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DOC: ING. IRMA CAPUÑAY CAPUÑAY
MOMENTO DE INERCIA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA
CURSO:
DOCENTE: ING. IRMA CAPUÑAY CAPUÑAY
INTEGRANTES:
LAMBAYEQUE, MARZO DEL 2014
MOMENTO DE INERCIA
FUNDAMENTO TEORICO
INERCIA
Es la propiedad que tienen los cuerpos de permanecer en su estado de movimiento, mientras no se aplique sobre ellos alguna fuerza.
Como consecuencia, un cuerpo conserva su estado de reposo o movimiento uniforme en línea recta si no hay una fuerza actuando sobre él.
En resumen, la inercia es la resistencia que opone la materia al modificar su estado de reposo o movimiento. En física se dice que un sistema tiene más inercia cuando resulta más difícil lograr un cambio en el estado físico del mismo
MOMENTO:
El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para causar la rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto.
El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas).
Se define como:
MOMENTO DE INERCIA
El momento de inercia es una medida de la resistencia de un cuerpo a aceleraciones angulares.
DEMOSTRACION DE LA FORMULA :
Definición del Momento de Inercia
Se define momento de inercia como el producto de la masa del elemento por el cuadrado de la distancia más corta del eje al elemento. Por ejemplo como se
indica en la figura rx=¿√ y2+ z2¿ por lo que el momento de
inercia de masa del elemento con respecto al eje x es:
El momento de inercia Ix del cuerpo se calcula integrando esta ecuación sobre la masa total del cuerpo. Por lo tanto, para cada uno de los ejes podemos escribir,
Ix=∫r 2 x dm=∫(Y 2¿+Z2)dm¿
Iy=∫ r2 y dm=∫(X2¿+Z2)dm¿
Iz=∫r 2 z dm=∫( X2¿+Y 2)dm¿
Donde “r” es el brazo de momento, o distancia perpendicular del eje que se tome al elemento arbitrario dm. Como la formulación involucra a r, el valor de I es diferente para cada eje con respecto al cual se formula. El eje que generalmente se elige para el análisis pasa por el centro de masa G del cuerpo y es
dI xx=r x2dm=( y2+z2 ) dm
siempre perpendicular al plano de movimiento. El momento de inercia calculado con respecto a este eje es denotado por IG.
Si el cuerpo está constituido de material con densidad variable ρ=ρ (x , y . z ), su masa elemental dm puede ser expresada en términos de su densidad y volumen como dm= ρdV . Sustituyendo dm en la ecuación entonces el momento de inercia del cuerpo es calculado usando elementos de volumen en la integración, es decir:
I=∫V
❑
r2 ρdV SEE
Eje de Rotación:
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
Radio de giro:
Es la distancia desde el eje en el cual se puede concentrar toda la masa del objeto, sin cambiar su momento de inercia.Es siempre medido desde el centro de gravedad (CG).
I=m k2donde , k=√ Im
→radio de giro .
Momento de Inercia de una distribución continua de masa (Cuerpo Rígido)
La fórmula que tenemos que aplicar es
dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación
Momento de inercia de una varilla
Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.
La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es
El momento de inercia de la varilla es
Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.
Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2x y anchura dx, cuya masa es
El momento de inercia del disco es
Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es
El momento de inercia del cilindro e
Momento de inercia de una placa rectangular
Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y brespecto del eje que pasa por la placa.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa de este rectángulo es
El momento de inercia de la placa rectangular es
Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R, respecto de uno de sus diámetros.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud 2y de anchura dx. La masa de este rectángulo es
El momento de inercia del disco es
Haciendo el cambio de variable
x=R·cosθy=R·senθ
Llegamos a la integral
Momento de inercia de una esfera
Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros
Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada uno de los discos elementales es
La masa de cada uno de los discos es
El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.
Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la figura x2+z2=R2
Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L, respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.
Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx. El momento de inercia de cada uno de los discos respecto de uno de sus diámetros es
Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distancia x.
El momento de inercia del cilindro es
Momento de inercia de un paralepípedo
Vamos a calcular el momento de inercia de un paralepípedo de masa M y de lados a, b y c respecto de un eje perpendicular a una de sus caras.
Dividimos el paralepípedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesor dx.
El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es
Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distancia x es
El momento de inercia del sólido en forma de paralelepípedo es
CUADRO DE RESUMEN DE MOMENTO DE INERCIA DE CUERPO RIGIDO
ESFERA
Hemisferio
Cilindro
Bloque rectangular
Placa rectangular delgada
Barra delgada
Disco circular delgado
Anillo delgado
Cono
PRODUCTO DE INERCIA
Concepto:
En el estudio del movimiento de los cuerpos rígidos, se encuentran a veces expresiones en las que interviene el producto de la masa de un pequeño elemento por las distancias a un par de planos de coordenadas ortogonales. Este producto, se denomina Producto de Inercia del elemento. Por ejemplo el Producto de inercia del elemento representado de la figura respecto a los planos xz e yz, es por definición:
d I xy=xydm
La suma de los productos de inercia de todos los elementos de masa del cuerpo respecto a los planos ortogonales mencionados es, por definición, el producto de inercia del cuerpo. Los tres productos de inercia representados en la figura son:
I xy=∫m
❑
xydm I yz=∫m
❑
yzdm I zx=∫m
❑
zxdm
Los Productos de Inercia, como los Momentos de Inercia, tienen las
dimensiones de masa multiplicada por el cuadrado de una longitud M L2. La unidad
de medida de los productos de inercia en el sistema S.I. es el kg .m2. En el U.S.
Customary System es el slug. ft2
El producto de inercia de un cuerpo puede ser positivo, negativo o nulo, ya que las dos distancias coordenadas tienen signos independientes.
El producto de inercia será positivo cuando las coordenadas sean de igual
signo.
El producto de inercia será negativo cuando sean de signos contrarios.
El producto de inercia será nulo cuando uno de los dos planos sea un plano
de simetría, ya que los elementos a uno y a otro lado de éste se podrán
emparejar de manera que sus productos de inercia respectivos sean uno
positivo y otro negativo, siendo nula su suma.
Los métodos de integración que se utiliza para determinar momentos de inercia son igualmente aplicables a la determinación de productos de inercia. Según como se hayan tomado los elementos, podrá ser necesario calcular una integral simple, doble o triple.
Los momentos de inercia de placas delgadas estaban relacionados con los momentos segundos de las placas. Análogamente los productos de inercia se pueden relacionar con los momentos segundos mixtos de las placas.
Si la placa tiene una densidad uniforme ρ, un grosor uniforme t y un área de
la sección recta A, los productos de inercia serán por definición:
I xym=∫m
❑
xydm=¿∫v
❑
xyρdV=¿∫A
❑
xyρtdA=¿ ρt I xyA ¿¿¿
I yzm=∫m
❑
xydm=0 I zxm=∫m
❑
zxdm=¿0¿
Donde el subíndice m corresponde a productos de inercia másicos y el subíndice A corresponde a momentos segundos mixtos de superficie. Los productos
de inercia I yzm e I zxm de una placa delgada son nulos ya que se supone que los ejes
x e y se hallan en el plano medio de la placa (plano de simetría)
El TEOREMA DE ESTEINER
Teorema de Steiner o Teorema de los Ejes Paralelos:
En física, el teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del Momento de Inercia de un Solido Rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del Centro de Masa y de la distancia perpendicular (h) entre ejes.
El Teorema de Steiner (denominado así en honor a Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:
Donde:
I eje ( z )=:Es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro
de masa.
I eje(CM )(x) : Es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa
por el centro de masa.
M: Masa Total.
h: Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.
Demostración:
La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la
descomposición de coordenadas relativa al centro de masas: r=rc+h inmediata:
En efecto consideremos el sistema de ejes coordenados X ' Y ' Z ' que pasa por el centro de masa de un cuerpo de masa m, (el centro de masa lo supondremos localizado en O), y sea otro sistema coordenado XYZ cuyos ejes son paralelos al primero como se muestra en la fig.
Entonces se tiene que el vector posición de elemento de masa dm con respecto al centro de masa es:
r⃗ '=x ' i⃗+ y ' j⃗+z ' k⃗
Y el vector de posición del centro de masa del cuerpo con respecto al punto O es:
r⃗ cm=xc i⃗+ yc j⃗+zc k⃗
De tal manera que la posición del elemento de masa con respecto a O es:
R⃗=r⃗cm+r⃗ '=(x¿¿c+x ') i⃗+( yc+ y ') j⃗+(z¿¿c+z ') k⃗ ¿¿
Entonces:
El momento de inercia al eje X es:
I xx=∫ ¿¿
La que después de desarrollarla tenemos:
I xx=∫( yc2+zc
2)dm+∫( y ' 2+z ' 2)dm+2 yc∫ y ' dm+2 zc∫ z ' dm
Por otro lado puesto que el centro de masa existe y solamente existe un centro de masa para cualquier cuerpo se sigue que:
X '
Z '
Y '
Z
Y
X
O
O '
r⃗ cm
r⃗ '
∫ y ' dm=0 ,∫ z ' dm=0
Entonces, tenemos:
I xx=∫( yc2+zc
2)dm+∫( y ' 2+z ' 2)dm
Pero podemos escribir ahora:
d x2= yc
2+zc2
Es el cuadrado de la distancia entre los ejes X’ y X respecto a los cuales se está calculando el momento de inercia.
I xc xc=∫( y ' 2+z ' 2)dm
Es el momento de inercia con respecto del eje X’ que pasa por el centro de masa del cuerpo.
De manera que es definitivamente:
I xx=I xc xc+md x
2
El momento de inercia con respecto al eje Y es:
I yy=I y c yc+m d y
2
Dónde:
I yc yc=∫(x '2+z ' 2)dm d y
2=xc2+zc
2
El momento de inercia con respecto al eje Y es:
I zz=I zc zc+m dz
2
Dónde:
I zc zc=∫( x '2+ y '2)dmd z
2=xc2+ y2
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
EJERCICIO N°01 (Libro: “Mecánica”, Autor: Ausberto R. Rojas Saldaña; problema 1, página 672):Determinar el momento de inercia de una barra homogénea de longitud L con respecto a un eje perpendicular a la barra y que pasa
a) través de un extremo izquierdob) a través de su centro.
Solución:a)
I yy=∫ x2dm=ρS∫0
L
x2dx
I yy=ρS L3
3
Pero la masa de la barra es:
m=ρSL
Entonces:
I yy=ρ L2
3
b)
I yy=∫ x2dm=ρS ∫−L2
L2
x2dx=m L2
12
EJERCICIO N°02 (Libro: “Estática”, Autor: R.C. Hibbeler; página 552):
El péndulo que se muestra en la figura consiste en dos barras delgadas cada una con un peso de 10lb. Determine el momento de inercia de masa del péndulo con respecto a un eje que pase por a) el pasador en O, y b) el centro de masa G del péndulo.
Solución:
a) El momento de inercia de la barra OA con respecto a un eje perpendicular a la
pág. Y que pasa por el punto O de la barra, es I 0=13
m l2. Por consiguiente:
(IOA)O=13
m l2=13 ( 1032.2 )22=0.414 slug . pie2
Observe que este mismo valor puede calcularse con IG=112
m l2 y el teorema de
Steiner, es decir,
(IOA)O=112
ml2+m d2= 112 ( 1032.2 )22+( 1032.2 )12
(IOA)O=0.414 slug . pie2
Para la barra BC tenemos
(IBC )O=112
ml2+m d2= 112 ( 1032.2 )22+( 1032.2 )22
(IBC )O=1.346 slug. pie2
El momento de inercia del péndulo con respecto a O es, por tanto
IO=0.414+1.346=1.76 slug . pie2
b) El centro de masa G se localizará con respecto al pasador situado en O. Si
suponemos que esta distancia es y, usamos la fórmula para determinar el centro
de masa tenemos:
y=∑ y̌
∑m=1( 1032.2 )+2( 1032.2 )( 1032.2 )+( 1032.2 )
=1.5 pies
El momento de inercia IG puede calcularse de la misma manera que IO, lo cual
requiere aplicaciones sucesivas del teorema de Steiner para transferir los momentos de inercia de la barras OA y BC. Sin embargo, una solución más directa
significa aplicar el teorema de Steiner con el resultado de IO determinado
anteriormente, es decir:
IO=IG+m d2
1.76=IG+( 1032.2 )1.52
IG=0.362 slug. pie2
EJERCICIO N°03 (Libro: “Mecánica Vectorial para Ingenieros - Estática”, Autor: Ferdinand P. Beer – E. Russell Johnston – Elliot R. Eisenber; problema 9.11, página 521):Determine el Momento de Inercia de un cono circular recto con respecto a:
a) Su eje longitudinalb) Un eje que pasa a través del ápice del cono y que es perpendicular a su eje
longitudinalc) Un eje que pasa a través del centroide del cono y que es perpendicular a su
eje perpendicular.
Solución:Se selecciona el elemento diferencial de masa mostrado en la figura:
r=axh
dm=ρπ r2dx= ρπa2
h2x2dx
a) Momento de inercia I x: calculamos el momento de inercia de masa del elemento
diferencial con respecto al eje x.
dI x=12
r2dm=12 (a x
h )2(ρπ
a2
h2x2dx )=12 ρπ
a4
h4x4dx
Integrando desde x = 0 hasta x = h, se obtiene
I x=∫ d I x=∫0
h12
ρπa4
h4x 4dx=1
2ρπ
a4h5
h45= 110
ρπ a4h
Como la masa total del cono es m=13
ρπ a2h, se puede escribir
I x=110
ρπ a4h= 310
a2( 13 ρπ a2h)= 310
m a2
I x=310
m a2
b) Momento de inercia I y: utilizando el mismo elemento diferencial, aplicando el
teorema de Steiner y usando la expresión para un disco delgado:
d I y=d I y '+x2dm= 14
r 2dm+x2dm=( 14 r2+x2)dm
Si se sustituyen las expresiones para r y para dm en la ecuación anterior, se obtiene
d I y=( 14 a2
h2x2+x2)( ρπ
a2
h2x2dx)=ρ π
a2
h2 ( a2
4h2+1)x4dx
I y=∫d I y=∫0
h
ρπa2
h2 ( a2
4 h2+1)x 4dx=ρπ
a2
h2 ( a2
4 h2+1) h5
5
Con la introducción de la expresión para la masa total del cono m, se reescribe I y
de la forma siguiente:
I y=35 ( 14 a2+h2) 13 ρπ a2h
I y=35
m( 14 a2+h2)c) Momento de inercia I y , , : se aplica el teorema de Steiner y se escribe
I y=I y , ,+m x2
Resolviendo para I y , ,
I y , ,=I y−m x2=35
m( 14 a2+h2)−m( 34 h)2
I y , ,= 320
m(a2+ 14 h2)
EJERCICIO N°04 (Libro: “Mecánica Vectorial para Ingenieros - Estática”, Autor: Ferdinand P. Beer – E. Russell Johnston – Elliot R. Eisenber; problema 9.12,página 522):
Una pieza de acero consta de un prisma rectangular de 6 x 2 x 2 in y dos cilindros de 2 in de diámetro y 3 in de longitud, como se muestra en la figura. Si se sabe que el peso específico del acero es de 490 lb/ft3. Determine los momentos de inercia de la pieza con respecto a los ejes coordenados.
Solución:
Calculo de las masas:
Prisma
V=¿
W =(24¿3) (490 lb
ft3 )¿¿
m= 6.81 lb
32.2 ft / s2=0.211 lb . s2/ ft
Cada uno de los cilindros
V=π ¿¿
W =(9.42¿3 )(490 lb
ft3 )¿¿
m= 2.67 lb
32.2 ft / s2=0.0829 lb . s2/ ft
Momentos de inercia: se obtendrán basándonos en las tablas de momento y producto de inercia de casa pieza de la figura. Observe que todas unidades deben estar expresadas en pies.
Prisma
I x=I z=112
(0.211 lbs2
ft)[( 612 ft )
2
+( 212 ft)2]
I x=I z=4.88∗10−3lb . ft . s2
I y=112
(0.211 lbs2
ft)[( 212 ft )
2
+( 212 ft )2]
I y=0.977∗10−3lb . ft . s2
Cada uno de los cilindros
I x=12
m a2+m y2=12
(0.0829 lb . s2/ ft )( 112 ft )2
+(0.0829 lb . s2/ ft )( 212 ft )2
I x=2.59∗10−3 lb . ft . s2
I y=112
m(3a2+L2)+m x2
I y=112
(0.0829 lb . s2/ ft )[3( 12 ft)2
+( 312 ft )2]+(0.0829 lb . s2/ ft )( 2512 ft)
2
I y=4.17∗10−3lb . ft . s2
I z=112
m(3a2+L2)+m(x2+ y2)
I z=112
(0.0829 lb . s2/ ft ) [3 (12 ft )2
+( 312 ft)2]+(0.0829lb . s2/ ft ) [(2512 ft )
2
+( 212 ft )2]
I z=6.48∗10−3lb . ft . s2
Pieza completa, con la suma de los valores obtenidos, (respuestas):
I x=4.88∗10−3+2 (2.59∗10−3 )
I x=10.06∗10−3lb . ft . s2
I y=0.977∗10−3+2 (4.17∗10−3 )
I y=9.32∗10−3 lb . ft . s2
I z=4.88∗10−3+2 (2.48∗10−3 )
I z=17.84∗10−3 lb . ft . s2
EJERCICIO N°05 (Libro: “Mecánica Vectorial para Ingenieros - Estática”, Autor: Ferdinand P. Beer – E. Russell Johnston – Elliot R. Eisenber; problema 9.14, página 538):Considere un prisma rectangular de masa m y lados a, b y c. determine:Los momentos y productos de inercia del prisma con respecto a los ejes coordenados mostrados.
Solución:
Momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados: al introducir los ejes centroidales x’, y’ y z’, respecto a los cuales están dados los momentos de inercia en las tablas dadas, se aplica el teorema de los ejes paralelos.
I x=I x'+m ( y2+z2 )= 112
m (b2+c2 )+m( 14 b2+ 14
c2)I x=
13
m (b2+c2 )
En forma similar para I y y I z
I y=13
m (c2+a2 )
I z=13
m ( a2+b2 )
Productos de inercia con respecto a los ejes coordenados: debido a la simetría, los productos de inercia con respecto a los ejes centroidales x’, y’ y z’, son iguales a cero y dichos ejes son ejes principales de inercia.
I xy=I x' y '+m x y=0+m( 12 a)(12 b)I xy=
14
mab
En forma similar para I yz y I zx
I yz=14
mcb
I zx=14
mca
BIBLIOGRAFÍA
“MECÁNICA”, Autor: Ausberto R. Rojas Saldaña; Editorial Publicaciones Moshera S. R. L Lima – Perú
“ingeniería Mecánica - Dinamica”, decimosegunda Edición, Autor: R.C. Hibbeler;
“ingeniería Mecánica - Estatica”, decimosegunda Edición, Autor: R.C. Hibbeler;
“Mecánica Vectorial para Ingenieros - Estática”, octava Edición; Autor: Ferdinand P. Beer – E. Russell Johnston – Elliot R. Eisenber
Web:
http://es.wikipedia.org/htm
http://www.sc.ehu.es/sbweb/htm