto es a priori una incgnitadel problema (xA). Para relacionar sta con los datos del problema, expre-samos en forma de ecuacin que cada una de las catenarias simtricas debeequilibrar la mitad de la carga vertical:

TA,z =P

2= qa senh

xAa.


P

A

P/2

x

z

xA

A

Figura 23: Cable con extremos anclados a igual altura y sometido a una cargapuntual deslizante, que se sita en el medio formando dos arcos simtricosde catenaria.

3.4.6. Anclaje en puntos a distinta altura

Sea un cable homogneo, de peso unitario q, con anclajes en los puntos Ay B, situados a distinta altura (figura 24). Se conoce el valor de la reaccinhorizontal en uno de los anclajes H, la luz entre ambos L y el desnivel h.

A

x

z

h

H

L

B

Figura 24: Cable anclado en apoyos adistinta altura, sometido a carga hori-zontal constante H.

La tensin horizontal en el hilo es constante, de valor T0 = H, por lo quese conoce a = H/q. La incgnita es la abscisa xA del apoyo A en relacincon el vrtice de la catenaria, ya que xB = xA + L. Se plantea por tanto laecuacin siguiente:

a coshxA + L

a a cosh xA

a= h.

Para resolver esta ecuacin, desarrollamos el coseno hiperblico de la suma.Denominando u = cosh(xA/L) (incgnita) y = cosh(L/a) (dato), resulta:

u+2 1

u2 1 u = h

a,

Expresin que equivale a una ecuacin cuadrtica de fcil resolucin para u.

Aptdo. 4. Cables apoyados sobre superficies 27

4. Cables apoyados sobre superficies

4.1. Superficie lisa sin cargas

Una superficie lisa sobre la que se apoya un hilo proporciona una reac-cin que es normal a la superficie y al propio hilo. Puesto que las fuerzasexteriores estn siempre en el plano osculador (ecuacin (2)3), esta normales precisamente la normal principal del hilo.

Las curvas trazadas sobre una superficie para las que la normal principala la curva es en todo punto la normal a la superficie, son las denominadasgeodsicas6. Por lo tanto la curva de equilibrio que adopta un hilo apoyadosobre una superficie lisa, sin otras cargas exteriores, es una geodsica de lasuperficie.

Por ejemplo, en una esfera las geodsicas son siempre crculos mximos.En un cilindro, las geodsicas son bien secciones rectas normales al eje, biengeneratrices, o bien hlices.

Observaciones:

Al no existir fuerza tangencial, de (2) se deduce que la tensin en elhilo es constante.

Tambin de (2) se deduce que la reaccin normal sobre la superficie

esT

R, siendo R el radio de curvatura del hilo. Ntese que sta es la

reaccin por unidad de longitud del hilo.

4.2. Superficie lisa con cargas

Consideremos ahora, que adems de la reaccin normal a la superficie,actan unas cargas exteriores de valor q por unidad de longitud del hilo.

LlamemosQ a la reaccin normal de la superficie, que ahora no coincidirnecesariamente con la normal principal del hilo, aunque seguir siendo normala este (al ser normal a la superficie tambin es normal a cualquier curva sobrela misma).

Denominamos n a la normal principal al hilo, b a la binormal, y N a lanormal a la superficie. Todos estos vectores son versores unitarios. Sea elngulo que forman n y N :

n N = cos

La reaccin vale (figura 25)Q = QN

6 Curso de Mecnica, J.M. Goicolea (2010) apartado 2.5, o D.J. Struik, GeometraDiferencial Clsica, ed. Aguilar, (apartado 2.5).

4.2 Superficie lisa con cargas 28

Figura 25: Hilo sobre superficielisa con cargas exteriores FFF : lareaccin normal de la superficieN no es necesariamente la nor-mal principal al hilo.

bCCCCCCO

@@I

7

CCCCO

Q

N

bn

t

-

y en componentes Q cos, componente segn n

Q sen, componente segn b

Escribimos las ecuaciones de equilibrio en las direcciones del triedro in-trnseco (2)

0 = qt +dT

ds

0 = qn +Q cos +T

R0 = qb +Q sen

(28)

Proyectamos stas sobre la normal a la superficie, N , multiplicando la2.a ecuacin por cos y la 3.a por sen:

qn cos + qb sen = qN

+Q+T

Rcos = 0

Apliquemos ahora el Teorema de Meusnier de geometra diferencial7. Esteafirma que para una curva sobre una superficie, con radio de curvatura R(de la curva), el radio de curvatura Rn de la seccin normal a la superficieque es tangente a en ese punto verifica

Rn cos = R,

por lo que podemos escribir la ecuacin anterior como

qN +Q+T

Rn= 0 (29)

siendo Rn el radio de curvatura de la seccin normal a la superficie tangenteal hilo en cada punto.

7 D.J. Struik, Geometra Diferencial Clsica, ed. Aguilar, (apartado 2.5).

4.3 Enrollamiento sobre tambor rugoso 29

Ejemplo 8: Hilo homogneo pesado, situado sobre un paralelo horizontalen una esfera lisa, en una latitud (figura 26).

R

Q

bN

n

Figura 26: Hilo pesado situado sobreuna esfera lisa, en un paralelo de lati-tud .

La normal principal del hilo n est dirigida hacia el centro del paralelo,la normal a la superficie N hacia el centro de la esfera, y la binormal bes perpendicular al plano del paralelo, es decir vertical. La carga del pesodistribuido es q = q b. Denominando Q = QN a la reaccin de la esferasobre el hilo, la ecuacin de equilibrio en la direccin de b (283) arroja:

Q sen + q = 0 Q = qsen

.

Por otra parte, la ecuacin de equilibrio en la direccin N (29) conduce a:

q senQ+ TR

= 0 T = qR(

1

sen sen

)= qR cos cotg.

4.3. Enrollamiento sobre tambor rugoso

Si el hilo est apoyado sobre una superficie rugosa, se producen fuerzastangenciales debido al rozamiento y el problema se complica considerable-mente. En principio se podra tratar como el caso estudiado en el apartadoanterior, considerando las fuerzas de rozamiento como cargas aplicadas q. Sinembargo las fuerzas de rozamiento son por lo general desconocidas a prio-ri, y definidas por desigualdades (R N), lo cual complica an ms sutratamiento.

Un caso particular importante y que tiene solucin analtica es el del enro-llamiento sobre un tambor rugoso. Haremos para ello las siguientes hiptesis:

1. No existen cargas exteriores aplicadas sobre el hilo;

2. El tambor tiene una seccin recta convexa (no es necesario exigir questa sea circular);

4.3 Enrollamiento sobre tambor rugoso 30

3. El hilo se enrolla segn una seccin recta del tambor.

Se desea calcular la situacin lmite del equilibrio, cuando al tirar de unextremo ms que del otro el hilo est a punto de deslizar sobre el tambor.En esta situacin lmite, por ser inextensible el hilo, el rozamiento se agotasimultneamente en toda la longitud del hilo apoyada sobre el tambor. Supo-nemos que se est tirando desde un extremo con una tensin T , mientras queen el origen existe una tensin T0 fija. Por tanto el rozamiento se moviliza ensentido contrario a T (figura 27).

Figura 27: Hilo enrollado sobreun tambor rugoso, en el cual se ti-ra desde T , en situacin de equili-brio estricto (a punto de deslizar)

T

Q

T0

qnn

Planteamos las ecuaciones de equilibrio (2), denominando qn la reaccinnormal del tambor (figura 27).

Segn la tangente:dT

ds qn = 0, (30)

Segn la normal:T

R qn = 0. (31)

El signo negativo de qn proviene de considerar sentido positivo el opuesto ala normal n, es decir hacia el lado convexo del tambor.

De (31) obtenemos qn = T/R, por lo que de (30)dT

ds=

T

R,

y separando variablesdT

T=

ds

R= d.

Integramos entre dos puntos, el origen = 0, donde suponemos que latensin vale T = T0, y un punto genrico donde la tensin vale T :

T = T0e . (32)

Esta frmula indica el aumento de la tensin producido por el rozamiento,desde un punto en = 0 con tensin T0, hasta un punto en que el hilo se haenrollado un ngulo , desde el que se tira con tensin T > T0.

1 Conceptos e hiptesis bsicas1.1 Los cables en la mecnica estructural1.2 Hiptesis de los modelos de cables

2 Ecuaciones de equilibrio bajo cargas continuas2.1 Ecuacin vectorial del equilibrio2.2 Ecuaciones en coordenadas intrnsecas2.3 Ecuaciones en coordenadas cartesianas2.4 Casos de fuerzas conservativas2.5 Casos de fuerzas centrales o paralelas

3 Configuraciones de equilibrio de cables3.1 Cable homogneo sometido a peso propio (catenaria)3.2 Cable sometido a carga constante por unidad de abscisa (parbola)3.3 Efecto de cargas puntuales3.4 Algunos tipos de condiciones de apoyo en los extremos

4 Cables apoyados sobre superficies4.1 Superficie lisa sin cargas4.2 Superficie lisa con cargas4.3 Enrollamiento sobre tambor rugoso

ecuaciones generales de cables.pdf

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