Estadística Sesión 11: Distribuciones de probabilidad
continua. Segunda parte.
Contextualización
En la penúltima sesión aprenderás a definir y conocer la función de densidad, de
distribución acumulada, media y varianza de la variable aleatoria estándar.
Resolverás problemas que se relacionen con la variable aleatoria normal
estándar, además de conocer la función de densidad, media y varianza de
variables aleatorias relacionadas con la distribución normal.
Conocerás la relación entre la distribución binomial y la normal.
Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/images/standard-normal-
distribution.gif
Introducción
¿Qué es la distribución de probabilidad normal?
La distribución de probabilidad más usada para describir variables aleatorias continuas es la normal.
La distribución de probabilidad normal tiene una diversidad de aplicaciones prácticas, en las que la variable aleatoria puede ser el peso o la estatura de las personas, puntuaciones de exámenes, resultados de mediciones científicas, precipitación pluvial u otras cantidades similares.
Fuente: http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/guia_estadistica/modulo_7_archivos/figura1.gif
Explicación
¿Conoces algo sobre la distribución normal?
La variable aleatoria normal X representa el comportamiento de muchos fenómenos naturales, sociales, económicos, industriales, etcétera. Por lo que es de uso bastante común.
La distribución se origina cuando el número de ensayos en una variable aleatoria discreta se vuelve grande.
Fuente: http://www.matematicasypoesia.com.es/Estadist/distribucion-normal-01.gif
Explicación
Características de la curva normal:
También es llamada Campana de Gauss, curva de Gauss o curva normal.
Es simétrica respecto a su valor central (𝜇)
Su punto máximo coincide con la media(𝜇)
Tiene puntos de inflexión situados a ambos lados de la media (𝜇) a una distancia (±𝑛𝜎) de ella. (n = 1, 2, 3).
Su área total bajo la curva es 1 (100%).
Esta función no tiene una solución sencilla para calcular valores de probabilidad, por lo que se requiere de una variable especial llamada variable normal estándar (Z).
Explicación
Distribución normal estándar
Si X es una variable normal con E(X) = 𝜇 y V(X) = 𝜎2 ,
entonces
𝑧 =𝑥 −𝜇
𝜎, es una variable normal estándar.
La media está dada por: E (Z)=0 y la varianza está dada por:
V (Z)=1.
Explicación
Ejemplo: el tiempo de preparación de una comida
casera en particular se distribuye normalmente con una
media de 12 minutos y una desviación estándar de 5.3.
Calcula la probabilidad de que una comida:
Demore en ser preparada menos de 10 minutos.
Demore en ser preparada entre 10 y 13 minutos.
Demore más de 15 minutos.
Explicación.
Solución: 𝜇 = 12, 𝜎 = 5.3
x= 10 𝑧 =10−12
5.3= −0.38
P (z<-0.38) = P (z>0.38)= 1- P (z<0.38)
=1-0.6480 (dato de la tabla de distribución normal)
P (z<_0.38) =0.352
x= 10 y 13
𝑧 =10−12
5.3= −0.38, 𝑧 =
13−12
5.3= 0.19
P (-0.38<Z<0.19) = P (z<0.19) – [1- P (z<0.38)]
= 0.5753 – 0.352 = 0.2233
x= 15 𝑧 =15−12
5.3= 0.57
P (z>0.57)= 1- P (z<0.57)
= 1- 0.7157 = 0.2843
Explicación
La distribución normal proporciona una aproximación a las
probabilidades binomiales considerando que la media µ=np y
la desviación estándar
)1( pnp . Por lo tanto,
)1( pnp
npxz
, n (z, 0,1)
Donde x es el número de éxitos buscados en n
intentos.
Explicación
Ejemplo: La probabilidad de que un alumno sea originario de Cd. Obregón, Sonora y viva fuera de la casa paterna es de 0.3. Si se encuestan 35 alumnos, ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 6 alumnos sean de Obregón y vivan fuera de su casa paterna?
Si deseamos b(x=6, n=35, p =0.3) entonces hacemos un ajuste: 6.5<x<7.5 y con este intervalo de valores de calcula z1 y z2 para hacer el cálculo n(z,0,1) como de costumbre.
Para x= 8, 6.5 < x < 7.5
Explicación
Entonces tenemos que: P(-1.47<x<-1.10) = P(-1.10)-P(-1.47)
Utilizando la tabla, tenemos que = 0.1357 - .0708 = 0.0649
47.135.7
4
)7)(.3)(.35(
)3)(.35(5.6
)1(
1
1
pnp
npxz
10.135.7
3
)7)(.3)(.35(
)3)(.35(5.7
)1(
1
1
pnp
npxz
Conclusión
En la sesión aprendimos que la distribución normal es la de mayor uso
dentro de las aplicaciones de probabilidad. Esto es debido a que modela
cualquier fenómeno presente en situaciones de todo tipo y es más fácil
asumir como primer paso de la solución de un problema que los datos
presentados tienen una distribución normal.
En la siguiente sesión veremos otra distribución de probabilidad que se
aproxima a la distribución normal, esta es la distribución t-student.
Fuente: http://www.fisicanet.com.ar/matematica/estadisticas/ap2/prueba_t07.gif
Para aprender más
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para
enriquecer tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
Legareza, J. (s/f). Distribución normal. Consultado el día 29 de octubre del
2013: http://www.uv.es/ceaces/pdf/normal.pdf
Ejercicios resueltos. Distribución Normal. (s/f). Consultado el día 29 de
octubre del 2013: http://ocw.udem.edu.mx/cursos-de-posgrado/tutorial-de-
estadistica/Modulos/Modulo02/EJERES07.pdf
Video relacionado con el tema:
Ejercicios Distribución Normal I. (2012). Consultado el día 29 de
octubre de 2013: http://www.youtube.com/watch?v=z4Roykb7MkE
Hernández, E. (2012). Distribución normal de probabilidades.
Consultado el 29 de octubre de 2013:
http://www.youtube.com/watch?v=1yJ19xJcjAQ
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te
permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.
Bibliografía
Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para
administración y economía. México: Editorial Cengage Learning.