Ecuaciones generales(Elasticidad 2D)

Método de los Elementos Finitos para Análisis Estructural

1

IntroducciónObjetivo:

Obtener una solución numérica aproximada a problemas de elasticidad de medios continuos, válida a efectos ingenieriles.

Pioneros (estructuras planas ):Argyris y Kelsey, Stuttgart, 1955.Turner, Clough, Martin y Topp, Boeing, 1956.

Generalizado a otros dominios: calor, CFD...

2

Definición del continuo (2D)Dominio continuo plano (XY)Espesor s/Z pequeñoFuerzas contenidas en el plano XYDeformaciones del sistema continuo:

( , )

( , )

u x y

v x y

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭u

3

Discretización del continuoDividido en elementos normalizados, unidos en nudosHipótesis de interpolación de deformaciones

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

u N x y U N x y U N x y U

v N x y V N x y V N x y V

= + +

= + +

1

1

1 2 3 2

1 2 3 2

3

3

0 0 0

0 0 0

U

V

u N N N U

v N N N V

U

V

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭Incógnitas básicasFunciones de interpolación

= eu N δ

u

v

U3

U2

V2

V1U1

V3

4

Funciones de interpolación de deformaciones

Definidas en el interior del elemento

Deben cumplir:

( , , ) 1

( , , ) 0 ( )i i i i

i j j j

N x y z

N x y z i j

=

= ≠

Ni(x,y)

1

i

=

=

∑∑

( , )

( , )

i i

i i

u N x y U

v N x y V

5

Deformaciones unitarias (pequeñas)

e= =u Nε ∂ ∂ δHipótesis MEF

εxεx

εy

εy

γxy

γxy

x

y

xy

uxvy

u vy x

∂∂ε∂

ε∂

γ∂ ∂∂ ∂

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

ε

0

0

xu

vy

y x

∂∂

∂∂

∂ ∂∂ ∂

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

u∂

e= Bε δ

6

Deformaciones unitarias. Matriz [B]

1

1

0

0 ... ... 00

0 ... ... 0

n

n

xN N

N Ny

y x

⎡ ⎤∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

B N∂

1 2... n

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦B B B B

e= Bε δ

1 2 1

1

1 2

1 1 2 2

0 0 ... 0

...0 0 ... 0

...

n

x

ny

nxyn n

n

N N UNx x x V

N N Ny y y

UN N N N N N

Vy x y x y x

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ε

∂ ∂ ∂ε

∂ ∂ ∂γ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦

Tamaño : 3 filas x ne columnas

7

Tensiones (estado de tensión plana)Tensión Z nula (espesor z pequeño)Deformación unitaria Z no nula

x

y

xy

σστ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

σ

X

Y

σxσx

σy

σy

τxy

τxy

Z

Y

σy

σy

σz=0εz

8

Ecuación constitutiva (I)Material elástico lineal:

2

1 0

1 01

10 0

2

x x

y y

xy xy

Ev

νσ εσ ν εσ γν

⎡ ⎤⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

σ

ε

= Dσ ε

( )2z x y

λε ε ε

λ μ−

= ++

9

Ecuación constitutiva (II)

0 0( )= − +Dσ ε ε σ

Def. unitarias térmicas

En general (material lineal):

Tensiones iniciales0σ 0ε

σ

ε

0

0 0

0 0

Tx

Ty

Txy

T

T

αεε αγ

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭

ε

10

Equilibrio de un elemento (I)

Fuerzas actuantes:De volumenSobre la superficie exteriorEn la conexión interiorPuntuales en los nudos e

NP

( , )

( , )

sx

ssy

q x y

q x y

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭q

( , )

( , )

vx

vvy

q x y

q x y

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭q

( , )

( , )

cx

Ccy

q x y

q x y

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭q

vq

sqcq

qvqc

qs

PN

11

Equilibrio de un elemento (II)

T eT eN

v

W dvδ δ δ= +∫ u q Pδ

qvqc

qs

PN

u

e

v

Trabajo virtual de las fuerzas

e T T T eT ev s c N

v s c

W dv ds dsδ δ δ δ δ= + + +∫ ∫ ∫u q u q u q Pδ

q

W

W

uu

12

Equilibrio de un elemento (III)

e eW Uδ δ=

= eu N δ e= Bε δ

Principio del Trabajo Virtual

T T T eT e Tv s c N

v s c v

dv ds ds dvδ δ δ δ δ+ + + =∫ ∫ ∫ ∫u q u q u q Pδ ε σ

eδ δ=u N δ

Discretización por el MEFeδ δ= Bε δ

q

W

W

uu

U

U

13

Equilibrio de un elemento (IV)

eT T T T e eT Tv s c N

v s c v

dv ds ds dvδ δ⎡ ⎤⎢ ⎥+ + + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫N q N q N q P Bδ δ σ

Principio del Trabajo Virtual discretizado

ecP

T T e e Tv s c N

v s v

dv ds dv+ + + =∫ ∫ ∫N q N q P P B σ

Fuerzas nodalesde conexión(desconocidas)

eδδPara cualquier

qc

PC

14

Equilibrio de un elemento (V)

T T e e Tv s c N

v s v

dv ds dv+ + + =∫ ∫ ∫N q N q P P B σ

0 0( )T T e e Tv s c N

v s v

dv ds dv+ + + = − +∫ ∫ ∫N q N q P P B D Dε ε σ

Sustituyendo σ

Sustituyendo ε

0 0( )T T e e T ev s c N

v s v

dv ds dv+ + + = − +∫ ∫ ∫N q N q P P B DB Dδ ε σ

Reordenando (deformaciones a la izda.)

e= Bε δ

15

Equilibrio del elemento

0 0

T e

v

T T T T e ev s c N

v s v v

dv

dv ds dv dv

=

+ + − + +

∫

∫ ∫ ∫ ∫

B D B

N q N q B D B P P

δ

ε σ

Matriz de rigidez del elemento

e T

v

dv=∫K B D B1

1... ...

T

n

Tn

dv

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫B

K D B B

B

Propiedades y significado físico habitualTamaño ne

16

Fuerzas nodales equivalentes (I)

qv

PvFuerzas de volumen

e Tv v

v

dv= ∫P N q

Fuerzas de superficie

e Ts s

s

ds=∫P N qqs

Ps

17

Fuerzas nodales equivalentes (II)Deformaciones unitarias iniciales (temperaturas)

0e TT

v

dv= ∫P B D ε

Tensiones iniciales (residuales)

0e Tb

v

dv=−∫P B σ

18

Ecuación de equilibrio

e e e e e e e ev s T b c N= + + + + +K P P P P P Pδ

Equilibrio del conjunto: ensamblando

v s T b N= + + + +K P P P P PΔ

Se cancelan entre los elementos al ensamblarlos (?)

Equilibrio del elemento “e”

AB

PcABPc

19

ObservaciónNo se ha demostrado que se anulen las fuerzas de conexión entre los elementos al ensamblar los elementos entre sí.De hecho las tensiones en las fronteras entre dos elementos son distintas en uno y otro elemento (tensiones discontinuas), luegolas fuerzas de conexión en las caras no son iguales ni por lo tanto se anulan.Sin embargo es lícito anularlas si se considera que el trabajo virtual de dichas fuerzas de conexión sea igual y de signo contrario en los dos elementos unidos. Para garantizar que este trabajo virtual total en las fronteras de los elementos unidos se impondrá la condición de que la energía acumulada en dichas fronteras sea nula.