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Vorlesungsskript Physik I frIngenieure

Othmar MartiAbteilung Experimentelle Physik

Universitt Ulm

18. November 2005

Inhaltsverzeichnis

I. Vorbemerkungen 91. bungsbltter und Folien 13

2. Einleitung 172.1. Allgemeines zur Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Einheitensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3. Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4. Dimensionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5. Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

II. Mechanik starrer Krper 273. Kinematik 29

3.1. Bewegung in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.1. Momentangeschwindigkeit und Beschleunigung . . . . . . . . 30

3.2. Bewegung in zwei und drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.1. Vektoren und Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.2. Bsp: Wurfbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.3. Gleichfrmige Kreisbewegung (mit vektorieller Darstellung) . 383.2.4. Nichtkommutativitt endlicher Drehungen . . . . . . . . . . 39

4. Dynamik, die Newtonschen Axiome 434.1. Trgheitsgesetz: Erstes Newtonsches Axiom . . . . . . . . . . . . . 434.2. Kraft, Masse,Impuls: Zweites Newtonsches Axiom . . . . . . . . . . 44

4.2.1. Masse (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.2. Kraft (F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.3. Arten von Krften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.4. Beispiele zur Lsung von Bewegungsproblemen . . . . . . . . 47

4.3. Anwendungen der Newtonschen Axiome . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.1. Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.2. d'Alembert'sches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.3. Bewegung mehrerer miteinander verbundener Krper . . . . 554.3.4. Krfte in bewegten Bezugssystemen . . . . . . . . . . . . . . 57

Inhaltsverzeichnis 4

4.3.5. Numerische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4. Arbeit,Energie,Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4.1. Arbeit und Energie bei konstanter Kraft, kinetische Energie 614.4.2. Arbeit und Energie bei vernderlicher Kraft . . . . . . . . . 634.4.3. Allgemeine Formulierung der Arbeit bei 3 Dimensionen . . . 654.4.4. Potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4.5. Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4.6. Verallgemeinerter Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.4.7. Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.5. Teilchensysteme und Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.5.1. Massenmittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.5.2. Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.5.3. Massenmittelpunkt als Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . 824.5.4. Kinetische Energie eines Teilchensystems . . . . . . . . . . . 834.5.5. Stsse in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.5.6. Stsse in drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.5.7. Kraftstoss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.5.8. Rckstossantriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.6. Drehbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.6.1. Winkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung . 904.6.2. Drehmoment und Trgheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . 914.6.3. Kinetische Energie der Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . 944.6.4. Berechnung der Trgheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . 944.6.5. Drehimpuls und Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . 964.6.6. Rollende Krper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.6.7. Vektorcharakter von Drehgrssen . . . . . . . . . . . . . . . 1014.6.8. Drehungen um beliebige Achsen: Trgheitstensor . . . . . . 1044.6.9. Kreiselbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.7. Statische Gleichgewichte von starren Krpern . . . . . . . . . . . . 1074.7.1. Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.7.2. Krftepaare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.7.3. Stabilitt des Gleichgewichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.8. Schwerkraft oder Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.8.1. Keplersche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.8.2. Newtonsches Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.8.3. Schwere und trge Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.8.4. Raumfahrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.8.5. Potentielle Energie, Gesamtenergie und Umlaufbahnen . . . 118

III. Mechanik deformierbarer fester Krper 121

4 c2005 University of Ulm, Othmar Marti

5 Inhaltsverzeichnis

5. Skalare Elastomechanik 1255.1. Dehnung und Kompression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2. Scherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.3. Verdrillung eines Drahtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.4. Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.5. Beziehung zwischen den elastischen Konstanten . . . . . . . . . . . 1315.6. Anelastisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.7. Elastomechanik anisotroper Krper . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

IV. Spezielle Relativittstheorie 1376. Bezugssysteme 141

6.1. Michelson-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.2. Die Einsteinschen Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.3. Punktereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.4. Rckdatierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7. Relativistische Mechanik 1477.1. Relativitt der Gleichzeitigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.1.1. Massstabsvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.1.2. Uhrenvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.1.3. Der transversale relativistische Dopplereekt . . . . . . . . . 1537.1.4. Addition der Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 1547.1.5. Messung der Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.1.6. Bewegte Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.1.7. Masse-Energie-quivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.2. Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.2.1. Vergleich der Lorentz-Transformation mit der Galilei-Transformation169

V. Schwingungen und Wellen 1718. Schwingungen 173

8.1. Harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.1.1. Harmonische Schwingungen und Kreisbewegung . . . . . . . 1758.1.2. Energiebilanz bei harmonischen Schwingungen . . . . . . . . 1768.1.3. Feder-Masse-System im Schwerefeld . . . . . . . . . . . . . . 1778.1.4. Pendel im Schwerefeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1798.1.5. Bewegung in der Nhe von Gleichgewichtspunkten . . . . . . 182

8.2. Gedmpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.2.1. Gte des schwingungsfhigen Systems . . . . . . . . . . . . . 184

8.3. Erzwungene (gedmpfte) Schwingung und Resonanz . . . . . . . . . 1858.4. berlagerung von Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

8.4.1. Schwingungen in unterschiedliche Richtungen . . . . . . . . 189

c2005 University of Ulm, Othmar Marti 5


8.4.2. Schwingungen gleicher Richtung und Frequenz, aber unter-schiedlicher Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

8.4.3. Schwingungen gleicher Richtung, aber leicht unterschiedli-cher Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

8.4.4. Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918.5. Gekoppelte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.6. Verallgemeinerung: Fundamental- oder Eigenschwingungen . . . . . 198

9. Wellen 2019.1. Wellen in 1 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

9.1.1. Wellenberge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019.1.2. Ausbreitungsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059.1.3. Harmonische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2069.1.4. Energiebertrag bei Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079.1.5. Superposition und Interferenz harmonischer Wellen . . . . . 208

9.2. Wellen in 2 und mehr Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2109.2.1. Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2109.2.2. Kugelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2119.2.3. Interferenz am Beispiel von Wasserwellen . . . . . . . . . . . 2129.2.4. Beugung am Beispiel von Wasserwellen . . . . . . . . . . . . 216

10.Optische Phnomene 22110.1. Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

10.1.1. Polarisation durch Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . 22110.1.2. Polarisation durch Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22310.1.3. Polarisation durch Reexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10.2. Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22510.3. Absorption, Dispersion und Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

10.3.1. Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22510.3.2. Dispersion und Kommunikation . . . . . . . . . . . . . . . . 22610.3.3. Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

10.4. Welle-Teilchen-Dualismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

VI. Geometrische Optik 235

11.Reexion und Brechung 23911.1. Lichtstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23911.2. Reexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23911.3. Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24111.4. Totalreexion und optische Kommunikation . . . . . . . . . . . . . 24211.5. Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242


7 Inhaltsverzeichnis

12.Optische Instrumente 24512.1. Spiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24512.2. Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

12.2.1. Brechung an Kugelchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24712.2.2. Abbildungsmassstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24812.2.3. Dnne Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24812.2.4. Dicke Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

12.3. Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25012.4. Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25012.5. Kollimationsoptik fr Laserdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25112.6. Beamer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

VII.Anhang 25313.Dierentiation und Integration 255

13.1. Dierentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25513.2. Dierentiation einfacher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25613.3. Taylorreihe und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25713.4. Einige Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

14.Rechnen mit Integralen 25914.1. Unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

15.Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken 263

16.Simulation von Photonenstatistiken 26516.1. Delphi-Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26516.2. Maple 7 -Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

17.Korrekturen 269

Index 269


Teil I.

Vorbemerkungen

11

Mitteilungen

Prfungen sind, gemss Studienordnungen, studienbegleitend. Nach Semes-terende wird eine Klausur geschrieben. Diese zhlt zur Vordiplomsnote.

Am 19. Dezember 2001 wird whrend der Vorlesungszeit eine unverbindli-che Probeklausur geschrieben. Themen der Probeklausur werden die TeileI bis III sein. Diese Probeklausur soll Ihnen helfen, sich an Klausuren zugewhnen.

Whrend den bungsstunden werden Aufgaben unter Aufsicht und Anlei-tung des Assistenten gelst.

Zustzlich gibt es Hausaufgaben, die von Assistenten korrigiert werden.

Die Zulassung zur Klausur wird erteilt, wenn Sie an mindestens 13 bungs-stunden teilgenommen haben und wenn Sie mindestens 80% der Hausauf-gaben (vollstndig oder teilweise gelst) abgegeben haben. Diese Zahlen re-duzieren sich, wenn Sie aus Grnden, die Sie nicht zu vertreten haben (mitNachweis!), nicht in der Lage waren die geforderten Leistungen zu erbringen.

Am 12.2. 2002 gibt es eine Faschingsvorlesung.

Klausur zur Vorlesung statt.

Fragestunde zur Klausur: 25. 2. 2002, 10:00 H2 (voraussichtlich) Fragestunde zur Klausur: 4. 3. 2002, 10:00 H2 (voraussichtlich) Datum: 7. 3. 2002 Uhrzeit: 9:00 bis 11:00 Ort: 43.2.101/104 Hilfsmittel: Taschenrechner Anmeldung: bis 28. 2. 2002 Aufgabenblatt und Lsungen (HTML)1 oder (PDF)2

Resultate3

Aufgabenblatt und Lsungen der Nachklausur (HTML)4 oder (PDF)5

Resultate der Nachklausur6

Kontakte:1Ueb/klausur/index.html2Ueb/klausur/klausur.pdf3resultat.htm4Ueb/nklausur/index.html5Ueb/nklausur/nachklausur.pdf6resultatnk.htm


Hier gibt es einmal, /zumindest, ein Inhaltsverzeichnis.

file:Ueb/klausur/index.htmlfile:resultat.htmfile:Ueb/nklausur/index.htmlfile:resultatnk.htm

12

Vorlesung Prof. Dr. sc. nat/ETH Zrich Othmar Marti, N25,541,[email protected], Tel. 23011

Vorlesungsassistenz Prof. Dr. Martin Pietralla,[email protected]

bungsgruppen Manuel Gonalves,[email protected] Imhof, [email protected] Schieferdecker, [email protected]

7mailto:othmar.marti@phys ik.uni-ulm.de8mailto:martin.pietra [email protected]:manuel.goncal [email protected]

10mailto:charly.imhof@phys ik.uni-ulm.de11mailto:holger.s [email protected]


mailto:othmar.marti@phys ik.uni-ulm.demailto:martin.pietra [email protected]:manuel.goncal [email protected]:charly.imhof@phys ik.uni-ulm.demailto:holger.s [email protected]

1. bungsbltter und Folienbungsbltter

bungsblatt 1 vom 16. 10. 2001 (HTML oder PDF) bungsblatt 2 vom 23. 10. 2001 (HTML oder PDF) bungsblatt 3 vom 30. 10. 2001 (HTML oder PDF) bungsblatt 4 vom 06. 11. 2001 (HTML oder PDF) bungsblatt 5 vom 13. 11. 2001 (HTML oder PDF) bungsblatt 6 vom 20. 11. 2001 (HTML oder PDF) bungsblatt 7 vom 27. 11. 2001 (HTML oder PDF) bungsblatt 8 vom 04. 12. 2001 (HTML oder PDF) bungsblatt 9 vom 11. 12. 2001 (HTML oder PDF) bungsblatt 10 vom 18. 12. 2001 (HTML oder PDF) Probeklausur vom 19. 12. 2001 (HTML)1 oder (PDF)2

bungsblatt 11 vom 8. 1. 2002 (HTML oder PDF) bungsblatt 12 vom 15. 1. 2002 (HTML oder PDF) bungsblatt 13 vom 22. 1. 2002 (HTML oder PDF) bungsblatt 14 vom 29. 1. 2002 (HTML oder PDF) bungsblatt 15 vom 5. 2. 2002 (HTML oder PDF) bungsblatt 16 vom 12. 2. 2002 (HTML oder PDF) Klausur vom 7. 3. 2002 (HTML)3 oder (PDF)4

Nachklausur vom 12. 4. 2002 (HTML)5 oder (PDF)61Ueb/ue0/index.html2Ueb/ue0/uebungsblatt0.pdf3Ueb/klausur/index.html4Ueb/klausur/klausur.pdf5Ueb/nklausur/index.html6Ueb/nklausur/nachklausur.pdf

file:ueb/ue1/index.htmlfile:ueb/ue2/index.htmlfile:ueb/ue3/index.htmlfile:ueb/ue4/index.htmlfile:ueb/ue5/index.htmlfile:ueb/ue6/index.htmlfile:ueb/ue7/index.htmlfile:ueb/ue8/index.htmlfile:ueb/ue9/index.htmlfile:ueb/ue10/index.htmlfile:Ueb/ue0/index.htmlfile:ueb/ue11/index.htmlfile:ueb/ue12/index.htmlfile:ueb/ue13/index.htmlfile:ueb/ue14/index.htmlfile:ueb/ue15/index.htmlfile:ueb/ue16/index.htmlfile:Ueb/klausur/index.htmlfile:Ueb/nklausur/index.html

bungsbltter und Folien 14

Folien

Folien zur Vorlesung am 16. 10. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 17. 10. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 23. 10. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 24. 10. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 30. 10. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 31. 10. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 06. 11. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 07. 11. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 13. 11. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 14. 11. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 20. 11. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 21. 11. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 27. 11. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 28. 11. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 04. 12. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 05. 12. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 11. 12. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 12. 12. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 18. 12. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 19. 12. 2001 PDF Folien zur Vorlesung am 08. 01. 2002 PDF Folien zur Vorlesung am 09. 01. 2002 PDF Folien zur Vorlesung am 15. 01. 2002 PDF Folien zur Vorlesung am 22. 01. 2002 PDF Folien zur Vorlesung am 29. 01. 2002 PDF Folien zur Vorlesung am 30. 01. 2002 PDF


15

Folien zur Vorlesung am 05. 02. 2002 PDF Folien zur Vorlesung am 06. 02. 2002 PDF Folien zur Vorlesung am 13. 02. 2002 PDFbungsbltter und Folien werden in der Regel am Vortrag der Vorlesung zu-

gnglich gemacht_.


bungsbltter und Folien 16


2. EinleitungEine wunderbare Website zum Aufarbeiten Ihres Wissens ist Hyperphysics1 vonR. Nave. Ergnzend gibt es vom gleichen Autor auch Hypermath2.

2.1. Allgemeines zur PhysikDieser Sto wurde am 16.10.2001 behandelt

Materialien:

bungsblatt 1 vom 16. 10. 2001 (HTML oder PDF)

Folien zur Vorlesung am 16. 10. 2001 PDF

Beziehungen zwischen den Naturwissenschaften

Messbare und berechenbare Grssen

Krfte, Energien

Quantenphnomene (Laserdiode, Transistor)1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html2http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hmat.html#hmath

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.htmlhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hmat.html#hmathfile:ueb/ue1/index.html

Einleitung 18

Grssenordnungen: Siehe auch Film: Grssenordnungen

Strecke mProtonenradius 1015Atomradius 1010Virusdurchmesser, Gate-Dimension eines Transistors 107Riesenambe, kleinste Si-Release-Strukturen 104Walnuss 102Mensch 100Hchster Berg 104Erddurchmesser 107Sonnendurchmesser 109Abstand Erde-Sonne 1011Durchmesser Sonnensystem 1013Abstand von -Centauri 1016Durchmesser Milchstrasse 1021Durchmesser sichtbares Universum 1026

Masse kgElektron 1030Proton 1027Aminosure 1025Hmoglobin 1022Grippevirus 1019Riesenambe 108Regentropfen 106Ameise 102Mensch 102Re 6/6 oder E101 105Pyramide 1010Erde 1024Sonne 1030Milchstrasse 1041Universum 1052


19 2.2 Einheitensysteme

Zeitintervall sLicht durchquert einen Atomkern 1023Elementarprozesse einer chemischen Reaktion 1016Schwingungsperiode des sichtbaren Lichtes, krzeste Pulse 1015Schwingungsperiode von Mikrowellen 1010Halbwertszeit Myon 106Schwingungsperiode hchster hrbarer Tne 104Zeit zwischen zwei Herzschlgen 100Halbwertszeit des freien Neutrons, Unterrichtsstunde 103Dauer der Erdumdrehung 105Umlaufszeit der Erde um die Sonne 107Lebensdauer Mensch 109Halbwertszeit 239-Plutonium 1012Lebensdauer einer Gebirgskette 1015Halbwertszeit Uran 1016Alter der Erde 1017Alter des Universums 1018

2.2. EinheitensystemeDieser Sto wurde am 16.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 1])Wir rechnen in unserer Vorlesung ausschliesslich mit dem gesetzlichen Einhei-

tensystem: SI.

s Sekunde, Zeiteinheit. Deniert mit der Frequenz des berganges zwischen zweiHyperfeinniveaus des 133Csium-Isotops. Diese Frequenz ist 9192631770 Hz.

m Meter, Lngeneinheit. Abgeleitete Grundeinheit, deniert mit der Sekundeund der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c = 299729458 m

s.

kg Kilogramm, Masse-Einheit (nicht Gewicht). Deniert mit dem Urkilogrammin Svres. Dies ist die am schlechtesten bekannte Grundeinheit.

K Kelvin, Temperatur

A Ampre, Stromstrke

mol Mol, Stomenge

cd Candela, Lichtstrke


Einleitung 20

Faktor Vorsilbe Abkrzung Faktor Vorsilbe Abkrzung1018 Exa E 1018 Atto a1015 Peta P 1015 Femto f1012 Tera T 1012 Piko p109 Giga G 109 Nano n106 Mega M 106 Mikro 103 Kilo k 103 Milli m102 Hekto h 102 Zenti c101 Deka da 101 Dezi d

Grsse SI-Einheit SymbolLnge Meter mZeit Sekunde sMasse Kilogramm kgFlche Quadratmeter m2Volumen Kubikmeter m3Frequenz Hertz Hz = s1 = frac1sGeschwindigkeit Meter/Sekunde m s1 = m

s

Beschleunigung Meter / Quadratse-kunde m s2 = m

s2

Kraft Newton N = kg m s2 = m kgs2Energie, Arbeit,

Wrmemenge Joule J = N m = kg m2 s2 kg m

2

s2

Druck, Ener-giedichte oderJoule/Kubikmeter

Pascal Pa = N m2 = J m3 = kgm

s2

Leistung Watt W = J s1 = kg m2s3

Dichte Kilogramm / Kubik-meter kg m3 = kg

m3

Temperatur Kelvin KStromstrke Ampre ALadung Coulomb C = A sStromdichte Ampre / Quadrat-meter A m

2 = Am2

Spannung Volt V = J C1 = kg m2s3 A

Widerstand Ohm = V A1 = kg m2s3 A2

Kapazitt Farad F = C V 1 = s4 a2kg s2

elektrische Feldstr-ke Volt/Meter V m

1 = kg ms3 A

magnetische Feld-strke Ampre/Meter A m

1

magnetische Induk-tion Tesla T = V s m

2 = kgA s2

Induktivitt Henry H = V s A1 = kg m2s2 A2

Lichtstrke Candela cdEnergiedosis Gray Gy = J kg1 = m2

s2

Aktivitt Becquerel Bq = s1 = 1s

Stomenge Mol mol


21 2.3 Fehler

2.3. FehlerDieser Sto wurde am 16.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 3])Jede Messung ist fehlerbehaftetBeispiel in Vorlesung: Messung der GeschwindigkeitEs gibt drei Fehlertypen:

Grobe Fehler Entstehen durch Unachtsamkeit, mangelnde Kenntnis, usw.

Systematische Fehler Knnen prinzipiell bestimmt und auch nachtrglich, beikorrekt gefhrtem Laborjournal, korrigiert werden. Sie treten immer in glei-cher Weise auf.Beispiel: Voltmeter mit abgelaufener Kalibrierfrist.

Zufllige Fehler Sie sind bei jeder Wiederholung einer Messung anders. Zu denzuflligen Fehlern gehren auch die Rundungsfehler bei digitalen Messger-ten.

Arithmetisches Mittel

x = 1n

ni=1

xi =1

n(x1 + x2 + . . . + xi + . . . + xn) (2.1)

Standardabweichung

sx =

1n 1

ni=1

(xi x)2 (2.2)

Zufllige Fehler lschen sich teilweise aus, also ist

sx =sxn

=

1(n 1) n

ni=1

(xi x)2 (2.3)

Besteht ein Experiment aus mehreren Teilmessungen, muss das Fehlerfort-panzungsgesetz nach Gauss angewandt werden. Sei

Y = Y (X1, X 2, . . . , Xm) (2.4)Dann ist der resultierende Fehler

sY =

m

j=1

(V

XjsXj

)2(2.5)

Beispielsweise ist der Druck bei einem zylinderfrmigen Kolben durch p = Fr2

gegeben. Der fehler ist also


Einleitung 22

sp =

(1

r2sF

)2+

(2Fr3

sr

)2(2.6)

2.4. DimensionsanalyseDieser Sto wurde am 16.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 5]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 2])Die Dimension zeigt, wie eine Grsse von den Basisgrssen, z.B. Lnge, Zeit

und Masse abhngt. Wie man nicht pfel mit Birnen verrechnen kann, mssen beieiner physikalischen Gleichung die Dimensionen auf beiden Seiten bereinstimmen.Die Dimensionsanalyse ist ein mchtiges Werkzeug, um zu testen, ob man richtiggerechnet haben knnte3.

Beispiel

x = x0 + v0t +1

2a0t

2 (2.7)

Gleichung (2.7) ist richtig, wenn man wie unten fr die Lnge L und fr dieZeit T einsetzt.

L = [X] = L = [x0] =L

TT = [v0t] =

L

T 2T 2 = [

1

2a0t

2] (2.8)

Beispiel: Schwingungsdauer eines PendelsDie Schwingungsdauer t hngt von der Lnge `, der Masse m und der Erdbe-

schleunigung g ab. Also ist

t mlg (2.9)

oderT 1 = ML

(L

T 2

)= L+MT2 (2.10)

Der Exponentenvergleich ergibt = 0, = 12und damit = 1

2. Wir erraten,

dass die Schwingungsdauer eines Pendels wie

t

l

g(2.11)

ist, das korrekte Resultat, wenn man von Vorfaktoren absieht.3Man kann damit beweisen, dass man einen Fehler gemacht hat, nicht aber dass man richtiggerechnet hat. Dies ist analog zur Neunerprobe


23 2.5 Literatur

2.5. LiteraturDie Vorlesung orientiert sich an denWerken von Tipler[Tip94], Physik, und Gerthsen/Vogel[GV95],Physik. Zum Aufarbeiten des gelernten Stoes (nicht als Einsteigerliteratur) kannauch Kneubhls[Kne74] Repetitorium der Physik empfohlen werden. Mathema-tische Probleme und Formeln sind sehr schn im Bronstein[BSMM00] zusammen-gefasst. Diese Datei gibt es auch als PDF-Datei4 und als Web-Site5.

4PhyIng1.pdf5http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/PhysIng1/


http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/PhysIng1/

Einleitung 24


Literaturverzeichnis

[BSMM00] I.N. Brontein, K.A. Semendjajew, G. Musiol, and H. Mhlig. Ta-schenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 2000.

[GV95] Ch. Gerthsen and H. Vogel. Physik. Springer Verlag, 18. auage edi-tion, 1995.

[Kne74] F. Kneubhl. Repetitorium der Physik. Teubner Verlag, 1974.

[Tip94] Paul A. Tipler. Physik. Spektrum Verlag, 1994.

Literaturverzeichnis 26


Teil II.

Mechanik starrer Krper

3. KinematikDieser Sto wurde am 16.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 19]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 9])Die Kinematik befasst sich mit der Frage nach dem Wie einer Bewegung, nicht

nach dem Warum.

3.1. Bewegung in einer DimensionDieser Sto wurde am 16.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 19]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 3]) Begrie:Geschwindig-keit, Durch-schnittsge-schwindigkeit

Aus dem Alltagsleben:

Durchschnittsgeschwindigkeit = GesamtstreckeGesamtweg (3.1)

Physik: Mathematische FormulierungGesamtweg:

x = x2 x1 (3.2)Gesamtzeit:

t = t2 t1 (3.3)Wir schreiben fr die Durchschnittsgeschwindigkeit

< v >=x

t=

x2 x1t2 t1 (3.4)

Was ist die Durchschnittsgeschwindigkeit bei drei Strecken (x2x1),(x3x2),(x4x3) hintereinander, die in den Zeiten (t2t1),(t3t2),(t4t3) durchfahren werden?

< v >=x

t=

(x2 x1) + (x3 x2) + (x4 x3)(t2 t1) + (t3 t2) + (t4 t3) =

x4 x1t4 t1 (3.5)

Dieser Sto wurde am 17.10.2001 behandelt

Materialien:

bungsblatt 1 vom 16. 10. 2001 (HTML oder PDF) Folien zur Vorlesung am 17. 10. 2001 PDF

file:ueb/ue1/index.html

Kinematik 30

Was bedeutet das, wenn wir (18. Jahrhundert) von Ulm nach Buchhorn (103km, Durlesbach (-36 km (wir wandern zurck) , 9h) wandern?

Ulm, Durlesbach und Buchhorn liegen auf einem Kreissegment, also auf einerLinie. Also ist die Durchschnittsgeschwindigkeit

< v >=103km 36km

35h + 9h=

67km

44h 1.5km

h(3.6)

Der Sprachgebrauch im Alltag sagt:

< v >=103km + 36km

35h + 9h=

139km

44h 3.2km

h(3.7)

Es wurde mit den Betrgen gerechnet.

Wir verwenden ausschliesslich die physikalische Denition nachGleichung (3.5) und Gleichung (3.6) !

Graphische Darstellung einer linearen Bewegung

3.1.1. Momentangeschwindigkeit und BeschleunigungDieser Sto wurde am 17.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 19]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 10])Momentan-geschwindig-keit

Momentangeschwindigkeit Tangente Ableitung

v = limt0

x

v=

dv

dt= x (3.8)


31 3.1 Bewegung in einer Dimension

Graphische Darstellung einer linearen BewegungBeispielSei x(t) = Atn + Btm. Dann ist

v(t) =dx

dt=

d

dt(Atn + Btm) = nAtn1 + mBtm1 (3.9)

Beschleunigung nderung der Momentangeschwindigkeit BeschleunigungMittlere Beschleunigung

< a >=v

t(3.10)

Momentanbeschleunigung

a(t) = limt0

v

t=

dv(t)

dt(3.11)

Beschleunigung und Ort

a(t) =dv(t)

dt=

ddx(t)dt

dt=

d2x(t)

dt2= x (3.12)

Wie kommt man von einer bekannten Beschleunigung zum Ort? = Integration Integration

Graphische Darstellung einer Geschwindigkeit und Integration


Kinematik 32

dv

dt= a (3.13)

Wir multiplizieren die obige Gleichung mit dt

dv = adt (3.14)

Nun integrieren wir auf beiden Seiten von der Zeit t = 01 bis tt

0

dv =

t

0

adt (3.15)

und erhaltenv(t) v(0) = a t|t0 = a t (3.16)

oder mit v(0) = v0v(t) = v0 + a t (3.17)

Dabei ist die Anfangsbedingung mit eingerechnet.Weg:

dv

dt= v = v0 + a t (3.18)

Wir integrieren auf beiden Seitent

0

dx =

t

0

(v0 + a t)dt (3.19)

und erhalten

x(t) x(0) = (v0 t + 12a t2)

t

0

= v0 t + 12a t2 (3.20)

oder mit x(0) = x0x(t) = x0 + v0 t + 1

2a t2 (3.21)

Schauen Sie in einem Mathematikbuch oder (Siehe Tipler,Physik[Tip94, 30]) nach, wie die Integration durchgefhrt wird

Materialien

Bremsweg bei konstanter Beschleunigung21Sollte der Zeitwert fr den Anfangswert des Integrationsintervalls nicht null sein, verschiebenwir die Zeitskala um den entsprechenden Wert

2http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/2-6/index.html


http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/2-6/index.html

33 3.2 Bewegung in zwei und drei Dimensionen

Gleichung (3.18) kann verstanden werden, in dem man realisiert, dass die Ge-schwindigkeit sich von v0 nach v0+at ndert, so dass < v >= v0+(v0+at)2 = v0+ 12at2ist.

Gleichungen bei konstanter Beschleunigung

v = v0 + at

x = x0 + v0t +1

2at2 (3.22)

Durchschnittsgeschwindigkeit

< v >=x

t=

(x0 + v0t +12at2) x0

t=

1

2(v0 + v) (3.23)

Wenn die Endgeschwindigkeit ve = v0 + at ist, erhlt man aus x = x(t) =v0t +

12at2 mit t = vev0

a

x = v0ve v0

a+

1

2a

(ve v0

a

)2=

v0vea

v20

2+

v2e2a vev0

a+

v20a

v2e = v20 + 2ax (3.24)

3.2. Bewegung in zwei und drei DimensionenDieser Sto wurde am 17.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 43]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 9])

3.2.1. Vektoren und VektorrechnungDieser Sto wurde am 17.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 47]) VektorenMaterialien Graphische Vektoraddition3Graphische Addition

Vektoraddition3http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/3-2a/index.html


http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/3-2a/index.html

Kinematik 34


MaterialienFolien zur Vorlesung am 23. 10. 2001 PDFbungsblatt 2 vom 23. 10. 2001 (HTML oder PDF)Komponentenschreibweise

A = (A1,A2) =

(A1A2

)(3.25)

LngeA =

A21 + A

22 (3.26)

Winkel mit der x-Achse

cos() =AxA

(3.27)

Einheitsvektoren ex in x-Richtung, ey in y-Richtung, ez-in z-Richtung.

A = A = Axex + Ayey + Azez (3.28)Addition

A + B = (Axex + Ayey + Azez) + (Bxex + Byey + Bzez)

= (Ax + Bx)ex + (Ay + By)ey + (Az + Bz)ez (3.29)Geschwindig-keiten Geschwindigkeitsvektor

r = xex + yey + zez (3.30)Mittlere Geschwindigkeit




< v >=r

t(3.31)

Momentangeschwindigkeit

v = limt0

r

t=

dr

dt= r (3.32)

Ableitung in Komponenten

v = limt0

r

t= lim

t0xex + yey + zez

t

= limt0

x

tex + lim

t0y

tey + lim

t0z

tez (3.33)

also

v =dx

dtex +

dy

dtey +

dz

dtez (3.34)

Analog zur obigen Rechnung erhlt man die Beschleunigung aus der Geschwin-digkeit.

Mittlere Beschleunigung

< a >=v

t(3.35)

Momentanbeschleunigung

a = limt0

v

t=

dv

dt= v = r (3.36)

oder auch

a =dvxdt

ex +dvydt

ey +dvzdt

ez (3.37)

Relativgeschwindigkeit


Kinematik 36

vMensch gegen Erde = vBus gegen Erde + vMensch gegen Bus (3.38)

Materialien

Relativbewegungen4

Kombination von Drehbewegung und Translation5

3.2.2. Bsp: Wurfbewegung


(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 53])Wurfbewegungen sind zusammengesetzte Bewegungen (Beispiel aus (Siehe Tipler,

Physik[Tip94, 53]) )Siehe auch Simulation von Walter Fendt6 Uni Heidelberg7 oder Uni Wrzburg8.

4http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/3-5/index.html5http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/5-1/index.html6http://home.a-city.de/walter.fendt/phd/wurf.htm7http://physik1.physik.uni-heidelberg.de/vrlsg/data/detail/2-2-6.htm8http://didaktik.physik.uni-wuerzburg.de/ pkrahmer/home/java1.html


http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/3-5/index.htmlhttp://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/5-1/index.htmlhttp://home.a-city.de/walter.fendt/phd/wurf.htmhttp://physik1.physik.uni-heidelberg.de/vrlsg/data/detail/2-2-6.htmhttp://didaktik.physik.uni-wuerzburg.de/~pkrahmer/home/java1.html


Bild aus (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 55]) . Rot ist die horizontale, grn dievertikale Position markiert. Die horizontalen Abstnde sind, innerhalb meinerZeichengenauigkeit, gleich, deuten also auf eine konstante Geschwindigkeit hin.

BeschleunigungenSei x(t = 0) = 0, y(t = 0) = 0, vx(t = 0) = vx,0 und vy(t = 0) = vy,0

ay(t) = gax(t) = 0 (3.39)

Geschwindigkeiten

vy(t) = g t + vy,0vx(t) = vx,0 (3.40)

Ort

y(t) = 12g t2 + vy,0 t

x(t) = vx,0 t (3.41)Diese Bewegung ist parabelfrmig, wie man leicht sieht, wenn man x(t) nach t

aust und einsetzt.

y(x) = 12d

(x

vx,0

)2+

vy,0vx,0

x (3.42)


Kinematik 38

3.2.3. Gleichfrmige Kreisbewegung (mit vektoriellerDarstellung)


(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 61]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 16])Siehe auch Uni Wrzburg9 oder von Walter Fendt10.Kreisfrmige Bewegungen gibt es

Fahrt durch eine Kurve mit Fahrrad, Auto, Schlittschuhen ... Zentrifuge Satelliten

Schematische Darstellung eines SatellitenDer Satellit |v| = v bewegt sich im Kreis mit dem Radius r. In kleinen Zeiten

t bewegt er sich um vt in der ursprnglichen Richtung weiter. Er fllt um h. DerSatz des Pythagoras angewandt auf das rechtwinklige Dreieck ergibt

r2 + (vt)2 = (r + h)2 = r2 + 2rh + h2 (3.43)Kleine Zeiten bedeutet, dass h r ist. Also kann

Fallgesetz, Weg und Beschleunigung

(vt)2 2rh = h = 12

v2

rt2

=

1

2at2

(3.44)

geschrieben werden.Zentripetal-beschleuni-gung

Vergleich9http://didaktik.physik.uni-wuerzburg.de/ pkrahmer/home/gravrot.html#rot

10http://home.a-city.de/walter.fendt/phd/karussell.htm


http://didaktik.physik.uni-wuerzburg.de/~pkrahmer/home/gravrot.html#rothttp://home.a-city.de/walter.fendt/phd/karussell.htm


az =v2

r(3.45)

Wenn r(t) = (r cos(t),r sin(t), 0) ist ( heisst Kreisfrequenz und wird ben-tigt, um aus der Zeit eine als Argument der Winkelfunktion bentigte dimensions-lose Grsse zu erzeugen), dann ist

v(t) =d

dtr(t) = (r sin(t), r cos(t),0) (3.46)

und

az(t) =d

dtv(t) =

d2

dt2r(t) = (r2 cos(t),r2 sin(t),0) = 2r(t) (3.47)

Zentripetalbewegung. Die durch r1,r2 und durch v1,v2 aufgespannten Dreieckesind hnlichMaterialien

Masse auf Kreisbahn mit Gegengewicht11

3.2.4. Nichtkommutativitt endlicher DrehungenMaterialien

Folien zur Vorlesung am 24. 10. 2001 PDF


11http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/5-2a/index.html



Kinematik 40

Beispiel fr die Nichtvertauschbarkeit endlicher DrehungenDie mathematische Darstellung eine Drehung um die z-Achse kann wie folgt

hergeleitet werden:

Jeder Vektor A =

AxAyAz

kann als A = Axex + Ayey + Azez geschrieben

werden. Dabei ist ex =

100

, ey =

010

, und ez =

001

.

Die Funktion Rz(A, ) soll den Vektor A um die z-Achse drehen.Wenn der Vektor A um die z-Achse gedreht wird, dann ist der gedrehte Vektor

Rz(A, ) = A =

f(Ax,Ay, )g(Ax,Ay, )

Az

. Die z-Komponente wird dabei nicht vern-

dert, die x- und die y-Komponenten sind Funktionen der ursprnglichen x- undy-Komponenten sowie des Winkels.

In der Abbildung links wird gezeigt, wie ex transformiert wird. Rechts wird eytransformiert.

Wir erhalten: Rz(ex,) = Rz

100

,

=

cos sin

0

.

Rz(ey,) = Rz

010

,

=

sin cos

0

.

Rz(ex,) = Rz

001

,

=

001

.

Mit Rz(A,) = Rz(Axex + Ayey + Azez,) = AxRz(ex,) + AyRz(ey, ) +



AzRz(ez, ) =

Ax cos Ay sin Ax sin + Ay cos

Az

.

Diese letztere Gleichung kann als

Rz(A,) = A =

Ax cos Ay sin Ax sin + Ay cos

Az

=

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

AxAyAz

(3.48)Damit kann eine Drehung um die Z-Achse kann als Matrix

Dz() =

cos() sin() 0sin() cos() 0

0 0 1

(3.49)

Durch formales Rotieren der Koordinaten z y, y x und x z bekommtman die Drehmatrix fr eine Drehung um die y-Achse

Dy() =

cos() 0 sin()0 1 0

sin() 0 cos()

(3.50)

Weiteres formales Rotieren der Koordinaten z y, y x und x z liefertdie Drehmatrix fr eine Drehung um die x-Achse

Dx() =

1 0 00 cos() sin()0 sin() cos()

(3.51)

Die Drehung um die y-Achse um /2 (=90) und dann um die x-Achse um/2 wird mit Matrizen als

r = Dx(/2)Dy(/2)r

=

1 0 00 0 10 1 0

0 0 10 1 01 0 0

100

=

0 0 11 0 00 1 0

100

=

010

(3.52)

Werden die Drehungen in umgekehrter Reihenfolge durchgefhrt, so ist


Kinematik 42

r = Dx(/2)Dy(/2)r

=

0 0 10 1 01 0 0

1 0 00 0 10 1 0

100

=

0 1 00 0 11 0 0

100

=

001

(3.53)

Grosse Drehungen knnen nicht vertauscht werden. Es gibt vieleEigenschaften in der Physik, die nicht kommutativ sind


4. Dynamik, die NewtonschenAxiome

Dieser Sto wurde am 24.10.2001 behandelt(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 71]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 12])

4.1. Trgheitsgesetz: Erstes Newtonsches AxiomDieser Sto wurde am 24.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 72])Alltgliche Beobachtung: alle Bewegung stoppt Aristoteles nimmt dies als

Naturgesetz an.Newton argumentiert: Reibungskrfte stoppen die Bewegung. Wenn es keine

Reibungskrfte gbe wrde sich der Bewegungszustand nicht ndern.

Erstes Newtonsches Axiom:Wenn F =

i

F i = 0 ist, ndert ein Krper seinen Bewe-gungszustand nicht, d.h. er bleibt in Ruhe oder bewegt sich mitkonstanter Geschwindigkeit.

1. Newtonsches Axiom , TrgheitsgesetzBsp: Galileis Gesetz (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 72])

Bezugssystem Wir whlen einen Koordinatenursprung 0 und ein Koordinatensys-tem und schreiben alle Gleichungen in Bezug auf dieses Koordinatensystemauf.

Bezugssysteme knnen x in Bezug zur Erde sein x in Bezug zu einem Gefhrt sein (Bus, Zug, Flugzeug, . . .) x in Bezug zur Milchstrasse sein . . .Ein Bezugssystem, in dem das erste Newtonsche Axiom gilt, heisst Inertialsys-

tem.Gibt es Inertialsysteme?

Dynamik, die Newtonschen Axiome 44

4.2. Kraft, Masse,Impuls: Zweites NewtonschesAxiom


(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 74]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 12])das zweite Newtonsche Axiom beantwortet die Frage: Was ist die Ursache der

Bewegung?

Newtons Formulierung:Die nderung des Impulses (P = mv) eines Krpers ist gleichder auf den Krper wirkenden Kraft

F =dp

dt=

d(mv)

dt(4.1)

Bernoullis FormulierungaDie Beschleunigung eines Krpers ist umgekehrt proportionalzu seiner Masse und proportional zur resultierenden Kraft a =Fm

aDiese Formulierung ist ein Spezialfall!

Das zweite Newtonsche Axiom wird auch Aktionsgesetz genannt.

Bernoulli m muss konstant sein (analog zur Durchschnittsgeschwindigkeit)Newton analog zur Momentangeschwindigkeitmit

m = const

F = d(mv)dt

= dmdt

v + mdvdt

= mdvdt

= ma

Einheit der Kraft : 1N = 1mkgs2

Materialien Experiment mit Luftkissenbahn und Fallgewicht1

4.2.1. Masse (m)Dieser Sto wurde am 24.10.2001 behandelt

Die Masse im zweiten Newtonschen Axiom ist die trge Masse.Massenbestimmung mit dem 2. Newtonschen Axiom

1http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/4-7a/index.html



45 4.2 Kraft, Masse,Impuls: Zweites Newtonsches Axiom

gleiche Kraft auf zwei Massen m1 und m2 F = m1a1 = m2a2 m1m2 = a2a1Masse: Einheit kg, deniert mit Urkilogramm in Svres Sekundrnormale,

Eichung!

4.2.2. Kraft (F )Dieser Sto wurde am 24.10.2001 behandelt

Einheit der Kraft : N = m kgs2

Name: NewtonKraft und Bahnkurve r(t) bei konstanter Masse

F = ma = mdv

dt= m

d2r

dt2(4.2)

d.h. die Kraft hngt von der Krmmung der Bahnkurve r(t) ab.Impuls: Denition: p = mv Einheit mkg

s= Ns

Die Weiterentwicklung der Physik nach Newton (u.a. Quantenmechanik) hatgezeigt, dass der Begri des Impulses p universell verwendbar ist, nicht aber mund v.

Beantworten Sie die Fragen in (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 78]) .

4.2.2.1. Drittes Newtonsches AxiomDieser Sto wurde am 24.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 80])

Drittes Newtonsches Axiom:Krfte treten immer paarweise auf. Wenn vom Krper A aus aufden Krper B die Kraft F ausgebt wird, so wird vom KrperB die Kraft F auf den Krper A ausgebt.Diese Reaktionskraft ist also gleich gross wie die ursprngliche Kraft , aber entge-

gengesetzt gerichtet.

Beispiele: Gewicht auf Tisch



Whrend das erste wie auch das zweite Newtonsche Axiom auch in der Quanten-mechanik und in der Relativittstheorie gelten, versagt in diesen moderneren physi-

kalischen Theorien das dritte Newtonsche Axiom.

Bsp: Wirkt die Kraft instantan?

4.2.2.2. Kraft durch Gewicht und schwere MasseDieser Sto wurde am 24.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 78]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 46])Jede Masse wird von jeder anderen Masse angezogen (Gravitation).Die Erdanziehung auf eine Masse m ist

F G = mg (4.3)

|g| = g = 9.81mss2

ist die Fallbeschleunigung auf Meereshhe. ms ist die schwereMasse.

Anwendung: Massenbestimmung durch Kraftvergleich.Wenn an einem Ort Fg,1 = Fg,2 ist, so ist auch m1 = m2. Wenn an einem Ort

Fg,1 = Fg,2 ist, so ist auch m1 = m2.

4.2.3. Arten von KrftenDieser Sto wurde am 30.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 82])MaterialienFolien zur Vorlesung am 30. 10. 2001 PDFbungsblatt 3 vom 30. 10. 2001 (HTML oder PDF)Fundamentale Krfte

1. Gravitationswechselwirkung

2. elektromagnetische Wechselwirkung

3. starke Wechselwirkung (Krfte zwischen Kernbausteinen wie Protonen oderNeutronen

4. SchwacheWechselwirkung (Verantwortlich z.B. fr den Zerfall der freien Neu-tronen).

KontaktkrfteDie Kraft ist proportional zur Auslenkung F = kx, analog zur Feder. Anwen-

dung: Federwaage.




4.2.4. Beispiele zur Lsung von Bewegungsproblemen



FZ , FG und FN sind Krfte auf den Krper

FZ = max

Reaktionskraft auf FZ : F Z = FZ3. Newtonsches Axiom: Kraft durch ziehende Hand = - Kraft auf Krper

Wenn die Masse des Fadens mF ist, ist

F F Z = mfaxMasse des Fadens vernachlssigbar: F F Z 0

Fadenspannung

Bei vernachlssigbarer Masse ist |FZ | berall im Faden gleich. FZ heisst dieZugkraft.

Beispiel: schiefe Ebene



Schiefe EbeneFG,x = FG sin = mg cos FG,y = FG cos = mg cos In unserem Koordinatensystem ist ay null.

Fy = FN mg cos = 0Also: FN = mg cos Die x-Komponente ist

x = mg sin = max

oder ax = g sin Beispiel: Gewicht an einer Schnur

Links: Konstruktion mit Krfteparallelogramm, rechts vergrsserte Ansicht.Gegeben ist: Fg, und Mit dem Sinussatz fr beliebige Dreiecke (Seitenlnge dividiert durch den Sinus

des Gegenwinkels ist konstant)

Fgsin( + )

=F1

sin(/2 ) =F2

sin(/2 ) (4.4)

umgeformt



F1 = Fgcos()

sin( + )

F2 = Fgcos()

sin( + )(4.5)

Schlussfolgerung: Wenn und gegen null gehen, dann werden die Krfte F1und F2 sehr gross. Sie knnen leicht die maximal zulssige Seilspannung berstei-gen.Beispiel: Zentrifugalregulator (Erndung von James Watt)

Schematische Darstellung des Wattschen Zentrifugalregulators. Die Masse mwird durch die Gravitation und die Seilspannung beschleunigt. Die resultie-rende Kraft ist die Zentripetalkraft FZ .Zentripetalkraft

FZ = m2r = FZ sin (4.6)

und

FZ cos = mg = FG (4.7)

Zusammen

FZ sin

FZ cos = tan =

m2r

mg=

r

g2 (4.8)

also ist fr kleine

=

g

rtan

g

r(4.9)

Der Wattsche Regulator ist also ein Drehzahlmesser.



4.3. Anwendungen der Newtonschen AxiomeDieser Sto wurde am 30.10.2001 behandelt

(Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 80])Wir setzen voraus, dass wir alle Krfte kennen: dann knnen wir die Beschleu-

nigung und damit auch die bewegung eines Teilchens bestimmen.

4.3.1. ReibungDieser Sto wurde am 30.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 99]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 40])Erfahrung: wenn man versucht, ein Mbelstck zu verschieben, muss man eine

Kraft ausben.

Reibungskrfte versuchen, Bewegungen zu verhindern oder zudmpfen

4.3.1.1. Haftreibung

Beobachtung: Wenn ein Krper mit der Kraft FN , der Normalkraft, auf einenanderen Krper gedrckt wird, wird mindestens eine Kraft

F FH = HFN (4.10)

bentigt, um den Krper in Bewegung zu setzen. FH heisstHaftreibungskraft.H ist der Haftreibungskoezient.

Umgekehrt gilt die Aussage, dass wenn die zur Auageche parallele KraftF < FH ist, bewegt sich der Krper nicht. Die Haftreibungskraft, englisch: stiction,ist eines der grssten Probleme in der Mikrosystemtechnik (englisch Micro-Electro-Mechanical-Systems, MEMS) und in der Festplattenindustrie.

4.3.1.2. Gleitreibung

Wenn ein Krper gleitet, dann gilt die Beziehung

FG = GFN (4.11)

wobei FG dieGleitreibungskraft und G der Gleitreibungskoezient ist.


51 4.3 Anwendungen der Newtonschen Axiome

Schematische Darstellung der Haft- und Gleitreibungskraft als Funktion derangelegten, parallel zur Auage wirkenden Kraft .

Schematisch verhalten sich Haftreibungskraft und Gleitreibungskraft wie in derAbbildung gezeigt.

4.3.1.2.1. Eigenschaften

G H

G hngt von der Relativgeschwindigkeit der Oberchen ab. FG ist im Ge-schwindigkeitsbereich von 1cm/s bis einigen m/s nherungsweise konstant.Ausserhalb dieses Geschwindigkeitsbereiches nimmt die Gleitreibungskraftzu.

G und H hngen von der Struktur der Oberchen und ihrer Zusammen-setzung ab, nicht aber von der scheinbaren makroskopischen KontaktcheAM ab.

G und H hngen von der wahren Kontaktche AW AM ab sowie vomKontaktdruck in dieser Flche. (Deshalb ist die Reibung zwischen ultraa-chen Endmassen extrem gross.)

4.3.1.2.2. Schlussfolgerung Die Reibung wird von temporren Bindungen zwi-schen den Atomen der Oberchen der einzelnen Reibpartnern gebildet. Zustzlichund meistens auch dominierend ist jedoch die zur Abscherung mikroskopischer Er-hhungen (Asperities in englisch) bentigten Krfte.



Krfte auf einen Krper auf einer schiefen Ebene. Die x-Achse sei parallel zurAuage, die y-Achse senkrecht dazu.

Fy = FN mg cos = 0 (4.12)

Fx = mg sin FH = 0 (4.13)

Oder

FH = mg sin =FN

cos sin = FN tan (4.14)

Der Haftreibungskoezient ist gleich dem Tangens des Winkels, bei dem derKrper zu gleiten beginnt.

H = tan max (4.15)

Gleitreibung wird durch Messung der Beschleunigung bestimmt.

Fx = mg sin GFG = max (4.16)

ax = g (sin g cos ) (4.17)oder

g = tan axg cos

(4.18)



4.3.1.3. Rollreibung


Rollendes Rad:a rot gestrichelt: Geschwindigkeitsvektoren von der Achse ausgesehen (mitbewegt); grn: Geschwindigkeitsvektor der Achse; blau: Summe.

ahttp://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/5-1/index.htmlEin Rad, das am Boden abrollt, wird durch die Haftreibung zum drehen ge-

bracht. Der momentane Drehpunkt eines Rades ist die Auageche. Dies isteinfach ersichtlich, wenn die Geschwindigkeitsvektoren des Rades von der Achseaus gesehen (rot gestrichelt) zum Geschwindigkeitsvektor der Achse (grn) da-zugezhlt werden. Die resultierenden Geschwindigkeitsvektoren sind so, dass amAuagepunkt die Geschwindigkeit gleich null ist. Da der Ort mit der Geschwindig-keit 0 immer die momentane Drehachse ist, dreht sich jedes abrollende Rad undjeder abrollende Krper um seinen Auagepunkt.

Rollreibung meint die Reibung, die bei einem rollenden Krper auftritt. Ist derKrper nicht deformierbar, dann ist die Rollreibung null, wenn die beiden Ober-chen sich nicht anziehen (Adhsion, Klebrigkeit!)

4.3.1.3.1. Beispiel: innen oder aussen um die Kurve fahren? Die Zentripe-talbeschleunigung ist aZ = v2r1. Die Masse des Autos sei m, der Haftreibungsko-ezient H . Dann muss FZ = aZm = v2r1m Hmg sein. Die Geschwindigkeitmuss der Bedingung

v Hrg (4.19)gengen. Die Zeit zum Durchfahren eines Bogens der Lnge l = r mit dem

Winkel im Bogenmass und dem Radius r ist

T (r,,v) = lv1 =r

v r

Hrg=

r

Hg(4.20)


http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/5-1/index.html


4.3.2. d'Alembert'sches PrinzipDieser Sto wurde am 31.10.2001 behandelt

(Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 162])MaterialienFolien zur Vorlesung am 31. 10. 2001 PDFUm die Bewegung eines Massenpunktes oder eines Systems von Massenpunkten

zu berechnen, mssen die Bewegungsgleichungen gelst werden. Das Prinzip vond'Alembert sagt:

Ersetzt man bei einem bewegten System von Massenpunktenmi die entsprechenden Beschleunigungen ai durch die Trg-heitskrfte

F Ti = mi ai

so hat man das dynamische Problem formal auf ein stati-sches Problem zurckgefhrt.

Prinzip von d'Alembert. Links der Standpunkt eines ruhenden Beobachters,rechts derjenige des mitbewegten Beobachters. Die F ji sind Krfte innerhalbdes Systems von Massen, F ai sind ussere Krfte. Die ai ist die Beschleunigungder Masse mi.

Beschreibung durch den ruhenden Beobachter mit dem 2. Newtonschen Axiom(Dynamik)

miai = F ai +

j

F ji (4.21)

Und nun die Beschreibung des mitbewegten Beobachters (Fr ihn ist der Schwer-punkt des Massensystems in Ruhe!).

Nach d'Alembert gilt

miai = F Ti = F ai +

j

F ji (4.22)



und damit die Beschreibung im mitbewegten Bezugssystem (Statik) ber dasformale Krftegleichgewicht

F Ti + F ai +

j

F ji = 0 (4.23)

4.3.3. Bewegung mehrerer miteinander verbundener KrperDieser Sto wurde am 31.10.2001 behandelt


Zwei verbundene Krper an einem Tisch.Masse 1 wird beschleunigt. Trgheitskraft Fa = m1a = Fs (Seilspannung)Masse 2 wird beschleunigt. Krfte an Masse 2: Trgheitskraft Fa = m2a sowie

Erdbeschleunigung Fg = m2g. Die resultierende Kraft ist die Seilspannung Fs =m2g m2a.

Nun muss a fr beide Massen gleich sein (dehnungsfreies Seil). Ebenso ist dieSeilspannung berall gleich.

Fs = m1a = m2g m2a (4.24)

oder

a = gm2

m1 + m2(4.25)

und die Seilspannung

Fs = gm1m2

m1 + m2(4.26)



Beschleunigung zweier aufeinanderliegender Massen.

3. Newtonsches Axiom: Normalkrfte zwischen den beiden Massen FN21 =FN12

3. Newtonsches Axiom: Reibungskrfte zwischen den beiden Massen FH12 =FH21

1. Newtonsches Axiom fr die Masse m1 (keine Beschleunigung in senkrechteRichtung): Fg1 = m1g = FN21

2. Newtonsches Axiom fr die Masse m2 (keine Beschleunigung in senkrechteRichtung): Fg2 + FN12 = m2g + FN12 = m2g + m1g = FN

2. Newtonsches Axiom fr Masse m1:

Fx = FH12 = m1a1

2. Newtonsches Axiom fr Masse m2:

Fx = F FH21 FH2NDie Masse 2 bewegt sich nicht, wenn F H2NFN = H2N(m1 + m2) gilt.berschreitet die angelegte Kraft diesen Wert, dann muss die GleitreibungskraftFG2N = G2NFN eingesetzt werden.

Wir betrachten nun die untere Masse als bewegt.Wenn die Grenzkraft der Haftreibungskraft nicht berschritten wird, wenn also

FH1 H12FN21 ist, bewegen sich die beiden Krper zusammen. Die Haftreibungs-kraft FH12 = FH21 kann eliminiert werden.

F = (m1 +m2)a+FG2N = (m1 +m2)a+G2N(m1 +m2)g = (m1 +m2) [a + G2Ng](4.27)

Hier ist H12 = H21 der Haftreibungskoezient zwischen den Massen 1 und 2und H2N der Haftreibungskoezient zwischen der Masse 2 und der Unterlage.

Wenn die durch die Trgheit der Masse 1 generierte Kraft grsser als die maxi-male Haftreibungskraft ist, dann gleitet Masse 1 auf Masse 2. Dies tritt nicht auf,wenn

a1 =FH12m1

H12FN21m1

(4.28)



ist. Dies ist quivalent zu

a H12g (4.29)Damit ist die maximale Kraft

F Fmax = (m1 + m2)g [H12 + G2N ] (4.30)Gleitet Masse 1 ber Masse 2, dann ist die bertragene Kraft FG = G12m1g die

Gleitreibungskraft mit G12 dem Gleitreibungskoezienten zwischen den beidenMassen. Das horizontale Krftegleichgewicht fr die Masse 2 muss nun fr beideGrenzchen mit den Gleitreibungskoezienten geschrieben werden.

Die Masse 1 wird mit

a1 = G12g (4.31)beschleunigt; die Masse 2 mit

F FG12 FG2N = m2a2 (4.32)Also ist

a2 =F FG12 FG2N

m2(4.33)

Bemerkung: Wenn FH2N = H2N(m1+m2)g > Fmax = (m1+m2)g [H12 + G2N ]ist, ist es nicht mglich die Masse 2 in Bewegung zu setzen ohne dass Masse 1gleitet!

4.3.4. Krfte in bewegten BezugssystemenDieser Sto wurde am 31.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 115])Fallbewegung in einem bewegtenWagen. Der Wagen wird genau ab demMoment

beschleunigt, ab dem auch der Ball zu fallen beginnt.

Standpunkt eines ruhenden Beobachters: Fall in einem beschleunigten Wa-gen.Fr den ruhenden Fllt der Ball ganz gewhnlich. Fr ihn ist FG = mg die

Ursache der Bewegung.



Standpunkt eines mitbewegten Beobachters: Fall in einem beschleunigtenWagen.Fr den mitbewegten Beobachter sieht das ganze anders aus. Auf den Ball

scheint fr ihn die Kraft F = F G ma zu wirken. Auf den Ball wirkt vombeschleunigten Beobachter aus gesehen eine zustzliche Kraft ma, die in einemInertialsystem nicht wirkt. Diese von einem ruhenden Beobachter aus nicht vor-handene Kraft wird deshalb auch Scheinkraft genannt. Der Begri ist schlecht,da fr den mitbewegten Beobachter die Kraft ma sehr real ist. Der mitbewegte(beschleunigte) Beobachter muss die Scheinkraft F S = ma einfhren, um dieNewtonschen Axiome zu retten (diese gelten nach der Denition eigentlich nichtin einem beschleunigten Bezugssystem).Inertial-

system

In einem beschleunigten Wagen hngende Lampe. Links der Standpunkt ei-nes beschleunigten Beobachters, rechts der Standpunkt des mitbeschleunigtenBeobachters.Fr beide, den ruhenden und den mitbeschleunigten Beobachter ist die Seilspan-

nung im Seil, das die Lampe hlt, sowie das Gewicht der Lampe das gleiche. DieInterpretation ist aber verschieden.

Der ruhende Beobachter sagt: Die Lampe wird beschleunigt. Auf sie wirkenzwei Krfte: die Seilspannung F S und die Schwerkraft mg. Die resultie-rende Kraft ist die Beschleunigung der Lampe a mal deren Masse,also ma = mg + F S. Dabei ist die Beschleunigung der Lampe die gleichewie die des Wagens.

Fr den mitbewegten Beobachter ist die Lampe in Ruhe. Die resultierendeKraft ist die Gegenkraft zur Seilspannung. Der mitbewegte Beobachtermuss, um den Newtonschen Axiomen zur Geltung zu verhelfen, die KraftFS = ma einfhren.



4.3.4.1. Zentrifugalkraft(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 116])

Wir betrachten ein rotierendes Bezugsystem. Eine Masse m ist an einer Schnuran der Achse verbunden.

Der ruhende Beobachter beschreibt die Situation so: die Masse wird durchdie Schnurspannung auf eine Kreisbahn gezwungen. Die Geometrie der Bahnund die Geschwindigkeit legen die Zentripetalkraft FZP = mv

2

r= mr2 fest.

Der mitbewegte Beobachter beschreibt die Situation so: Der Krper ist ge-genber dem rotierenden Bezugssystem in Ruhe. Da eine Seilspannung be-obachtet wird, muss um den Newtonschen Axiomen genge zu tun, eineZentrifugalkraft FZF = mv

2

r= mr2 eingefhrt werden.

4.3.4.2. Die Erde als rotierendes System: CorioliskraftDieser Sto wurde am 31.10.2001 behandelt


Bewegung eines von einer rotierenden Scheibe geworfenen Balls. Links derStandpunkt des ruhenden Beobachters. Rechts derjenige des mitbewegten Be-obachters. (Fr diesen rotiert die Welt, analog dazu dass fr uns die sonne sichbewegt!)Rotierende Bezugssysteme knnen mit der Zentrifugalkraft alleine nicht be-

schrieben werden. Da bei gleicher Winkelgeschwindigkeit die lineare Geschwindig-keit vom Abstand zur Drehachse abhngt, muss eine den Abstand zur Drehachsendernde Bewegung notwendigerweise eine beschleunigte Bewegung sein. Diese Imrotierenden Bezugssystem auftretende Beschleunigung, die immer senkrecht zurGeschwindigkeit steht und verschwindet, wenn die Geschwindigkeit null ist, heisstdie Coriolis-Beschleunigung.

Die Coriolis-Beschleunigung und Coriolis-Kraft sind fr die lange Lebensdauerder Hochdruckgebiete und Tieftruckgebiete verantwortlich.



4.3.5. Numerische MethodenDieser Sto wurde am 31.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 118])Wie berechnet man eine Bahnkurve, wenn man die Kraft (Beschleunigung) ge-

geben ist? Diese Frage ist die gleich wie die Frage nach der Methode zum Lsenvon Dierenzialgleichungen.

Mit

< a > =v

t

< v > =x

t

Wir knnen die Geschwindigkeit zur Zeit t folgendermassen berechnen:

v(t)v1 = v0 + a0t (4.34)Die Geschwindigkeit zur Zeit 2t ist

v(2t) = v2 = v1 + a1t = v0 + a1t + a0t (4.35)Analoge Gleichungen gelten fr den Ort.Zusammen erhalten wir das Euler-Verfahren.

vi+1 = vi + ait

xi+1 = xi + vit (4.36)

Beispiel des Euler-Verfahrens mit a = a0(1 v2). Diese Gleichung simuliertden freien Fall mit Luftwiderstand.


61 4.4 Arbeit,Energie,Leistung

4.4. Arbeit,Energie,LeistungDieser Sto wurde am 6.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 129]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 20])MaterialienQuiz zur Energie2

Die Denitionen von Arbeit, Energie und Leistung weichenvon den im alltglichen Leben blichen Begrien ab!

Arbeit: Eine Kraft verrichtet nur dann Arbeit, wenn ihr Angrispunkt sichunter der Einwirkung der Kraft eine gewisse Strecke bewegt. Nur die Kraft-komponente entlang der Bewegung entlang der Bewegungsrichtung trgt zurArbeit bei. Wenn Sie unter grosser Kraftanstrengung einen Gegenstand inPosition halten, dann leisten Sie im Sinne der Physik keine mechanische Ar-beit.

Energie bezeichnet die Fhigkeit eines Systems, Arbeit zu leisten. Leistet einphysikalisches System an einem zweiten Arbeit, dann wird Energie ausge-tauscht. Energieformen sind die Bewegungsenergie, auch kinetische Energiegenannt, die Lageenergie, potentielle Energie genannt, Energie der elektro-statischen und magnetischen Felder sowie Wrmeenergie.

Leistung bezeichnet die rate des Energietransfers oder der Arbeit, also Arbeitpro Zeit.

4.4.1. Arbeit und Energie bei konstanter Kraft, kinetischeEnergie



2http://www.physik.uni-muenchen.de/didaktik/U_materialien/leiphysik/leitest/quiz/sq09_05.htm


http://www.physik.uni-muenchen.de/didaktik/U{_}materialien/leifiphysik/leifitest/quiz/sq09{_}05.htm


ArbeitDie Arbeit W im obigen Bild ist

W = F cos x = Fxx (4.37)

Einheit der Arbeit oder Energie 1J = 1Nm = 1m2kgs2

4.4.1.1. BeschleunigungsarbeitDieser Sto wurde am 6.11.2001 behandelt

(Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 29])Materialien:Folien zur Vorlesung am 06. 11. 2001 PDFbungsblatt 4 vom 06. 11. 2001 (HTML oder PDF)Bei konstanter Beschleunigung und konstanter Masse ist

Fx = max

Der zurckgelegte Weg ist nach Gleichung (3.24)

v2e = v20 + 2ax (4.38)

Arbeit:

W = Fxx = maxx = m

[v2e2 v

20

2

]=

1

2mv2e

1

2mv20 (4.39)

Die Beschleunigungsarbeit ndert oensichtlich eine Grsse, die nur von derMasse und von der Geschwindigkeit abhngt.




Die kinetische Energie Ekin = 12mv2 ist die in der Bewegung in-newohnende Energie, die zur Arbeitsleistung herangezogen wer-den kann

4.4.2. Arbeit und Energie bei vernderlicher Kraft


(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 134])Wenn die Kraft nicht konstant ist, so kann die Strecke s in n Teilstrecken s/n

aufgeteilt werden.Die Flche unter der Kurve ist dann

W = limn

n1j=0

Fjs

n=

x1+s

x1

Fx(x)dx (4.40)

Der Grenzwert ist das Integral.

Das Integral

W =

x2

x1

F (x)dx (4.41)

ist die Denition der Arbeit

Beispiel: Flche unter g() = sin()

Das Resultat ist0

sin()d = cos()|0 = 2.



Flche unter der Kurve sin() zwischen 0 und . Der Untertitel gibt die AnzahlSchritte sowie das numerische Resultat.

4.4.2.1. Spannarbeit, Arbeit bei vernderlicher Kraft


(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 134]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 134])Beispiel: wir spannen eine Feder.Das Kraftgesetz einer Feder ist

F (x) = kx (4.42)Das Minuszeichen bedeutet, dass die Kraft entgegengesetzt zur Auslenkung ge-

richtet ist. k mit der Einheit N/m ist die Federkonstante.



Wenn ich als Experimentator die Feder spanne, dann muss ich dieKraft Fexp(x) =F (x) ausben. Die Arbeit, die ich leiste, ist

W =

x

0

Fexp()d = x

0

F ()d =

x

0

(k)d (4.43)

Die Spannarbeit beim Spannen von 0 nach x ist also

W (x) =

x

0

F ()d =

x

0

(k)d (4.44)

Wir mssen die von uns aufgebrachte Kraft , also die Reaktionskraft zur Feder-kraft, einsetzen und erhalten richtigerweise positive Krfte. Die Arbeit, die dieFeder verrichtet, ist gegeben aus der durch die Feder erzeugten Kraft und demWeg: deshalb muss ein Minuszeichen weniger stehen.

Die Arbeit, die ich an einem System verrichte, wird in demSystem als potentielle Energie gespeichert.

Eine quivalente Aussage ist: Die potentielle Energie istdie Arbeit gegen die Feldkraft.

4.4.2.2. Nicht-lineares Kraftgesetz (F = Dr2)Dieser Sto wurde am 6.11.2001 behandelt

Wir setzten das Kraftgesetz F = Dr2 in die Gleichung (4.40) ein, bercksich-tigen, dass wir gegen diese Kraft arbeiten mssen und erhalten

W =

r2

r1

(Dr2)dr = D3

r3r2

r1

=D

3

[r32 r31

](4.45)

4.4.3. Allgemeine Formulierung der Arbeit bei 3Dimensionen


(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 137])Wir betrachten einen Massepunkt, der sich auf einer beliebigen Bahn im 3-

dimensionalen Raum bewegt. Bei der Kreisbewegung sahen wir, dass eine senk-recht zur momentanen Geschwindigkeit gerichtete Beschleunigung den Betrag derGeschwindigkeit nicht ndert. Wir betrachten nun zur Berechnung der Arbeit Wdie entlang des Weges wirkende Kraft Fs.



W = Fss (4.46)wobei s die Lnge einer an die Bahnkurve angelegten Sehne ist.Grenzwert

W =

s2

s1

Fsds (4.47)

wobei die Lnge der Strecke entlang der Bahnkurve mit s gemeint ist.2. Newtonsches Axiom

Fs = mdv

dt(4.48)

Es gilt, wenn wir die Geschwindigkeit entlang der Bahnkurve s(t) mit der Ket-tenregel ausrechnen. ds ist ein Weglngenelement entlang der Bahnkurve.

dv

dt=

dv

ds

ds

dt= v

dv

ds(4.49)

Arbeit

Wges =

s2

s1

Fsds =

s2

s1

mdv

dtds =

s2

s1

mvdv

dsds =

s2

s1

mvdv =1

2mv22

1

2mv21 (4.50)

In 3 Dimensionen ist die kinetische Energie wie in einerDimension durch

Ekin =1

2mv2 (4.51)

gegeben.

4.4.3.1. Skalarprodukt(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik[BSMM00, 189])

Ist F nicht entlang der Bahnkurve ds gerichtet, dann muss die Komponente vonf entlang ds berechnet werden. Wenn der Winkel zwischen der Bahnkurve undder Kraft ist, gilt

Fs = (F cos ) (4.52)



Die Funktion, deren Resultat von einem Winkel zwischen zwei Vektoren ab-hngt, ist das Skalarprodukt.Denition

A B = AB cos (4.53)Rechenregeln A A = A2 Skalarprodukt eines Vektors mit sich selber. Die Lnge eines

Vektors ist also |A| =|A|2 = A A

A B = B A Kommutativitt (A + B) C = A C + B C Distributivgesetz A B = (Axex + Ayey + Azez) (Bxex + Byey + Bzez) = AxBx + AyBy +

AzBz. Komponentenschreibweise. Bei der Rechnung muss bercksichtigt wer-den, dass die Einheitsvektoren ei jeweils paarweise senkrecht aufeinanderstehen. Deshalb sind alle Skalarprodukte ei ej = i,j. Die Funktion i,j hatzwei Wertei,j =

{0 i 6= j1 i = j

Nun ist die Arbeit entlang eines innitesimalen Vektors ds entlang der Bahn-kurve durch

dW = F cos ds = F ds (4.54)oder in Integralform

Allgemeine Denition der Arbeit

W =

s2

s1

F ds (4.55)

4.4.4. Potentielle EnergieDieser Sto wurde am 6.11.2001 behandelt


Die an einem System verrichtete Arbeit fhrt zu einer nderungdes Energieinhaltes eines Systems. Diese gespeicherte Energiekann bei Bedarf abgegeben werden. Sie heisst deshalb potenti-elle Energie



Potentielle Energien existieren nur, wenn die Krfte konservativsind.

Eine Kraft heisst konservativ, wenn die gesamte Arbeitentlang einer geschlossenen Bahn null ist.

Die Arbeit, die eine konservative Kraft an einem Massen-punkt verrichtet ist unabhngig vom Weg

Wenn ein System mit Hilfe seiner potentiellen Energie Arbeit verrichtet, dannnimmt seine potentielle Energie ab.

W =

F ds = Epot (4.56)

Anders gesagt,

dEpot = F ds (4.57)

Epot = Epot,2 Epot,1 = W = s2

s1

F ds (4.58)

Die Lageenergie eines Krpers in Nhe der Erdoberche ist (Kraft F z = mgez

dEpot = F ds = (mgez) (dxex + dyey + dzez) = mg dz (4.59)

oder

Epot = E pot,0 + mgz (4.60)



Auf die Frage nach der Denition der potentiellen Energiemit Epot = mgh zu antworten ist falsch. Diese Formel ist einSpezielfall, eine Anwendung der Gleichung

Epot = Epot,2 Epot,1 = s2

s1

F ds,

was die richtige Antwort wre.


MaterialienFolien zur Vorlesung am 07. 11. 2001 PDFBeispiel: FederDie Federkraft ist F = kx. Deshalb ist die potentielle Energie der Feder

Epot = x

0

F ()d = x

0

kd = k x

0

d =1

2kx2 (4.61)

Beispiel: Feder mit progressiver KennlinieSei F (x) = k(x + x3). Dann ist

Epot = x

0

k( + 3)d = k x

0

+ 3d =k

2x2

(1 +

x2

2

)(4.62)

4.4.4.1. GleichgewichtDieser Sto wurde am 7.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 147])Die potentielle Energie Epot(r), die Bahnkurve s(r) und die Kraft F (r), die

ber die Gleichung (4.57) miteinander verbunden sind, hngen alle vom Ort ab.In einer Dimension ist klar, dass wenn

Epot(s2) = s2

s1

F (s)ds (4.63)

ist, dass dann auch



F (s) = dEpotds

(4.64)

sein muss. In drei Dimensionen kann man sich berlegen, dass die drei Kraft-komponenten entlang der x-, der y- und der z-Achse die Bewegung in Richtung derjeweiligen anderen Achsen nicht beeinussen (orthogonale Vektoren). Wir hattenbei der Behandlung des schiefen Wurfes gesehen, dass dies so war. Also scheint esangebracht, dass die x Komponente der Kraft nur von der Ableitung der potenti-ellen Energie nach x abhngt.

Fx(x,y,z) = Epotx

Fy(x,y,z) = Epoty

Fz(x,y,z) = Epotz

(4.65)

Die Schreibweise f(x,y,z)x meint, dass man bei der Berechnungder Ableitung die Variablen y und z konstant setzt. Dies ist diepartielle Ableitung nach x

Die drei Operationen aus Gleichung (4.65) schreibt man kompakt als Gradien-tenbildung

F = gradEpot = (

Epotx

,Epoty

,Epotz

)= Epot (4.66)

= ex x + ey y + ez z heisst Nabla-Operator und ist eine Kurzschreibweisefr die Bildung der drei partiellen Ableitungen.

Bei einer Feder ist die potentielle Energie Epot = 12kx2. Die Kraft auf das Fede-rende ist gegeben durch F = dEpot

dx= kx. Fr die Lage x = 0 ist die Kraft auf

das Federende null: dies ist eine Ruhelage. Bei einer Auslenkung aus der Ruhela-ge wirkt die Kraft so, dass das Federende gegen die Ruhelage beschleunigt wird(Minuszeichen in der Kraft).

Man unterscheidet die folgenden Gleichgewichte:

Ein Teilchen bendet sich in einer Ruhelage, wenn die Kraft auf das Teilchennull ist, wenn also die Potentielle Energie ein Extremum hat F = dEpot

dx.

Die Gleichgewichtslage heisst stabile Gleichgewichtslage, wenn die poten-tielle Energie ein Minimum hat (wie bei der Feder). Ein Minimum liegt vor,wenn die zweite Ableitung d2Epot

dx2> 0 ist. Allgemeiner: Ein Minimum liegt

vor, wenn die erste nicht verschwindende Ordnung der Ableitungen geradeist und ihr Wert grsser null ist.



Eine Gleichgewichtslage heisst labiles oder instabiles Gleichgewicht,wenn die potentielle Energie in der Gleichgewichtslage ein Maximum hat.Dies ist quivalent zu der Aussage, dass die zweite Ableitung d2Epot

dx2< 0 ist.

Allgemeiner: Ein Maximum liegt vor, wenn die erste nicht verschwindendeOrdnung der Ableitungen gerade ist und ihr Wert kleiner null ist.

Ein indierentes Gleichgewicht liegt vor, wenn die erste Ableitung derpotentiellen Energie in der Umgebung der Gleichgewichtslage konstant gleichnull ist.

Beispiel:Kraft auf zwei Kondensatorplatten (Elektrostatische MEMS)Ohne Beweis: Zwei Kondensatorplatten der Flche A im Abstand x geladen auf

die Spannung U ziehen sich mit

F = 0 Ax2

U2 (4.67)

Die potentielle Energie ist dann

Epot(x) =

x

0 Ax2

U2dx

= 0AU2

x

1

x2dx

= 0A

xU2

x

= 0Ax

U2 (4.68)

Wenn wir nun eine Blattfeder mit der Aufhngung im Abstand x0 montieren,so hat diese die potentielle Energie

Epot,Feder =1

2k(x x0)2 (4.69)

Zusammen ist die potentielle Energie

Epot,gesamt =1

2k(x x0)2 0A

xU2 (4.70)



-10

-5

0

5

10

15

20

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Epo

t

x

Diese Funktion ist fr verschiedene x0 = [0.5,1,2,3,4] gezeichnet (von rot bistrkis).Die Kraft ist dann

F = dEpotdx

= k(x x0) 0 Ax2

U2 (4.71)

-10

-5

0

5

10

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

F

x

Krfte berechnet fr x0 = [0.5,1,2,3,4] (von rot bis trkis) und konstanteangelegte Spannung. Fr die beiden kleinsten Werte existiert keine Ruhelage.

Die Gleichgewichtslage wird mit F (xR) = 0 berechnet. Uns interessiert die Ru-helage als Funktion der angelegten Spannung U . Die Bestimmungsgleichung istvon dritter Ordnung. Wenn xL ein Schtzwert ist, dann setzen wir xR = xL + x



ein und vernachlssigen alle Terme, in denen x mit einer hheren als der erstenPotenz vorkommt.

0 = x2R(xR x0) + 0A

kU2

= x3R x0x2R + 0A

kU2

= (xL + x)3 x0(xL + x)2 + 0A

kU2

= x3L + 3x2Lx + . . . x0x2L 2x0xLx . . . + 0

A

kU2 (4.72)

Aufgelst ergibt sich die Rekursionsformel

x = x3L x0x2L + 0 Ak U2

3x2L 2x0xL(4.73)

Die erste Nherung erhalten wir, indem wir xL = x0 setzen.

x = 0AkU2

x20(4.74)

also

xR = x0 0

AkU2

x20(4.75)

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 2 4 6 8 10

x

U

1. (grn, bzw. lila) und 2. (rot bzw blau) Nherungslsung fr die Gleichge-wichtslage als Funktion der angelegten Spannung. Man beachte, dass die bei-den Nherungslsungen nur fr kleine Spannungswerte bereinstimmen. DieDiskrepanz rhrt daher, dass dieses System eine eingebaute Instabilitt besitztund eine analytische Nherungslsung in deren Nhe versagt.



4.4.5. EnergieerhaltungssatzDieser Sto wurde am 7.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 158]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 25])Materialien Energieerhaltung und Zeit zum Durchlaufen einer Strecke3

Billard und Energieerhaltung4

Bei einem rein mechanischen konservativen System muss die vom System geleis-tete in die nderung der kinetischen Energie gesteckt werden.

Wges =

F ds = Epot = +Ekin (4.76)

Anders geschrieben

Epot + Ekin = (Epot + Ekin) = 0 (4.77)

Das bedeutet, dass die mechanische Gesamtenergie

E = Epot + Ekin = const (4.78)fr konservative Systeme konstant ist. Dies ist der Energieerhaltungssatz

der Mechanik.

4.4.5.1. Harmonischer OszillatorDieser Sto wurde am 7.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 394])Bei einem harmonischen Oszillator wird Energie zwischen zwei Reservoirs hin

und her verschoben, zwischen der kinetischen Energie und der potentiellen Energie.

Harmonischer Oszillator mit Feder-Masse-System, Federkonstante k, Masse m.

3http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/6-6/index.html4http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/9-10/index.html


http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/6-6/index.htmlhttp://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/9-10/index.html


Potentielle Energie

Epot(x) =1

2kx2 (4.79)

Kinetische Energie mit v(x)

Ekin(x) =1

2mv2(x) (4.80)

Gesamtenergie

Etot = Ekin + Epot =1

2

(kx2 + mv2(x)

)= const (4.81)

Potentielle Energie (rot) und kinetische Energie (Blau) beim harmonischenOszillator

4.4.5.2. Mathematisches SchwerependelDieser Sto wurde am 7.11.2001 behandelt

In einem Potential Epot(z) gilt

Epot(z) +1

2mv2(z) = E = const (4.82)

Die Geschwindigkeit ist also gegeben durch

v(z) =

2 [E Epot(z)]

m(4.83)

Beispiel:Im Schwerefeld ist Epot = mgz. Wenn h die Referenzhhe ist, gilt

v(z) =

2g(h z) (4.84)



Fadenpendel. Die Hhe ist h = L L cos .Der Energieerhaltungssatz der Mechanik besagt, dass

E = Ekin + Epot =1

2mv2(h) + mgh (4.85)

Wenn hmax die Hhe bei der maximalen Auslenkung ist, dann ist

mghmax =1

2mv2(h) + mgh (4.86)

Umgerechnet erhlt man

v =

2g(hmax h)=

2g(L(1 cos max) L(1 cos ))

=

2gL(cos cos max) (4.87)

4.4.5.3. Ebenes 2-dim. Pendel mit lin. KraftgesetzDieser Sto wurde am 7.11.2001 behandelt

Ein zweidimensionales Pendel liegt vor, wenn die potentielle Energie durch

Epot =1

2k

(x2 + y2

)(4.88)

gegeben ist. Die Kraft ist

F = Epot = k(

xy

)(4.89)

Dieses Pendel zeigt Bewegungen, die in der x-Richtung und in der y-Richtungharmonische Funktionen sind, aber eine Phase beinhalten knnen.



r(t) =

(x0 cos(t)

y0 cos(t + )

)(4.90)

Dies sind Lissajous-Figuren.Das Potential muss nicht rotationssymmetrisch sein. Wenn wir annehmen, dass

die x- und die y-Achse Hauptachsen sind, dann kann das Potential als

Epot =1

2

(kxx

2 + kyy2)

(4.91)

geschrieben werden. Die Kraft ist

F = Epot = (

kxxkyy

)(4.92)

Dieses Pendel zeigt Bewegungen, die in der x-Richtung und in der y-Richtungharmonische Funktionen sind, aber wie vorher auch eine Phase beinhalten knnen.

r(t) =

(x0 cos(xt)

y0 cos(yt + )

)(4.93)

Diese Lissajous-Figuren beschreiben nur dann geschlossene Bahnen, wenn x/yeine rationale Zahl ist.

4.4.6. Verallgemeinerter EnergiesatzDieser Sto wurde am 13.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 158])Wenn nichtkonservative Krfte, also Reibungskrfte, vorhanden sind, dann gilt

fr die Arbeit, die in diese nichtkonservativen Krfte geht:

Wnk = Epot + Ekin = E 0 (4.94)Die nichtkonservativen Krfte verringern also die mechanische Energie eines Sys-

tems.

4.4.7. LeistungDieser Sto wurde am 13.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 165])MaterialienFolien zur Vorlesung am 13. 11. 2001 PDFbungsblatt 5 vom 13. 11. 2001 (HTML oder PDF)

Die Leistung gibt an, wie schnell Energie (Arbeit) von einemSystem auf ein zweites bertragen wird.




dW = F ds = F vdt (4.95)

oder

P =dW

dt= F v (4.96)

Einheit: 1Js

= 1W , Watt

Beispiel:

Ein Lastwagen der Masse m fhrt einen Berg der Steigung mit der Geschwin-digkeit v hoch. Was ist die minimal bentigte Leistung?

Es gilt:

vz = v sin (4.97)

und damit

P = mgvz = mgv sin (4.98)

Wenn die Masse des Lastwagens m = 40000kg und seine Geschwindigkeit v =10m/s ist, erhalten wir

Winkel Steigung [%] Leistung [kW]0 0 0

/1000 0.314 12,3/100 3.14 123/50 6.3 246/20 15.8 614

Umgekehrt, wenn P = 400kW ist, ist die maximale Geschwindigkeit

Winkel Steigung [%] Geschwindigkeit [m/s]/1000 0.314 325/100 3.14 32.45/50 6.3 16.23/20 15.8 6.52/10 32.5 3.24/4 100 1.30

Fr einen Personenwagen mit m = 2000kg und P = 100kW gilt


79 4.5 Teilchensysteme und Impulserhaltung

Winkel Steigung [%] Geschwindigkeit [m/s]/1000 0.314 1625/100 3.14 162.3/50 6.3 81.2/20 15.8 32.6/10 32.5 16.2/4 100 6.5

4.5. Teilchensysteme und ImpulserhaltungDieser Sto wurde am 13.11.2001 behandelt


4.5.1. MassenmittelpunktDieser Sto wurde am 13.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 177])Auf einer Geraden ist der Ort des Massenmittelpunktes xS ist durch

mgesxS = m1x1 + m2x2 (4.99)

Dies ist der mit der Masse gewichtete Mittelwert der Position.Allgemein fr n Massen

xS =

ni=1

mixi

ni=1

mi

(4.100)

In drei Dimensionen bei n Teilchen

rS =

ni=1

miri

ni=1

mi

(4.101)

Fr kontinuierliche Massenverteilungen

rS =

rdmdm

=

r(r)dVrdV

(4.102)

Methode zur Bestimmung des Massenmittelpunktes:



Ein ebener Testkrper muss mindestens zweimal aufgehngt werden, um denSchwerpunkt S zu nden. Bei einem nicht ebenen Krper sind mindestens dreiPunkte ntig.

4.5.1.1. Bewegung des Massemittelpunktes


(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 182])Wiederholung: Denition des Schwerpunktes.

mgesrS =

(n

i=1

mi

)rS =

i=1

miri (4.103)

Wir leiten ab und erhalten die Geschwindigkeit (die Masse soll konstant sein)

mgesdrSdt

= mgesvS =n

i=0

midridt

=n

i=0

mivi (4.104)

Wir leiten ab und erhalten die Beschleunigung (die Masse soll konstant sein)

mgesdvSdt

= mgesaS =n

i=0

midvidt

=n

i=0

miai (4.105)

Auf das i-te Massenstck wirken interne Krfte F i,j und externe Krfte F i,a.Nach Newton gilt

F i =n

j=1,i 6=jF i,j + F i,a (4.106)

Die beiden letzten Gleichungen kombinieren



mgesaS =n

i=1

[n

j=1,i6=jF i,j + F i,a

]=

ni=1

n

j=1,i 6=jF i,j +

ni=1

F i,a (4.107)

Fr die internen Krfte gilt nach dem 3. Newtonschen Axiom

F i,j = F j,i (4.108)Also wird die Doppelsumme ber die internen Krfte gleich null.

F ext =n

i=1

F i,a = mgesaS (4.109)

Ein System von Massen bewegt sich so, wie wenn die Summe aller usserenKrfte am Massenmittelpunkt angreifen wrde.

4.5.2. ImpulserhaltungDieser Sto wurde am 13.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 185])Materialien

Impulserhaltung und Bezugssysteme5

Wir betrachten zwei Teilchen der Masse mi, die die Krfte F 1,2 und F 2,1 auf-einander ausben.2. Newtonsches Axiom:

F 2,1 =dp1dt

F 1,2 =dp2dt

(4.110)

3. Newtonsches Axiom F 1,2 = F 2,1

0 =dp1dt

+dp1dt

=d(p1 + p2)

dt(4.111)

Daraus folgt:

Wenn keine usseren Krfte wirken, gilt, dass p1 + p2 =const ist, also dass der Gesamtimpuls erhalten wird. DieFormel lsst sich zwanglos auf eine beliebige Anzahl Teilchenerweitern.

5http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/8-2b/index.html


http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/8-2b/index.html


pges =n

i=1

mivi = mgesvS (4.112)

Nun ist nach dem 2. Newtonschen Axiom

F ges = F ext =n

i=1

F i,a =dpgesdt

(4.113)

Ohne ussere Krfte

pges = mgesvS =n

i=1

mivi = const (4.114)

Gesetz der Impulserhaltung

4.5.3. Massenmittelpunkt als BezugssystemDieser Sto wurde am 13.11.2001 behandelt


Kollision zweier Lastwagen mit unterschiedlichen Massen und unterschiedlicherGeschwindigkeit dargestellt im LaborsystemIm Laborsystem sollen die Geschwindigkeiten v1 und v2 sein. Wenn vS = v1m1+v2m2m1+m2

die Geschwindigkeit des Schwerpunktes ist, ist

u1 = v1 vSu2 = v2 vS (4.115)

Kollision zweier Lastwagen mit unterschiedlichen Massen und unterschiedlicherGeschwindigkeit dargestellt im Schwerpunktsystem



Im Schwerpunktsystem haben beide Lastwagen den gleichen Impuls (der Ge-samtimpuls ist ja null). Also gilt dort

p1 = p2 = m1u1 = m2u2 (4.116)Wenn wir einen elastischen Stoss annehmen, dann wird u1 u1 = u1 und

u2 u2 = u2. Die neuen Geschwindigkeiten sind dann:

v1 = u1 + vS = vS u1

= 2vS v1 = 2m1v1 + 2m2v2 m1v1 m2v1m1 + m2

=m1v1 + m2(2v2 v1)

m1 + m2v2 = u

2 + vS = vS u2

= 2vS v2 = 2m1v1 + 2m2v2 m1v1 m2v2m1 + m2

=m2v2 + m1(2v1 v2)

m1 + m2(4.117)

Setzen wir m1 = 1000kg (Smart), m2 = 3000kg (z.B. Mercedes-Benz) undv1 = 10m/s und v2 = 10m/s (eine Frontalkollision in der 30-er Zone). Dannerhalten wir v1 = 20m/s und v2 = 0m/s. Die gesamte kinetische Energie beiderAutos wird also in das leichtere der beiden bertragen.

Setzen wir m1 = 1000kg (Smart), m2 = 3000kg (z.B. Mercedes-Benz) undv1 = 30m/s = 108km/h und v2 = 60m/s = 216km/h (eine Auahrkollision aufder Autobahn). Dann erhalten wir v1 = 75m/s = 270km/h und v2 = 45m/s =162km/h, eine ziemlich unangenehme Situation fr die Insassen des leichterenAutos.

4.5.4. Kinetische Energie eines TeilchensystemsDieser Sto wurde am 14.11.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 194])MaterialienFolien zur Vorlesung am 14. 11. 2001 PDFWir betrachten ein System von n Teilchen, jedes

Download - Vorlesungsskript Physik 1 für Ingenieure · (SieheTipler,Physik[Tip94,1]) (SieheGerthsen,Physik[GV95,1]) WirrechneninunsererVorlesungausschliesslichmitdemgesetzlichenEinhei-tensystem:SI

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