1. 03 Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad

• • Diego Andrs Alvarez Marn

• • Profesor Asistente

• • Universidad Nacional de Colombia

• • Sede Manizales

2. Contenido

Variables aleatorias discretas: funcin de probabilidad y de distribucin

Variables aleatorias continuas: funcin de densidad y de distribucin

Caractersticas de las variables aleatorias: valor esperado, varianza

Aplicacin prctica, representaciones

3. Variable aleatoria

Sea un espacio muestral. Una funcin

se conoce comovariable aleatoria (random variableen ingls)

Nota:la definicin real es en verdad algo ms complicada. Ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Random_variable#Formal_definition

4.

La variable aleatoria transforma los resultados del espacio muestral en cantidades numricas.

La letramayscula Xdenota la funcin (la variable aleatoria).

La letraminscula xdenota el valor que toma la variable aleatoria, es decir,x=X( )

Observe que una variable aleatoria NO es una variable como tal sino que es una funcin

5. Lanzamientos de dos dados X denota la suma de los resultados de las dos caras Valor de la variablealeatoria 6.

Una variable aleatoriaXesdiscretasiDtiene una cardinalidad finita o infinita contable (es decir si los elementos deDse pueden poner en una correspondencia uno a uno con los nmeros naturales)

Una variable aleatoriaXescontinuasiDtiene una cardinalidad infinita no contable, es decir siDest formado por intervalos de la recta real

7. 8. 9. Eventos definidos por la variable aleatoria X: -> R 10. Descripcin probabilista de las variables aleatorias

Las variables aleatoriasdiscretasse describen mediante:

• Funcin de Masa de Probabilidades (FMP)

• Funcin de Distribucin de Acumulada (FDA)

Las variables aleatoriascontinuasse describen mediante:

• Funcin de Densidad de Probabilidades (FDP)

• Funcin de Distribucin de Acumulada (FDA)

11. Funcin de Masa de Probabilidades Definicin matemtica 12. Funcin de Masa de Probabilidades

Unafuncin de masa de probabilidades (FMP)es una funcion que dice la probabilidad que una variable aleatoriadiscretatome exactamente un valor.

Una FMP. Observe que todos los valores de esta funcin son no-negativos y suman 1. Una FMP de un dado equilibrado. Todos los nmeros en el dado tienen igual probabilidad de aparecer. 13. Graficando FMPs en MATLAB 14. Propiedades de la FMP

Las FMP deben satisfacer las siguientes propiedades:

15. La funcin Delta de Dirac 16. Representacin de una FMP utilizando Deltas de Dirac 17. Ejemplo

Para verificar la calidad de un lote de cilindros de concreto, un ingeniero extrae al azar 3 muestras. Suponiendo que la probabilidad que el cilindro no cumpla las especificaciones es del 10%, cual es la probabilidad que:

a) los tres cilindros cumplan con las especificaciones

b) slo dos cilindros cumplan con las espeficicaciones

c) slo un cilindro cumpla con las espeficicaciones

d) ninguno de los cilindros cumpla con las especificaciones

18.

s cilindro que cumple con las especificaciones

n cilindro que NO las cumple

P( s ) =p P( n ) = 1- p

P[0 OK] = ( n,n,n ) = (1- p )(1- p )(1- p ) = (1- p ) 3

P[1 OK] = ( n,n,s )+( n,s,n )+( s,n,n ) = 3(1- p ) 2 p

P[2 OK] = ( n,s,s )+( s,s,n )+( s,n,s ) = 3 p 2 (1- p )

P[3 OK] = ( s,s,s ) =p 3

FMP binomial 19.

En el caso del ejemplop= 0.90, siendo la FMP:

• P[0 OK] = (1- p ) 3= (0.1) 3= 0.001

• P[1 OK] = 3(1- p ) 2 p= 3 (0.1) 2x 0.9 = 0.027

• P[2 OK] = 3 p 2 (1- p ) = 3 (0.9) 2x 0.1 = 0.243

• P[3 OK] =p 3= (0.9) 3= 0.729

20.

En la prctica de control de calidad, el ingeniero debe tomar la decisin acerca de si el material se encuentra dentro de las especificaciones o no basado en una observacin de dos muestras malas en una muestra de tamao tres. Suponiendo que el material es satisfactorio, la probabilidad de tal suceso es muy pequea (2,7%), y por lo tanto, el ingeniero decidir usualmente que el material no cumple con las especificaciones.

21. Ejemplo lanzamiento de una moneda

Cuntas veces se debe lanzar una moneda para obtener caras?

1 C P(C)= 0.5

2 SC P(SC)= 0.5 2

3 SSC P(SSC) = 0.5 3

4 SSSC P(SSSC)= 0.5 4

... ...

n S...SSCP(S...SSC) = 0.5 n

se extiende hasta el infinito n-1 veces 22. Ejemplo http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series 23. 24. Funcin de Densidad de Probabilidades (FDP) 25. Intelligence quotientIQ =100, =15 26. Motivacin

Las FDPs se pueden entender como el lmite de un histograma cuando el ancho de cada subintervalo tiende a cero.

Cuando la altura de una persona es 172 cm, es lgico entender como [171.5 cm, 172.5 cm]; por lo tanto, en el caso continuo es ms lgico visualizar las probabilidades de intervalos que de un punto en particular.

27. Interpretacin de la FDP

La FDPf Xdel caso continuo se debe entender de forma diferente a la FMPp X del caso discreto:

• Con las FMPs, la probabilidad quextome un valor especfico puede ser diferente de cero.

• Con las FDPs, la probabilidad quextome un valor especficoxes cero.

Por lo tanto, la FDP no representa la probabilidad queX=x . Mas bien proporciona un medio para determinar la probabilidad de un intervaloa X b.

28. Interpretacin de la FDP

El valor def X ( x )solo es una medida de la densidad o intensidad de la probabilidad en el puntox .

29. Interpretacin de la FDP

El valor def X ( x )solo es una medida de la densidad o intensidad de la probabilidad en el puntox .

Colas de la FDPmenos frecuencia ms frecuencia 30. Funcin de Distribucin Acumulada (FDA) 31. FDA de una funcin de masa de probabilidades (FMP) FDA de una funcin de densidad de probabilidades continua FDA de una funcin de densidad de probabilidades que tiene un componente continuo y una parte discreta. 32. Continuidad por la derecha y por la izquierda Funcin continua por la derecha Funcin continua por la izquierda 33. Funcin de Distribucin Acumulada (FDA) 34. Funcin de Distribucin Acumulada (FDA) 35. FMP vs FDA 36. Ejemplo: FMP y FDA uniforme discreta 37. Ejemplo: FDA discreta (Poisson) P(X k) k >0 representa el nmero esperado de ocurrencias durante un intervalo dado de tiempo. Por la FDA del evento que lleguen k clientes a un banco dado que en promedio llegan =1, 4 y 10 clientes/minuto se muestra a continuacin: 38. FDP vs FDA 39. FDP vs FDA 40. 41. Ejemplo 42. Continuacin ejemplo 43. Funcin de distribucin de probabilidades emprica 44. Funcin de distribucin de probabilidades emprica 45. El comandodisttooldel toolbox de estadstica de MATLAB Dicho comando es extremadamente til para explorar la forma de las FDPs y FDAs 46. Variables aleatorias mixtas

La variable aleatoria puede ser a la vez discreta y continua, es decir asume valores puntuales con una probabilidad diferente de cero, al igual que valores por intervalos. Este es el caso de ensayo de equipos, dondeXes el tiempo de funcionamiento del equipo, existe una probabilidad de que el artculo no funcione del todo, falla en el tiempoX= 0; tambin cuando Y es la variable aleatoria que representa la demora de un motorista al hacer un pare obligatorio, existe una probabilidad de que no haya trfico y el motorista no tenga demoraX= 0, s tiene que esperar, lo debe hacer por un tiempo continuo.

47. Variables aleatorias mixtas g(x) 48. Variables aleatorias mixtas 49. 50. Ejemplo 2: variables aleatorias mixtas 51. 52. 53. FDP truncada

http://en.wikipedia.org/wiki/Truncated_distribution

54. FDP condicional

Suponga que estamos interesados en la distribucin de la demanda o cargaXdado que sea mayor que algn valor de umbralx 0 .

HACER GRAFICO FDP truncada

55. FDP de una funcing ( X ) 56. FDP a partir de observaciones

Kernel smoothing methods (tambien llamado ventanas de Parzen (Parzen windows). El comando de MATLAB asociado esksdensity .

Ver:http://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_density_estimation 57. FDP a partir de observaciones

• Existen otro mtodos basados en la utilizacin de polinomios ortogonales de Legendre. Ver por ejemplo:

• X.B. Li y F.Q. Gong ( 2009 ).A method for fitting probability distributions to engineering properties of rock masses using Legendre orthogonal polynomials . Structural Safety. Volume 31, Issue 4, July 2009, Pages 335-343

Applying the Gram-Schmidt process to the functions 1, x, x^2, ... on the interval [-1,1] with the usual L^2 inner product gives the Legendre polynomials 58. Valor esperado de una variable aleatoria

El valor promedio de una variable aleatoria despus de un nmero grande de experimentos es suvalor esperado .

Se dicevalor esperado( expected value ) o tambinesperanza matemtica( mathematical expectation )

59. Valor esperado de una variable aleatoria 60. Valor esperado de una variable aleatoria

Ver:

• http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann-Stieltjes_Integration

• http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution

61. Ejemplo: valor esperado

El valor esperado no necesariamente toma un valor que pudiera tomar la variable aleatoria.

62. Paradoja de San Petersburgo http://en.wikipedia.org/wiki/St._Petersburg_paradox 63. Paradoja de San Petersburgo http://en.wikipedia.org/wiki/St._Petersburg_paradox 64. Valor esperado VA uniforme continua 65. Valor esperado VA exponencial 66. Propiedades del valor esperado 67. Propiedades del valor esperado

Valor esperado de una constante:

Desigualdades:

68. Interpretacin del valor esperado

El trmino valor esperado no debe entenderse como el valor ms probable.

El valor esperado se debe entender como el valor promedio que toma la variable aleatoria despus de efectuar muchos experimentos independientemente.

El valor esperado se puede asociar al centro de gravedad de la FDP.

69. Importancia prctica del valor esperado

En un problema fsico, en que un fenmeno tiene como modelo una variable aleatoria, generalmente el nmero ms significativo que el ingeniero puede obtener es el valor medio de esa variable; es una medida de la tendencia central de la variable y muchas veces, si se van a hacer observaciones repetidas del fenmeno, del valor alrededor del cual se pude esperar la dispersin. La media muestral de muchas de tales observaciones estar con alta probabilidad muy cerca a la media de la variables aleatoria fundamental.

70. Valor esperado de una funcing ( X ) 71. Valor esperado de una funcing ( X )

Tenga en cuenta que

Otra propiedad del valor esperado es:

72. Ejemplo: valor esperado deg ( X ) 73. Esperanza condicional 74. Ejemplo 1 esperanza condicional 75. Ejemplo 2 esperanza condicional 76. Momentos de una variable aleatoria

Los momentos de una variable aleatoriaXson los valores esperados de ciertas funciones deX . Estas forman una coleccin de medidas descriptivas que pueden emplearse para caracterizar la distribucin de probabilidad deXy especificarla si todos los momentos deXson conocidos. A pesar de que los momentos deXpueden definirse alrededor de cualquier punto de referencia, generalmente se definen alrededor del cero ( momentos no centrales ) o del valor esperado deX( momentos centrales ).

77. Momentos no centrales 78. Momentos centrales 79. Algunos momentos centrales 80. Media cuadrtica VA uniforme continua 81. Media cuadrtica VA exponencial 82. Notas sobre los momentos

Tenga en cuenta que todas las proposiciones anteriores con respecto a los momentos se encuentra sujetas a la existencia de las sumas o integrales que las definan.

El uso de los momentos de una variable aleatoria para caracterizar a la FDA es til especialmente en un medio en el que el experimentador conozca la FDA.

83. Varianza

La varianza es una medida de la dispersin de una variable aleatoria.

84. Varianza

La varianza es una medida de la dispersin de una variable aleatoria.

85. Relacionando la varianza con la media y la media cuadrtica 86. Un dado perfecto 87. Varianza FDP exponencial 88. Varianzas

Uniforme

Exponencial

89. Propiedades de la varianza 90. 91. Notas sobre la varianza

Si una distribucin no tiene esperanza, como ocurre con la de Cauchy, tampoco tiene varianza. Existen otras distribuciones que, aun teniendo esperanza, carecen de varianza. Un ejemplo de ellas es la de Pareto cuando su ndiceksatisface 1 0 distribucin asimtricapositivamente 96. Coeficiente de apuntalamiento (curtosis) 97. Desigualdad de Chebyshev 98. Otras medidas de tendencia central y dispersin

• La media de una variable aleatoria es generalmente la medida preferida de tendencia central. Sin embargo, en algunas situaciones la mediana y en menor grado la moda, pueden ser mediadas de tendencia central mucho ms apropiadas. Por ejemplo, en distribuciones unimodales cuya asimetra es grande, el valor esperado de la variable aleatoria puede verse afectadopor los valores extremos de la distribucin, mientras que la mediana no lo estar.

99. Relacin entre la media, la mediana y la moda en distribuciones unimodales 100. Mediana de una FMP/FDP 101. Cuantil de una FMP/FDP

• Algunos cuartiles:

• • - Percentilq= 0.01

• • - Decilq= 0.10

• • - Cuartil q= 0.25

• • - Mediana q= 0.50

102. Moda de una FMP/FDP 103. Otras medidas de dispersin