Kvantum dekompozíciós módszerek és kapuépítő eljárások
Minden 2x2-es unitér mátrix felírható a következő alakban, ahol α,β,δ,θ valós számok:
Sőt, minden speciális (azaz ha egy a determinánsa) 2x2-es unitér mátrix felírható így:
Ph(α) Rot(θ ) Ph(β)
Fontos alapösszefüggések:
Rot, Ph, Scal additívσx * σx = I (σx a Pauli X)σx * Rot(θ ) * σx = Rot(- θ )σx * Ph(θ ) * σx = Ph(- θ )
Tétel 4.3
Bármely speciális W 2x2-es unitér mátrix felbontható a következő módon: W=A* σx *B* σx *C, ahol A*B*C=I és A,B,C is 2x2-es
Tétel 5.1
Egy speciális 2x2-es unitér mátrixú (W) egy bit vezérelt kapu a következő képpen bontható fel:
És A,B,C is speciális.
Tétel 5.2
Tetszőleges δ –ra az egy bit vezérelt S=Scal(δ) kapu a következőképp bontható fel:
Tétel *
Minden unitér mátrix felírható a következő módon: U=S*W, aholS=Scal(δ) és W egy 2x2-es unitér mátrix.
Következmény 1.
Minden 2x2-es unitér mátrixú egy bit vezérelte kapu felbontható a következő elemekre:3 db 1 bites kapu + 2db CNOT (Tétel 5.1)1 db 1 bites kapu (Tétel 5.2)
+ Tétel *
Összesen tehát 4 db 1 bites kapu + 2 db CNOT
Tétel 5.4
Ha a speciális W a következő alakú:
akkor
Ez a W nem olyan légbőlkapott, ilyen alakú például az y és a z tengely körüli forgatás:
Tétel 5.5
Ha V a következő alakú:
akkor
Ilyen alakúak például a Pauli mátrixok
Tétel 6.1
Tetszőleges U 2x2-es unitér mátrixú két bit vezérelte kapura igaz, hogy:
Ahol V unitér és V2=U
Következmény 2.
Minden U 2x2-es unitér mátrixú két bit vezérelte kapura igaz lesz, hogy helyettesíthető 8 db 1 bites alapkapuval és 8 db CNOT-tal(U-t átírjuk 6.1 alapján, majd a V-ket és V+-t 5.1 alapján tovább bontjuk, ami 3*(4 alap+2 CNOT)+2 CNOT. De mivel V-ben és V+-ban is szerepel A és A+ ill. C és C+, amelyeket I-vé lehet összevonni, ezért még le kell vonni 4 alapkaput és így kapjuk a fenti eredményt.)
Az előző tétel általánosítása:Tétel 7.1
Ha n>=3, akkor az n bittel vezérelt 2x2-es U mátrixú kapu szimulálható egy hálózattal, ami2n-1-1 db V2n-1-1 db V+2n-1-2 db CNOTkapuból áll, ahol V2(n-2)=U
CNOT dekompozíciók
Ez akkor jó, ha a fázis nem számít. A=Rot(π/4)
Tétel 7.5
Minden unitér 2x2-es U mátrixú kapuból épített alábbi hálózat dekomponálható a következő módon, ahol V2=U
Egy hálózat epszilonnyira közelít egy másik hálózatot ha ugyanazokra a bemenetekre a két kimenet valószínűség eloszlása közelítőleg egyforma, tehát bármely eseményre a valószínűségek csak 2 epszilonnal különbözhetnek maximum.
Tétel 7.8
Minden 2x2-es U unitér mátrixú n-1 bittel vezérelt kapu epszilonnyira közelíthető O(n*log(1/epszilon)) alapművelettel.
Tétel 7.9
Minden speciális W mátrixú n-1 bit vezérelt kapu helyettesíthető: Ahol A, B, C is speciális
Tétel 7.11
Minden U unitér mátrixú n-1 bit vezérelte kapu, ahol az n-1-ik fixen 0, helyettesíthető:
Ezekkel a kvantumkapu-építő módszerekkel és a dekompozíciós formulákkal tetszőleges n bites unitér operátort szimuláló hálózat felépíthető O(n34n) 2 bites kapuból (Reck fél dekompozíciót használva)
Dekompozíciós módszerek:
Kvantum algoritmusok leírhatók unitér transzformációk sorozataként
Kapu gyűjteménye univerzális = minden n qbites kapu megépíthető belőlük
1995. Barenco -> CNOT + 1 qbites kapuk univerzálisak
Dekompozíciós módszerek:
QR
Cosinus-Sinus
Legközelebbi szomszéd
Ma ismert leghatékonyabb módszer hatékonysága komplexitása O(23/48*4n)
Az 1 qbites kapukat és a CNOT kaput tartalmazó kapukészlet univerzalitásának bizonyítása konstruktív, de nagyon nagy komplexitású O(n34n)
1995-ben már megmutatták, hogy le lehet menni O(n4n)-ig
2004-ben sikerült elérni az O(4n)-es komplexitást, de ez még mindig messze van a ma ismert (4n-3n-1)/4 –es elvi határtól.
Mivel az n-bites kvantumkapuk unitér mátrixokkal reprezentálhatóak, ezért célszerű ismert mátrixdekompozíciós elvekkel próbálkozni.
Minden speciális 2x2 –es U unitér transzformáció felírható egy forgatásként az U által meghatározott a körül egy θ szöggel.
Azonos tengely körüli forgatások additívak.
Elemi forgatás, ha a párhuzamos valamely koordinátatengellyel. Ezek után U felírható úgy:
A fehér csomópont 0-as a fekete 1-es vezérlést jelent.
Egy ilyen uniform vezérelt kapu (UCG) rövid leírása:
Általános estben a forgatás és az UCG dekompozíció rekurzív lépései:
Ezeket a lépéseket alkalmazva konkrét lépéseket is levezethetünk.Például k=3
Δ4 az RZ forgatások összevonása, Δ4 diagonális, jelen esetben 4x4.
Legközelebbi szomszéd dekompozíció:
Az ábra ötlete alapján elvégezhetjük a dekompozíciót, mely elemi lépéseit az alábbi ábra mutatja.
Ezeket a lépéseket rekurzívan alkalmazva juthatunk konkrét eredményhez:
Ez a módszer a következő komplexitással bír a CNOT kapuk számát illetően, ahol k a vezérlőbitek száma, s a vezérelt kapu bemenetének távolsága a lánc végétől:
