Kvantum renormálási csoporta

Nagy Sandor , Polonyi Janos, Steib Imola

Debreceni Egyetem, Elmeleti Fizikai Tanszek

Szeged, 2016. augusztus 25.

aS. Nagy, J. Polonyi, I. Steib, Quantum renormalization group, Phys. Rev. D 93 (2016) 025008.

Motiváció

• A renormálási csoport módszerrel szisztematikusan távolíthatjuk el az UV módusokat.

• A kvantumelméletben a módusok eliminálása kevert állapotokat generál.

• A szokásos in-out formalizmusban a kezdeti- és végállapot tiszta allapot, és az

elimináció során csak tiszta állapotaink vannak.

• Az in-in vagy CTP formalizmus alkalmas a kevert allapotok figyelembe vételére.

• A kevert állapotok járuléka adhat

• új fázisokat,

• új fixpontokat,

• új releváns kölcsönhatásokat,

• lehetoséget nyílt rendszerek tárgyalására

alapveto modelleknél is.

Renormálási csoport módszer• A funkcionális renormálási csoport (RG) módszer segítségével kvantumtérelméleti

modellek nemperturbatív vizsgálatát végezhetjük el.

• Az RG módszer hidat képez a modell ismert nagyenergiás (UV), és keresett, alacsony

energiás (IR) leírása között

A pályaintegrál elvégése során a csatolásokat feloltoztetik az o kvantum fluktuációból származó

korrekcióival. A vákum-vákuum átmeneti amplitúdó (a generáló funkcionál) alakja:

Z[j] =

∫

Dφei~Sk+

i~jφ ≡

∫

dφ0 . . . dφk−∆kdφkdφk+∆k . . . dφ∞ei~Sk+

i~jφ

A pályaintegrált úgy végezzük el, hogy egyesével eltávolítjuk a szabadsági fokokat (módusokat,

kvantumfluktuációkat).

(IR) 0← k k →∞ (UV)

gk−∆kgk

gk+∆k

k−∆k k k+∆k

A CTP formalizmusSkaláris elméletek generáló funkcionálja:

Z[j+, j−] = Tr[U(tf , ti; j+)ρiU

†(tf , ti;−j−)] =

∫

D[φ]ei~S[φ]+ i

~

∫dxjxφx .

Bevezettük a φ = (φ+, φ−) CTP dubletteket; a hatás alakja S[φ] = S0[φ] + Si[φ+]− Si[φ

−].

A csupasz CTP integrál alakja

ei~Si[φ] =

∫

D[χ]ei2~

∫dxdyχxKx,y χy−

∫dx[UB(φ+

x +χx)−UB(φ−

x +χx)],

ahol a χ UV módusokra integrálunnk, melyek impulzusa k < |p|. A K jelöli a szabad inverz

CTP propagátort:

K =

Kn + iKi Kf − iKi

−Kf − iKi −Kn + iKi

, Knp = p2 −m2, Kf

p = iǫsign(p0), Kip = iǫ.

Az UB(φ) jelöli a csupasz potenciált, a Taylor sorfejtett alakja:

UB(φ) =

∞∑

n=2

gB2n

(2n)!φ2n.

CTP Feynman diagrammok

Z[j+, j−] = Tr[U(tf , ti; j+)ρiU

†(tf , ti;−j−)].

A Feynman gráfokban szereplo vonalak a szabad CTP propagátor diagonális vagy

nem-diagonális elemeihez tartoznak. Típusok:

1. homogén gráfok: a vonalak és a vertexek ugyanahhoz a térváltozóhoz tartoznak

2. inhomogén gráfok: azok a gráfok, amelyek külso lábai vagy a φ+ vagy a φ−

térváltozóhoz tartoznak, a vertexek vegyesek

3. valódi CTP gráfok: a külso lábak mindkét térváltozóhoz tartoznak

• O(φ+3φ−5) rendu gráf, a szaggatott vonal a D+− nem-diagonális propagátor elemhez

tartozik.

• Az IR és az UV módusok közötti kölcsönhatás magasabb rendu gráfoknál könnyebben

megvalósulhat.

BlokkosításA blokkosított hatást úgy kapjuk meg, hogy a k skálát infinitezimális lépésenként csökkentjük,

k → k −∆k. A blokkosítási lépés a k − dk < |p| < k impulzushéjhoz tartozó rendszer

módusokat viszi át a környezetbe. A blokkosítás után a hatás alakja:

ei~Sk−∆k [φ] =

∫

D[χ]ei~Sk[φ+χ].

• rendszer módusok: φ→ |p| < k −∆k

• környezet módusok: χ→ k −∆k < |p| < k

A hatást S = S1 + S2 alakban keressük, ahol S1 tartalmazza a lokális potenciált:

S1[φ] =1

2

∫

dxdyφxKdx,yφy −

∫

dx[U(φ+x )− U(φ−

x )],

Az S2 tagról feltesszük, hogy bilokális:

S2[φ] = −

∫

dxdyVx−y(φx, φy),

aholVx−y(φ, φ

′) =∑

σ,σ′

∑

mn≥3

1

m!n!φσmv

σ,σ′

m,n,x−yφ′σ′n.

Fa-szintu evolúcióAhhoz, hogy megkapjuk a nyeregpontot, meg kell oldanunk a mozgásegyenletet adott φx-nél

χx-re. Elegendo a linearizált egyenletekkel dolgoznunk, mert a magasabb rendu tagok O(∆kn)

renduek.

A linearizált mozgásegyenlet:

D−1χ = L,

ahol (D−1)σ,σ′

= (D−10 )σ,σ

′

− δσ,σ′

σU ′′(φσ), és bevezetjük a

Lσx = σU ′(φσ

x)− 2

∫

dy∂φσxVx−y(φx, φy)

kifejezést. A megoldást visszahelyettesítjük a Sk[φ+ χ] hatásba. Felhasználva, hogy

Sk−∆k = Sk +∆Sk , azt kapjuk, hogy

Sk − Sk−∆k =∆k

2

∫

dxdyLxD(k)x−yLy,

ahol bevezettük a

D(k)x−y =

∫

d4q

(2π)4δ(|q| − k)Dqe

−i(x−y)q

környezeti propagátort.

Fa-szintu evolúcióA hatás feltételezett alakja miatt használhatjuk a

Lσx → Lσ

x = σU ′(φσx)− 2

∫

dyWσx−y(φy)

közelítést. Bevezettük a

Wσx−y(φ) = ∂φ′σ

xVx−y(φ

′, φ)|φ′=0

mennyiséget. A kapott evolúciós egyenlet alakja:

dS

dk=

1

2

∫

dxdy ˆLxD(k)x−y

ˆLy

=1

2

∑

σ,σ′

∫

dxdy

[

σU ′(φσx)D

(k)σ,σ′

x−y σ′U ′(φσy )

−4

∫

dzWσz−x(φx)D

(k)σ,σ′

z−y σ′U ′(φσy )

+4

∫

dzdz′Wσz−x(φx)D

(k)σ,σ′

z−z′Wσ′

z′−y(φy)

]

.

Fa-szintu evolúcióImpulzustérben az evolúciós egyenlet alakja vezeto rendben:

dS

dk=

1

2

∫

dd+1q

(2π)d+1σ[U ′(φσ)]−qD

(k)σ,σ′

q σ′[U ′(φσ)]q

• A fa-szintu evolúció járulékai függetlenek különbözo k értékekre.

• A lokális potenciál fa-szinten nem fejlodik, azaz U(φ) = UB(φ).

• A k integrál elvégzése után a bilokális potenciál alakja:

Vx−y(φx, φy) = −1

2

∑

σ,σ′

σσ′U ′(φσx)D

(k,Λ)σσ′

x−y U ′(φσ′

y ),

ahol

D(k,Λ)x−y =

∫

dd+1q

(2π)d+1Θ(|q| − k)Θ(Λ− |q|)Dqe

−i(x−y)q

a propagátor, amely minden eliminált módus járulékát tartlamazza.

Eredmények

A bilokális csatolások fa-szintu evolúciója:

vσ,σ′

m,n,x−y = gm+1gn+1σD(k,Λ)σ,σ′

x−y σ′.

• A bilokális csatolások evolúcióját a lokális csatolások indítják be.

• A kevert állapotok megjelenéséhez m,n ≥ 3 indexekkel rendelkezo bilokális csatolások

kellenek.

• Fa-szinten a bilokális csatolások q-függetlenek.

• A σ = σ′ CTP indexszel jellemzett tagok a hagyományos egyidotengelyes

formalizmusban is megjelennek.

• A (σ = −σ′) nem-diagonális tagok adják a kevert állapotok járulékát.

• A nem-diagonális elemek írják le az IR-UV módusok összefonódását. Ezek a CTP

formalizmussal válnak elérhetové.

Kitekintés

Multilokalis kifejtes

• euklideszi esetben sem vizsgálták RG

módszerrel

• impulzusfüggo csatolások

• létezhetnek új releváns csatolások

• a lokális potenciálon alapszik több

alapveto eredmény

(S, Nagy, J. Polonyi, I. Steib, Renormalization of bilocal potentials, elokészületben)

Kitekintés

CTP RG egyenletek es fluktuaciok

• A lokális és bilokális potenciál funkcionális alakjának megválasztása.

• A lokális potenciál valós része off-shell, a komplex része on-shell. A Wegner-Houghton

egyenlettel írjuk le, ami tartalmazza a bilokális potenciál járulékát is.

• A bilokális potenciál nyeregponti része fa-szintu renormálással fejodik.

• A bilokális potenciál fluktuációs része szintén a Wegner-Houghton egyenlettel kapható

meg.

Köszönetnyilvánítás

A kutatást az OTKA (K112233) és a Bolyai János Ösztöndíj támogatta.