vorlesungsskript grundlagen der physik 2 wärmelehre · tipler, physik [tip94] und giancoli, physik...

Vorlesungsskript

PHYS2100

Grundlagen der Physik II

für

Physiker, Wirtschaftsphysiker und

Lehramtskandidaten

Othmar Marti

Institut für Experimentelle Physik

Universität Ulm

29. Oktober 2007

Auskünfte aus erster Hand gibt nur die Natur selbst. Sie

ist also zu befragen, will man nicht zeitlebends am

Krückstock von Autoritäten humpelnd lernen.

Roger Bacon, Mönch zu Oxford, 13. Jh.

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 111.1. Dank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Übungsblätter, Testfragen, Folien und Versuche . . . . . . . . . . . 111.3. Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Termine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1. Vorlesungstermine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.2. Seminargruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.3. Seminardaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Schwingungen und eindimensionale Wellen 172.1. Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1. Harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2. Phasenbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.3. Gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.4. Erzwungene (gedämpfte) Schwingung und Resonanz . . . . . 322.1.5. Überlagerung von Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.6. Gekoppelte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.7. Verallgemeinerung: Fundamental- oder Eigenschwingungen . 45

2.2. Wellen in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2.1. Wellenberge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2.2. Ausbreitungsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2.3. Harmonische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.4. Energieübertrag bei Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.5. Superposition und Interferenz harmonischer Wellen . . . . . 54

3. Mechanik deformierbarer Medien 573.1. Elastomechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.1. Dehnung und Kompression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.2. Scherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.1.3. Verdrillung eines Drahtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.1.4. Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1.5. Beziehung zwischen den elastischen Konstanten . . . . . . . 633.1.6. Anelastisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.1.7. Elastomechanik anisotroper Körper . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2. Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.1. Aggregatszustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.2. Gestalt von Flüssigkeitsoberächen . . . . . . . . . . . . . . 673.2.3. Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Inhaltsverzeichnis 6

3.2.4. Schweredruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.5. Gasdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.2.6. Atmosphärendruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2.7. Druck als Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3. Oberächenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3.1. Freie Oberächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3.2. Benetzende Flüssigkeiten, Kapilarität . . . . . . . . . . . . . 82

3.4. Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.4.1. Beschreibung von Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.4.2. Lokale und totale Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.4.3. Innere Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4.4. Laminare Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4.5. Strömung idealer Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 963.4.6. Strömungswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.4.7. Helmholtzsche Wirbelsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4. Wärmelehre 1014.1. Wärmeenergie und Temperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.1.1. 0. Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.1.2. Gleichverteilungsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.1.3. Thermometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.1.4. Freiheitsgrade in der Wärmelehre . . . . . . . . . . . . . . . 1074.1.5. Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.2. Kinetische Gastheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.3. Der erste Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4. Wärmekapazität bei konstantem Druck . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.4.1. Adiabatenexponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.4.2. Zustandsdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.5. Maxwell-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.6. Stösse von Molekülen, Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . 123

4.6.1. Mittlere freie Weglänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.6.2. Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.7. Boltzmannverteilung und Diusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.7.1. Diusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.7.2. Diusionsgleichgewicht im Gravitationsfeld . . . . . . . . . . 132

4.8. Wärmekraftmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.8.1. Otto-Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.8.2. Carnot-Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.9. Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.9.1. Lineare Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.9.2. Wärmeübertrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.9.3. Wärmeleitung in einem Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.10. Der zweite Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.10.1. Beispiel für Perpetuum Mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.10.2. Entropie, Statistische Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

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7 Inhaltsverzeichnis

4.10.3. Energie und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.10.4. Gleichgewicht von Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.11. Wärmereservoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.12. Wie breit ist das Maximum der Zustandsfunktion? . . . . . . . . . . 1644.13. Anzahl Zustände und externe Parameter . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.13.1. Gleichgewicht bei veränderbarem Teilvolumen . . . . . . . . 1704.14. Eigenschaften der Entropie, dritter Hauptsatz . . . . . . . . . . . . 172

4.14.1. Verhalten der Entropie beim Temperaturnullpunkt . . . . . 1744.14.2. Wärmekapazitäten in der Nähe des Temperaturnullpunktes . 1754.14.3. Wirkungsgrad bei T = 0K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4.15. Anwendung auf das ideale Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.16. Mischungsentropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

4.16.1. Bestimmung von Entropiedierenzen . . . . . . . . . . . . . 1794.17. Extensive und intensive Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.18. Relationen zwischen thermodynamischen Grössen . . . . . . . . . . 182

4.18.1. Relationen zwischen S, U, V, T, p . . . . . . . . . . . . . . . 1834.19. Maxwellrelationen für homogene Substanzen . . . . . . . . . . . . . 184

4.19.1. Abgeleitet aus der inneren Energie . . . . . . . . . . . . . . 1844.19.2. Abgeleitet aus der Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.19.3. Abgeleitet aus der freien Energie . . . . . . . . . . . . . . . 1864.19.4. Abgeleitet aus der freien Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . 1874.19.5. Zusammenfassung der Maxwellrelationen . . . . . . . . . . . 1884.19.6. Die vier thermodynamischen Potentiale . . . . . . . . . . . . 1884.19.7. Gleichgewichte und thermodynamische Potentiale . . . . . . 190

4.20. Allgemeine Formel für spezische Wärmen . . . . . . . . . . . . . . 1954.20.1. Volumenabhängigkeit von CV . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974.20.2. Volumen- und Temperaturabhängigkeit der inneren Energie 199

4.21. Anwendung auf das van-der-Waals-Gas . . . . . . . . . . . . . . . . 1994.21.1. Einuss des Eigenvolumens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

4.22. Joule-Thomson-Eekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2074.22.1. Überströmversuch im Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . 2104.22.2. Anwendung des Joule-Thomson-Eektes . . . . . . . . . . . 214

4.23. Aggregatszustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2174.23.1. Verdampfungsenergie und Steigung der Dampfdruckkurve . . 2194.23.2. Arrhenius-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2204.23.3. Koexistenz von Festkörper und Flüssigkeit . . . . . . . . . . 2214.23.4. Phasenregel von Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

4.24. Mehrstosysteme, Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2224.24.1. Mischung von idealen Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2224.24.2. Reversible Entmischung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244.24.3. Entropiezunahme und Diusion . . . . . . . . . . . . . . . . 2254.24.4. Entropie bei Mehrstosystemen . . . . . . . . . . . . . . . . 2274.24.5. Chemische Potentiale und weitere Maxwellrelationen . . . . 2294.24.6. Zweiphasensystem als Zweikomponentensystem . . . . . . . 231

4.25. Chemische Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

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4.25.1. Reaktionsenthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2364.26. Osmose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2384.27. Mischungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

4.27.1. Hebelgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2414.27.2. Kategorisierung von Diagrammen . . . . . . . . . . . . . . . 242

A. Begrie 249

B. Skalarprodukt und Vektorprodukt in kartesischen Koordinaten 261

C. Dierentiation und Integration 263C.1. Dierentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264C.2. Dierentiation einfacher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265C.3. Taylorreihe und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266C.4. Einige Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268C.5. Ableitungen in drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

C.5.1. Gradient in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . 270C.5.2. Divergenz in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . 271C.5.3. Rotation in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . 272

D. Identitäten mit Vektorprodukt, Gradient, Divergenz und Rotation 275

E. Rechnen mit Integralen 277E.1. Unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278E.2. Berechnung von Linienintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280E.3. Berechnung der Fläche unter der Gausskurve . . . . . . . . . . . . . 280E.4. Mittlerer Geschwindigkeitsbetrag der Maxwell-Boltzmann-Verteilung 281

F. Umrechnungen zwischen Koordinatensystemen 283F.1. Vom kartesischen ins sphärische System . . . . . . . . . . . . . . . . 284F.2. Vom sphärischen ins kartesische System . . . . . . . . . . . . . . . . 284F.3. Vom kartesischen ins zylindrische System . . . . . . . . . . . . . . . 284F.4. Vom zylindrischen ins kartesische System . . . . . . . . . . . . . . . 284F.5. Vom sphärischen ins zylindrische System . . . . . . . . . . . . . . . 285F.6. Vom zylindrischen ins sphärische System . . . . . . . . . . . . . . . 285

G. Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in Kugelkoordinaten 287G.1. Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289G.2. Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

G.2.1. Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

H. Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken 299

I. Mittelung über den Stossquerschnitt 301

J. Umrechnungen: Harmonischer Oszillator 303


9 Inhaltsverzeichnis

K. Umrechnung von thermodynamischen Funktionen 305

L. Korrekturen 311

Abbildungsverzeichnis 312

Tabellenverzeichnis 318

Stichwortverzeichnis 323


1. Einleitung

1.1. Dank

Ohne die hingebungsvolle Arbeit des Entzierns meiner Handschrift durch TamaraStadter würde dieses Skript nicht existieren.

1.2. Übungsblätter, Testfragen, Folien undVersuche

ÜbungsblätterAngegeben ist das Ausgabedatum.

• Hier werden Sie Links auf die Übungsblätter und die Lösungsblätter nden.

• Übungsblatt 01 ausgegeben am 17. 04. 2007Lösungsblatt 01 ausgegeben am 17. 04. 2007









Einleitung 12





• Aufgaben und Lösungen der Klausur vom 28. 7. 2007

• Aufgaben und Lösungen der Nachklausur vom 29. 10. 2007

Folien

• Folien zur Vorlesung am 16. 04. 2007 PDF


















13 1.3 Literaturhinweise








Übungsblätter und Folien werden in der Regel in der Vorlesung zugänglich ge-macht.

Versuche

16.04.2007

• Versuch zur Vorlesung: Plastikfedern (Versuchskarte M-117)

• Versuch zur Vorlesung: Federkräfte (Versuchskarte M-018)

• Versuch zur Vorlesung: Masse-Feder-System (Versuchskarte M-136)

• Link zur Vorlesung:(Simulation der harmonischen Schwingung)

• Versuch zur Vorlesung: Federpendel (Versuchskarte M-105)

• Link zur Vorlesung:(Schwingung und Kreisbewegung)

• Link zur Vorlesung:(Federpendel im Schwerefeld)

• Link zur Vorlesung:(Federpendel im Schwerefeld)

• Link zur Vorlesung:(Fadenpendel)

• Versuch zur Vorlesung: Mathematisches Pendel (Versuchskarte M-014)

• Versuch zur Vorlesung: Drehpendel (Versuchskarte SW-021)

1.3. Literaturhinweise

Als Begleitliteratur zur Vorlesung können die Lehrbücher Gerthsen Physik[Mes04],Tipler, Physik[Tip94] und Giancoli, Physik[Gia06] verwendet werden. Als leich-tere Einführung kann das Buch von Halliday[HRW03] dienen.Zur Mathematik sind die Werke von Arfken und Weber[AW95] und das Internet-

skript von Komma[Kom96] zu empfehlen. Mathematische Probleme und Formelnsind sehr schön im Bronstein[BSMM00] zusammengefasst.Zum Aufarbeiten des gelernten Stoes (nicht als Einsteigerliteratur) kann auch

Kneubühls[Kne74] Repetitorium der Physikempfohlen werden.


http://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/M/pdf/M_117V00.pdf



http://www.schulphysik.de/ntnujava/springForce/springForce.html


http://www.schulphysik.de/ntnujava/shm/shm.html

http://www.schulphysik.de/ntnujava/springWave/springWave.html

http://www.walter-fendt.de/ph14d/federpendel.htm

http://www.walter-fendt.de/ph14d/fadenpendel.htm



http://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/SW/PDF/SW021V00.PDF

http://www.mikomma.de/fh/modphys.pdf

http://www.mikomma.de/fh/modphys.pdf

Einleitung 14

Das hier vorliegende Skript ist in einer rudimentären Fassung vorhanden. Esgibt es auch als PDF-Datei und als Web-Site. Korrekturen nden Sie im Internetunter http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk2-2007/korrekturen.htm.Die Geschichte der Physik ist von Simonyi[Sim90] hervorragend dargestellt.Eine wunderbare Website zum Aufarbeiten Ihres Wissens ist Hyperphysics von

R. Nave. Ergänzend gibt es vom gleichen Autor auch Hypermath.In diesem Skript werden alle Vektoren fett gedruckt, d.h r = −→r . Begrie aus

dem Index werden kursiv gedruckt.

1.4. Termine

• Erster Vorlesungstag: Montag, 16. April 2007.

• Letzter Vorlesungstag: Donnerstag, 19. Juli 2007.

• Vorlesung Montag von 08:1510:00 und Donnerstag jeweils 08:1510:00 imHörsaal H2.

• Scheinklausur voraussichtlich am 26. Juli 2007 (Nachklausur im Oktober).

• Seminargruppen nden am Montag und am Mittwoch statt

Mo 1012 in O25/H6, N25/203 und N25/204 sowie am Mo 1618 inN25/203 und N25/207

Mi 1618 in O25/169, N25/203, N25/204, N25/207 und O25/151

• Während den Übungsstunden werden Aufgaben von Studierenden vorgelöst.Sie können sich freiwillig melden, oder werden vom Übungsleiter ausgesucht.

• Die Klausuren werden gewertet, wenn Sie einerseits an mindestens 20 Übungs-doppelstunden teilgenommen haben, 60% der Aufgaben votiert und wennSie die geforderte Anzahl Male vorgerechnet haben. Diese Zahlen reduzierensich, wenn Sie aus Gründen, die Sie nicht zu vertreten haben (mit Nachweis!),nicht in der Lage waren die geforderten Leistungen zu erbringen.

• Einen Schein erhalten Sie dann wenn Sie die Klausur bestanden haben.

• Denken Sie daran, dass auch Aufgaben, die Sie nicht gelöst haben, Sto derKlausur sind.

• Kontakte:

Vorlesung Prof. Dr. sc. nat/ETH Zürich Othmar Marti, N25/508,[email protected], Tel. 23011

Vorlesungsassistenz Die Vorlesungsassistenten sind:

Manuela Pluntke N25/535 [email protected], Tel. 23022

S. Kurasch


http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk2-2007/

http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk2-2007/korrekturen.htm

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hmat.html#hmath

mailto:[email protected]


15 1.4 Termine

Aufgabenstellung Dr. Ulf Wiedwald N26/319 [email protected], Tel.22973

Seminargruppen Die Seminarassistenten sind:

Benjamin Berberich [email protected]

Bettina Berg [email protected]

Miriam Kubach [email protected]

Rüdiger Mack [email protected]

Ines Martin [email protected]

Matthias Mutschler [email protected]

Carsten Weiÿ [email protected]

1.4.1. Vorlesungstermine

Monat Datum Datum Monat Datum DatumApril 16.04. 19.04. Juni 04.06.

23.04. 26.04. 11.06. 14.06.30.04. 18.06. 21.06.

Mai 03.05. 25.06. 28.0607.05. 10.05. Juli 02.07. 05.07.14.05. 09.07. 12.07.21.05. 24.05. 16.07. H 19.07.

31.05.Tabelle 1.1.: Vorlesungstermine. An dem mit H markierten Termin werde ich in

der Vorlesung vertreten, da ich als gewähltes Mitglied an der Sitzungdes Universitätsrates teilnehme.

1.4.2. Seminargruppen

Gruppe 1 Bettina Berg, Montag, 1012, O25/H6 und Mittwoch 1618, O25/169

Gruppe 2 Rüdiger Mack, Montag 1012, N25/203 und Mittwoch 1618, N25/203

Gruppe 3 Carsten Weiÿ, Montag 1012, N25/204 und Mittwoch 1618, N25/204

Gruppe 4 Ines Martin, Montag 1618, N25/207 und Mittwoch 1618, N25/207

Gruppe 5 Miriam Kubach, Montag 1618, N25/203 und Mittwoch 1618, O25/151

Gruppe 6 Benjamin Berberich, Montag 1618, N25/207 und Mittwoch 1618,wird noch bekanntgegeben
















Einleitung 16

Gruppe 7 Matthias Mutschler, Montag 1618, N25/203 und Mittwoch 1618,wird noch bekanntgegeben

1.4.3. Seminardaten

Übung Daten Übung Daten1. Teil 2. Teil 1. Teil 2. Teil

1 16. 04. 2007 18. 04. 2007 8 04. 06. 2007 06. 06. 20072 23. 05. 2007 25. 04. 2007 9 11. 06. 2007 13. 06. 20073 30. 04. 2007 02. 05. 2007 10 18. 06. 2007 20. 06. 20074 07. 05. 2007 09. 05. 2007 11 25. 06. 2007 27. 06. 20075 14. 05. 2007 16. 05. 2007 12 02. 07. 2007 04. 07. 20076 21. 05. 2007 23. 05. 2007 13 09. 07. 2007 11. 07. 20077 30. 05. 2007 14 16. 07. 2007 18. 07. 2007

Tabelle 1.2.: Seminartermine



2. Schwingungen und

eindimensionale Wellen

Dieser Sto wurde am 16. 04. 2007 behandelt

2.1. Schwingungen

Materialien

Folien zur Vorlesung am 16. 04. 2007 PDF

Übungsblatt 01 ausgegeben am 16. 04. 2007

Lösungsblatt 01 ausgegeben am 16. 04. 2007

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 379]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp.141])

Wenn sich ein System nicht in seiner Gleichgewichtslage bendet, dann schwingtin der Regel seine Position um diese Lage. Diese periodischen oder quasiperiodi-schen Bewegungen werden Schwingungen genannt. Die Schwingungsform kann si-nusförmig sein (harmonische Schwingung) oder eine allgemeine Form haben. Ma-thematische Sätze sagen, dass jede periodische Bewegung in eine Summe von si-nusförmigen Bewegungen aufgeteilt werden kann.

Versuch zur Vorlesung: Plastikfedern (Versuchskarte M-117)

Versuch zur Vorlesung: Federkräfte (Versuchskarte M-018)

2.1.1. Harmonische Schwingungen

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 379]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 141])



Schwingungen und eindimensionale Wellen 18

Abbildung 2.1.: Masse-Feder-System als Modell eines schwingungsfähigenSystems

Versuch zur Vorlesung: Masse-Feder-System (Versuchskarte M-136)

Die Kraft auf die Masse ist durch

F = −kx (2.1)

gegeben, wobei k die Federkonstante ist. Durch diese Kraft wird die Massebeschleunigt, so dass

F = −kx = ma = md2x

dt2

Umgeschrieben erhalten wir die Bewegungsgleichung

a =d2x

dt2= −

(k

m

)x (2.2)

Die Beschleunigung ist also proportional zur Auslenkung. Traditionellerweisewird die obige Gleichung auch als

d2x

dt2+

(k

m

)x = 0 (2.3)

geschrieben. Die Bewegung ist periodisch mit der Frequenz ν = 1/T , wobei T dieSchwingungsdauer ist.

Frequenzen werden in Hertz Hz = 1/s gemessen. Die Kreisfre-

quenz ω hängt über ω = 2πν mit der Frequenz ν zusammen. DieKreisfrequenz hat die gleiche Einheit, darf aber nicht mit der Fre-quenz verwechselt werden.

Die Lösung der Gleichung (2.3) ist

x = A cos (ωt+ δ) (2.4)



19 2.1 Schwingungen

• A ist die Amplitude der Schwingung

• ω die Kreisfrequenz

• δ die Phase

Link zur Vorlesung:(Simulation der harmonischen Schwingung)

Versuch zur Vorlesung: Federpendel (Versuchskarte M-105)

Diese Lösung wird durch die Simulation illustriert. Die Phase ist nur bis auf einganzzahliges Vielfaches von 2π bestimmt (Eigenschaft der Winkelfunktionen). DiePosition beim Nulldurchgänge ist x(0) = A cos δ.

Ist die Beschleunigung eines Gegenstandes proportional zu seinerAuslenkung und dieser entgegengesetzt, so führt der Gegenstandeine einfache harmonische Schwingung durch.

Die Geschwindigkeit der Masse ist

v =dx

dt= −Aω sin (ωt+ δ) (2.5)

Die Geschwindigkeit bei t = 0 ist v(0) = −Aω sin δ. Da von den drei die Schwin-gung bestimmenden Grössen zwei, A und ω unbekannt sind, reicht die Kenntnisder Position zur Zeit t = 0 und der Geschwindigkeit zu dieser gleichen Zeit aus,um die Schwingungsform zu bestimmen.Die Beschleunigung ist

a =d2x

dt2= −Aω2 cos (ωt+ δ) (2.6)

Mit Gleichung (2.2) kann man schreiben

a = −(k

m

)x = −

(k

m

)A cos (ωt+ δ)− Aω2 cos (ωt+ δ) (2.7)

und damit

ω2 =k

m(2.8)

Damit sind die Frequenz und die Schwingungsdauer






ν =1

2π

√k

m

T = 2π

√m

k(2.9)

Die Schwingungsdauer hängt nicht von der Amplitude ab (linearesSystem).

2.1.1.1. Harmonische Schwingungen und Kreisbewegung

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 387])

Abbildung 2.2.: Zusammenhang zwischen der Kreisbewegung und einerSchwingung

Da die Funktionen sinωt und cosωt beide die Schwingungsgleichung (Siehe Glei-chung (2.3)) erfüllen, kann geschlossen werden, dass eine harmonische Schwingungdie Projektion einer Kreisbewegung ist (siehe auch die Simulation). Nach der De-nition des Cosinus ist die Projektion des umlaufenden Radius A auf die x-Achsegerade der Cosinus.

Link zur Vorlesung:(Schwingung und Kreisbewegung)

2.1.1.2. Energiebilanz bei harmonischen Schwingungen

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 388])Die potentielle Energie einer um die Länge x ausgelenkten Feder ist

Epot(t) =1

2kx2(t) (2.10)




21 2.1 Schwingungen

Die kinetische Energie ist

Ekin(t) =1

2mv2(t) (2.11)

Beide Energien hängen von der Zeit ab. Die Erhaltung der mechanischen Energiefordert

Eges(t) = const = Ekin(t) + Epot(t) =1

2mv2(t) +

1

2kx2(t) (2.12)

Am Umkehrpunkt, bei der maximalen Auslenkung |x(t)| = A ist die Geschwin-digkeit v(t) = 0. Also ist bei einem harmonischen Oszillator

Eges =1

2kA2 (2.13)

die Gesamtenergie.

Setzen wir die Lösung x(t) = A cos (ωt+ δ) und damit auch dx(t)dt

= −Aω sin (ωt+ δ)jeweils ein, erhalten wir

Epot(t) =1

2kA2 cos2 (ωt+ δ)

Ekin(t) =1

2mA2ω2 sin2 (ωt+ δ)

=1

2kA2 sin2 (ωt+ δ) (2.14)

wobei wir ω2 = k/m verwendet haben. Die Gesamtenergie ist

Eges(t) =1

2kA2 cos2 (ωt+ δ) +

1

2kA2 sin2 (ωt+ δ)

=1

2kA2

[sin2 (ωt+ δ) + cos2 (ωt+ δ)

]=

1

2kA2 (2.15)

unabhängig von t. Der Energieinhalt eines harmonischen Oszillators pendelt zwi-schen zwei Energiereservoirs, hier der kinetischen und der potentiellen Energie,hin und her.

Immer dann, wenn in einem System zwei Energiereservoirs gekop-pelt sind und Energie zwischen ihnen ausgetauscht wird, ist dasSystem ein Oszillator.

Beispiele:



• Kinetische und potentielle Energie beim Pendel oder beim Feder-Masse-System

• Energie im elektrischen und im magnetischen Feld (Schwingkreis)

• Energie im elektrischen Feld und im Gravitationsfeld

Die kinetische und die potentielle Energie können mit dem Winkel der momen-tanen Phase Θ = ωt+ δ wie folgt geschrieben werden:

Epot(t) = Eges cos2 Θ

= Eges1

2(1 + cos 2Θ)

Ekin(t) = Eges sin2 Θ

= Eges1

2(1− cos 2Θ) (2.16)

Damit ist auch sofort klar, dass die Mittelwerte

〈Epot〉 = 〈Ekin〉 =1

2Eges (2.17)

sind.

2.1.2. Phasenbild

Bei einer Schwingung|harmonisch ist

x(t) = A cos(ω t)

v(t) = −ωA sin(ω t)

Im Phasenbild wird nun v(t) gegen x(t) aufgetragen. Dabei ist die Zeit t derParameter. Wir sprechen auch von einer Parameterdarstellung .

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

v(t

)/(A

ω)

x(t)/A

Phasenbild

Abbildung 2.3.: Phasenbild eines harmonischen Oszillators


23 2.1 Schwingungen

Das Phasenbild zeigt den Zusammenhang zwischen Ort und Geschwindigkeit,nicht jedoch den Zeitlichen Ablauf. Phasenbilder werden zum Beispiel verwendet,um chaotische System zu beschreiben.Zeichnet man p(t) = mv(t) gegen x(t) auf, so nennt man die Fläche

h = p x = mv x (2.18)

Die Einheit dieses h ist kg msm = m2 kg s−1 = J s. Dies ist die gleiche Einheit

wie beim Planckschen Wirkungsquantum. Die von einem Zustand im Phasenbildeingenommene Fläche sagt also etwas aus, wie nahe dieser Zustand einem Quan-tenzustand ist.

2.1.2.1. Feder-Masse-System im Schwerefeld


Abbildung 2.4.: Schwingendes System im Schwerefeld

Eine Feder im Schwerefeld mit Masse wird durch die Bewegungsgleichung

md2x

dt2= −kx+mg (2.19)

beschrieben (1. Simulation und 2. Simulation). Die Ruhelage ist durch 0 =−kx0 +mg gegeben. Also ist

x0 =mg

k(2.20)

Link zur Vorlesung:(Federpendel im Schwerefeld)






Link zur Vorlesung:(Federpendel im Schwerefeld)

Wir wissen, wie wir ein Feder-Masse-System berechnen müssen, wenn wir dieKoordinate x′ = x − x0 verwenden. Da die beiden Koordinatensysteme x und x′

sich nur um eine Konstante unterscheiden, sind die ersten Ableitungen dxdt

= dx′

dt

und die zweiten Ableitungen d2xdt2

= d2x′

dt2gleich. Deshalb wird Gleichung (2.19)

md2x

dt2= −k (x′ + x0) +mg = −kx′ − kx0 +mg = −kx′ (2.21)

da kx0 = mg ist. Damit erhalten wir die bekannte Lösung

x′(t) = A cos (ωt+ δ) (2.22)

Die potentielle Energie bezogen auf die neue Gleichgewichtslage x0 ist

Epot,F =1

2k (x′ + x0)

2 − 1

2kx2

0 =1

2kx′2 + kx′x0 =

1

2kx′2 +mgx′ (2.23)

da kx0 = mg ist. Zusätzlich gibt es die potentielle Energie der Gravitation Epot,g =−mgx′ bezogen auf die Ruhelage. Die gesamte potentielle Energie ist die Summeaus den potentiellen Energien der Feder und der Gravitation.

Epot = Epot,F + Epot,g =1

2kx′2 +mgx′ −mgx′ = 1

2kx′2 (2.24)

Diese potentielle Energie ist unabhängig von g, wenn wir von der jeweiligen Ru-helage aus rechnen.

2.1.2.2. Pendel im Schwerefeld


2.1.2.2.1. Mathematisches Pendel

Abbildung 2.5.: Mathematisches Pendel im Schwerefeld



25 2.1 Schwingungen

Versuch zur Vorlesung: Mathematisches Pendel (Versuchskarte M-014)

Ein mathematisches Pendel ist eine Punktmasse m aufgehängt an einem mas-selosen Faden der Länge L.Der vom Pendel zurückgelegte Weg ist die Bogenlänge

s = Lφ (2.25)

Die Kraft tangential an den Bogen −mg sinφ beschleunigt die Masse m. Die Be-wegungsgleichung ist

−mg sinφ = md2s

dt2(2.26)

Umgeschrieben erhalten wir

d2s

dt2= −g sinφ = −g sin

s

L(2.27)

Für sehr kleine Winkel φ 1 ist sinφ ≈ φ. Damit wird die obige Gleichung

d2s

dt2= −g s

L=g

Ls (2.28)

Mit g/L = ω2 erhalten wir die Schwingungsgleichung

d2s

dt2= −ω2s (2.29)

deren Lösung s(t) = s0 cos (ωt+ δ) bekannt ist (Simulation). Die Schwingungs-dauer ist

T =2π

ω= 2π

√L

g(2.30)

Link zur Vorlesung:(Fadenpendel)

Für grosse Amplituden ist die Schwingungsdauer durch die Reihenentwicklung

T = 2π

√L

g

[1 +

1

22sin2

(1

2

s0

L

)+

1

22

(3

4

)2

sin4

(1

2

s0

L

)+ . . .

](2.31)

gegeben.

2.1.2.2.2. Physikalisches Pendel







Materialien


Abbildung 2.6.: Physikalisches Pendel . A ist der Aufhängungspunkt, Sder Massenmittelpunkt.

Wir müssen nun mit dem Trägheitsmoment des Pendels bezüglich des Dreh-punktes A rechnen. Das Drehmoment ist

M = Iα = Id2φ

dt2(2.32)

Die Bewegungsgleichung ist also

−mgd sinφ = Id2φ

dt2(2.33)

In der traditionellen Schreibweise lautet die Bewegungsgleichung

d2φ

dt2+mgd

Isinφ = 0 (2.34)

Mit mgdI

= ω2 und unter der Annahme einer kleinen Amplitude ist das physika-lische Pendel ein harmonischer Oszillator mit der Bewegungsgleichung

d2φ

dt2+ ω2φ = 0 (2.35)

Die Schwingungsdauer ist

T =2π

ω= 2π

√I

mgd(2.36)

Eine Anwendungsmöglichkeit dieser Gleichung ist die Bestimmung des Träg-heitsmomentes eines Körpers

I =mgdT 2

4π2(2.37)


27 2.1 Schwingungen

Zum Beispiel ist für einen einseitig eingespannten Stab das TrägheitsmomentI = 1

3m`2. Der Schwerpunkt liegt in der Mitte, also d = 1

2`. Damit wird die

Schwingungsdauer

T = 2π

√13m`2

mg 12`

= 2π

√2`

3g

Vergleiche dies mit dem Resultat für ein mathematisches Pendel T = 2π√

`g.

2.1.2.2.3. Torsionspendel

Abbildung 2.7.: Torsionspendel (analog zur Gravitationswaage)

Versuch zur Vorlesung: Drehpendel (Versuchskarte SW-021)

Das rückstellende Moment ist proportional zum Verdrillungswinkel und dientzur Winkelbeschleunigung des Drehkörpers mit dem Trägheitsmoment I

M = −Dφ = Id2I

dt2(2.38)

Wieder setzen wir ω2 = DI. Die Periodendauer ist

T = 2π

√I

D(2.39)

2.1.2.3. Bewegung in der Nähe von Gleichgewichtspunkten





Wir beschreiben die potentielle Energie durch eine allgemeine Funktion

Epot(x) = Epot(x0) +dEpot(x)

dx

∣∣∣∣x0

(x− x0) +1

2

d2Epot(x)

dx2

∣∣∣∣x0

(x− x0)2 + . . . (2.40)

an und entwickeln sie in eine Taylorreihe um den Punkt x0. Dieser Punkt soll ein

Gleichgewichtspunkt sein

(dEpot(x)

dx

∣∣∣x0

= 0

). Dann ist die Kraft F (x) = −dEpot(x)

dx

als Funktion durch die erste Ableitung der potentiellen Energie gegeben. Die Stei-gung der Kraft-Distanz-Kurve, die Federkonstante k ist durch die zweite Ableitunggegeben.Also kann an jedem Gleichgewichtspunkt bei genügend kleinen Auslenkungen

die Schwingungsgleichung

0 = md2x

dt2+d2Epot(x)

dx2

∣∣∣∣x0

(x− x0)

0 =dEpot(x)

dx

∣∣∣∣x0

(2.41)

geschrieben werden. Die Frequenz für kleine Bewegungen ist

ν =1

2π

√1

m· d

2Epot(x)

dx2

∣∣∣∣x0

(2.42)

Daraus folgt für die Periodendauer

T = 2π

√√√√ md2Epot(x)

dx2

∣∣∣x0

(2.43)

2.1.3. Gedämpfte Schwingung

Eine genaue Beobachtung zeigt, dass die Amplitude jeder freie Schwingung sichnach einer gewissen, charakteristischen Zeit um einen bestimmten Betrag ernied-rigt. Die Dämpfung ist in vielen Fällen proportional zur Geschwindigkeit

FD = −bv (2.44)

Das Kräftegleichgewicht ergibt

−kx− bv = mdv

dt(2.45)

Für kleine Dämpfungen ist die neue Resonanzfrequenz ω′ in der Nähe von ω0. Mitjeder Schwingung nimmt die Energie Etot = Epot(xmax) = Ekin(vmax) = 2 〈Ekin〉 =


29 2.1 Schwingungen

〈mv2〉 = m 〈v2〉 in einer denierten Zeiteinheit um einen bestimmten Betrag ab.Diese Leistung ist

P =dEtotdt

= FD ·v = −bv2 (2.46)

Wenn wir v2 durch 〈v2〉 = Etotm

ersetzt, bekommt man

dEtotdt

= − b

mEtot (2.47)

Der Energieinhalt eines gedämpften Oszillators nimmt also exponentiell ab. Dierelative Abnahme der Energie ist für alle Zeiten gleich. Wir lösen die Gleichungdurch

dEtotEtot

= − b

mdt (2.48)

und erhalten nach der Integration

lnEtot(t) = − b

mt+ C (2.49)

oder, nach einer Exponentiation

Etot(t) = e−(b/m)t+C = eC · e−(b/m)t = E0e−(b/m)t (2.50)

Wir haben E0 = eC gesetzt. Mit der Zeitkonstante τ = m/b bekommen wir

E = E0e−(b/m)t = E0e

−t/τ (2.51)

2.1.3.1. Güte des schwingungsfähigen Systems

Versuch zur Vorlesung: Federpendel: Amplitudenverlauf (Versuchskarte M-105)

Der Energieverlust pro Periode T ist

∆EtotEtot

= − b

mT (2.52)

Man charakterisiert die Dämpfung eines schwingungsfähigen Systems oft durchdie Güte Q. Wenn der Energieverlust pro Periode ∆Etot ist, gilt

Q = 2πEtot−∆Etot

(2.53)

Der Q-Faktor ist umgekehrt zum relativen Energieverlust pro Periode

−∆EtotEtot

=2π

Q





Es gilt auch

Q = 2πEtot−∆Etot

= 2πm

bT= 2π

τ

T(2.54)

Da die Energie des Oszillators proportional zum Quadrat der Amplitude ist(Etot = 1

2kx2

max = 12kA2 gilt für die Abnahme der Amplitude

EtotE0

=A2

A20

= e−t/τ (2.55)

Also ist

A = A0e−t/(2τ) (2.56)

Die Schwingungsdierentialgleichung des gedämpften Oszillators lautet also (Glei-chung (2.45) )

md2

dt2x(t) + b

d

dtx(t) + k x(t) = 0 (2.57)

Zur Lösung der Schwingungsgleichung machen wir den komplexen Ansatz

x(t) = A0e−iωt

und setzen in Gleichung (2.57) ein. Mit k/m = ω20 bekommen wir

0 = mx+ bx+ kx =x+b

mx+ ω2

0x

= −ω2A0e−iωt − iωA0e

−iωt + ω20A0e

−iωt =ω20 − ω2 − iω b

m

Dies ist eine quadratische Gleichung in ω. Die Lösungen sind

ω1, 2 =i bm±√− b2

m2 + 4ω20

−2=− i b

2m∓√ω2

0 −b2

4m2

Es gibt drei Lösungen

ω1, 2 =

−i b

2m∓√ω2

0 − b2

4m2 , für ω0 >b

2m(unterkritische Dämpfung);

−i b2m, für ω0 = b

2m(kritische Dämpfung);

−i(

b2m±√

b2

4m2 − ω20

), für ω0 <

b2m

(überkritische Dämpfung).

(2.58)Bei ω = ω0 haben wir bis jetzt nur eine Lösung. In den anderen Fällen haben

wir jeweils das ±.


31 2.1 Schwingungen


Materialien



Lösungsblatt 02 ausgegeben am 23. 04. 2007Die entsprechenden Lösungsfunktionen sind

x(t) =

e−

b2m

t

(A0, 1e

it√ω2

0−b2

4m2 + A−it√ω2

0−b2

4m2

0, 2

), für ω0 >

b2m

;

(A0, 1 + A0, 2t) e− b

2mt, für ω0 = b

2m;

e−b

2mt

(A0, 1e

−t√

b2

4m2−ω20 + A0, 2e

t√

b2

4m2−ω20

), für ω0 <

b2m

.

(2.59)

Wir testen noch, dass für ω0 = b/(2m) die Lösung stimmt. Für diesen Spezialfalllautet die Dierentialgleichung

0 =x± 2ω0x+ ω20x

=∓ 2ω0A0, 2e−ω0t + ω2

0 (A0, 1 + A0, 2t) e∓ω0t

± 2ω0A0, 2e∓ω0t − 2ω2

0 (A0, 1 + A0, 2t) e∓ω0t

+ ω20 (A0, 1 + A0, 2t) e

∓ω0t

0 =∓ 2ω0A0, 2 + ω20 (A0, 1 + A0, 2t)± 2ω0A0, 2 − 2ω2

0 (A0, 1 + A0, 2t) + ω20 (A0, 1 + A0, 2t)

=ω20 [A0, 1 + A0, 2t− 2 (A0, 1 + A0, 2t) + A0, 1 + A0, 2t] + ω0 [∓2A0, 2 ± 2A0, 2]

=0

Die Lösung der Schwingungsgleichung für den gedämpften Oszillator im Falleder unterkritischen Dämpfung ist

x(t) = A0e−(b/(2m))t cos(ω′t+ δ)

ω′ = ω0

√1−

(b

2mω0

)2

= ω0

√1− 1

4Q2

tan(δ) =A0, 2 − A0, 1

A0, 2 + A0, 1

A0 =√

2√A2

0, 1 + A20, 2 (2.60)

Die Umrechnung nden Sie im Anhang, Kapitel J.Wenn die Dämpfung den kritischen Wert bk = 2mω0 übertrit, schwingt das

System nicht mehr. Für b = bk nennt man das System kritisch gedämpft. Fürb > bk ist es überkritisch gedämpft und für b < bk unterkritisch gedämpft.



Zum Beispiel verwendet man in Autos geschwindigkeitsproportionale Stossdämp-fer um eine kritische Dämpfung zu erreichen. Sind die Stossdämpfer alt, wird dieDämpfung der Fahrzeugschwingungen, z.B. durch Bodenwellen angeregt, unterkri-tisch und man iegt von der Strasse.

2.1.4. Erzwungene (gedämpfte) Schwingung und Resonanz

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 406]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 154])

Abbildung 2.8.: Mit einem Exzenter angetriebenes Pendel

Versuch zur Vorlesung: Erzwungene Schwingung (Versuchskarte SW-090)

Das vorliegende System wird durch zwei Grössen charakterisiert: die Anregungs-schwingung z(t) = z0 cosωt sowie durch das Federpendel mit der Masse m, derDämpfung b und die Federkonstante k. Die rücktreibende Kraft an der Feder ist

FF (t) = −k (x(t)− z(t)) (2.61)

Die Beschleunigung ist wieder durch mx(t) = F (t) gegeben; die geschwindig-keitsproportionale Dämpfung durch −bx(t)Die Bewegungsgleichung ist also

F (t) = −k (x(t)− z(t))− bx(t) = mx(t) (2.62)

Wenn wir z(t) einsetzten und umstellen, erhalten wir

mx(t) + bx(t) + kx(t) = z0k cosωt (2.63)

Wir teilen durch m und kürzen k/m = ω20 ab und erhalten

x(t) +b

mx(t) + ω2

0x(t) = z0ω20 cosωt (2.64)

Die Lösung (Simulation) dieser Gleichung besteht aus zwei Teilen: dem Ein-schwingvorgang als Lösung der Gleichung



http://www.walter-fendt.de/ph14d/resonanz.htm

33 2.1 Schwingungen

x(t) +b

mx(t) + ω2

0x(t) = 0

(analog zur freien gedämpften Schwingung, dieser Teil klingt ab gegen 0) sowieder stationären Lösung. Dieser Teil der Lösung hat die Form

x(t) = A(ω) cos (ωt− δ(ω)) (2.65)

wobei wir hier ein Minuszeichen vor der Phase setzen, damit diese die Phasen-dierenz zur Anregung darstellt. Eingesetzt in die Bewegungsgleichung erhaltenwir

A(ω)

[−ω2 cos(ωt− δ(ω))− b

mω sin(ωt− δ(ω)) + ω2

0 cos(ωt− δ(ω))

]= z0ω

20 cosωt (2.66)

Um die Gleichung zu lösen müssen wir die Winkelfunktionen sin und cos mitPhasen in reine Winkelfunktionen auösen. Also setzen wie cos(ωt − δ(ω)) =cos(ωt) cos(δ(ω)) + sin(ωt) sin(δ(ω)) und sin(ωt − δ(ω)) = sin(ωt) cos(δ(ω)) −cos(ωt) sin(δ(ω)). Wir bekommen dann

z0ω20 cosωt = A(ω)

[−ω2 cos(ωt) cos(δ(ω))

+b

mω cos(ωt) sin(δ(ω))

+ω20 cos(ωt) cos(δ(ω))

]0 = A(ω)

[−ω2 sin(ωt) sin(δ(ω))

− b

mω sin(ωt) cos(δ(ω))

+ω20 sin(ωt) sin(δ(ω))

](2.67)

Diese Gleichungen können vereinfacht werden

z0ω20 = A(ω)

[−ω2 cos(δ(ω)) +

b

mω sin(δ(ω)) + ω2

0 cos(δ(ω))

]0 = −ω2 sin(δ(ω))− b

mω cos(δ(ω)) + ω2

0 sin(δ(ω)) (2.68)

Aus der zweiten Gleichung folgt(ω2

0 − ω2)

sin(δ(ω)) =b

mω cos(δ(ω)) (2.69)

und daraus

tan(δ(t)) =bω

m (ω20 − ω2)

(2.70)



Wir verwenden cosφ = 1√1+tan2 φ

und sinφ = cosφ · tanφ = tanφ√1+tan2 φ

und

bekommen aus der ersten Gleichung

z0ω20

A(ω)=

ω20 − ω2√

1 + tan2(δ(t))+bω

m

tan(δ(t))√1 + tan2(δ(t))

=ω2

0 − ω2 + b2ω2

m2(ω20−ω2)√

1 + b2ω2

m2(ω20−ω2)

2

=(ω2

0 − ω2)2

+ b2ω2

m2√(ω2

0 − ω2)2

+ b2ω2

m2

=

√(ω2

0 − ω2)2

+b2ω2

m2(2.71)

Zusammengefasst ist die stationäre Lösung durch die Amplitude und Phase

δ(ω) = arctan

(bω

m (ω20 − ω2)

)(2.72)

A(ω) =z0ω

20√

(ω20 − ω2)

2+ b2ω2

m2

(2.73)

gegeben.Mit der Denition der Güte aus Gleichung (2.54) sowie mit ω0 = 2πν = 2π

T

schreiben wir zuerst

Q = 2πm

bT= ω0

m

b⇔ b

m=ω0

Q(2.74)

und erhalten

δ(ω) = arctan

(ωω0

Q (ω20 − ω2)

)(2.75)

A(ω) =z0ω

20√

(ω20 − ω2)

2+ ω2ω2

0

Q2

(2.76)

Noch kompakter ist die folgende Schreibweise für die Amplitude

A(ω) =z0√

(1− ω2/ω20)

2+ ω2

ω20Q

2

(2.77)


35 2.1 Schwingungen

Die Frequenz , bei der die Amplitude maximal wird, also die Resonanzfrequenz ,erhält man, indem man dA(ω)

dω= 0 berechnet.

dA(ω)

dω=

d

dω

z0√(1− ω2/ω2

0)2

+ ω2

ω20Q

2

=z0

2

(4 (ω0

2 − ω2)ω − 2 ω ω02

Q2

)(

(ω02 − ω2)2 + ω2ω0

2

Q2

)3/2=0

Damit ist

0 = 4(ω0

2 − ω2)ω − 2

ω ω02

Q2

ω ω02

Q2= 2

(ω0

2 − ω2)ω

ω02

Q2= 2

(ω0

2 − ω2)

ω2 = ω20

(1− 1

2Q2

)ω = ±ω0

√1− 1

2Q2

Hier ist nur die positive Lösung physikalisch sinnvoll. Also ist

ωR = ω0

√1− 1

2Q2=

√ω2

0 −b2

2m2(2.78)

Diese Resonanzfrequenz ) ist kleiner als die Eigenfrequenz eines ungedämpftenSystems (Siehe Gleichung (2.60) ).Die Bestimmung der Kenndaten eines Oszillators aus der Amplitude ist bei

hohen Güten Q sehr schwierig und sehr ungenau. Viel einfacher ist es, die Phasebei ω0 und ihre Steigung an der Stelle zu bestimmen.Berechnung der Steigung dδ(ω)/dω:

dδ(ω)

dω=

d

dωarctan

(ω0ω

Q (ω20 − ω2)

)=

ω0

Q(ω02−ω2)

+ 2 ω2ω0

Q(ω02−ω2)2

1 + ω2ω02

Q2(ω02−ω2)2

=ω0Q (ω0

2 − ω2) + 2Qω2ω0

Q2 (ω02 − ω2)2 + ω2ω0

2



An der Stelle ω = ω0 ist der Funktionswert

dδ(ω)

dω

∣∣∣∣ω=ω0

=ω0Q (ω0

2 − ω02) + 2Qω0

2ω0

Q2 (ω02 − ω0

2)2 + ω02ω0

2

=2Qω3

0

ω40

=2Q

ω0

Bei der Resonanzfrequenz ω = ω0 des ungedämpften Systems istdie Phase

δ(ω0) = π/2 (2.79)

Die Steigung der Phase dδ(ω)/dω hat an der Stelle ω0 den Wert

dδ(ω)

dω

∣∣∣∣ω0

= 2Q

ω0(2.80)

Es ist sehr viel einfacher, ω0 und Q aus der Phase als aus derAmplitude zu bestimmen.

2.1.5. Überlagerung von Schwingungen


Materialien


2.1.5.1. Schwingungen in unterschiedliche Richtungen

Wenn in der x-Richtung eine Schwingung x(t) = x0 cos(ωxt) und in der y-Richtungeine Schwingung y(t) = y0 cos(ωyt + δ) überlagert werden, entstehen Lissajous-Figuren. Solche Schwingungen können entstehen, wenn zum Beispiel eine Kugel ineiner elliptischen Potentialmulde hin- und herschwingt.

2.1.5.2. Schwingungen gleicher Richtung und Frequenz, aberunterschiedlicher Amplitude


37 2.1 Schwingungen

Abbildung 2.9.: Zeigerdiagramm. Links für zwei Zeiten, in der Mitte dasZeigerdiagramm für zwei Schwingungen (rot) und (blau)mit der Summe (grün) und rechts die Winkel.

Eine Schwingung x(t) = x0 cos(ωt+ δ) kann durch einen Zeiger dargestellt wer-den. Die Projektion dieses Zeigers auf die x-Achse ergibt das Schwingungsbild.Wenn zwei Schwingungen unterschiedlicher Amplitude und Phase, aber gleicher

Frequenz addiert werden, kann man die trigonometrischen Sätze für schiefwinkligeDreiecke anwenden. So ist nach dem Cosinussatz

A2 = A21 + A2

2 − 2A1A2 cos(π − δ2 + δ1) (2.81)

oder

A =√A2

1 + A22 + 2A1A2 cos(δ2 − δ1) (2.82)

Der Sinussatz liefert

A

sin (π − δ2 + δ1)=

A

sin (δ1 − δ2)=

A2

sin(δ − δ1)(2.83)

Wenn wir die Zeit zur Berechnung so wählen, dass δ1 = 0 ist, so ergibt sich

sin δ =A2

Asin δ2

A =√A2

1 + A22 + 2A1A2 cos δ2 (2.84)

2.1.5.3. Schwingungen gleicher Richtung, aber leicht unterschiedlicherFrequenz

Versuch zur Vorlesung: Schwebungen (Versuchskarte SW-100)

Die Frequenzen der beiden Schwingungen sollen um ∆ω verschieden sein. Wirsetzen an

x1(t) = A1 cos(ωt+ δ1)

x2(t) = A2 cos((ω + ∆ω)t+ δ2) (2.85)


http://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/SW/pdf/SW100V00.pdf


Die resultierende Schwingung ist

x(t) = x1(t) + x2(t) = A1 cos(ωt+ δ1) + A2 cos((ω + ∆ω)t+ δ2) (2.86)

Wir rechnen nun wie folgt um

x(t) = A1 cos(ωt+ δ1) + A2 cos((ωt+ δ1) + ∆ωt+ δ2 − δ1)

= A1 cos(ωt+ δ1) + A2 cos(ωt+ δ1) cos(∆ωt+ δ2 − δ1)

−A2 sin(ωt+ δ1) sin(∆ωt+ δ2 − δ1)

= cos(ωt+ δ1) [A1 + A2 cos(∆ωt+ δ2 − δ1)]

−A2 sin(ωt+ δ1) sin(∆ωt+ δ2 − δ1) (2.87)

Dies entspricht einer Schwingung der Frequenz ω mit einer aufmodulierten Fre-quenz ∆ω. Wir nennen dieses Verhalten auch Schwebung. Transparenter wird dieRechnung, wenn komplexe Zahlen verwendet werden. Anstelle von cos(ωt + δ)schreiben wir ei(ωt+δ), wobei wieder i =

√−1 ist. Wir schreiben

x1(t) = A1ei(ωt+δ1)

x2(t) = A2ei((ω+∆ω)t+δ2) (2.88)

und weiter

x(t) = x1(t) + x2(t)

= A1ei(ωt+δ1) + A2e

i((ωt+δ1)+∆ωt+δ2−δ1)

= A1ei(ωt+δ1) + A2e

i(ωt+δ1)ei(∆ωt+δ2−δ1)

= ei(ωt+δ1)[A1 + A2e

i(∆ωt+δ2−δ1)]

(2.89)

2.1.5.4. Fourierreihen

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 146])Die obige Schwingung ist nicht nur durch den zeitlichen Verlauf, sondern auch

durch das Frequenzspektrum sowie das Phasenspektrum charakterisiert. Grundla-ge für diese Aussage ist der mathematische Satz, dass sich jede periodische Funk-tion f(t) = f(t+ T ) (Frequenz ω = 2π/T als Fourierreihe

f(t) =∞∑k=0

Ak cos (kωt+ δk) (2.90)

schreiben lässt. Alternativ kann man auch

f(t) =a0

2+∞∑k=1

ak cos(kωt) +∞∑k=1

bk sin(kωt) (2.91)


39 2.1 Schwingungen

Für gerade Funktionen f(t) = f(−t) sind alle bk = 0, für ungerade Funktionensind alle ak = 0.

Versuch zur Vorlesung: Fourier-Synthese (Versuchskarte SW-065)

Versuch zur Vorlesung: Fourier-Analyse 4 (Versuchskarte SW-101)

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6

f(t)

t

Abbildung 2.10.: Synthese einer Schwingung mit f(t) = a0

2+∞∑k=1

cos((2k−

1)ωt)/(2k − 1). Die verschiedenen Stufen der Synthesesind durch eine der Stufennummer proportionale Ver-schiebung nach oben auseinandergezogen.





-1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6

f(t)

t


2+

∞∑k=1

(−1)k−1 cos((2k − 1)ωt)/(2k − 1)2. Die verschie-

denen Stufen der Synthese sind durch eine derStufennummer proportionale Verschiebung nach obenauseinandergezogen.

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5 6

f(t)

t


2+

∞∑k=1

(−1)k−1 cos((2k − 1)ωt)/(2k − 1). Die verschiede-

nen Stufen der Synthese sind durch eine der Stu-fennummer proportionale Verschiebung nach obenauseinandergezogen.


41 2.1 Schwingungen

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 1 2 3 4 5 6

f(t)

t


2+

∞∑k=1

(−1)k−1 cos((2k − 1)ωt)/(2k − 1)2/3. Die verschie-


-10

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6

f(t)

t


2+

∞∑k=1





-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 1 2 3 4 5 6

f(t)

t


2+

∞∑k=1



Die folgenden Applets illustrieren die Fourieranalyse und -synthese

• hören synthetisierter Wellenformen

• Musik und Fouriersynthese

• Soundscapes

2.1.6. Gekoppelte Schwingungen

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 181])

Abbildung 2.16.: Zwei mathematische Pendel im Abstand dmit jeweils derLänge L sind mit einer masselosen Feder der Ruhelänged und der Federkonstante k gekoppelt.


http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/synthese.html

http://www.math.duke.edu/education/ccp/materials/postcalc/music/contents.html

http://webphysics.ph.msstate.edu/javamirror/meijer/javoice.htm

43 2.1 Schwingungen

Versuch zur Vorlesung: Gekoppelte Pendel (Versuchskarte SW-063)

Wenn das linke Pendel um φ1 und das rechte Pendel um φ2 ausgelenkt wird (inbeiden Fällen wird nach rechts positiv gezählt), dann verändert sich die Länge derFeder um

∆d = ` (sinφ1 − sinφ2) ≈ `(φ1 − φ2) (2.92)

für kleine Auslenkungen. Deshalb ist die Kraft , die auf das linke Pendel ausgeübtwird

FF,1 = −k∆d ≈ −k`(φ1 − φ2) (2.93)

Entsprechend ist die Kraft auf das rechte Pendel

FF,2 = −k(−∆d) ≈ k`(φ1 − φ2) (2.94)

Diese Kräfte entsprechen den Drehmomenten

TF,1 = `FF,1 = −k`2(φ1 − φ2)

TF,2 = `FF,2 = k`2(φ1 − φ2) (2.95)

Die durch die Gravitation hervorgerufenen Momente an den Pendeln sind

TG,1 = −Lmg sinφ1 ≈ −Lmgφ1

TG,2 = −Lmg sinφ2 ≈ −Lmgφ2 (2.96)

Wir beachten, dass für eine Punktmasse m an einem masselosen Faden der LängeL das Trägheitsmoment I = mL2 ist und erhalten die linearisierte Momentenglei-chung

Iφ1 = mL2φ1 = −Lmgφ1 − k`2(φ1 − φ2)

Iφ2 = mL2φ2 = −Lmgφ2 + k`2(φ1 − φ2) (2.97)


Materialien



Lösungsblatt 03 ausgegeben am 30. 04. 2007Wir teilen durch mL2 und schreiben in Matrizenform(

φ1

φ2

)=

(− gL− k`

mL2 + k`mL2

+ k`mL2 − g

L− k`

mL2

)(φ1

φ2

)(2.98)

Wir nehmen an, dass beide Pendel mit der gleichen Frequenz ω schwingen. Wirsetzen also an

φ1(t) = φ1,0eiωt

φ2(t) = φ2,0ei(ωt+δ) (2.99)




Eingesetzt in Gleichung (2.97) bekommen wir

− ω2φ1,0eiωt = − g

mφ1,0e

iωt − k`2

mL2(φ1,0e

iωt − φ2,0eiωteiδ)

−ω2φ2,0eiωteiδ = − g

Lφ2,0e

iωteiδ +k`2

mL2(φ1,0e

iωt − φ2,0eiωteiδ) (2.100)

Wir teilen durch eiωt

− ω2φ1,0 = − gLφ1,0 −

k`2

mL2(φ1,0 − φ2,0e

iδ)

−ω2φ2,0eiδ = − g

Lφ2,0e

iδ +k`2

mL2(φ1,0 − φ2,0e

iδ) (2.101)

Wir stellen die Gleichung um und sortieren nach den beiden unbekannten φ1,0 undφ2,0e

iδ.

0 =

[−ω2 +

g

L+

k`2

mL2

]φ1,0 −

k`2

mL2φ2,0e

iδ

0 = − k`2

mL2φ1,0 +

[−ω2 +

g

L+

k`2

mL2

]φ2,0e

iδ (2.102)

Wir verwenden die folgenden Abkürzungen

A = −ω2 +g

L+

k`2

mL2

B =k`2

mL2

y = φ1,0

z = φ2,0eiδ (2.103)

und müssen damit die Gleichung

0 = Ay −Bz0 = −By + Az (2.104)

lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit B und die zweite mit A undbekommen

0 = ABy −B2z

0 = −ABy + A2z (2.105)

und addieren die Gleichungen. Damit wird

0 = z(A2 −B2) (2.106)

Damit diese Gleichung für alle y eine Lösung ist, muss A2 = B2 sein. Diese Be-stimmungsgleichung für ω hat zwei Lösungen

A1 = B

A2 = −B (2.107)


45 2.1 Schwingungen

oder

− ω21 +

g

L+

k`2

mL2=

k`2

mL2

−ω22 +

g

L+

k`2

mL2= − k`2

mL2(2.108)

Wir vereinfachen diese beiden Gleichungen und lösen nach ωi auf

ω21 =

g

L

ω22 =

g

L+ 2

k`2

mL2= ω2

1 + 2k`2

mL2(2.109)

Wenn wir y = φ1 als Vorgabe nehmen und die Gleichung z = AiBy lösen, bekommen

wir die Amplitude des zweiten Pendels.

φ2,0,1eiδ1 =

−ω21 + g

L+ k`2

mL2

k`2

mL2

φ1,0

=− gL

+ gL

+ k`2

mL2

k`2

mL2

φ1,0

= φ1,0

φ2,0,2eiδ2 =

−ω22 + g

L+ k`2

mL2

k`2

mL2

φ1,0

=− gL− 2 k`2

mL2 + gL

+ k`2

mL2

k`2

mL2

φ1,0

= −φ1,0 (2.110)

Die beiden Lösungen haben die folgenden Charakteristika

Lösung 1 Es ist φ2,0,1 = φ1,0 und δ1 = 0. Die beiden Pendel schwingen in Phasemit der gleichen Resonanzfrequenz wie ein einzelnes Pendel . Die Feder wirdnicht gedehnt. Ob sie vorhanden ist oder nicht, ist nicht relevant.

Lösung 2 Es ist φ2,0,2 = φ1,0 und δ2 = π. Die beiden Pendel schwingen gegen-phasig mit einer höheren Resonanzfrequenz als die, die ein einzelnes Pendelhätte. Die Feder wird periodisch gedehnt und gestaucht.

2.1.7. Verallgemeinerung: Fundamental- oderEigenschwingungen


Versuch zur Vorlesung: Gekoppelte Stangenpendel (Versuchskarte SW-050)




Wir wollen nun untersuchen, wie die Lösung der Schwingungsgleichung für Ngleich Pendel aussieht, die jeweils vom i-ten zum i+ 1-ten Pendel mit einer mas-selosen Feder mit der Federkonstante k gekoppelt sind. Für das erste Pendel miti = 1 gilt

Iφ1 = −Lmgφ1 − k`2(φ1 − φ2) (2.111)

Die Bewegungsgleichung des letzten Pendels ist

IφN = −LmgφN + k`2(φN−1 − φN) (2.112)

Dazwischen lauten die Bewegungsgleichungen für ein Pendel 0 < j < N

Iφj = −Lmgφj − k`2(φj − φj+1) + k`2(φj−1 − φj)= −Lmgφj + k`2φj−1 − 2k`2φj + k`2φj+1 (2.113)

Wir dividieren durch I = mL2 und setzen ω20 = g

Lund κ = k`2

mL2 und schreiben dieGleichung als Matrizengleichung

φ1...φj...φN

=

−ω2

0 − κ κ · · · 0 0 0 · · · 0 0...

......

......

......

0 0 · · · κ −ω20 − 2κ κ · · · 0 0

......

......

......

...0 0 · · · 0 0 0 · · · κ −ω2

0 − κ

φ1...φj...φN

(2.114)

Wir setzen nun φi = φi,0eiωt und lösen die obige Gleichung

0...0...0

=

ω2 − ω2

0 − κ κ · · · 0 0 0 · · · 0 0...

......

......

......

0 0 · · · κ ω2 − ω20 − 2κ κ · · · 0 0

......

......

......

...0 0 · · · 0 0 0 · · · κ ω2 − ω2

0 − κ

φ1,0...φj,0...

φN,0

(2.115)

Diese Gleichung hat dann eine Lösung, wenn die Determinante∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ω2 − ω20 − κ κ · · · 0 0 0 · · · 0 0...

......

......

......

0 0 · · · κ ω2 − ω20 − 2κ κ · · · 0 0

......

......

......

...0 0 · · · 0 0 0 · · · κ ω2 − ω2

0 − κ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 (2.116)

Die Lösung mit der tiefsten Resonanzfrequenz ist ω = ω0, bei der alle Pendel inPhase sind (bei allen anderen Bewegungsmoden ist neben der potentiellen Energieder Pendel auch in den Federn potentielle Energie gespeichert, die Gesamtener-gie also für die gleiche Auslenkung grösser.) Wenn wir diese Lösung einsetzen,


47 2.2 Wellen in einer Dimension

bekommen wir die Gleichung

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−κ κ · · · 0 0 0 · · · 0 0...

......

......

......

0 0 · · · κ −2κ κ · · · 0 0...

......

......

......

0 0 · · · 0 0 0 · · · κ −κ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 (2.117)

Wenn man alle Zeilen dieser Determinante aufsummiert, bekommt man den Null-Vektor. Deshalb ist die obige Determinantengleichung erfüllt.

2.2. Wellen in einer Dimension

Im vorherigen Kapitel wurde die Lösung der Schwingungsgleichung für eine grosseZahl gekoppelter Pendel betrachtet. Wenn bei einem solchen System ein äusseresPendel ausgelenkt wird, breitet sich die Störung zum anderen Ende aus. Erst wenndieser Einschwingvorgang abgeklungen ist, erhalten wir die mit den Gleichungenaus dem vorherigen Kapitel berechneten Lösungen. Die sich ausbreitende Störungim Pendelsystem nennen wir eine Welle.

Wellen können sich in Medien (Schallwellen, Seilwellen) oder auch ohne Medien(Licht, elektromagnetische Wellen) ausbreiten. Sie können sich im Raum ausbrei-ten, also in drei Dimensionen, auf Platten, in zwei Dimensionen oder in Seilen oderGlasfaserkabeln in einer Dimension. Wir betrachten den einfachen Fall einerWellein einer Dimension.


Materialien




2.2.1. Wellenberge




Abbildung 2.17.: Reexion einer Seilwelle wenn das Ende an der Wandeingespannt ist

Versuch zur Vorlesung: Seilwellen (Versuchskarte SW-043)

Wir sahen, dass bei einer Schwingung die Anfangsbedingung zweiteilig war.Der Ort und die Geschwindigkeit mussten vorgegeben werden. Genauso ist dieRandbedingung einer Seilwelle durch eine von zwei Grössen charakterisiert, demOrt und der Geschwindigkeit (erste Ableitung) oder eine höhere Ableitung. Wenndas Seil fest eingespannt ist, wie in der obigen Abbildung, ist der Ort fest unddie zweite Ableitung (siehe auch den einseitig eingespannten Balken) frei. DerWellenberg wechselt sein Vorzeichen bei der Reexion: wir sprechen von einemPhasensprung .

Abbildung 2.18.: Reexion einer Seilwelle wenn das Ende lose befestigtist.

Wenn das Seilende lose ist, ist der Ort frei, aber die Geschwindigkeit stellt sichder Anregung entsprechend ein. Hier hat die Amplitude der reektierten Seilwelledie gleiche Phase, es gibt keinen Phasensprung.

Analoge Eekte treten bei elektromagnetischen Wellen auf. je nachRandbedingung tritt bei der Reexion ein Phasensprung von π auf.




2.2.1.1. Transversal- und Longitudinalwellen

Die hier betrachteten Seilwellen sind Transversalwellen oder Querwellen, da dieAnregung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ist. Licht und Seilwellen gehören zuden Transversalwellen. Bei Longitudinalwellen oder Längswellen geht die Auslen-kung der Teilchen in die Richtung der Ausbreitung. Das bekannteste Beispiel einerLongitudinalwelle ist die Druckwelle bei einer Schallwelle.

Abbildung 2.19.: Wasserwelle

Mischformen von transversal- und Longitudinalwellen existieren, so zum Bei-spiel die oben dargestellte Wasserwelle. Ein einzelnes Wasserteilchen bewegt sichkreisförmig (eine Folge der Energieerhaltung). Dabei ist die Geschwindigkeit derTeilchen am Wellenkamm nach rechts gerichtet, wenn die Welle sich nach linksausbreitet1.

2.2.1.2. Reexion und Überlagerung oder Superposition

Wenn zwei Wellenberge mit entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung sich treen,dann addieren sich bei einem linearen System die Amplituden.Eine Störung auf einem Seil wird nicht nur am Ende reektiert, sondern auch,

wenn die Eigenschaften des Seils sich ändern. Wenn ein Seil ab einer bestimmtenStelle weniger steif ist, ist ab der Stelle auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit einerStörung anders. Ein Teil (im Gegensatz zur Reexion am Ende) der Welle wirdreektiert. Dies ist analog zur Teilreexion von Licht beim Übergang von einemMedium in das nächste.Wir beobachten, dass die Form eines Wellenberges sich nicht ändert. Im beweg-

ten Bezugssystem x∗,y∗ ist sie durch y∗ = y(x∗) gegeben. Nun bewegt sich dasMaximum mit der Geschwindigkeit v. Wir können die Gleichungen der Galilei-Transformation hinschreiben

y = y∗

x = x∗ + vt (2.118)

1Dies ist auch das Prinzip des Wanderwellenmotors, der häug, zum Beispiel auch in Kameras,

als Stellmotor eingesetzt wird.



Deshalb kann man die Form des Seiles auch mit

y = y(x− vt) (2.119)

schreiben. Bewegt sich das Maximum nach links, lautet die Gleichung

y = y(x+ vt) (2.120)

Das Überlagerungsprinzip können sie mit einer Simulation austesten.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -2 0 2 4

A

x

Abbildung 2.20.: Überlagerung zweier Wellen mit unterschiedlichen Am-plituden und gleichem Vorzeichen. Die Zeit nimmt vonoben nach unten zu.

Wenn wie in der obigen Zeichnung die beiden Wellen den Gleichungen y =y1(x− vt) und y = y2(x+ vt) genügen, ist die resultierende Wellenfunktion

y = y1(x− vt) + y2(x+ vt) (2.121)

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -2 0 2 4

A

x

Abbildung 2.21.: Überlagerung zweier Wellen mit gleichen Amplitudenund unterschiedlichem Vorzeichen. Die Zeit nimmt vonoben nach unten zu

Haben die beiden Wellenberge unterschiedliche Vorzeichen, so können sie sichzu gewissen Zeiten teilweise oder, bei gleicher Amplitude, vollständig auslöschen.Obwohl in der Mitte nichts mehr von den Wellenbergen zu sehen ist, ist die In-formation über ihre Form und Geschwindigkeit in der kinetischen Energie derSeilstücke gespeichert.


http://didaktik.physik.uni-wuerzburg.de/~pkrahmer/ntnujava/waveSuperposition/waveSuperposition.html


-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

A

x

Abbildung 2.22.: Überlagerung zweier sinusförmiger Wellenberge mit un-terschiedlichen Amplituden und gleichem Vorzeichen.

Das Überlagerungsprinzip gilt auch für Wellen mit beliebiger Form, hier alsSinuswelle dargestellt. Bei grossen Amplituden, also dann wenn das be-trachtete System nicht mehr linear ist, gilt das Überlagerungs- oderSuperpositionsprinzip nicht.

2.2.2. Ausbreitungsgeschwindigkeit


Abbildung 2.23.: Kräfteverhältnisse an einem Wellenberg in einem sichmit dem Wellenberg sich fortbewegenden Koordinaten-system.

Um die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Störung auf einem Seil zu berechnen,betrachten wir die Situation im Ruhesystem der Störung. In diesem System (dasnicht das Laborsystem ist) bewegt sich im Maximum das Seil mit der Geschwin-digkeit v auf einer Kreisbahn mit dem Radius r. Die Geometrie verlangt also, dasseine physikalische Beschleunigung der Grösse

az =v2

r(2.122)

existiert. Ursache dieser Beschleunigung des durchlaufenden Massenelementesm = sµ sind die um den Winkel Θ in verschiedene Richtungen zeigenden Seil-spannkräfte am Ende des Kreisbogens mit der Länge s = rΘ. µ ist die Masse proLänge des Seils.



Das Kräftegleichgewicht in radialer Richtung (nach unten) ist

Fr = 2F sin

(Θ

2

)≈ 2F

(Θ

2

)= FΘ (2.123)

Aus dieser Kraft kann die senkrecht zur Seilrichtung wirkende Beschleunigunga = az berechnet werden. Dazu brauchen wir die Masse des Seilsegmentes

m = µ s = µrΘ = ρA s = ρArΘ (2.124)

Wir setzten nun die physikalisch durch die Seilspannung bedingte Beschleunigunga gleich der aus der Geometrie im Ruhesystem der Störung (mitbewegtes Koordi-natensystem) gefundenen Zentripetalbeschleunigung gleich

v2

r=FΘ

m=

FΘ

µrΘ=

F

µr=

F

ρAr(2.125)

Wir verwenden die Seilspannung σ = F/Aund lösen die Gleichung nach v auf.

v =

√F

µ=

√σ

ρ(2.126)

Dies ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Störung auf einemSeil oder auf einer Saite.

Da in dieser Gleichung für v keine koordinatenabhängigen Grössen vorhandensind, gilt sie auch für das Laborsystem des Seils.Ein Seil mit einer Massenbelegung von µ = 0.02kg/m und einer Seilspannkraft

F = 30N ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit v =√

30N0.02kg/m

= 38,7m.

2.2.3. Harmonische Wellen


Abbildung 2.24.: Der Schnappschuss einer Welle mit der Wellenlänge λ.

In der Periodendauer T bewegt sich die Welle um eine Wellenlänge λ vorwärts.Wenn wir die Frequenz ν = 1/T einführen erhalten wir

v =λ

T= νλ (2.127)



Wenn die Auslenkung sinusförmig ist, ist die Form der Welle zu einer bestimmtenZeit t0 durch

y(x) = A sin(kx) (2.128)

beschrieben. A ist die Amplitude und k = 2πλ

die Wellenzahl , oder wenn damitauch die Ausbreitungsrichtung bezeichnet wird, den Wellenvektor . Die Grösse vonk kann mit der folgenden Überlegung berechnet werden: Die Sinusfunktion ist mit2π periodisch. Sie wiederholt sich aber auch mit jedem Vielfachen der Wellenlängeλ. Also ist

k(x1 + λ) = kx1 + 2π (2.129)

und daraus

kλ = 2π ⇒ k =2π

λ(2.130)

Analog zu der Beschreibung der Wellenberge bemerken wir, dass die Welle sichmit der Geschwindigkeit v nach rechts bewegt. Wir transformieren also x→ x−vt.

y(x,t) = A sin (k(x− vt)) = A sin (kx− kvt) (2.131)

Wenn wir ω = kv (Kreisfrequenz ) setzen erhalten wir das Schlussresultat

y(x,t) = A sin (kx− ωt) (2.132)

Die Wellengleichung

Wie schon früher berechnet, ist ω = 2πν = 2πT. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit

istv =

ω

k(2.133)

Die Wellengleichung kann auch

y(x,t) = A sin

[2π

(x

λ− t

T

)](2.134)

2.2.4. Energieübertrag bei Wellen

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 434])Wenn wir ein kurzes Segment der Länge ∆x einer schwingenden Welle betrach-

ten, dann führt dieses eine harmonische Schwingung aus. Wenn die Wellenglei-chung y(x,t) = A sin(kx− ωt) ist, dann ist die Geschwindigkeit v(x,t) = y(x,t) =−Aω cos(kx − ωt). Damit ist die kinetische Energie des Seilsegments beim Null-durchgang und damit auch die Gesamtenergie

∆E =1

2∆mv2 =

1

2∆mA2ω2 =

1

2A2ω2µ∆x (2.135)



Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle sei v = ∆x/∆t. Umgeformt ∆x = v∆tund eingesetzt bekommen wir

∆E =1

2A2ω2µvδt (2.136)

Wir dividieren durch ∆t und bekommen die durch dieWelle transportierte Energiepro Zeiteinheit, also die Leistung2

P =∆E

∆t=

1

2µA2ω2v (2.137)

2.2.5. Superposition und Interferenz harmonischer Wellen

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 435]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 513])Analog zu Schwingungen, deren Kombination oder Überlagerung neue Bewe-

gungsformen ergibt, können auch Wellen überlagert werden. Dies kann sehr schönan den Wasserwellen hinter einer Hafeneinfahrt beobachtet werden.

-6

-4

-2

0

2

4

6

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

A

x

d=0π

d=0.25π

d=0.5π

d=0.75πd=1π

d=1.25π

d=1.5π

d=1.75π

d=2π

Abbildung 2.25.: Interferenz zweier Wellen mit der gleichen Amplitu-de und der gleichen Frequenz und einer Phase, die von0 . . . 2π variiert.

Mathematisch setzen wir zwei Wellen an

y1(x,t) = A sin (kx− ωt)y2(x,t) = A sin (kx− ωt+ δ) (2.138)

An einem bestimmten Ort ist die Dierenz der Phasen durch

(kx− ωt1)− (kx− ωt2 + δ) = ω(t1 − t2)− δ = ω∆t− δ (2.139)

gegeben und unabhängig vom Ort. Zu einer bestimmten Zeit ist die Dierenz derPhasen durch

(kx1 − ωt)− (kx2 − ωt+ δ) = k(x1 − x2)− δ = k∆x− δ (2.140)

2Die Intensität des Lichtes oder jeglicher Strahlung ist die Leistung pro Fläche



gegeben, unabhängig von der Zeit.Wir wenden die Additionstheoreme für die Winkelfunktionen an. Wir verwenden

sin(α) + sin(β) = 2 cos

(α− β

2

)sin

(α + β

2

)(2.141)

und erhalten

y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t)

= A sin (kx− ωt) + A sin (kx− ωt+ δ)

= 2A cos

(δ

2

)sin

(kx− ωt+

δ

2

)(2.142)

Aus dieser Gleichung kann die folgende Tabelle abgeleitet werden.

Phase resultierende Amplitude Interferenz

0 2A konstruktiveπ/2

√2A

π 0 destruktiv3π/2

√2A

2π 2A konstruktivTabelle 2.1.: Interferenz und Phase

2.2.5.1. Stehende Wellen

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 435]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp.513])Wenn wir eine nach links laufende Welle y1(x,t) = A sin(kx+ωt) und eine nach

rechts laufende Welle y2 = A sin(kx − ωt + δ) zur Interferenz kommen lassen,erhalten wir

y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t)

= A sin(kx+ ωt) + A sin(kx− ωt+ δ)

= 2A cos

(ωt− δ

2

)sin

(kx+

δ

2

)(2.143)

Die Summe der beiden Wellenfunktionen ist das Produkt zweier Terme

• ein zeitabhängiger Teil,der für alle Orte gleich ist: cos(ωt− δ

2

)• ein ortsabhängiger Teil, der für alle Zeiten gleich ist: sin

(kx+ δ

2

)



Damit bilden sich räumlich stehende Knotenlinien aus, wir haben eine stehendeWelle .

Wenn die Amplituden der beiden Wellen nicht gleich gross ist, danninterferieren von der Welle mit der grösseren Amplitude nur dieAmplitudenteile, die gleich gross wie dieAmplitude der schwächerenWelle sind.

Stehende Wellen als Resultat zweier gegenlaufender Wellen gibt esin jedem Resonator, insbesondere in Laserresonatoren.


3. Mechanik deformierbarer

Medien

Bis jetzt haben wir mit starren Körpern gerechnet, aber: starre Körper existie-ren nicht.Körper können folgendermassen deformiert werden:

Abbildung 3.1.: Arten der Deformation eines deformierbaren Körpers

3.1. Elastomechanik

3.1.1. Dehnung und Kompression

Zieht man an einem Draht (Länge `, Querschnitt d und Querschnittsäche A =π4d2), dann vergrössert sich die Länge um ∆` und verringert sich (meistens) der

Querschnitt um ∆d.

∆` = ε`

−∆d = µεd (3.1)

Es sind

• ε die relative Dehnung

• µ die Poisson-Zahl

Mechanik deformierbarer Medien 58

Wir denieren nun die Spannung

σ =F

A(3.2)

dabei ist F die an der Querschnittsäche A wirkende Kraft .

Das Hookesche Gesetz verknüpft Spannung σ und Dehnung ε

σ = Eε (3.3)

E ist eine Materialkonstante, der Elastizitäts- oder der Dehnungsmodul (imenglischen Young's Modulus genannt).Einheiten

• ε: dimensionslos

• σ: Nm2

• E: Nm2

Wenn wir die obigen Gleichungen umschreiben, erhalten wir

δ` =1

E

`F

A(3.4)

Aus Änderung des Querschnitts und der Länge können wir die Volumenänderungberechnen. Wir setzen an, dass V = `d2 ist

∆V = d2∆`+ 2`d∆D = V∆`

`+ 2V

∆d

d(3.5)

Umgeschrieben erhalten wir

∆V

V=

∆`

`+ 2

∆d

d= ε− 2µε = ε(1− 2µ) =

σ

E(1− 2µ) (3.6)

Wir sehen, dass für positives ∆V die Poisson-Zahl der Ungleichung µ ≤ 0.5genügen muss. In speziellen fällen kann µ auch grösser als 0.5 sein.Wir haben hier σ und ε als Skalare angenommen.Wird der Testkörper hydrostatischem Druck ∆p unterworfen, ist also die Span-

nung auf allen Seiten gleich, ändert sich das Volumen um den dreifachen Wert,der bei einer uniaxialen Spannung auftreten würde.

∆V

V= −3∆p

E(1− 2µ) (3.7)

Die Kompressibilität κ = ∆VV∆p

ist

κ =3

E(1− 2µ) (3.8)


59 3.1 Elastomechanik

Wird ein Draht gedehnt, kann ihm die Federkonstante k = ∆F∆`

= AE`

zuschrei-ben.Bei der Dehnung wird die Arbeit

W =

∆`∫0

kxdx =1

2k∆`2 =

1

2EA`

∆`2

`2=

1

2EV ε2 (3.9)

verrichtet. Wenn wir die Arbeit , oder Energie, pro Volumeneinheit ausrechnen, istdie elastische Energiedichte

w =1

2Eε2 (3.10)

3.1.2. Scherung

Abbildung 3.2.: Scherung eines Würfels

Wenn die Kraft F tangential zur Oberäche steht, dann wird der Testkörpergeschert. Wenn die Stirnäche des Würfels A ist, ist die Schubspannung

τ =F

A(3.11)

Als Konsequenz dieser Schubspannung wird der Testkörper um den Winkel αgeschert.

τ = Gα (3.12)

Einheiten

• α: dimensionslos

• τ : Nm2

• G: Nm2



G ist der Schub- oder Torsionsmodul (englisch: shear modulus)Analog zur Energiedichte der axialen Deformation kann auch für die Scherener-

giedichte

w =1

2Gα2 (3.13)

geschrieben werden.

3.1.3. Verdrillung eines Drahtes

Abbildung 3.3.: Verdrillung. Zur Berechnung wird der Draht in koaxialeZylinder unterteilt.

Hier verdrehen zwei entgegengesetzte Drehmomente M einen Draht um denWinkel φ. Ein Hohlzylinder mit dem Radius r un der Dicke dr wird um

α =rφ

`(3.14)

geschert. Wir benötigen die Scherspannung τ = Gα und eine Scherkraft dF =τ · 2πrdr. Das Drehmoment ist also

dM = dFr =2πGφ

`r3dr (3.15)

Das gesamte Drehmoment erhalten wir durch Integration

M =

R∫0

=2πGφ

`r3dr =

π

2GR4

`φ (3.16)

Wir können dem Draht die Richtgrösse

Dr =M

φ=π

2GR4

`(3.17)

zuschreiben. Beachte, dass die Richtgrösse Dr extrem stark vom Drahtdurchmesserabhängt.



3.1.4. Biegung

Voraussichtlich am 07.05.2007


Abbildung 3.4.: Biegebalken

Biegebalken werden heute in vielen die Oberächen abtastenden Instrumenteneingesetzt. Als Stimmgabeln sind sie die zeitbestimmenden Elemente in einer Uhr.Der Balken der Länge `, Breite b und Dicke h soll einseitig eingespannt sein.

Wir legen am Ende eine Kraft F an, die senkrecht zur ursprünglichen Lage desBalkens sein soll. An einem Punkt im Abstand x vom Balkenende ist als Wirkungder Kraft der Balken gebogen, und zwar mit einem Krümmungsradius von r. Dieoberen Schichten werden um h

2rgedehnt, die unteren entsprechend gestaucht. In

der Mitte bendet sich (rot eingezeichnet) die neutrale Faser Gemittelt über dieobere Hälfte des Balkenquerschnitts (über der neutralen Faser) ist die Dehnungh4r. Die untere Hälfte ist entsprechend gestaucht. Sowohl für die Stauchung wie

auch für die Dehnung wird eine Kraft von F = E · h4rhb2, und analog dazu eine

Kraft für die Stauchung. Die beiden Kräfte bilden ein Kräftepaar (Abstand h2),

das Drehmoment

M(x) = Fh

2≈ Eh3b

16r≈ α

Eh3b

r(3.18)

α ist hier eine Schätzung und müsste mit einer ausführlicheren Rechnung be-rechnet werden. Für einen rechteckigen Querschnitt zeigt die genauere Rechnung,dass α = 1/12 und nicht 1/16 ist. Die Ursache für das Drehmoment M(x) ist dieKraft F am Ende des Balkens im Abstand x. Wir erhalten

Fx = M(x) =αEh3b

r(3.19)



oder

r =αEh3b

Fx(3.20)

Die Krümmung 1/r ist an der Einspannungsstelle am grössten. Die Spannung σist

σ = Eh

2r=Eh

2

F`

αEh3b=

F`

2αh2b(3.21)

Wird die Festigkeitsgrenze überschritten, bricht der Balken an der Einspann-stelle. Die Belastbarkeit eines einseitig eingespannten Balkens ( und auch eineszweiseitig eingespannten oder aufgestützten Balkens) geht mit h2b

`.

Typische Anwendungen einseitig eingespannter Balken nden sich in der Mikro-systemtechnik.

Abbildung 3.5.: Prinzip der Herstellung eines freitragenden, einseitig ein-gespannten Balkens mit mikrotechnologischen Mitteln(W. Noell Dissertation Ulm und IMM Mainz[Noe98, 84])



Abbildung 3.6.: REM (Rasterelektronenmikroskop)-Bilder des Balkens a)und der Sonde b) eines AFM-Sensors (W. Noell Disserta-tion Ulm und IMM Mainz[Noe98, 85])

3.1.5. Beziehung zwischen den elastischen Konstanten

Abbildung 3.7.: Zusammenhang zwischen Scherung und Dehnung

Die blau eingezeichneten Kräfte in der obigen Abbildung bewirken eine Scherungum den Winkel α. Der Schermodul des Materials ist also

G =2F

αd2

Die blauen Kräfte können jeweils in zwei halb so grosse Kräfte (rot) aufgespal-ten werden. Nun werden jeweils zwei rote Kräfte von zwei nebeneinander liegendenFlächen zusammengefasst; das Resultat sind die grünen Kräfte. Diese bewirken ei-ne reine Dehnung oder Stauchung. Jede Scherung kann also als Kombinationvon einer Stauchung und einer orthogonal dazu liegenden Scherung auf-gefasst werden. Die eine Diagonale wird um αd/

√2 gedehnt, die andere um den

gleichen Wert gestaucht. Die Kräfte wirken auf die mittlere Fläche der Grösse



d · d√

2. Die Kräfte müssen gemittelt werden, so dass sie eektiv nur halb so grosswie ursprünglich angenommen sind. jeder der Kräfte F/

√2 erzeugt eine relative

Dehnung oder Stauchung um FEd2

in ihrer Richtung und eine Querkontraktion oder-dilatation von µ F

Ed2dazu. Beide Kräfte bewirken eine Kontraktion oder Dilatation

von 2F (1+µ)Ed2

= ∆``

= αd√2d√

2= α

21. Wir erhalten

E =4F (1 + µ)

αd2

und durch Vergleich

E = 2G(1 + µ) (3.22)

Da die Poissonzahl 0 < µ < 0.5 ist, bekommt man auch

E

2> G >

E

3(3.23)

3.1.6. Anelastisches Verhalten

Abbildung 3.8.: Spannungs-Dehnungs-Kurven von Stahl und Grauguss

Bei grossen Deformationen ist die Antwort des deformierten Körpers nicht mehrlinear. Wir nennen diesen Bereich auch den Nicht-Hookeschen Bereich. Im obi-gen Bild wird das Verhalten für Grauguss und Stahl dargestellt. Es können diefolgenden Bereiche unterschieden werden:

• Für kleine Dehnungen ε bis zur Elastizitätsgrenze σE wir alle in der Defor-mation gespeicherte Energie bei der Entlastung wieder zurückgewonnen.

1Die Kräfte an gegenüberliegenden Ecken haben die gleiche Wirkung: die eine ist die Gegenkraft

zur anderen, deshalb muss nur eine berücksichtigt werden.



• Bis zur Proportionalitätsgrenze σP ist die Dehnung proportional zur Span-nung.

• An der Streckgrenze σS beginnen, manchmal schubweise, starke plastischeVerformungen.

• An der Festigkeitsgrenze σF , auch Fliessgrenze genannt, beginnt das Materialzu iessen.

• Bei der Bruchdehnung εB bricht das Material.

3.1.7. Elastomechanik anisotroper Körper

Abbildung 3.9.: Allgemeine Kräfte an einem Würfel

An einem Würfel können im allgemeinen Falle die folgenden Kräfte oder Span-nungen sowie Deformationen auftreten:

• An jeder der 6 Flächen können

3 unabhängige Kräfte (2 parallel zur Fläche, eine senkrecht dazu) und

3 unabhängige Deformationen, die aus einer Kompression oder Di-latation sowie zwei Scherungen bestehen.

• Da keine Netto-Kraft und kein Netto-Drehmoment auf den Würfel wirkensoll, müssen die Kräfte in die x-, y-, oder z-Richtung auf gegenüberliegendenSeiten gegengleich sein.

• Wir können also 3 mal 3 Kräfte spezizieren.



• Ebenso müssen die Deformationen auf gegenüberliegenden Seiten gegengleichsein.

• Wir haben also als Resultat der 3 mal 3 Kräfte 3 mal 3 Deformationen.

• Kräfte und Deformationen sind jeweils 3 mal 3 Matrizen, die über einenTensor 4. Stufe (eine 3 mal 3 mal 3 mal 3 Matrix) miteinander verbundensind.

Formal

σi,j =∑k

∑`

Ei,j,k,`εk,` mit i, j, k, ` = x, y, z (3.24)

Im allgemeinen Falle heisst das, dass für gleiche Kräfte die Antwort des Systemsvon der Orientierung der Probe abhängt. Je höher die Symmetrie eines materialsist, desto weniger unabhängige Konstanten gibt es. Im Grenzfall des isotropenMediums bleiben zwei, E und G.


67 3.2 Flüssigkeiten und Gase

3.2. Flüssigkeiten und Gase

3.2.1. Aggregatszustände

Materie besteht aus Atomen oder Molekülen. Sie kommt in 4 verschiedenen Zu-ständen, Aggregatszustände genannt, vor.

Fest Flüssig Gas PlasmawohldenierteAbstände

wohldenierteAbstände

Abstände varia-bel

Abstände varia-bel

geometrischperiodischeAnordnung

nur Nahordnung keine Nahord-nung

keine Nahord-nung

Form ist stabil grössere Kräf-te zwischenAtomen

sehr kleine Kräf-te zwischen Ato-men

Kerne undElektronen sindgetrennt, grosseCoulombkräfte

grosse Kräf-te zwischenAtomen

im Gravi-tationsfeldwohldenierteOberäche

Im Gravitation-feld keine de-nierte Oberä-che

Im Gravitation-feld keine de-nierte Oberä-che

schwingengegeneinander

verschieben sichgegeneinander

Dichte ≈ 1000x kleiner als inFlüssigkeit

Dichte variabel

form- und volu-menelastisch

Formänderungkraftlos möglich(ohne Ge-schwindigkeit)

raumfüllend raumfüllend

Tabelle 3.1.: Aggregatszustände

3.2.2. Gestalt von Flüssigkeitsoberächen

Abbildung 3.10.: Flüssigkeitsoberäche

Eine Kraft F tangential zur Flüssigkeitsoberäche bewirkt eine Verschiebungaber keine Formänderung



An der Flüssigkeitsoberäche gibt es keine Tangentialkräfte.

Abbildung 3.11.: Oberäche einer rotierenden Flüssigkeitsäche

Beispiel: Kaee beim Umrühren. Wir wollen die Form der Flüssigkeitsächeberechnen.

Fres =

√(dm ω2r)2 + (dm g)2

=(√

ω4r2 + g2)dm

tgα =dm ω2r

dm g=ω2r

g(3.25)

und

y =

r∫0

ω2r

gdr =

1

2

ω2

gr2 (3.26)

Eine rotierende Flüssigkeitsoberäche hat also Parabelform.



3.2.3. Druck

Abbildung 3.12.: Denition des Druckes

Druck ist die Kraft pro Fläche auf die Berandung eines Behälters.Es sei

∆F n = −p ·∆A ·n

Wir nennen p den isotropen Druck. Die Einheit von p ist Pascal[Nm2

]= [Pa]

Bemerkung: die Energiedichte EVhat die gleiche Einheit wie der Druck. Ein-

gehendere Überlegungen zeigen, dass Druck immer mit einer Energiedichte, undEnergiedichte mit Druck verbunden ist.

Merken Sie sich die Identität:

Energiedichte =Druck

3.2.3.1. Wirkung auf Körper

Eine Druckänderung ∆p bewirkt eine Volumenänderung.

∆V

V= θ = ∆ lnV (3.27)

Lokal bewirkt eine Volumenänderung ∆V eine Dichteänderung ∆ρ.

θ = −∆ρ

ρ= −∆ ln ρ (3.28)

(Wenn das Volumen abnimmt, nimmt die Dichte zu.)Die Volumenänderung ist proportional zur Druckänderung

∆p = −Kθ = − 1

βθ (3.29)



K heisst Kompressionsmodul. Seine Einheit ist 1Pascal = 1Pa = 1 Nm2 . Wir

haben weiter

κ = − 1

V

dV

dp=

1

ρ

dρ

dp(3.30)

κ heisst Kompressibilität. Ihre Einheit ist Pa−1 = m2

N

3.2.3.2. Hydraulische Presse

Abbildung 3.13.: Hydraulische Presse

Wir haben

F1 = pA1

F2 = pA2

undF1

A1

=F2

A2

(3.31)

Bemerkung: Die Wirkung von hydraulischen Pressen kann sehr gut mit virtuellenVerrückungen berechnet werden.

3.2.3.3. Druckarbeit

Abbildung 3.14.: Druckarbeit

Das Dierential der Druckarbeit ist

dW = Fdx = pAdx = −pdV (3.32)



da daAdx = −dV ist. Also ist die geleistete Arbeit :

W = −∫pdV =

∫βV pdp (3.33)

Ändert sich V wenig, so ist die Druckarbeit

W = V

∫βpdp =

1

2βV(p2

2 − p21

)(3.34)

3.2.4. Schweredruck

Abbildung 3.15.: Berechnung des Schweredruckes

Wir berechnen die Kraft bei (1). Die Masse des verdrängten Wassers ist Ahρ =m. Die daraus resultierende Gewichtskraft beträgt F = mg = Ahρg. Also ist derSchweredruck des Wassers

p =F

A= hρg (3.35)

unabhängig von A. In einem Meter Tiefe ist der Schweredruck 10kPa, das heisstes ist unmöglich mit einer Schnorchel von 1m Länge zu atmen. Der Schweredruckhängt nur von der Flüssigkeitshöhe ab, nicht jedoch vom Querschnitt der Flüssig-keitssäule. Deshalb steht in kommunizierenden Rohren das Wasser überall gleichhoch.



3.2.4.1. Auftrieb

Abbildung 3.16.: Auftrieb in Flüssigkeiten

Wir betrachten einen untergetauchten Würfel. Die Kraft von oben ist

F1 = −ρghA

Die Kraft von unten istF2 = +ρg (h+ l)A

Also ist der AuftriebFA = F2 + F1 = ρglA = ρgV (3.36)

Salopp gesagt, ist der Auftrieb die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit.Ein Körper schwebt im Wasser, wenn

FA = FG (3.37)

ist.

3.2.4.2. Schwimmen

Abbildung 3.17.: Schwimmen

Wenn ρK < ρ ist die Gewichtskraft Fg = ρK lAg. Die Auftriebskraft ist hingegenFA = ρhAg. Der Körper schwimmt, wenn die Auftriebskraft gleich der Gewichts-kraft ist (FA = Fg). Dann ist

ρK lAg = ρhAg (3.38)



und der Körper taucht bis zu

h = l · ρKρ

(3.39)

ins Wasser ein.

Wann schwimmt ein Körper stabil?

Abbildung 3.18.: Stabilität eines schwimmenden Körpers

Sei S der Schwerpunkt des Körpers. SF sei der Schwerpunkt der verdrängtenFlüssigkeit . Solange der Körper schwimmt ist F A = −FG. Die beiden Kräftebilden ein Kräftepaar und damit erzeugen sie ein Drehmoment

T = R× F A (3.40)

Dieses Drehmoment richtet den Körper auf. Wenn S unter SF liegt, ist dieSchwimmlage stabil. Wenn S über SF liegt, hängt die Stabilität von der Lage desMetazentrums M ab.Das Metazentrum ist durch die Schnittlinie der Mittelliniedes Körpers und der Verlängerung von F A gegeben. Die Schwimmlage ist stabil,wenn M über S liegt.



3.2.4.3. Aräometer

Abbildung 3.19.: Aräometer

Mit einem Aräometer misst man die Dichte einer Flüssigkeit (Schnapswaage).Wir haben

m = ρ (V0 + A ·h)

h =m

Aρ− V0

A

3.2.5. Gasdruck

Das Gesetz von Boyle-Mariotte lautet

V =c

p(3.41)

Damit es anwendbar ist, brauchen wir

• eine hohe Temperatur

• eine kleine Dichte

c hängt von der Temperatur T und der Anzahl Moleküle ab. Bei T = 0C istdas Volumen eines Gases

V = 22,4m

M· 1p

(3.42)

wobei m die Masse des Gases, M die Molmasse, V das Volumen in Litern undp der Druck in bar ist. Bei langsamen Zustandsänderungen ist

κ(isotherm) = − 1

V

dV

dp=

1

V

c

p2=

1

p(3.43)



3.2.6. Atmosphärendruck

Der Luftdruck kann mit einem Barometer gemessen werden.

Abbildung 3.20.: Quecksilber-Barometer

A ·h · ρHggA

= pAth = h · ρHgg (3.44)

Normaldruck: 760mm Hg∧= 760Torr

∧= 1atm

∧= 1013hPa

3.2.6.1. Höhe der Atmosphäre bei konstanter Dichte und konstantemDruck

Die Dichte der Luft bei Umgebungsbedingungen ist

ρL = 1.29kg

m3

mit

ρgh = pAtm (3.45)

bekommt man

h =pAtmρg≈

105 Nm2

10ms2

1,3 kgm3

≈ 8 · 103m (3.46)

Aber: Gesetz von Boyle-Mariotte

V =c

p⇒ ρ = c · p′ (3.47)



Abbildung 3.21.: Druckänderung mit der Höhe

mit p′ < p folgt∆p = p′ − p = −ρ (h) g∆h (3.48)

unddp

dh= −ρ (h) g (3.49)

Nun ist aber

ρ

p= const =

ρ0

p0

(3.50)

wobei ρ0,p0 auf Meereshöhe gemessen werden.Also ist

ρ (h) =ρ0

p0

p (h) (3.51)

unddp

dh= −ρ0

p0

g p (3.52)

Die Lösung istp = p0e

−Ah (3.53)

Wir setzen ein und erhalten

Ap0e−Ah = −ρ0

p0

gp0e−Ah (3.54)

oderA =

ρ0

p0

g (3.55)

Alsop = p0e

−ρ0 ghp0 (3.56)

Diese Gleichung heisst isotherme barometrische Höhenformel . Sie ist eine Nä-herung, da wir die Temperatur als konstant angenommen haben ebenso wie denFeldvektor des Gravitationspotentials g (h) = g0 = const.



3.2.7. Druck als Potential

Der Druck p (r) sei eine skalare Funktion des OrtesBehauptung:

F V (r) = −grad (p (r)) (3.57)

F V (r) ist die Volumenkraft. Das ist die resultierende Kraft auf die Oberächedes Volumenelements, dividiert durch das Volumen dieses Elements.Beweis

Abbildung 3.22.: Druck auf ein Volumenelement

also

−∆F (z + ∆z) + ∆F (z) = − (p (z + ∆z)− p (z)) ∆x ·∆y

= −∂pdz·∆z ·∆x ·∆y

= −dpdz·∆V (3.58)

Daraus folgt die Behauptung.

Eine andere Möglichkeit des Beweises ist: Wähle ein Volumenelement ∆V mitder Oberächen ∆a

∆F V =

∫∆a

d F =

∫∆a

−p ·nda =

∫∆V

grad (−p) dV (3.59)

Beispiel: Wasser:

Abbildung 3.23.: Kräfte auf ein Volumenelement Wasser



p (r) = −ρH20 · zgr = (x,y,z)

grad (p (r)) = − (0,0,ρH20g)

F V = (0,0,ρH20g)

=

(0,0,1000

kg

m3· 10

m

s2

)=

(0,0,104 N

m3

)(3.60)

Der Druck ist also das Potential zur Volumenkraft

p (r) = p (r0)−r∫

r0

F v (r) dr (3.61)

Gravitationspotential ↔ Feldvektor der GravitationDruck ↔ VolumenkraftTabelle 3.2.: Analogie zwischen Gravitation und Druck

Daraus folgt:

• Volumenkraft ist wirbelfrei

• Die Flüssigkeitsoberäche ist eine Äquipotentialäche. das heisst, gradpsteht senkrecht zur Oberäche

3.3. Oberächenspannung

Abbildung 3.24.: Molekulares Bild der Oberäche


79 3.3 Oberächenspannung

Kräfte sind isotrop verteilt Nettokraft in das Innere der Flüssigkeit

Schiebt sich ein Molekül an die Oberäche, so leistet es die Arbeit Wis (M) gegenF S

also istE(M) = Wis(M) (3.62)

Die potentielle Energie der Moleküle in der Oberäche A ist minimal, wenn dieOberäche A minimal ist.

ES (M) = σS ·A (3.63)

Die Einheit von σS ist[Nm

]. σS heisst Oberächenspannung.

Wenn n ·A Moleküle an der Oberäche sind, gilt

σS = nEA (M) =1

deff2

ES (M) (3.64)

Dabei ist n = 1deff2

die Flächendichte der Moleküle, deff der eektive Durch-

messer eines Moleküls und ES (M) die Arbeit , die benötigt wird um ein Molekülgegen die Oberächenkraft an die Oberäche zu bringen.Anwendung:

Abbildung 3.25.: Berechnung der Kraft eines Flüssigkeitslmes

1. Der Flüssigkeitslm hat 2 Oberächen

2. Verschiebung um ∆y benötigt die Arbeit

∆F ·∆y = 2∆ES = σS · 2∆A = 2σSb∆y (3.65)

und∆F = 2σSb (3.66)



Pro Flüssigkeitsoberäche wirkt auf die Breite ∆x die Kraft .

∆FS = σS∆x (3.67)

Abbildung 3.26.: Tropfenzähler. Situation kurz vor dem Abreissen

Der Umfang ist 2πr. Das Kräftegleichgewicht verlangt, dass kurz vor dem Ab-reissen die aufwärtsgerichte Kraft der Oberächenspannung gerade das Gewichtdes Tropfens kompensieren.

2πrσS = V ρg (3.68)

Also ist

V =2πrσSρg

(3.69)

Also kann man mit der obigen Physik einen Tropfenzähler beschreiben.

3.3.1. Freie Oberächen

Abbildung 3.27.: Krümmungsradien bei einer freien Oberäche

Die Oberäche ist charakterisiert durch 2 Krümmungsradien R1 und R2

Behauptung1

R1

+1

R2

=∆p

2σS(3.70)


81 3.3 Oberächenspannung

Beweis für eine Kugel

Abbildung 3.28.: Oberächenspannung und Druck in einer Kugel

Wir haben eine Äquatorialäche A und einen Äquatorialumfang U . Die Druck-kraft ist ∆p ·A, die Oberächenspannung am Umfang 2σSU (da wir 2 Oberächenhaben!)

Also

∆pA = 2σSU

∆pπR2 = 2σS · 2πR2

R=

∆p

2σS=

1

R1

+1

R2

(3.71)

da bei der Kugel R1 = R2 = R ist.

Beispiel Seifenblasen.

Die kleinere Seifenblase hat den grösseren Druck (gilt auch für Luftballons, wie-so?)

Freie Oberächen sind Minimalächen mit

1

R1

+1

R2

= 0 (3.72)

Da der Krümmungsradius R−1 ∝ ∂2z∂x2 ist, gilt auch

∂2z

∂x2+∂2z

∂y2= 0 (3.73)



3.3.2. Benetzende Flüssigkeiten, Kapilarität

Abbildung 3.29.: Benetzende Flüssigkeiten

Steigt die Flüssigkeit wird ihre Oberäche kleiner.

FGraviation = FS (am Umfang) (3.74)

πr2 ·h · ρ · g = σS · 2πr (3.75)

und

h =2σSrρg

(3.76)

Bei Nichtbenetzung hat man eine Kapilardepression (Beispiel Glas und Queck-silber)Grenzächenenergien existieren zwischen beliebigen Medien.

Abbildung 3.30.: Kräftegleichgewicht an der Grenzäche


83 3.4 Strömungen

Sei σ23 negativ. Dann ist

σ12 cos θ = σ13 − σ23 (3.77)

Wenn σ13−σ23 > σ12 ist, kriecht die Flüssigkeit hoch. Wenn σ23 > σ13 > 0 dannist θ > 90. Beispiel: Quecksilber.

Das Problem kann auch anders angesehen werden:

• Flüssigkeitsteilchen werden von der Wand durch Adhäsionskräfte angezogen

• Flüssigkeitsteilchen werden von der Flüssigkeit durch Kohäsionskräfte ange-zogen

3.4. Strömungen

3.4.1. Beschreibung von Strömungen

Abbildung 3.31.: Vektorfeld der Strömung

An jedem Punkt hat die Geschwindigkeit v (r) einen Betrag und eine Richtung.

Das Vektorfeld v (r) ist durch Stromlinien charakterisiert. Wenn v (r) nicht vonder Zeit abhängt, heisst die Strömung stationär.

Bahnlinien: Bahn eines Teilchens

Bei stationären Strömungen sind Bahnlinien und Stromlinien identisch. Inkom-pressible Strömungen sind Strömungen mit konstanter Dichte ρ.



3.4.1.1. Fluss

Abbildung 3.32.: Fluss

Der Fluss ist deniert als

dφ = ρv cosαdA (3.78)

oderdφ = ρv · dA (3.79)

Integralform

φ =

∫A

ρvd A =

∫A

jdA (3.80)

wobei A beliebige Fläche (auch gekrümmt) ist. φ ist der Fluss. Er hat die Einheit

[φ] =kg

s

j = ρv ist die Stromdichte (analog zum elektrischen Strom). Ihre Einheit ist

[j] =kg

m2s

Bei einer geschlossenen Fläche iesst netto Masse aus dem Volumen heraus, wenneine Quelle im Volumen ist. Bei geschlossenen Flächen wird der Fluss nach aussenimmer positiv gezählt, nach innen negativ.

Abbildung 3.33.: Berechnung der Divergenz

Im allgemeinen Fall ändert die Dichte mit dem Ort. Wir haben links die Dichteρ(x) und die Geschwindigkeit vx(x) und rechts ρ(x + dx) = ρ(x) + ∂ρ

∂xdx und

vx(x+ dx) = vx(x) + ∂vx∂xdx. Zusammen erhalten wir


85 3.4 Strömungen

dφ1 (x, y, z) = −ρ (x, y, z) vx (x, y, z)

dφ2 (x, y, z) = ρ (x+ dx, y, z) vx (x+ dx, y, z) dydz

=

(ρ (x) vx (x) +

[ρ (x, y, z)

∂vx∂x

+∂ρ

∂xvx (x, y, z)

]dx

)dydz

wobei die Zweitordnungsterme mit dx2 vernachlässigt wurden. Der Nettouss ist

dφ1 (x, y, z) + dφ2 (x, y, z) =

[ρ (x, y, z)

∂vx∂x

+∂ρ

∂xvx (x, y, z)

]dxdydz

=∂

∂x[ρ (x, y, z) vx (x, y, z)] dxdydz

=∂

∂x[ρ (x, y, z) vx (x, y, z)] dV =dφx (x, y, z)

Analog bekommt man für die y- und die z-Richtung:

dφy (x, y, z) =∂

∂x[ρ (x, y, z) vx (x, y, z)] dV

dφz (x, y, z) =∂

∂x[ρ (x, y, z) vx (x, y, z)] dV (3.81)

Der Nettouss aus dem Volumen ergibt sich zu

dφ (x, y, z) = dφx (x, y, z) + dφy (x, y, z) + dφz (x, y, z)

=

(∂ (ρvx)

∂x+∂ (ρvy)

∂y+∂ (ρvz)

∂z

)dV (3.82)

Ohne Quelle ist dφ = 0. Die Grösse

div (ρv) =∂ (ρvx)

∂x+∂ (ρvy)

∂y+∂ (ρvz)

∂z(3.83)

(Divergenz) beschreibt die Quellen und Senken in einem Fluss. Sie ist in demFalle auch gleich null.Wenn div (v(r)) 6= 0 ist, so muss sich die Dichte an der Stelle r ändern, oder es

muss eine Quelle vorhanden sein.Wir erinnern uns, der Fluss φ beschreibt die Massenänderung pro Zeit im Vo-

lumen dV . Die Masse im Volumen dV nimmt um dφdt ab (bei positivem dφ undnimmt um ρdV dt zu. Zusammen ergibt sich

dm = −dφdt = −div (ρv)dV dt = ρdV dt

und damit

dφ = div (ρv) dV = −ρdV (3.84)

Damit bekommt man



div (ρv) = −ρ (3.85)

Dies ist die Kontinuitätsgleichung.

Wenn ρ nicht vom Ort abhängt, hat man auch.

ρdivv = −ρ

Dann heisst ρdivv = div j die Quelldichte.

Eine quellenfreie inkompressible Strömung hat überall divv = 0.

Es gilt:

φ =

∫∫A

(ρv) dA

︸︷︷︸Fluss durch A (Materialmenge)

=

∫∫∫V

div (ρv) dV = −∫∫∫V

ρdV

︸︷︷︸Änderung der Dichte

(3.86)

da der Satz von Gauss für ein beliebiges Vektorfeld x besagt

∫∫A

x · dA =

∫∫∫V

(divx)dV (3.87)

Abbildung 3.34.: Stromlinien in einer inkompressiblen Flüssigkeit

Die Stromlinien durch A denieren einen Schlauch, die Stromröhre, die keinenAustausch mit der Umgebung hat. Also ist in einer inkompressiblen Flüssigkeit

A1v1 = A2v2 (3.88)

Dies ist die makroskopische Kontinuitätsgleichung.


87 3.4 Strömungen

Abbildung 3.35.: Geschwindigkeitsgradient und Rotation

Wenn die Strömung inhomogen ist, werden mitgeführte Teilchen gedreht.Wasser strömt mit ±`dvy

dxam Würfel vorbei. Wir haben ein Gleichgewicht, wenn

ωz =∂vy∂x− ∂vx

∂y(3.89)

ω zeigt in die z Richtung. Im Allgemeinen ist

ω =

(∂vz∂y− ∂vy

∂z,∂vx∂z− ∂vx

∂y,∂vy∂x− ∂vx

∂y

)(3.90)

mit ∇ =(∂∂x, ∂∂y, ∂∂z

)wird

rot v = ∇× v die Rotation des Strömungsfeldes.Es gilt dann ∮

vds︸︷︷︸Bahnkurve s

=

∫rot vdA︸︷︷︸

von s berandete Fläche

(3.91)

Falls rot v = 0 ist kann v aus dem Geschwindigkeitspotential U abgeleitetwerden.

v = −gradU (3.92)

Dann gilt rot v = 0

Für inkompressible Flüssigkeiten gilt

divv = −div gradU = −∆U = 0 (3.93)

Wir haben also drei unterschiedliche physikalische Phänomene, die durch diegleiche Mathematik beschrieben werden:Strömung ←→ Graviation ←→ Elektrostatik



3.4.2. Lokale und totale Ableitungen

Abbildung 3.36.: Mitbewegtes System

Sei S∗ das Laborsystem, S das mitbewegte System,das ∆m folgt. Seien s∗ lokalezeitliche Ableitungen und s totale zeitliche AbleitungenDas 2. Newtonsches Gesetz beschreibt die Bewegung von ∆m, aber nur in S (t)(in S∗ betrachtet man Volumina, nicht Massen)Also ist

Fm =F

m= a =

dv

dtin S (t) (3.94)

Lokale Ableitung:r ist in S∗ fest

∂ρ

∂t=

∂

∂tρ (r,t) =

∂

∂tρ (x,y,z,t)

∂v

∂t=

∂

∂tv (r,t) =

∂

∂tv (x,y,z,t) (3.95)

Totale zeitliche AbleitungenIn S (t) beschreiben die physikalischen Grössen das gleiche Teilchen.

r = r (t) = (x (t) ,y (t) ,z (t)) (3.96)

wobei x (t) die Koordinaten in S∗ sind

ρ = ρ (r (t) ,t) = ρ (x (t) ,y (t) ,z (t) t)

v = v (r (t) ,t) = v (x (t) ,y (t) ,z (t) t) (3.97)

Ableitung: totale Ableitung auf der Bahn r (t)

dρ

dt=

d

dtρ (x (t) ,y (t) ,z (t) ,t)

a =dv

dt(3.98)

Zusammenhang:


89 3.4 Strömungen

Dichted

dtρ =

∂

∂tρ+ (grad ρ) ·v (3.99)

Beweis:d

dtρ =

∂ρ

∂x· ∂x∂t

+∂ρ

∂y· ∂y∂t

+∂ρ

∂z· ∂z∂t

+∂ρ

∂t(3.100)

qed.Beschleunigung :

a =dv

dt=∂v

∂t+ (grad v)v =

∂v

∂t+ grad

(1

2v2

)− v × rotv (3.101)

3.4.2.1. Kontinuitätsgleichung

Grund Massenerhaltung

∂ρ

∂t+ div (ρv) =

∂ρ

∂t+ ρ div v = 0 (3.102)

Beweis: Ortsfests Volumen

∆V = ∆x ·∆y ·∆z

δ (∆m) = ∆x ·∆y ·∆z · ∂∂tρ

(z +

1

2∆z

)δt

= −ρ (z + ∆z) · vz (z + ∆z) δt∆x∆y + ρ (z) vz (z) · δt ·∆x ·∆yδ (∆m)

∂t= ∆x∆y∆z

∂

∂tρ (z) = −∂ (ρ (z) vz (z))

∂z·∆z ·∆x ·∆y

∂ρ (z)

∂t= − ∂

∂t(ρ (z) vz (z)) usw. (3.103)

3.4.2.1.1. Stationäre Strömung Sei ∂∂tf = 0 für beliebige f . Dann ist die

Dichte dpdt

= (grad ρ) ·v und die Kontinuitätsgleichung div (ρv) = 0.

a =dv

dt= grad

(1

2v2

)− v × rotv (3.104)

Im Stromfaden giltA1ρ1v1 = A2ρ2v2 = const (3.105)

Inkompressible Flüssigkeiten

dρ

dt=∂ρ

∂t= 0

div v = 0 (3.106)

dann gilt: A1v1 = A2v2 = const.



3.4.3. Innere Reibung

Abbildung 3.37.: Innere Reibung in einer Flüssigkeit

Moleküle haben am Rand im Mittel die Geschwindigkeit der Wand.v (z) ist parallel zur Wand.Für die Kraft gilt

F = ηAv

z(3.107)

η :[Nsm2

]heisst Viskosität (Scherviskosität)

BeispielWasser: 1.8 · 10−3Ns

m2

Glyzerin 1Nsm2

Allgemein:

F = ηAdv

dz(3.108)

wobei A klein sein soll.Temperaturabhängigkeit:Moleküle müssen ihren Platz wechseln (→ Bolzmannstatistik)

η = η∞ebT (3.109)

3.4.4. Laminare Strömung

Abbildung 3.38.: Volumenkräfte


91 3.4 Strömungen

Laminare Stromlinien sind dadurch charakterisiert, dass benachbarte Stromlini-en benachbart bleiben (Beispiel: Blut)

dF 1 = −η∂v∂x

∣∣∣∣1

dydz

dF 2 = η∂v

∂x

∣∣∣∣2

dydz = η

(∂v

∂x

∣∣∣∣1

+∂2v

∂x2dx

)dydz

dFR = dF 1 + dF 2 = η∂2v

∂x2dxdydz = η

∂2v

∂x2dV (3.110)

Allgemein:

dFR = η

(∂2v

∂x2+∂2v

∂2y2+∂2v

∂2z2

)dV (3.111)

oder

F VR =dF

dV= η∆v (3.112)

die Volumenkraft der Reibung

Die Druckkraft ist

dF p = pdydz −(p+

∂p

∂xdx

)dydz = −∂p

∂xdV (3.113)

alsoF Vp = −grad p (3.114)

F VR und F Vp beschreiben die Dynamik

3.4.4.1. Strömung durch einen Spalt

Abbildung 3.39.: Strömung durch einen Spalt



v = 0 an der Wandv = v0 in der Mittedvdx⇒ Reibungskraft FR = 2`bη dv

dx

Druck: Fp = 2xb`dpdz

⇒ dvdx

= 1ηdpdzx

⇒ v (x) ist eine Parabel

v = v0 −1

2η

dp

dxx2 = v0 −

p1 − p2

2η`x2

Am Rand ist v = 0

⇒ v0 =p1 − p2

2η`d2

3.4.4.2. Rohrströmung

Abbildung 3.40.: Rohrströmung

Rand: v = 0

FR = 2πr`ηdv

dr

Fp = πr2 (p1 − p2)

alsodv

dr=p1 − p2

2η`

⇒ v = v0 −p1 − p2

2ηlr2

undv0 =

p1 − p2

4ηlR2

innitesimal

vz (r) = − 1

4η

dp

dz

(R2 − r2

)


93 3.4 Strömungen

Volumenstrom: dV = 2πrdr · v (r)also:

V =

R∫0

2πrv (r) dr =π (p1 − p2)

8ηlR4 =

π

8η

dp

dzR4 (3.115)

Das ist das Gesetz von Hagen-Poiseuille, wobei dpdz

= −8η vR2 und v = V

πR2

Der Strömungswiderstand ist: 8η`πR4

3.4.4.3. Druck und Volumenstrom

Druckkraft Fp = πR2 (p1 − p2) = 8ηlR2 V

3.4.4.4. Strömung um Kugeln

Abbildung 3.41.: Strömung um eine Kugel

Die Kugel hat im Abstand r keinen Einuss mehr auf die Strömung

⇒ −dvdz∼ v

r

Oberäche: 4πr2

F ≈ ηdv

dz·A = −ηv

r4πr2 ∼ −4πηvr

Genauer erhält manF = −6πηvr (3.116)

das Stokes-Gesetz.

3.4.4.5. Das Navier-Stokes-Gesetz, Bewegungsgleichung einer Flüssigkeit

Das Navier-Stokes-Gesetz, die Bewegungsgleichung für viskose Medien lautet

ρdv

dt= ρ

(∂v

∂t+ grad

v2

2− v × rotv

)(3.117)

= F V − grad p+ η∆v +(ζ +

η

3

)grad divv

= F V − grad p− ηrot (rotv) +

(ζ +

4η

3

)grad divv



wobei η die Scherviskosität, ζ die Volumenviskosität, F V die Volumenkraft (sieheGleichung (3.57) ), v das Geschwindigkeitsfeld und ρ die Dichte der Flüssigkeit ist.Die Volumenviskosität kommt von der Dissipation beim Komprimieren oder

Expandieren von Flüssigkeiten oder Gasen. Wenn wir eine Volumenelement dxdydzbetrachten, so messen wir neben der statischen Druckkraft

p n =F

A

noch eine dynamische Spannung

σ∗ n =F ∗

A= −ζ 1

ρ

dρ

dtn = −ζ

(d

dtln ρ

)n

Die Einheit der Volumenviskosität oder zweiten Viskosität ist [ζ] = kgms

= [η].In Spezialfällen vereinfacht sich die Navier-Stokes-Gleichung.

Reibungslose Medien Hier ist η = 0 und ζ = 0. Die Navier-Stokes-Gleichungvereinfacht sich zu

ρdv

dt= ρ

(∂v

∂t+ grad

v2

2− v × rotv

)(3.118)

= F V − grad p

Inkompressible Medien Hier ist divv = 0. Die Navier-Stokes-Gleichung wird also

ρdv

dt= ρ

(∂v

∂t+ grad

v2

2− v × rotv

)(3.119)

= F V − grad p+ η∆v

= F V − grad p− ηrot (rotv)

Da das Volumen sich nicht ändert, hat die Volumenviskosität keinen Einuss.

Potentialströmungen inkompressibler Flüssigkeiten Hier gilt divv = 0 undrotv = 0. Ebenso verschwindet die partielle Ableitung nach der Zeit. DieNavier-Stokes-Gleichung wird zu

ρdv

dt= ρ grad

v2

2(3.120)

= F V − grad p

Dies ist auch die Bernoulli-Gleichung.

Potentialströmung Hier gilt rotv = 0. Ebenso verschwindet die partielle Ablei-tung nach der Zeit. Die Navier-Stokes-Gleichung wird zu

ρdv

dt= ρ

(grad

v2

2

)(3.121)

= F V − grad p+

(ζ +

4η

3

)grad divv


95 3.4 Strömungen

3.4.4.6. Prandtl-Grenzschicht

Abbildung 3.42.: Prandtl-Grenzschicht

Reibungskraft: FR = ηAVD

Verschieben um `:

W = FR · ` = ηAV

D` (3.122)

Kinetische Energie in der Grenzschicht :

Ekin =1

2

D∫0

Aρdz

(v · zD

2)

=1

6Aρv2D (3.123)

mit W = Ekin wird

D =

√6ηl

ρv

Reynolds-Kriterium

D `

⇒ `

D 1√

ρv`2

6ηl=

√ρv`

6η 1 (3.124)

Re =ρv`

η 1 (3.125)

dabei ist ` eine typische Dimension und v die mittlere Geschwindigkeit .wenn

• Re 1: turbulente Strömung mit laminarer Grenzschicht

• Re 1: laminare Strömung (Grenzschicht macht keinen Sinn)



Allgemein gilt: Es gibt für jede Geometrie eine kinetische Reynoldszahl . Rekritmit

Re > Rekrit ⇒ turbulent

Re < Rekrit ⇒ laminar (3.126)

Bem. Strömungen mit der gleichen Reynoldszahl sind ähnlich ⇒ Windkanal

Bei D l ist FR = ηAVD

= A√

V 3ηρl

FR ist etwa der Mittelwert aus

Stokes ∼ ηv` laminar, zu kleinNewton ∼ l2ρv2 turbulent, zu gross

für Flugzeuge

3.4.5. Strömung idealer Flüssigkeiten

Abbildung 3.43.: Ideale Strömung

ideal: keine Reibung, laminar

Volumenerhaltung: A1∆x1 = A2∆x2 = ∆VArbeit : ∆W1 = p1A1∆x1

∆W2 = p2A2∆x2

Energiebilanz: ∆W = ∆W1 −∆W2 = ∆Ekin

(p1 − p2) ∆V =1

2ρ∆V

(v2

2 − v21

)

also p+1

2ρv2 = p0 = const (3.127)

Dies ist die Bernoulli-Gleichung.

Ist die Flüssigkeit im Gravitationsfeld , muss noch ρgh berücksichtigt werden(allg. Wpot)


97 3.4 Strömungen

3.4.5.1. Anwendungen

3.4.5.1.1. Manometer

Abbildung 3.44.: Manometer

Ein Manometer misst nur den statistischen Druck

3.4.5.1.2. Prandtlsches Staurohr

Abbildung 3.45.: Prandtlsches Staurohr

p0 − p =1

2ρv2 (3.128)

3.4.5.1.3. Strömung aus einem Loch

Abbildung 3.46.: Ausströmen aus einem Loch. Der äussere Druck p0, derja überall gleich ist, wurde vernachlässigt.



1

2ρv2 = p

v =

√2p

ρ(3.129)

Wenn der Druck p ein Schweredruck ist, gilt

p = ρgh

Es folgtv =

√2gh

Wenn v >√

2p0ρ

= vk wird der statische Druck < 0. Negative Drucke können

nicht existieren. Das System reagiert mit einer Dampfbildung (Kavitation).

3.4.6. Strömungswiderstand

Abbildung 3.47.: Stromlinie

Nach Bernoulli ist der Druck vorne und hinten gleich. Also gäbe es keinen Wi-derstand (Paradoxon von d'Alembert).

Abbildung 3.48.: Reales Bild einer Wirbelstrasse

Def. Wirbel: Wenn ein Boot auf einem geschlossenen Weg angetrieben wirdDef. Zirkulation :

Γ =

∮vds =

∫rot v da 6= 0 (3.130)


99 3.4 Strömungen

Abbildung 3.49.: Potentialwirbel

vr = 0 (3.131)

vϕ =Γ

2πr(3.132)

Beim Potentialwirbel gilt:

rot v = 0 für r > 0rot v 6= 0 für r = 0

Für r 6= 0 existiert also ein Geschwindigkeitspotential φ = Γ2πϕ

3.4.6.1. Druck und Druckgradient

Nach Bernoulli gibt es einen Radius r0, bei dem der dynamische Druck negativwürde. r0 ergibt sich zu

p = p0 −1

2ρv2 = p0 − ρ

Γ2

8π2· 1

r2

p = 0 für r0 =Γ

2π

(ρ

2p0

) 12

(3.133)

d.h. für r < r0 ist das Konzept des Potentialwirbels nicht sinnvoll.Volumenkraft

F V = −grad p = −ρ Γ2

4π2

r

r4(3.134)

(nach innen gerichtet)

3.4.7. Helmholtzsche Wirbelsätze



Abbildung 3.50.: Helmholtzsche Wirbelsätze

In Wirbeln gelten die folgenden Gesetze:

1. Wirbelsatz Im Inneren eines Gases oder einer Flüssigkeit können keine Wirbelbeginnen.

2. Wirbelsatz Wirbel enthalten zu jeder Zeit die gleichen Teilchen

3. Wirbelsatz Die Zirkulation

Γ =

∮v · ds (3.135)

ist für jeden Wirbelquerschnitt Q senkrecht zum Wirbelfaden konstant.


4. Wärmelehre

4.1. Wärmeenergie und Temperaturen


Materialien


In vielen Experimenten beobachtet man, dass potentielle Energie oder kinetischeEnergie in Wärme umgewandelt werden kann. Beispiele hierfür sind der vollkom-men plastische Stoss, Reibungswärme oder die Verlustleistung an Widerständen.Wenn in einer Dimension zwei Massen m1 und m2 mit den Geschwindigkei-

ten v1 und v2 plastisch aufeinander stossen, wird ein Teil der kinetischen Energiein Wärme und Deformation umgewandelt. Dieser Teil wird am einfachsten imSchwerpunktssystem berechnet. Die Schwerpunktsgeschwindigkeit ist

vs =m1v1 +m2v2

m1 +m2

(4.1)

Im Schwerpunktssystem ist die kinetische Energie der beiden Massen

Ekin, r =1

2m1 (v1 − vs)2 +

1

2m2 (v2 − vs)2

=1

2m1

(m2(v1 − v2)

m1 +m2

)2

+1

2m2

(m1(v2 − v1)

m1 +m2

)2

=(m1 +m2)m1m2

2

(v1 − v2

m1 +m2

)2

=m1m2

2(m1 +m2)(v1 − v2)2 (4.2)

Im vollkommen plastischen Falle wir die Energie Ekin, r in Deformation oder inWärme umgewandelt.

Versuch zur Vorlesung: Umwandlung von Energie in Wärme (VersuchskarteTH-110)

Was ist Wärme? Demokrit in Griechenland stellte die Vermutung auf, dass Ma-terie aus kleinsten, unteilbaren Teilchen bestehen würde. Beobachtungen mikro-skopisch kleiner Partikel (Brown) führen zum Schluss, dass Flüssigkeiten und Gase

http://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH110V00.PDF

http://vorsam-server.physik.uni-ulm.de:8080/Versuche/TH/PDF/TH110V00.PDF

Wärmelehre 102

aus noch viel kleineren Teilchen (d 1µm) bestehen. Dabei sollen diese Teilchenin einer reinen Substanz die immer gleichen Massen mi haben.In (kristallinen) Festkörpern laufen hochfrequente Schallwellen (heute unter dem

Namen Phononen bekannt). Schallwellen sind in jedem Falle an das Vorhandenseinvon Materie gebunden (im Vakuum gibt es keinen Schall).

Wärmeenergie ist kinetische Energie von Atomen oder Molekülenoder anderen Teilchen.

Jedes dieser Teilchen hat zur Zeit t die Geschwindigkeit vi(t) und damit diemittlere kinetische Energie

〈E〉t =1

2

⟨mi v

2⟩t

Da alle Teilchen identisch sein sollen wird die mittlere kinetische Energie für alleTeilchen gleich sein.Wie wird nun erreicht, dass alle Teilchen die gleiche kinetische Energie haben?

Bei elastischen Stössen werden Energien neu verteilt. Im Mittel bewirken elasti-sche Stösse, dass kinetische Energie vom schnelleren auf das langsamere Teilchenübertragen wird, Stossprozesse gleichen also die Energie aus.

4.1.1. 0. Hauptsatz

Die mittlere kinetische Energie pro Teilchen ist eine charakteristische Grösse fürein physikalisches System. Unter diesem System verstehen wir eine Anzahl gleicheroder unterschiedlicher Teilchen, die entweder als Punktmassen (ideales Gas) oderaber als ausgedehnte Körper verstanden werden.Wenn wir zwei Systeme mit unterschiedlichen mittleren kinetischen Energien pro

Teilchen in Kontakt bringen, wir Energie aus dem System mit der höheren mitt-leren kinetischen Energie in das andere System verschoben bis ein Gleichgewichterreicht wird.Aus dem Alltag wissen wir, dass wenn zwei System mit unterschiedlicher Tem-

peratur T in Kontakt gebracht werden, diese mit der Zeit die gleiche Temperaturerreichen. Das System mit der höheren Temperatur wird zu einer niederen Tem-peratur abgekühlt, das kältere System erwärmt sich.

Postulat: die mittlere kinetische Energie pro Teilchen wird durchdie Temperatur T beschrieben.

Die Temperatur T wird in Kelvin ([T ] = K) oder Grad Celsius (T =0 C)gemessen. Dabei gilt

Tin 0C = Tin K − 273.15 (4.3)


103 4.1 Wärmeenergie und Temperaturen

Bemerkung: Grad Celsius in englisch heisst degree centigrade.Der nullte Hauptsatz beschreibt die Relation der Temperaturen dreier Systeme

A, B und C.

Ist ein System A im thermischen Gleichgewicht mit einem SystemB und ist dieses System B im thermischen Gleichgewicht mit demSystem C, so ist auch das System A im Gleichgewicht mit demSystem C. Alle drei Systeme haben die gleiche Temperatur T .

4.1.2. Gleichverteilungsatz

In diesem Abschnitt wollen wir unter möglichst allgemeinen Annahmen Aussagenüber die relative Häugkeit mit der ein System im Energieintervall [E,E+ δE) zunden ist. Diese Häugkeit ndet man, indem man viele System mit den gleichenRandbedingungen untersucht und dabei die Anzahl der Teilchen, die in das Ener-gieintervall [E,E + δE) fallen durch die Zahl aller Teilchen teilt. Die so erhalteneFunktion f(E) heisst Energiedichte oder Energieverteilungsfunktion.

Abbildung 4.1.: Wahrscheinlichtkeitsdichte und Anzahl Teilchen in einemEnergieintervall.

Die Abbildung 4.1 zeigt eine Energieverteilungsfunktion f(E).Sei f (E) die Energieverteilungsfunktion d.h. in (E,E + dE) gibt es f (E) dE

Teilchen. Wir betrachten nun den Stoss eines Teilchens aus dem Energieintervall[E1,E1 + dE) mit einem Teilchen aus dem Energieintervall [E2,E2 + dE).Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen aus dem Intervall [E1,E1 + dE) zu nden

ist f (E1) dE, die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen aus dem Intervall [E2,E2 + dE)zu nden ist f (E2) dE.


Wärmelehre 104

Die Wahrscheinlichkeit pvorher, diese zwei Teilchen gleichzeitig zu nden ist

pvorher = f (E1) · f (E2) d2E

Nach dem Stoss benden sich die Teilchen in neuen Energieintervallen [E ′1,E′1 + dE)

und [E ′2,E′2 + dE). Hier ist die Wahrscheinlichkeit pnachher für diesen Stoss

pnachher = f (E ′1) · f (E ′2) d2E

Die beiden Wahrscheinlichkeiten pvorher und pnachher beschreiben, wie wahrschein-lich es ist, zwei Teilchen in den jeweiligen Zuständen zu nden.

Physikalische Systeme bewegen sich immer in die Richtung grösse-rer Wahrscheinlichkeit.

Dies bedeutet, dass physikalische Systeme ohne äussere treibende Kraft sich nur

in die Richtung grösserer Wahrscheinlichkeit bewegen.Ein thermodynamisches System, das heisst eine Anzahl (Ensemble) von Teilchen

ist dann im Gleichgewicht, wenn Stösse von den ungestrichenen Energieinterval-len in die gestrichenen gleich wahrscheinlich sind, wie Stösse aus den gestrichenenEnergieintervallen in die ungestrichenen. Dies wird als Gleichung wie folgt ausge-drückt:

f (E1) · f (E2) d2E = f (E ′1) · f (E ′2) d2E

Da unser Argument unabhängig sein muss von der Breite des betrachteten Ener-gieintervalls, kann man auch schreiben

f (E1) · f (E2) = f (E ′1) · f (E ′2) (4.4)

Wenn die Energien E1 und E2 gegeben sind, können die Energien E ′1 und E′2 nicht

mehr ganz frei gewählt werden. Die Energieerhaltung bei einem ideal elastischenStoss fordert:

E1 + E2 = E ′1 + E ′2 (4.5)

Hätten wir keine elastischen Stösse, würde dies bedeuten, dass die Teilchen (Ato-me oder Moleküle) ihre innere Struktur verändern. Zum Beispiel könnten Schwin-gungen angeregt werden, oder es könnten chemische Reaktionen ausgelöst werden.Im Weiteren wollen wir annehmen, dass Stösse elastisch ablaufen.Die eine Endzustandsenergie, E ′1, kann im Intervall [0,E1 + E2] frei gewählt

werden. E ′2 ist dann gegeben.Wenn wir nun in Gedanken E1 und E2 festhalten und und E ′1 im erlaubten

Intervall variieren, sehen wir, dass bei gegebener Summe E1 +E2 das Produkt derWahrscheinlichkeiten und damit auch der Wahrscheinlichkeitsdichten konstant seinmuss. Es kann also nur von E1 + E2 abhängen.

f (E1) · f (E2) = f (E1 + E2) (4.6)



Welche mathematische Funktion hat die Eigenschaft, dass das Produkt derFunktion zweier Argumente gleich der Funktion der Summe dieser Argumenteist? Wir erkennen sie sofort, wenn wir Gleichung (4.6) logarithmieren.

ln (f (E1) · f (E2)) = ln (f (E1)) + ln (f (E2)) = ln (f (E1 + E2))

Wir sehen also, dass ln(f)(E) eine lineare Funktion ist. Das heisst f(E) mussdie Exponentialfunktion sein.

f (E1) = Ae−E1B (4.7)

B ist zuerst eine Konstante mit der Dimension der Energie, die das Argumentder Exponentialfunktion dimensionslos macht.Der Vorfaktor A kann über die Normierungsbedingung

1 =

∞∫0

f (E) dE =

∞∫0

Ae−EB dE = AB

Also ist A = 1B. Die mittlere Energie berechnet sich aus (Integraltabelle E.1)

〈E〉 =

∞∫0

E f(E)dE =

∞∫0

E

Be−

EB dE = B (4.8)

Oensichtlich muss in ein und demselben thermodynamischen System B gleichsein.

B = 〈E〉alle Teilchen (4.9)

Weiter sehen wir, dass wir kein System im Zustand unendlicher Energie ndenwerden.

Die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung

f(E) = e−E/B

heisst Boltzmannverteilung .

Die Funktion f(E) hat für B = 0 bei E = 0 einen unbestimmten Wert. Überallsonst ist f(E) = 0. Das bedeutet, dass damit jegliche Bewegung gestoppt ist. Mandeniert nun, dass die Temperatur proportional zur mittleren kinetischen Energieder Gasteilchen sein soll

Temperatur: Mass für die mittlere kinetische Energie der Teilchen


Wärmelehre 106

An diesem Punkt müssen wir aufpassen. Wir haben bei der Berechnung derMittelwerte in Gleichung (4.8) uns keine Gedanken gemacht, dass die kinetischeEnergie ja von der vektoriellen Grösse Geschwindigkeit v abhängt. Unsere Über-legung war richtig, der Vorfaktor des Resultates muss jedoch diskutiert werden(siehe Abschnitt 4.5). Genauere Rechnungen zeigen, dass

Boltzmannverteilung

f(E) =1

kTe−

EkT (4.10)

Boltzmannkonstante k = 1,381 · 10−23 JK

Mittlere kinetische Energie

Etranslation =1

2m⟨v2⟩ =

3

2kT (4.11)

Die Temperatur Temperatur wird in Kelvin gemessen (nicht in Grad Kelvin!).Aus der Boltzmannverteilung Gleichung (4.10) folgt, dass es einen absoluten Tem-peraturnullpunkt gibt.

Kelvin Clesius Bemerkungen0 K −273.15 0C absoluter Nullpunkt273.15 K 0 0C Schmelztemperatur Eis unter Normaldruck273.16 K 0.01 0C Tripelpunkt Wasser: Deniert die Kelvin-Skala373.15 K 100 0C Siedepunkt des Wassers unter Normaldruck

Tabelle 4.1.: Vergleich der Kelvin mit der Celsius-Skala

Anwendung: Die Ausströmgeschwindigkeit eines gases ins Vakuum ist im Mit-tel √

〈v2〉 = vth =

√3kT

m

Dabei ist die Schallgeschwindigkeit c kleiner als die mittlere thermische thermischeAusströmgeschwindigkeit c < vth. Dies ist verständlich, da bei einer Schallwelle dieStörung lokal ungerichtet mit vth in die Ausbreitungsrichtung transportiert wird.

4.1.3. Thermometer

Üblicherweise wird die temperaturabhängige Länge eines Objektes zur Tempera-


http://www.ptb.de/en/wegweiser/einheiten/si/kelvin.html


turmessung ausgewertet.

` = `0 (1 + αT ) (4.12)

Hier ist α der Ausdehnungskoezient des Materials. Typische Ausdehnungskoef-zienten liegen im Intervall

10−6 1

K< α < 10−5 1

K

4.1.4. Freiheitsgrade in der Wärmelehre

In der Gleichung (4.11) steht der Vorfaktor 32vor kT . Dieser Vorfaktor hängt von

den Freiheitsgraden der Bewegung ab. Was ist ein Freiheitsgrad?Die Geschwindigkeit im Raum wird durch einen dreidimensionalen Vektor v

gegeben. Wenn der Betrag der Geschwindigkeit |v| = v gegeben ist, können vonden drei Komponenten vx, vy und vz noch zwei (in grenzen) frei gewählt werden,da gilt

v2x + v2

y + v2z = v2 = v ·v

Insgesamt sind also 3 Werte frei wählbar. In der Sprache der Thermodynamik(Wärmelehre heisst dies, dass 3 Freiheitsgrade existieren. jede Punktmasse hatalso drei Freiheitsgrade.Ausgedehnte Körper wie zum Beispiel ein H2O-Molekül können im Raum rotiert

werden. Diese Rotation kann durch die 3 Eulerwinkel beschrieben werden1. Nebenden drei Freiheitsgraden der Translation existieren also bis zu drei Freiheitsgradeder Rotation. ⇒ 3 Freiheitsgrade (wenn

Anzahl Atome Freiheitsgrade1 32 53 und mehr in einer Linie 53 und mehr sonst 6

Tabelle 4.2.: Anzahl Freiheitsgrade

Weitere Freiheitsgrade kommen hinzu, wenn die Schwingungen in den Molekülenmitberücksichtigt werden. Die quantenmechanische Betrachtung zeigt, dass bei tie-fen Temperaturen diese Schwingungsfreiheitsgrade nicht angeregt werden können.Ähnlich verhält es sich mit den Freiheitsgradendie zu Rotationen um Molekülbin-dungen gehören.Das ursprüngliche Argument, dass Stösse zwischen punktförmigen Gasatomen

zum Erreichen eines energetischen Gleichgewichtszustandes notwendig sind, giltfür alle Freiheitsgrade.

1Die Eulerwinkel werden zum Beispiel in meinem Skript zu Grundlagen I der Physik erklärt.


http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk1-2005-2006/node23.html#SECTION00614100000000000000

Wärmelehre 108

Das Äquipartitionsgesetz besagt, dass die mittlere Energie pro Freiheitsgrad füralle Freiheitsgrade unabhängig von ihrem Charakter gleich ist.

EFreiheitsgrad =1

2kT

EMolekül =f

2kT (4.13)

wobei f die Anzahl der Freiheitsgrade ist.

4.1.5. Wärmekapazität


Materialien



Lösungsblatt 05 ausgegeben am 10. 05. 2007Wir haben gesehen, dass die Energie pro Molekül

EMolekül =f

2kT

ist. Um die Temperatur also um ∆T zu erhöhen, brauchen wir die Energie

∆EMolekül =f

2k∆T (4.14)

Ein Gasvolumen mit der Masse M aus Molekülen der Masse m beinhaltet dann

n =M

m

Moleküle. Die zur Temperaturerhöhung notwendige Energie ist also

∆E =M

m

f

2k∆T = C∆T

Die Grösse C ist die Wärmekapazität des Körpers

CV =Mf

2mk (4.15)

Der index V besagt, dass dabei das Volumen des Körpers konstant gehalten wird.Dies ist wichtig, da sonst die Druckarbeit in der Energiebilanz mit berücksichtigtwerden müsste. Die Einheit der Wärmekapazität ist

[CV ] =J

K


109 4.2 Kinetische Gastheorie

Bezieht man die Wärmekapazität auf die Masse M des Körpers, so spricht manvon der spezischen Wärmekapazität cV

cV =fk

2m(4.16)

Die Einheit der spezischen Wärmekapazität ist

[cV ] =J

kg K=

m2

s2K

In der Thermodynamik ist es üblich, mit molaren Grössen zu rechnen. DieAvogadro-Zahl

NA = 6.022 · 1023 1

mol(4.17)

gibt an, wie viele Teilchen in einemmol drin sind. Ein mol ist die Anzahl Atome desIsotops 12C, die in 0.012 kg dieser Substanz drin ist. 12C selber hat per Denitiondas Atomgewicht 12 u. Die Einheit

u =0.012 kg

NA

= 1.99 · 10−26 kg

Die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen ist dann

cV ,mol = NAf

2k (4.18)

Bei einem Festkörper ist die Anzahl Freiheitsgrade f = 6. Dann ist

cV ,mol = 3NAk = 25J

mol K(4.19)

Diese Gleichung ist bekannt unter dem Namen Gesetz von Dulong-Petit .Bei Gasen unterscheidet man die Wärmekapazität bei konstantem Volumen CV

und die Wärmekapazität bei konstantem Druck Cp. Cp unterscheidetr sich von CV ,da sie die Kompressionsarbeit enthält.

In der Regel sind sowohl CV (T ) und Cp(T ) wie auch die davon ab-geleiteten molaren und spezischen Wärmekapazitäten Funktionender Temperatur T .

4.2. Kinetische Gastheorie

Die kinetische Gastheorie berechnet für System ausser in Stössen nicht wechsel-wirkender Teilchen thermodynamische Grössen aus den Bewegungseigenschaften.Wir nehmen an, dass Gase aus einzelnen sich ungeordnet bewegenden Teilchenbestehen.


http://www.ptb.de/en/wegweiser/einheiten/si/mol.html

Wärmelehre 110

Die Orte der Teilchen sind weniger relevant. Deshalb konzentrieren wir uns aufdie Geschwindigkeiten. Ein einzelnes Teilchen hat die vektorielle Geschwindigkeit

v = (vx,vy,vz) (4.20)

wobeiv2 = v2

x + v2y + v2

z (4.21)

Dabei bedeutet zum Beispiel vx die Geschwindigkeitskomponente entlang derx-Koordinate (die durch den Einheitsvektor ex repräsentiert wird.

vx = v · exJedes Atom (oder Molekül) hat seine eigene Geschwindigkeit vx, die auch mit

der Zeit variieren kann. Charakterisiert wird die Geschwindigkeitsverteilung, dasheisst, die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Geschwindigkeit zu nden, durchstatistische Kennzahlen wie den Mittelwert

〈vx〉 =1

N

N∑i=1

vx, i

Da die Koordinaten x, y und z gleichwertig sind, gilt⟨v2x

⟩=⟨v2y

⟩=⟨v2z

⟩(4.22)

Aus Gleichung (4.21) folgt auch, dass die entsprechenden Mittelwerte summiertwerden, um den Mittelwert 〈v2〉 zu bekommen.⟨

v2⟩

= 3⟨v2x

⟩= 3

⟨v2y

⟩= 3

⟨v2z

⟩(4.23)

Stösst nun ein Atom (oder Molekül) elastisch mit der Wand, die bei x = 0senkrecht zu ex steht, so ist die Impulsänderung

∆px = 2mvx (4.24)

Abbildung 4.2.: Berechnung des Impulsübertrages auf die Wand

Zur Berechnung verwenden wir die Teilchendichte

n =N

V

Die Anzahl Teilchen, die in die x-Richtung iegen, ist proportional zum Volumen

V = A · vxdt


111 4.2 Kinetische Gastheorie

Damit erhalten wirdΥ = n ·V = n ·A · vxdt

Die gesamte Impulsänderung an der Wand ist dann

dp = 2mvx dΥ = 2m vx n A vx dt = 2 m n v2x A dt

Die Impulsänderung pro Zeit ist aber die Kraft auf die Fläche A

dp

dt= F = 2m n A v2

x (4.25)

Die über die Zeit gemittelte Kraft ist

〈F 〉t = 2m nA⟨v2x

⟩(4.26)

Nun schliesst 〈v2x〉 sowohl Teilchen, die nach rechts laufen, wie auch solche, die

nach links laufen, ein. Im Mittel läuft die Hälfte der Teilchen nach links und dieandere Hälfte nach rechts. Der Druck, die Kraft pro Fläche ist dann

p =1

2

〈F 〉tA

=1

3m n

⟨v2⟩t

(4.27)

wobei wir Gleichung (4.23) und Gleichung (4.25) verwendet haben. Gleichung(4.27) ist bekannt unter dem Namen Grundgleichung von D. Bernoulli .Wir wissen, wie d〈v2〉t mit der kinetischen Energie zusammenhängt.

〈Ekin〉t =1

2m⟨v2⟩t

=3

2kT

Mit dieser Gleichung wird Gleichung (4.27)

p = n kT (4.28)

Schreiben wir die Teilchendichte n = NV aus, bekommen wir

pV = NkT (4.29)

die Zustandsgleichung des idealen Gases.

Bitte beachten Sie, dass wir in der Herleitung die folgenden Annahmen gemachthatten:

• Es gibt keine Wechselwirkung zwischen den Teilchen.

• Die Teilchen sind punktförmig, haben also kein Eigenvolumen

• Die Teilchen stossen elastisch miteinander.


Wärmelehre 112

In der Wärmelehre ist es auch üblich, die ideale Gaskonstante

R = NAk = 8.31J

K mol(4.30)

zu verwenden. Gleichung (4.29) lautet dann

pV = νRT (4.31)

wobei ν die Anzahl Mole, auch Molzahl genannt, ist.Aus dem Gesetz für das ideale Gas, Gleichung (4.29) bekommt man drei weitere

Gesetze

Gesetz von Boyle-Mariotte p ∝ 1

V(T = const.) (4.32)

Gesetz von Gay-Lussac p ∝ T (V = const.) (4.33)

Gesetz von Charles V ∝ T (p = const.) (4.34)

Diese drei Gesetze sind älter als das ideale Gasgesetz Gleichung (4.29) . deshalbwerden sie häug vor diesem behandelt. Es ist jedoch müssig, diese Gesetze zulernen, sie sind einfache Folgerungen aus dem idealen Gasgesetz.

4.3. Der erste Hauptsatz


Materialien


Abbildung 4.3.: Mechanische Arbeit undWärmezufuhr erhöhen die innereEnergie U

Die zur Temperatur proportionale Energie wird in der Regel innere Energie Ugenannt. Für ein ideales Gas ist die innere Energie U proportional zur kinetischenEnergie Ekin.


113 4.3 Der erste Hauptsatz

Die innere Energie kann um dU geändert werden, indem die Wärmemenge δQzugeführt oder indem die mechanische Arbeit δW an dem System geleistet wird.

Erster Hauptsatz

dU = δQ+ δW (4.35)

δQ > 0 die dem System zugeführte WärmeenergieδQ < 0 die vom System abgegebene WärmeenergieδW > die dem System zugeführte mechanische Arbeits-

leistungδW < 0 die vom System abgegebene mechanische Arbeit

(negativ, da VerlustdU die innere Energie des Systems

Tabelle 4.3.: Bedeutung der Symbole im ersten Hauptsatz

Bemerkung zur Notation:In der Wärmelehre (Thermodynamik unterscheidet man bei die-rentiellen Grössen, ob es Dierentiale von Zustandsfunktionen sind(z. B. dU) oder von Grössen, die den Zustand eines Systems nichtbeschreiben (z. B. δW ). Wenn Teilchenzahl und Temperatur ge-geben sind, ist auch die innere Energie deniert. Die mechanischeArbeit andererseits charakterisiert das thermodynamische Systemnicht, da sie je immer nur eine Änderung darstellen kann.

Andererseits kann die Änderung der inneren Energie über die Wärmekapazitätausgedrückt werden.

dU = νcV ,mol dT

Bei Gasen kann die mechanische Arbeit einfach speziziert werden

δW = −p dV (4.36)

da eine Verkleinerung des Volumens (negatives dx oder dV ) eine Vergrösserung derinneren Energie bewirkt. In der Sprache der Mathematik ist 1/p der integrierendeFaktor zu δW .

dV = −δWp


Wärmelehre 114

Der erste Hauptsatz heisst also auch

dU = δQ− p dV (4.37)

oder auchδQ = dU + p dV (4.38)

Bei einem idealen Gas erhält man auch

dQ = cV ,mol νdT + p dV (4.39)

4.4. Wärmekapazität bei konstantem Druck

Aus dem idealen Gasgesetz (Gleichung (4.29) ) folgt bei konstantem Druck p undTeilchenzahl N , dass

p dV = Nk dT = νR dT

ist.Der erste Hauptsatz (Gleichung (4.35) ) besagt, dass

δQ = dU + p dV

sei.Setzen wir die Denition für die Wärmekapazität bei konstantem Volumen (Glei-

chung (4.18) ) und das ideale Gasgesetz ein, so erhalten wir

δQ = νcV ,mol dT + νR dT = ν [cV ,mol +R] dT

Andererseits ist die Wärmezufuhr pro Mol bei konstantem Volumen gegebendurch

δQ = cV ,mol dT =f

2R dT

Also erhält man pro Mol

cp,mol dT = [cV ,mol +R] dT =

(f

2+ 1

)R dT

Zwischen cp,mol und cV ,mol besteht die Beziehung

cp,mol =

(f

2+ 1

)R (4.40)

Aus den Zeiten vor dem SI-System kennt man das Wärmeäquivalent

1 kcal = 4.1 kJ

1 cal = 4.1 J

das die Einheit kcal (Kilokalorie) mit der Einheit Joule verknüft.


115 4.4 Wärmekapazität bei konstantem Druck

4.4.1. Adiabatenexponent

Bei schnellen Zustandsänderungen in Gasen (zum Beispiel bei Schallwellen) kannein thermodynamisches System sich nicht mit der Umgebung durch Wärmeaus-tausch ins Gleichgewicht bringen. Für diese adiabatischen Zustandsänderungen gilt

δQ = 0

Wir erhalten aus der idealen Gasgleichung (Gleichung (4.29) )

δW = −p dV = −p(V ) dV = −νRTV

dV = −νRT dVV

Die Wärmezufuhr wird durch

0 = δQ = dU − δW = dU + p dV = νcV ,moldT + p dV

beschrieben. Aus diesen beiden Gleichungen erhält man durch Kombination

0 = νcV ,moldT + νRTdV

V

Wir teilen durch T und eliminieren ν

0 = cV ,moldT

T+R

dV

V(4.41)

Aus dieser Gleichung folgt durch Integrieren

−T∫

T0

cV ,moldT

T=

V∫V0

RdV

V

und−cV ,mol ln(T ) + cV ,mol ln(T0) = R ln(V )−R ln(V0)

Daraus erhalten wir die Beziehung

−cV ,mol ln(T

T0

)= R ln

(V

V0

)(4.42)

oder auchT cV ,mol ·V R = const = T

cV ,mol

0 ·V R0

Dies kann auch als (T

T0

)−cV ,mol

=

(V

V0

)Rumgeschrieben werden. Mit cV ,mol = f

2R bekommt man durch Ziehen der R-ten

Wurzel (T

T0

)− f2

=

(V

V0

)(4.43)


Wärmelehre 116

Wir denieren nun den Adiabatenexponenten

γ =cp,molcV ,mol

=cV ,mol +R

cV ,mol=

f2R +Rf2R

=f + 2

f(4.44)

Umgeschrieben lautet die Gleichung

f

2=

1

γ − 1

Damit bekommen wir die Gleichung

V

V0

=

(T

T0

) 11−γ

(4.45)

oder, umgekehrt

T

T0

=

(V

V0

)1−γ

(4.46)

Aus der Gleichung (4.29) für das ideale Gas folgt

p

p0

=

(V

V0

)−γ(4.47)

und

p

p0

=

(T

T0

) γγ−1

(4.48)

Da bei einem Adiabatischen Prozess wie der Schallausbreitung in der Atmosphä-re keine Energie ausgetauscht wird, gilt

pV γ = const

und nicht, wie man aus der idealen Gasgleichung entnehmen würde

pV = const

Die ideale Gasgleichung gilt nur bei quasistatischen Prozessen mitEnergieaustausch, nicht aber bei adiabatischen Prozessen (d. h., beiProzessen ohne Energieaustausch.


117 4.4 Wärmekapazität bei konstantem Druck

4.4.2. Zustandsdiagramme

Prozesse werden mit Zustandsdiagrammen beschrieben:

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

p/P

a

V/m3

Zustandsdiagramm

idealadiabatisch, f=3adiabatisch, f=5adiabatisch, f=6

adiabatisch, f=20

Abbildung 4.4.: Zustandsdiagramm T (p,V ) für das ideale Gas und adia-batische Änderungen für die Anzahl Freiheitsgrade f = 3,f = 5, f = 6 und f = 20.

Adiabatische Prozesse nähern sich mit höheren Freiheitsgraden den isothermenProzessen an.

100

1000

10000

100000

0.1 1 10

p/P

a

V/m3

Zustandsdiagramm

idealadiabatisch, f=3adiabatisch, f=5adiabatisch, f=6

adiabatisch, f=20

Abbildung 4.5.: Doppelt logarithmische Darstellung des Zustandsdia-gramms T (p,V ) für das ideale Gas und adiabatische Än-derungen für die Anzahl Freiheitsgrade f = 3, f = 5,f = 6 und f = 20.


Wärmelehre 118

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

p/P

a

V/m3

Zustandsdiagramm

isobarisochor

isothermadiabatisch f=3

Abbildung 4.6.: Darstellung der häugsten Typen vonZustandsänderungen

Bedingung ZustandsänderungV = const Isochorep = const IsobareT = const IsothermedQ = 0 Adiabate oder Isentrope

Tabelle 4.4.: Typische Zustandsänderungen

Die Druckarbeit bei den verschiedenen Zustandsänderungen hat jeweils die fol-gende Grösse:

Druckarbeit ZustandsänderungδW = p dV isobarW = U1 − U2 = CV ,molν (T1 − T2) adiabatischW =

∫pdV = νRT

∫ V2

V1

dVV

= νRT ln V2

V1isotherm

W = 0 isochorTabelle 4.5.: Druckarbeit bei typischen Zustandsänderungen

4.5. Maxwell-Verteilung



119 4.5 Maxwell-Verteilung

Materialien



Lösungsblatt 06 ausgegeben am 21. 05. 2007In diesem Abschnitt wollen wir die Wahrscheinlichkeitsdichte für eine bestimmte

Geschwindigkeit berechnen. Der Begri Geschwindigkeit hier ist nicht präzise. Erkönnte

• die Geschwindigkeitskomponente vx in x-Richtung,

• den Betrag der Geschwindigkeit v =√v ·v

• das Geschwindigkeitsquadrat v2 = v ·v

meinen. Je nach gewählter Grösse müssen wir die Geschwindigkeiten anders ge-wichten. Bei klassischer (nicht- quantenmechanischer) Betrachtungsweise folgt dieWahrscheinlichkeitsdichte f(v) aus der Boltzmannverteilung, wobei die Energie diekinetische Energie ist.

f (v) dv = C exp

[−

12m v2

kT

]dv (4.49)

C ist ein Normierungsfaktor, der so gewählt werden muss, dass das Integral vonf(v) über den ganzen Geschwindigkeitsraum gleich eins ist. Wir betrachten hierden Betrag der Geschwindigkeit, so dass Richtungen beim Mitteln keinen Einusshaben dürfen.Je nach der Dimension des Raumes gibt es verschiedene Mittelungsarten:

1 Dimension Bei der Betrachtung am Anfang haben wir (implizit den eindimen-sionalen Fall betrachtet.

2 Dimensionen Hier müssen wir die Mittelung unabhängig vom Azimut durch-führen

Abbildung 4.7.: Berechnung der Anzahl Vektoren in einemGeschwindigkeitsintervall

Die


Wärmelehre 120

Anzahl Vektoren mit v0 < |v| < v0 + dv ist proportional zu 2πv dv

3 Dimensionen Hier ist die Anzahl proportional zu 4πv2dv.

Die folgenden Betrachtungen sind alle für drei Dimensionen. Die Betrachtungder Anzahl möglicher Realisierungen der Geschwindigkeit v zeigt, dass damit dasMaximum der Boltzmannverteilung bei E = 1

2mv2 = 0 zur Position v > 0 ver-

schoben wird.Wir verwenden nun den Vorfaktor C ′ und erhalten, mit der Integration über die

Winkel

f (v) dv = C ′ 4πv2 exp

[−

12m v2

kT

]dv (4.50)

f(v) ist normiert, wenn ∫f (v) dv = 1 (4.51)

ist. Mit der Abkürzung

A =m

2kT

bekommen wir∞∫

0

f (v) dv = 1 = C ′4π

∞∫0

v2e−Av2

dv (4.52)

Die mathematische Beziehung

d

da

∞∫0

e−aξ2

dξ = −∞∫

0

ξ2e−aξ2

dξ

hilft, das Integral zu lösen. Wir verwenden weiter Gleichung (E.3) (∫∞

0e−Av

2dv =√

π/(4A) aus dem Anhang E.3. Wir können wie folgt umrechnen

1 = C ′ · 4π ·

− d

dA

∞∫0

e−Av2

dv

= C ′4π ·

(− d

dA

1

2

√π

A

)= C ′ · 4π · 1

4

√π

A32

(4.53)

Damit wird der Vorfaktor

C ′ =

(A

π

) 32


121 4.5 Maxwell-Verteilung

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung lautet also

f (v) dv = 4π ·( m

2πkT

) 32

v2e−mv2

2kT dv

=

√2

π

( mkT

) 32

v2e−mv2

2kT dv (4.54)

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.0012

0.0014

0.0016

0.0018

0.002

0 1000 2000 3000 4000 5000

f(v,T

)

v/(m/s)

Maxwell-Boltzmann-Verteilung

20 K100 K

273.15 K500 K

1000 K

Abbildung 4.8.: Maxwell-Boltzmann-Verteilung für Wassersto H2

Mittelwerte einer Grösse g(v) bezüglich einer Wahrscheinlichkeitsdichte f(v)werden durch

〈g〉 =

∫g(v) f(v) dv∫f(v) dv

berechnet.Mit dieser Gleichung berechnen wir nun

Lineare Geschwindigkeiten wie vx

〈vx〉 =

∞∫−∞

vx f(v)dv = 0 (4.55)

da vx eine ungerade Funktion ist und in f(v) nur die gerade Funktion v2 =v2x + v2

y + v2z vorkommt.


Wärmelehre 122

Geschwindigkeitsquadrat v2 Mit der Abkürzung A = m2kT

bekommen wir

⟨v2⟩

=

∫v2f (v) dv =

√2

π

( mkT

) 32

∞∫0

v4e−Av2

dv

=

√2

π

( mkT

) 32 d2

dA2

∞∫0

e−Av2

dv =

√2

π

( mkT

) 32 d2

dA2

(1

2

√π

A

)

=

√2

π

( mkT

) 32 · 1

2· 1

2· 3

2

√π

A52

=3kT

m(4.56)

d.h. 〈Ekin〉 = 12m 〈v2〉 = 3

2kT folgt aus Maxwell-Boltzmannverteilung unter

der Berücksichtigung des Phasenraumes.

Geschwindigkeitsbetrag v (Siehe Bron²tein-Semendjajew [BSMM00] und Glei-chung (E.4) im Anhang E.4)

〈v〉 =

∞∫0

vf (v) dv =

√8kT

πm(4.57)

Welches ist die häugste Geschwindigkeit vmax? Die häugste Geschwindigkeitbei einer nicht-konstanten Wahrscheinlichkeitsdichte ist nicht die mittlere Ge-schwindigkeit. Wir nden vmax durch Ableiten

df (v)

dv= 0

Unter Vernachlässigung konstanter Vorfaktoren bekommen wir

0 = 2ve−mv2

2kT − v2 · 2mv2kT

e−mv2

2kT

Also ist

2v −m v3

kT= 0

Das Maximum der Maxwell-Boltzmann-Verteilung liegt also bei

vmax =

√2kT

m(4.58)

Wenn wir die zu vmax gehörige kinetische Energie berechnen, erhalten wir

Ekin =1

2mv2

max =1

2m

2kT

m= kT

Dies ist das Resultat der naiven Mittelung zu Beginn des Kapitels über dieWärmelehre.Schliesslich betrachten wir die asymptotische Entwicklung von f(v) für v → 0

und v →∞.


123 4.6 Stösse von Molekülen, Brownsche Bewegung

Für kleine v lautet die Taylorentwicklung von f(v) um v = 0

f(v) =

√2

π

( mkT

) 32v2 +O(v4) (4.59)

Die Notation O(v4) bedeutet, dass der erste nicht verschwindende weitere Sum-mand von der Ordnung v4 ist. Höhere Ordnungen können vorkommen.Der Anteil der Teilchen mit kinetischen Energien im Intervall [E0,∞) im Ver-

gleich zu allen Teilchen (Intervall [0,∞)) ist

∞∫E0

f (E) dE

∞∫0

f (E) dE

=2√π

√E0

kTe−

E0kT (4.60)

4.6. Stösse von Molekülen, Brownsche Bewegung

4.6.1. Mittlere freie Weglänge

Zwei Teilchen mit Radius r stossen sich, wenn ihre Mittelpunkte weniger als 2asenkrecht zur Relativgeschwindigkeit auseinander liegen. Damit kann man Stösseso behandeln, wie wenn die beteiligten Teilchen sich wie punktförmige Teilchenbewegen würden, sich aber mit der Querschnittsäche σ, dem Stossquerschnittstossen.

Abbildung 4.9.: Alle Moleküle in der gezeigten Röhre mit Geschwindig-keiten entlang der Zylinderachse stossen mit einem auf derEndäche ruhend angenommenen Molekül.

Der Stossquerschnitt ist

σ = π (r1 + r2)2

In der Röhre mit der Länge x und dem Querschnitt σ, also dem Volumen σxgibt es bei einer Teilchenzahldichte n

N = nσx

Teilchen.Ein Stoss tritt dann auf, wenn ein Teilchen in der Röhre ist, also wenn

1 = nσ`


Wärmelehre 124

Die mittlere freie Weglänge für ein Teilchen, das auf ein Ensemble von ruhendenTeilchen trit, ist dann

` =1

nσ

Eine detailiertere Betrachtungsweise (nach [LS96]) betrachtet ein Volumen derOberäche A und der Dicke dz mit der Teilchenzahldichte n und dem Streuquer-schnitt der einzelnen Teilchen σ. Die Teilchen in dem Volumen seien in Ruhe. Beieiner dünnen Schicht überdecken die Teilchen dann die Fläche

Aeff = Adz nσ

Die Wahrscheinlichkeit P , ein Teilchen zu treen, ist

P =AeffA

= nσ dz

Wenn N Teilchen auf der Oberäche eintreen, dann werden

dN = −N P = −N nσ dz (4.61)

weggestreut werden. Wir können aus Gleichung (4.61) eine Dierentialgleichungerster Ordnung konstruieren

dN

dz+N nσ = 0

Diese Gleichung für die Abschwächung eines Teilchenstrahles durch ein ruhendesatomares Medium hat die Lösung

N(z) = N0e−nσ z (4.62)

(Abschwächung eines Teilchenstrahls)

Wenn wir eine dickere Schicht betrachten, werden die unteren Teilchen durchdie oberen abgeschattet. Dies geschieht mit der Wahrscheinlichkeit P = nσ dz. Inder Tiefe z stehen

N(z) = N0e−nσ z

Teilchen für die Streuung zur Verfügung. Die Anzahl gestreuter Teilchen istdeshalb

dN(z) = −PN(z) = −nσN0e−nσ zdz (4.63)

Die Streurate ist deshalb

dN(z)

dz=dN(z = 0)

dze−nσ z (4.64)



Wie tief kann nun ein Teilchen im Mittel eindringen? Wir verwenden die allge-meine Formel

〈G〉 =

∫G(z) f(z) dz∫f(z) dz

(4.65)

für den mit der Verteilungsfunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte) f(z) gewichte-ten Mittelwert von G. Wir haben also

` = 〈z〉 =

∫∞0z dN(z)∫∞

0dN(z)

=

∫∞0−z nσN0e

−nσ zdz∫∞0−nσN0e−nσ zdz

=N0

nσ

N0

=1

nσ(4.66)

Dies ist das gleiche Resultat wie vorhin, aber mit Wahrscheinlichkeiten ausge-rechnet.Nun bewegen sich aber alle Teilchen. Wir müssen deshalb den Stoss zweier Teil-

chen in deren Schwerpunktsystem betrachten. Die relative kinetische Energie istin dem Falle

1

2m′v′2

mit m′ = m1m2

m1+m2der reduzierten Masse. Wenn m1 = m2 ist, gilt m′ = m

2.

Wir kennen die Geschwindigkeitsverteilung im Laborsystem. Da im Mittel alleSchwerpunktsysteme die Geschwindigkeit null haben (das Gas als solches bewegtsich ja nicht) ist im Mittel die Relativgeschwindigkeit der Teilchen gleich verteiltwie die Geschwindigkeit einzelner Teilchen. Deshalb gilt:

3

2kT =

m′

2(v′)2 =

m

4(v′)2 =

m

2v2

und deshalbv′ =

√2v

Da die Dichte der Teilchen im Schwerpunktssystem gleich ist (eine Galileitrans-formation ändert keine Volumina), ist die Zeit bis zu einem Stoss kürzer, und zwarum√

2. Deshalb reduziert sich die mittlere freie Weglänge auf

` =1√2nσ

(4.67)

(mittlere freie Weglänge)


Materialien





Wärmelehre 126

Die genaue Betrachtung mit Gleichung (4.66) ergibt das gleiche Resultat. Manbetrachtet die mittlere Anzahl Stösse pro Zeit eines Teilchens

〈ζ〉 =

√〈v2〉`

=√〈v2〉nσ

Wir haben dabei über das Quadrat der Geschwindigkeit gemittelt, da Richtun-gen nicht relevant sind und da kinetischen Energien letztlich die relevanten Grössensind. Im bewegten Bezugssystem müssen wir

√〈v2〉 durch

√〈(v′)2〉 =

√〈2v2〉 er-

setzen.Für statistisch unabhängige Teichen mit den Geschwindigkeiten v1 und v2 ist

〈v1 ·v2〉 = 0

Dann ist(v′)2 = (v1 − v2)2 = v2

1 + v22 + 2v1 ·v2 = v2

1 + v22

Da wir identische Teilchen betrachten folgt

(v′)2 = 2v2

Die Stosszahl pro Zeit ζ ′ (auch Stossrate genannt) im Schwerpunktsystem ist

〈ζ ′〉 =√〈(v′)2〉 nσ =

√2√〈v2〉 nσ

Diese Stossrate ändert sich nicht, wenn wir zum Laborsystem übergehen, da beider Galilei-Transformation die Zeit invariant ist.

ζ ′ = ζ

Die mittlere freie Weglänge ` im Laborsystem ist dann durch das Verhältnis dermittleren Geschwindigkeit

√〈v2〉 zur Stossrate ζ

` =

√〈v2〉ζ

=1√2nσ

(4.68)

Auch hier gibt die exakte Rechnung das gleiche Ergebnis wie die qualitativeArgumentation.

4.6.2. Brownsche Bewegung

Abbildung 4.10.: Brownsche Bewegung



Das Teilchen wird dauernd durch Moleküle angestossen. Wir nehmen an, dassbei jedem Stoss Impuls übertragen wird.Zwischen zwei Stössen legt das Teilchen im Mittel die Strecke ` zurück[LS96].

Die Richtung dieser Bewegung ist zufällig.Die gesamte zurückgelegte Strecke r setzt sich aus den k Einzelstrecken si zu-

sammen.

r(t) =k∑i=1

si

Wir mitteln nun über N Teilchen (Scharmittel) und erhalten

⟨r2(t)

⟩N

=

⟨(k∑i=1

si

)(k∑j=1

sj

)⟩N

=

⟨k∑i=1

s2i

⟩N

= k⟨s2⟩k,N

(4.69)

da bei einer rein zufälligen Wahl der si (dies ist die Voraussetzung) gilt:

〈si · sj〉i 6=j,N = 0

Wir verwenden die Verteilungsfunktion für Stösse die Gleichung (4.63) underhalten mit Gleichung (4.65)

⟨s2⟩k,N

=

∫∞0z2 dN(z)

dzdz∫∞

0dN(z)dz

dz=

∫∞0−z2σ N0e

−nσ zdz∫∞0−σ N0e−nσ zdz

=2N0

n2σ2

N0

=2

n2σ2

Da das Teilchen mit der Brownschen Bewegung sich praktisch nicht bewegt,verwenden wir die Gleichung für die freie Weglänge mit ruhenden Stosspartnern,also ` = 1/(nσ) und erhalten ⟨

s2⟩k,N

= 2`2 (4.70)

Die Anzahl Stösse berechnet sich aus der in der Zeit t zurückgelegten Distanz〈v〉N t und der Distanz zwischen zwei Stössen `:

k =〈v〉N t`

Damit erhalten wir

⟨r2⟩N

= k⟨s2⟩k,N

= 2k`2 = 2〈v〉N t`

`2 = 2 〈v〉N ` t

In drei Dimensionen sind die mittleren Verschiebungsquadrate in die x-, die y-und die z-Richtung gleich. Damit bekommt man⟨

x2⟩N

=⟨y2⟩N

=⟨z2⟩N

=1

3

⟨r2⟩N

=2

3〈v〉N t`

Andererseits gilt (ohne Beweis)

D =1

3` 〈v〉N


Wärmelehre 128

und

D =kT

6π η r

Wir erhalten also für das Schwankungsquadrat der Position in einer Richtung

⟨x2⟩N

=2

3〈v〉N t` = 2D t =

kT t

3π η r

Diese Beziehung ist bekannt als Formel von Einstein[Ein05] und Smoluchowski[vS06]

⟨x2(t)

⟩n

= kT t3π η r eine Dimension (4.71)⟨

x2(t) + y2(t)⟩n

=⟨r2(t)

⟩n

= 2kT t3π η r zwei Dimensionen (4.72)⟨

x2(t) + y2(t) + z2(t)⟩n

=⟨r2(t)

⟩n

= kT tπ η r drei Dimensionen (4.73)

Die Brownsche Bewegung von Teilchen ist auch bekannt unter dem Namen ther-misches Rauschen.

4.7. Boltzmannverteilung und Diusion

Wir verwenden die barometrische Höhenformel (siehe Gleichung (3.56) )

p = p0e−ρ0 ghp0

Wir modizieren den Exponenten wie folgt:

ρ0gh

p0

= ρ0ghV0

p0V0

=Mgh

p0V0

Hier ist M = ρ0V0 die Masse des Gases. Beziehen wir alles auf ein Mol, dannist M = NAm und p0V0 = NA kT , wobei m die Masse eines Teilchens ist. DerExponent wird dann

ρ0gh

p0

=mgh

kT

Die barometrische Höhenformel ist

p(h) = p0e−mgh

kT

Mit mgh = Epot der potentiellen Energie bezogen auf ein Molekül haben wir auch


129 4.7 Boltzmannverteilung und Diusion

p(h) = p0e−Epot

kT

Boltzmann hat diese Gleichung verallgemeinert, indem er für jede thermodyna-mische, von der Energie abhängige Grösse G postuliert hat

G(z) = G0e−E(z)

kT (4.74)

Diese Funktion ist die Boltzmannsche Verteilungsfunktion. Verwendet man an-stelle der potentiellen Energie ein Potential ϕ(z), lautet die Boltzmannverteilung

G(z) = G0e−mϕ(z)

kT (4.75)

Die Teilchendichte ist entsprechend mit der Höhe Boltzmann-verteilt.

n = n0e− MghNAkt = n0e

−mghkT (4.76)

Dabei ist m die Masse eines einzelnen Teilchens. Mit dem Potential ϕ(z) ausge-drückt ist

n (h)

n (0)= e−

mϕ(h)kT

4.7.1. Diusion

Abbildung 4.11.: Betrachtung von Teilchenströmen N` von links nachrechts und Nr von rechts nach links.

Wir betrachten einen Teilchenstrom aus dem Volumen links von der Fläche Anach rechts. Im ganzen Gebiet, sowohl links wie rechts vonA, soll die Teilchendichten eine Funktion von z sein. Die Abhängigkeit von den anderen Koordinaten könnenwir vernachlässigen, wenn A genügend klein ist. In der Nähe von z, an den Stellenz∓` können wir die Teilchenzahldichte n(z∓`) abschätzen, indem wir die Steigungdn(z)dz

an der Stelle z zur Schätzung verwenden.

n(z ∓ `) = n(z) +dn(z)

dz

∣∣∣∣z

(∓`) = n(z)∓ dn(z)

dz

∣∣∣∣z

`


Wärmelehre 130

Analog kann der Wert der gemittelten Geschwindigkeit 〈v(z)〉N an den Stellenz ∓ ` bestimmt werden.

〈v(z ∓ `)〉N = 〈v(z)〉N ∓d 〈v(z)〉N

dz

∣∣∣∣z

`

Die Teilchen sollen jedes eine individuelle Geschwindigkeit vi haben. Wenn wirzum Mittel über alle Geschwindigkeitsbeträge wechseln, wird nur ein Teil der Teil-chen sich durch die Fläche A bewegen. Wenn wir die Fläche A als eine Seite einesWürfels betrachten, in dem sich die Teilchen mit gleicher Wahrscheinlichkeit inalle Richtungen bewegen, dann wird 1/6 aller Teilchen die Fläche A durchstossen.Der Teilchenuss durch A in der Zeit dt ist dann

dN` =A

6n (z − `) 〈v (z − `)〉 dt (4.77)

dNr =A

6n (z + `) 〈v (z + `)〉 dt (4.78)

Diese beiden Ausdrücke können mit Hilfe der Taylorentwicklung umgeschriebenwerden:

dN` =A

6

[n (z)− dn(z)

dz`

] [〈v (z)〉 − d 〈v (z)〉

dz`

]dt

=A

6

[n (z) 〈v (z)〉 − n (z)

d 〈v (z)〉dz

`− 〈v (z)〉 dn(z)

dz`+

dn(z)

dz

d 〈v (z)〉dz

`2

]dt

dNr =A

6

[n (z) +

dn(z)

dz`

] [〈v (z)〉+

d 〈v (z)〉dz

`

]dt

=A

6

[n (z) 〈v (z)〉+ n (z)

d 〈v (z)〉dz

`+ 〈v (z)〉 dn(z)

dz`+

dn(z)

dz

d 〈v (z)〉dz

`2

]dt

Der Netto-Teilchenstrom durch A in der Zeit dt ist

dN` − dNr = −A6

[2n (z)

d 〈v (z)〉dz

`+ 2 〈v (z)〉 dn(z)

dz`

]dt

= −A3

[n (z)

d 〈v (z)〉dz

+ 〈v (z)〉 dn(z)

dz

]` dt

Wir nehmen an, dass die Temperatur konstant sei. Dann ist die innere Energiekonstant und damit die gemittelte kinetische Energie der Teilchen damit ist aberauch 〈v(z)〉 konstant (und die Ableitung nach dem Ort null). Also ist

dN(z) = dN` − dNr = −A3〈v (z)〉 dn(z)

dz` dt = −DA

dn(z)

dzdt (4.79)

Die Grösse D heisst Diusionskoezient . Die Einheit von D ist

[D] =m2

s


131 4.7 Boltzmannverteilung und Diusion

Wir können Gleichung (4.79) in eine Dierentialgleichung umschreiben.

1

A

dN(z, t)dt

= −Ddn(z)

dz(4.80)

Die transportierte Masse ist

dm =dN

NA

mmol = dN M

und die Dichteänderung

dρ =dn

NA

mmol = dnM

wobei mmol die Molmasse und M die Masse eines Teilchens ist. Dann erhält mandas

1. Ficksche Gesetz in einer Dimension

dm

dt= −DA

dρ

dz(4.81)

In drei Dimensionen lautet das 1.Ficksche Gesetz

dm

dtn∆A = −D∆A grad ρ (4.82)

wobei nA der Normalenvektor auf die kleine Fläche ∆A ist.

Durch die Diusion wird Masse transportiert

Das 1. Ficksche Gesetz wird oft auch mit der Teilchenstromdichte j formuliert.Mit den Beziehungen

n =ρ

M

jn =dm

dt

1

∆AMn∆A

wobei M die Teilchenmasse ist. Das erste Ficksche Gesetz lautet dann

jn = −D gradn (4.83)

Aus der Massenerhaltung m = −div(dmdtn∆A

)oder der Erhaltung der Teilchen-

zahl n = −div jn folgt das zweite Ficksche Gesetz

n = D∆n (4.84)

Analog zur obigen Rechnung können die Gesetze der Viskosität (Impulstransport)und der Wärmeleitung (Energietransport) hergeleitet werden.


Wärmelehre 132

4.7.2. Diusionsgleichgewicht im Gravitationsfeld


Materialien


Abbildung 4.12.: Teilchenströme jsink und jDiff hervorgerufen durch dieGravitationskraft und die Diusion

Wenn ein Teilchen, das einer Kraft F ausgesetzt ist, sich durch ein Medium mitStreuzentren bewegt, verliert es immer wieder Impuls an die Streuzentren. SeineGeschwindigkeit wird zuerst wachsen und mit der Zeit einen konstanten Wertannehmen, der proportional zu F ist.

v = µF (4.85)

Die Proportionalitätskonstante µ heisst Beweglichkeit . Ihre Einheit ist

[µ] =m

sN=

s

kg

Die Geschwindigkeit der sinkenden Teilchen ist

v = µmg

Daraus resultiert mit der Teilchendichte n die Teilchenstromdichte

jsink = nv = −µmg n(z)

Der Diusionsstrom ist nach dem 1. Fickschen Gesetz (siehe Gleichung (4.81) )durch

jDiff =1

A

dN

dt= −Ddn (z)

dz

gegeben. Im Gleichgewicht müssen sich die beiden Ströme gerade kompensieren

jsink + jDiff = 0 = −µmg n (z)−Ddn (z)

dz

Die Lösung dieser Dierentialgleichung ist


133 4.8 Wärmekraftmaschinen

n (z) = n (0) e−µmg h/D

Diese Gleichung, hergeleitet aus der Betrachtung der Diusion und die isother-me barometrische Höhenformel und die daraus abgeleitete Boltzmannverteilungbeschreiben die gleiche Situation. Deshalb müssen die Exponenten gleich sein.

µmgh

D=mgh

kT

Daraus folgt die Einsteinbeziehung

D = µ kT (4.86)

4.8. Wärmekraftmaschinen

Eine Wärmekraftmaschine transportiert Wärme von einem Wärmebad in ein zwei-tes mit einer niedrigeren Temperatur und gibt dabei mechanische (allgemein jedenichtthermische) Energie ab.

4.8.1. Otto-Motor

Bei einem Otto-Motor wird ein Luft-Benzin-Gemisch der UmgebungstemperaturT4 angesaugt und adiabatisch auf T1 verdichtet. Dann wird dieses Gemisch entzün-det und erreicht die Temperatur T2. Die heissen Gase drücken einen Kolben nachunten. Am unteren Umkehrpunkt, dem unteren Totpunkt, hat das Gas die Tem-peratur T3. Darauf wird das Gas an die Umgebung abgegeben. Im pV -Diagrammsieht dies so aus:

Abbildung 4.13.: Arbeitszyklus eines Ottomotors. a: ansaugen,b adiaba-tisch verdichten, c: Verbrennung, d: Expansion (Arbeit-stakt), e Önen des Auslassventils (isochor) und f Aus-stoss der Verbrennungsgase.


Wärmelehre 134

Abbildung 4.14.: Wärmestrom vom Wärmebad (Wärmereservoir) bei T2

zum Wärmebad bei T3, wobei die mechanische ArbeitWabgegeben wird.

Beim Ottomotor kann nur der Übergang von T2 nach T3 mechanische Arbeit leis-ten. Alle anderen Übergänge sind adiabatisch, isochor oder isobar mit Ankopplungan die Umgebungsluft.Bei T2 ist die innere Energie

U2 =f

2NkT2

Bei T3 erniedrigt sie sich auf

U3 =f

2NkT3

Die Dierenz der inneren Energien U2 − U3 wird in mechanische Energie umge-wandelt. Der Wirkungsgrad ist also

η =U2 − U3

U2

=f2NkT2 − f

2NkT3

f2NkT2

=T2 − T3

T2

(4.87)

Genauer betrachtet wird bei der Verbrennung Luft mit der Temperatur T1 auf T2

erwärmt. Die zugeführte Energie ist U2−U1. Die Auspugase mit der TemperaturT3 werden an die Umgebung mit T4 abgegeben. Der energetische Verlust ist alsoU3 − U4. Schliesslich wird noch mechanische Energie benötigt, um die angesaugteLuft von T4 auf T1 zu erwärmen, also eine Energie von der Grösse U1 − U4. DieEnergiebilanz ist

Qein = U2 − U1 Verbrennung

Wab = U2 − U3 Arbeitstakt

QV erlust = U3 − U4 Verluste an die Umwelt

WKompr. = U1 − U4 Kompression

Wnetto = Wab −WKompr. =U2 − U3 − U1 + U4 Bilanz der mechanischen Energie

Der Wirkungsgrad wird in Worten so deniert:

Der Wirkungsgrad η ist das Verhältnis der erzielten Nutzenergiezur der Maschine zugeführten Energie.



Dies bedeutet bei einer Wärmekraftmaschine, dass η < 1 ist, da die zugeführteWärmemenge grösser ist als die abgegebene mechanische Energie. Bei einer Käl-temaschine (Kühlschrank), ist die Nutzenergie die abgeführte thermische Energie.Zugeführt wird die mechanische Energie. Bei der Kältemaschine ist η > 1.Der Wirkungsgrad des Ottomotors ist dann (unter Berücksichtigung der Vorzei-

chen

η =Wnetto

Qein

=U2 − U1 − U3 + U4

U2 − U1

(4.88)

Nun liegen die Temperaturen T2 und T3 auf der gleichen Adiabaten. Es gilt also(T2

T3

)=

(V2

V3

)1−γ

Da T4 und T1 auf der gleichen Adiabaten liegen, gilt auch(T1

T4

)=

(V1

V4

)1−γ

.

Weiter ist nach unserem pV -Diagramm (Abbildung 4.13) ist V1 = V2 und V3 =V4, also

V2

V3

=V1

V4

Damit folgt aus den Beziehungen für die Adiabaten

T2

T3

=T1

T4

.

Deshalb muss gelten

T1 = αT2 U1 = αU2

T4 = αT3 U4 = αU3

Eingesetzt in Gleichung (4.88) erhalten wir

η =U2 − U1 − U3 + U4

U2 − U1

=U2 − αU2 − (U3 − αU3)

U2 − αU2

=U2 (1− α)− U3 (1− α)

U2 (1− α)=U2 − U3

U2

=T2 − T3

T2

(4.89)

Dies ist das gleiche Resultat wie das unserer vorherigen Überlegung. Der Grund fürdieses Ergebnis ist, dass wir für die Übergänge T4 → T1 und T2 → T3 Adiabatenangenommen hatten.Da die wesentlichen Takte des Otto-Zyklus adiabatisch und isochor sind, können

wir den Wirkungsgrad auch mit dem Kompressionsverhältnis κ (für die Drucke)ausdrücken (V1 = V2 und V3 = V4):

κ =p1

p4

=

(V1

V4

)−γ=

(V2

V3

)−γ=p2

p3

(4.90)


Wärmelehre 136

Daraus berechnet man wie die Temperaturen vom Kompressionsverhältnis κabhängen

T3

T2

=

(V3

V2

)1−γ

=

((p3

p2

)− 1γ

)1−γ

=

(p3

p2

)1− 1γ

= κ1γ−1 (4.91)

Drücken wir den Adiabatenkoezienten mit der Anzahl der molekularen Frei-heitsgrade aus γ = f+2

fbekommen wir die Gleichung für den Wirkungsgrad als

Funktion des Kompressionsverhältnisses

η = 1− T3

T2

= 1− κ1γ−1 = 1− κ

−2f+2 (4.92)

Um für reale Motoren denWirkungsgrad abzuschätzen, benötigen wir die AnzahlFreiheitsgrade der Moleküle im Verbrennungsraum. Da Luft zu 80% aus Stickstobesteht, nehmen wir an, dass f = 5 ist. Wir verwenden hier das Volumenkompres-sionsverhältnis

K =V3

V2

=

(p2

p3

) 1γ

= κ1γ

Motortyp Kompres-sions-verhältnisK

κ Wirkungsgradbei f = 5

κ Wirkungsgradbei f = 6

Otto-Motor 7 15.24 0.5408 13.39 0.47728 18.38 0.5647 16.00 0.50009 21.67 0.5847 18.72 0.519210 25.12 0.6019 21.54 0.5358

Diesel-Motor 12 32.42 0.6299 27.47 0.563214 40.23 0.6520 33.74 0.585016 48.50 0.6701 40.31 0.603118 57.20 0.6853 47.17 0.618420 66.29 0.6983 54.29 0.6316

Tabelle 4.6.: Kompressionsverhältnis und Wirkungsgrade

4.8.2. Carnot-Maschine

Ideale gasbetriebene Wärmekraftmaschinen haben alle den beim Otto-Motor imAbschnitt 4.8.1 angegebenen Wirkungsgrad. Theoretisch das erste mal abgelei-tet wurde dieser Wirkungsgrad durch Sadi Carnot. Er benutzte eine idealisierteWärmekraftmaschine, die heute unter dem Namen Carnot-Maschine um den Wir-kungsgrad abzuleiten.



Die Carnot-Maschine verwendet vier Arbeitszyklen, zwei Isothermen und zweiAdiabaten.

Abbildung 4.15.: Schematische Funktion einer Carnot-Maschine

Wir verwenden dabei die Denition der Entropie:

dS =δQ

T(4.93)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

p/P

a

V/m3

Carnot−Maschine

Isotherme T2 = 500 K


Adiabaten

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

p/P

a

V/m3

Carnot−Maschine



Adiabaten

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

p/P

a

V/m3

Carnot−Maschine



Adiabaten

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

p/P

a

V/m3

Carnot−Maschine



Adiabaten

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

p/P

a

V/m3

Carnot−Maschine



Adiabaten

Abbildung 4.16.: Arbeitsdiagramm der Carnot-Maschine

Die innere Energie kann nur durch Zufuhr von Wärme (δQ) oder mechanischerArbeit (δW ) geändert werden

dU = δQ+ δW (4.94)

Bei Isothermen ändert sich die innere Energie nicht, das heisst, dass dU = 0 ist.Damit gilt für Isothermen auch

δQ = −δW (4.95)

Bei den Adiabaten wird keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht. Deshalbist δQ = 0. Damit sind die zugeführte mechanische Energie und die Änderung der


Wärmelehre 138

inneren Energie gleich.

dU = δW (4.96)

Während der beiden isothermen Zustandsänderungen ist die Carnot-Maschinejeweils an Wärmebäder der Temperaturen T2 und T1 gekoppelt. Dabei soll T2 > T1

gelten. Die Temperatur auf der Isothermen kann nur deshalb konstant gehaltenwerden, da die Wärmebäder Wärme δQ zuführen oder aufnehmen. Die ausge-tauschte Wärmemenge entlang einer Isothermen ist gegeben durch

∆Q =

S2∫S1

T dS = T∆S (4.97)

Diese Wärmemenge muss auf einer Isothermen direkt in mechanische Nutzarbeitgewandelt werden. Die gesamte von der Maschine geleistete mechanische ArbeitWberechnet sich aus den vorzeichenrichtig addierten Nutzarbeiten beider Isothermen

W = −∆W2 + ∆W1 = ∆Q2 −∆Q1 = T2∆S − T1∆S = (T2 − T1) ∆S (4.98)

Auf den Adiabaten ist die Änderung der inneren Energie proportional zu derzugeführten mechanischen Arbeit. Da bei der Änderung von der Isothermen beiT1 zu der bei T2 die Änderung der inneren Energie das Negative der Änderungbeim Übergang von T2 nach T1 sein. Deshalb tragen die Adiabaten nichts zurabgegebenen mechanischen Arbeit bei.Wir erhalten also für den Wirkungsgrad

η =W

∆Q2

=∆Q2 −∆Q1

∆Q2

=(T2 − T1) ∆S

T2∆S=T2 − T1

T2

(4.99)

4.9. Wärmeleitung


Materialien



Lösungsblatt 08 ausgegeben am 04. 06. 2007Wärme ist Energie. Wenn Wärme transportiert wird, muss also Energie trans-

portiert werden. Dies ist auf verschiedene Weise möglich:

Transport von Materie Wärme wird durch Teilchen transportiert, zum Beispieldurch Elektronen oder durch Gasmoleküle.

Transport durch Schwingungen Schwingende Atome in einem Festkörper trans-portieren Energie. Die transportierten Energiequanten heissen Phononen.


139 4.9 Wärmeleitung

Transport durch Strahlung Elektromagnetische Wellen, also Licht, transportiertEnergie. Ohne diesen Energietransport von der Sonne wäre Leben auf derErde nicht möglich.

Hier wollen wir Gleichungen für den Wärmetransport in Festkörpern angeben.Wenn die Festkörper Isolatoren sind, wird die Wärme durch Gitterschwingungenoder Phononen transportiert.

Abbildung 4.17.: Mechanismus der Wärmeleitung in Isolatoren. DieKopplung lässt die Schwingung ausbreiten.

Wir nehmen an, dass bei gleichen Materialien der Wärmestrom zwischen zweiPunkten umso grösser ist, je grösser der Temperaturunterschied ist. In einer Di-mension bedeutet dies, dass

j = −λ∂T∂z

ist. In drei Dimensionen ersetzen wir wieder die Dierentiation nach einer Ko-ordinate durch den Gradienten. Sei T (x,y,z) die Temperaturverteilung. Dann istdie Wärmestromdichte in drei Dimensionen durch

j = −λ gradT (4.100)

gegeben. Gleichung (4.100) heisst Wärmeleitungsgleichung . λ ist die Wärme-leitfähigkeit. Die Einheit der Wärmeleitfähigkeit ist

[λ] =W

Km

λ nimmt typischerweise Werte von 0.01 . . . 100 WKm

an.Die Einheit der Wärmestromdichte j ist

[j] =W

m2

Der gesamte Wärmestrom P ist die über eine Querschnittsäche A integrierteWärmestromdichte j.

P =

∫A

j · da (4.101)


Wärmelehre 140

4.9.1. Lineare Wärmeleitung

Abbildung 4.18.: Wärmeleitung durch einen Stab

Wir betrachten die Wärmeleitung durch eine Prisma mit der Länge ` entlang derKoordinatenachse x. Das Prisma habe einem kleinen Querschnitt A `2. Entlangdes Stabes soll keine Energie verloren gehen. Im stationären Zustand muss danndie Wärmestromdichte überall im Stab konstant sein.

j(x) = const

Die Temperatur soll sich über den Querschnitt (y- und z-Achse) nicht ändern.Deshalb muss auch gelten

∂T

∂y=∂T

∂z= 0

Aus der Wärmeleitungsgleichung (4.100) folgt dann

jx = λ∂T

∂x(4.102)

und damitT (x) = T1 + (T2 − T1)

x

`(4.103)

Die Wärmeleitung bewirkt dann die Leistung

P = AλT2 − T1

`(4.104)

Analog zu der Strömung von Flüssigkeiten gibt es für Wärmeströme eine Kon-tinuitätsgleichung

dT

dt= T = − 1

ρ cdiv j (4.105)

wobei ρ die Dichte des Materials ist (Einheit: [ρ] = kgm3 ) und c die Wärmekapa-

zität (Einheit: [c] = JK kg

).Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass die innere Energie und damit die Tem-

peratur sich nur ändern können, wenn Wärme iesst.Die Wärmeleitungsgleichung und die Kontinuitätsgleichung für den Wärme-

strom ergeben zusammen die Gleichung

T =λ

ρcdiv gradT =

λ

ρc∆T (4.106)



wobei die Identität div grad = ∆ verwendet wurde.Wenn Wärmequellen vorhanden sind, modiziert sich die Kontinuumsgleichung

zu

T =1

ρ c(−div j + η) (4.107)

η ist die Wärmequelldichte (Einheit [η] = Wm3 ). Gleichung (4.106) lautet dann

T =1

ρc(−div j + η) =

λ

ρc∆T +

η

ρc(4.108)

Haben wir eine stationäre Temperaturverteilung, wird diese durch T = 0 charak-terisiert. Daraus folgt

∆T = −ηλ

(4.109)

Formal ähnliche Gleichungen gibt es für das Geschwindigkeitspotential bei inkom-pressiblen Flüssigkeiten und in der Elektrostatik.

4.9.2. Wärmeübertrag

Abbildung 4.19.: Wärmeübergang zwischen zwei Körpern

Die beiden Körper sollen sich an einer Kontaktäche ganz nahe aneinander oderin Kontakt gebracht werden. Diese Kontaktäche habe die Grösse A.Die übertragene Wärmeleistung ist proportional zur Temperaturdierenz.

P = αA (T1 − T2)

Dabei ist α eine beliebige Proportionalitätszahl. Deren physikalische Bedeutungund Begründung müsste (und kann) gefunden werden. Wir werden sie hier einfachverwenden. Die Einheit ist [α] = W

Km2 .Seien die ci die Wärmekapazitäten und mi die Massen der beiden in Kontakt ge-

brachten Körper 1 und 2. Wenn die Temperatur des Körpers 2 konstant ist, wenn 2also ein Wärmereservoir oder Wärmebad ist (T2 = const, mit der Wärmekapazitätc2 =∞) gilt

P = −m1c1T1 (4.110)


Wärmelehre 142

und damit die Dierentialgleichung

T1 = − αA

m1c1

(T1 − T2) (4.111)

Die Temperatur des Körpers 1 mit der Masse m1 ändert sich also mit der Zeitwie

T1 − T2 = (T10 − T2) e−tτ (4.112)

mit τ = c1m1

αA. Dieses Gesetz heisst Newtonsches Strahlungsgesetz

Wenn die Wärmeleitfähigkeit als konzentriertes Element behandelt werden kann,gelten bei komplizierten Netzwerken die Kirchhoschen Gesetze.

4.9.3. Wärmeleitung in einem Gas

Abbildung 4.20.: Anzahl Moleküle, die auf eine Fläche treen. ©1 be-zeichnet den Ort des letzten Zusammenstosses vor demEintreen auf der Fläche da.

Wir betrachten die Teilchen, nach dem letzten Zusammenstoss mit einem ande-ren Molekül die Fläche da durchqueren. Wir nehmen an, dass es keine Konvektiongibt und dass das Gas an den Wänden deren Temperatur hat. Weiter sei T1 > T2.Bei einer Fläche parallel zu den Platten an der Position x0 gilt dann für die kine-tischen Energien der Teilchen in den zwei möglichen Richtungen

Ekin, l→r > Ekin, r→l



Abbildung 4.21.: Anzahl Atome auf einer Kugeläche

Zur Berechnung der Wärmeleitung benötigen wir zuerst die Anzahl Atome aufeiner Kugeläche

N =2πr sinϑ r dϑ

4πr2=

1

2sinϑdϑ (4.113)

Dabei ist 2π r sinϑ der Umfang beim Winkel ϑ. Der Fluss durch die Fläche da inder Zeit dt ist

〈v〉 cosϑdt

wobei ϑ der Einfallswinkel der Teilchen zum Lot ist. Mit Teilchendichte n wird derFluss durch die Fläche A

A n 〈v〉 cosϑ1

2sinϑdϑ

Die freie Flugstrecke ist dann proportional zur mittleren freien Weglänge `. Wirsetzen T (x0) = T0. An der Stelle des letzten Zusammenstosses ©1 berechnen wirdie Temperatur über das erste Glied der Taylor-Reihe

T0 −dT

dx

∣∣∣∣x0

` cosϑ

Die transportierte kinetische Energie ist

3

2k

(T0 −

dT

dx

∣∣∣∣x0

` cosϑ

)

Insgesamt wird also

dE =1

2An 〈v〉 cosϑ sinϑdϑ

3

2k

(T0 −

dT

dx

∣∣∣∣x0

` cosϑ

)dt


Wärmelehre 144

transportiert. Daraus können wir die Leistung des Wärmetransportes berechnen,indem wir über die Halbkugel integrieren

P =dE

dt

=1

2An 〈v〉 3

2k

T0

π/2∫0

sinϑ cosϑdϑ− dT

dx

∣∣∣∣x0

`

π/2∫0

sinϑ cos2 ϑdϑ

(4.114)

Die beiden Teilintegrale ergeben

π/2∫0

sinϑ cosϑdϑ =1

2

π/2∫0

sinϑ cos2 ϑdϑ =1

3

Also ist

Pl→r =3

4n 〈v〉 k A

(1

2T0 −

1

3

dT

dx

∣∣∣∣x0

`

)(4.115)

und in der umgekehrten Richtung

Pr→l =3

4n 〈v〉 k A

(1

2T0 +

1

3

dT

dx

∣∣∣∣x0

`

)(4.116)

In der Summe ist die Wärmeleistung

dQ

dt= Pl→r − Pr→l = −1

2n 〈v〉 k A` dT

dx

∣∣∣∣x0

(4.117)

Die Wärmeleitfähigkeit wird damit

λ =1

2n 〈v〉 k` (4.118)

Nun ist

` =1

πd2n√

2

die mittlere freie Weglänge und

〈v〉 =

(8kt

πm

) 12

die mittlere Geschwindigkeit aus der Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Damit be-kommen wir

λ =1

2nk

(8kT

πm

) 12

· 1

πd2n√

2=

k

πd2

(kT

πm

) 12

(4.119)


145 4.10 Der zweite Hauptsatz

unabhängig von n und proportional zu√

Tm.

Wenn ` L ist, bewegen sich die Moleküle von einer Wand zu der anderenWand, ohne dass sie sich untereinander stossen. Alle Moleküle, die von der Wand 1streuen, haben eine Geschwindigkeitsverteilung, die der Temperatur T1 entspricht.Alle Moleküle, die von der Wand 2 streuen, haben eine Geschwindigkeitsverteilung,die der Temperatur T2 entspricht. Das Gas hat somit keine thermische Verteilungund insbesondere keinen Temperaturgradienten.Die Wärmeleiteigenschaften von verdünnten Gasen werden zum Beispiel in Ther-

mosaschen oder Pirani-Vakuummessröhren verwendet.

4.10. Der zweite Hauptsatz


Materialien

Folien zur Vorlesung am 11. 06. 2007 PDFÜbungsblatt 09 ausgegeben am 11. 06. 2007

Im ersten Hauptsatz haben wir die Konsequenzen der Energieerhaltung unter-sucht. Hier wollen wir nun die Eigenschaften kontinuierlich laufender Maschinenuntersuchen.

Jede kontinuierlich laufende Maschine muss periodisch oder zy-klisch sein. Diese Prozesse heissen Kreisprozesse.

Der 2. Hauptsatz: Es gibt keine zyklische Maschine, die nur einemWärmebad Energie entzieht und in mechanische Arbeit umwandelt.

4.10.1. Beispiel für Perpetuum Mobile

4.10.1.1. Reusenmaschine

Abbildung 4.22.: Reusenmaschine (analog zur Fischreuse)


Wärmelehre 146

Die Reusenklappen sollen so weich gelagert sein, dass ein Molekül, das von rechtskommt, sie aufstossen kann. Dadurch können zwar Moleküle von rechts nach links,nicht aber von links nach rechts gelangen. Der Druck (bei konstanter Temperatur)erhöht sich links, und der Kolben wird nach rechts bewegt, leistet also Arbeit. Wennaber ein Molekül die Reusenklappen önen kann, bedeutet dies, dass BrownscheBewegung (wegen der Temperatur der Reusenklappen) diese auch önen kann.Man könnte die Reusenklappen kühlen, dann hätte man aber zwei Wärmebäder.

Abbildung 4.23.: Reusenmaschine mit Dämpfung

Hier gilt das gleiche: Die Dämpfung ist nur eektiv, wenn der Stossdämpfergekühlt wird T2 < T . Dann hat man aber 2 Wärmereservoirs. Bei einer elektri-schen Dämpfung (Wirbelstrombremse) bringt das Widerstandsrauschen die Klap-pen zum Schwingen. Dies funktioniert also auch nicht.

4.10.1.2. Ratschenmaschine nach Feynman

Abbildung 4.24.: Ratschenmaschine nach Feynman

Die Brownsche Bewegung dreht die Maschine. Die Klinke bewirkt, dass die Ma-schine sich nur in eine Richtung bewegen kann. Die Rätschenmaschine ist keinPerpetuum Mobile zweiter Art, da die Ratsche, analog zu oben, so leicht seinmuss, dass sie wegen ihrer Brownschen Bewegung ohne Dämpfung hochspringen(elastisch) würde.

Es ist kein Perpetuum Mobile 2. Art möglich.



4.10.1.3. Perpetuum Mobile mit Wechselstrom-Elektromotor

Abbildung 4.25.: Perpetuum Mobile mit Wechselstrom-Elektromotor

Der verwendete Wechselstrommotor soll ein idealer Motor (ohne Innenwider-stand) sein. Unabhängig von der Richtung und der Grösse der angelegten Spannungsoll er sich in die gleiche Richtung drehen. Hier nutzen wir die Rauschspannungam Widerstand R aus. Diese dreht den Motor: ein Perpetuum Mobile der 2. Art.

Auch hier funktioniert das nicht, da der Motor durch die Brownsche Bewegungdes Ankers genauso wie der Widerstand eine Rauschspannungsquelle ist. Der Motorwirkt also als Generator. Um eine mechanische Arbeit zu leisten, müsste der Motorgekühlt werden.

4.10.1.4. Ideale Diode

Abbildung 4.26.: PerpetuumMobile zweiter Art mit idealer Diode. Rechtsist die Kennlinie einer idealen Diode.

Eine ideale Diode D hat in die eine Polarisationsrichtung den Widerstand nullund in die andere den Widerstand unendlich. Hier lädt also die Rauschspannungüber die DiodeD den Kondensator C auf. Wenn die Spannung gross genug ist, wirdC über den Schalter S durch den Motor M entladen. Dieser leistet mechanischeArbeit. Bei dieser Anordnung ist das Zittern des Motors nicht relevant.

Die Anordnung ist trotzdem kein Perpetuum Mobile 2. Art, da, wie in der Fest-körperphysik oder der Vorlesung Physikalische Elektronik und Messtechnik gezeigtwird, es keine ideale Diode gibt.


Wärmelehre 148

4.10.2. Entropie, Statistische Deutung

Durch Betrachtung von Wahrscheinlichkeiten kann der Zweite Hauptsatz auf sta-tistische Gesetze zurückgeführt werden.Dies steht eventuell im Gegensatz zu der Betrachtung, die die Entropie aus der

Denition einer Adiabaten abgeleitet hat.

Abbildung 4.27.: Nach dem Önen verteilen sich die Moleküle auf beidenKästen. Der Umkehrprozess ist nicht beobachtbar.

Wir betrachten drei Teilchen, nummeriert von 1 bis 3, die entweder links oderrechts sind. Jedes Teilchen kann also die Zustände links oder rechts einnehmen.

Mikrozustand links rechts1 1, 2, 3 -2 1, 2 33 1, 3 24 2, 3 15 1 2, 36 2 1, 37 3 1, 28 - 1, 2, 3

Tabelle 4.7.: Aufzählung der 8 möglichen Zustandskombinationen (Mikrozustände)von 3 Teilchen verteilt auf zwei Kompartimente.

In der Regel wird das gesamte Volumen so in Kompartimente eingeteilt, dass injedem Kompartiment nur keines oder ein Molekül ist.

4.10.2.1. Was sind Mikrozustände?

Die räumliche Ausdehnung von Mikrozuständen ist klein gegen die des gesamtenSystems. Sie muss jedoch gross gegen die charakteristische Strukturlänge der Teil-chen sein. Bei Helium zum Beispiel werden die Atome bezüglich der Mikrozuständeals Punkte angesehen.Die Konsequenz dieser Aussagen ist, dass die Betrachtung nur gilt, wenn die

charakteristischen Längen ≥ 1µm sind.Zwischen der atomaren Betrachtung und der makroskopischen Physik, also bei

Längenskalen von Nanometern bis Mikrometern spricht man von der mesoskopi-



schen Physik, einem aktuellen Forschungsgebiet.

4.10.2.2. Grundpostulat der statistischen Physik

Ein System im Gleichgewicht bendet sich mit gleicher Wahrschein-lichkeit in jedem ihm zugänglichen Zustand.

4.10.2.3. Makrozustände

Die nicht unterscheidbaren Mikrozustände werden zu einem Makrozustand zusam-mengefasst. Sein statistisches Gewicht entspricht der Anzahl Mikrozustände.Betrachtet man Makrozustände, sind die einzelnen Teilchen äquivalent oder un-

unterscheidbar.

links rechts1 2,32 1,33 2,3

Tabelle 4.8.: Drei Mikrozustände, die einen Makrozustand bilden

Die drei Mikrozustände mit einem Teilchen links und zwei Teilchen rechts bildeneinen Makrozustand.

Makrozustand Gewicht Anzahl links Anzahl rechts1 1 3 02 3 2 13 3 1 24 1 0 3

Tabelle 4.9.: Makrozustände beim Überströmversuch mit drei Teilchen

Das Gewicht der einzelnen Makrozustände wird durch die Anzahl der Mikrozu-stände bestimmt.Bei insgesamt N Teilchen sind m Teilchen im linken Kompartiment und N −m

Teilchen im rechten Kompartiment. Das Statistische Gewicht dieses Zustandes ist(N

N −m

)=

(N

m

)=

N !

(N −m)!m!(4.120)

Dies ist die Binominalverteilung (Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik


Wärmelehre 150

[BSMM00, pp. 13]) .

Anzahl Teilchen Zustand Gewichtlinks rechts

2 2 0 11 1 20 2 1

3 3 0 12 1 31 2 30 3 1

4 4 0 13 1 42 2 61 3 40 4 1

usw.Tabelle 4.10.: Beispiele für die Binominalverteilung auf zwei Kompartimente mit

zwei bis vier Teilchen.

Für gross N geht die Binominalverteilung in die Gaussverteilung über.

Wir betrachten nochmals zwei Teilchen mit den Zuständen + und −. DieTeilchen sind mit den Wahrscheinlichkeiten p = 0.5 im Zustand + und mit derWahrscheinlichkeit q = 1− p = 0.5 im Zustand −.

Makrozustand Anzahl Mikrozustände statistisches Gewicht- - - 1 1

8

+ - - 3 38

+ + - 3 38

+ + + 1 18

Summe 8Tabelle 4.11.: Makrozustände bei drei Teilchen und zwei Zuständen

Insgesamt gibt es 8 = 23 Mikrozustände verteilt auf 4 Makrozustände.

Allgemein gibt es bei N Teilchen mit m Teilchen im Zustand + und N −mTeilchen im Zustand −

(N

m

)=

N !

m! (N −m)!



Zustände, jeweils mit dem statistischen Gewicht

N !

2Nm! (N −m)!

Die Gesamtzahl aller Mikrozustände ist 2N .Wenn man Zahlenwerte einsetzt, sieht man, dass extreme Makrozustände alle

Teilchen im gleichen Zustand extrem selten sind.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1e−060

1e−050

1e−040

1e−030

1e−020

1e−010

1

Sta

tistisches G

ew

icht

m/N

Statistisches Gewicht

10 (links)50 (links)

150 (links)10 (rechts)50 (rechts)

150 (rechts)

Abbildung 4.28.: Statistisches Gewicht, oder Wahrscheinlichkeit, für Ma-krozustände mit m = 0 bis m = 10, 50, 150 und N =10, 50, 150, links lineare Skala und rechts logarithmischeSkala. Die extremen Zustände haben Wahrscheinlichkei-ten von < 10−40.

4.10.2.4. Angabe des Zustandes eines Systems

Um den Zustand eines Systems anzugeben bestimmt man zuerst seinen Mikrozu-stand.

1. Nummeriere die Teilchen

2. Jedes Teilchen hat die Koordinatenx3i−2,x3i−1,x3i und die Impulse p3i−2, p3i−1, p3i (Eventuell gibt es noch mehrKoordinaten.)

Dabei sind die pi's die zu den Ortskoordinaten xi konjugierten Impulse. Beikartesischen Koordinaten ohne Magnetfeld und innere Freiheitsgrade gilt pi = mvi.Mit Magnetfeld oder inneren Freiheitsgraden sind die pi auf eine kompliziertereWeise deniert.Der Vektor

(x1,x2,x3, . . . ,x3N−2,x3N−1,x3N , p1, . . . , p3N)

beschreibt den Mikrozustand des Systems.


Wärmelehre 152

4.10.2.4.1. Beispiel: ein Teilchen auf einer Gerade

Abbildung 4.29.: Ort x und Impuls p eines Teilchens

Die Position eines Teilchens mit dem Ort x und dem Impuls p kann, analogzu den Fahrplänen aus der Vorlesung Grundlagen I im Phasenraum dargestelltwerden.

Abbildung 4.30.: Phasenraum eines Teilchens in einer eindimensionalenWelt.

Um Zustände denieren zu können, unterteilen wir den Phasenraum in Zellenmit den Seiten δx und δp.Das Phasenraumvolumen ist dann

δx · δp = h0

mit der Einheit [h0] = m · kgms

= Js. In der klassischen Physik (hier) ist h0 einevariable Grösse, die man am Ende jeder Rechnung gegen null gehen lässt. In derQuantenmechanik hat das Phasenraumvolumen eines Teilchens in einer Dimensioneine feste Grösse

h0 = ~ ≈ 10−34Js

Wir zählen nun die Phasenraumzellen ab. Die Koordinaten sagen dann, in wel-cher Phasenraumzelle ein Teilchen sich gerade aufhält. Deshalb beschreibt einf = 6N - dimensionaler Vektor den momentanen Zustand eines N -Teilchen-Systems. Man kann auch sagen, ein System aus N Punktteilchen hat f = 6NFreiheitsgrade.Bemerkung: Die statistische Mechanik und die statistische Interpretation der

Quantenmechanik sind sich sehr ähnlich.



4.10.2.4.2. Beispiel Überströmversuch mit N Teilchen

Abbildung 4.31.: Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in Va zu nden istproportional zum Anteil des Volumens Va am Gesamt-volumen Vb.

Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in Va zu nden ist dann

p ( ein Teilchen in Va) =VaVb

Für zwei Teilchen erhält man

p ( zwei Teilchen in Va) =

(VaVb

)2

Für N Teilchen im Volumen Va bekommt man

p ( N Teilchen in Va) =

(VaVb

)NWenn Va = 1

2Vb und N ∼ 1023 Teilchen ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit dass

alle Teilchen in Va sind

p(alle Teilchen in Va) =

(1

2

)1023

=1

103 · 1022

Dies ist eine Zahl mit 3 · 1022−1 Nullen zwischen Komma und 3. Das Universumselber hat etwa 1077 Teilchen (plus minus ein paar Grössenordnungen).Bemerkung Die statistische Mechanik sagt nichts über die Geschwindigkeit

aus, mit der Zustände erreicht werden.

4.10.2.4.3. Was meint man mit irreversibel:?

Ein Prozess heisst irreversibel , wenn sein Ausgangszustand verse-hen mit den statistischen Gewichten des Endzustandes unwahr-scheinlicher ist als der Endzustand.


Wärmelehre 154

Eine Zustandsänderung heisst reversibel , wenn zwei Zustände übereine Kette von Zwischenzuständen so ineinander übergeführt wer-den, dass alle Zwischenzustände jeweils die maximale Wahrschein-lichkeit haben.


Materialien


4.10.3. Energie und Wahrscheinlichkeit

Wir zählen die Anzahl Zustände, die zwischen E und E+δE liegen. In vielen Fällenist diese Energie die innere Energie U . Um auch die Fälle mitzunehmen, bei denendie Gesamtenergie wesentlich durch andere Energien bestimmt ist, verwenden wirhier den Buchstaben E. Solche Fälle sind, zum Beispiel, die Thermodynamik instarken Lichtfeldern oder in der Nähe eines schwarzen Lochs. Wir nennen dieseAnzahl

Ω (E,E + δE)

Die Grösse δE muss so gewählt werden, dass sie klein gegen die Energie selberist, und dass sie gross gegen die internen Energieskalen (z.B. die Abstände derquantenmechanischen Energieniveaux) ist. Aus der Anzahl der Zustände denierenwir die Zustandsdichte ω (E):

ω (E) δE = Ω (E,E + δE) (4.121)

Wenn die Zustandsdichte bekannt ist, berechnen sich die Erwartungswerte derGrössen y wie

〈y〉E =

∫y ω (E) dE (4.122)

Insbesondere ist der Erwartungswert der Energie

〈E〉E =

∫E ω (E) dE (4.123)

Wie gross ist Ω (E,E + δE)? Wir nehmen an, dass das System f Freiheitsgradehat. Für jeden Freiheitsgrad soll es φ1(ε) ∝ εα Zustände geben. Dabei muss α ≈ 1



sein. Andererseits fällt auf jeden Freiheitsgrad die Energie Ef

= ε. Die Gesamtzahlder Zustände φ(E) ist dann das Produkt der Anzahl der einzelnen Zustände.

φ (E) ≈ (φ1 (ε))f =

(φ1

(E

f

))f(4.124)

Die Anzahl Zustände zwischen E und E + δE, also in einer Kugelschale einerf -dimensionalen Kugel der Dicke δE berechnen2

Ω (E,E + δE) = φ (E + δE)− φ (E)

=∂φ

∂EδE

≈ fφf−11

∂φ1

∂ε

∂ε

∂E· δE

= fφf−11

∂φ1

∂ε

1

f· δE

= φf−11

∂φ1

∂ε· δE (4.125)

Die Anzahl Zustände φ1 ändert sich langsam mit ε, die Anzahl der gesamtenZustände nimmt aber, da f sehr gross ist, extrem schnell zu. Dies gilt im allge-meinen für Ω (E,E + δE) und ω(E) = Ω(E,E+δE)

δE. Logarithmieren wir Gleichung

(4.125) und vernachlässigen konstante oder sich nur langsam ändernde Terme(z.B. ln

(∂φ1

∂ε

)oder ln δE), so erhalten wir

ln (Ω (E,E + δE)) ≈ (f − 1) ln (φ1) + ln

(∂φ1

∂ε· δE

)(4.126)

Wenn f die Grössenordnung 1024 ist, ist auch f ≫ ln f . Da φ1 ≈ ε ist, ist derzweite Summand auch von der Grösse 1.

4.10.3.1. Zustandsdichte des idealen Gases

Wir betrachten N Moleküle eines monoatomaren Gases. Im allgemeinsten Fallsetzt sich die Gesamtenergie aus der kinetischen Energie der Teilchen und dergegenseitigen Lageenergie (potentielle Energie) der Teilchen zusammen.

E = Ekin + Epot

Die Anzahl Zustände zwischen E und E + δE sind

Ω (E,E + δE) =1

h3N0

E+δE∫E

. . .

∫d3r1d

3r2 . . . d3rNd

3p1 . . . d3pN (4.127)

2Die Rechnung ist analog zur Berechnung des Volumens einer Kugelschale der Dicke h in drei

Dimensionen.


Wärmelehre 156

Dies sind 6N Integrale über den gesamten Phasenraum des Systems. Wir habendie Abkürzungen d3ri = dxi dyi dzi und d3pi = dpix dpiy dpiz verwendet. Bei einemidealen Gas ohne gegenseitige Wechselwirkung ist Epot = 0. Deshalb ist das Integralüber die Raumkoordinaten einfach das Volumen zur N -ten Potenz.

E+δE∫E

. . .

∫d3r1 . . . d

3rN =∏N

E+δE∫E

d3ri

= V N (4.128)

Die Integrale über die Impulse dürfen, bei einem idealen Gas, nur von der ge-samten kinetischen Energie Ekin abhängen.

χ (Ekin) =

E+δE∫E

. . .

∫d3p1 . . . d

3pN

Damit erhalten wir

Ω (E,E + δE) = ω(E)δE = h−3N0 V Nχ (Ekin) (4.129)

Aus der Mechanik ist bekannt, dass die gesamte kinetische Energie sich als Sum-me der kinetischen Energien der einzelnen Teilchen schreiben lässt:

2mEkin =N∑i=1

3∑α=1

p2iα

Dies ist die Bestimmungsgleichung einer 3N -dimensionalen Kugel. Diese Kugelhat den Radius R(Ekin). Die Anzahl Zustände zwischen 0 und E hängt dann vomRadius R dieser Kugel ab und ist proportional zu

φ (E) ∝ Rf

Da E ∝ p2 ist, gilt auch

φ (E) ∝ (2mE)f2

In der Kugelschale zwischen E und E + δE liegen

Ω (E,E + δE) ∝ Ef2−1 = E

3N2−1

Zustände. Hier haben wir verwendet, dass die Anzahl Freiheitsgrade f = 3N ist.Damit ist die Anzahl Zustände im Energiebereich zwischen E und E + δE durch

Ω (E) = BV NE3N2 (4.130)

gegeben. B ist dabei konstant und unabhängig von V und E. Das Resultat fürΩ (E) ist abhängig von δE. Es wird sich jedoch zeigen, dass der Einuss von δEfür messbare thermodynamische Grössen nicht relevant ist.



4.10.3.1.1. Anzahl Zustände und reversible Prozesse Die Beziehung zwi-schen der Anzahl Zustände zwischen E und E + δE vor und nach einem Prozesserlauben, festzulegen, ob ein Prozess ein reversibler Prozess ist. Sei Ωi die Anzahlder Zustände im betrachteten Energieintervall bevor wir den Prozess ausführen. Ωf

sei entsprechend die Anzahl der Zustände im betrachteten Energieintervall nachAusführung des Prozesses.

Ωi = Ωf reversibler ProzessΩi < Ωf irreversibler Prozess

Tabelle 4.12.: Unterscheidung von reversiblen und irreversiblen Prozessen

4.10.3.1.2. Zeitskalen Jedes thermodynamische System hat eine charakteristi-sche Zeit τ , um ins Gleichgewicht zu kommen. Diese charakteristische Zeit mussmit der charakteristischen Zeit für ein Experiment, texp, verglichen werden.

τ texp Das System ist im Gleichgewicht ⇒ Statistik giltτ texp Das System kann durch gedachte Be-

schränkungen im Gleichgewicht gehaltenwerden

⇒ Statistik gilt

τ ≈ texp Nichtgleichgewicht ⇒ SchlamasselTabelle 4.13.: Gültigkeit der statistischen Beschreibung abhängig von der Zeitkon-

stante τ

4.10.4. Gleichgewicht von Systemen

Abbildung 4.32.: Skizze zweier thermodynamischer Systeme A und A′ imKontakt.

Wir betrachten die beiden thermodynamischen Systeme A und A′, die sich imKontakt binden sollen. Das Gesamtsystem A0 = A+ A′ sei thermisch isoliert. Sei


Wärmelehre 158

Ω (E) die Anzahl Zustände von A zwischen E und E + δE und Ω′ (E ′) die AnzahlZustände von A′ zwischen E ′ und E ′ + δE ′.Der Satz von der Energieerhaltung verlangt, dass

E + E ′ = E0 = const

ist. Damit kann man die Energie E ′ von A′ ausdrücken

E ′ = E0 − E

Wir bezeichnen mit Ω0 (E,E + δE) die Anzahl Zustände des Gesamtsystems A0

zwischen E und E + δE. Da die beiden thermodynamischen Systeme A und A′

statistisch unabhängig sind, ist die Anzahl der Zustände des Gesamtsystems dasProdukt der Anzahl Zustände des Systems A, also Ω (E), und der Anzahl Zuständedes Systems A′, und Ω′ (E ′) = Ω′ (E0 − E).Die Wahrscheinlichkeit des Zustandes Ω0 des Gesamtsystems ist

p (E) = CΩ0 (E) =Ω0 (E)

Ω0, tot

Dabei ist C eine noch unbekannte Konstante und Ω0, tot die Gesamtzahl allermöglicher Zustände summiert über alle Energien.Da die beiden thermodynamischen Systeme A und A′ statistisch unabhängig

sind, gilt

Ω0 (E) = Ω (E) ·Ω′ (E0 − E) (4.131)

Deshalb gilt für das Gesamtsystem A0 die Wahrscheinlichkeit

p (E) = CΩ (E) ·Ω′ (E0 − E) (4.132)

Abbildung 4.33.: Breite der Verteilungsfunktion

Für p(E) gilt:

∆E∗ ≪ E



Begründung:Ω ∝ Ef Ω′ ∝ E ′f

′

Daraus folgt für den Logarithmus von p

ln p ≈ f lnE + f ′ ln (E0 − E) + const

Dabei existieren die folgenden Grenzwerte

E = 0 ⇒ ln p = −∞E = E0 ⇒ ln p = −∞E = E0

2⇒ ln p = (f + f ′) ln E0

2+ const

∃Maximum (4.133)

Das Maximum von p ist sehr viel schärfer als das Maximum von ln p.Wie gross ist E? Diese Grösse kann über die Ableitung berechnet werden.

∂ ln p

∂E=

1

p

∂p

∂E= 0 (4.134)

Es gilt aberp (E) = CΩ (E) Ω′ (E ′) (4.135)

Damit und mit ∂∂E

= ∂E′

∂E∂∂E′

= − ∂∂E′

erhalten wir

0 =∂ ln p

∂E

=∂

∂E[lnC + ln Ω (E) + ln Ω′ (E ′)]

=∂ ln Ω (E)

∂E− ∂ ln Ω′ (E ′)

∂E ′(4.136)

Wir setzen

β =∂ ln Ω

∂E

und erhalten im Gleichgewicht

β(E)

= β′(E ′)

(4.137)

mit E ′ = E0 − E.Dieses β(E) ist eine Funktion von E und hat als Einheit [β] = 1

J. Andererseits

wissen wir, dass auch die Temperatur eine Funktion der Energie, nämlich derinneren Energie U ist.

Wir denieren:

k T (U) =1

β (U)(4.138)


Wärmelehre 160

Dabei ist k die Boltzmannkonstante und T (U) die Temperatur.Mit der (zuerst rein formalen) Denition der Entropie

S = k ln Ω (4.139)

bekommt man

1

T= kβ = k

∂ ln Ω

∂U(4.140)

und damit1

T=∂S

∂U(4.141)

S heisst Entropie. Ihre Einheit ist [S] =[JK

].

S = k ln Ω

ist die statistische Denition der Entropie

In unserer Herleitung hängt die Anzahl der Zustände Ω und die Entropie S im-mer noch von der konstanten Breite des Energieintervalls δE ab. Gleichung Glei-chung (4.140) zeigt, dass β unabhängig von δE ist. Nehmen wir an, dass das Ener-gieintervall von δE auf δ∗E wechselt. Da die Zustandsdichten gleich sind(ω(E) =

ω∗(E)), gilt auch Ω∗(E) = Ω(E)δE

δ∗E und damit S∗ = k ln Ω∗ = S + k ln(δ∗EδE

).

Nun hat aber S/k die Grössenordnung f und ln(δ∗EδE

)liegt irgend wo bei einem

Wert kleiner 100, so dass in sehr guter Näherung gilt: S∗ = S. Damit ist auch dieEntropie unabhängig von der Wahl von δE.Der wahrscheinlichste Zustand unserer beiden thermodynamischen Systeme im

Kontakt ist gegeben durch

S + S ′ = Maximum (4.142)

Diese Gleichung folgt aus der Bedingung, dass die Wahrscheinlichkeit eines Zu-standes nur zunehmen, nicht aber abnehmen darf. Weiter wissen wir von früher,dass die Temperaturen auch gleich sein müssen.

T = T ′ (4.143)

Aus der statistischen Physik kann man ableiten:

Im Gleichgewicht zweier thermodynamischer Systeme sind ihreTemperaturen gleich und die gesamte Entropie S maximal.




Materialien




4.10.4.1. Beispiel: Überströmversuch

Abbildung 4.34.: Überströmversuch

Beim Überströmversuch betrachtet man zwei Zustände, in denen ein System vonN Teilchen sich benden kann.

Bezeichnung Zustand Anzahl Wahrscheinlichkeit EntropieA alles links ΩA = 1 pA = 2−N SA = 0B gleichverteilt ΩB ≈ 2N pB ≈ 1 SB ≈ k N ln 2

Tabelle 4.14.: Wahrscheinlichkeiten und Entropien

Wenn das Gas also aus dem Zustand alles links in den gleichverteilten Zustandwechselt, ändert sich die Entropie um

∆S = SB − SA ≈ k N ln 2 ≈ 0.6k N

Wenn N = 1023 Teilchen aus A in A + A′ strömen, nimmt die Entropie um1.3 · 10−23 J

K· 1023 · 0.6 ≈ 1 J

Kzu. Andererseits müsste die Entropie um den glei-

chen Wert abnehmen, wenn alle Teilchen aus dem gleichverteilten Zustand nach Aströmen sollten.

4.10.4.1.1. Spielkarten Bei 52 Karten gibt es

Ω = 52! ≈ 8 · 1067


Wärmelehre 162

mögliche Anordnungen. Die Ausgangssituation hatte Ω1 = 1 möglichen Zustand.Nach dem Mischen der Karten hat die Entropie um

∆S = k ln

(Ω

Ω1

)= k ln

(p

p1

)≈ 156 k = 2.2 · 10−21 J

K

zugenommen.

4.10.4.1.2. Mischen zweier Substanzen Wir mischen den Inhalt einer Kistemit 1013 weissen Sandkörnern mit dem Inhalt einer Kiste mit 1013 schwarzen Sand-körnern. Die Wahrscheinlichkeit vorher ist p1 = 2−N = 2−1013

. Nach dem Mischenist die Wahrscheinlichkeit des Zustandes p ≈ 1. Die Entropie nimmt beim Mischenum

∆S = k ln

(p

p1

)= k ln

(1

2−N

)= k ln (2n) = kN ln 2 ≈ 1013k ≈ 9.5 · 10−11 J

K

4.10.4.1.3. Eigenschaften der Temperatur

Wir wissen, dass die Beziehungen

1

kT= β =

∂ ln Ω

∂EΩ (E) ∼ Ef (4.144)

gelten. Da∂ ln Ω(E)

∂E=∂ [f lnE]

∂E=f

E

nimmt β mit zunehmendem E sehr schnell ab.

limE→∞

β = 0

Weiter gilt, dass für alle E > 0 auch β > 0 ist.

Aus E > 0 folgt β > 0 und

T > 0 (4.145)

Dieses Resultat gilt, wenn E keine obere Grenze hat (z.B. kinetischeEnergie)

Wenn E eine obere Grenze hat dann gibt es Energien für die

∂ ln Ω

∂E< 0 (4.146)


163 4.11 Wärmereservoire

ist, also T < 0 ist. Beispiele dafür sind Spins oder 2-Niveau-Systeme (Laser).Aus Ω (E) ∼ Ef folgt

1

kT∼ ∂f lnE

∂E=f

E

und weiter, dass

kT =E

f(4.147)

ist. kT misst also die Energie pro Freiheitsgrad.Wenn kein Gleichgewicht herrscht, iesst die (innitesimale) Wärme Q = Ef −

Ei = −(E ′f − E ′i

)zwischen den beiden Wärmereservoiren. Die Entropie nimmt

dann zu mit

∂ ln Ω(Ei

)∂E

(Ef − Ei

)+∂ ln Ω

(E ′i

)∂E ′

(E ′f − E ′i

)≥ 0 (4.148)

⇒ (βi − β′i)Q ≥ 0

(4.149)

Aus Q > 0 folgt

βi ≥ β′i und

Ti ≤ T ′i

also Wärme wird vom System mit den höheren β (kleinerem T ) absorbiert undvon niederen β (höherem T ) abgegeben.

4.11. Wärmereservoire

Die klassische Denition eines Wärmereservoirs lautet:

Ein Wärmereservoir hat die Wärmekapazität

C =∞ (4.150)

Die statistische Betrachtung geht so: Wir haben zwei Systeme A und A′ imKontakt. Das System A′ ist ein Wärmebad oder Wärmereservoir, wenn T ′ sichkaum ändert bei der Wärmezufuhr Q. Die kann in einer Gleichung so geschriebenwerden: ∣∣∣∣∂T ′∂E ′

·Q′∣∣∣∣ T ′ (4.151)


Wärmelehre 164

Daraus folgt ∣∣∣∣ ∂β′∂E ′Q′∣∣∣∣ β′ (4.152)

dann sollte auchE

E ′ 1

sein.Sei nun Ω′ (E ′) die Anzahl der zugänglichen Zustände von A′ im Energieintervall

von E bis E + δE. Das System A′ absorbiere die Energie ∆E ′ = Q′. Dann lautetdie Taylor-Entwicklung

ln Ω′ (E ′ +Q′)− ln Ω′ (E ′) =

(∂ ln Ω′ (E ′)

∂E ′

)Q′ +

1

2

(ln2 Ω′ (E ′)

∂E ′2

)Q′2 +O

(Q′3)

= β′Q′ +1

2

∂β′

∂E ′Q′2 +O

(Q′3)

(4.153)

Die Terme 2. und höherer Ordnung können vernachlässigt werden, da mit Glei-chung (4.152) gilt

∂β′

∂E ′Q′2 =

(∂β′

∂E ′Q′)Q′ β′Q′

Damit bekommen wir

ln (Ω′ (E ′ +Q′)− ln Ω′ (E ′)) = β′Q′ =Q′

kT ′(4.154)

oder

∆S ′ =Q′

T ′(4.155)

wenn die Wärmemenge Q′ mit einem Wärmebad ausgetauscht wird.Eine analoge Rechnung gilt auch für innitesimale Wärmemengen δQ.Sei δQ E. Dann haben wir

ln Ω (E + δQ)− ln Ω (E) ≈ ∂ ln Ω

∂EδQ+

1

2

δ2 ln Ω

E2δQ2 +O

(Q′3)

(4.156)

und wieder

dS =δQ

T(4.157)

Diese Gleichung hatten wir schon bei der nichtstatistischen Betrachtung der Entro-pie verwendet. Es ist doch beruhigend, dass die statistische Betrachtung auf diegleichen Gesetze wie die klassische Betrachtung führt.

4.12. Wie breit ist das Maximum von Ω(E)?

(Siehe Reif, Statistical and Thermal Physics [Rei65, pp. 108])


165 4.12 Wie breit ist das Maximum der Zustandsfunktion?

Wir betrachten wieder zwei Systeme A und A′ im Kontakt. A habe die EnergieE, A′ die Energie E ′ = E0 − E, wobei E0 die Energie des gesamten SystemsA0 = A+A′ sein soll. Wir entwickeln die Energie E um ihren Maximalwert E mit

η = E − E

in eine Taylorreihe.

ln Ω (E) = ln Ω(E)

+∂ ln Ω

(E)

∂Eη +

1

2

∂2 ln Ω(E)

∂E2η2 + . . .

= ln Ω(E)

+ βη − 1

2λη2 + . . . (4.158)

Dabei haben wir β = ∂ ln Ω/∂E verwendet. Weiter haben wir

λ = −∂2 ln Ω/∂E2 = − ∂β∂E

(4.159)

deniert.Für das System A′ gilt

E ′ = E0 − Eund damit

E ′ − E ′ = −E + E = −η (4.160)

Damit bekommen wir

ln Ω′ (E ′) = ln Ω′(E ′)− β′η − 1

2λ′η2 + . . . (4.161)

Wir addieren die beiden Gleichungen und erhalten

ln Ω (E) + ln Ω′ (E ′) ≈ ln Ω(E)

+ βη − 1

2λη2 + ln Ω′

(E ′)− β′η − 1

2λ′η2

= ln(

Ω(E)·Ω′(E ′))

+ η (β − β′)− 1

2η2 (λ+ λ′) (4.162)

Dies ist eine quadratische Funktion in η. Damit diese ein Maximum hat, mussder Koezient von η null und der Koezient von η2 negativ sein. Deshalb gilt beimMaximalwert von Ω(E) = Ω(E) ·Ω′(E ′) (Die beiden Teilsysteme sind unabhängig!)

β = β′

Dies bedeutet auch, dass die Temperaturen von A und A′ gleich sind.Wir setzen λ0 = λ+λ′ und können für die Wahrscheinlichkeiten p(E) ∝ Ω(E) =

Ω(E) ·Ω′(E ′) schreiben:

ln p (E) = ln p(E)− 1

2λ0η

2 (4.163)

oderp (E) = p

(E)e−

12λ0(E−E)

2

(4.164)


Wärmelehre 166

Die Grösse λ0 = λ+λ′ muss grösser null sein, da sonst p(E) kein Maximum hätte.Wenn wir eines der beiden Teilsysteme sehr viel kleiner als das andere wählen, mussauch das λ des grösseren Systems grösser null sein. Deshalb gilt auch λ > 0 undλ′ > 0.

Mit Ω = Ef folgt

λ = −(− f

E2

)=

f

E2> 0 (4.165)

Aus Gleichung (4.164) folgt, dass p(E) eine Gaussverteilung ist.

Die mittlere Energie eines Systems ist also die Energie des Maximums der Gauss-verteilung.Die Gaussverteilung selber ist gegeben durch

p(E) =1

σ√

2πe−

(E−E)2

2σ2

wobei σ die Standardabweichung ist. Der Vergleich mit Gleichung (4.164) ergibt:

λ0 =1

σ2

E

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

p(E

)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

log(

p(E

))

1e-201e-191e-181e-171e-161e-151e-141e-131e-121e-111e-101e-91e-81e-71e-61e-51e-41e-31e-21e-11e+01e+11e+2

p(E)log(p(E))

Abbildung 4.35.: p(E) und ln(p(E)) für λ = 0.001 and E = 2500.

Weit ausserhalb des Maximums gilt

1

2λ0

(E − E

)2

1


167 4.13 Anzahl Zustände und externe Parameter

Dann istP (E) ∼ 0

und ∣∣∣E − E∣∣∣ λ− 1

20

Die Breite der Verteilung, ∆E∗ =∣∣∣E − E∣∣∣ kann man dann mit der Standardab-

weichung angeben, also

∆E∗ = λ− 1

20 (4.166)

Wir betrachten zwei Systeme A und A′ im Kontakt. Das gesamte System seiA0 = A+ A′. Wenn A A′ ist, dann ist ist

λ ∼ λ0

λ0 ∼f

E2=

f

〈E〉2(4.167)

Wobei E die Energie des Maximums der Verteilung der Zustände und 〈E〉 diemittlere Energie ist. Die Breite der Verteilung ist dann

∆E∗ ∼ 〈E〉√f

oder

∆E∗

〈E〉≈ 1√

f(4.168)

Bei einem Mol Teilchen (f ∼ 1024) ist die Breite der Verteilung ∆E〈E〉 ≈ 10−12.

4.13. Anzahl Zustände und externe Parameter

(Siehe Reif, Statistical and Thermal Physics [Rei65, pp. 112])Wir lassen nun einen externen Parameter x zu. x könnte zum Beispiel das Vo-

lumen V sein. Die Anzahl Zustände Ω (E,x) zwischen E und E + δE hängt nunvon x ab. Sei x im Intervall x→ x+ dx.Wenn x sich um dx ändert, ändert sich die Energie des Mikrozustandes Ei (x)

um den Wert ∂Ei∂xdx. Die Änderung ∂Ei

∂xist für jeden Zustand anders.

Wir nennen Ωy(E,x) die Anzahl Zustände zwischen E und E + δE deren Ab-leitungen ∂E

∂xzwischen Y und Y + δY liegen.

Ω (E,x) =∑Y

ΩY (E,x) (4.169)

Wenn wir x um dx ändern, wie viele Zustände wechseln dann von einer Energiekleiner E zu einer Energie grösser als E?

σY (E) =ΩY (E,x)

δEY dx (4.170)


Wärmelehre 168

Die Summe über alle Zustände ist

σ (E) =∑Y

σY (E) =∑Y

ΩY (E,x)

δEY dx =

Ω (E,x)

δE〈Y 〉 dx (4.171)

mit dem Mittelwert

〈Y 〉 =1

Ω (E,x)

∑Y

ΩY (E,x)Y

.Wenn die Energie

Ei = Ei(x1 . . . xn)

eine Funktion von x1 . . . xn ist gilt für die Änderung der Energie des Zustandesi.

dEi =∑j

∂Ei∂xj

dxj

In der Physik heisst die Grösse

∂Ei

∂xj= −Xj, i

die zur Variablen xj konjugierte verallgemeinerte Kraft.


Materialien



Zum Beispiel gilt dU = δQ− pdV und damit

dU

dV= −p

p ist also die zum Volumen konjugierte verallgemeinerte Kraft.Analog erhalten wir mit Y = ∂Ei

∂xdie Beziehung

〈Y 〉 =

⟨∂Ei∂x

⟩= −〈X〉 (4.172)



Die dazugehörige Arbeit δWi ist allgemein so deniert (Gleichung für totaleDierentiale):

δW ≡ −dEi =∑α

Xα, ixα (4.173)

Variable verallgemeinerte Kraftdie Distanz x die normale Kraft Fdas Volumen V der Druck pdie Oberäche A die Oberächenspannung σS

Tabelle 4.15.: Beispiele für verallgemeinerte Kräfte

Wie ändert sich nun Ω (E,x) wenn x nach x+δx ändert? σ(E) ist nach der De-nition in Gleichung (4.170) die Zahl der Moleküle von unterhalb E nach oberhalbE wechselt. Die Grösse ∂Ω(E,x)

∂xdx nimmt zu, weil σ(E) Zustände hinzukommen

und σ(E + δE) Zustände wegfallen. Die Bilanz ist (wir verwenden die Denitionder Ableitung)

∂Ω (E,x)

∂xdx = σ (E)− σ (E + δE) = − ∂σ

∂EδE (4.174)

Aus Gleichung (4.171) bekommt man

dσ

dx=∂Ω (E,x)

δE〈Y 〉

und damit

∂Ω (E,x)

∂xdx = − ∂σ

∂EδE

= − ∂

∂E

[Ω (E,x)

δE〈Y 〉 dx

]δE

= − ∂

∂E[Ω (E,x) 〈Y 〉] dx

dx kommt auf beiden Seiten der Gleichung vor und kann deshalb gekürzt werden.

∂Ω (E,x)

∂x= − ∂

∂E[Ω (E,x) 〈Y 〉]

= −∂Ω (E,x)

∂E〈Y 〉 − Ω (E,x)

∂ 〈Y 〉∂E

Wir teilen beide Seiten durch Ω (E,x) und bekommen

1

Ω (E,x)

∂Ω (E,x)

∂x= − 1

Ω (E,x)

∂Ω (E,x)

∂E〈Y 〉 − ∂ 〈Y 〉

∂E


Wärmelehre 170

Diese Gleichung ist äquivalent zu

∂ ln Ω (E,x)

∂x= −∂ ln Ω (E,x)

∂E〈Y 〉 − ∂ 〈Y 〉

∂E(4.175)

Wenn Ω ∝ Ef ist, ist der erste Summand ∂ ln Ω∂E〈Y 〉 ∝ f

E〈Y 〉. Den zweiten Sum-

manden kann man abschätzen, wenn man die Ableitung ∂〈Y 〉∂E

durch die Steigung

der Gerade zum Nullpunkt 〈Y 〉E

ersetzt. Dann ist der erste Summand auf der rech-ten Seite der Gleichung für grosse Systeme (f ≫ 1) um den Faktor f grösserals der zweite Summand. Der zweite Summand ∂〈Y 〉

∂Ekann deshalb vernachlässigt

werden. Mit β(E) = ∂Ω∂E

und Gleichung (4.172) bekommt man

∂ ln Ω

∂x= −∂ ln Ω

∂E〈Y 〉 = −β 〈Y 〉 = β 〈X〉 (4.176)

Diese formale Beziehung soll nun anhand von Beispielen erläutert werden.

Wir setzen x = V

∂ ln Ω

∂x=∂ ln Ω

∂V=∂Ω

∂U

∂ lnU

∂V= β 〈p〉 =

〈p〉kT

(4.177)

da ja nach dem 1. Hauptsatz für die innere Energie gilt dU = δQ− pdV unddamit ∂U

∂V= −p. Gemittelt bekommen wir also 〈Y 〉 =

⟨∂U∂V

⟩und 〈X〉 = 〈p〉.

Bei mehreren externen Parametern modiziert sich Gleichung (4.176) zu

∂ ln Ω

∂xα= β 〈Xα〉

4.13.1. Gleichgewicht zwischen zwei Systemen mitveränderbarem Teilvolumen

Wir betrachten ein isoliertes System A0 = A + A′, das aus zwei Teilsystemenbesteht. Das Volumen V ist vom Volumen V ′ durch einen beweglichen Kolbengetrennt. Die Gesamtenergie sei konstant: E0 = E + E ′ = const, wie auch dasGesamtvolumen V0 = V + V ′ = const. Die beiden Systeme tauschen Wärme undmechanische Arbeit aus.

Abbildung 4.36.: Skizze eines gekoppelten Systems, das durch einen Kol-ben getrennt ist.



Wir betrachten eine innitesimale Änderung des Zustandes mit den externenParametern xα und verwenden Gleichung (4.176) (verallgemeinerte Kräfte)

d ln Ω =∂ ln Ω

∂Ed 〈E〉+

n∑α=1

∂ ln Ω

∂xαd 〈xα〉

= β

(d 〈E〉+

∑α

〈Xα〉 d 〈xα〉

)(4.178)

In unserem Falle ist xα = V und E = U die innere Energie. Somit erhalten wirmit δW = −pdV für unseren innitesimalen Prozess

d ln Ω = β (d 〈U〉+ p dV ) = β (d 〈U〉 − δW ) = βδQ (4.179)

was nichts anderes als der erste Hauptsatz ist.Wir können für innitesimale Prozesse auch schreiben

δQ = TdS = d 〈U〉 − δW (4.180)

Bei einem adiabatischen Prozess ist δQ = 0 und damit dS = 0. Somit ändertsich auch Ω bei einem adiabatischen Prozess nicht!Das Gleichgewicht ist erreicht, wenn die Wahrscheinlichkeit

p (E0) maximal

ist.Die Anzahl Zustände des Gesamtsystems sind

Ω0 (E0) = Ω (E,V ) Ω′ (E ′,V ′)

ln Ω0 = ln Ω + ln Ω′

(4.181)

Damit ist, mit der Denition der Entropie, auch

S0 = S + S ′ (4.182)

Das Maximum der Wahrscheinlichkeit, der Anzahl Zustände Ω und damit derEntropie S wird erreicht, wenn

d ln Ω0 = d (ln Ω + ln Ω′) = 0 (4.183)

ist. Andererseits kann man für Änderungen der Anzahl Zustände als Funktionkleiner Änderungen dE oder dV auch schreiben

d ln Ω =∂ ln Ω

∂EdE +

∂ ln Ω

∂VdV

= βdE + β 〈p〉 dV (4.184)


Wärmelehre 172

Analog erhält man für das zweite Teilsystem A′

d ln Ω′ = β′dE ′ + β′ 〈p′〉 dV ′ = −β′dE − β′ 〈p′〉 dV (4.185)

Wir haben dabei wegen der Energieerhaltung dE = −dE ′ und wegen der Vo-lumenerhaltung dV = −dV ′ geschrieben. Die Summe der Gleichungen 4.184 und4.185 ergibt

(β − β′) dE + (β 〈p〉 − β′ 〈p′〉) dV = 0 (4.186)

Dies muss für beliebige dE und dV gelten. Darum haben wir

β − β′ = 0 ⇒ β = β′ ⇒ T = T ′ (4.187)

β 〈p〉 − β′ 〈p′〉 = 0 ⇒ 〈p〉 = 〈p′〉 (4.188)

Dies sind die erwarteten Gleichgewichtsbedingungen, aber nun mit statistischenArgumenten hergeleitet.

4.14. Eigenschaften der Entropie, dritterHauptsatz

In diesem Abschnitt wollen wir die Eigenschaften der Entropie untersuchen. Wirbetrachten dazu zwei Makrozustände i (initial) und f (nal). Für die Entropieän-derung erhalten wir allgemein

Sf − Si =

∫ f

i

dS =

∫ f

i

δQ

T(4.189)

Diese Integrale gelten für quasistatische Prozesse, also Prozesse bei denen dasuntersuchte System immer im Gleichgewicht ist. Sie sind aber unabhängig vomProzess. Die Aussage, dass

∫ fiδQT

unabhängig vom Weg ist, ist äquivalent zurAussage, dass die potentielle Energie in konservativen Kraftfeldern unabhängigvom Weg sei.

Abbildung 4.37.: Skizze einer Apparatur zur Messung der Entropie. Mitdem Widerstand R wird die Heizleistung P = UI in dasthermisch isolierte System gebracht. Das Thermometermisst die Temperatur T .


173 4.14 Eigenschaften der Entropie, dritter Hauptsatz

Gleichung (4.189) zeigt, wie Entropiedierenzen gemessen werden können. Wirnehmen an, dass sich das System im Gleichgewicht bei der Temperatur T1 bendet.Nun wird mit dem Widerstand die Wärmemenge

Q =

t∫0

Pdτ = U I t

in der Zeit t in das System gebracht. Die Temperatur steigt dann wie T (t). Wennwir also

dS =δQ

T=P (t) dt

T (t)=U(t) I(t) dt

T (t)

integrieren, erhalten wie die Entropiedierenz.

∆S =

t∫0

P (τ) dt

T (τ)(4.190)

300

320

340

360

380

400

0 20 40 60 80 100 0

20

40

60

80

100

T [

K]

P [

W]

t [s]

Leistung und Temperatur

TP

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 20 40 60 80 100

(P/T

) [W

/K]

t [s]

Entropiemessung

P/T

∆S = 14.38 J/K

Abbildung 4.38.: Links ist T (t) und P (t) gezeigt, rechts P (t) dtT (t)

. Die aus-

gefüllte Fläche ist die Entropiedierenz ∆S.

300

320

340

360

380

400

0 20 40 60 80 100 0

20

40

60

80

100

T [

K]

P [

W]

t [s]


TP

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 20 40 60 80 100

(P/T

) [W

/K]

t [s]

Entropiemessung

P/T

∆S = 15.15 J/K


. Die aus-



Wärmelehre 174

300

320

340

360

380

400

0 20 40 60 80 100 0

20

40

60

80

100T

[K

]

P [

W]

t [s]


TP

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 20 40 60 80 100

(P/T

) [W

/K]

t [s]

Entropiemessung

P/T

∆S = 14.38 J/K


. Die aus-


Da die Entropie als S = k ln Ω geschrieben werden kann, hängt die Entropieeindeutig vom Makrozustand des Systems ab, wenn wir das Phasenraumvolumenauf h0 = ~ xieren. Bei einer klassischen Betrachtung würde gelten

Ω =1

hf0

∫. . .

∫dg1 . . . dgfdp1 . . . dpf

und damit

S = k ln

(∫. . .

∫dg1 . . . dgfdp1 . . . dpf

)− kf lnh0

Das heisst, dass bei klassischer Betrachtung S nicht eindeutig deniert ist. Erstdie Quantenmechanik mit dem von Planck gefundenen Phasenraumvolumen machtdie Betrachtung eindeutig, also h0 = ~!

4.14.1. Verhalten der Entropie bei E → E0

Wir nehmen nun an, dass der niedrigste mögliche Energiegehalt eines Systems E0

sei. Diese niedrigste Energie entspricht der Nullpunktsenergie in der Quantenme-chanik. Für die folgende Betrachtung ist nicht wichtig, woher E0 rührt, sonderndass sie existiert. Für E → E0 gilt

Ω ≤ f

Damit mussk ln Ω ≈ k ln f kf

sein für Energien E in der Nähe der Grundzustandsenergie E0. Wir erhalten alsofür E → E0. Damit wird die Entropie bei kleinen Energien S = k ln Ω ≈ k ln f vielkleiner als die Entropie bei hohen Energien S = k ln Ω ≈ k f lnE. Damit habenwir also

S → 0 für E → E0 (4.191)

Weiter wissen wir aus der Denition von λ in der Gleichung (4.159) und demVorzeichen aus Gleichung (4.165) dass

∂β

∂E≤ 0


175 4.14 Eigenschaften der Entropie, dritter Hauptsatz

ist. Damit ist aber

0 ≥ ∂β

∂E=∂β

∂T

∂T

∂E= − 1

kT 2

∂T

∂E

Also muss auch∂T

∂E≥ 0 (4.192)

Dies bedeutet, dass die Energie mit der Temperatur zunehmen muss. Umgekehrtheisst das natürlich, dass die Temperatur mit abnehmender Energie abnehmenmuss. Damit ist auch

E → E0 wenn T → 0 (4.193)

3. Hauptsatz (strenge Form)Wenn T gegen 0 geht, verschwindet die Entropie, also ist lim

T→0S = 0

Max Planck

Es gibt nun Systeme (zum Beispiel Gläser), die bei T = 0 in metastabile Zustän-de mit praktisch unendlicher Lebensdauer geraten. Diese metastabilen Systemesind nicht im Grundzustand, deshalb ist limT→0 > 0.

3. Hauptsatz (engere Form)Für T → 0 gilt, dass lim

T→0∆S = 0 ist. Alternativ bedeutet das,

dass limT→0

S = S0, wobei S0 unabhängig von allen Parametern des

betreenden Systems ist.

4.14.2. Wärmekapazitäten in der Nähe desTemperaturnullpunktes

Die Wärmekapazitäten von Stoen hängen mit der Entropie zusammen. Aus

dU = n cmoldT = TdS

folgt

dS = n cmoldT

T

und nach der Integration

S (T,V ) =

T∫0

n cV ,mol (T,V )dT

T


Wärmelehre 176

und

S (T,p) =

T∫0

n cp,mol (p,T )dT

T

Also sind die Grenzwerte für die Wärmekapazitäten

limT→0

cV ,mol = limT→0

cp,mol = limT→0

(cp,mol − cV ,mol) = 0 (4.194)

Insbesondere verschwindet die Dierenz von cp,mol und cV ,mol wenn die Temperaturgegen den absoluten Nullpunkt geht. Unser früheres Resultat für das ideale Gascp,mol = cV ,mol + R gilt also nur für hohe Temperaturen. In anderen Worten: inder Nähe des Temperaturnullpunktes gibt es keine idealen Gase.

4.14.3. Wirkungsgrad von Wärmekraftmaschinen in derNähe des Temperaturnullpunktes


Materialien


Wir hatten früher den Wirkungsgrad von Wärmekraftmaschinen abgeleitet:

η =δW

δQ=T1 − T2

T1

für T1 > T2 (4.195)

Analog gilt für Kältemaschinen:

δW

δQentfernt=T1 − T2

T2

(4.196)

Kann man den Temperaturnullpunkt mit einer Kältemaschine erreichen? FürT2 → 0 gilt

δW

δQentfernt→∞

Das heisst, es muss immer mehr mechanische Energie in ein System gestecktwerden, um die Temperatur weiter zu erniedrigen. Da diese Energie divergiert,muss

E > E0

sein. Das bedeutet:

Mit einer Kältemaschine ist der absolute Temperaturnullpunktnicht erreichbar.


177 4.15 Anwendung auf das ideale Gas

Dies ist eine alternative Fassung des dritten Hauptsatzes.

Bemerkung:Es gilt auch

p ∝ Ω ∝ Ef = ESk

4.15. Anwendung auf das ideale Gas

Die folgenden Beziehungen gelten:

β =∂ ln Ω

∂E

〈xα〉 =1

β

∂ ln Ω

∂ 〈xα〉

〈p〉 =1

β

∂ ln Ω

∂V

Ω ∝ V Nχ (E)

Wenn wir die Beziehung für Ω logarithmieren, erhalten wir

ln Ω = N lnV + lnχ (E) + const

Daraus erhalten wir die Ableitung nach dem Volumen

∂ ln Ω

∂V=N

V= β 〈p〉 (4.197)

Wir können also für den gemittelten Druck 〈p〉 schreiben

〈p〉 = kTN

V(4.198)

Umgestellt erkennen wir in Gleichung (4.198) die ideale Gasgleichung

pV = NkT (4.199)

Wir haben also gezeigt, dass die ideale Gasgleichung aus der Statistik für unkor-relierte Teilchen folgt. Weiter besteht die Beziehung

β =∂ lnχ (E)

∂E

Es folgt daraus, dass für ein ideales Gas die Energie E nur von T abhängen kann.

E = E (T )


Wärmelehre 178

4.16. Mischungsentropie

Abbildung 4.41.: System aus zwei Molekülsorten A und B (links) undnach Mischung.

Wir betrachten nun ein Gesamtsystem, bei dem zu Beginn zwei MolekülsortenA und B in zwei getrennten Kompartimenten mit den Volumina V1 und V2 be-nden. Es gibt jeweils N1 und N2 Teilchen von der jeweiligen Sorte. Die Grössedes Gesamtvolumens V1 + V2 = V sowie die gesamte Teilchenzahl N1 + N2 = Nsollen konstant sein3. Die Trennwand zwischen den beiden Kompartimenten seibeweglich, so dass sowohl die Temperatur T wie auch der Druck p konstant sind.Wir hatten früher die Mischung von identischen Teilchen betrachtet oder das Aus-strömen von Teilchen ins andere Teilvolumen betrachtet. Hier versuchen wir zumersten mal, die Eigenschaften eines Gemisches mit zwei Teilchensorten zu verste-hen.Beide Moleküle sollen ideale Gase sein. Aus der idealen Gasgleichung wissen wir,

dass pV = NkT sein muss. bei gleicher Temperatur T und gleichem Druck p folgt

N1

V1

=N2

V2

Wenn sich nach der Mischung alle Moleküle vom Typ A im linken Kompartiment1 mit V1 benden, ist die Entropie um

∆S = N1k lnV

V1

zu klein sein.Mit

V

V1

=V1 + V2

V1

= 1 +V2

V1

= 1 +N2

N1

=N1 +N2

N1

=N

N1

Also können wir die Entropiedierenz auch mit den Teilchenzahlen schreiben.

∆S = N1k lnN

N1

(4.200)

Die Mischungsentropie ist die Summe aus den Entropieänderungen wenn sichjeweils die Molekülsorte A in V1 und B in V2 benden.

3Eine konstante Teilchenzahl bedeutet hier, dass keine chemische Reaktionen auftreten.


179 4.16 Mischungsentropie

Mischungsentropie

SMischung = SM = kN1 lnN1 +N2

N1+ kN2 ln

N1 +N2

N2(4.201)

Beispiel:

Wir mischen zwei Molekülsorten mit gleichen Anteilen. Sei N1 = N2 = NA.Beispielsweise könnten wir He und Ne mischen.

SM = k ·NA · (ln 2 + ln 2)

≈ 1.38 · 10−23 J

K· 6 · 1023 · 2 · 0.63

≈ 13J

K(4.202)

Beispiel:

Silizium soll mit 1ppm (1 part per million) verunreinigt sein. Wir wollen dieMischungsentropie für 1mol Si berechnen

N1 = NA

N2 = 10−6NA

Sie ist

SM = k ·NA

(1 · ln

NA (1 + 10−6)

NA

+ 10−6 · lnNA (1 + 10−6)

NA · 10−6

)≈ k ·NA · 10−6 ln 106

= k ·NA · 2.3 · 10−6 · 6

≈ 1.2 · 10−4 J

K(4.203)

4.16.1. Bestimmung von Entropiedierenzen

Wir wenden hier die Methode nach dem dritten Hauptsatz an. Wir wollen dieDierenz der Entropie einer Legierung vor und nach dem Vorgang bestimmen.Für reversible Vorgänge (immer im Gleichgewicht) gilt

Sf − Si =

∫ f

iGleichgewicht

δQ

T


Wärmelehre 180

Entropien sind eine Funktion der Temperatur. Wir drücken sie mit den Wärme-kapazitäten Cy aus, wobei y entweder den konstanten Druck (y , p) oder daskonstante Volumen (y , V ) meint.

S (Tf )− S (Ti) =

∫ f

iGleichgewicht

δQ

T=

∫ f

iGleichgewicht

Cy (T ′) dT ′

T ′(4.204)

Wenn der betrachtete Temperaturbereich genügend klein ist, ist Cy in guter Nä-herung unabhängig von T . Dann können die Integrale gelöst werden

S (Tf )− S (Ti) = Cy lnTfTi

(4.205)

Wir wollen nun das praktische Beispiel berechnen, wie gross die Entropiezunah-me bei der chemischen Verbindung PbS ist. Wir nehmen dazu an, dass wir für Pb,S und PbS die Wärmekapazitäten C(Pb)

y (T ), C(S)y (T ) und C(PbS)

y (T ) kennen. Nachdem dritten Hauptsatz ist geht die Entropie bei T → 0 zu einem festen Wert S0,unabhängig von der genauen Anfangskonguration und den Systemparametern.Wir können also schreiben

S(Pb+S)

separiert(0) = S(PbS) (0) = S(Pb) (0) + S(S) (0) (4.206)

Mit den Entropiegleichungen für die Ausgangsmaterialien Pb und S

S(Pb) (T ) = S(Pb) (0) +

∫ T

0

C(Pb)y (T ′) dT ′

T

S(S) (T ) = S(S) (0) +

∫ T

0

C(S)y (T ′) dT ′

T

bekommen wir

S(Pb+S) (T ) = S(Pb+S) (0) +

∫ T

0


T ′+

∫ T

0

C(S)y (T ′) dT ′

T ′(4.207)

Die Entropiegleichung gilt natürlich auch für die Verbindung

S(PbS) (T ) = S(PbS) (0) +

∫ T

0

C(PbS)y (T ′) dT ′

T ′

Mit Gleichung (4.206) können wir die Entropiedierenz berechnen

S(Pb+S) (T )− S(PbS) =

∫ T

0


T ′+

∫ T

0

C(S)y (T ′) dT ′

T ′

−∫ T

0

C(PbS)y (T ′) dT ′

T ′

=

∫δQ(PbS→Pb+S)

T(4.208)


181 4.17 Extensive und intensive Variablen

Dabei haben wir die Beziehung ∆S =∫ δQ(PbS→Pb+S)

Tzwischen Entropie und Wär-

memenge verwendet.Die Gleichung (4.208) erlaubt uns nun, die benötigte Energie zur Dissoziation

PbS in Pb und S vorherzusagen. Dazu braucht man nur die WärmekapazitätendCy der beteiligten Stoe zu kennen. Das Verfahren kann auf alle Verbindungenangewendet werden. Es zeigt, ob eine Verbindung stabil ist.

4.17. Extensive und intensive Variablen

Abbildung 4.42.: Das thermodynamische System charakterisiert durch ywird in zwei Subsysteme charakterisiert durch y1 und y2

geteilt.

Es gibt nun zwei Möglichkeiten, wie Grössen yi des geteilten Systems mit derGrösse y des ursprünglichen Systems in Beziehung stehen.

extensive Grössen intensive GrössenBeziehungen y = y1 + y2 y = y1 = y2

Beispiele V , S, N , U p, T , nTabelle 4.16.: Extensive und intensive Variablen

Die Grössen, bei denen y = Y y1+y2 gilt, heissen extensive Grössen (englisch ex-tension: Ausdehnung). Hier sagt die Grösse y etwas über die Ausdehnung (Grösse)des Systems aus. Beispiele sind Volumen V , Entropie S oder die Teilchenzahl N .Im Gegensatz zu den extensiven Grössen stehen die intensiven Grössen, bei

denen y = y1 = y2 gilt. Aus einer intensiven Grösse y kann man nicht auf dieAusdehnung eines Systems schliessen.Bei mathematischen Operationen zwischen intensiven und extensiven Grössen

gelten die folgenden Regeln:

Division zweier extensiver Grössen Bei der Division zweier extensiven Grössenergibt sich eine intensive Grösse. Zum Beispiel haben wir

n =N

V

Division einer extensiven durch eine intensive Grösse Die Division einer ex-tensiven Grösse durch eine intensive Grösse ergibt wieder eine extensiveGrösse.


Wärmelehre 182

extensive Grösse intensiv machen Jede extensive Grösse wird intensiv, wennsie auf die Masse (1g), die Molzahl (1mol) oder auf ein Teilchen (1 Atom)bezogen wird.

4.18. Relationen zwischen thermodynamischenGrössen


Materialien



Lösungsblatt 12 ausgegeben am 02. 07. 2007Dieser Abschnitt benutzt die Dierentiationsregeln für Funktionen mehrerer Va-

riablen. Wir betrachten eine Funktion f(x, y). Die in der Mathematik üblicheSchreibweise einer partiellen Ableitung

∂f(x, y)

∂x

sagt implizit, dass die Grösse y beim Ableiten konstant gehalten wird. In derWärmelehre ist es auch üblich, partielle Ableitungen wie

∂f(x, y)

∂x=d f(x, y)

dx

∣∣∣∣y

=

(d f(x, y)

dx

)y

zu schreiben.So ist die Wärmekapazität bei konstantem y durch

Cy =

(δQ

dT

)y

(4.209)

gegeben. Es gilt aber auchδQ = TdS (4.210)

und damit

Cy = T

(∂S

∂T

)y

(4.211)

Als Beispiel berechnen wir die Wärmekapazität bei konstantem Volumen:

CV = T

(∂S

∂T

)V

= T

(∂S

∂U

)V

(∂U

∂T

)V

= T · 1

T·(∂U

∂T

)V

=

(∂U

∂T

)V

(4.212)

Dabei haben wir den ersten Hauptsatz dU = TdS − pdV verwendet, der bei kon-stantem Volumen auch

(dUdS

)V

= T heisst.


183 4.18 Relationen zwischen thermodynamischen Grössen

4.18.1. Relationen zwischen S, U , V , T , p

Der 1. Hauptsatz lautetdU = δQ+ δW

oder umgeschriebendU = TdS − pdV

Diese Schreibweise bedeutet, dass S und V die unabhängigen Variablen sind.Im Folgenden soll für ein ideales Gas

pV = NkT (4.213)

die Beziehung zwischen Ableitungen der Entropie berechnet werden.Für die innere Energie gilt allgemein:

U = U (T,V ) (4.214)

Damit kann man das totale Dierential dU schreiben als

dU =

(∂U

∂T

)V

dT +

(∂U

∂V

)T

dV (4.215)

Aus dem 1. Hauptsatz und der idealen Gasgleichung erhalten wir

dS =1

TdU + pdV =

1

TdU +

Nk

VdV (4.216)

Das totale Dierential dU wird durch den Ausdruck aus Gleichung (4.215) er-setzt. Wir erhalten

dS =1

T

(∂U

∂T

)V

dT +

[1

T

(∂U

∂V

)T

+Nk

V

]dV (4.217)

Da dS ein totales Dierential ist, muss für S = S(T ,V ) gelten

dS =

(∂S

∂T

)V

dT +

(∂S

∂V

)T

dV (4.218)

Diese beiden Beziehungen müssen für alle dT und dV gelten. Deshalb müssendie Vorfaktoren einzeln gleich sein:(

∂S

∂T

)V

=1

T

(∂U

∂T

)V

(4.219)(∂S

∂V

)T

=1

T

(∂U

∂V

)T

+Nk

V(4.220)

Wir betrachten nun die zweiten Ableitungen. Für gemischte Ableitungen giltimmer.

∂2S

∂V ∂T=

∂2S

∂TδV(4.221)


Wärmelehre 184

Wenn wir bei dieser Beziehung die ersten Ableitungen der Entropie mit ihrenäquivalenten Grössen einsetzen, erhalten wir(

∂

∂V

(∂S

∂T

)V

)T

=

(∂

∂T

(∂S

∂V

)T

)V

(4.222)

Wir ersetzen auf der linken Seite(∂S∂T

)Vmit Gleichung (4.219) und auf der

rechten Seite(∂S∂V

)Tmit Gleichung (4.220) und erhalten

1

T

(∂2U

∂V ∂T

)=

(∂

∂T

[1

T

(∂U

∂V

)T

+Nk

V

])V

= − 1

T 2

(∂U

∂V

)T

+1

T

(∂2U

∂T∂V

)+ 0 (4.223)

Die Ableitung ist null ( ∂∂T

∂∂V

NkV

= 0), da Nk/V nicht von T abhängt.Deshalb gilt

1

T

(∂U

∂V

)T

= 0

Wenn T <∞ ist, gilt auch (∂U

∂V

)T

= 0 (4.224)

oder, in anderen Worten: die innere Energie hängt nicht vom Volumen ab!

4.19. Maxwellrelationen für homogeneSubstanzen

4.19.1. Abgeleitet aus der inneren Energie

Die Maxwellrelationen sind die Konsequenz der Anwendung der Dierentialrech-nung auf den ersten Hauptsatz.

dU = TdS − pdV (4.225)

Die innere Energie U wird als Funktion der Entropie S und des Volumens Vangesehen.

U = U (S,V ) (4.226)

U kann als totales Dierential geschrieben werden:

dU =

(∂U

∂S

)V

dS +

(∂U

∂V

)S

dV (4.227)


185 4.19 Maxwellrelationen für homogene Substanzen

Die Gleichungen (4.225) und (4.227) beschreiben das gleiche thermodynamischeSystem. Da dS und dV beliebig wählbar sind (unabhängige Variablen) müssen ihreKoezienten gleich sein: (

∂U

∂S

)V

= T (4.228)(∂U

∂V

)S

= −p (4.229)

Die gemischten zweiten Ableitungen sind unabhängig von der Reihenfolge.

∂2U

∂V ∂S=

∂2U

∂S∂V⇒(∂

∂V

)S

(∂U

∂S

)V

=

(∂

∂S

)V

(∂U

∂V

)S

(4.230)

Damit erhält man (∂T

∂V

)S

= −(∂p

∂S

)V

(4.231)

4.19.2. Abgeleitet aus der Enthalpie

Das betrachtete thermodynamische System soll durch die freien Variablen S undp beschrieben werden. Dies bedeutet, dass das Volumen V eine Konsequenz desangelegten Druckes p sein soll. Das Dierential d(pV ) ausgerechnet ist

d (pV ) = p dV + V dp (4.232)

Umgestellt erhalten wir

pdV = d (pV )− V dp (4.233)

d(pV ) wird links und rechts addiert

dU + d(pV ) = T dS − p dV + d(pV )

= T dS − p dV + p dV + V dp

= T dS + V dp

d (U + pV ) = T dS + V dp (4.234)

Wir denieren die Enthalpie H

H = H (S,p) = U + pV (4.235)

Analog zum ersten Hauptsatz erhalten wir mit den unabhängigen Variablen Sund p

dH = T dS + V dp (4.236)

Andererseits kann dH als totales Dierential geschrieben werden

dH =

(∂H

∂S

)p

dS +

(∂H

∂p

)S

dp (4.237)


Wärmelehre 186

Der Koezientenvergleich ergibt die beiden Beziehungen(∂H

∂S

)p

= T (4.238)(∂H

∂p

)S

= V (4.239)

Wieder sind die gemischten zweiten Ableitungen unabhängig von der Reihenfol-ge.

∂2H

∂S∂p=

∂2H

∂p∂S

(4.240)

Damit erhalten wir die Beziehung

(∂T

∂p

)S

=

(∂V

∂S

)p

(4.241)

4.19.3. Abgeleitet aus der freien Energie

Das betrachtete thermodynamische System soll durch die freien Variablen T undV beschrieben werden. Dies bedeutet, dass die Entropie S eine Konsequenz derherrschenden Temperatur T sein soll. Das Dierential d(TS) ausgerechnet ist

d (TS) = T dS + S dT (4.242)

Umgestellt erhalten wir

TdS = d (TS)− SdT (4.243)

d(TS) wird links und rechts subtrahiert

dU − d(TS) = T dS − pdV − d(TS)

= T dS − pdV − T dS − S dTd(U − TS) = −SdT − pdV (4.244)

Wir nennen die Grösse

F = F (T,V ) = U − TS (4.245)

die freie Energie (manchmal auch Helmholtzsche freie Energie). In der nicht-deutschsprachigen Literatur wird anstelle von F oft auch A geschrieben. dF istwieder ein totales Dierential.

dF =

(∂F

∂T

)V

dT +

(∂F

∂V

)T

dV (4.246)



Der Koezientenvergleich ergibt die beiden Beziehungen(∂F

∂T

)V

= −S (4.247)(∂F

∂V

)T

= −p (4.248)

Die Reihenfolge der gemischten zweiten Ableitungen kann vertauscht werden.

∂2F

∂V ∂T=

∂2F

∂T∂V(4.249)

Damit erhalten wir die Beziehungen(∂S

∂V

)T

=

(∂p

∂T

)V

(4.250)

4.19.4. Abgeleitet aus der freien Enthalpie

Das betrachtete thermodynamische System soll durch die freien Variablen T undp beschrieben werden. Dies bedeutet, dass die Entropie S eine Konsequenz derherrschenden Temperatur T und das Volumen V durch den Druck p bestimmtsein soll. Wir addieren nun im ersten Hauptsatz auf beiden Seiten d(pV )− d(TS)und erhalten

dU + d(pV )− d(TS) = T dS − p dV + d(pV )− d(TS)

= T dS − p dV − d (TS) + d (pV )

= T dS − p dV − T dS − S dT + p dV + V dp

d(U + pV − TS) = −SdT + V dp (4.251)

Wir nennen die Grösse

G = G(T,p) = U + pV − TS (4.252)

die freie Enthalpie oder die Gibbssche freie Energie. dG ist ein totales Dierential

dG =

(∂G

∂T

)p

dT +

(∂G

∂p

)T

dp (4.253)

Durch Koezientenvergleich erhält man(∂G

∂T

)p

= −S (4.254)(∂G

∂p

)T

= V (4.255)


Wärmelehre 188

Die Reihenfolge der gemischten zweiten Ableitungen kann gewechselt werden.

∂2G

∂p∂T=

∂2G

∂T∂p

(4.256)

Damit erhalten wir die Beziehung

−(∂S

∂p

)T

=

(∂V

∂T

)p

(4.257)

4.19.5. Zusammenfassung der Maxwellrelationen


Materialien


Die vier aus den zweiten Ableitungen der thermodynamischen energetischenZustandsfunktionen U , F , H, und G abgeleiteten Beziehungen heissen Maxwellre-lationen.

(∂T

∂V

)S

= −(∂p

∂S

)V

(4.258)(∂T

∂p

)S

=

(∂V

∂S

)p

(4.259)(∂S

∂V

)T

=

(∂p

∂T

)V

(4.260)(∂S

∂p

)T

= −(∂V

∂T

)p

(4.261)

Die vier Maxwellrelationen folgen alle aus der Tatsache, dass die Anzahl zugäng-licher Zustände eines thermodynamischen Systems dieses System beschreibt (in derQuantenmechanik eindeutig, sonst bis auf eine additive Konstante der Entropie).

4.19.6. Die vier thermodynamischen Potentiale

U(S,V ), F (T,V ), H(S,p) und G(T,p) heissen thermodynamische Potentiale. DieserBegri ist verwirrend, da anders als im Rest der Physik diese Grössen die Einheiteiner Energie haben.



Abbildung 4.43.: Eselsbrücke für thermodynamische Potentiale

Die thermodynamischen Potentiale stehen in dieser Darstellung in der Mitteder Quadrate. Die unabhängigen Variablen sind immer die benachbart zu demjeweiligen Potential. So steht H zwischen S und p.

Abbildung 4.44.: Die Maxwellrelation(∂T∂V

)S

= −(∂p∂S

)V. Hier zeigen die

Spitzen der Dreiecke nach unten, und wir haben ein Mi-nuszeichen in der Relation.

Abbildung 4.45.: Die Maxwellrelation(∂T∂p

)S

=(∂V∂S

)p.


Wärmelehre 190

Abbildung 4.46.: Die Maxwellrelation(∂S∂V

)T

=(∂p∂T

)V.

Abbildung 4.47.: Die Maxwellrelation(∂S∂p

)T

= −(∂V∂T

)p. Hier zeigen die

Spitzen der Dreiecke nach oben, und wir haben ein Mi-nuszeichen in der Relation.

4.19.7. Gleichgewichte und thermodynamische Potentiale

Bei der Berechnung der Eigenschaften der inneren Energie U hatten wir festge-stellt, dass im Gleichgewicht die Entropie S maximal und die innere Energie Uminimal ist. Dabei war immer die Nebenbedingung, dass das System von der Um-welt isoliert sei, das heisst dass δQ = 0 war (adiabatische Prozesse), und dass dasVolumen konstant war, dV = 0 (isochore Prozesse). In diesem Kapitel interessie-ren wir uns für die Gleichgewichtsbedingungen, wenn andere Randbedingungen alsδQ = 0 und dV = 0 gelten.



4.19.7.1. Illustration der Idee mit dem Feder-Masse-Pendel imSchwerefeld

Abbildung 4.48.: Links ist das Feder-Masse-Pendel ohne Gravitationsfeldzu sehen, rechts mit Gravitationsfeld.

Ein Feder-Masse-Pendel wird durch die Federkraft

F (z) = −k z

beschrieben. Dies führt zur potentiellen Energie

Epot(z) =1

2k z2

Wird nun die Gravitation eingeschaltet, so verlängert sich die Feder wegen derGravitationskraft F (z) = mg auf

z0 = mg

k

Die Gravitation hat die potentielle Energie

Epot,Gravitation = −mg z


Wärmelehre 192

−4

−2

0

2

4

6

8

−10 −5 0 5 10

Epot [J

]

z [m]

Feder−Masse−Pendel im Gravitationsfeld

FederGravitationkombiniert

Abbildung 4.49.: Einuss der Gravitation auf die potentielle Energie beimFeder-Masse-Pendel.

Abbildung 4.49 zeigt, wie das Anschalten der Gravitation den Ort des Minimumsverändert. Wenn also die Nebenbedingungen (manchmal auch Randbedingungengenannt) ändern, so ändert sich die Gleichgewichtslage. Wir wollen im Folgen-den untersuchen, wie andere als die adiabatisch-isochoren Randbedingungen dieGleichgewichtslage ändern.

Um klar abzugrenzen, welche Randbedingungen angewendet werden, wenn dieGleichgewichtslage gesucht wird, wird für jedes Paar von Randbedingungen ei-ne andere Energie deniert. Diese Energiefunktionen werden thermodynamischePotentiale genannt. So würde man ja auch

Etot(z) = Epot(z) + Epot,Gravitation(z)

schreiben. Dabei ist Etot(z) ein neuer Name, der einem die Bequemlichkeit erlaubt,nicht immer die Summe hinschreiben zu müssen. Genauso verwendet man ausserder inneren Energie die Enthalpie, die freie Enthalpie und die freie Energie. Jededieser Energien steht für ein anderes Paar von Randbedingungen. Die Namen derEnergiefunktionen sind im Laufe der Physikgeschichte zugewiesen worden.

Jedes System, das nicht adiabatisch ist, erlaubt den Wärmeaustausch mit derUmgebung. Um die Gleichgewichtsbedingungen zu nden, müssen wir deshalb dasSystem und die Umgebung gemeinsam betrachten! Bei einem oenen System istdie Entropie

SSyst + SUmgebung

maximal. Wenn die Wärmemenge δQ von der Umgebung ans System übertragenwird, ist die Entropieänderung d S = δQ

T. Im Gleichgewicht wird d S = 0. Nach

dem ersten Hauptsatz ist



d S =dU − δW

TdU − δW − T dS = 0

(4.262)

Hierbei wird angenommen, dass nur mechanische Arbeit möglich ist. Also ist

dU + p d V − T dS = 0 (4.263)

Wenn das Volumen zwangsweise konstant gehalten wird, entfällt die DruckarbeitpdV . Wenn weiter auch die Temperatur konstant gehalten wird, ist S dT = 0. DieseGrösse kann also subtrahiert werden. Gleichung (4.263) wird dann

dU − T dS = dU − T dS − S dT = d(U − TS) = 0

Dies ist die Bedingung für ein Extremum. Nun ist aber im Gleichgewicht U minimalund S maximal. Deshalb ist F = U −TS im Gleichgewicht minimal, sofern T undV konstant sind.

Bei isotherm-isochoren Bedingungen (T = const und V = const)ist die freie Energie

F = U − TSminimal.

Wenn p und T konstant sind, kann man Gleichung (4.263) durch V d p = 0 undS dT = 0 ergänzen und erhält

dU + p d V − T dS = dU + p d V + V d p− T dS − S dT = d(U + pV − TS) = 0

Im Gleichgewicht bendet sich das System im mechanischen Energieminimum (U+pV ) und im Entropiemaximum. Deshalb ist G = U + pV − TS minimal, wenn pund T konstant sind.

Bei isotherm-isobaren Bedingungen (T = const und p = const) istdie freie Enthalpie

G = U + pV − TSminimal.

Ohne Wärmeaustausch ist T dS = 0. Wenn gleichzeitig der Druck p konstantist, entfällt in Gleichung (4.263) der Term T dS und wir können V d p = 0addieren.


Wärmelehre 194

dU + p d V = dU + p d V + V d p = d(U + pV ) = 0

Im Gleichgewicht bendet sich das System im mechanischen Energieminimum(U + pV )m. Deshalb ist H = U + pV minimal, wenn p konstant ist in einemadiabatischen Prozess.

Bei adiabatisch-isobaren Bedingungen (δQ = 0 und p = const) istdie Enthalpie

H = U + pV

minimal.

Adiabatisch-isobare Bedingungen können mit einem Dewar-Gefäss (thermischisoliert) mit einem beweglichen Deckel der Masse m im Gravitationsfeld simuliertwerden. Wäre der Deckel xiert, hätten wir die adiabatisch isochoren Bedingungen,die ein Minimum der inneren Energie U fordern. Beim beweglichen Deckel liegtdie Gleichgewichtslage anders, wie aus dem Beispiel mit dem Feder-Masse-Pendelim Gravitationsfeld (Abbildung 4.49) zu ersehen ist. Die Gleichgewichtslage istnun durch die kombinierte Energie bestehend aus der inneren Energie und derGravitationsenergie gegeben!Schliesslich entfällt in Gleichung (4.263) sowohl p d V wie auch T dS, wenn das

Volumen V konstant gehalten wird und kein Energieaustausch δQ = 0 vorkommt.

dU = 0

Bei adiabatisch-isochoren Bedingungen (δQ = 0 und V = const)ist die innere Energie

U

minimal.

Je nach den Bedingungen (isobar, isotherm, usw) kann man mit dem entspre-chenden thermodynamischen Potential den Reaktionsweg und die Reaktionsrich-tung bestimmen.

• Das Ziehen von Weisswürsten im Wasser ist ein isotherm-isobarer Prozess.Die Weisswürste bewegen sich deshalb in den Zustand kleinster freier Ent-halpie.

• Beim Kochen mit einem Dampfkochtopf sucht man näherungsweise das Gleich-gewicht unter isotherm-isochoren Bedingungen, die freie Energie ist minimal.


195 4.20 Allgemeine Formel für spezische Wärmen

• Bei der Explosion im Zylinder eines Dieselmotors ist näherungsweise dasVolumen konstant. Es wird keine Energie mit der Umgebung ausgetauscht.Deshalb ist die innere Energie minimal bei isochor-adiabatischen Bedingun-gen.

• Bei Reaktionen in einer oenen Thermoskanne ist der Druck konstant. je-der Wärmeaustausch ist unterbunden. Die Enthalpie ist minimal bei isobar-adiabatischen Bedingungen.

4.20. Allgemeine Formel für spezische Wärmen

Wir suchen einen Zusammenhang für Cp und CV für beliebige Substanzen undbeliebige Zustandsdichten Ω(E). Wir kennen für höhere Temperaturen und idealeGase den Zusammenhang der molaren Grössen

cp,mol − cV ,mol = R

Hier möchten wir nun einen Zusammenhang ableiten, der nur von makroskopischmessbaren Eigenschaften abhängt. Konkret suchen wir eine Beziehung, die den spe-zischen Volumenausdehnungskoezienten α und die isotherme Kompressibilitätκ enthält. Wir beginnen mit den Denitionen der Wärmekapazitäten

CV =

(∂Q

dT

)V

= T

(∂S

∂T

)V

Cp =

(δQ

dT

)p

= T

(∂S

∂T

)p

(4.264)

Die Entropie soll S (p,T ) vom Druck und der Temperatur abhängen. Dann giltfür die ausgetauschte Wärmemenge

δQ = TdS = T

[(∂S

∂p

)T

dp+

(∂S

∂T

)p

dT

](4.265)

Wir setzen die Denition von Cp ein und erhalten

δQ = CpdT + T

(∂S

∂p

)T

dp (4.266)

Wir teilen nun Gleichung (4.266) durch dT und erhalten(δQ

∂T

)V

= Cp + T

(∂S

∂p

)T

(∂p

∂T

)V

(4.267)

Der zweite Summand muss bei konstantem Volumen betrachtet werden, da ja nunp nicht mehr eine Variable sondern eine Funktion ist. Die ist auch im Einklangmit der Tatsache, dass wir ja noch eine Beziehung für die Wärmekapazität beikonstantem Volumen benötigen.


Wärmelehre 196

Zur weiteren Berechnung drücken wir dp als Funktion von T,V aus

dp =

(∂p

∂T

)V

dT +

(∂p

∂V

)T

dV (4.268)

Da wir CV suchen, ist das Volumen konstant, der zweite Summand in Gleichung(4.268) ,

(∂p∂V

)TdV , ist gleich null. Wir erhalten also für CV

CV =

(δQ

∂T

)V

= Cp + T

(∂S

∂p

)T

(∂p

∂T

)V

(4.269)

Mit der Maxwellrelation (∂S

∂p

)T

= −(∂V

∂T

)p

können wir Gleichung (4.269) umschreiben und erhalten

CV = Cp − T(∂V

∂T

)p

(∂p

∂T

)V

(4.270)

Wir ersetzen nun die beiden partiellen Ableitungen durch den Volumenausdeh-nungskoezienten α und die isotherme Kompressibilität κ. Die Denition des Vo-lumenausdehnungskoezienten lautet

α =1

V

(∂V

∂T

)p

= − 1

V

(∂S

∂p

)T

(4.271)

Damit kann(∂V∂T

)pumgeschrieben werden. Um

(∂p∂T

)V(bei konstantem Volumen,

d.h. dV = 0!) umzuschreiben setzen wir an

0 = dV =

(∂V

∂p

)T

dp+

(∂V

∂T

)p

dT

Diese Gleichung kann umgeschrieben werden

dp

(∂V

∂p

)T

= −dT(∂V

∂T

)p

Wir teilen durch dT und bringen alle partiellen Ableitungen auf die rechte Seite.Damit erhalten wir (

∂p

∂T

)V

= −

(∂V∂T

)p(

∂V∂p

)T

(4.272)

Mit der Denition der isothermen Kompressibilität

κ = − 1

V

(∂V

∂p

)T

(4.273)

lautet Gleichung (4.272) (∂p

∂T

)V

=α

κ(4.274)


197 4.20 Allgemeine Formel für spezische Wärmen

Damit erhält Gleichung (4.270) die Form

CV = Cp − T ·V ·α2

κ(4.275)

Traditioneller ist die Schreibweise

Cp − CV = TVα2

κ(4.276)

Gleichung (4.276) gilt für beliebige Substanzen. Bei der Herleitung wurden ausserdem ersten Hauptsatz, der implizit in den Maxwellschen Relationen steckt, keineAnnahmen gemacht.Für molare Wärmekapazitäten erhalten wir die Beziehung

cp,mol − cV ,mol = TV

ν

α2

κ= T Vmol

α2

κ(4.277)

wobei ν die Molzahl ist.Die spezischen Wärmekapazitäten cy = Cy/V hängen wie folgt zusammen:

cp − cV = Tα2

κ(4.278)

Beispiel:

Für Kupfer erhalten wir die folgenden Beziehungen

Vmol = 7.1cm3

mol=

7.1 · 10−6m3

mol

α = 5 · 10−5 1

K

κ = 4.5 · 10−13 cm2

dyn= 4.5 · 10−13 · 10−4m2

10−5N= 4.5 · 10−12m

2

N

cp,mol = 24.5J

K mol

Daraus erhält man

cp,mol − cV ,mol = 1.2J

Kmol

γ =cp,molcV ,mol

= 1.05

4.20.1. Volumenabhängigkeit von CV


Materialien



Wärmelehre 198


Lösungsblatt 13 ausgegeben am 09. 07. 2007Hier wollen wir untersuchen, wie CV sich mit dem Volumen ändert. Die Wär-

mekapazität

CV =δQ

dT= T

(∂S

∂T

)V

hängt von der Entropie ab. Wir nehmen an, dass die Entropie eine Funktion derTemperatur und des Volumens sei.

S = S (T,V )

Dann lautet das totale Dierential

dS =

(∂S

∂T

)V

dT +

(∂S

∂V

)T

dV

=1

TCV dT +

(∂p

∂T

)V

dV (4.279)

wobei eine Maxwellrelation verwendet wurde. Diese Gleichung kann weiter umge-formt werden, wenn die Zustandsgleichung bekannt ist.Die Volumenableitung der Wärmekapazität ist(

∂CV∂V

)T

=

(∂

∂V

)T

[T

(∂S

∂T

)V

]= T

∂2S

∂V ∂T

= T

(∂

∂T

)V

(∂S

∂V T

)= T

(∂

∂T

)V

(∂p

∂T

)V

(4.280)

wobei wir wieder eine Maxwellrelation verwendet hatten. Das Resultat ist also(∂CV∂V

)T

= T

(∂2p

∂T 2

)V

(4.281)

Mit der Zustandsgleichung für das ideale Gas p = NkT/V erhält man(∂p

∂T

)V

=Nk

V

und (∂CV∂V

)T

= 0

Die Wärmekapazität des idealen gases hängt also nicht vom Volumen ab. Dies isteinsichtig: es gibt keine Wechselwirkung zwischen den Teilchen, also darf die mitt-lere Distanz zwischen ihnen, gegeben durch das Volumen, keinen Einuss haben!


199 4.21 Anwendung auf das van-der-Waals-Gas

4.20.2. Volumen- und Temperaturabhängigkeit der innerenEnergie

Hier möchten wir wissen, wie die innere Energie U(T,V ) von der Temperatur unddem Volumen abhängt? Wir verwenden Gleichung (4.279) und erhalten

dU = TdS − pdV

=

(CV dT + T

(∂p

∂T

)V

dV

)− pdV

=

(∂U

∂T

)V

dT +

(∂U

∂V

)T

dV (4.282)

Der Vergleich der Vorfaktoren dV und dT ergibt(∂U

∂T

)V

= CV (4.283)(∂U

∂V

)T

= T

(∂p

∂T

)V

− p (4.284)

Wenn wir für das ideale Gas (∂p

∂T

)V

=Nk

V

einsetzen, erhalten wir (∂U

∂V

)T

= 0

4.21. Anwendung auf das van-der-Waals-Gas

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 269])In diesem Abschnitt sollen die Eigenschaften des van-der-Waals-Gases berechnet

werden.

1. Die Teilchen im van-der-Waals-Gas haben ein Eigenvolumen. Sie sind nichtpunktförmig.

2. Zwischen den Teilchen existieren anziehende Kräfte.

Die Berechnung der Zustandsfunktion des van-der-Waals-Gases startet mit derGleichung für den Druck des Gases auf die Wand

p =1

6nv2 · 2mv1 (4.285)

Diese Gleichung wurde in einem vorherigen Kapitel abgeleitet. Wir hatten dabeinicht zwischen den Geschwindigkeiten v1 und v2 unterschieden. Die beiden Ge-schwindigkeiten sind:

v1 Auftregeschwindigkeit der Teilchen auf die Wand


Wärmelehre 200

v2 Ausbreitungsgeschwindigkeit des Impulses

Wenn nun v die mittlere Geschwindigkeit der Moleküle ist, gelten die Beziehun-gen

1. v2 > v. Da die Teilchen ein Volumen haben, springt der Impuls bei jedemStoss um 2r weiter, wobei 2r der Durchmesser eines Moleküls ist.

2. v1 < v. Die gegenseitigen Anziehungskräfte der Moleküle wirken wie dieOberächenspannung bei Flüssigkeiten. Dadurch werden die Moleküle abge-bremst, bevor sie am Rande des Gases mit der Wand zusammenstossen.

4.21.1. Einuss des Eigenvolumens

Abbildung 4.50.: Bei jedem Stoss wird der Impuls um 2r weiter als diemittlere freie Weglänge ` bewegt.

Aus der Abbildung 4.50 entnehmen wir, dass bei einer mittleren freien Weglänge` zwischen zwei Stössen der Impuls sich jeweils um

`′ = `+ 2r

weiter bewegt. Die Geschwindigkeit der Impulsausbreitung ist also

v2 = v`+ 2r

`= v

(1 +

2r

l

)Andererseits ist die mittlere freie Weglänge durch

` =1

σn=

1

π(2r)2n=

1

4πr2n

gegeben, wobei der Durchmesser der Streuquerschnittsäche 2r beträgt. Damitwird

v2 = v(1 + 8πr3n

)(4.286)

Die einzelnen Moleküle werden als Kugeln mit einem Radius r modelliert. IhrVolumen ist dann

VM = 4πr3

3



Damit hängt v2 vom Molekülvolumen ab!

v2 = v (1 + 6VMn) (4.287)

Der Impuls breitet sich nur dann mit der berechnteten Geschwindigkeit v2 aus,wenn wir zentrale lineare Stösse betrachten. Wenn wir schiefe Stösse berücksichti-gen, erhalten wir

v2 = v

(1 +

2

36VMn

)= v (1 + 4VMn) (4.288)

Der Faktor 2/3 stammt von der Mittelung über den ganzen Stossquerschnitt (SieheAnhang I!) Das gemittelte Resultat aus Gleichung (I.2) ist 〈d〉 = 4

3r. Wir hatten

mit d = 2r gerechnet. Der Quotient aus beiden ergibt den Korrekturfaktor 2/3.

4.21.1.1. Einuss der gegenseitigen Anziehung

Wie bei der Oberächenspannung von Flüssiggkeiten heben sich die Anziehungs-kräfte an der Grenzäche zur Wand nicht auf. Es existiert eine nach innen gerich-tete Kraft

F = αn

die proportional zur Teilchzenzahldichte n und einem hier nicht berechneten Faktorα ist. Aus dieser Kraft resultiert die Impulsänderung ∆p

∆p = F · t = Fd

v(4.289)

bei der Annäherung an die Wand, wobei t die Stosszeit und d die Distanz zur zurWand ist. v ist die mittlere Geschwindigkeit der Moleküle. Beim Auftreen an dieWand haben die Moleküle im Mittel die Geschwindigkeit v1

v1 = v − ∆p

m= v − α d n

vm= v

(1− α d n

v2m

)(4.290)

Setzen wir nun v1 und v2 in die Gleichung (4.285) ein, so erhalten wir

p =1

6n v2 · 2m v1

=1

6nv (1 + 4VM n) · 2m v

(1− α d n

v2m

)=

1

3n m v2 (1 + 4n VM)− 1

3αd n2 (4.291)

Wir betrachten nun im Folgenden ein Mol Gas. Die Teilchenzahldichte ist dannn = NA

Vmol. Gleichung (4.291) wird dann

p+1

3

N2Aα d

V 2mol

= p+1

3n2 α d

=1

3nmv2 (1 + 4nVM)

=nmv2

3 (1− 4nVM)(4.292)


Wärmelehre 202

wobei wir die Beziehung 4nVM = 4NAVMVmol 1 verwendet haben. Dies impliziert,

dass wir verdünnte Gase betrachten.Die kinetische Energie eines Mols dieses Gases liefert die Beziehung

1

3nmv2 =

RT

Vmol(4.293)

Wir denieren nun die beiden Koezienten a (beschreibt den Binnendruck) undb (das vierfache Eigenvolumen der Moleküle, auch Kovolumen genannt.) durch

a

V 2mol

=1

3αdn2 (4.294)

b = 4NAVM (4.295)

Mit diesen Denitionen wird Gleichung (4.292)

p+a

V 2mol

=RT

Vmol ·(

1− bVmol

) =RT

Vmol − b(4.296)

Umgestellt erhalten wir die molare van-der-Waals-Gleichung

(p+

a

V 2mol

)(Vmol − b) = RT (4.297)

Beispiel:

Für CO2 sind die beiden Parameter a = 0.36Nm4

mol2und b = 4.3 · 10−5 m3

mol.

0

2

4

6

8

10

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

p [M

Pa]

103Vmol [m

3/mol]

CO2 als van der Waals−Gas

257.25 K260 K273 K280 K290 K300 K310 K

Abbildung 4.51.: Isothermen von CO2



Das pV -Diagramm eines van-der-Waals-Gases ist bei unabhängigem V eindeu-tig. Betrachtet man p als unabhängige Variable, ist die Funktion nicht eindeutig.Zu einem Druck kann es drei verschiedene Volumina geben.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 2 4 6 8 10

10

3V

mo

l [m

3/m

ol]

p [MPa]

CO2 als van der Waals−Gas

p(t,260.0), t

Abbildung 4.52.: V p-Diagramm

Dies bedeutet, dass es zu einem Druck eine dichte Phase und eine verdünntePhase gibt. Die dichtere Phase nennen wir Flüssigkeit, die verdünnte Phase Gas.Das van-der-Waals-Modell sagt also, dass es einen Phasenübergang gibt.

Abbildung 4.53.: Maxwellsche Konstruktion

Die Maxwellsche Konstruktion erlaubt, im Bereich der Mehrdeutigkeit den Zu-stand des Systems festzulegen. Komprimieren wir das System entlang der Iso-therme, so wird bei A die Kurve verlassen. Das System bewegt sich entlang ACE,wobei Flüssigkeit und Gas im Gleichgewicht sind. Danach folgt das System der Iso-therme. Entlang der horizontalen Gerade ACE haben wir eine Koexistenz üssig-gasförmig. Das Volumenverhältnis zwischen Flüssigkeit und Gas wird über dasHebelgesetz berechnet. Am Punkt X ist der Anteil der Flüssigkeit

VüssigVtotal

=AX

AE(4.298)


Wärmelehre 204

Der Gasanteil istVGasVtotal

=XE

AE(4.299)

Die Lage der Gerade wird so festgelegt, dass die Flächen zwischen der Geradenund der Isotherme oberhalb und unterhalb gleich sind.

F1 = F2

Eine Fläche im pV -Diagramm hat die Einheit der Energie. Die Maxwellsche Kon-struktion ist also ein Rezept, wie das Energiegleichgewicht gefunden werden kann.Gibt es keine Kondensationskeime in dem System, ist das System also abso-

lut rein, kann keine Flüssigkeit entstehen. Die Flüssigkeit kondensiert nicht. DieWände des Gefässes können natürlich auch als Kondensationskeime dienen. DieZustände entlang der Isotherme bedeuten:

AB Hier ist der Dampf übersättigt. Das System kann sich nur entlang AB bewe-gen, wenn Kondensationskeime fehlen. In der Nebelkammer wird dies aus-genutzt. Elektronen oder sonstige Teilchen dienen als Kondensationskeime.Die Nebelspur macht sie sichtbar.

DE Hier haben wir eine überhitzte Flüssigkeit, die ohne Kondensationskeime nichtgasförmig werden kann. Wird Wasser in einer Mikrowelle erhitzt, so erhältman in der Regel eine überhitzte Flüssigkeit, die durch Schütteln beim Her-ausnehmen schlagartig verdampfen wird und so schwere Verletzungen her-vorrufen kann.

Bemerkung:Beim van-der-Waals-Gas ist bei tiefen Temperaturen

p (0) < 0

Zur Berechnung der Lage der beiden Extremalpunkte D und B betrachten wirdie Funktion

p = p (V )

Die Extremalpunkte sind durch (∂p

∂Vmol

)T

= 0

gegeben. Setzen wir p aus Gleichung (4.297) ein, erhalten wir

∂

∂Vmol

(RT

Vmol−b− a

V 2mol

)= − RT

(Vmol − b)2 +2a

V 3mol

= 0

Die Extremwerte sind durch

V 3molRT = 2a (Vmol − b)2 (4.300)



Für hohe Temperaturen gibt es keine Maxima und Minima (Siehe Abbildung 4.51).Bei der Isotherme mit der höchsten Temperatur, bei der die ersten Extrema er-scheinen, fallen das Maximum und das Minimum zusammen. Dieser Punkt he-istkritischer Punkt mit dem kritischen Druck pk und dem kritischen MolvolumenVmol, k. Es existiert nur eine solche Isotherme Tk. Dann gilt(

∂2p

∂V 2mol

)= 0 =

2RT

(Vmol − b)3 −6a

V 4mol

Wir erhalten

6a (Vmol − b)3 = 2RTV 4mol (4.301)

Wir teilen nun Gleichung (4.301) durch Gleichung (4.300) , so erhalten wir

3 (Vmol − b) = 2Vmol

Das kritische Molvolumen

Vmol, k = 3b (4.302)

Setzen wir Gleichung (4.302) in Gleichung (4.300) ein, erhalten wir die kritischeTemperatur

27b3RT = 2a · 4b2

und damit

Tk =8a

27Rb(4.303)

Schliesslich können wir den kritischen Druck berechnen.

pk =RTk

(Vmol, k − b)− a

V 2mol, k

=R · 8a

27Rb · 2b− a

9b2=

(4

27− 1

9

)a

b2

Damit ist der kritische Druck

pk =1

27

a

b2(4.304)

Beispiel:

Mit den Werten für CO2 (a = 0.36Nm4

mol2und b = 4.3 · 10−5 m3

mol) bekommen wir

Vmol, k = 1.29× 10−4 m3

molTk = 304.9K

pk = 7.21× 106Pa


Wärmelehre 206

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10

10

3pV

mo

l [J/m

ol]

p [MPa]

Amagat−Diagramm für CO2

257.25 K260 K273 K280 K290 K300 K310 K330 K360 K400 K

Abbildung 4.54.: Amagat-Diagramm oder pV (p)-Diagramm. Dieses Dia-gramm zeigt besonders schön die Abweichung vomVerhalten des idealen Gases. Beim Idealen Gas wä-re pV (p) = nRT eine von der Temperatur abhängigeGerade.

4.21.1.2. van-der-Waals-Zustandsgleichung mit reduzierten Variablen


Materialien


Mit Hilfe des kritischen Punktes kann die van-der-Waals-Gleichung (4.297) um-geschrieben werden. Wir setzen

p′ =p

pk

T ′ =T

Tk

V ′ =VmolVmol, k

und erhalten (p′ +

3

V ′2

)(3V ′ − 1) = 8T ′ (4.305)

Weiter können wir a und b mit den Koordinaten des kritischen Punktes aus-drücken.

8

27

a

R b= Tk =

8a

9RVmol, k= Tk


207 4.22 Joule-Thomson-Eekt

Daraus erhalten wir

a =9R

8Vmol, k ·Tk (4.306)

b =Vmol, k

3(4.307)

Schliesslich bekommen wir

pk =1

27

( ab2

)=

1

27

9R

8

Vmol, k ·Tk9V 2mol, k

=3

8

RTkVmol, k

(4.308)

4.22. Joule-Thomson-Eekt

Abbildung 4.55.: Überströmversuch

Beim Überströmversuch nach Abbildung 4.55 mit einem idealen Gas bleibt dieTemperatur erhalten, da U = U (T ) ist. Erst wenn wir den Versuch mit einemrealen Gas durchführen, erhalten wir eine Temperaturänderung.Auch beim realen Gas bleibt die Gesamtenergie (ein abgeschlossenes System)

erhalten.

U (T2,V2) = U (T1,V1) (4.309)

Bei einem realen Gas ziehen sich die Moleküle jedoch an. Beim Expandierenentfernen sie sich voneinander. Dadurch wird Energie benötigt, um sie der beikleinen Distanzen negativeren potentiellen Energie zu höheren Werten zu bewegen.Diese Energie muss von der kinetischen Energie geliefert werden. Die Molekülebewegen sich langsamer. Damit ist das Gas abgekühlt worden. Die Grösse derAbkühlung ist ein Mass für die Grösse der Anziehungskräfte.Aus der van-der-Waals-Gleichung (4.297) folgt mit

p =RT

Vmol − b− a

V 2mol


Wärmelehre 208

dass (∂p

∂T

)Vmol

=R

Vmol − b(4.310)

Andererseits betrachten wir den ersten Hauptsatz dU = TdS − pdV . Wir teilendurch dV und erhalten (

∂U

∂V

)T

= T

(∂S

∂V

)T

− p

Mit der Maxwellrelation (∂S

∂V

)T

=

(∂p

∂T

)V

bekommen wir (∂U

∂V

)T

= T

(∂p

∂T

)V

− p (4.311)

Wir setzen u = Uνals innere Energie pro Mol und schreiben die Gleichung für

molare Grössen um.(∂u

∂Vmol

)T

= T

(∂p

∂T

)Vmol

− p =RT

Vmol − b− p (4.312)

Wir setzen Gleichung (4.310) ein und erhalten(∂u

∂Vmol

)T

=a

V 2mol

(4.313)

Bei einem idealen Gas wäre a = 0. Damit wäre u unabhängig Vmol.Mit der Gleichung (4.281) bekommen wir(

∂cV ,mol∂Vmol

)T

= T

(∂2p

∂T 2

)= T

∂

∂T

(R

Vmol − b

)= 0 (4.314)

Die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen hängt also nicht vom Vo-lumen ab, sondern nur von der Temperatur

cV ,mol = cV ,mol (T ) (4.315)

Damit kann dass Dierential der molaren inneren Energie wie folgt geschriebenwerden:

du = cV ,mol (T ) dT +a

V 2mol

dVmol (4.316)

Die Dierenz der molaren inneren Energie bekommen wir dann durch Integration

u (T ,Vmol)− u (T0,Vmol, 0)

T∫T0

cV ,mol (T′) dT ′ − a

(1

Vmol− 1

Vmol, 0

)(4.317)



wobei die Integration des zweiten Summanden ausgeführt wurde. Alternativ kanndas Resultat auch so geschrieben werden

u (T ,Vmol) =

T∫T0

cV ,mol (T′) dT ′ − a

Vmol+ const (4.318)

Beim Ausströmprozess kann sich die molare innere Energie nicht ändern, da wirein abgeschlossenes System betrachten.

u (T1,Vmol, 1) = u (T2,Vmol, 2)

Dies ist äquivalent zu

T2∫T0

cV ,mol (T′) dT ′ −

T1∫T0

cV ,mol (T′) dT ′ =

T2∫T1

cV ,mol (T′) dT ′

= a

(1

Vmol, 2− 1

Vmol, 1

)(4.319)

Betrachten wir einen Prozess mit einer kleinen Temperaturänderung T2− T1 T2, so ist die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen konstant.

cV ,mol (T ) = const

Dann sind die Integrale in Gleichung (4.319) lösbar

cV ,mol · (T2 − T1) = a

(1

Vmol, 2− 1

Vmol, 1

)(4.320)

Lösen wir nach der Temperaturdierenz auf, erhalten wir

T2 − T1 =a

cV ,mol

(1

Vmol, 2− 1

Vmol, 1

)(4.321)

Beim Ausströmversuch ist Vmol, 2 > Vmol, 1. Deshalb gilt für alle van-der-Waals-artigen Gase T2 < T1.

Der Überströmversuch sagt aus, wie gut ein Gas das ideale Gas ap-proximiert. Aus der Temperaturerniedrigung kann der Binnendrucka gemessen werden.


Wärmelehre 210

4.22.1. Überströmversuch im Gleichgewicht

Abbildung 4.56.: Modizierter Überströmversuch

Beim Überströmversuch wie im vorherigen Abschnitt beschrieben ist das Gasnicht im Gleichgewicht. Deshalb modizieren wir den Überströmkanal wie in Ab-bildung 4.56 gezeigt. Eine poröse Masse, ein Wattestopfen beispielsweise, ermög-licht, dass das Gas während dem gesamten Expansionsprozess im Gleichgewichtist. Das Gas leistet Arbeit an dem Stopfen.

Abbildung 4.57.: Bewegung der Masse M durch die poröse Membran

Abbildung 4.57 wird verwendet, um die Thermodynamik des Ausströmens imGleichgewicht zu berechnen. Die Änderung der Energie ist

∆U = U (T2,p2)− U (T1,p1) = U2 − U1 (4.322)

Die folgenden Energieaustausche passieren:Die mechanische Arbeit ist

W = p1V1 − p2V2

Wärme wird keine ausgetauscht, da wir isolierte Gefässe annehmen

Q = 0



Die gesamte Änderung der inneren Energie ist dann

∆U = W +Q = W

Damit wird Gleichung (4.322)

(U2 − U1) = p1V1 − p2V2 (4.323)

nachdem die Grössen vorher und nachher sortiert wurden, sieht man, dass gilt

U2 + p2V2 = U1 + p1V1 = H1 = H2 (4.324)

Beim Überströmversuch mit einem porösen Stopfen bleibt die Ent-halpie H erhalten.

Als Gleichung geschrieben, bedeutet dies

H (T2,p2) = H (T1,p1) (4.325)

Für ein ideales Gas können wir mit der Zustandsgleichung schreiben

H = U + pV = U (T ) + νRT = H (T ) (4.326)

Da die innere Energie U eine mit der Temperatur monoton zunehmende Funktionist, folgt aus der Konstanz der Enthalpie H1 = H2 sofort

T1 = T2

Das allgemeine Dierential der Enthalpie ist

dH = TdS + V dp = 0 (4.327)

Wenn wir die Gleichung für das totale Dierential der Enthalpie mit p und T alsunabhängigen variablen aufschreiben erhalten wir

0 = dH = T

[(∂S

∂T

)p

dT +

(∂S

∂p

)T

dp

]+ V dp

0 = CpdT +

[T

(∂S

∂p

)T

+ V

]dp (4.328)

Dabei haben wir die Denition von Cp = T(∂S∂T

)pund das totale Dierential von

dS mit T und p als unabhängigen Variablen eingesetzt.Beim Joule-Thomson-Eekt ist die Enthalpie konstant. Die Änderung der Tem-

peratur mit dem Druck ist dann gegeben durch

(∂T

∂p

)H

= µ = −T(∂S∂p

)T

+ V

Cp(4.329)


Wärmelehre 212

µ ist der Joule-Thomson-Koezient . Seine Einheit ist

[µ] =K

Pa=m2K

N

Mit der Denition des Volumenausdehnungskoezienten und einer Maxwellre-lation erhalten wir (

∂S

∂p

)T

= −(∂V

∂T

)p

= −V α (4.330)

Wir setzen ein und verwenden die spezische Wärmekapazität cp

µ =V

Cp(Tα− 1) =

Tα− 1

cp(4.331)

Für ideale Gase gilt α = 1T.

Für ideale Gase ist der Joule-Thomson-Koezient

µ = 0

Bei realen Gasen kann µ sowohl positiv wie negativ sein.

α > 1T

Wir haben µ > 0. Das Gas kühlt sich ab.

α < 1T

Wir haben µ < 0. Das Gas erwärmt sich.

Die Kurve α(T,p) = 1Theisst Inversionskurve.

Abbildung 4.58.: Kurven konstanter Enthalpie H (skizziert nach den Wer-ten vonN2. Die Inversionskurve ist schwarz eingezeichnet



Die maximale Temperatur, bei der µ = 0 ist, heisst Inversionstemperatur Ti.

Gas TiHe 34KH2 202KN2 625K

Tabelle 4.17.: Tabelle einiger Inversionstemperaturen Ti

4.22.1.1. Inversionstemperatur für van der Waals -Gase

Die molare Enthalpie h von van-der-Waals-Gasen ist

h = u+ pVmol

=f

2RT +

a

Vmol+ Vmol ·

(RT

Vmol − b− a

V 2mol

)= RT

(f

2+

VmolVmol − b

)− 2a

V −mol(4.332)

Da die Enthalpie konstant ist, berechnen wir

dh = 0 =

(∂h

∂Vmol

)T

dVmol +

(∂h

∂T

)Vmol

dT (4.333)

Die beiden partiellen Ableitungen können mit Gleichung (4.332) berechnet werden.(∂h

∂Vmol

)T

= − R T b

(Vmol − b)2 +2a

V 2mol

(4.334)(∂h

∂T

)Vmol

= R

(f

2+

VmolVmol − b

)(4.335)

Dabei haben wir

∂

∂Vmol

VmolVmol − b

=1

Vmol − b− Vmol

(Vmol − b)2 =Vmol − b− Vmol

(Vmol − b)2 = − b

(Vmol − b)2

verwendet. Aus Gleichung (4.333) erhalten wir

dT = −dVmol∂h

∂Vmol

∂h∂T

=

T b(Vmol−b)2

− 2aRV 2

mol

f2

+ VmolVmol−b

dVmol (4.336)

Wir erhalten in Gleichung (4.336) einen Vorzeichenwechsel, wenn

T b

(Vmol − b)2 −2a

RV 2mol


Wärmelehre 214

Wenn nun Vmol b ist, wenn also das Molvolumen viel grösser ist als das auf dasMol bezogene Eigenvolumen, können wir vereinfachen.

0 ≈ Tib

V 2mol

− 2a

RV 2mol

Damit wird die Inversionstemperatur

Ti =2a

Rb(4.337)

Wir hatten für das van-der-Waals-Gas die kritische Temperatur Tk = 8a27Rb

aus-gerechnet. Sie hing, wie die Inversionstemperatur Ti nur von a und b ab. Also sindTi und Tk voneinander abhängig.

Ti =27

4Tk = 6.75 Tk (4.338)

4.22.2. Anwendung des Joule-Thomson-Eektes

Abbildung 4.59.: Luftverüssigung nach dem Linde-Verfahren

Gase werden in der Regel mit dem Linde-Verfahren verüssigt (siehe Abbildung4.59). Beim Linde-Verfahren wird Gas durch einen Kompressor durch eine poröseAusströmdüse gedrückt. ist die Anfangstemperatur unter der Inversionstempera-tur Ti, wird das Gas bei der Expansion abgekühlt. Um den Prozess ezienter zumachen, wird das einströmende Gas durch einen Gegenstromkühler vorgekühlt.Ist das Gas genügend vorgekühlt, wird bei der Expansion die Temperatur so starkabgesenkt, dass das Gas verüssigt wird. Sticksto (N2) hat eine Inversionstem-peratur von 625K und kann also mit dem Linde-verfahren direkt ohne weitereHilfsmittel verüssigt werden. Wassersto (H2 hat eine Inversionstemperatur, dieunterhalb der Raumtemperatur liegt. Wassersto muss zum Beispiel mit üssigerLuft vorgekühlt werden.



Helium mit einer Inversionstemperatur von 34K müsste mit H2 vorgekühlt wer-den, damit es im Linde-Verfahren durch den Joule-Thomson-Eekt verüssigt wer-den kann. Dieses Verfahren wird nicht verwendet, da es zwar physikalisch möglich,aber viel zu gefährlich ist. Wie verüssigt man also He? man entzieht dem Heinnere Energie, indem man es in einer Turbine Arbeit leisten lässt!

4.22.2.1. Betrachtung mit Viralkoezienten

Wir haben bis jetzt die Zustandsgleichung des idealen Gases

p = nkT

gesehen (n ist die Teilchendichte) sowie die Zustandsgleichung des van-der-Waals-Gases

p =nkT

1− nbNA

− an2

N2A

(4.339)

Beide Zustandsgleichungen, sowohl die des idealen Gases wie auch die des van-der-Waals-Gases, sind Näherungen. Wir können die Zustandsgleichung eines realenGases beliebig genau annähern, indem wir p als Taylorreihe schreiben.

p = kT[n+B2 (T )n2 +B3 (T )n3 + . . .

](4.340)

Die Koezienten Bi heissen Virialkoezienten. Die Virialkoezienten Bi beschrei-ben die intermolekularen Kräfte und die Wirkung des Eigenvolumens der Teilchen.Je mehr Virialkoezienten berücksichtigt werden, desto genauer wird die Beschrei-bung des Zustandes des Gases.Wir können die Virialkoezienten des van-der-Waals-Gases bestimmen, indem

wir Gleichung (4.339) in eine Potenzreihe (Taylorreihe) entwickeln.

p = nkT +

(kTb

NA

− a

N2A

)n2 + kT

∞∑j=3

bj−1

N j−1A

nj (4.341)

Virialkoezient ideales Gas van-der-Waals-Gas reales GasB2(T ) 0 kTb

NA− a

N2A

B2(T )

B3(T ) 0 kT b2

N2A

B3(T )

B4(T ) 0 kT b3

N3A

B4(T )...

......

...Bj(T ) 0 kT bj−1

Nj−1A

Bj(T )

......

......

Tabelle 4.18.: Vergleich der Virialkoezienten des idealen Gases, des van-der-Waals-Gases und eines realen Gases

Der Virialkoezient B2(T ) des van-der-Waals-Gases hängt von der Temperatur


Wärmelehre 216

ab, die höheren Virialkoezienten nicht. Beim idealen gas sind alle Virialkoezi-enten identisch null.


Materialien


Wir erhalten die erste Näherung der Zustandsfunktion eines realen Gases, wennwir nur den Virialkoezienten B2(T ) berücksichtigen.

p =N

VkT

(1 +

N

VB2(T )

)(4.342)

Da die langreichweitigen Kräfte zwischen den Molekülen attraktiv sind, ist derDruck des verdünnten realen Gases immer kleiner als der Druck des idealen Gases.Aus Gleichung (4.342) folgt dann sofort in der ersten Näherung, dass

B2(T ) < 0 (4.343)

Bei sehr hoher Teilchendichte kommt der abstossende Teil der Wechselwirkungs-kräfte zum Tragen. Dann ist der Druck des realen Gases höher als der des idealenGases. Wir haben also bei sehr hohen Drucken

B2(T ) > 0 (4.344)

Da der Druck eines Gases erhöht werden kann, indem man es aufheizt, muss B2 (T )mit der Temperatur T zunehmen.

Abbildung 4.60.: Temperaturverlauf des Virialkoezienten B2(T )

Wenn, was die Regel ist, NVB2(T ) 1 kann N

Vdurch p

kTersetzt werden (Annah-

me des idealen Gases). Wir erhalten

p =NkT

V

(1 +

p

kTB2(T )

)=N

V(kT + pB2(T )) (4.345)


217 4.23 Aggregatszustände

oder

V = N

(kT

p+B2(T )

)(4.346)

Damit können wir aus der ersten Näherung der Zustandsgleichung des realen Ga-ses den Joule-Thomson-Koezienten berechnen. Aus der Denition von µ (Glei-chung (4.331) ) und aus der Denition des Volumenausdehnungskoezienten α =1V

(∂V∂T

)perhalten wir

µ =V

Cp

(T

V

(∂V

∂T

)p

− 1

)=

1

Cp

(T

(∂V

∂T

)p

− V

)

und damit

µ =1

Cp

(TNk

p+NT

∂B2(T )

∂T− NkT

p−NB2(T )

)

µ =N

Cp

(T∂B2(T )

∂T−B2(T )

)(4.347)

Da aber B2(T ) mit der Temperatur zunimmt, ist auch

∂B2(T )

∂T> 0

und damit

T∂B2(T )

∂T> 0

Bei tiefen Temperaturen, bei denen die Anziehungskräfte zwischen den Molekülendominieren, ist B2(T ) < 0. Dann ist aber µ > 0. Gase werden durch den Joule-Thomson-Eekt abgekühlt. Die Inversionskurve ist durch µ = 0 gegeben.

T∂B2(T )

∂T= B2(T ) (4.348)

Die Inversionskurve beruht auf dem Wechselspiel von Anziehung der Moleküle beitiefen Temperaturen und deren gegenseitiger Abstossung bei hohen Temperaturen.

4.23. Aggregatszustände

Aus der Gleichung für das van der Waals-Gas folgt, dass es einen Koexistenzbereichvon Flüssigkeit und Gas gibt.

Gas und Flüssigkeit heissen Phasen.

Wenn die Moleküle sich wie ein Gas verhalten, ist dies der gasförmige Aggre-gatszustand . Die van der Waals-Gleichung gibt eine makroskopische Erklärung derPhasen. Wie könnte eine mikroskopische Erklärung aussehen?


Wärmelehre 218

Abbildung 4.61.: Oberächenspannung und potentielle Energie

Die Oberächenspannung bewirkt eine von der Oberäche nach innen gerichteteKraft, die dann zu einer potentiellen Energie führt

∆Epot = −s1∫s0

F (s) · ds

Welche Moleküle haben genügend Energie W zum Verlassen der Flüssigkeit?Um diese Frage zu beantworten, muss die Energieverteilung der Moleküle in derFlüssigkeit betrachtet werden. Die hohen Energien sind auf jeden Fall Boltzmann-verteilt.

pD = b e−EkT (4.349)

Diese Gleichung beschreibt den Dampfdruck pD.W ist die Verdampfungsenergiepro Molekül.

1000/T

1 2 3 4 5 6

p

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

1010

1011

SchmelzenVerdampfen Sublimation

Eis

Wasser

DampfTripelpunkt

kritischer Punkt

Abbildung 4.62.: Zustandsdiagramm von Wasser



In diesem Diagramm gibt es zwei ausgezeichnete Temperaturen, den kritischenPunkt mit der kritischen Temperatur Tk und den Tripelpunkt mit der TemperaturTTr.

Bemerkung:

Die Existenz des kritischen Punktes kann verwendet werden, um fragile Objektedurch Umrunden von Tk aus der Flüssigkeit zu entfernt. Auf diese Weise wirdFlüssigkeit zu Gas, ohne zu verdampfen.

4.23.1. Verdampfungsenergie und Steigung derDampfdruckkurve

Um die Steigung der Dampfdruckkurve zu verstehen, betrachten wir eine Carnot-Maschine, di mit einer verdampfenden (oder kondensierenden ) Flüssigkeit arbei-tet.

Abbildung 4.63.: Carnot-Prozess mit verdampfender Flüssigkeit

Der Prozess läuft folgendermassen ab

1→ 2 Die Flüssigkeit verdampft isobar und isotherm2→ 3 Der Dampf expandiert adiabatisch3→ 4 Der Dampf kondensiert isobar und isotherm4→ 1 Die Flüssigkeit wird erwärmt

Wenn dT genügend klein ist sind die Prozesse 1→ 4 und 2→ 3 isochor.

Diese Carnot-Maschine leistet die mechanische Arbeit

∆W3→4 = p (VD − VFl)∆W1→2 = − (p+ dp) (VD − Vfl)

∆W = −dp (VD − Vfl) (4.350)


Wärmelehre 220

Der Wirkungsgrad wird damit

η =−∆W

∆Q=vD − vfl

λdp

=(T + dT )− T

(T + dT )≈dTT

(4.351)

Hier ist λ die spezische Verdampfungsenergie (Energie pro Masse). Ebensosind vD = VD/mD und vfl = Vfl/mfl die spezischen Volumina. Der Wirkungs-grad dieser Carnot-Maschine aus Gleichung (4.351) ist der gleiche wie für dieklassischen Carnot-Prozesse. Durch Umstellen von Gleichung (4.351) erhalten wirdie Clausius-Clapeyron-Gleichung .

Die Clausius-Clapeyron-Gleichung gibt die spezische Verdamp-fungswärme an.

λ =∂p

∂T·T (vD − vfl) (4.352)

Die Einheit der spezischen Verdampfungswärme ist

[λ] =J

kg

4.23.2. Arrhenius-Darstellung

Wir möchten den Dampfdruck pD als Funktion der Temperatur berechnen. Wirbetrachten den Fall, dass das spezische Volumen der Flüssigkeitviel kleiner alsdas spezische Volumen des Gases ist, also vfl vGas = vD. Diese Ungleichung istmeistens sehr gut erfüllt (bei Wasser ist vGas = 1244 vfl. Dann kann in der Clausius-Clapeyron-Gleichung (4.352) vD− vfl ≈ vD gesetzt werden. Wir schreiben für dieideale Gasgleichung

pV = pmvD = ν RT

Mit der Molmasse M = m/ν bekommen wir

pMvD = RT

und, umgestellt,

vD =RT

M p

Eingesetzt in die Clausius-Clapeyron-Gleichung (4.352) erhalten wir

λ ≈ ∂p

∂TT vD = T

dp

dT

RT

M p=RT 2

pM

dp

dT(4.353)



Wir separieren T und p und erhalten

dp

p=λM

RT 2dT (4.354)

Nach Ausführen der Integration ndet man

ln p = −λMRT

(4.355)

oder

p = p0 e−λMRT (4.356)

Der Druck hängt also exponentiell von der inversen Temperatur ab. Eine Dar-stellung von ln pD gegen 1/T ermöglicht die Bestimmung der Steigung −λM/Rund damit der spezischen Verdampfungswärme λ. Abbildung 4.64 zeigt einigeDampfdruckkurven in der Arrhenius-Darstellung.

1e−006

0.0001

0.01

1

100

10000

1e+006

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p [P

a]

1000/T [1/K]

Arrhenius−Darstellung

C2H4C5H12C6H14C8H18C28H58HgAlH2O

Abbildung 4.64.: Arrhenius-Darstellung des Dampfdrucks verschiedenerSubstanzen (nach [Wea80, D-195]

4.23.3. Koexistenz von Festkörper und Flüssigkeit

Der Übergang vom Festkörper zur Flüssigkeit heisst Schmelzen. Der umgekehrteVorgang wird Erstarren oder, bei Wasser, Gefrieren, genannt.Für die Schmelzwärme gilt eine zur Clausius-Clapeyron-Gleichung analoge Glei-

chung

λ′ = Tdp

dT(vfl − vfest) (4.357)


Wärmelehre 222

Die Einheit der spezischen Schmelzwärme λ′ ist

[λ′] =J

kg

Wenn vfest < vfl ist, dann ist λ′ > 0. Dies bedeutet, dass unter Druck dieMaterie bevorzugt in der festen Phase ist. Bei Wasser ist die Situation umgekehrt(vfest > vfl). Damit schmilzt Eis bei hohem Druck. Durch diesen Eekt werdenGletscher und Schlittschuhe geschmiert.

4.23.4. Phasenregel von Gibbs

Wir betrachten ein System mit einer Teilchensorte (eine Komponente). Für diesesSystem nden wir die folgende Anzahl von Freiheitsgraden:

1 Phase ⇒ 2 Freiheitsgrade p (T,V )2 Phasen ⇒ Schmelz-(Dampf-)druckkurve ⇒ 1 Freiheitsgrad p (T ) V (T )3 Phasen ⇒ 0 Freiheitsgrade pTp, TTp, VTpJe mehr Phasen wir also haben, desto bestimmter ist das System. Bei einer

Komponente und drei Phasen gibt es keine Freiheitsgrade mehr. Die GibbschePhasenregel gibt eine Beziehung für die Anzahl Freiheitsgrade f , wenn das Systemaus k Komponenten mit p Phasen besteht.

Die Gibbsche Phasenregel lautet

f = k + 2− p

wobei k die Anzahl Stoe, p die Anzahl Phasen und f die AnzahlFreiheitsgrade sind.

Aus der Gibbschen Phasenregel folgt, dass der Tripelpunkt von Wasser eindeutigdeniert ist.

Die Kelvin-Skala ist durch den Tripelpunkt von Wasser TTpH20=

273.16K deniert.

4.24. Mehrstosysteme, Lösungen

4.24.1. Mischung von idealen Gasen

Bei idealen Gasen erfüllen die Teilchensorten das Volumen so, wie wenn sie es allei-ne ausfüllen würden. Bei idealen Gasen existieren keine langreichweitigen Kräfte.


223 4.24 Mehrstosysteme, Lösungen

Die Stösse zwischen den unterschiedlichen Molekülsorten gleichen die Tempera-tur aus, so dass alle Molekülsorten die gleiche Temperatur haben. Für die i-teTeilchensorte können wir also schreiben:

piV = NikT = νiRT (4.358)

Der Gesamtdruck ist die Summe der Einzeldrucke (Daltonsches Ge-setz )

p =∑i

pi (4.359)

Mit dem Daltonschen Gesetz (Gleichung (4.359) ) lautet dann die Zustandsglei-chung für Mischungen des idealen Gases

pV = NkT =∑i

(NikT ) (4.360)

Die innere Energie dieses Gemisches ist

U =∑i

νiui =∑i

Niui (4.361)

wobeiui = cV ,mol, iT

die innere Energie pro mol der Sorte i und

ui = cV , iT =cV ,mol, iNA

T

die mittlere innere Energie pro Molekül der Sorte i ist.

4.24.1.1. Wärmekapazitäten von Gemischen aus idealen Gasen

Die verschiedenen Molekülsorten des Gasgemisches nehmen den gleichen Raumein. Die Moleküle wechselwirken, ausser bei Stössen, nicht miteinander. Deshalbsind die resultierenden Wärmekapazitäten die Summe aus den Wärmekapazitätender einzelnen Teilsysteme, unabhängig davon ob V oder p konstant gehalten wird.

CV =∑i

νicV ,mol, i =∑i

Ni

NA

cV ,mol, i (4.362)

Cp =∑i

νicp,mol, i =∑i

Ni

NA

cp,mol, i (4.363)

Dabei ist, bei genügend hohen Temperaturen

Cp − CV = νR


Wärmelehre 224

oder ∑i

νicp,mol, i −∑i

νicV ,mol, i =∑i

νiR (4.364)

Da Gleichung (4.364) für alle Kombinationen von νi gelten muss, muss für jedeeinzelne Teilsorte des Gemisches

cp,mol, i − cV ,mol, i = R (4.365)

gelten.Bei Gemischen haben wir für die obigen Betrachtungen angenommen, dass jede

Molekülsorte das ganze Volumen V einnimmt, dass aber ihr Partialdruck pi einSummand des Gesamtdruckes ist. Ebenso gültig ist die Betrachtung, dass jede Mo-lekülsorte das Teilvolumen Vi einnimmt, dass nun aber der Druck der Molekülsortegleich dem Gesamtdruck p ist.

Vi = V · pip

(4.366)

4.24.2. Reversible Entmischung

Abbildung 4.65.: Reversible Entmischung mit teildurchlässigen Membra-nen

Wir betrachten als Gedankenexperiment das Teilsystem aus der Abbildung 4.65.Die beiden Volumina V1 und V2 sollen gegeneinander verschiebbar sein. Die Mem-brane (Wand) H1, die das Volumen V1 nach rechts abschliesst, soll für die Mo-lekülsorte 2 durchlässig, für die Sorte 1 aber undurchlässig sein. Ebenso soll dieMembrane H2 für die Molekülsorte 1 durchlässig und für die Sorte 2 undurchlässigsein. Solche halbdurchlässigen Membranen existieren, zum Beispiel in Zellen. Hierwollen wir annehmen, dass die Membranen für die Molekülsorte, für die sie durch-lässig ist, wie nicht-existent sein soll. Die beiden Membranen H1 und H2 bewirkenalso, dass sich im Überschneidungsgenbiet der beiden Volumina V1 und V2 beideMolekülsorten benden.Wenn man die beiden Volumina auseinander bewegt, so erzwingen die halb-

durchlässigen Membranen, dass die Molekülsorten 1 und 2 getrennt werden. Wirwollen nun die beiden Zylinder von aussen um dx auseinander bewegen. Dabei soll



der Zylinder 1 ruhend sein.

Wand Druck Weg ArbeitH2 p2 −dx dW1 = −Ap2 dxG2 p2 dx dW2 = Ap2 dxH1 p1 0 dW3 = 0G1 p1 0 dW1 = 0

Tabelle 4.19.: Arbeit bei der reversiblen Entmischung

Die gesamte mechanische Arbeitsleistung ist dabei

dW = dW1 + dW2 + dW3 + dW4 = 0

Die Entmischung benötigt also keine Energiezufuhr. Die innere Energie unseresabgeschlossenen, isolierten Gesamtsystems ändert sich nicht. Deshalb kann sichdas System nie aus dem Gleichgewicht entfernen. Die Entmischung (und damitauch die Mischung) verlaufen reversibel. Für die Entropie gilt andererseits

S = S1 + S2

S(T ,V ) = S1(T ,V ) + S2(T ,V ) (4.367)

S(T , p) = S1(T , p) + S2(T , p) (4.368)

Bei m Komponenten jeweils mit der Molzahl νi ist die Gesamtentropie

S (T , p, ν1, ν2, . . . , νm) =m∑i=1

νisi (T , pi) (4.369)

wobei si die Entropie pro mol der Komponente i ist.

4.24.3. Entropiezunahme und Diusion


Materialien


Wir betrachten m Komponenten mit den Molzahlen νi und der TemperaturT , die getrennt sein sollen. Der Druck jeder Komponente i wird durch isothermeKompression auf den gewünschten Druck des Gesamtsystems, p, gebracht. Die


Wärmelehre 226

jeweiligen Teilvolumina sind dann Vi. Die Gesamtentropie S0 der m getrenntenTeilsysteme ist einfach die Summe der Teilentropien.

S0 =m∑i=1

νisi(T , p) (4.370)

(alle Teilsysteme haben die gleiche Temperatur und den gleichen Druck!) Wirbringen nun die Teilsysteme zusammen und entfernen die Trennwände. Da derDruck und die Temperatur in jedem Teilsystem gleich sein sollen, bewirkt dieEntfernung der Trennwände eine Durchmischung der Teilkomponenten, ohne dassaber bei diesen idealen Gasen die Temperatur oder der Druck sich ändert. Dasneue Volumen ist V =

∑Vi. Die Teilkomponenten haben nun im Volumen V den

Partialdruck pi. Die Entropieänderung durch die Diusion ist

S − S0 =m∑i=1

νi si (T , pi)− si (T , p) (4.371)

Aus unseren früheren Überlegungen mit dem Überströmen eines Gases aus einemKompartiment in zwei wissen wir, dass

si (T , pi)− si (T , p) = R ln

(V

Vi

)= R ln

(VmolVmol, i

)= R ln

(p

pi

)(4.372)

ist. Gleichung (4.371) kann mit den Partialdrucken pi als

S − S0 = Rm∑i=1

νi ln

(p

pi

)(4.373)

geschrieben werden. Aus Gleichung (4.373) folgt sofort, dass bei der Mischungdie Entropie steigen muss, da aus p > pi folgt dass ln(p/pi) > 0 ist und damitS − S0 > 0.

Die Diusion ist ein irreversibler Prozess!

Die Verhältnisse des Gesamtdrucks zu den Partialdrucken sind proportional zuden Verhältnissen der Gesamtteilchenzahl zu den Teilchenzahlen der Teilkompo-nenten

p

pi=N

Ni

=ν

νi

Damit ist die Entropiezunahme bei der diusiven Mischung von m Teilchenzah-len

S − S0 = R

m∑i=1

νi ln

(ν

νi

)= R

[ν ln ν −

m∑i=1

νi ln νi

](4.374)



Die Grösse

S − S0 = R

[ν ln ν −

m∑i=1

νi ln νi

](4.375)

ist die Mischungsentropie bei der Mischung von m Molekülsorten.Sie ist unabhängig vom der Art der zu mischenden Moleküle.

Wenn wir nun zwei Volumina voll mit gleichartigen Molekülen mischen, müsstenatürlich

S − S0 = 0

sein. Dazu müssen wir einen Grenzübergang betrachten,d er zwei unterschiedli-che Molekülsorten kontinuierlich zu einer Sorte macht. Dieser Grenzübergang istoensichtlich nicht machbar und unsinnig (Gibbsches Paradoxon).Aus der Unmöglichkeit des kontinuierlichen Übergangs muss man schliessen,

dass Atome nur in diskreten Zuständen vorkommen können.

Beispiel:

Edelgase als beste Approximationen des idealen Gases zeigen die Mischungsen-tropie. Sogar Orthowassersto und Parawassersto (zwei Spinzustände) sind nichtohne Entropiezunahme mischbar.

4.24.4. Entropie bei Mehrstosystemen

Bei Systemen mit mehreren Molekülesorten sind die Anzahlen Ni thermodyna-mische Zustandsgrössen. Wir hatten früher die Entropie als Funktion der innerenEnergie und des Volumens betrachtet:

S = S (U ,V )

Nun müssen die Entropie als Funktion von innerer Energie, Volumen und m Teil-chenzahlen betrachten.

S = S (U ,V ,N1 . . . Nm) (4.376)

Wir nehmen zuerst an, dass alle Ni konstant sind. Dies ist gleichbedeutend, dasskeine chemischen und kernphysikalischen Reaktionen vorkommen. Das Dierentialder Entropie war durch

dS =δQ

T=dU + pdV

T(4.377)

gegeben. Die partiellen Ableitungen der Entropie sind dann(∂S

∂U

)V ,N

=1

T(∂S

∂V

)U ,N

=p

T(4.378)


Wärmelehre 228

Die Indizes bei der partiellen Dierentiation heissen, dass die betreenden Va-riablen konstant sind. Wir vereinbaren, dass der Index N bedeutet, dass alle Ni

konstant sind.Unsere Diskussion der verallgemeinerten Kräfte legt nahe, dass zur extensiven

Grösse Ni eine intensive Grösse µi gehören muss. Wir denieren

µi = −T(∂S

∂Ni

)U ,V ,N

(4.379)

Hier bedeutet der Index N bei der Dierentiation, dass alle Nj mit j 6= i konstantgehalten werden.

µi ist das chemische Potential pro Molekül. Seine Einheit ist [µ] =J .

Das vollständige Dierential der Entropie ist also

dS =1

TdU +

p

TdV −

∑ µiTdNi (4.380)

Je nachdem, welche Randbedingungen wir für das thermodynamische System ver-wenden, müssen wir das dazugehörige thermodynamische Potential verwenden.Daraus folgt

µi =

(∂U

∂Ni

)S,V ,N

=

(∂F

∂Ni

)T ,V ,N

=

(∂H

∂Ni

)S, p,N

=

(∂G

∂Ni

)T , p,N

(4.381)

Alle thermodynamischen Potentiale sind extensive Grössen. Zum Beispiel giltfür die freie Enthalpie G = G (T , p,N) bei nur einer Substanz

G (T , p,N) = Ng′ (T , p) (4.382)

wobei g′ die freie Enthalpie pro Teilchen ist. Wir können aber auch schreiben

µ1 =

(∂G

∂N1

)T , p

= g′ (T , p) (4.383)

Das chemische Potential µ ist die freie Enthalpie pro Teilchen oderdie freie Enthalpie pro Molekül.



Achtung: Bei mehreren Komponenten ist das chemische Potentialnicht die freie Enthalpie pro Teilchen!

µi =

(∂G

∂Ni

)p,T ,N

6= G

Ni(4.384)

Aus der Denition der inneren Energie

U = TS − pV +m∑i=1

µiNi

bekommen wir ganz allgemein das totale Dierential

dU = TdS + SdT − pdV − V dp+m∑i=1

µidNi +m∑i=1

Nidµi (4.385)

Andererseits wissen wir, dass U(S,V ,Ni) ist. Das Dierential kann nur mit denfreien Variablen gebildet werden.

dU = TdS − pdV +m∑i=1

µidNi

Deshalb muss die Summe der in Gleichung (4.385) für das totale Dierential derinneren Energie nicht verwendeten Summanden identisch null sein. Dies führt aufdie Gibbs-Duhem-Gleichung .

SdT − V dp+m∑i=1

Nidµi = 0 (4.386)

Gibbs-Duhem-Gleichung

4.24.5. Chemische Potentiale und weitere Maxwellrelationen

(Siehe Sommerfeld, Thermodynamik und Statistik [Som77, pp. 71-77])Für den Fall, dass neben den intensiven Grössen Druck p und Temperatur T

und den dazu gehörigen extensiven Grössen innere Energie U und Volumen Vweitere extensive Grössen xi mit den dazu gehörigen verallgemeinerten Kräften


Wärmelehre 230

Xi vorhanden sind, kann man den ersten und zweiten Hauptsatz zusammenfassen.Die Grössen xi sind allgemein. Die Teilchenzahl Ni ist nur ein Beispiel.

TdS = dU + pdV +m∑i=1

Xi dxi (4.387)

Bei variablen Teilchenzahlen ist xi = Ni und die dazugehörigen verallgemeiner-ten Kräfte Xi = −µi. Wir haben also

TdS = dU + pdV −m∑i=1

µidNi

dU = TdS − pdV +m∑i=1

µidNi (4.388)

Analog bekommen wir

dH = dU + d(pV ) = TdS + V dp+m∑i=1

µidNi (4.389)

dF = dU − d(TS) = −SdT − pdV +m∑i=1

µidNi (4.390)

dG = dU + d(pV )− d(TS) = −SdT + V dp+m∑i=1

µidNi (4.391)

Daraus bekommen wir durch Ableiten

µi =

(∂U

∂Ni

)S,V ,Nj 6=i

(4.392)

µi =

(∂H

∂Ni

)S, p,Nj 6=i

(4.393)

µi =

(∂F

∂Ni

)T ,V ,Nj 6=i

(4.394)

µi =

(∂G

∂Ni

)T , p,Nj 6=i

(4.395)

Analog zu früher können wir weiter Maxwellrelationen aus den zweiten Ablei-tungen bestimmen. Betrachten wir G.

dG =

(∂G

∂T

)p,Nj

dT +

(∂G

∂p

)T ,Nj

dp+m∑i=1

(∂G

∂Ni

)T , p,Nj 6=i

dNi

= −SdT + V dp+m∑i=1

µidNi (4.396)



Daraus ergibt sich zum Beispiel

S = −(∂G

∂T

)p,Nj

(4.397)

µi =

(∂G

∂Ni

)T , p,Nj 6=i

(4.398)

Die zweiten Ableitungen müssen von der Reihenfolge unabhängig sein, also

∂2G

∂T∂Ni

=∂2G

∂Ni∂T(∂

∂T

(∂G

∂Ni

)T , p,Nj 6=i

)p,Nj

=

(∂

∂Ni

(∂G

∂T

)p,Nj

)T , p,Nj 6=i(

∂µi∂T

)p,Nj

= −(∂S

∂Ni

)T , p,Nj 6=i

(4.399)

4.24.6. Zweiphasensystem als Zweikomponentensystem

Wir betrachten nun ein Zweiphasensystem als ein System aus zwei KomponentenN1 und N2. Zum Beispiel könnte N1 die Anzahl Teilchen von CO2 in der Gasphaseund N2 die Anzahl der CO2-Teilchen in der Flüssigphase sein.

Abbildung 4.66.: Zweiphasensystem als System zweier Komponenten

Es gilt:

U1 + U2 = U = const.

V1 + V2 = V = const.

N1 +N2 = N = const. (4.400)

wobei die Grössen der Teilphasen nicht konstant sind!Weiterhin muss die Entropie

S = S (U1,V1,N1;U2,V2,N2) = max = S1 (U1,V1,N1) + S2 (U2,V2,N2) (4.401)


Wärmelehre 232

maximal seindS = dS1 + dS2 = 0 (4.402)

Aus Gleichung (4.400) folgt aber auch

dU1 + dU2 = 0 dV1 + dV2 = 0 dN1 + dN2 = 0 (4.403)

Wir führen die Dierentiation aus und erhalten

dS =

(1

T1

dU1 +p1

T1

dV1 −µ1

T1

dN1

)+

(1

T2

dU2 +p2

T2

dV2 −µ2

T2

dN2

)= 0

=

(1

T1

− 1

T2

)dU1 +

(p1

T1

− p2

T2

)dV1 −

(µ1

T1

− µ2

T2

)dN1 (4.404)

Wie immer müssen die Vorfaktoren der einzelnen Dierentiale einzeln verschwin-den. Daraus folgt

1

T1

− 1

T2

= 0 ⇒ T1 = T2

p1

T1

− p2

T2

= 0 ⇒ p1 = p2

µ1

T1

− µ2

T2

= 0 ⇒ µ1 = µ2 (4.405)

Wir kommen also zur Aussage:

Im Phasengleichgewicht sind Temperatur, Druck und die chemi-schen Potentiale gleich.

Bei reinen Phasen gilt auch: g1 = g2 (Gleichheit der freien Enthalpie pro Mole-kül)Sind verschiedene Teile eines Gesamtsystems im Gleichgewicht, gilt allgemein

µ1 (T , p) = µ2 (T , p) (4.406)

4.25. Chemische Reaktionen


Materialien


Beispiel:


233 4.25 Chemische Reaktionen

Die Knallgasreaktion wird so beschrieben

2H2 +O2 ↔ 2H2O

Dabei ist die nach rechts laufende Reaktion viel wahrscheinlicher als die Umkehr-reaktion. Die Standardform dieser chemischen Reaktion ist

2H2 +O2 − 2H2O = 0

Allgemein werden chemische Reaktionen durch Gleichungen des Typs

m∑i=1

biBi = 0 (4.407)

beschrieben, wobei Bi der Molekültyp und bi die Gewichtskonstante für diese Re-aktion ist. Die Teilchenzahl und die Gewichtskonstante sind voneinander abhängig

dNi = λbi (4.408)

wobei λ eine Proportionsalitätskonstante ist.

Beispiel:Für die Knallgasreaktion gilt die Relation:

dNH2O : dNH2 : dNO2 = 2 : −2 : −1.Wie immer muss die Entropie S = S (U ,V ,N1 . . . Nm) maximal werden. Das

heisst: dS = 0. Wir nehmen adiabatisch isochore Bedingungen an. Dann müssenU und V konstant sein. Damit gilt für die Teilchenzahlen

m∑i=1

µidNi = 0 (4.409)

Mit Gleichung (4.408) erhalten wir

m∑i=1

biµi = 0 (4.410)

Wir betrachten die chemische Reaktion als Mischung. Die Mischungsentropie ist

SM = −km∑i=1

Ni lnNi∑mi=1 Ni

= −km∑i=1

Ni lnNi

N> 0 (4.411)

Dabei sind die Ni die Anzahl der beteiligten Moleküle der verschiedenen Speziesund N =

∑mi=1Ni die Gesamtzahl der Teilchen. Bei isobar-isothermen Reaktions-

bedingungen gilt für die freie Enthalpie

G =m∑i=1

Niµi − TSM =m∑i=1

Niµi + kT

m∑i=1

Ni lnNi

N(4.412)

Das Gleichgewicht des Systems ist durch das Minimum von G gegeben. Durch denTerm der Mischungsentropie wird keine chemische Reaktion vollständig ablaufen.


Wärmelehre 234

Beim Knallgas zum Beispiel liegt das Gleichgewicht sehr weit bei H2O. Trotzdemverbleiben nicht reagierte Wassersto- und Sauerstomoleküle.Zur Berechnung des Gleichgewichtes verwenden wir

dG =m∑i=1

(∂G

∂Ni

)dNi (4.413)

Eine Komponente xi =(∂G∂Ni

)ist dann (wobei N =

m∑i=1

Ni ist)

xi =

(∂G

∂Ni

)=

∂

∂Ni

(m∑i=1

Niµi + kT

m∑i=1

Ni lnNi

N

)

=∂

∂Ni

(m∑i=1

Niµi + kT

m∑i=1

Ni lnNi − kTm∑i=1

Ni ln

(m∑i=1

Ni

))

= µi + kT lnNi + kTNi1

Ni

− kT ln

(m∑i=1

Ni

)− kT

m∑j=1

Nj1

m∑i=1

Ni

= µi + kT lnNi + kT − kT lnN − kTm∑j=1

Nj

N

In jedem Summanden, ausser dem letzten, bleibt nur der Term mit Ni nachdem Ableiten übrig. Im letzten Summanden kann man für beliebige Nj nach Ni

ableiten, da Ni im Logarithmus vorkommt. Damit wird

dG =m∑i=1

(∂G

∂Ni

)dNi

=m∑i=1

(µi + kT lnNi + kT − kT lnN − kT

m∑j=1

Nj

N

)dNi

=m∑i=1

(µi + kT lnNi + kT − kT lnN − kT N

N

)dNi

=m∑i=1

(µi + kT lnNi − kT lnN) dNi (4.414)

mitdNi = biλ (4.415)

erhalten wir

dG =

(m∑i=1

µibi + kT

m∑i=1

bi lnNi − kTm∑i=1

bi lnN

)λ (4.416)



Da dG = 0 im Gleichgewicht ist, erhalten wir für λ 6= 0

m∑i=1

µibi + kT

m∑i=1

bi lnNi − kTm∑i=1

bi lnN = 0

−m∑i=1

µibi + kT

m∑i=1

bi ln

(m∑i=1

Ni

)= kT

m∑i=1

bi lnNi

(m∑i=1

Ni

)∑mi=1 bi

exp

−m∑i=1

µibi

kT

=m∏i=1

N bii (4.417)

Das Massenwirkungsgesetz lautet

(m∑i=1

Ni

)∑mi=1 bi

exp

−m∑i=1

µibi

kT

=m∏i=1

N bii (4.418)

Bei abgeschlossenen Systemen ist die Grösse

K−1 =

(m∑i=1

Ni

)+m∑i=1

bi

exp

(−∑µibi

kT

)= K−1 (T , p) = konstant

konstant. K heisst die Massenwirkungskonstante. Sie ist

K =

(m∑i=1

Ni

)− m∑i=1

bi

exp

(∑µibikT

)(4.419)

Beispiel:

Für die Knallgsreaktion gilt −2H2 − O2 + 2H2O = 0 wobei∑bi = 1. Daraus

folgt

(NO2 +NH2 +NH2O) · exp

(−µO2 + 2µH2 − 2µH2O

kT

)=N2H2NO2

N2H2O

(4.420)

Nur wenn∑bi 6= 0 ist, ist das Reaktionsgleichgewicht unabhängig vom Druck.

In allen anderen Fällen kann über den Druck p die Gleichgewichtslage der chemi-schen Reaktion eingestellt werden.


Wärmelehre 236

4.25.1. Reaktionsenthalpie

Wir können Gleichung (4.420) auch mit molaren Grössen schreiben

(nO2 + nH2 + nH2O) · exp

(− gO2 + 2gH2 − 2gH2O

RT

)=n2H2nO2

n2H2O

(4.421)

Wenn die molaren Enthalpien der Edukte (Ausgangsstoe) gross gegen die mo-laren Enthalpien der Produkte sind, liegt das Gleichgewicht bei den Produkten.Formulierung mit der Gleichgewichtskonstante K

K (T ) =n2H2O

n2H2nO2

= (nO2 + nH2 + nH2O)−1 · exp

(gO2 + 2gH2 − 2gH2O

RT

)(4.422)

Wenn K gross ist,liegt das Gleichgewicht bei H2O.Wenn K klein ist verschiebt sich das Gleichgewicht zu H2, O2

Aus den thermodynamischen Potentialen erhalten wir den Zusammenhang

∆H − T∆S = ∆G (4.423)

∆H ist die freiwerdende Reaktionsenthalpie, da die Entropieänderung nicht alsWärme messbar ist. Wir haben also

∆G =

(m∑i=1

gibi +RTm∑i=1

bi lnni −RTm∑i=1

bi lnn

)(4.424)

Diese Gleichung kann mit derMassenwirkungskonstante K umgeschrieben werden.

∆G = RT lnK +RTm∑i=1

bi lnni (4.425)

Abhängig von den ni's kann ∆G positiv oder negativ sein. Der Standard-Wertfür die freie Enthalpie pro mol wird üblicherweise mit

∆G0 = −RT lnK (4.426)

bezeichnet. Wenn wir ∆G mit den Enthalpien schreiben, bekommen wir

K =(∑

Ni

)−∑ biexp

(−∑hibikT

+

∑bisiR

)(4.427)

wobei hi die molare Enthalpie und si die molare Entropie ist.Man bekommt ∆H =

∑hibi, wenn man lnK gegen 1

Taufträgt (Arrhenius-

Darstellung)



Abbildung 4.67.: ∆H aus der Arrhenius-Darstellung

Zusammengefasst bedeutet dies

∂ lnK

∂T−1 =∆H

R(4.428)

van't Ho-Gleichung

Abbildung 4.68.: Reaktionskoordinaten

Chemische Reaktionen können mit Reaktionskoordinaten wie in der Abbildung4.68 beschrieben werden. Die Ausgangssstoe auf der linken Seite müssen dabeidie Barriere ∆G überwinden, um nach rechts reagieren zu können. Umgekehrt istdie Barriere ∆G′ < ∆G. Die Anzahl Teilchen, die die Barriere überwinden könnenist proportional zu

P (Reaktion links → rechts) ∝ e−∆G/(kT )


Wärmelehre 238

oderP (Reaktion rechts → links) ∝ e−∆G′/(kT )

Im Zwischenzustand bei der Reaktionsschwelle bilden sich temporäre Gebilde, dieheute mit Femtosekunden-Spektroskopie (τ = 1 . . . 10fs) zeitaufgelöst untersuchtwerden können.

4.26. Osmose

Es gibt Materialien, die nur gewisse Moleküle passieren lassen:

• Haut

• Zellmembranen

• Zeolithe

Dabei versucht das System, die Konzentrationen der gelösten Stoe anzugleichen.Wasser bewegt sich zum Beispiel aus den Salatblättern in die Salatsauce: der Salatwird welk.

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

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Abbildung 4.69.: Pfeersche Zelle

Mit der Pfeerschen Zelle kann der osmotische Druck gemessen werden. Erbeträgt

posm = nkT (4.429)

Begründung: Moleküle die auf die semipermeable Membrane treen erzeugen dengleichen Druck wie ein ideales Gas.

4.27. Mischungen

Wir betrachten Mischungen bei konstantem Druck. Zwei Stoe mit den Teilchen-zahlen N1 und N2 sollen gemischt werden, wobei die beiden Stoe nicht reagierensollen. Es gilt also

N1 +N2 = N


239 4.27 Mischungen

Wir denieren die Molenbrüche

x1 =N1

N

x2 =N2

N(4.430)

Dabei ist x1 + x2 = 1.

Abbildung 4.70.: Freie Enthalpie G als Funktion der Temperatur bei Mi-schungen

Abbildung 4.70 zeigt den Verlauf der freien Enthalpie für mehrere Temperaturen.Im Gleichgewicht ist G minimal. In unserer Abbildung bedeutet dies, dass dieMinima die bevorzugten Zustände sind. Zur Bestimmung des Gleichgewichtes sinddie folgenden Bedingungen notwendig und hinreichend:

(∂G

∂x1

)T

= 0

(∂2G

∂x21

)> 0 ⇒Minimum (4.431)(

∂G

∂x1

)T

= 0

(∂2G

∂x21

)< 0 ⇒Maximum (4.432)

Damit wir eine stabile Gleichgewichtslage haben, muss oensichtlich

(∂2G

∂x21

)> 0

sein.


Wärmelehre 240

Abbildung 4.71.: Stabilitätsbedingung für die freie Enthalpie

Abbildung 4.71 zeigt die Bereiche, in denen(∂2G∂x2

1

)> 0 gilt. Mischungen sind

nur in diesen Bereichen stabil. Ausserhalb trennen sie sich in zwei (oder mehrere)Phasen auf. Man nennt den Vorgang Entmischung .

Abbildung 4.72.: Stabile, metastabile und instabile Bereiche. Rechts istdie Mischungslücke gezeigt.

Abbildung 4.72 zeigt, dass es zwischen den instabilen und den Stabilen Bereichennoch metastabile Bereiche sind. Metastabile Bereiche sind Bereiche, die bei sehrkleinen Störungen stabil, bei grösseren Störungen jedoch instabil sind. Bei einerUmgebungsbedingung ist G x. Die horizontale Gerade zeigt für ein G, wie sichdas System als Funktion von x = x1 positioniert. Die Punkte mit zeigen zweikoexistierende stabile Phasen. Der Punkt mit • zeigt eine instabile Phase.


241 4.27 Mischungen

4.27.1. Hebelgesetz

Abbildung 4.73.: Hebelgesetz für Phasendiagramme

Wenn wie in Abbildung 4.73 zwei Phasen bei 1 und 2 koexistieren und dasSystem eine Mischung mit x0 = x = a darstellt, kann mit dem Hebelgesetz dieZusammensetzung bestimmt werden.In diesem Beispiel wollen wir annehmen, dass wir eine Mischung aus der Flüs-

sigphase und der Gasphase haben. Die Konzentration der Gasphase sei xG, dieder Flüssigphase xfl. Vom Sto 1 gibt es N ·x0 Moleküle, vom Sto 2 N (1− x0).Insgesamt seien NG Moleküle in der Gaspahse, von beiden Komponenten eine nochunbekannte Anzahl. Ebenso seinen insgesamt Nfl Moleküle in der Flüssigphase.Die Summe aller Moleküle ist konstant, also

N = NG +Nfl = Nx0 +N(1− x0)

Gasphase FlüssigphaseSto 1 xG ·NG xfl ·NFl

Sto 2 (1− xG)NG (1− xfl) ·NFl

Die Gesamtmenge aller Stoe ist erhalten (Stoerhaltung). Dies führt zu

xGNG + xfl ·NFl = x0N

NG +NFl = N (4.433)

Weiter können wir umformen

xGNG + xGNFl = xG ·N(xfl − xG)NFl = (x0 − xG)N

NFl =x0 − xGxfl − xG

N

NG =xfl − x0

xfl − xGN (4.434)

Gleichung (4.434) heisst das Hebelgesetz. Es zeigt, wie die Konzentrationen vonzwei Phasen im Gleichgewicht ausgerechnet werden können. In der Nähe von 2gibt es fast nur die Flüssigphase, in der Nähe von 1 fast nur die Gasphase.


Wärmelehre 242

4.27.2. Kategorisierung von Diagrammen

4.27.2.1. Zwei Komponenten, beliebig mischbar, füssige und gasförmigePhasen, geschlossenes Gefäss

Abbildung 4.74.: Phasendiagramm für beliebig mischbare Substanzen

Abbildung 4.74 zeigt das Phasendiagramm der üssigen und gasförmigen Phasezweier Substanzen, die beliebig mischbar sind. Die untere Phasenlinie heisst Siede-kurve (Bei Annäherung von tiefen Temperaturen beginnt bei Erreichen der Kurvedas Sieden), die obere Kondensationskurve (Bei Annäherung von hohen Tempera-turen beginnt bei Erreichen der Kurve die Kondensation). Beim Erwärmen überdie Siedetemperatur geschieht folgendes:

1. Die Ursprungskonzentration ändert sich auf der senkrechten Linie von A nachB nicht.

2. Bei B beginnt die Mischung zu sieden. Sie teilt sich in die Gasphase (bei C)und die Flüssigphase (bei B) auf.

3. Flüssige und gasförmige Phase koexistieren zwischen B und D. Ihre Anteilewerden durch das Hebelgesetz gegeben.

4. Die üssige Phase bewegt sich auf der Linie BE, die gasförmige Phase aufder Linie CD.

5. Wenn die Gasphase D erreicht, ist alle Flüssigkeit verdampft.

Bemerkung:

Wird das Verdampfungsexperiment mit einem oenen Gefäss durchgeführt, re-duziert sich die Konzentration der Gasphase durch Diusion. Deshalb verschwindetdie Flüssigphase erst bei G.


243 4.27 Mischungen

4.27.2.2. Zwei Komponenten, beliebig mischbar, Punkt gleicherKonzentration

Abbildung 4.75.: Mischung mit azeotropem Punkt

Abbildung 4.75 zeigt das Phasendiagramm beliebig mischbarer Flüssigkeitenmit einem azeotropen Punkt xa. Bei xa ist die Siedetemperatur maximal. EineMischung mit dem Mischungsverhältnis xa heisst azeotrop. Der Siedevorgang kannsowohl bei reinen Phasen wie auch in xa enden.

Bemerkung:

Das Wasser-Alkohol-Gemisch ist azeotrop. Bei 96 % Alkohol ist die Siedetempe-ratur maximal. Deshalb kann man die Alkoholkonzentratin beim Destilieren nichtüber diese Grenze erhöhen.

4.27.2.3. Zwei Komponenten, kritischer Punkt

Abbildung 4.76.: Rückläuge Kondensation

Wenn bei dem Phasendiagramm aus Abbildung 4.76 eine Flüssigkeit entlangdes schwarzen Weges erwärmt wird, beginnt sie bei B zu sieden. Der Anteil derGasphase und der Flüssigkeit wird mit dem Hebelgesetz gegeben. Nach Einsetzen


Wärmelehre 244

des Sieden nimmt das Gasvolumen zuerst zu, dann (über dem Punkt D) wiederab. Bei C ist die Flüssigkeit wieder homogen (rückläuge Kondensation).

4.27.2.4. Zwei Komponenten, kritischer Punkt, Mischungslücke

Abbildung 4.77.: Binäre Mischung mit einer Mischungslücke

Substanzen mit einem Phasendiagramm wie in Abbildung 4.77 haben eine Mi-schungslücke. Wenn die Temperatur über der kritischen Temperatur Tk liegt, sinddie beiden Substanzen in jedem Verhältnis mischbar. Unter Tk sind nur die Misch-verhältnisse links und rechts der Mischungslücke realisierbar.

Abbildung 4.78.: Entmischung an der Mischungslücke

Wenn die Substanz in der Abbildung 4.78 abgekühlt wird, trit sie bei a auf diePhasengrenze der Mischungslücke. Nach dem Hebelgesetz spaltet sie sich in zweiSubstanzen mit unterschiedlicher Konzentration auf (a und b). Die eine Substanzkühlt entlang der Linie ac, die andere entlang der Linie bd.

Neben der in Abbildung 4.77 gezeigten Mischungslücke sind (mindestens) zweiweitere Arten möglich.


245 4.27 Mischungen

Abbildung 4.79.: Links: Mischungslücke bei hohen Temperaturen, RechtsMischungslücke in einem begrenzten Temperaturbereich(Bsp: Nikotin).

4.27.2.5. Beliebige Mischbarkeit in der Flüssigkeit, bedingte Mischbarkeitder Festkörper

Abbildung 4.80.: Phasendiagramm mit einem eutektischen Punkt

B ist ein eutektischer Punkt. Dies ist ein Tripelpunkt, bei dem eine üssige undzwei feste Phasen sich im Gleichgewicht benden.

Abbildung 4.81.: Wege durch die Phasendiagramme


Wärmelehre 246

Abbildung 4.81 zeigt zwei Wege durch das Phasendiagramm. Wir betrachtendas linke Diagramm. Wird die Mischung mit dem Mischungsverhältnis ©1 abge-kühlt, trit sie bei a auf die Phasengrenze. Die üssige Mischung trennt sich inzwei Komponenten auf. Auf dem linken Ast ac wird die üssige Komponente mitabnehmendem x abgekühlt, Auf dem rechten Ast bd wird die feste Komponenteabgekühlt. Der Anteil der beiden Phasen ergibt sich durch das Hebelgesetz. Bei dhat die feste Phase die gleiche Zusammensetzung wie die Flüssigkeit am Anfang.Die Flüssige Phase verschwindet deshalb bei c. Das Weitere Abkühlen lässt dienun feste Phase bei e wieder auf eine Phasengrenze treen. Auch wenn die Mi-schung fest ist, heisst das nicht, dass Atome sich nicht bewegen können. Lokal, inkleinen Bereichen, ergibt sich eine Phasentrennung. Die beiden Phasen bewegensich entlang der Linien fF sowie eG. Wieder wird der Anteil der beiden Phasendurch das Hebelgesetz gegeben.

Im rechten Diagramm in der Abbildung 4.81 betrachten wir ein anderes Mi-schungsverhältnis ©2 mit kleinerem x. Die Mischung wird abgekühlt und trit beib auf eine Phasengrenze. Sie teilt sich in einen festen Anteil bei a und einen üs-sigen Anteil bei a auf. Die üssige Phase kühlt sich weiter ab und trit bei B aufden eutektischen Punkt. Die linke Phase ist hat sich dabei entlang bD abgekühlt.Die Anteile ergeben sich aus dem Hebelgesetz. Am eutektischen Punkt erstarrtdie Flüssigkeit schlagartig. Es gibt keine Entmischung und das Eutektikum bleibtauch bei tieferen Temperaturen erhalten. Die Feste Phase bei D wird weiter abge-kühlt nach F . Lokal tritt Phasentrennung auf zu der Phase entlang der Linie EG.Die Anteile dieser Phasen müssen wieder mit dem Hebelgesetz berechnet werden.

Abbildung 4.82.: Alternative Lage der Grenzlinien (Vergleich zu Abbil-dung 4.80)

Hier ist

B ein Tripelpunkt, der eine üssige und 2 feste Phasen trennt.

Bemerkung:B kann in der Temperatur nicht höher liegen als A oder C.


247 4.27 Mischungen

4.27.2.6. keine Mischbarkeit im festen Zustand

Abbildung 4.83.: Phasendiagramm mit unmischbarer fester Phase

4.27.2.7. Beliebige Mischbarkeit in üssigem Zustand, keine Mischbarkeitim festen Zustand, aber chem. Verbindung

Abbildung 4.84.: Phasendiagramm mit chemischer Verbindung

Bei diesem Diagramm sollen zwei Substanzen im üssigen Zustand beliebigmischbar sein. Im festen Zustand sind sie nicht mischbar, gehen aber eine che-mische Verbindung ein.

B,G sind Tripelpunkte (üssig, fest rein, fest (chem. Verbindung)

DBE ist das Gebiet mit einem Gleichgewicht zwischen der chemischen Phase undder üssigen Phase

ABC ist das Gleichgewichtsgebiet zwischen einer reinen Phase und einer üssigenPhase

unter CBE liegt das Gleichgewichtsgebiet zwischen reiner Phase und der chemi-schen Verbindung.


Wärmelehre 248

4.27.2.8. Keine Mischbarkeit im festen Zustand, Mischungslücke inFlüssigkeit

Abbildung 4.85.: Phasendiagramm mit 2 Tripelpunkten

Dieses Diagramm hat zwei Tripelpunkte

B Bei B treen sich zwei feste und eine üssige Phase.

D Hier treen sich zwei üssige und eine feste Phase.


A. Begrie

Die Buchstaben der deutschen Sprache und diejenigen der griechischen Sprachereichen nicht aus, um alle physikalischen und mathematischen Grössen mit ein-deutigen Symbolen zu versehen. Manchmal erschliesst sich die Bedeutung einesSymbols nur aus seinem Kontext.

Symbol Name Einheit Wert, Bemerkungen0 Nullpunkt von Koordi-

natensystemen〈x〉 Mittelwert der Grösse x

x erste Ableitung nach derZeit

x zweite Ableitung nachder Zeit

f ′ erste Ableitung (meistens nach x)

f ′′ zweite Ableitung (meistens nach x)

+ Additionszeichen

· Multiplikationszeichen

· Skalare Multiplikationzweier Vektoren

a · b

× Vektorprodukt zweierVektoren

a× b

AB Länge der Strecke zwi-schen A und B

|x| Betrag einer Zahl, einesVektors oder einer kom-plexen Zahl

x das konjugiert Komplexevon x√

x Quadratwurzel

Aα ein Winkel 1 = rad

Begrie 250

Symbol Name Einheit Wert, Bemerkungenα der erste Eulersche Win-

kel1 = rad

α die Winkelbeschleuni-gung

1s2

= rads2

a Beschleunigungsvektor ms2

a Betrag des Beschleuni-gungsvektors

ms2

a = |a|

a eine unbestimmte Zahl

da Flächenelement m2

aS Beschleunigungsvektordes Schwerpunktes

ms2

aT Beschleunigungsvektorzur Trägheitskraft

ms2

arccos(x) Arcuscosinus

arcsin(x) Arcussinus

arctan(x) Arcustangens

A ein Punkt

A eine Fläche m2

A Beobachter bei der Diskussion derspeziellen Relativität

A Amplitude

Bβ ein Winkel 1 = rad

β der zweite EulerscheWinkel

1 = rad

β Kompressibilität m2

N

β Vektor m

b eine unbestimmte Zahl

b eine Bahnkurve

b Widerstandsbeiwert(Strömung)

N ·(sm

)n


251

Symbol Name Einheit Wert, Bemerkungenb Koezient der geschwin-

digkeitsproportionalenDämpfung

Nsm

= kgs

B ein Punkt

B Beobachter bei der Diskussion derspeziellen Relativität

γγ ein Winkel 1 = rad

γ der dritte EulerscheWinkel

1 = rad

ccos(ϕ) Cosinus

c eine unbestimmte Zahl

c die Lichtgeschwindigkeit ms

c = 2.99792458 · 108ms

c Konstante im Boyle-Mariotte-Gesetz

Nm

c spezische Wärmekapa-zität (allgemein)

JK kg

= m2

s2K

cV spezische Wärmekapa-zität bei konstantem Vo-lumen

JK kg

= m2

s2K

cp spezische Wärmeka-pazität bei konstantemDruck

JK kg

= m2

s2K

cmol molare Wärmekapazität(allgemein)

JKmol

cV ,mol molare Wärmekapazitätbei konstantem Volumen

JKmol

cp,mol molare Wärmekapazitätbei konstantem Druck

JKmol

CC ein Punkt

C Wärmekapazität (allge-mein)

JK

CV Wärmekapazität beikonstantem Volumen

JK


Begrie 252

Symbol Name Einheit Wert, BemerkungenCp Wärmekapazität bei

konstantem Druck

JK

Ddiv Divergenz 1

m

δ Phase 1 = rad

∆x Kleine Grösse in der Va-riablen x

dfdx

Ableitung von f nach x

∂f∂x

partielle Ableitung vonf nach x

df totales Dierential derFunktion f

df =∑ ∂f

∂xidxi

d eine Länge m

deff eektiver Durchmessereines Moleküls

m

D Winkelrichtgrösse Nmrad

Eε Winkel 1 = rad

ε relative Dehnung 1

εB Bruchdehnung 1

η Scherviskosität N sm2

ex Exponentialfunktion

e ein (Koordinaten-) Ein-heitsvektor

E der Elastizitätsmodul Nm2 heisst auch Young's

Modul

Ei,j,k,` Elastizitätstensor (4.Stufe)

Nm2

E Energie J = m2 kgs2

Joule

Ekin kinetische Energie J = m2 kgs2

Ekin = 12mv2

Epot potentielle Energie J = m2 kgs2

Epot = −∫F · ds


253

Symbol Name Einheit Wert, Bemerkungen

Einnen innere Energie J = m2 kgs2

(z.B. Wärme, mechani-sche Spannungen)

Fφ eine der Koordinaten

(Längengrad) bei Zy-linderkoordinaten undKugelkoordinaten

1 = rad Winkel zwischen derProjektion von r aufdie xy-Ebene und derx-Achse

φ ein Winkel 1 = rad

φ(r) das Gravitationspotenti-al

Jkg

= m2

s2φ(r) =

Epot,Gravitationm0

φ Fluss kgs

ϕ ein Winkel 1 = rad

f Steigung der Weltlinie 1

f Faktor der Lorentzkon-traktion

1

F Kraft N = mkgs2

F = |F |

F Kraftvektor N = mkgs2

Newton

FC Corioliskraft N = mkgs2

FC = |F C |

F C Corioliskraftvektor N =mkgs2

Newton

F ai Kraftvektoren der äus-seren Kräfte bei einemTeilchensystem

N = mkgs2

Newton

F ij Kraftvektoren der inne-ren Kräfte bei einemTeilchensystem

N = mkgs2

Newton

F a Kraftvektor der resultie-renden äusseren Kraft

N = mkgs2

Newton

FD Kraftvektor der Dämp-fungskraft

N = mkgs2

Newton

FG Gewichtskraft N = mkgs2

Newton

FG Gleitreibungskraft N = mkgs2

Newton

FH Haftreibungskraft N = mkgs2

Newton


Begrie 254

Symbol Name Einheit Wert, BemerkungenFR Kraftvektor der Rück-

stosskraftN = mkg

s2Newton

FR Rollreibungskraft N = mkgs2

Newton

F T Trägheitskraft N = mkgs2

Newton

F V (r) Volumenkraft Nm3 = kg

m2 s2Newton

Ggrad Gradient 1

m

Γ Zirkulation m2

s

g Feldvektor des Gravita-tionsfeldes

ms2

g Betrag des Feldvektorsdes Gravitationsfeldes

ms2

g = 9.81ms2

G Gebiet

G Gravitationskonstante m3 kgs2

G = 6.6742 · 10−11m3 kgs2

G der Schubmodul oderder Torsionsmodul

Nm2

Hh Höhe der Flüssigkeits-

säulem

I∫Integralzeichen∮Linienintegral entlangeines geschlossenenWeges

i Laundex i ∈ Z

i die imaginäre Einheit 1 i =√−1 (Schreibweise

in der Mathematik undin der Physik)

I Strom A (Ampère)

I Lichtstärke cd (candela)

I Trägheitsmoment m2 kg


255

Symbol Name Einheit Wert, BemerkungenIS Trägheitsmoment be-

züglich des Schwerpunk-tes

m2 kg

←→I 0 Trägheitstensor m2 kg

Jj Laundex j ∈ Z

j die imaginäre Einheit 1 j =√−1 (Schreibweise

in der Elektrotechnik)

j Stromdichte kgm2 s

Kκ Kompressibilität m2

N= ms2

kg

k eine Konstante

k Laundex k ∈ Z

k Federkonstante Nm

= kgs2

k Wellenzahl 1m

oft verwenden Spektro-skopiker cm−1

k Wellenvektor 1m

k = |k|

Lλ Wellenlänge m

∆ Laplace-Operator 1m2 ∆ = div grad

` Länge m

l Länge m

ln(x) natürlicher Logarithmus

limx→0

f(x) Limes (Grenzwert) vonf(x) wenn x gegen 0geht

L Drehimpuls m2 kgs


Begrie 256


L0 Drehimpuls bezüglichdes Punktes 0

m2 kgs

L Länge m

L Pendellänge m

Mµ Massenbelegung eines

Seils

kgm

µ = ρA

µ Poissonzahl oder Quer-kontraktionszahl

1

µ Reduzierte Masse kg

µG Gleitreibungskoezient

µH Haftreibungskoezient

µR Rollreibungskoezient

m Masse kg (Kilogramm)

m0 Ruhemasse kg (Kilogramm)

ms schwere Masse kg (Kilogramm)

mt träge Masse kg (Kilogramm)

mE Masse der Erde kg mE = 5,98 · 1024kg

mM Masse des Mondes kg mM = 7,3 · 1022kg

M Metazentrum einesschwimmenden Körpers

Nν Frequenz Hz = 1

s

n Anzahl j ∈ N

n Stomenge mol (Mol)

n Normaleneinheitsvektor

OO(n) vernachlässigte Terme

der Ordnung n


257


Pπ Verhältnis zwischen

Kreisumfang undDurchmesser

π = 3,141592653589793

p Impuls mkgs

p = mv

p Druck Pa = Nm2 =

kgms2

= Jm3

(Pascal)

P ein Punkt

P Leistung W = Js

= m2 kgs3

Watt

QQ ein Punkt

Q Güte 1

Rrot Rotation

ρ die Radius-Koordinatein Zylinderkoordinaten

m

ρ(r) die Massendichte kgm3

ρm(r) die Massendichte kgm3

r Ortsvektor m

r Betrag des Ortsvektors m

r die Radius-Koordinatein Kugelkoordinaten

m

rS Ortsvektor des Schwer-punktes

m

rE Erdradius m rE = 6.38 · 106m

rM Radius des Mondes m rM = 1.74 · 106m

rEM Abstand Erde-Mond m rEM = 3.84 · 108m

R(s) Krümmungsradius m

R Radius einer Kugel m


Begrie 258

Symbol Name Einheit Wert, BemerkungenR Erdradius m R = rE = 6.38 · 106m

Re Reynoldszahl 1

Ssin(ϕ) Sinus∑

Summenzeichen

σ Spannung Nm2

σs Oberächenspannung Nm

σF Festigkeitsgrenze oderFliessgrenze

Nm2

σP Proportionalitätsgrenze Nm2

σS Streckgrenze Nm2

σx Standardabweichung desMesswertes x

σ〈x〉 Standardabweichung desMittelwertes 〈x〉

s Strecke entlang einerBahn

m

ds dierentielle Länge ent-lang einer Bahn

m

S Schwerpunkt

S eine geschlossene Ober-äche

Tθ eine der sphärischen

Koordinaten (90-Breitengrad)

1 = rad (Winkel zwischen z-Achse und r

θ ein Winkel 1 = rad (Winkel zwischen z-Achse und r

τ Tangenteneinheitsvektor

τ Scherspannung oderSchubspannung

Nm2 = kg

ms2(z.B. radioaktiverZerfall)


259

Symbol Name Einheit Wert, Bemerkungenτ Zeitkonstante s (z.B. radioaktiver

Zerfall)

τ Zeit s (z.B. in Integralen)

τ Zeit s (z.B. in Integralen)

Θ Winkel 1 = rad

t Zeit s (Sekunde)

t0 Zeit s (Sekunde)

tan(ϕ) Tangens

T Temperatur K (Kelvin)

T Zeit s

T Gesamtdauer s

T Periodendauer s

T Drehmoment Nm = m2 kgs2

T = dLdt

T 0 Drehmoment bezüglichdes Punktes 0

Nm = m2 kgs2

T0 = dL0

dt

Uu Geschwindigkeitsvektor m

s

u Betrag des Geschwindig-keitsvektors

ms

u = |u|

U Geschwindigkeitspotential m2

s

Vv Betrag des Geschwindig-

keitsvektors

ms

v = |v|

v Geschwindigkeitsvektor ms

v0 Anfangsgeschwindigkeit ms

vS Geschwindigkeitsvektordes Schwerpunktes

ms

W


Begrie 260

Symbol Name Einheit Wert, Bemerkungenω Winkelgeschwindigkeit 1

s= rad

sω = φ

w Energiedichte der elasti-schen Deformation

Nm2

w Betrag des Geschwindig-keitsvektors

ms

w = |w|

w Geschwindigkeitsvektor ms

W Arbeit J = m2 kgs2

Xx Ortskoordinate bei kar-

tesischen Koordinatenm (Meter)

x0 Ausgangsposition m

Yy Ortskoordinate bei kar-

tesischen Koordinatenm (Meter)

Zζ Volumenviskosität N s

m2

z Ortskoordinate bei kar-tesischen Koordinatenund Zylinderkoordina-ten

m (Meter)

z eine allgemeine komple-xe Zahl


B. Skalarprodukt und

Vektorprodukt in kartesischen

Koordinaten

Wir betrachten die zwei Vektoren

a =

axayaz

und b =

bxbybz

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist

a · b = axbx + ayby + azbz

Das Vektorprodukt der beiden Vektoren ist

a× b =

aybz − azbyazbx − axbzaxby − aybz

Skalarprodukt und Vektorprodukt in kartesischen Koordinaten 262


C. Dierentiation und Integration

Dierentiation und Integration 264

C.1. Dierentiationsregeln

Einige Dierentiationsregeln sind

Denition der Ableitung u = f(t)u′ = du

dt= f ′(t) =

lim∆t→0

f(t+∆t)−f(t)∆t

Partielle Ableitung u = f(x,y,z, . . . ,t)

∂u∂x

=

lim∆x→0

f(x+∆x,y,z,...,t)−f(x,y,z,...,t)∆x

Andere Schreibweise u = f(t) dudt

= ddtu = d

dtf(t)

Konstanter Faktor u = f(x), c = const dcudx

= cdudx

Summenregel u = f(t), v = g(t) d(u+v)dt

= dudt

+ dvdt

Produktregel u = f(t), v = g(t) duvdt

= udvdt

+ v dudt

Bruch u = f(t), v = g(t) ddt

(uv

)=

v dudt−u dv

dt

v2

Kettenregel u = f(v), v = g(t) df(g(t))dt

= df(vdv

dvdt

= df(vdv

dg(t)dt

logarithmische Ableitung u = f(x) d lnudx

=dydx

y

Tabelle C.1.: Dierentiationsregeln


265 C.2 Dierentiation einfacher Funktionen

C.2. Dierentiation einfacher Funktionen

Funktion n-te Ableitungxm m(m− 1)(m− 2) . . . (m− n+ 1)xm−n

bei ganzzahligem m und n undm > n ist die n-te Ableitung null

lnx (−1)n−1(n− 1)! x−n

loga(x) (−1)n−1 (n−1)!ln a

x−n

ekx knekx

akx (k ln a)n akx

sin(kx) kn sin(kx+ nπ

2

)cos(kx) kn cos

(kx+ nπ

2

)Tabelle C.2.: Ableitung einiger Funktionen

Beispiel:

y = (5x2 − 3x+ 2)6x

soll dierenziert werden. Wir verwenden die logarithmische Ableitung.

ln(y) = 6x ln(5x2 − 3x+ 2) | ddx

d

dx(ln(y)) =

d

dx

(6x ln(5x2 − 3x+ 2)

)|ableiten, Produktregel rechts

y′

y= 6 ln(5x2 − 3x+ 2) + 6x

d ln(5x2 − 3x+ 2)

dx|Kettenregel ganz rechts

y′

y= 6 ln(5x2 − 3x+ 2) + 6x

1

5x2 − 3x+ 2

d(5x2 − 3x+ 2)

dx

y′

y= 6 ln(5x2 − 3x+ 2) + 6x

1

5x2 − 3x+ 2(10x− 3) | ∗ y



dy

dx= y′ = 6y ln(5x2 − 3x+ 2) + 6yx

10x− 3

5x2 − 3x+ 2|y einsetzen

y′ = 6(5x2 − 3x+ 2)6x ln(5x2 − 3x+ 2) + 6(5x2 − 3x+ 2)6xx10x− 3

5x2 − 3x+ 2

y′ = 6(5x2 − 3x+ 2)6x

[ln(5x2 − 3x+ 2) +

10x− 3

5x2 − 3x+ 2

]

C.3. Taylorreihe und Reihen

Denition

f(x) = f(a) +x− a

1!f ′(a) +

(x− a)2

2!f ′′(a) + . . .+

(x− a)n

n!f (n)(a) + . . .

andere Schreibweise

f(x+ ∆x) = f(x) +∆x

1!f ′(x) +

(∆x)2

2!f ′′(x) + . . .+

(∆x)n

n!f (n)(x) + . . .

Beispiel

f(x+ ∆x) = sin(x+ ∆x)

= sin(x) +∆x

1!cos(x) +

(∆x)2

2!f ′′(x) + . . .

+(−1)n(∆x)2n

(2n)!sin(x) + . . .+ (−1)n

(∆x)2n+1

(2n+ 1)!cos(x) + . . .

Spezialfall: x = 0

sin(∆x) = ∆x− 1

3!(∆x)5 +

1

3!(∆x)5 + . . .+ (−1)n

(∆x)2n+1

(2n+ 1)!+ . . .


267 C.3 Taylorreihe und Reihen



C.4. Einige Reihen

Funktion Potenzreihe Konvergenz(1± x)m 1±mx+ m(m−1)

2!x2 ± m(m−1)(m−2)

3!+ . . . |x| ≤ 1

+(±1)nm(m−1)...(m−n+1)n!

xn + . . .

sin(x+ ∆x) sin(x) + ∆x1!

cos(x) + (∆x)2

2!f ′′(x) + . . . |∆x| <∞

+ (∆x)n

(n)!sin(x+ πn

2) + . . .

cos(x+ ∆x) cos(x)−∆x sin(x)− ∆x2 cos(x)2!

+ ∆x3 sin(x)3!

|∆x| <∞+∆x4 cos(x)

4!− . . .+ ∆xn cos(x+nπ

2 )n!

± . . .

tanx x+ 13x3 + 2

15x5 + 17

315x7 + 62

2835x9 . . . |x| < π

2

cotx 1x−[x3

+ x3

45+ 2x5

945+ x7

4725. . .]

0 < |x| < π

ex 1 + x1!

+ x2

2!+ x3

3!+ x4

4!+ . . . |x| <∞

ax = ex ln a 1 + x ln a1!

+ (x ln a)2

2!+ (x ln a)3

3!+ (x ln a)4

4!+ . . . |x| <∞

lnx 2[x−1x+1

+ (x−1)3

3(x+1)3+ (x−1)5

5(x+1)5+ . . . x > 0

+ (x−1)2n+1

(2n+1)(x+1)2n+1 + . . .]

lnx (x− 1)− (x−1)2

2+ (x−1)3

3+ . . . 0 < x ≤ 2

+(−1)n+1 (x−1)n

n+ . . .

lnx x−1x

+ 12

(x−1x

)2+ 1

3

(x−1x

)3+ . . . x > 1

2

+ 1n

(x−1x

)n+ . . .

ln(1 + x) x− x2

2+ x3

3− x4

4+ . . . −1 < x ≤ 1

+(−1)n+1 xn

n+ . . .

arcsinx x+ x3

2 · 3 + 1 · 3x5

2 · 4 · 5 + 1 · 3 · 5x5

2 · 4 · 6 · 7 + . . . |x| < 1

arccosx π2−[x+ x3

2 · 3 + 1 · 3x5

2 · 4 · 5 + 1 · 3 · 5x5

2 · 4 · 6 · 7 + . . .]

|x| < 1

arctanx x− x3

3+ x5

5− . . .+ (−1)n x

2n+1

2n+1+ . . . |x| < 1

Tabelle C.3.: Reihenentwicklungen


269 C.4 Einige Reihen



C.5. Ableitungen in drei Dimensionen

C.5.1. Gradient in kartesischen Koordinaten

Wenn wir eine Funktion y = f(x) als Höhenprol in einer zweidimensionalenLandschaft auassen, dann ist

df(x)

dx

die Steigung dieses Proles an der Stelle x. f(x) ist die Höhenangabe über einereindimensionalen Grundäche.Wir können eine Funktion f(x,y) als Höhenangabe über einer zweidimensionalen

Grundäche betrachten.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0

2

4

6

8

02

46

8

z

x

y

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Gradient

Abbildung C.1.: Gradient als Richtung der stärksten Steigung

Die Funktion Gradient berechnet das stärkste Gefälle einer Hö-henlandschaft über einer zweidimensionalen Ebene. Sie ist deniert:

grad f =

(∂f(x, y)∂x

∂f(x, y)∂y

)

Eine skalare Funktion f(x,y,z) deniert eine Höhenlandschaft über einer drei-dimensionalen Grundäche. Sie kann nicht mit einfachen Mitteln visualisiert wer-den. Hier ist die Denition


271 C.5 Ableitungen in drei Dimensionen

Gradient einer skalaren Funktion f(x,y,z) von drei Varia-

blen

grad f =

∂f(x, y, z)

∂x∂f(x, y, z)

∂y∂f(x, y, z)

∂z

C.5.2. Divergenz in kartesischen Koordinaten

Wir betrachten eine Vektorfunktion

f(x, y) =

(fx(x, y)fy(x, y)

)

Abbildung C.2.: Vektorfeld mit Umrandung

Wenn wir die Umrandung betrachten, dann sehen wir, dass netto etwas aus ihrherausiesst. In die x-Richtung heisst das, dass

Fx · dx = fx(x+ dx, y)− fx(x, y)

iesst.In die y-Richtung müssen wir die schräg liegenden Vektoren aufteilen. Die x-

Komponente, fx(x, y) und fx(x,y + dy) ist parallel zur oberen und unteren Um-randung. Sie trägt nichts zum Fluss bei. Also gilt auch für die y-Richtung

Fy · dy = fy(x, y + dy)− fy(x, y)

Die Grösse F = Fx + Fy nennen wir Divergenz oder Quellstärke. Sie ist also



Divergenz oder Quellstärke in 2 Dimensionen

divf(x, y) =∂fx(x, y)

∂x+∂fy(x, y)

∂y

Eine analoge Überlegung kann man sich in drei Dimensionen machen. Die Vek-torfunktion ist dann

f(x, y, z) =

fx(x, y, z)fy(x, y, z)fz(x, y, z)

Wir denieren

Divergenz einer Vektorfunktion f(x,y) in drei Dimensio-

nen

divf(x, y, z) =∂fx(x, y, z)

∂x+∂fy(x, y, z)

∂y+∂fz(x, y, z)

∂z

C.5.3. Rotation in kartesischen Koordinaten

Wir betrachten wieder eine zweidimensionale Vektorfunktion

f(x, y) =

(fx(x, y)fy(x, y)

)

Abbildung C.3.: Drehung eines schwimmenden Klotzes, Rotation

Wir nehmen nun an, dass die durch f(x, y) denierten Strömungen den recht-eckigen schwimmenden Klotz beeinussen. So wie die Vektoren gezeichnet sind,


273 C.5 Ableitungen in drei Dimensionen

wird er sich drehen. Seine Drehachse zeigt aus der Zeichenebene heraus, also diez-Richtung. Die Drehung hat etwas zu tun mit den Grössen

Rydx = fy(x+ dx, y)− fy(x, y)

und

Rxdy = − (fx(x, y + dy)− fx(x, y))

Um bei gleicher Drehrichtung (positiv ist im Gegenuhrzeigersinn) eine positiveGrösse zu haben, wird bei Rx ein − eingefügt. Die Stärke der Drehung ist also

Rotation in zwei Dimensionen

R =∂fy(x, y)

∂x− ∂fx(x, y)

∂y

Für eine dreidimensionale Vektorfunktion

f(x, y, z) =

fx(x, y, z)fy(x, y, z)fz(x, y, z)

kann man sich überlegen, dass die gleichen Überlegungen wie für die xy-Ebene

auch für die xz-Ebene (Rotation um y) und die yz-Ebene (Rotation um x) gelten.Wir denieren also

Rotation in drei Dimensionen

rotf(x, y, z) =

∂fz(x, y, z)

∂y − ∂fy(x, y, z)∂z

∂fx(x, y, z)∂z − ∂fz(x, y, z)

∂x∂fy(x, y, z)

∂x − ∂fx(x, y, z)∂y

Man kann sich die Berechnung gut merken mit

Gedankenstütze für Rotation

rotf(x, y, z) =

∂∂x∂∂y∂∂z

× fx(x, y, z)fy(x, y, z)fz(x, y, z)


D. Identitäten mit

Vektorprodukt, Gradient,

Divergenz und Rotation

a× (b× c) = b (a · c)− c (a · b) (D.1)

grad (a · b) = b · (grada) + a · (grad b) + b× (rota) + a× (rot b) (D.2)

∇ (a · b) = (b ·∇)a+ (a ·∇) b+ a× (∇× b) + b× (∇× a) (D.3)

grad (a ·a) = 2a · (grada) + 2a× (rota) (D.4)

∇ (a ·a) = 2 (a ·∇)a+ 2a× (∇× a) (D.5)

Identitäten mit Vektorprodukt, Gradient, Divergenz und Rotation 276


E. Rechnen mit Integralen

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM00, pp. 447])Konstanter Faktor ∫

af(x)dx = a

∫f(x)dx

Integral einer Summe oder Dierenz∫[u(x) + v(x)− w(x)] dx =

∫u(x)dx+

∫v(x)dx−

∫w(x)dx

SubstitutionsmethodeSei y = φ(x) ∫

f(y)dy =

∫f [φ(x)]φ′(x)dx

Partielle Inte der Kettenregel der Dierentiation∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−

∫v(x)u′(x)dx

∫f ′(x)

f(x)dx =

∫df(x)

f(x)= ln[f(x)] + C

Rechnen mit Integralen 278

E.1. Unbestimmte Integrale

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM00, pp. 445])

Funktion Integral

xn∫xndx = xn+1

n+1n 6= −1

1x

∫dxx

= ln |x|

sin(x)∫

sin(x)dx = − cos(x)

cos(x)∫

cos(x)dx = sin(x)

tan(x)∫

tan(x)dx = − ln | cos(x)|

cot(x)∫

cot(x)dx = ln | sin(x)|

1cos2(x)

∫dx

cos2(x)= tan(x)

1sin2(x)

∫dx

sin2(x)= − cot(x)

1a2+x2

∫dx

a2+x2 = 1a

arctan xa

ex∫exdx = ex

ax∫axdx = ax

ln a

lnx∫

lnxdx = x lnx− x

x ea x∫x ea xdx = x

aea x − 1

a2 ea x

Tabelle E.1.: Unbestimmte Integrale I


279 E.1 Unbestimmte Integrale

Funktion Integral

sinhx∫

sinhxdx = coshx

coshx∫

coshxdx = sinhx

tanhx∫

tanhxdx = ln | coshx|

cothx∫

cothxdx = ln | sinhx|

1cosh2 x

∫dx

cosh2 x= tanhx

1sinh2 x

∫dx

sinh2 x= − cothx

1√a2−x2

∫dx√a2−x2 = arcsin x

a

Tabelle E.2.: Unbestimmte Integrale II



E.2. Berechnung von Linienintegralen

Gegeben sei ein Vektorfeld F (r). Zu berechnen sei das Linienintegral

r2∫r1, b

F (r · dr

zwischen den Punkten r1 und r2 entlang der Bahn b. Wir nehmen an, dass dieBahn b mit der Bahnlänge s parametrisiert sei. Dann ist F (r) = F (r(s)) und derTangenteneinheitsvektor ist

τ =dr

ds

Mit r(s1) = r1 und r(s2) = r2 ist das Linienintegral

r2∫r1, b

F (r · dr =

s2∫s1

F (r(s)) · τ (s)ds (E.1)

E.3. Berechnung der Fläche unter der Gausskurve

Gesucht ist

G =

∞∫−∞

e−A x2

dx

Dieses Integral kann in einer Dimension nicht gelöst werden. In zwei Dimensionen(x und y) können wir schreiben (Gx ist das Integral mit der Variable x geschrieben)

Gx ·Gy =

∞∫−∞

e−A x2

dx

· ∞∫−∞

e−A y2dy

=

∞∫−∞

∞∫−∞

e−A x2

e−A y2dx dy

=

∞∫−∞

∞∫−∞

e−A (x2+y2)dx dy

Wir schreiben nun Gx ·Gy in Zylinderkoordinaten. Aus der Jacobi-Determinantebekommt man

dx dy = r dr dφ


281 E.4 Mittlerer Geschwindigkeitsbetrag der Maxwell-Boltzmann-Verteilung

Also haben wir

Gx ·Gy =

2π∫0

∞∫0

e−A r2r dr dφ

= 2π

∞∫0

e−A r2r dr

Nun ist aberd

dre−A r2 = −2A r e−A r2

und damit ∫r e−A r2dr = − 1

2Ae−A r2

Wir bekommen also

Gx ·Gy = 2π

(− 1

2Ae−A r2

)∞0

=π

A

Schliesslich ist mit G =√Gx ·Gy

∞∫−∞

e−A x2

dx =

√π

A(E.2)

Das wichtige Integral von 0 nach unendlich hat dann den Wert∞∫

0

e−A x2

dx =1

2

√π

A(E.3)

E.4. Mittlerer Geschwindigkeitsbetrag derMaxwell-Boltzmann-Verteilung

Wir berechnen

〈v〉 =

∞∫0

vf (v) dv

=

∞∫0

v

√2

π

( mkT

) 32v2e−

mv2

2kT dv

=

∞∫0

√2

π

( mkT

) 32v3e−

mv2

2kT dv

=

∞∫0

B v3 e−A v2dv



mit A = m2kT

und B =√

2π

(mkT

) 32 . Zur Lösung machen wir die Substitution

x = v2. Dann ist 2v dv = dx. Das Integral wird dann durch partielle Integrationgelöst

〈v〉 =B

2

∞∫0

x e−A x

=B

2

x 1

−Ae−A x

∣∣∣∣∞0

− 1

−A

∞∫0

e−A xdx

=B

2

[− xAe−A x

∣∣∣∞0

+1

A

1

−Ae−A x

∣∣∣∣∞0

]=B

2

[0− 1

A2(−1)

]=

B

2 A2

Zurück eingesetzt ergibt

〈v〉 =

√8kT

πm(E.4)


F. Umrechnungen zwischen

kartesischen, sphärischen und

zylindrischen

Koordinatensystemen

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM00, pp. 218])(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM00, pp. 667])Denitionen

Kartesisches System

V c = Vxex + Vyey + Vzez

Sphärisches System

V s = Vrer + Vφeφ + Vθeθ

Zylindrisches System

V z = Vrer + Vφeφ + Vzez

Die Transformation zwischen den Koordinatensystemen läuft auf eine allgemeineDrehung der Koordinaten im Raum hinaus.

Abbildung F.1.: Denition der Koordinatensysteme. Links: karte-sisches System. Mitte: Zylinderkoordinaten. Rechts:Kugelkoordinaten

Umrechnungen zwischen Koordinatensystemen 284

F.1. Vom kartesischen ins sphärische System

Vr = Vx sin θ cosφ+ Vy sin θ sinφ+ Vz cos θ (F.1)

Vθ = Vx cos θ cosφ+ Vy cos θ sinφ− Vz sin θ (F.2)

Vφ = −Vx sinφ+ Vy cosφ (F.3)

(F.4)

F.2. Vom sphärischen ins kartesische System

Vx = Vr sin θ cosφ+ Vθ cos θ cosφ− Vφ sinφ (F.5)

Vy = Vr sin θ sinφ+ Vθ cos θ sinφ+ Vφ cosφ (F.6)

Vz = Vr cos θ − Vθ sin θ (F.7)

(F.8)

F.3. Vom kartesischen ins zylindrische System

Vρ = Vx cosφ+ Vy sinφ (F.9)

Vφ = −Vx sinφ+ Vy cosφ (F.10)

Vz = Vz (F.11)

(F.12)

F.4. Vom zylindrischen ins kartesische System

Abbildung F.2.: Umrechnung der Koordinaten


285 F.5 Vom sphärischen ins zylindrische System

Vx = Vρ cosφ− Vφ sinφ (F.13)

Vy = Vρ sinφ+ Vφ cosφ (F.14)

Vz = Vz (F.15)

(F.16)

F.5. Vom sphärischen ins zylindrische System

Vρ = Vr sin θ + Vθ cos θ (F.17)

Vφ = Vφ (F.18)

Vz = Vr cos θ − Vθ sin θ (F.19)

(F.20)

F.6. Vom zylindrischen ins sphärische System

Vr = Vρ sin θ + Vz cos θ (F.21)

Vθ = Vρ cos θ − Vz sin θ (F.22)

Vφ = Vφ (F.23)

(F.24)


Umrechnungen zwischen Koordinatensystemen 286


G. Geschwindigkeiten und

Beschleunigungen in

Kugelkoordinaten

Wir betrachten die Denition der Kugelkoordinaten

Abbildung G.1.: Mitgeführtes orthogonales Koordinatensystem und kar-tesisches Koordinatensystem

Gegeben sind einerseits die kartesischen Koordinaten x, y und z, andererseits dieKugelkoordinaten r, φ, und θ. Am Punkt P denieren wir ein mitgeführtes karte-sisches Koordinatensystem. Seine Orientierung hängt also von der Zeit ab! BeideKoordinatensysteme sind jeweils durch ein Tripel von Einheitsvektoren gegeben,die jeweils gegenseitig orthogonal sind. Die Einheitsvektoren sind im kartesischenSystem ex, ey und ez und im mitgeführten kartesischen System er, eφ und eθ.

Abbildung G.2.: Betrachtung in der xy-Ebene für eφ

Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in Kugelkoordinaten 288

Wir betrachten zuerst die xy-Ebene. Die Projektion des Ortsvektors r auf dieseEbene nennen wir ρ. Wir erhalten also die Beziehungen (Einheitsvektoren!)

eφ = − sin(φ)ex + cos(φ)ey (G.1)

ρ = cos(φ)ex + sin(φ)ey (G.2)

Abbildung G.3.: Betrachtung in der ρz-Ebene zur Bestimmung von er undeθ

Wir betrachten nun die Ebene gebildet aus den Vektoren ρ und ez. In dieserDarstellung ist er radial und eθ zeigt in die Richtung der positiven θ-Koordinate.Dadurch ist auch er, eθ und eφ in dieser Reihenfolge ein ortogonales Rechtssystem.Aus der Abbildung liest man

er = cos(θ)ez + sin(θ)ρ (G.3)

= cos(θ)ez + sin(θ) (cos(φ)ex + sin(φ)ey)

= sin(θ) cos(φ)ex + sin(θ) sin(φ)ey + cos(θ)ez

eθ = − sin(θ)ez + cos(θ)ρ (G.4)

= − sin(θ)ez + cos(θ) (cos(φ)ex + sin(φ)ey)

= cos(θ) cos(φ)ex + cos(θ) sin(φ)ey − sin(θ)ez

Dabei merken wir uns, dass θ und φ Funktionen der Zeit sind. Zusammenfassenderhalten wir

er = sin(θ) cos(φ)ex + sin(θ) sin(φ)ey + cos(θ)ez (G.5)

eθ = cos(θ) cos(φ)ex + cos(θ) sin(φ)ey − sin(θ)ez (G.6)

eφ = − sin(φ)ex + cos(φ)ey (G.7)

Wir wissen, dass ex, ey und ez ein orthogonales Koordinatensystem ist. Alsoist insbesondere 1 = ex · ex = ey · ey = ez · ez und 0 = ex · ey = ey · ezx = ez · ex.Wenn wir mit diesem Wissen er · er, eθ · eθ und eφ · erφ sowie er · eθ, eθ · eφ und


289 G.1 Geschwindigkeiten

eφ · er berechnen, können wir zeigen, dass auch das Koordinatensystem er, eθ undeφ ein orthogonales Koordinatensystem ist.Wenn wir dieses Gleichungssystem nach ex, ey und ez auösen, erhalten wir die

Umkehrrelationen

ex = sin(θ) cos(φ)er + cos(θ) cos(φ)eθ − sin(φ)eφ (G.8)

ey = sin(θ) sin(φ)er + cos(θ) sin(φ)eθ + cos(φ)eφ (G.9)

ez = cos(θ)er − sin(θ)eθ (G.10)

Durch Rückeinsetzen kann man sich überzeugen, dass dies konsistente Formu-lierungen sind.

G.1. Geschwindigkeiten

Wir wissen, dass in kartesischen Koordinaten

r =

xyz

= xex + yey + zez (G.11)

der Ortsvektor ist. Die Geschwindigkeit ist dann

v =dr

dt=

dxdtdydtdzdt

=

xyz


Wir verwenden die Beziehungen

x = r sin(θ) cos(φ) (G.13)

y = r sin(θ) sin(φ) (G.14)

z = r cos(θ) (G.15)

und leiten sie ab. Wir erhalten

x = r sin(θ) cos(φ) + r cos(θ) cos(φ)θ − r sin(θ) sin(φ)φ (G.16)

y = r sin(θ) sin(φ) + r cos(θ) sin(φ)θ + r sin(θ) cos(φ)φ (G.17)

z = r cos(θ)− r sin(θ)θ (G.18)

Wir setzen in die Gleichung G.12 die Gleichungen G.8, G.9, G.10, G.16, G.17



und G.18 ein und ordnen nach er, eθ und eφ.

v =xex + yey + zez (G.19)

=x [sin(θ) cos(φ)er + cos(θ) cos(φ)eθ − sin(φ)eφ]

+ y [sin(θ) sin(φ)er + cos(θ) sin(φ)eθ + cos(φ)eφ]

+ z [cos(θ)er − sin(θ)eθ]

= [x sin(θ) cos(φ) + y sin(θ) sin(φ) + z cos(θ)] er

+ [x cos(θ) cos(φ) + y cos(θ) sin(φ)− z sin(θ)] eθ

+ [−x sin(φ) + y cos(φ)] eφ

Der Übersichtlichkeit halber berechnen wir nun die drei Komponenten er, eθund eφ getrennt. Wir beginnen mit er.

vr =x sin(θ) cos(φ) + y sin(θ) sin(φ) + z cos(θ) (G.20)

=[r sin(θ) cos(φ) + r cos(θ) cos(φ)θ − r sin(θ) sin(φ)φ

]sin(θ) cos(φ)

+[r sin(θ) sin(φ) + r cos(θ) sin(φ)θ + r sin(θ) cos(φ)φ

]sin(θ) sin(φ)

+[r cos(θ)− r sin(θ)θ

]cos(θ)

=r [sin(θ) cos(φ) sin(θ) cos(φ) + sin(θ) sin(φ) sin(θ) sin(φ) + cos(θ) cos(θ)]

+ rθ [cos(θ) cos(φ) sin(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ) sin(θ) sin(φ)− sin(θ) cos(θ)]

+ rφ [− sin(θ) sin(φ) sin(θ) cos(φ) + sin(θ) cos(φ) sin(θ) sin(φ)]

=r[sin2(θ) cos2(φ) + sin2(θ) sin2(φ) + cos2(θ)

]+ rθ

[cos(θ) cos2(φ) sin(θ) + cos(θ) sin2(φ) sin(θ)− sin(θ) cos(θ)

]+ rφ

[− sin2(θ) sin(φ) cos(φ) + sin2(θ) sin(φ) cos(φ)

]=r[sin2(θ)

(cos2(φ) + sin2(φ)

)+ cos2(θ)

]+ rθ

[cos(θ) sin(θ)

[cos2(φ) + sin2(φ)

]− sin(θ) cos(θ)

]=r[sin2(θ) + cos2(θ)

]+ rθ [cos(θ) sin(θ)− sin(θ) cos(θ)]

=r

Wir fahren mit eθ weiter.


291 G.1 Geschwindigkeiten

vθ =x cos(θ) cos(φ) + y cos(θ) sin(φ)− z sin(θ) (G.21)

=[r sin(θ) cos(φ) + r cos(θ) cos(φ)θ − r sin(θ) sin(φ)φ

]cos(θ) cos(φ)


]cos(θ) sin(φ)

−[r cos(θ)− r sin(θ)θ

]sin(θ)

=r [sin(θ) cos(φ) cos(θ) cos(φ) + sin(θ) sin(φ) cos(θ) sin(φ)− cos(θ) sin(θ)]

+ rθ [cos(θ) cos(φ) cos(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ) cos(θ) sin(φ) + sin(θ) sin(θ)]

+ rφ [−r sin(θ) sin(φ) cos(θ) cos(φ) + sin(θ) cos(φ) cos(θ) sin(φ)]

=r[sin(θ) cos(θ) cos2(φ) + sin(θ) cos(θ) sin2(φ)− cos(θ) sin(θ)

]+ rθ

[cos2(θ) cos2(φ) + cos2(θ) sin2(φ) + sin2(θ)

]+ rφ [−r sin(θ) sin(φ) cos(θ) cos(φ) + sin(θ) sin(φ) cos(θ) cos(φ)]

=r [sin(θ) cos(θ)− cos(θ) sin(θ)]

+ rθ[cos2(θ) + sin2(θ)

]=rθ

Wir schliessen mit eφ.

vφ =− x sin(φ) + y cos(φ) (G.22)

=−[r sin(θ) cos(φ) + r cos(θ) cos(φ)θ − r sin(θ) sin(φ)φ

]sin(φ)


]cos(φ)

=r [− sin(θ) cos(φ) sin(φ) + sin(θ) sin(φ) cos(φ)]

+ rθ [− cos(θ) cos(φ) sin(φ) + cos(θ) sin(φ) cos(φ)]

+ rφ [sin(θ) sin(φ) sin(φ) + sin(θ) cos(φ) cos(φ)]

=rφ[sin(θ) sin2(φ) + sin(θ) cos2(φ)

]=r sin(θ)φ

Zusammenfassend haben wir

v =vrer + vθeθ + vφeφ (G.23)

=rer + rθeθ + r sin(θ)φeφ



G.2. Beschleunigung

Die Beschleunigung ist in kartesischen Koordinaten

a =d2r

dt2=

d2xdt2d2ydt2d2zdt2

=

xyz


Wir verwenden die Beziehungen

x =r sin(θ) cos(φ) (G.25)

y =r sin(θ) sin(φ) (G.26)

z =r cos(θ) (G.27)

und leiten sie zweimal ab. Wir erhalten aus

x =r sin(θ) cos(φ) + r cos(θ) cos(φ)θ − r sin(θ) sin(φ)φ

y =r sin(θ) sin(φ) + r cos(θ) sin(φ)θ + r sin(θ) cos(φ)φ

z =r cos(θ)− r sin(θ)θ

die Gleichungen

x =r sin(θ) cos(φ) + r cos(θ) cos(φ)θ − r sin(θ) sin(φ)φ (G.28)

+ r cos(θ) cos(φ)θ − r sin(θ) cos(φ)θ2 − r cos(θ) sin(φ)φθ + r cos(θ) cos(φ)θ

− r sin(θ) sin(φ)φ− r cos(θ) sin(φ)φθ − r sin(θ) cos(φ)φ2 − r sin(θ) sin(φ)φ

=r sin(θ) cos(φ)

+ rθ [cos(θ) cos(φ) + cos(θ) cos(φ)]

+ rφ [− sin(θ) sin(φ)− sin(θ) sin(φ)]

+ rθ2 [− sin(θ) cos(φ)]

+ rφθ [− cos(θ) sin(φ)− cos(θ) sin(φ)]

+ rθ [cos(θ) cos(φ)]

+ rφ2 [− sin(θ) cos(φ)]

+ rφ [− sin(θ) sin(φ)]

=r sin(θ) cos(φ) + 2rθ cos(θ) cos(φ)− 2rφ sin(θ) sin(φ)− rθ2 sin(θ) cos(φ)

− 2rφθ cos(θ) sin(φ) + rθ cos(θ) cos(φ)− rφ2 sin(θ) cos(φ)− rφ sin(θ) sin(φ)

und


293 G.2 Beschleunigung

y =r sin(θ) sin(φ) + r cos(θ) sin(φ)θ + r sin(θ) cos(φ)φ (G.29)

+ r cos(θ) sin(φ)θ − r sin(θ) sin(φ)θ2 + r cos(θ) cos(φ)θφ+ r cos(θ) sin(φ)θ

+ r sin(θ) cos(φ)φ+ r cos(θ) cos(φ)θφ− r sin(θ) sin(φ)φ2 + r sin(θ) cos(φ)φ

=r sin(θ) sin(φ)

+ rθ [cos(θ) sin(φ) + cos(θ) sin(φ)]

+ rφ [sin(θ) cos(φ) + sin(θ) cos(φ)]

− rθ2 sin(θ) sin(φ)

+ rθφ [cos(θ) cos(φ) + cos(θ) cos(φ)]

+ r cos(θ) sin(φ)θ

− rφ2 sin(θ) sin(φ)

+ r sin(θ) cos(φ)φ

=r sin(θ) sin(φ) + 2rθ cos(θ) sin(φ) + 2rφ sin(θ) cos(φ)− rθ2 sin(θ) sin(φ)

+ 2rθφ cos(θ) cos(φ) + rθ cos(θ) sin(φ)− rφ2 sin(θ) sin(φ) + rφ sin(θ) cos(φ)

sowie

z =r cos(θ)− r sin(θ)θ (G.30)

− r sin(θ)θ − r cos(θ)θ2 − r sin(θ)θ

=r cos(θ)− 2r sin(θ)θ − r cos(θ)θ − r sin(θ)θ

Wir setzen in die Gleichung G.24 die Gleichungen G.8, G.9, G.10, G.28, G.29und G.30 ein und ordnen nach er, eθ und eφ.

a =xex + yey + zez (G.31)

=x [sin(θ) cos(φ)er + cos(θ) cos(φ)eθ − sin(φ)eφ]

+ y [sin(θ) sin(φ)er + cos(θ) sin(φ)eθ + cos(φ)eφ]

+ z [cos(θ)er − sin(θ)eθ]

= [x sin(θ) cos(φ) + y sin(θ) sin(φ) + z cos(θ)] er

+ [x cos(θ) cos(φ) + y cos(θ) sin(φ)− z sin(θ)] eθ

+ [−x sin(φ) + y cos(φ)] eφ

Der Übersichtlichkeit halber berechnen wir nun die drei Komponenten er, eθund eφ getrennt. Wir beginnen mit er.



ar =x sin(θ) cos(φ) + y sin(θ) sin(φ) + z cos(θ) (G.32)

=[r sin(θ) cos(φ) + 2rθ cos(θ) cos(φ)− 2rφ sin(θ) sin(φ)− rθ2 sin(θ) cos(φ)

− 2rφθ cos(θ) sin(φ) + rθ cos(θ) cos(φ) (G.33)

−rφ2 sin(θ) cos(φ)− rφ sin(θ) sin(φ)]

sin(θ) cos(φ)

+[r sin(θ) sin(φ) + 2rθ cos(θ) sin(φ) + 2rφ sin(θ) cos(φ)

− rθ2 sin(θ) sin(φ) + 2rθφ cos(θ) cos(φ)

+r cos(θ) sin(φ)θ − rφ2 sin(θ) sin(φ) + rφ sin(θ) cos(φ)]

sin(θ) sin(φ)

+[r cos(θ)− 2rθ sin(θ)− rθ2 cos(θ)− rθ sin(θ)

]cos(θ)

=r [sin(θ) cos(φ) sin(θ) cos(φ) + sin(θ) sin(φ) sin(θ) sin(φ) + cos(θ) cos(θ)]

+ 2rθ [cos(θ) cos(φ) sin(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ) sin(θ) sin(φ)− sin(θ) cos(θ)]

+ 2rφ [− sin(θ) sin(φ) sin(θ) cos(φ) + sin(θ) cos(φ) sin(θ) sin(φ)]

+ rθ2 [− sin(θ) cos(φ) sin(θ) cos(φ)− sin(θ) sin(φ) sin(θ) sin(φ)− cos(θ) cos(θ)]

+ 2rθφ [− cos(θ) sin(φ) sin(θ) cos(φ) + cos(θ) cos(φ) sin(θ) sin(φ)]

+ rθ [cos(θ) cos(φ) sin(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ) sin(θ) sin(φ)− sin(θ) cos(θ)]

+ rφ2 [− sin(θ) cos(φ) sin(θ) cos(φ)− sin(θ) sin(φ) sin(θ) sin(φ)]

+ rφ [− sin(θ) sin(φ) sin(θ) cos(φ) + sin(θ) cos(φ) sin(θ) sin(φ)]

=r[sin2(θ) cos2(φ) + sin2(θ) sin2(φ) + cos2(θ)

]+ 2rθ

[cos(θ) sin(θ) cos2(φ) + cos(θ) sin(θ) sin2(φ)− sin(θ) cos(θ)

]+ 2rφ

[− sin2(θ) sin(φ) cos(φ) + sin2(θ) cos(φ) sin(φ)

]+ rθ2

[− sin2(θ) cos2(φ)− sin2(θ) sin2(φ)− cos2(θ)

]+ rθ

[cos(θ) sin(θ) cos2(φ) + cos(θ) sin(θ) sin2(φ)− sin(θ) cos(θ)

]+ rφ2

[− sin2(θ) cos2(φ)− sin2(θ) sin2(φ)

]+ rφ

[− sin2(θ) sin(φ) cos(φ) + sin2(θ) cos(φ) sin(φ)

]=r[sin2(θ) + cos2(θ)

]+ 2rθ [cos(θ) sin(θ)− sin(θ) cos(θ)]

+ rθ2[− sin2(θ)− cos2(θ)

]+ rθ [cos(θ) sin(θ)− sin(θ) cos(θ)]

+ rφ2[− sin2(θ)

]=r − rθ2 − r sin2(θ)φ2

und



aθ =x cos(θ) cos(φ) + y cos(θ) sin(φ)− z sin(θ) (G.34)

=[r sin(θ) cos(φ) + 2rθ cos(θ) cos(φ)− 2rφ sin(θ) sin(φ)− rθ2 sin(θ) cos(φ)

−2rφθ cos(θ) sin(φ) + rθ cos(θ) cos(φ)− rφ2 sin(θ) cos(φ)− rφ sin(θ) sin(φ)]

cos(θ) cos(φ)

+[r sin(θ) sin(φ) + 2rθ cos(θ) sin(φ) + 2rφ sin(θ) cos(φ)− rθ2 sin(θ) sin(φ)

+2rθφ cos(θ) cos(φ) + rθ cos(θ) sin(φ)− rφ2 sin(θ) sin(φ) + rφ sin(θ) cos(φ)]

cos(θ) sin(φ)

−[r cos(θ)− 2rθ sin(θ)− rθ cos(θ)− rθ sin(θ)

]sin(θ)

=r [sin(θ) cos(φ) cos(θ) cos(φ) + sin(θ) sin(φ) cos(θ) sin(φ)− cos(θ) sin(θ)]

+ 2rθ [cos(θ) cos(φ) cos(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ) cos(θ) sin(φ) + sin(θ) sin(θ)]

+ 2rφ [− sin(θ) sin(φ) cos(θ) cos(φ) + sin(θ) cos(φ) cos(θ) sin(φ)]

+ rθ2 [− sin(θ) cos(φ) cos(θ) cos(φ)− sin(θ) sin(φ) cos(θ) sin(φ) + cos(θ) sin(θ)]

+ 2rφθ [− cos(θ) sin(φ) cos(θ) cos(φ) + cos(θ) cos(φ) cos(θ) sin(φ)]

+ rθ [cos(θ) cos(φ) cos(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ) cos(θ) sin(φ) + sin(θ) sin(θ)]

+ rφ2 [− sin(θ) cos(φ) cos(θ) cos(φ)− sin(θ) sin(φ) cos(θ) sin(φ)]

+ rφ [− sin(θ) sin(φ) cos(θ) cos(φ) + sin(θ) cos(φ) cos(θ) sin(φ)]

=r[sin(θ) cos(θ) cos2(φ) + sin(θ) cos(θ) sin2(φ)− cos(θ) sin(θ)

]+ 2rθ


]+ rθ2

[− sin(θ) cos(θ) cos2(φ)− sin(θ) cos(θ) sin2(φ) + cos(θ) sin(θ)

]+ rθ


]+ rφ2

[− sin(θ) cos(θ) cos2(φ)− sin(θ) cos(θ) sin2(φ)

]=r [sin(θ) cos(θ)− cos(θ) sin(θ)]

+ 2rθ[cos2(θ) + sin2(θ)

]+ rθ2 [− sin(θ) cos(θ) + cos(θ) sin(θ)]

+ rθ[cos2(θ) + sin2(θ)

]− rφ2 [sin(θ) cos(θ)]

=2rθ + rθ − r sin(θ) cos(θ)φ2



und schliesslich

aφ =− x sin(φ) + y cos(φ) (G.35)

=−[r sin(θ) cos(φ) + 2rθ cos(θ) cos(φ)− 2rφ sin(θ) sin(φ)− rθ2 sin(θ) cos(φ)

−2rφθ cos(θ) sin(φ) + rθ cos(θ) cos(φ)− rφ2 sin(θ) cos(φ)− rφ sin(θ) sin(φ)]

sin(φ)

+[r sin(θ) sin(φ) + 2rθ cos(θ) sin(φ) + 2rφ sin(θ) cos(φ)− rθ2 sin(θ) sin(φ)

+2rθφ cos(θ) cos(φ) + rθ cos(θ) sin(φ)− rφ2 sin(θ) sin(φ) + rφ sin(θ) cos(φ)]

cos(φ)

=r [− sin(θ) cos(φ) sin(φ) + sin(θ) sin(φ) cos(φ)]

+ 2rθ [− cos(θ) cos(φ) sin(φ) + cos(θ) sin(φ) cos(φ)]

+ 2rφ [sin(θ) sin(φ) sin(φ) + sin(θ) cos(φ) cos(φ)]

+ rθ2 [sin(θ) cos(φ) sin(φ)− sin(θ) sin(φ) cos(φ)]

+ 2rφθ [cos(θ) sin(φ) sin(φ) + cos(θ) cos(φ) cos(φ)]

+ rθ [− cos(θ) cos(φ) sin(φ) + cos(θ) sin(φ) cos(φ)]

+ rφ2 [sin(θ) cos(φ) sin(φ)− sin(θ) sin(φ) cos(φ)]

+ rφ [sin(θ) sin(φ) sin(φ) + sin(θ) cos(φ) cos(φ)]

= + 2rφ[sin(θ) sin2(φ) + sin(θ) cos2(φ)

]+ 2rφθ

[cos(θ) sin2(φ) + cos(θ) cos2(φ)

]+ rφ

[sin(θ) sin2(φ) + sin(θ) cos2(φ)

]= + 2rφ sin(θ) + 2rφθ cos(θ) + rφ sin(θ)

=[rφ+ 2rφ

]sin(θ) + 2rφθ cos(θ)

Zusammenfassend haben wir

a =arer + aθeθ + aφeφ (G.36)

=[r − rθ2 − r sin2(θ)φ2

]er

+[2rθ + rθ − r sin(θ) cos(θ)φ2

]eθ

+[(rφ+ 2rφ

)sin(θ) + 2rφθ cos(θ)

]eφ

G.2.1. Interpretation

Wir teilen die Beschleunigung in drei Komponenten auf

a = ap + az + ac (G.37)

Dies ist in der angegebenen Reihenfolge die Parallelbeschleunigung, die den Be-trag der Geschwindigkeit erhöht, die Zentripetalbeschleunigung und die Coriolis-Beschleunigung.



Im Einzelnen haben wir

ap = rer + rθeθ + r sin(θ)φeφ (G.38)

az = −r[θ2 + sin2(θ)φ2

]er − r sin(θ) cos(θ)φ2eθ (G.39)

ac = 2rθeθ + 2[r sin(θ) + rθ cos(θ)

]φeφ (G.40)


H. Berechnungen in ebenen

schiefwinkligen Dreiecken


Abbildung H.1.: Dreieck

halber Dreiecksumfang s = a+b+c2

Radius des Umkreises R = a2 sinα

= b2 sinβ

= c2 sin γ

Radius des Inkreises r =√

(s−a)(s−b)(s−c)s

= s tan α2

tan β2

tan γ2

= 4R sin α2β2γ2

Flächeninhalt S = 12ab sin γ = 2R2 sinα sin β sin γ = rs =√

s(s− a)(s− b)(s− c)

Sinussatz asinα

= bsinβ

= csin γ

= 2RR ist der Umkreisradius

Projektionssatz c = a cos β + b cosα

Kosinussatz oder Satz des Pythagoras im schiefwinkligen Dreieck c2 = a2+b2 − 2ab cos γ

Mollweidsche Gleichungen (a+ b) sin γ2

= c cos(α−β

2

)(a− b) cos γ

2= c sin

(α−β

2

)Tangenssatz a+b

a−b =tan α+β

2

tan α−β2

Halbwinkelsatz tan α2

=√

(s−b)(s−c)s(s−a)

Tangensformeln tanα = a sinβc−a cosβ

= a sin γb−a cos γ

Beziehungen für halbe Winkel sin α2

=√

(s−b)(s−c)bc

cos α2

=√

s(s−a)bc

Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken 300


gegeben Formeln

1.1 Seite und 2 Winkel(a,α,β) γ = π−α− β, b = a sinβ

sinα, c = a sin γ

sinα, S = 1

2ab sin γ

2.2 Seiten und der ein-geschlossene Winkel(a,b,γ)

tan α−β2

= a−ba+b

cot γ2α+β

2= π

2− γ

2α und β werden

aus α + β und α − β berechnet. c = a sin γsinα

, S =12ab sin γ

3.2 Seiten und der einervon ihnen gegenüberlie-gende Winkel (a,b,α)

sin β = b sinαa

Für a ≥ b ist β < π2und eindeu-

tig bestimmt. Für a < b sind die folgenden Fällemöglich:

1. β hat für b sinα < a zwei Werte β2 = π−β1

2. β hat genau einen Wert (π2) für b sinα = a

3. Für b sinα > a ist es unmöglich, ein Dreieckzu konstruieren.

γ = π − α− β c = a sin γsinα

S = 12ab sin γ

4. 3 Seiten (a,b,c)r =

√(s−a)(s−b)(s−c)

s, tan α

2= r

s−a , tan β2

= rs−b ,

tan γ2

= rs−c , S = rs =

√s(s− a)(s− b)(s− c)

Tabelle H.1.: Formeln für schiefwinklige ebene Dreiecke


I. Mittelung über den

Stossquerschnitt

Abbildung I.1.: Mittelung über den Stossquerschnitt

Bei jedem Stoss wird der Impuls um die Strecke d weiter transportiert (SieheAbbildung I.1). Bei einem zentralen Stoss ist d = 2r, bei einem Stoss mit demStossparameter b = 2r ist d = 0. d hängt wie folgt von b ab:

d2 = (2r)2 − b2 = 4r2 − b2 (I.1)

Bei der Mittelung berücksichtigen wir die Zylindersymmetrie

〈d〉 =1

π(2r)2

2π∫0

2r∫0

d(b) b db dφ

=1

4πr2

2π∫0

2r∫0

√4r2 − b2 b db dφ

=2π

4πr2

2r∫0

√4r2 − b2 b db

=1

2r2

2r∫0

√4r2 − b2 b db

Mittelung über den Stossquerschnitt 302

Dieses Integral kann mit der Substitution

x2 = 4r2 − b2

und damit2x dx = −2b db

gelöst werden. Die Grenzen transformieren sich wie 0→ 2r und 2r → 0.

〈d〉 =1

2r2

2r∫0

√4r2 − b2 b db

= − 1

2r2

0∫2r

x x dx

=1

2r2

2r∫0

x x dx

=1

2r2

1

3(2r)3

=4

3r (I.2)


J. Umrechnung der Lösungen des

gedämpften harmonischen

Oszillators

Die Lösungen für den Fall ω20 >

b2

4m2 sind

x(t) = e−b

2mt

(A0, 1e

it√ω2

0−b2

4m2 + A−it√ω2

0−b2

4m2

0, 2

)(J.1)

Mit den Abkürzungen B = b/(2m) sowie ω′ =√ω2

0 − b2

4m2 lautet die Gleichung

(J.1)

x(t) = e−B t(A0, 1e

iω′t + A−iω′t

0, 2

)(J.2)

in der komplexen Schreibweise . Hier sind sowohl der Imaginärteil

xi(t) = e−B t (A0, 1 − A0, 2) sin(ω′t)

wie auch der Realteil

xr(t) = e−B t (A0, 1 + A0, 2) cos(ω′t)

Lösungen. Die vollständig geschriebene Lösung ist dann

x(t) = xi(t) + xr(t) = e−B t [(A0, 1 − A0, 2) sin(ω′t) + (A0, 1 + A0, 2) cos(ω′t)] (J.3)

Andererseits würde die Lösung mit cos geschrieben

x(t) = A0e−B t cos(ω′t+ δ) (J.4)

lauten. Hier sind sin und cos in der Phase δ versteckt. Den gemeinsamen Faktore−B t können wir für die Umrechnung weglassen.

x(t) = A0e−B t [cos(ω′t) cos(δ)− sin(ω′t) sin(δ)] (J.5)

Wir vergleichen in den Gleichungen (J.3) und (J.5) die Vorfaktoren von sin undcos und erhalten

A0 cos(δ) = A0, 1 + A0, 2 (J.6)

−A0 sin(δ) = A0, 1 − A0, 2 (J.7)

Umrechnungen: Harmonischer Oszillator 304

Indem wir in Gleichung (J.6) die negierte zweite Zeile durch die erste teilenbekommen wir

tan(δ) =A0, 2 − A0, 1

A0, 2 + A0, 1(J.8)

Quadrieren wir in Gleichung (J.6) beide Zeilen und addieren sie, erhalten wir

A20 cos2(δ) + A2

0 sin2(δ) = A20 = (A0, 1 + A0, 2)2 + (A0, 1 − A0, 2)2 = 2

(A2

0, 1 + A20, 2

)(J.9)

oder, indem wir die positive Lösung verwenden,

A0 =√

2√A2

0, 1 + A20, 2 (J.10)


K. Umrechnung von

thermodynamischen

Funktionen

(Siehe Handbook of Chemistry and Physics [Wea80, pp. D-120])Die folgenden Funktionen werden betrachtet:

p Druck

V Volumen

T Temperatur

ν Molzahl

S Entropie

U innere Energie

cp,mol molare Wärmekapazität bei konstantem Druck

α isobarer Volumenausdehnungskoezient

κ isotherme Kompressibilität

H = U + pV Enthalpie

F = U − TS freie Energie

G = H − TS freie Enthalpie

Aus den folgenden Tabellen können die ersten Ableitungen von p, V , T , U , S, H,F und G als Funktion von (∂V/∂T )p, (∂V/∂p)T und (∂H/∂T )p berechnet werden.Diese Grössen können gemessen werden:

α =1

V

(∂V

∂T

)p

isobare Volumenkompressibilität (K.1)

κ = − 1

V

(∂V

∂p

)T

isotherme Kompressibilität (K.2)

νcp,mol =

(∂H

∂T

)p

molare Wärmekapazität bei konstantem Druck (K.3)

Umrechnung von thermodynamischen Funktionen 306

Beispiel:

Wir wollen(∂H∂p

)Sals Funktion von T , p und V berechnen.

• In der Zeile Konstante geht man zu S. Am Kreuzungspunkt mit der Zeile(Dierential) H ndet man −V νcp,mol/T .

• In der Zeile Konstante geht man zu S. Am Kreuzungspunkt mit der Zeile(Dierential) p ndet man −νcp,mol/T .

• Das Resultat erhält man mit(∂H

∂p

)S

=−V νcp,mol/T−νcp,mol/T

= V

Wir wollen(∂S∂V

)Tals Funktion von T , p und V berechnen.

• In der Zeile Konstante geht man zu T . Am Kreuzungspunkt mit der Zeile(Dierential) S ndet man (∂V/∂T )p.

• In der Zeile Konstante geht man zu T . Am Kreuzungspunkt mit der Zeile(Dierential) V ndet man − (∂V/∂p)T .

• Das Resultat erhält man mit(∂S

∂T

)V

=(∂V/∂T )p− (∂V/∂p)T

=

(∂p

∂T

)V

KonstantenDierenzial T p

T 0 1p −1 0

V −(∂V∂p

)T

(∂V∂T

)p

S(∂V∂T

)p

νcp,molT

U T(∂V∂T

)p

+ p(∂V∂p

)T

νcp,mol − p(∂V∂T

)p

H −V + T(∂V∂T

)p

νcp,mol

F p(∂V∂p

)T

−S − p(∂V∂T

)p

G −V −STabelle K.1.: Thermodynamische Relationen I


307

KonstanteDierenzial V

T(∂V∂p

)T

p −(∂V∂T

)p

V 0

S(

1T

) [νcp,mol

(∂V∂p

)T

+ T(∂V∂T

)2

p

]U νcp,mol

(∂V∂p

)T

+ T(∂V∂T

)2

p

H νcp,mol

(∂V∂p

)T

+ T(∂V∂T

)2

p− V

(∂V∂T

)F −S

(∂V∂p

)T

G −V(∂V∂T

)p− S

(∂V∂p

)T

Tabelle K.2.: Thermodynamische Relationen II

KonstanteDierenzial S

T −(∂V∂T

)p

p −νcp,molT

V(− 1T

) [νcp,mol

(∂V∂p

)T

+ T(∂V∂T

)2

p

]S 0

U(pT

) [νcp,mol

(∂V∂p

)T

+ T(∂V∂T

)2

p

]H −Vνcp,mol

T

F(

1T

) [pνcp,mol

(∂V∂p

)T

+ pT(∂V∂T

)2

p+ TS

(∂V∂T

)p

]G

(− 1T

) [νcp,molV − TS

(∂V∂T

)p

]Tabelle K.3.: Thermodynamische Relationen III



KonstanteDierenzial U

T −T(∂V∂T

)p− p

(∂V∂p

)T

p −νcp,mol + p(∂V∂T

)p

V −νcp,mol(∂V∂p

)T− T

(∂V∂T

)2

p

S(− pT

) [νcp,mol

(∂V∂p

)T

+ T(∂V∂T

)2

p

]U 0

H −V[νcp,mol − p

(∂V∂T

)p

]− p

[νcp,mol

(∂V∂p

)T

+ T(∂V∂T

)2

p

]F p

[νcp,mol

(∂V∂p

)T

+ T(∂V∂T

)2

p

]+ S

[T(∂V∂T

)p

+ p(∂V∂p

)T

]G −V

[νcp,mol − p

(∂V∂T

)p

]+ S

[T(∂V∂T

)p

+ p(∂V∂p

)T

]Tabelle K.4.: Thermodynamische Relationen IV

KonstanteDierenzial H

T V − T(∂V∂T

)p

p −νcp,molV −νcp,mol

(∂V∂p

)T− T

(∂V∂T

)2

p+ V

(∂V∂T

)p

SV νcp,mol

T

U V[νcp,mol − p

(∂V∂T

)p

+ p[νcp,mol

(∂V∂T

)T

+ T(∂V∂T

)2

p

]]H 0

F −[S + p

(∂V∂T

)p

]×[V − T

(∂V∂T

)p− pνcp,mol

(∂V∂p

)T

]G −Vνcp,mol − V S + TS

(∂V∂T

)p

Tabelle K.5.: Thermodynamische Relationen V


309

KonstantenDierenzial F

T −p(∂V∂p

)T

p S + p−(∂V∂T

)p

V S(∂V∂p

)T

S(− 1T

) [pνcp,mol

(∂V∂p

)T

+ pT(∂V∂T

)2

p+ TS

(∂V∂T

)p

]U −p

[νcp,mol

(∂V∂p

)T

+ T(∂V∂T

)2

p

]− S

[T(∂V∂T

)p

+ p(∂V∂p

)T

]H

[S + p

(∂V∂T

)p

]×[V − T

(∂V∂T

)p− pνcp,mol

(∂V∂p

)T

]F 0

G S[V + p

(∂V∂p

)T

]+ pV

(∂V∂T

)p

Tabelle K.6.: Thermodynamische Relationen VI

KonstantenDierenzial G

T Vp S

V V(∂V∂T

)p

+ S(∂V∂p

)T

S(

1T

) [νcp,molV − TS

(∂V∂T

)p

]U V

[νcp,mol − p

(∂V∂T

)p

]− S

[T(∂V∂T

)p

+ p(∂V∂p

)T

]H Vνcp,mol + V S − TS

(∂V∂T

)p

F −S[V + p

(∂V∂p

)T

]+ pV

(∂V∂T

)p

G 0

Tabelle K.7.: Thermodynamische Relationen VII


L. Korrekturen

Seite: 30, Abschnitt 2.1.3.1:

0 = mx+ bx+ kx =x+b

mx+ ω2

0x

= −ω2A0e−iωt − iωA0e

−iωt + ω20A0e

−iωt =ω20 − ω2 − iω b

m

Dies ist eine quadratische Gleichung in ω. Die Lösungen sind

ω1, 2 = −i bm±√− b2

m2 + ω20

2=− i b

2m∓√ω2

0 −b2

4m2

Seite: 30, Abschnitt 2.58:

ω1, 2 =

−i b

2m∓√ω2

0 − b2

4m2 , für ω0 >b

2m(unterkritische Dämpfung);

−i b2m, für ω0 = b

2m(kritische Dämpfung);

−i(

b2m±√

b2

4m2 − ω20

), für ω0 <

b2m

(überkritische Dämpfung).

Seite: 30, Abschnitt 2.1.3.1: Die Schwingungsdierentialgleichung des gedämpf-ten Oszillators lautet also

md2

dt2x(t) + b

d

dtx(t) + k x(t) = 0

Seite: 37, Gleichung (2.83):

A

sin (π − δ2 + δ1)=

A

sin (δ1 − δ2)=

A2

sin(δ − δ1)

Seite: 37, Gleichung (2.82):

A =√A2

1 + A22 + 2A1A2 cos(δ2 − δ1)

Korrekturen 312


Abbildungsverzeichnis

2.1. Masse-Feder-System als Modell eines schwingungsfähigen Systems . . . 182.2. Zusammenhang zwischen der Kreisbewegung und einer Schwingung . . 202.3. Phasenbild eines harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4. Schwingendes System im Schwerefeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5. Mathematisches Pendel im Schwerefeld . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6. Physikalisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7. Torsionspendel (analog zur Gravitationswaage) . . . . . . . . . . . . . 272.8. Mit einem Exzenter angetriebenes Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . 322.9. Zeigerdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.10. Synthese einer Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.11. Synthese einer Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.12. Synthese einer Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.13. Synthese einer Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.14. Synthese einer Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.15. Synthese einer Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.16. Gekoppelte Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.17. Reexion einer Seilwelle: eingespanntes Ende . . . . . . . . . . . . . . . 482.18. Reexion einer Seilwelle: loses Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.19. Wasserwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.20. Überlagerung gleichphasiger Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.21. Überlagerung zweier Wellen gleicher Amplitude . . . . . . . . . . . . . 502.22. Überlagerung zweier Wellen mit unterschiedlichen Amplituden . . . . . 512.23. Kräfteverhältnisse an einem Wellenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.24. Der Schnappschuss einer Welle mit der Wellenlänge λ. . . . . . . . . . 522.25. Interferenz als Funktion der Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1. Arten der Deformation eines deformierbaren Körpers . . . . . . . . . . 573.2. Scherung eines Würfels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3. Verdrillung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4. Biegebalken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.5. Mikrotechnologische Herstellung eines Biegebalkens . . . . . . . . . . . 623.6. REM-Bilder eines Kraftmikroskopsensors . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.7. Zusammenhang zwischen Scherung und Dehnung . . . . . . . . . . . . 633.8. Spannungs-Dehnungs-Kurven von Stahl und Grauguss . . . . . . . . . 643.9. Allgemeine Kräfte an einem Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.10. Flüssigkeitsoberäche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.11. Oberäche einer rotierenden Flüssigkeitsäche . . . . . . . . . . . . . . 683.12. Denition des Druckes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


3.13. Hydraulische Presse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.14. Druckarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.15. Berechnung des Schweredruckes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.16. Auftrieb in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.17. Schwimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.18. Stabilität eines schwimmenden Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.19. Aräometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.20. Quecksilber-Barometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.21. Druckänderung mit der Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.22. Druck auf ein Volumenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.23. Kräfte auf ein Volumenelement Wasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.24. Molekulares Bild der Oberäche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.25. Berechnung der Kraft eines Flüssigkeitslmes . . . . . . . . . . . . . . 793.26. Tropfenzähler. Situation kurz vor dem Abreissen . . . . . . . . . . . . . 803.27. Krümmungsradien bei einer freien Oberäche . . . . . . . . . . . . . . 803.28. Oberächenspannung und Druck in einer Kugel . . . . . . . . . . . . . 813.29. Benetzende Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.30. Kräftegleichgewicht an der Grenzäche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.31. Vektorfeld der Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.32. Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.33. Berechnung der Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.34. Stromlinien in einer inkompressiblen Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . . 863.35. Geschwindigkeitsgradient und Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.36. Mitbewegtes System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.37. Innere Reibung in einer Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.38. Volumenkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.39. Strömung durch einen Spalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.40. Rohrströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.41. Strömung um eine Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.42. Prandtl-Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.43. Ideale Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.44. Manometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.45. Prandtlsches Staurohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.46. Ausströmen aus einem Loch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.47. Stromlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.48. Reales Bild einer Wirbelstrasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.49. Potentialwirbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.50. Helmholtzsche Wirbelsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.1. Wahrscheinlichtkeitsdichte und Energieintervall . . . . . . . . . . . . . 1034.2. Berechnung des Impulsübertrages auf die Wand . . . . . . . . . . . . . 1104.3. Mechanische Arbeit und Wärmezufuhr erhöhen die innere Energie U . 1124.4. Zustandsdiagramm T (p,V ) für das ideale Gas und adiabatische Ände-

rungen für die Anzahl Freiheitsgrade f = 3, f = 5, f = 6 und f = 20. . 117


315 Abbildungsverzeichnis

4.5. Doppelt logarithmische Darstellung des Zustandsdiagramms T (p,V )für das ideale Gas und adiabatische Änderungen für die Anzahl Frei-heitsgrade f = 3, f = 5, f = 6 und f = 20. . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.6. Darstellung der häugsten Typen von Zustandsänderungen . . . . . . . 1184.7. Berechnung der Anzahl Vektoren in einem Geschwindigkeitsintervall . 1194.8. Maxwell-Boltzmann-Verteilung für Wassersto H2 . . . . . . . . . . . . 1214.9. Kollision von Molekülen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.10. Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.11. Diusion: Teilchenströme nach links und rechts . . . . . . . . . . . . . 1294.12. Teilchenströme bei Gravitation und Diusion . . . . . . . . . . . . . . 1324.13. Arbeitszyklus eines Ottomotors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.14. Wärmestrom vom Wärmebad mit mechanischer Arbeit . . . . . . . . . 1344.15. Schematische Funktion einer Carnot-Maschine . . . . . . . . . . . . . . 1374.16. Arbeitsdiagramm der Carnot-Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.17. Mechanismus der Wärmeleitung in Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . 1394.18. Wärmeleitung durch einen Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.19. Wärmeübergang zwischen zwei Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.20. Anzahl Moleküle, die auf eine Fläche treen . . . . . . . . . . . . . . . 1424.21. Anzahl Atome auf einer Kugeläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.22. Reusenmaschine (analog zur Fischreuse) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.23. Reusenmaschine mit Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.24. Ratschenmaschine nach Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.25. Perpetuum Mobile mit Wechselstrom-Elektromotor . . . . . . . . . . . 1474.26. Perpetuum Mobile zweiter Art mit idealer Diode. . . . . . . . . . . . . 1474.27. Überströmversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.28. Wahrscheinlichkeit von Makrozustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.29. Ort x und Impuls p eines Teilchens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.30. Phasenraum eines Teilchens in einer eindimensionalen Welt. . . . . . . 1524.31. Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einem Volumen zu nden . . . . . . 1534.32. Skizze zweier thermodynamischer Systeme A und A′ im Kontakt. . . . 1574.33. Breite der Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.34. Überströmversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.35. p(E) und ln(p(E)) für λ = 0.001 and E = 2500. . . . . . . . . . . . . . 1664.36. Gekoppeltes Systems, das durch einen Kolben getrennt ist . . . . . . . 1704.37. Skizze einer Apparatur zur Messung der Entropie . . . . . . . . . . . . 1724.38. Entropiedierenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.39. Entropiedierenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.40. Entropiedierenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744.41. Mischung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.42. Teilen eines thermodynamischen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.43. Eselsbrücke für thermodynamische Potentiale . . . . . . . . . . . . . . 1894.44. Die Maxwellrelation

(∂T∂V

)S

= −(∂p∂S

)V

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4.45. Die Maxwellrelation(∂T∂p

)S

=(∂V∂S

)p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4.46. Die Maxwellrelation(∂S∂V

)T

=(∂p∂T

)V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190



4.47. Die Maxwellrelation(∂S∂p

)T

= −(∂V∂T

)p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

4.48. Federpendel ohne und mit Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.49. Einuss der Gravitation auf die potentielle Energie beim Feder-Masse-

Pendel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1924.50. Geschwindigkeit der Impulsübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004.51. Isothermen von CO2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2024.52. V p-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2034.53. Maxwellsche Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2034.54. Amagat-Diagramm oder pV (p)-Diagramm. . . . . . . . . . . . . . . . . 2064.55. Überströmversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2074.56. Modizierter Überströmversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2104.57. Bewegung der Masse M durch die poröse Membran . . . . . . . . . . . 2104.58. Kurven konstanter Enthalpie H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2124.59. Luftverüssigung nach dem Linde-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . 2144.60. Temperaturverlauf des Virialkoezienten B2(T ) . . . . . . . . . . . . 2164.61. Oberächenspannung und potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . 2184.62. Zustandsdiagramm von Wasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2184.63. Carnot-Prozess mit verdampfender Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . . 2194.64. Arrhenius-Darstellung des Dampfdrucks . . . . . . . . . . . . . . . . . 2214.65. Reversible Entmischung mit teildurchlässigen Membranen . . . . . . . 2244.66. Zweiphasensystem als System zweier Komponenten . . . . . . . . . . . 2314.67. ∆H aus der Arrhenius-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.68. Reaktionskoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.69. Pfeersche Zelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2384.70. Freie Enthalpie G als Funktion der Temperatur bei Mischungen . . . . 2394.71. Stabilitätsbedingung für die freie Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . 2404.72. Mischungslücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2404.73. Hebelgesetz für Phasendiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2414.74. Phasendiagramm für beliebig mischbare Substanzen . . . . . . . . . . 2424.75. Mischung mit azeotropem Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2434.76. Rückläuge Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2434.77. Binäre Mischung mit einer Mischungslücke . . . . . . . . . . . . . . . 2444.78. Entmischung an der Mischungslücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2444.79. Links: Mischungslücke bei hohen Temperaturen, Rechts Mischungslücke

in einem begrenzten Temperaturbereich (Bsp: Nikotin). . . . . . . . . . 2454.80. Phasendiagramm mit einem eutektischen Punkt . . . . . . . . . . . . . 2454.81. Wege durch die Phasendiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2454.82. Alternative Lage der Grenzlinien (Vergleich zu Abbildung 4.80) . . . . 2464.83. Phasendiagramm mit unmischbarer fester Phase . . . . . . . . . . . . . 2474.84. Phasendiagramm mit chemischer Verbindung . . . . . . . . . . . . . . 2474.85. Phasendiagramm mit 2 Tripelpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

C.1. Gradient als Richtung der stärksten Steigung . . . . . . . . . . . . . . 270C.2. Vektorfeld mit Umrandung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271C.3. Drehung eines schwimmenden Klotzes, Rotation . . . . . . . . . . . . . 272


317 Abbildungsverzeichnis

F.1. Kartesisches, zylindrisches und sphärisches Koordinatensystem . . . . . 283F.2. Umrechnung der Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

G.1. Mitgeführtes Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287G.2. Betrachtung in der xy-Ebene für eφ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287G.3. Betrachtung in der ρz-Ebene zur Bestimmung von er und eθ . . . . . . 288

H.1. Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

I.1. Mittelung über den Stossquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301


Tabellenverzeichnis

1.1. Vorlesungstermine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2. Seminartermine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1. Interferenz und Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1. Aggregatszustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2. Analogie zwischen Gravitation und Druck . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.1. Vergleich der Kelvin mit der Celsius-Skala . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.2. Anzahl Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3. Bedeutung der Symbole im ersten Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . 1134.4. Typische Zustandsänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.5. Druckarbeit bei typischen Zustandsänderungen . . . . . . . . . . . . . 1184.6. Kompressionsverhältnis und Wirkungsgrade . . . . . . . . . . . . . . . 1364.7. Mikrozustände von 3 Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.8. Drei Mikrozustände, die einen Makrozustand bilden . . . . . . . . . . . 1494.9. Makrozustände beim Überströmversuch mit drei Teilchen . . . . . . . . 1494.10. Binominalverteilung, 2 Kompartimente und 2-4 Teilchen . . . . . . . . 1504.11. Makrozustände bei drei Teilchen und zwei Zuständen . . . . . . . . . . 1504.12. Unterscheidung von reversiblen und irreversiblen Prozessen . . . . . . . 1574.13. Gültigkeit der statistischen Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574.14. Wahrscheinlichkeiten und Entropien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.15. Beispiele für verallgemeinerte Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.16. Extensive und intensive Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.17. Tabelle einiger Inversionstemperaturen Ti . . . . . . . . . . . . . . . . . 2134.18. Vergleich der Virialkoezienten des idealen Gases, des van-der-Waals-

Gases und eines realen Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2154.19. Arbeit bei der reversiblen Entmischung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

C.1. Dierentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264C.2. Ableitung einiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265C.3. Reihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

E.1. Unbestimmte Integrale I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278E.2. Unbestimmte Integrale II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

H.1. Formeln für schiefwinklige ebene Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . 300

K.1. Thermodynamische Relationen I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306K.2. Thermodynamische Relationen II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

Tabellenverzeichnis 320

K.3. Thermodynamische Relationen III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307K.4. Thermodynamische Relationen IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308K.5. Thermodynamische Relationen V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308K.6. Thermodynamische Relationen VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309K.7. Thermodynamische Relationen VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309


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Stichwortverzeichnis

Äquipartitionsgesetz, 108Überlagerung, 4951

Schwingung, 3642gleiche Richtung, 3637Schwebung, 3738unterschiedliche Richtungen, 36

1. Ficksche Gesetz in einer Dimension,131

Ableitungdrei Dimensionen, 270273lokal, 8889total, 8889

Adiabate, 118Adiabatenexponenten, 116adiabatische Zustandsänderungen, 115Aggregatszustand, 67, 217Amagat-Diagramm, 206Amplitude, 19, 20, 26, 28, 30, 3437,

45, 48, 50, 5356Anelastisches Verhalten, 6465Anisotrope Körper

Elastomechanik, 6566Anwendungen, 9798Arbeit, 11, 59, 71, 79, 96

Druck, 7071Arrhenius-Darstellung, 221, 237Aräometer, 74Atmosphäre

Höhe, 7576Atmosphärendruck, 7576Auftrieb, 72Ausbreitungsgeschwindigkeit, 5152Avogadro-Zahl, 109azeotrop, 243

Barometrische Höhenformelisotherm, 76

Benetzung, 8283Bernoulli, B., 111Beschleunigung, 18, 19, 32, 89Beschreibung

Strömung, 8387Beweglichkeit, 132Bewegung

um Gleichgewichtspunkt, 2728Biegung, 6163Binnendruck, 202Boltzmannverteilung, 105Boyle-Mariotte

Gesetz, 74Bruchdehnung, 65

Carnot-Maschine, 136, 219chemisches Potential, 228Clausius-Clapeyron-Gleichung, 220

Daltonsches Gesetz, 223Dampfbildung, 98Deformierbare Medien, 57100Dehnung, 5759Determinante, 46, 47Dierentiation, 263273

einfache Funktionen, 265266Regeln, 264

Dierentiationsreglen, 264Diusion, 226Diusionskoezient, 130Dimension, 47, 95Dissoziationsenergie, 181Divergenz, 271272Draht

Verdrillung, 60Drehmoment, 26, 43, 60, 61, 65, 73Dreieck, 299, 300

schiefwinklig, 299300


Druck, 6971, 93, 99Gas, 74Potential, 7778Wirkung, 6970

Druckarbeit, 7071Druckgradient, 99Dulong-Petit, 109

Edukte, 236Eigenschwingung, 4547Eigenvolumen, 111Einsteinbeziehung, 133Elastische Konstanten

Beziehungen, 6364Elastomechanik, 5766

anisotrope Körper, 6566Energie

gesamt, 21, 46, 53kinetisch, 21, 22, 53, 95potentiell, 20, 22, 24, 46

EnergieübertragWellen, 5354

EnergiebilanzHarmonische Schwingung, 2022

Enthalpie, 195Entmischung, 240Entropie, 137Erstarren, 221Erster Hauptsatz, 113Erzwungene Schwingung, 3236Eulerwinkel, 107

Feder, 20, 23, 24, 32, 42, 43, 45, 46MasseSchwerefeld, 2324

FeldGravitation, 22, 67

Femtosekunden-Spektroskopie, 238Festigkeitsgrenze, 62, 65Fluss, 8487Flüssigkeit, 67, 7274, 79, 82, 83, 86,

90, 93benetzend, 8283idealStrömung, 9698

Oberäche

Gestalt, 6768Flüssigkeiten, 6778Fourierreihen, 3842freie Energie, 194freie Enthalpie, 194Freie Oberäche, 8081Freie Weglänge

Mittel, 125Freiheitsgrade, 222Frequenz, 18, 19, 3538, 43, 52, 54

Resonanz, 35Fundamentalschwingung, 4547

Güte, 2932Gasdruck, 74Gase, 6778Gausskurve, 280281Gedämpfte Schwingung, 2832

erzwungen, 3236gedämpfter harmonischer Oszillator,

303304Gefrieren, 221Gekoppelte Schwingungen, 4245Geometrie, 96Gesamtenergie, 21, 46, 53Geschwindigkeit, 19, 21, 28, 4850, 53,

67, 83, 90, 95Ausbreitung, 5152

GesetzBoyle-Mariotte, 74Dalton, 223

Gesetz von Dulong-Petit, 109Gestalt

Flüssigkeitsoberäche, 6768Gibbs-Duhem-Gleichung, 229Gibbsche Phasenregel, 222Gibbsches Paradoxon, 227Gitterschwingungen, 139Gleichgewicht

Kräfte, 28, 52Kräfte, 80, 82

GleichgewichtspunktBewegung, 2728

Gradient, 270271Druck, 99

Gravitation, 24, 43, 78


325 Stichwortverzeichnis

Gravitationsfeld, 22, 67, 96Grenzschicht, 95

Prandtl, 9596Grundgleichung von D. Bernoulli, 111

Harmonische Schwingungen, 1728Energiebilanz, 2022Kreisbewegung, 20

Harmonische Wellen, 5253harmonischen Schwingung, 22harmonischer Oszillator

gedämpft, 303304Hebelgesetz, 241Helmholtzsche Wirbelsätze, 99100Hydraulische Presse, 70Höhe

Atmosphäre, 7576

Ideale FlüssigkeitStrömung, 9698

IdentitätenVektoren, 275

innere Energie, 112, 195Innere Reibung, 90Integrale

Rechenverfahren, 277unbestimmt, 278279

Integration, 263273Interferenz, 54, 55

harmonische Wellen, 5456Inversionskurve, 212irreversibel, 153Isentrope, 118Isobare, 118Isochore, 118Isotherme, 118isotherme Kompressibilität, 196

Joule-Thomson-Eekt, 211Joule-Thomson-Koezient, 212

Kapilarität, 8283Kartesische Koordinaten, 261, 283285Kavitation, 98Kelvin, 106Kelvin-Skala, 222Kinetische Energie, 21, 53, 95

Koexistenzbereich, 217Kompression, 5759Konstanten

elastischBeziehungen, 6364

Kontinuitätsgleichung, 89Koordinaten

kartesich, 261kartesisch, 283285sphärisch, 283285zylindrisch, 283285

Koordinatensystem, 51Kovolumen, 202Kräftegleichgewicht, 28, 52Kraft, 18, 25, 28, 32, 43, 58, 59, 61,

65, 67, 69, 71, 72, 77, 79, 80,90

Kraft-Distanz-Kurve, 28Kreisbewegung

Harmonische Schwingung, 20Kreisfrequenz, 18, 19, 53kritischer Punkt, 205Kräftegleichgewicht, 80, 82Kugel

Strömung, 93

Laminare Strömung, 9096Legierung, 179Leistung, 29, 54Linde-Verfahren, 214Linienintegral, 280Loch

Strömung, 9798Lokale Ableitung, 8889Longitudinalwellen, 49

Makrozustand, 149Manometer, 97Masse, 18, 19, 23, 25, 32, 71, 74

FederSchwerefeld, 2324

Massenwirkungsgesetz, 235Massenwirkungskonstante, 235, 236Mathematisches Pendel, 2425Maxwell-Boltzmann



Mittlerer Geschwindigkeitsbetrag,281282

Maxwellrelationen, 188Maxwellsche Konstruktion, 203Membrane, 224Mikrozustand, 148Mischungsentropie, 178, 227, 233Mischungslücke, 240, 244mol, 109Momentengleichung, 43

Navier-Stokes, 9394Nebelkammer, 204

OberächeFlüssigkeit, 6768frei, 8081

Oberächenspannung, 7883Oszillator

harmonischgedämpft, 303304

Otto-Zyklus, 135

ParadoxonGibbs, 227

Parameterdarstellung, 22Partialdruck, 226Pendel, 22, 2427, 32, 42, 43, 4547

mathematisch, 2425physikalisch, 2627Schwerefeld, 2427Torsion, 27

Periodendauer T , 52Pfeersche Zelle, 238Phase, 217Phasenübergang, 203Phasenbild, 22Phasenregel

Gibbs, 222Phasensprung, 48Phononen, 139Physikalisches Pendel, 2627Potential

Druck, 7778Potentielle Energie, 20, 22, 24, 46Prandtl-Grenzschicht, 9596

Prandtlsches Staurohr, 97Presse

hydraulisch, 70Produkte, 236Punktmasse, 25, 43

rückläuge Kondensation, 244Raum, 47Reaktionsenthalpie, 236Reexion, 4951Reibung

innere, 90Reihen, 266269

Fourier, 3842Resonanzfrequenz, 28, 35, 36, 45, 46reversibel, 154Reynoldszahl, 96Rohr

Strömung, 9293Rotation, 272273

Scharmittel, 127Scherung, 5960Scherviskosität, 90Schiefwinkliges Dreieck, 299300Schmelzen, 221Schwebung, 3738Schweredruck, 7174Schwerefeld

Feder-Masse, 2324Pendel, 2427

Schwimmen, 7273Schwingung

Überlagerung, 3642gedämpft, 2832erzwungen, 3236

gekoppelt, 4245Schwingungen, 1747

harmonisch, 1728Energiebilanz, 2022Kreisbewegung, 20

Schwingungsgleichung, 20, 25, 28, 31,46, 47

SI-System, 114Skalarprodukt, 261Spalt, 91


327 Stichwortverzeichnis

Strömung, 9192Sphärische Koordinaten, 283285Stationäre Strömung, 89Staurohr

Prandtl, 97Stehende Wellen, 5556Stoerhaltung, 241Stokes, 9394Stossquerschnitt, 123

Mittelung, 301302Strömung, 83, 86, 87, 8991, 93, 95,

96ideale Flüssigkeit, 9698Kugel, 93laminar, 9096Loch, 9798Rohr, 9293Spalt, 9192stationär, 89

Strömungen, 83100Beschreibung, 8387

Strömungswiderstand, 9899Superposition, 4951

harmonische Wellen, 5456

Taylorreihe, 28, 266267Temperatur, 101109Temperaturnullpunkt, 106Torsionspendel, 27Totale Ableitung, 8889Trägheitsmoment, 26, 27, 43Transversalwellen, 49Tripelpunkt von Wasser, 222

Umrechnungkartesisch zu sphärisch, 284kartesisch zu zylindrisch, 284sphärisch zu kartesisch, 284sphärisch zu zylindrisch, 285zylindrisch zu kartesisch, 284285zylindrisch zu sphärisch, 285

van't Ho-Gleichung, 237van-der-Waals-Gas, 199van-der-Waals-Gleichung, 202Vektoridentitäten, 275

Vektorprodukt, 261Verdrillung

Draht, 60Verhalten

anelastisch, 6465Virialkoezienten, 215Volumen, 58, 69, 74, 77, 84, 89Volumenstrom, 93

Wärmeenergie, 101109Wärmelehre, 101248Wärmeleitungsgleichung, 139Wahrscheinlichtkeitsdichte, 103Welle, 47, 49, 5256Wellen

Überlagerung, 4951eindimensional, 4756Energieübertrag, 5354harmonisch, 5253Interferenz, 5456Superposition, 5456

longitudinal, 49Reexion, 4951stehend, 5556Superposition, 4951transversal, 49

Wellenberge, 4751Wellenlänge λ, 52Wellenvektor, 53Wellenzahl, 53Widerstand

Strömung, 9899Windkanal, 96Winkelbeschleunigung, 27Wirbelsätze

Helmholtz, 99100Wirkung

Druck, 6970

Zeitkonstante, 29Zustandsdiagramm, 218Zylinderkoordinaten, 283285


vorlesungsskript grundlagen der physik 2 wärmelehre · tipler, physik [tip94] und giancoli, physik...

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