ecuaciones diferenciales exactas esp. maestrante. daniel sáenz c

ECUACIONES DIFERENCIALES

EXACTAS

Esp. Maestrante. Daniel Sáenz C

Sea una función continua para la cual existen sus derivadas parciales, la expresión

Se denomina la diferencial total

DIFERENCIAL TOTAL

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 2


Encuentre la diferencial total de

Buscamos las derivadas parciales

Como la diferencial total es

Ejemplo 1.


Reemplazando se tiene

Ejemplo 1.



Buscamos las derivadas parciales

Remplazando en la diferencial total

Ejemplo 2.



Ejemplo 3.


Si la función es constante, ,la diferencial total es igual a cero

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Una ecuación diferencial de la forma

Se denomina EXACTA , si es la diferencial total de una función constante. Es decir si

Definición

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

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Por el teorema de las segundas derivadas parciales tenemos que las derivadas cruzadas

son iguales, es decir

Criterio para verificar si una E.D es EXACTA


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Como

Entonces


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Con lo que se tiene


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Verificar si la ecuación diferencial dada es exacta.

Ejemplo

𝑴 (𝒙 , 𝒚 ) 𝑵 (𝒙 , 𝒚 )

𝑴 𝒚=𝟐 𝒙 𝑵 𝒙=𝟐 𝒙

𝑴 𝒚=𝑵𝒙 𝑬 .𝑫 .𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.


Verificar si la ecuación diferencial dada es exacta.

Ejemplo

𝑴 (𝒙 , 𝒚 ) 𝑵 (𝒙 , 𝒚 )

𝑴 𝒚=𝟒 𝒙+𝟒 𝒚 𝑵 𝒙=𝟒 𝒙+𝟐 𝒚

𝑴 𝒚≠𝑵 𝒙 𝑬 .𝑫 .𝑵𝑶 𝑬𝑺𝑬𝑿𝑨𝑪𝑻𝑨

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Diga cuales de las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas

ACTIVIDAD

0)12(2 22 dyeyxdxyexy xx

0)2(23 322 dyyLnxySenxdxxyxCosxy

0)(2 2 dyxSecyxdxTanyxy


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Sea la ecuación diferencial EXACTA

Para encontrar la solución, se tienen en cuenta lo siguiente.1. Hacemos

SOLUCION DE LA ECUACION DIFERENCIAL EXACTA


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2. Integramos con respecto a x, tomando la constante de integración como una función de y (g(y) )


18

3. El resultado de la integral lo derivamos con respecto a y, e igualamos a la función

4. Simplificamos e integramos con respecto a y, para determinar la función .

5. Hacemos la función , y reemplazamos la función en el resultado de la primer integral, para obtener la solución


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Solucionar la ecuación diferencial exacta

1. Hacemos

Ejemplo

𝑴 (𝒙 , 𝒚 ) N



2. Integramos con respecto a x.

3. El resultado anterior lo derivamos con respecto a y e igualamos a N(x,y)

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Simplificando

Integrando con respecto a y

La solución es:


22

1. Hacemos

2. Integramos con respecto a x.

SOLUCIONAR 0)12(2 22 dyeyxdxyexy xx


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3. Derivamos con respecto a y

4. Integrando con respecto a y



La solución es

𝑥2𝑦 2+𝑦 𝑒𝑥− 𝑦=𝐶

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Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales exactas

ACTIVIDAD


26ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C.

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Buscar parejas de diferenciales que sean la diferencial de un termino

Ejemplo solucionar

Eliminamos signos de agrupación

Otra forma de solución es

(2 𝑥 𝑦2+4 𝑦 )𝑑𝑥+(2 𝑥2𝑦+4 𝑥 )𝑑𝑦=0


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Agrupamos el primer con el tercer termino, y el segundo con el cuarto

Se derivó con respecto a x, la contante es

Se derivó con respecto a y, la contante es



Se derivó una

constante



Con los términos constantes de cada diferencial, se forma el termino que buscamos al cual se le calculo el diferencial total

𝑑 (𝑥2 𝑦2 )+¿ = 𝑑 (𝐶 )

𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 :𝑥2 𝑦2+4 𝑥𝑦=𝐶

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Solucionar

¿(8𝑥 𝑦2+6 𝑦 𝑒2𝑥𝑦+6 )𝑑𝑥+ (8 𝑥2 𝑦+6 𝑥𝑒2𝑥𝑦−8 )𝑑𝑦=0

¿

(6 𝑥𝑦+4 𝑦2+2 𝑦 )𝑑𝑥+(3𝑥2+8 𝑥𝑦+2 𝑥 )𝑑𝑦=0


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